2.8 ガウス・ボンネの定理(局所版)

この節では r 2 r 2 r >= 2r \geq 2r2 とする.この節において, 3 次元ユークリッド空間 E 3 E 3 E^(3)\mathbb{E}^{3}E3内の C C C^(oo)C^{\infty}C 超曲面片上の区分的に C r C r C^(r)C^{r}Cr 級の境界をもつ有界閉領域に対するガウ ス・ボンネの定理(局所版)(Gauss-Bonnet theorem(local version)) を紹介し, その証明を行う. さらに, この定理から直接導かれる C C C^(oo)C^{\infty}C 超曲面片上の測地 m m mmm 角形の内角の和の公式を与え, 球面片をはじめとする曲率をも つ超曲面片上では, 測地 m m mmm 角形の内角の和がその面積によって変動すること を認識してもらう.実際に,球面片上でその変化する様子を図解することにす る.
S = x ( D ) S = x ( D ) S=x(D)S=\boldsymbol{x}(D)S=x(D) E 3 E 3 E^(3)\mathbb{E}^{3}E3 内の C C C^(oo)C^{\infty}C (超)曲面片とし, N S S N S S NSS\boldsymbol{N} S SNSS の自然に定まる単位法ベクトル場とする。また, S := x ( E ) ( E D ) S := x ( E ) ( E D ) S^('):=x(E)(E sub D)S^{\prime}:=\boldsymbol{x}(E)(E \subset D)S:=x(E)(ED) S S SSS 内の区分的に C r C r C^(r)C^{r}Cr 級 の境界をもつ C C C^(oo)C^{\infty}C (超)曲面とし, E E EEE の境界を与える,反時計回りに回る区分的に C r C r C^(r)C^{r}Cr 正則な単純閉曲線 c ¯ : [ 0 , l ] R 2 c ¯ : [ 0 , l ] R 2 bar(c):[0,l]rarrR^(2)\bar{c}:[0, l] \rightarrow \mathbb{R}^{2}c¯:[0,l]R2 であって, c := x c ¯ c := x c ¯ c:=x@ bar(c)c:=\boldsymbol{x} \circ \bar{c}c:=xc¯ が弧長で パラメーター付けられた、区分的に C r C r C^(r)C^{r}Cr 正則な単純閉曲線になるようなもの をとる. 0 = s 0 < s 1 < < s m = l 0 = s 0 < s 1 < < s m = l 0=s_(0) < s_(1) < cdots < s_(m)=l0=s_{0}<s_{1}<\cdots<s_{m}=l0=s0<s1<<sm=l c | [ s i 1 , s i ] ( i = 1 , , m ) c s i 1 , s i ( i = 1 , , m ) c|_([s_(i-1),s_(i)])(i=1,dots,m)\left.c\right|_{\left[s_{i-1}, s_{i}\right]}(i=1, \ldots, m)c|[si1,si](i=1,,m) C r C r C^(r)C^{r}Cr正則曲線となるような [ 0 , l ] [ 0 , l ] [0,l][0, l][0,l] の分割とする。簡単のため, I := [ 0 , l ] , I i := I := [ 0 , l ] , I i := I:=[0,l],I_(i):=I:=[0, l], I_{i}:=I:=[0,l],Ii:= [ s i 1 , s i ] , c i := c | I i ( i = 1 , , m ) s i 1 , s i , c i := c I i ( i = 1 , , m ) [s_(i-1),s_(i)],c_(i):=c|_(I_(i))(i=1,dots,m)\left[s_{i-1}, s_{i}\right], c_{i}:=\left.c\right|_{I_{i}}(i=1, \ldots, m)[si1,si],ci:=c|Ii(i=1,,m) とおく. { s I i c i ( s ) 0 } s I i c i ( s ) 0 {s inI_(i)∣c_(i)^('')(s)!=0}\left\{s \in I_{i} \mid c_{i}^{\prime \prime}(s) \neq \mathbf{0}\right\}{sIici(s)0} はいく つかの開区間の和になる。それらの開区間の族を { ( s i j , s i j ) j = 1 , , k i } s i j , s i j j = 1 , , k i {(s_(ij),s_(ij)^('))∣j=1,dots,k_(i)}\left\{\left(s_{i j}, s_{i j}^{\prime}\right) \mid j=1, \ldots, k_{i}\right\}{(sij,sij)j=1,,ki} ( s i j < s i , j + 1 ( j = 1 , , k i 1 ) ) s i j < s i , j + 1 j = 1 , , k i 1 (s_(ij)^(') < s_(i,j+1)(j=1,dots,k_(i)-1))\left(s_{i j}^{\prime}<s_{i, j+1}\left(j=1, \ldots, k_{i}-1\right)\right)(sij<si,j+1(j=1,,ki1)) とする. 簡単のため, I i j := [ s i j , s i j ] , c i j := I i j := s i j , s i j , c i j := I_(ij):=[s_(ij),s_(ij)^(')],c_(ij):=I_{i j}:=\left[s_{i j}, s_{i j}^{\prime}\right], c_{i j}:=Iij:=[sij,sij],cij:= c | I i j c I i j c|_(I_(ij))\left.c\right|_{I_{i j}}c|Iij とおく. c i j c i j c_(ij)c_{i j}cij の第 1 曲率, 第 1 法線ベクトル場を各々, κ i j , n i j κ i j , n i j kappa_(ij),n_(ij)\kappa_{i j}, \boldsymbol{n}_{i j}κij,nij と表す. ここで, κ i j κ i j kappa_(ij)\kappa_{i j}κij は負になる可能性もあることを注意しておく(2.5 節を参照). 通常, 曲面論(= E 3 E 3 E^(3)\mathbb{E}^{3}E3 内の超曲面論)では, κ i j κ i j kappa_(ij)\kappa_{i j}κij は測地的曲率(geodesic curvature)とよばれる. I i I i I_(i)I_{i}Ii 上の関数 κ i κ i kappa^(i)\kappa^{i}κi
κ i ( s ) := { κ i j ( s I i j ) 0 ( s I i ( k i j = 1 I i j ) ) κ i ( s ) := κ i j      s I i j 0      s I i k i j = 1 I i j kappa^(i)(s):={[kappa_(ij),(s inI_(ij))],[0,(s inI_(i)\\(k_(i)_(j=1)I_(ij)))]:}\kappa^{i}(s):= \begin{cases}\kappa_{i j} & \left(s \in I_{i j}\right) \\ 0 & \left(s \in I_{i} \backslash\left(\underset{j=1}{k_{i}} I_{i j}\right)\right)\end{cases}κi(s):={κij(sIij)0(sIi(kij=1Iij))
によって定義する. κ i κ i kappa^(i)\kappa^{i}κi c i c i c_(i)c_{i}ci の測地的曲率とよぶことにする.
p i := c i ( s i ) ( i = 1 , , m ) とおく. このとき, S p 1 , , p m を頂点と p i := c i s i ( i = 1 , , m )  とおく. このとき,  S  を  p 1 , , p m  を頂点と  p_(i):=c_(i)(s_(i))(i=1,dots,m)" とおく. このとき, "S^(')" を "p_(1),dots,p_(m)" を頂点と "p_{i}:=c_{i}\left(s_{i}\right)(i=1, \ldots, m) \text { とおく. このとき, } S^{\prime} \text { を } p_{1}, \ldots, p_{m} \text { を頂点と }pi:=ci(si)(i=1,,m) とおく. このとき, S を p1,,pm を頂点と 
する m m m\boldsymbol{m}m 角形 ( m m (m:}\left(\boldsymbol{m}\right.(m-polygon)といい, 特に, 各 c i ( i = 1 , , m ) c i ( i = 1 , , m ) c_(i)(i=1,dots,m)c_{i}(i=1, \ldots, m)ci(i=1,,m) S S SSS 上の 測地線であるときは, p 1 , , p m p 1 , , p m p_(1),dots,p_(m)p_{1}, \ldots, p_{m}p1,,pm を頂点とする測地 m m m\boldsymbol{m}m 角形 (geodesic m m m^(-)\boldsymbol{m}^{-}m
polygon) という。また, c i ( s i ) c i s i vec(c)_(i)^(')(s_(i))\vec{c}_{i}^{\prime}\left(s_{i}\right)ci(si) c i + 1 ( s i ) c i + 1 s i vec(c)_(i+1)^(')(s_(i))\vec{c}_{i+1}^{\prime}\left(s_{i}\right)ci+1(si) のなす角を θ i θ i theta_(i)^(')\theta_{i}^{\prime}θi として, θ i := θ i := theta_(i):=\theta_{i}:=θi:= π θ i π θ i pi-theta_(i)^(')\pi-\theta_{i}^{\prime}πθi m m m\boldsymbol{m}m 角形 S S S^(')\boldsymbol{S}^{\prime}S の頂点 p i p i p_(i)\boldsymbol{p}_{\boldsymbol{i}}pi における内角(internal angle of a m m m^(-)\boldsymbol{m}^{-}m polygon S S S^(')S^{\prime}S at the vertex p i p i p_(i)\boldsymbol{p}_{\boldsymbol{i}}pi ) という. S S SSS m m mmm 角形 S S S^(')S^{\prime}S 上のガウス曲率 の積分に対して, 次のストークス型の積分公式が成り立つ.
定理 2.8.1(ガウス・ボンネの定理(局所版)) Kを S S SSS のガウス曲率, κ i κ i kappa^(i)\kappa^{i}κi S S S^(')S^{\prime}S の辺 c i c i c_(i)c_{i}ci の測地的曲率, θ i θ i theta_(i)\theta_{i}θi S S S^(')S^{\prime}S の頂点 p i := c ( s i ) p i := c s i p_(i):=c(s_(i))p_{i}:=c\left(s_{i}\right)pi:=c(si) における内角とし, d A d A dAd AdA S S SSS の面積要素とする。このとき, 次の関係式が成り立つ:
(2.8.1) S K d A = 2 π ( i = 1 m s i 1 s i κ i ( s ) d s + i = 1 m ( π θ i ) ) (2.8.1) S K d A = 2 π i = 1 m s i 1 s i κ i ( s ) d s + i = 1 m π θ i {:(2.8.1)int_(S^('))KdA=2pi-(sum_(i=1)^(m)int_(s_(i-1))^(s_(i))kappa^(i)(s)ds+sum_(i=1)^(m)(pi-theta_(i))):}\begin{equation*} \int_{S^{\prime}} K d A=2 \pi-\left(\sum_{i=1}^{m} \int_{s_{i-1}}^{s_{i}} \kappa^{i}(s) d s+\sum_{i=1}^{m}\left(\pi-\theta_{i}\right)\right) \tag{2.8.1} \end{equation*}(2.8.1)SKdA=2π(i=1msi1siκi(s)ds+i=1m(πθi))
定理2.8.1を証明するために,いくつかの補題を準備しよう. まず, 測地的極座標を定義し,その性質を述べることにする。 x 1 = ( u 1 , u 2 ) x 1 = u 1 , u 2 x^(-1)=(u_(1),u_(2))\boldsymbol{x}^{-1}=\left(u_{1}, u_{2}\right)x1=(u1,u2) とする. p S S p S S p inS^(')\\delS^(')p \in S^{\prime} \backslash \partial S^{\prime}pSS を基点としてとり, ( ( u 1 ) p , ( u 2 ) p ) u 1 p , u 2 p (((del)/(delu_(1)))_(p),((del)/(delu_(2)))_(p))\left(\left(\frac{\partial}{\partial u_{1}}\right)_{p},\left(\frac{\partial}{\partial u_{2}}\right)_{p}\right)((u1)p,(u2)p) と同じ向きを定め る ( T p S , g p ) T p S , g p (T_(p)S,g_(p))\left(T_{p} S, g_{p}\right)(TpS,gp) の正規直交基底 ( e 1 , e 2 ) e 1 , e 2 (e_(1),e_(2))\left(\boldsymbol{e}_{1}, \boldsymbol{e}_{2}\right)(e1,e2) をとる. v θ := cos θ e 1 + sin θ e 2 ( θ v θ := cos θ e 1 + sin θ e 2 ( θ v_(theta):=cos thetae_(1)+sin thetae_(2)quad(theta in\boldsymbol{v}_{\theta}:=\cos \theta \boldsymbol{e}_{1}+\sin \theta \boldsymbol{e}_{2} \quad(\theta \invθ:=cosθe1+sinθe2(θ [ 0 , 2 π ) [ 0 , 2 π ) [0,2pi))[0,2 \pi) )[0,2π) とおく. c θ : [ 0 , l θ ) S c θ : 0 , l θ S c_(theta):[0,l_(theta))rarr Sc_{\theta}:\left[0, l_{\theta}\right) \rightarrow Scθ:[0,lθ)S S S SSS 上の測地線で c θ ( 0 ) = p , c θ ( 0 ) = v θ c θ ( 0 ) = p , c θ ( 0 ) = v θ c_(theta)(0)=p,c_(theta)^(')(0)=v_(theta)c_{\theta}(0)=p, c_{\theta}^{\prime}(0)=\boldsymbol{v}_{\theta}cθ(0)=p,cθ(0)=vθ と なるようなものとする. l θ l θ l_(theta)l_{\theta}lθ は可能な限り大きくとる.
W ~ := θ [ 0 , 2 π ) { r v θ r [ 0 , l θ ) } W ~ := θ [ 0 , 2 π ) r v θ r 0 , l θ widetilde(W):=uu_(theta in[0,2pi)){rv_(theta)∣r in[0,l_(theta))}\widetilde{W}:=\underset{\theta \in[0,2 \pi)}{\cup}\left\{r \boldsymbol{v}_{\theta} \mid r \in\left[0, l_{\theta}\right)\right\}W~:=θ[0,2π){rvθr[0,lθ)}
とし, exp p : W ~ S exp p : W ~ S exp_(p): widetilde(W)rarr S\exp _{p}: \widetilde{W} \rightarrow Sexpp:W~S
exp p ( r v θ ) := c θ ( r ) ( r v θ W ~ ) exp p r v θ := c θ ( r ) r v θ W ~ exp_(p)(rv_(theta)):=c_(theta)(r)quad(rv_(theta)in( widetilde(W)))\exp _{p}\left(r \boldsymbol{v}_{\theta}\right):=c_{\theta}(r) \quad\left(r \boldsymbol{v}_{\theta} \in \widetilde{W}\right)expp(rvθ):=cθ(r)(rvθW~)
により定義する。 exp p exp p exp_(p)\exp _{p}expp 0 p 0 p 0_(p)\mathbf{0}_{p}0p のある近傍 U ~ U ~ widetilde(U)\widetilde{U}U~ への制限は,S S S SSS のあ開集合への C r C r C^(r)C^{r}Cr 同型写像であることが示される(この事実は, 3.6 節で述べる逆関数定理 (定理 3.6.1)を用いて示される).
W := exp p ( W ~ ) , U := exp p ( U ~ ) , D ^ := { ( r , θ ) r v θ U ~ { 0 p } } W := exp p ( W ~ ) , U := exp p ( U ~ ) , D ^ := ( r , θ ) r v θ U ~ 0 p W:=exp_(p)( widetilde(W)),quad U:=exp_(p)( widetilde(U)),quad hat(D):={(r,theta)∣rv_(theta)in( widetilde(U))\\{0_(p)}}W:=\exp _{p}(\widetilde{W}), \quad U:=\exp _{p}(\widetilde{U}), \quad \hat{D}:=\left\{(r, \theta) \mid r \boldsymbol{v}_{\theta} \in \widetilde{U} \backslash\left\{\mathbf{0}_{p}\right\}\right\}W:=expp(W~),U:=expp(U~),D^:={(r,θ)rvθU~{0p}}
とおく. x ^ : D ^ S x ^ : D ^ S hat(x): hat(D)rarr S\hat{\boldsymbol{x}}: \hat{D} \rightarrow Sx^:D^S
x ^ ( r , θ ) := exp p ( r v θ ) ( ( r , θ ) D ^ ) x ^ ( r , θ ) := exp p r v θ ( ( r , θ ) D ^ ) hat(x)(r,theta):=exp_(p)(rv_(theta))quad((r,theta)in hat(D))\hat{\boldsymbol{x}}(r, \theta):=\exp _{p}\left(r \boldsymbol{v}_{\theta}\right) \quad((r, \theta) \in \hat{D})x^(r,θ):=expp(rvθ)((r,θ)D^)
によって定義する. x ^ x ^ hat(x)\hat{\boldsymbol{x}}x^ C C C^(oo)C^{\infty}C 正則局所曲面を与え, x ^ ( D ^ ) = U { p } S x ^ ( D ^ ) = U { p } S hat(x)( hat(D))=U\\{p}sub S\hat{\boldsymbol{x}}(\hat{D})=U \backslash\{p\} \subset Sx^(D^)=U{p}S とな るので, U { p } U { p } U\\{p}U \backslash\{p\}U{p}
x ^ 1 = ( r , θ ) : U { p } R 2 x ^ 1 = ( r , θ ) : U { p } R 2 hat(x)^(-1)=(r,theta):U\\{p}rarrR^(2)\hat{\boldsymbol{x}}^{-1}=(r, \theta): U \backslash\{p\} \rightarrow \mathbb{R}^{2}x^1=(r,θ):U{p}R2
の組 ( U { p } , x ^ 1 ) U { p } , x ^ 1 (U\\{p}, hat(x)^(-1))\left(U \backslash\{p\}, \hat{\boldsymbol{x}}^{-1}\right)(U{p},x^1) S S SSS の局所座標を与えることになる。この局所座標を S S SSS の点 p p ppp を中心とする測地的極座標 (geodesic polar coordinate) という. S S SSS の第 1 基本形式 g g ggg の極座標 x ^ 1 = ( r , θ ) x ^ 1 = ( r , θ ) hat(x)^(-1)=(r,theta)\hat{\boldsymbol{x}}^{-1}=(r, \theta)x^1=(r,θ) に関する成分を g ^ i j ( 1 i , j 2 ) g ^ i j ( 1 i , j 2 ) hat(g)_(ij)(1 <= i,j <= 2)\hat{g}_{i j}(1 \leq i, j \leq 2)g^ij(1i,j2) と表すことにする. つまり,
g ^ 11 := g ( r , r ) , g ^ 12 = g ^ 21 := g ( r , θ ) , g ^ 22 := g ( θ , θ ) g ^ 11 := g r , r , g ^ 12 = g ^ 21 := g r , θ , g ^ 22 := g θ , θ hat(g)_(11):=g((del)/(del r),(del)/(del r)),quad hat(g)_(12)= hat(g)_(21):=g((del)/(del r),(del)/(del theta)),quad hat(g)_(22):=g((del)/(del theta),(del)/(del theta))\hat{g}_{11}:=g\left(\frac{\partial}{\partial r}, \frac{\partial}{\partial r}\right), \quad \hat{g}_{12}=\hat{g}_{21}:=g\left(\frac{\partial}{\partial r}, \frac{\partial}{\partial \theta}\right), \quad \hat{g}_{22}:=g\left(\frac{\partial}{\partial \theta}, \frac{\partial}{\partial \theta}\right)g^11:=g(r,r),g^12=g^21:=g(r,θ),g^22:=g(θ,θ)
とする. 測地的極座標 x ^ 1 = ( r , θ ) x ^ 1 = ( r , θ ) hat(x)^(-1)=(r,theta)\hat{\boldsymbol{x}}^{-1}=(r, \theta)x^1=(r,θ) について, 次の事実が成り立つ.
補題 2.8.2 次式が成り立つ:
g ^ 11 = 1 , g ^ 12 = g ^ 21 = 0 , lim r + 0 g ^ 22 ( x ^ ( r , θ ) ) r 2 = 1 g ^ 11 = 1 , g ^ 12 = g ^ 21 = 0 , lim r + 0 g ^ 22 ( x ^ ( r , θ ) ) r 2 = 1 hat(g)_(11)=1,quad hat(g)_(12)= hat(g)_(21)=0,quadlim_(r rarr+0)( hat(g)_(22)(( hat(x))(r,theta)))/(r^(2))=1\hat{g}_{11}=1, \quad \hat{g}_{12}=\hat{g}_{21}=0, \quad \lim _{r \rightarrow+0} \frac{\hat{g}_{22}(\hat{\boldsymbol{x}}(r, \theta))}{r^{2}}=1g^11=1,g^12=g^21=0,limr+0g^22(x^(r,θ))r2=1
証明 ( x ^ r ) ( r , θ ) = c θ ( r ) x ^ r ( r , θ ) = c θ ( r ) ((del( hat(x)))/(del r))_((r,theta))=c_(theta)^(')(r)\left(\frac{\partial \hat{\boldsymbol{x}}}{\partial r}\right)_{(r, \theta)}=c_{\theta}^{\prime}(r)(x^r)(r,θ)=cθ(r) なので,
g ^ 11 ( x ^ ( r , θ ) ) = c θ ( r ) 2 = c θ ( 0 ) 2 = v θ 2 = 1 g ^ 11 ( x ^ ( r , θ ) ) = c θ ( r ) 2 = c θ ( 0 ) 2 = v θ 2 = 1 hat(g)_(11)( hat(x)(r,theta))=||c_(theta)^(')(r)||^(2)=||c_(theta)^(')(0)||^(2)=||v_(theta)||^(2)=1\hat{g}_{11}(\hat{\boldsymbol{x}}(r, \theta))=\left\|c_{\theta}^{\prime}(r)\right\|^{2}=\left\|c_{\theta}^{\prime}(0)\right\|^{2}=\left\|\boldsymbol{v}_{\theta}\right\|^{2}=1g^11(x^(r,θ))=cθ(r)2=cθ(0)2=vθ2=1
をえる。また,
g ^ 12 r = r ( x ^ r x ^ θ ) = 2 x ^ r 2 x ^ θ + x ^ r 2 x ^ r θ = 2 x ^ r 2 x ^ θ + 1 2 θ ( x ^ r x ^ r ) = 2 x ^ r 2 x ^ θ + 1 2 g ^ 11 θ = 2 x ^ r 2 x ^ θ g ^ 12 r = r x ^ r x ^ θ = 2 x ^ r 2 x ^ θ + x ^ r 2 x ^ r θ = 2 x ^ r 2 x ^ θ + 1 2 θ x ^ r x ^ r = 2 x ^ r 2 x ^ θ + 1 2 g ^ 11 θ = 2 x ^ r 2 x ^ θ {:[(del hat(g)_(12))/(del r)=(del)/(del r)((del( hat(x)))/(del r)*(del( hat(x)))/(del theta))=(del^(2)( hat(x)))/(delr^(2))*(del( hat(x)))/(del theta)+(del( hat(x)))/(del r)*(del^(2)( hat(x)))/(del r del theta)],[=(del^(2)( hat(x)))/(delr^(2))*(del( hat(x)))/(del theta)+(1)/(2)(del)/(del theta)((del( hat(x)))/(del r)*(del( hat(x)))/(del r))],[=(del^(2)( hat(x)))/(delr^(2))*(del( hat(x)))/(del theta)+(1)/(2)(del hat(g)_(11))/(del theta)=(del^(2)( hat(x)))/(delr^(2))*(del( hat(x)))/(del theta)]:}\begin{aligned} \frac{\partial \hat{g}_{12}}{\partial r}=\frac{\partial}{\partial r}\left(\frac{\partial \hat{\boldsymbol{x}}}{\partial r} \cdot \frac{\partial \hat{\boldsymbol{x}}}{\partial \theta}\right) & =\frac{\partial^{2} \hat{\boldsymbol{x}}}{\partial r^{2}} \cdot \frac{\partial \hat{\boldsymbol{x}}}{\partial \theta}+\frac{\partial \hat{\boldsymbol{x}}}{\partial r} \cdot \frac{\partial^{2} \hat{\boldsymbol{x}}}{\partial r \partial \theta} \\ & =\frac{\partial^{2} \hat{\boldsymbol{x}}}{\partial r^{2}} \cdot \frac{\partial \hat{\boldsymbol{x}}}{\partial \theta}+\frac{1}{2} \frac{\partial}{\partial \theta}\left(\frac{\partial \hat{\boldsymbol{x}}}{\partial r} \cdot \frac{\partial \hat{\boldsymbol{x}}}{\partial r}\right) \\ & =\frac{\partial^{2} \hat{\boldsymbol{x}}}{\partial r^{2}} \cdot \frac{\partial \hat{\boldsymbol{x}}}{\partial \theta}+\frac{1}{2} \frac{\partial \hat{g}_{11}}{\partial \theta}=\frac{\partial^{2} \hat{\boldsymbol{x}}}{\partial r^{2}} \cdot \frac{\partial \hat{\boldsymbol{x}}}{\partial \theta} \end{aligned}g^12r=r(x^rx^θ)=2x^r2x^θ+x^r2x^rθ=2x^r2x^θ+12θ(x^rx^r)=2x^r2x^θ+12g^11θ=2x^r2x^θ
が示される. c θ c θ c_(theta)c_{\theta}cθ S S SSS 上の測地線なので, 2 x ^ r 2 = c θ ( r ) 2 x ^ r 2 = c θ ( r ) (del^(2)( hat(x)))/(delr^(2))=c_(theta)^('')(r)\frac{\partial^{2} \hat{\boldsymbol{x}}}{\partial r^{2}}=c_{\theta}^{\prime \prime}(r)2x^r2=cθ(r) S S SSS の点 x ^ ( r , θ ) x ^ ( r , θ ) hat(x)(r,theta)\hat{\boldsymbol{x}}(r, \theta)x^(r,θ) にお ける法ベクトルになる。それゆえ, 2 x ^ r 2 x ^ θ = 0 2 x ^ r 2 x ^ θ = 0 (del^(2)( hat(x)))/(delr^(2))*(del( hat(x)))/(del theta)=0\frac{\partial^{2} \hat{\boldsymbol{x}}}{\partial r^{2}} \cdot \frac{\partial \hat{\boldsymbol{x}}}{\partial \theta}=02x^r2x^θ=0 となり, g ^ 12 r = 0 g ^ 12 r = 0 (del hat(g)_(12))/(del r)=0\frac{\partial \hat{g}_{12}}{\partial r}=0g^12r=0 が示さ れる。一方, lim r + 0 ( x ^ θ ) ( r , θ ) = 0 lim r + 0 x ^ θ ( r , θ ) = 0 lim_(r rarr+0)((del( hat(x)))/(del theta))_((r,theta))=0\lim _{r \rightarrow+0}\left(\frac{\partial \hat{\boldsymbol{x}}}{\partial \theta}\right)_{(r, \theta)}=\mathbf{0}limr+0(x^θ)(r,θ)=0, および
lim r + 0 2 x ^ r 2 = lim r + 0 c θ ( r ) = lim r + 0 h ( c θ ( r ) , c θ ( r ) ) < lim r + 0 2 x ^ r 2 = lim r + 0 c θ ( r ) = lim r + 0 h c θ ( r ) , c θ ( r ) < lim_(r rarr+0)||(del^(2)( hat(x)))/(delr^(2))||=lim_(r rarr+0)||c_(theta)^('')(r)||=lim_(r rarr+0)||h(c_(theta)^(')(r),c_(theta)^(')(r))|| < oo\lim _{r \rightarrow+0}\left\|\frac{\partial^{2} \hat{\boldsymbol{x}}}{\partial r^{2}}\right\|=\lim _{r \rightarrow+0}\left\|c_{\theta}^{\prime \prime}(r)\right\|=\lim _{r \rightarrow+0}\left\|h\left(c_{\theta}^{\prime}(r), c_{\theta}^{\prime}(r)\right)\right\|<\inftylimr+02x^r2=limr+0cθ(r)=limr+0h(cθ(r),cθ(r))<
が示されるので, lim r + 0 g ^ 12 ( x ( r , θ ) ) = 0 lim r + 0 g ^ 12 ( x ( r , θ ) ) = 0 lim_(r rarr+0) hat(g)_(12)(x(r,theta))=0\lim _{r \rightarrow+0} \hat{g}_{12}(\boldsymbol{x}(r, \theta))=0limr+0g^12(x(r,θ))=0 をえる. ここで, h h hhh S S SSS の第 2 基本形式を表す. したがって, g ^ 12 0 g ^ 12 0 hat(g)_(12)-=0\hat{g}_{12} \equiv 0g^120 が示される.
第 3 式は, ロピタルの定理を用いて次のように示される.
lim r + 0 g ^ 22 ( x ^ ( r , θ ) ) r 2 = lim r + 0 1 r 2 x ^ r θ x ^ θ = lim r + 0 ( 3 x ^ r 2 θ x ^ θ + 2 x ^ r θ 2 x ^ r θ ) = lim r + 0 ( θ ( 2 x ^ r 2 x ^ θ ) 2 x ^ r 2 2 x ^ θ 2 + 2 x ^ r θ 2 ) = lim r + 0 ( h ( r , r ) h ( θ , θ ) + 2 x ^ r θ 2 ) = h p ( v θ , v θ ) 0 + θ ( cos θ e 1 + sin θ e 2 ) 2 = sin θ e 1 + cos θ e 2 2 = 1 lim r + 0 g ^ 22 ( x ^ ( r , θ ) ) r 2 = lim r + 0 1 r 2 x ^ r θ x ^ θ = lim r + 0 3 x ^ r 2 θ x ^ θ + 2 x ^ r θ 2 x ^ r θ = lim r + 0 θ 2 x ^ r 2 x ^ θ 2 x ^ r 2 2 x ^ θ 2 + 2 x ^ r θ 2 = lim r + 0 h r , r h θ , θ + 2 x ^ r θ 2 = h p v θ , v θ 0 + θ cos θ e 1 + sin θ e 2 2 = sin θ e 1 + cos θ e 2 2 = 1 {:[lim_(r rarr+0)( hat(g)_(22)(( hat(x))(r,theta)))/(r^(2))=lim_(r rarr+0)(1)/(r)(del^(2)( hat(x)))/(del r del theta)*(del( hat(x)))/(del theta)=lim_(r rarr+0)((del^(3)( hat(x)))/(delr^(2)del theta)*(del( hat(x)))/(del theta)+(del^(2)( hat(x)))/(del r del theta)*(del^(2)( hat(x)))/(del r del theta))],[=lim_(r rarr+0)((del)/(del theta)((del^(2)( hat(x)))/(delr^(2))*(del( hat(x)))/(del theta))-(del^(2)( hat(x)))/(delr^(2))*(del^(2)( hat(x)))/(deltheta^(2))+||(del^(2)( hat(x)))/(del r del theta)||^(2))],[=lim_(r rarr+0)(-h((del)/(del r),(del)/(del r))h((del)/(del theta),(del)/(del theta))+||(del^(2)( hat(x)))/(del r del theta)||^(2))],[=-h_(p)(v_(theta),v_(theta))*0+||(del)/(del theta)(cos thetae_(1)+sin thetae_(2))||^(2)],[=||-sin thetae_(1)+cos thetae_(2)||^(2)=1]:}\begin{aligned} \lim _{r \rightarrow+0} \frac{\hat{g}_{22}(\hat{\boldsymbol{x}}(r, \theta))}{r^{2}} & =\lim _{r \rightarrow+0} \frac{1}{r} \frac{\partial^{2} \hat{\boldsymbol{x}}}{\partial r \partial \theta} \cdot \frac{\partial \hat{\boldsymbol{x}}}{\partial \theta}=\lim _{r \rightarrow+0}\left(\frac{\partial^{3} \hat{\boldsymbol{x}}}{\partial r^{2} \partial \theta} \cdot \frac{\partial \hat{\boldsymbol{x}}}{\partial \theta}+\frac{\partial^{2} \hat{\boldsymbol{x}}}{\partial r \partial \theta} \cdot \frac{\partial^{2} \hat{\boldsymbol{x}}}{\partial r \partial \theta}\right) \\ & =\lim _{r \rightarrow+0}\left(\frac{\partial}{\partial \theta}\left(\frac{\partial^{2} \hat{\boldsymbol{x}}}{\partial r^{2}} \cdot \frac{\partial \hat{\boldsymbol{x}}}{\partial \theta}\right)-\frac{\partial^{2} \hat{\boldsymbol{x}}}{\partial r^{2}} \cdot \frac{\partial^{2} \hat{\boldsymbol{x}}}{\partial \theta^{2}}+\left\|\frac{\partial^{2} \hat{\boldsymbol{x}}}{\partial r \partial \theta}\right\|^{2}\right) \\ & =\lim _{r \rightarrow+0}\left(-h\left(\frac{\partial}{\partial r}, \frac{\partial}{\partial r}\right) h\left(\frac{\partial}{\partial \theta}, \frac{\partial}{\partial \theta}\right)+\left\|\frac{\partial^{2} \hat{\boldsymbol{x}}}{\partial r \partial \theta}\right\|^{2}\right) \\ & =-h_{p}\left(\boldsymbol{v}_{\theta}, \boldsymbol{v}_{\theta}\right) \cdot 0+\left\|\frac{\partial}{\partial \theta}\left(\cos \theta \boldsymbol{e}_{1}+\sin \theta \boldsymbol{e}_{2}\right)\right\|^{2} \\ & =\left\|-\sin \theta \boldsymbol{e}_{1}+\cos \theta \boldsymbol{e}_{2}\right\|^{2}=1 \end{aligned}limr+0g^22(x^(r,θ))r2=limr+01r2x^rθx^θ=limr+0(3x^r2θx^θ+2x^rθ2x^rθ)=limr+0(θ(2x^r2x^θ)2x^r22x^θ2+2x^rθ2)=limr+0(h(r,r)h(θ,θ)+2x^rθ2)=hp(vθ,vθ)0+θ(cosθe1+sinθe2)2=sinθe1+cosθe22=1
この補題を用いて, 次の事実が導かれる。
補題 2.8.3 S S SSS のガウス曲率 K K KKK U U UUU 上で次のように記述される:
K = 1 g ^ 22 2 g ^ 22 r 2 K = 1 g ^ 22 2 g ^ 22 r 2 K=-(1)/(sqrt( hat(g)_(22)))(del^(2)sqrt( hat(g)_(22)))/(delr^(2))K=-\frac{1}{\sqrt{\hat{g}_{22}}} \frac{\partial^{2} \sqrt{\hat{g}_{22}}}{\partial r^{2}}K=1g^222g^22r2
証明 便宜上, ( u ^ 1 , u ^ 2 ) := ( r , θ ) u ^ 1 , u ^ 2 := ( r , θ ) ( hat(u)_(1), hat(u)_(2)):=(r,theta)\left(\hat{u}_{1}, \hat{u}_{2}\right):=(r, \theta)(u^1,u^2):=(r,θ) とおき, A , h A , h A,hA, hA,h の測地的極座標 ( u ^ 1 , u ^ 2 ) u ^ 1 , u ^ 2 ( hat(u)_(1), hat(u)_(2))\left(\hat{u}_{1}, \hat{u}_{2}\right)(u^1,u^2) に 関する成分を各々, A ^ i j , h ^ i j A ^ i j , h ^ i j hat(A)_(i)^(j), hat(h)_(ij)\hat{A}_{i}^{j}, \hat{h}_{i j}A^ij,h^ij で表し, 測地的極座標 ( u ^ 1 , u ^ 2 ) u ^ 1 , u ^ 2 ( hat(u)_(1), hat(u)_(2))\left(\hat{u}_{1}, \hat{u}_{2}\right)(u^1,u^2) に関するクリスト ッフェルの記号を { k i j } k i j {[k],[ij]}\left\{\begin{array}{c}k \\ i j\end{array}\right\}{kij} で表すことにする。hの定義より, ( h ^ i j ) = h ^ i j = ( hat(h)_(ij))=\left(\hat{h}_{i j}\right)=(h^ij)= ( A ^ i j ) ( g ^ i j ) A ^ i j g ^ i j ( hat(A)_(i)^(j))( hat(g)_(ij))\left(\hat{A}_{i}^{j}\right)\left(\hat{g}_{i j}\right)(A^ij)(g^ij) が成り立ち, それゆえ, S S SSS のガウス曲率 K K KKK は, U { p } U { p } U\\{p}U \backslash\{p\}U{p} 上で
(2.8.2) K = det ( A ^ i j ) = det ( h ^ i j ) det ( g ^ i j ) (2.8.2) K = det A ^ i j = det h ^ i j det g ^ i j {:(2.8.2)K=det( hat(A)_(i)^(j))=(det( hat(h)_(ij)))/(det( hat(g)_(ij))):}\begin{equation*} K=\operatorname{det}\left(\hat{A}_{i}^{j}\right)=\frac{\operatorname{det}\left(\hat{h}_{i j}\right)}{\operatorname{det}\left(\hat{g}_{i j}\right)} \tag{2.8.2} \end{equation*}(2.8.2)K=det(A^ij)=det(h^ij)det(g^ij)
によって与えられる. det ( h ^ i j ) det h ^ i j det( hat(h)_(ij))\operatorname{det}\left(\hat{h}_{i j}\right)det(h^ij) を計算しよう. ガウスの公式とワインガルテン の公式を用いて,
0 = ( 3 x ^ u ^ i u ^ j u ^ k 3 x ^ u ^ j u ^ i u ^ k ) x ^ u ^ l = ( u ^ i ( a ^ j u ^ k ) u ^ j ( u ^ i u ^ k ) ) u ^ l h ^ j k h ^ i l + h ^ i k h ^ j l = a = 1 n ( u ^ i { a j k } u ^ j { a i k } + b = 1 n { b j k } { a i b } b = 1 n { b i k } { a j b } ) g ^ a l h ^ j k h ^ i l + h ^ i k h ^ j l 0 = 3 x ^ u ^ i u ^ j u ^ k 3 x ^ u ^ j u ^ i u ^ k x ^ u ^ l = u ^ i a ^ j u ^ k u ^ j u ^ i u ^ k u ^ l h ^ j k h ^ i l + h ^ i k h ^ j l = a = 1 n u ^ i a j k u ^ j a i k + b = 1 n b j k a i b b = 1 n b i k a j b g ^ a l h ^ j k h ^ i l + h ^ i k h ^ j l {:[0=((del^(3)( hat(x)))/(del hat(u)_(i)del hat(u)_(j)del hat(u)_(k))-(del^(3)( hat(x)))/(del hat(u)_(j)del hat(u)_(i)del hat(u)_(k)))*(del( hat(x)))/(del hat(u)_(l))],[=(grad_((del)/(del hat(u)_(i)))(grad_((del)/(del hat(a)_(j)))(del)/(del hat(u)_(k)))-grad_((del)/(del hat(u)_(j)))(grad_((del)/(del hat(u)_(i)))(del)/(del hat(u)_(k))))*(del)/(del hat(u)_(l))- hat(h)_(jk) hat(h)_(il)+ hat(h)_(ik) hat(h)_(jl)],[=sum_(a=1)^(n)((del)/(del hat(u)_(i)){[a],[jk]}-(del)/(del hat(u)_(j)){[a],[ik]}+sum_(b=1)^(n){[b],[jk]}{[a],[ib]}:}],[{: quad-sum_(b=1)^(n){[b],[ik]}{[a],[jb]}) hat(g)_(al)- hat(h)_(jk) hat(h)_(il)+ hat(h)_(ik) hat(h)_(jl)]:}\begin{aligned} 0 & =\left(\frac{\partial^{3} \hat{\boldsymbol{x}}}{\partial \hat{u}_{i} \partial \hat{u}_{j} \partial \hat{u}_{k}}-\frac{\partial^{3} \hat{\boldsymbol{x}}}{\partial \hat{u}_{j} \partial \hat{u}_{i} \partial \hat{u}_{k}}\right) \cdot \frac{\partial \hat{\boldsymbol{x}}}{\partial \hat{u}_{l}} \\ & =\left(\nabla_{\frac{\partial}{\partial \hat{u}_{i}}}\left(\nabla_{\frac{\partial}{\partial \hat{a}_{j}}} \frac{\partial}{\partial \hat{u}_{k}}\right)-\nabla_{\frac{\partial}{\partial \hat{u}_{j}}}\left(\nabla_{\frac{\partial}{\partial \hat{u}_{i}}} \frac{\partial}{\partial \hat{u}_{k}}\right)\right) \cdot \frac{\partial}{\partial \hat{u}_{l}}-\hat{h}_{j k} \hat{h}_{i l}+\hat{h}_{i k} \hat{h}_{j l} \\ = & \sum_{a=1}^{n}\left(\frac{\partial}{\partial \hat{u}_{i}}\left\{\begin{array}{c} a \\ j k \end{array}\right\}-\frac{\partial}{\partial \hat{u}_{j}}\left\{\begin{array}{c} a \\ i k \end{array}\right\}+\sum_{b=1}^{n}\left\{\begin{array}{c} b \\ j k \end{array}\right\}\left\{\begin{array}{c} a \\ i b \end{array}\right\}\right. \\ & \left.\quad-\sum_{b=1}^{n}\left\{\begin{array}{c} b \\ i k \end{array}\right\}\left\{\begin{array}{c} a \\ j b \end{array}\right\}\right) \hat{g}_{a l}-\hat{h}_{j k} \hat{h}_{i l}+\hat{h}_{i k} \hat{h}_{j l} \end{aligned}0=(3x^u^iu^ju^k3x^u^ju^iu^k)x^u^l=(u^i(a^ju^k)u^j(u^iu^k))u^lh^jkh^il+h^ikh^jl=a=1n(u^i{ajk}u^j{aik}+b=1n{bjk}{aib}b=1n{bik}{ajb})g^alh^jkh^il+h^ikh^jl
つまり,
h ^ j k h ^ i l h ^ i k h ^ j l (2.8.3) = a = 1 n ( u ^ i { a j k } u ^ j { a i k } + b = 1 n { b j k } { a i b } b = 1 n { b i k } { a j b } ) g ^ a l h ^ j k h ^ i l h ^ i k h ^ j l (2.8.3) = a = 1 n u ^ i a j k u ^ j a i k + b = 1 n b j k a i b b = 1 n b i k a j b g ^ a l {:[ hat(h)_(jk) hat(h)_(il)- hat(h)_(ik) hat(h)_(jl)],[(2.8.3)=sum_(a=1)^(n)((del)/(del hat(u)_(i)){[a],[jk]}-(del)/(del hat(u)_(j)){[a],[ik]}+sum_(b=1)^(n){[b],[jk]}{[a],[ib]}:}],[{:-sum_(b=1)^(n){[b],[ik]}{[a],[jb]}) hat(g)_(al)]:}\begin{gather*} \hat{h}_{j k} \hat{h}_{i l}-\hat{h}_{i k} \hat{h}_{j l} \\ =\sum_{a=1}^{n}\left(\frac{\partial}{\partial \hat{u}_{i}}\left\{\begin{array}{c} a \\ j k \end{array}\right\}-\frac{\partial}{\partial \hat{u}_{j}}\left\{\begin{array}{l} a \\ i k \end{array}\right\}+\sum_{b=1}^{n}\left\{\begin{array}{c} b \\ j k \end{array}\right\}\left\{\begin{array}{c} a \\ i b \end{array}\right\}\right. \tag{2.8.3}\\ \left.-\sum_{b=1}^{n}\left\{\begin{array}{c} b \\ i k \end{array}\right\}\left\{\begin{array}{c} a \\ j b \end{array}\right\}\right) \hat{g}_{a l} \end{gather*}h^jkh^ilh^ikh^jl(2.8.3)=a=1n(u^i{ajk}u^j{aik}+b=1n{bjk}{aib}b=1n{bik}{ajb})g^al
が示される。一方, 補題 2.8 .2 より
g ^ 11 = 1 , g ^ 12 = g ^ 21 = 0 , g ^ 22 = 1 g ^ 22 g ^ 11 = 1 , g ^ 12 = g ^ 21 = 0 , g ^ 22 = 1 g ^ 22 hat(g)^(11)=1,quad hat(g)^(12)= hat(g)^(21)=0,quad hat(g)^(22)=(1)/( hat(g)_(22))\hat{g}^{11}=1, \quad \hat{g}^{12}=\hat{g}^{21}=0, \quad \hat{g}^{22}=\frac{1}{\hat{g}_{22}}g^11=1,g^12=g^21=0,g^22=1g^22
となるので,
{ 1 11 } = { 2 11 } = { 1 12 } = { 1 21 } = 0 (2.8.4) { 2 12 } = { 2 21 } = 1 2 u ^ 1 log g ^ 22 { 1 22 } = 1 2 g ^ 22 u ^ 1 , { 2 22 } = 1 2 u ^ 2 log g ^ 22 1 11 = 2 11 = 1 12 = 1 21 = 0 (2.8.4) 2 12 = 2 21 = 1 2 u ^ 1 log g ^ 22 1 22 = 1 2 g ^ 22 u ^ 1 , 2 22 = 1 2 u ^ 2 log g ^ 22 {:[{[1],[11]}={[2],[11]}={[1],[12]}={[1],[21]}=0],[(2.8.4){[2],[12]}={[2],[21]}=(1)/(2)(del)/(del hat(u)_(1))log hat(g)_(22)],[{[1],[22]}=-(1)/(2)(del hat(g)_(22))/(del hat(u)_(1))","quad{[2],[22]}=(1)/(2)(del)/(del hat(u)_(2))log hat(g)_(22)]:}\begin{align*} & \left\{\begin{array}{c} 1 \\ 11 \end{array}\right\}=\left\{\begin{array}{c} 2 \\ 11 \end{array}\right\}=\left\{\begin{array}{c} 1 \\ 12 \end{array}\right\}=\left\{\begin{array}{c} 1 \\ 21 \end{array}\right\}=0 \\ & \left\{\begin{array}{c} 2 \\ 12 \end{array}\right\}=\left\{\begin{array}{c} 2 \\ 21 \end{array}\right\}=\frac{1}{2} \frac{\partial}{\partial \hat{u}_{1}} \log \hat{g}_{22} \tag{2.8.4}\\ & \left\{\begin{array}{c} 1 \\ 22 \end{array}\right\}=-\frac{1}{2} \frac{\partial \hat{g}_{22}}{\partial \hat{u}_{1}}, \quad\left\{\begin{array}{c} 2 \\ 22 \end{array}\right\}=\frac{1}{2} \frac{\partial}{\partial \hat{u}_{2}} \log \hat{g}_{22} \end{align*}{111}={211}={112}={121}=0(2.8.4){212}={221}=12u^1logg^22{122}=12g^22u^1,{222}=12u^2logg^22
をえる. 式 (2.8.3) と式 (2.8.4) から,
det ( h ^ i j ) = h ^ 11 h ^ 22 h ^ 12 2 = g ^ 22 2 g ^ 22 u ^ 1 2 det h ^ i j = h ^ 11 h ^ 22 h ^ 12 2 = g ^ 22 2 g ^ 22 u ^ 1 2 det( hat(h)_(ij))= hat(h)_(11) hat(h)_(22)- hat(h)_(12)^(2)=-sqrt( hat(g)_(22))(del^(2)sqrt( hat(g)_(22)))/(del hat(u)_(1)^(2))\operatorname{det}\left(\hat{h}_{i j}\right)=\hat{h}_{11} \hat{h}_{22}-\hat{h}_{12}^{2}=-\sqrt{\hat{g}_{22}} \frac{\partial^{2} \sqrt{\hat{g}_{22}}}{\partial \hat{u}_{1}^{2}}det(h^ij)=h^11h^22h^122=g^222g^22u^12
が示される. したがって,
K = det ( h ^ i j ) det ( g ^ i j ) = 1 g ^ 22 2 g ^ 22 u ^ 1 2 K = det h ^ i j det g ^ i j = 1 g ^ 22 2 g ^ 22 u ^ 1 2 K=(det( hat(h)_(ij)))/(det( hat(g)_(ij)))=-(1)/(sqrt( hat(g)_(22)))(del^(2)sqrt( hat(g)_(22)))/(del hat(u)_(1)^(2))K=\frac{\operatorname{det}\left(\hat{h}_{i j}\right)}{\operatorname{det}\left(\hat{g}_{i j}\right)}=-\frac{1}{\sqrt{\hat{g}_{22}}} \frac{\partial^{2} \sqrt{\hat{g}_{22}}}{\partial \hat{u}_{1}^{2}}K=det(h^ij)det(g^ij)=1g^222g^22u^12
をえる.
U { p } U { p } U\\{p}U \backslash\{p\}U{p} 上の弧長でパラメーター付けられた C r C r C^(r)C^{r}Cr 曲線の測地的曲率について,次の事実が成り立つ.
補題 2.8.4 c : I U { p } c : I U { p } c:I rarr U\\{p}c: I \rightarrow U \backslash\{p\}c:IU{p} を弧長でパラメーター付けられた C r C r C^(r)C^{r}Cr 曲線で, c ( s ) c ( s ) vec(c)^(')(s)\vec{c}^{\prime}(s)c(s) c ( s ) c ( s ) c(s)c(s)c(s) を通る r r rrr 曲線とのなす角を ψ ( s ) ψ ( s ) psi(s)\psi(s)ψ(s) とする. このとき, c c ccc の測地的曲率 κ κ kappa\kappaκ は次のように記述される:
(2.8.5) κ ( s ) = ψ ( s ) + ( g ^ 22 r ) c ( s ) ( θ c ) ( s ) (2.8.5) κ ( s ) = ψ ( s ) + g ^ 22 r c ( s ) ( θ c ) ( s ) {:(2.8.5)kappa(s)=psi^(')(s)+((delsqrt( hat(g)_(22)))/(del r))_(c(s))*(theta@c)^(')(s):}\begin{equation*} \kappa(s)=\psi^{\prime}(s)+\left(\frac{\partial \sqrt{\hat{g}_{22}}}{\partial r}\right)_{c(s)} \cdot(\theta \circ c)^{\prime}(s) \tag{2.8.5} \end{equation*}(2.8.5)κ(s)=ψ(s)+(g^22r)c(s)(θc)(s)
証明 便宜上, ( u ^ 1 , u ^ 2 ) := ( r , θ ) u ^ 1 , u ^ 2 := ( r , θ ) ( hat(u)_(1), hat(u)_(2)):=(r,theta)\left(\hat{u}_{1}, \hat{u}_{2}\right):=(r, \theta)(u^1,u^2):=(r,θ) とおく. このとき,
c ( s ) = x ^ ( u ^ 1 ( c ( s ) ) , u ^ 2 ( c ( s ) ) ) c ( s ) = x ^ u ^ 1 ( c ( s ) ) , u ^ 2 ( c ( s ) ) c(s)= hat(x)( hat(u)_(1)(c(s)), hat(u)_(2)(c(s)))c(s)=\hat{\boldsymbol{x}}\left(\hat{u}_{1}(c(s)), \hat{u}_{2}(c(s))\right)c(s)=x^(u^1(c(s)),u^2(c(s)))
となる. 命題 2.4 .5 の式 (2.4.6) によれば,
c c = i = 1 2 ( d 2 ( u ^ i c ) d s 2 + j = 1 2 k = 1 2 d ( u ^ j c ) d s d ( u ^ k c ) d s { i j k } c ( s ) ) ( u ^ i ) c ( s ) c c = i = 1 2 d 2 u ^ i c d s 2 + j = 1 2 k = 1 2 d u ^ j c d s d u ^ k c d s i j k c ( s ) u ^ i c ( s ) grad_(c^('))c^(')=sum_(i=1)^(2)((d^(2)( hat(u)_(i)@c))/(ds^(2))+sum_(j=1)^(2)sum_(k=1)^(2)(d( hat(u)_(j)@c))/(ds)(d( hat(u)_(k)@c))/(ds){[i],[jk]}_(c(s)))((del)/(del hat(u)_(i)))_(c(s))\nabla_{c^{\prime}} c^{\prime}=\sum_{i=1}^{2}\left(\frac{d^{2}\left(\hat{u}_{i} \circ c\right)}{d s^{2}}+\sum_{j=1}^{2} \sum_{k=1}^{2} \frac{d\left(\hat{u}_{j} \circ c\right)}{d s} \frac{d\left(\hat{u}_{k} \circ c\right)}{d s}\left\{\begin{array}{c} i \\ j k \end{array}\right\}_{c(s)}\right)\left(\frac{\partial}{\partial \hat{u}_{i}}\right)_{c(s)}cc=i=12(d2(u^ic)ds2+j=12k=12d(u^jc)dsd(u^kc)ds{ijk}c(s))(u^i)c(s)
が成り立つ. 一方, u ^ 1 , u ^ 2 u ^ 1 , u ^ 2 hat(u)_(1), hat(u)_(2)\hat{u}_{1}, \hat{u}_{2}u^1,u^2, および ψ ψ psi\psiψ の定義より,
d u ^ 1 ( c ( s ) ) d s = ( r c ) ( s ) = cos ψ ( s ) , d u ^ 2 ( c ( s ) ) d s = ( θ c ) ( s ) = sin ψ ( s ) g ^ 22 ( c ( s ) ) d u ^ 1 ( c ( s ) ) d s = ( r c ) ( s ) = cos ψ ( s ) , d u ^ 2 ( c ( s ) ) d s = ( θ c ) ( s ) = sin ψ ( s ) g ^ 22 ( c ( s ) ) (d hat(u)_(1)(c(s)))/(ds)=(r@c)^(')(s)=cos psi(s),quad(d hat(u)_(2)(c(s)))/(ds)=(theta@c)^(')(s)=(sin psi(s))/(sqrt( hat(g)_(22)(c(s))))\frac{d \hat{u}_{1}(c(s))}{d s}=(r \circ c)^{\prime}(s)=\cos \psi(s), \quad \frac{d \hat{u}_{2}(c(s))}{d s}=(\theta \circ c)^{\prime}(s)=\frac{\sin \psi(s)}{\sqrt{\hat{g}_{22}(c(s))}}du^1(c(s))ds=(rc)(s)=cosψ(s),du^2(c(s))ds=(θc)(s)=sinψ(s)g^22(c(s))
が示される(図 2.8 .1 を参照)。これらの関係式と式 (2.8.4)を用いて, C c C c grad_(C^('))c^(')\nabla_{C^{\prime}} c^{\prime}Cc を計算することにより, c c ccc の測地的曲率 κ ( s ) κ ( s ) kappa(s)\kappa(s)κ(s) が式 ( 2.8 .5 ) ( 2.8 .5 ) (2.8.5)(2.8 .5)(2.8.5) によって与えられる ことが導かれる。
これらの補題と定理 2.7 .1 を用いて定理 2.8 .1 を示そう。
定理 2.8.1 の証明 まず, S = x ( E ) S = x ( E ) S^(')=x(E)S^{\prime}=\boldsymbol{x}(E)S=x(E) がある測地的極座標近傍 U U UUU に含まれ る場合を考えよう. c i ( s ) c i ( s ) c_(i)(s)c_{i}(s)ci(s) を通る r r rrr 曲線と曲線 c i c i c_(i)c_{i}ci の点 c i ( s ) c i ( s ) c_(i)(s)c_{i}(s)ci(s) におけるなす角を
図 2.8.1 2 種類の偏角 θ ( c ( s ) ) θ ( c ( s ) ) theta(c(s))\theta(c(s))θ(c(s)) ψ ( s ) ψ ( s ) psi(s)\psi(s)ψ(s) の様子
ψ i ( s ) ψ i ( s ) psi_(i)(s)\psi_{i}(s)ψi(s) と表し, ρ := g ^ 22 ρ := g ^ 22 rho:=sqrt( hat(g)_(22))\rho:=\sqrt{\hat{g}_{22}}ρ:=g^22 とおく. このとき, 補題 2.8 .4 を用いて,
i = 1 m s i 1 s i κ i ( s ) d s = i = 1 m s i 1 s i ( ψ i ( s ) + ( ρ r ) c i ( s ) ( θ c i ) ( s ) ) d s (2.8.6) = i = 1 m s i 1 s i ψ i ( s ) d s + c ρ r d θ i = 1 m s i 1 s i κ i ( s ) d s = i = 1 m s i 1 s i ψ i ( s ) + ρ r c i ( s ) θ c i ( s ) d s (2.8.6) = i = 1 m s i 1 s i ψ i ( s ) d s + c ρ r d θ {:[sum_(i=1)^(m)int_(s_(i-1))^(s_(i))kappa^(i)(s)ds=sum_(i=1)^(m)int_(s_(i-1))^(s_(i))(psi_(i)^(')(s)+((del rho)/(del r))_(c_(i)(s))(theta@c_(i))^(')(s))ds],[(2.8.6)=sum_(i=1)^(m)int_(s_(i-1))^(s_(i))psi_(i)^(')(s)ds+int_(c)(del rho)/(del r)d theta]:}\begin{align*} & \sum_{i=1}^{m} \int_{s_{i-1}}^{s_{i}} \kappa^{i}(s) d s=\sum_{i=1}^{m} \int_{s_{i-1}}^{s_{i}}\left(\psi_{i}^{\prime}(s)+\left(\frac{\partial \rho}{\partial r}\right)_{c_{i}(s)}\left(\theta \circ c_{i}\right)^{\prime}(s)\right) d s \\ = & \sum_{i=1}^{m} \int_{s_{i-1}}^{s_{i}} \psi_{i}^{\prime}(s) d s+\int_{c} \frac{\partial \rho}{\partial r} d \theta \tag{2.8.6} \end{align*}i=1msi1siκi(s)ds=i=1msi1si(ψi(s)+(ρr)ci(s)(θci)(s))ds(2.8.6)=i=1msi1siψi(s)ds+cρrdθ
が示される. この最終辺の第 2 項目は, 補題 2.8 .2 , 2.8 .3 2.8 .2 , 2.8 .3 2.8.2,2.8.32.8 .2,2.8 .32.8.2,2.8.3 と定理 2.7 .1 を用い て,次のように変形される:
(2.8.7) c ρ r d θ = S d ( ρ r d θ ) = S 2 ρ r 2 d r d θ = S K d A (2.8.7) c ρ r d θ = S d ρ r d θ = S 2 ρ r 2 d r d θ = S K d A {:(2.8.7)int_(c)(del rho)/(del r)d theta=int_(S^('))d((del rho)/(del r)d theta)=int_(S^('))(del^(2)rho)/(delr^(2))dr^^d theta=-int_(S^('))KdA:}\begin{equation*} \int_{c} \frac{\partial \rho}{\partial r} d \theta=\int_{S^{\prime}} d\left(\frac{\partial \rho}{\partial r} d \theta\right)=\int_{S^{\prime}} \frac{\partial^{2} \rho}{\partial r^{2}} d r \wedge d \theta=-\int_{S^{\prime}} K d A \tag{2.8.7} \end{equation*}(2.8.7)cρrdθ=Sd(ρrdθ)=S2ρr2drdθ=SKdA
式 (2.8.6) の最終辺の第 1 項目を計算しよう. c c ccc k k kkk 個の角を滑らかに丸めて えられる C r C r C^(r)C^{r}Cr 級閉曲線の族 { c ^ i } i = 1 c ^ i i = 1 { hat(c)^(i)}_(i=1)^(oo)\left\{\hat{c}^{i}\right\}_{i=1}^{\infty}{c^i}i=1 で, 次の条件 ( ) ( ) (**)(*)() を満たすようなものをと る:
(*) ある 0 に収束する正の数列 { ε i } i = 1 ε i i = 1 {epsi_(i)}_(i=1)^(oo)\left\{\varepsilon_{i}\right\}_{i=1}^{\infty}{εi}i=1 に対し, 次の (i) と (ii) が成り立つ:
(i) c ^ i ( s ) = c ( s ) ( s [ 0 , l ] j = 0 m 1 ( s j ε i , s j + ε i ) ) c ^ i ( s ) = c ( s ) s [ 0 , l ] j = 0 m 1 s j ε i , s j + ε i quad hat(c)^(i)(s)=c(s)quad(s in[0,l]\\prod_(j=0)^(m-1)(s_(j)-epsi_(i),s_(j)+epsi_(i)))\quad \hat{c}^{i}(s)=c(s) \quad\left(s \in[0, l] \backslash \prod_{j=0}^{m-1}\left(s_{j}-\varepsilon_{i}, s_{j}+\varepsilon_{i}\right)\right)c^i(s)=c(s)(s[0,l]j=0m1(sjεi,sj+εi)),
(ii) lim i sup { c ^ i ( s ) c ( s ) s m j = 1 ( s j ε i , s j + ε i ) } = 0 lim i sup c ^ i ( s ) c ( s ) s m j = 1 s j ε i , s j + ε i = 0 lim_(i rarr oo)s u p{|| vec(hat(c)^(i))(s)-( vec(c))(s)||∣s inm_(j=1)(s_(j)-epsi_(i),s_(j)+epsi_(i))}=0\lim _{i \rightarrow \infty} \sup \left\{\left\|\overrightarrow{\hat{c}^{i}}(s)-\vec{c}(s)\right\| \mid s \in \underset{j=1}{m}\left(s_{j}-\varepsilon_{i}, s_{j}+\varepsilon_{i}\right)\right\}=0limisup{c^i(s)c(s)smj=1(sjεi,sj+εi)}=0.
c ^ i ( s ) c ^ i ( s ) hat(c)^(i)(s)\hat{c}^{i}(s)c^i(s) を通る r r rrr 曲線と閉曲線 c ^ i c ^ i hat(c)^(i)\hat{c}^{i}c^i の点 c ^ i ( s ) c ^ i ( s ) hat(c)^(i)(s)\hat{c}^{i}(s)c^i(s) におけるなす角を ψ ^ i ( s ) ψ ^ i ( s ) hat(psi)^(i)(s)\hat{\psi}^{i}(s)ψ^i(s) とする. この C r C r C^(r)C^{r}Cr 級閉曲線の族を用いて,
j = 1 m s j 1 s j ψ j ( s ) d s = lim i j = 1 m s j 1 + ε i s j ε i ψ j ( s ) d s (2.8.8) = lim i ( c ^ i ( ψ ^ i ) ( s ) d s j = 1 s j ε i s j + ε i ( ψ ^ i ) ( s ) d s ) = 2 π j = 1 m ( π θ j ) j = 1 m s j 1 s j ψ j ( s ) d s = lim i j = 1 m s j 1 + ε i s j ε i ψ j ( s ) d s (2.8.8) = lim i c ^ i ψ ^ i ( s ) d s j = 1 s j ε i s j + ε i ψ ^ i ( s ) d s = 2 π j = 1 m π θ j {:[sum_(j=1)^(m)int_(s_(j-1))^(s_(j))psi_(j)^(')(s)ds=lim_(i rarr oo)sum_(j=1)^(m)int_(s_(j-1)+epsi_(i))^(s_(j)-epsi_(i))psi_(j)^(')(s)ds],[(2.8.8)=lim_(i rarr oo)(int_( hat(c)_(i))( hat(psi)^(i))^(')(s)ds-sum_(j=1)int_(s_(j)-epsi_(i))^(s_(j)+epsi_(i))( hat(psi)^(i))^(')(s)ds)],[=2pi-sum_(j=1)^(m)(pi-theta_(j))]:}\begin{align*} & \sum_{j=1}^{m} \int_{s_{j-1}}^{s_{j}} \psi_{j}^{\prime}(s) d s=\lim _{i \rightarrow \infty} \sum_{j=1}^{m} \int_{s_{j-1}+\varepsilon_{i}}^{s_{j}-\varepsilon_{i}} \psi_{j}^{\prime}(s) d s \\ = & \lim _{i \rightarrow \infty}\left(\int_{\hat{c}_{i}}\left(\hat{\psi}^{i}\right)^{\prime}(s) d s-\sum_{j=1} \int_{s_{j}-\varepsilon_{i}}^{s_{j}+\varepsilon_{i}}\left(\hat{\psi}^{i}\right)^{\prime}(s) d s\right) \tag{2.8.8}\\ = & 2 \pi-\sum_{j=1}^{m}\left(\pi-\theta_{j}\right) \end{align*}j=1msj1sjψj(s)ds=limij=1msj1+εisjεiψj(s)ds(2.8.8)=limi(c^i(ψ^i)(s)dsj=1sjεisj+εi(ψ^i)(s)ds)=2πj=1m(πθj)
が示される。式 (2.8.7), (2.8.8) を式 (2.8.6) に代入して, 求めるべき関係式が 導かれる。
S S S^(')S^{\prime}S がある測地的極座標近傍 U U UUU に含まれない場合は, S S S^(')S^{\prime}S の三角形分割 S = S = S^(')=S^{\prime}=S= S 1 S l S 1 S l S_(1)^(')uu cdots uuS_(l)^(')S_{1}^{\prime} \cup \cdots \cup S_{l}^{\prime}S1Sl で, 各三角形 S i S i S_(i)^(')S_{i}^{\prime}Si がその内点(つまり, S i S i S i S i S_(i)^(')\\delS_(i)^(')S_{i}^{\prime} \backslash \partial S_{i}^{\prime}SiSi に属する点)を 中心とするある測地的極座標近傍に含まれるようなものをとる。三角形 S i S i S_(i)^(')S_{i}^{\prime}Si の 3 つの辺が弧長でパラメーター付けられた C r C r C^(r)C^{r}Cr 曲線 c ^ i c ^ i hat(c)_(i)\hat{c}_{i}c^i によって与えられている とする。 c ^ i c ^ i hat(c)_(i)\hat{c}_{i}c^i の 3 個の頂点を c ^ i ( s i j ) ( j = 1 , 2 , 3 ) c ^ i s i j ( j = 1 , 2 , 3 ) hat(c)_(i)(s_(ij))(j=1,2,3)\hat{c}_{i}\left(s_{i j}\right)(j=1,2,3)c^i(sij)(j=1,2,3) とし, S i S i S_(i)^(')S_{i}^{\prime}Si の境界上の点 c ^ i ( s i j ) c ^ i s i j hat(c)_(i)(s_(ij))\hat{c}_{i}\left(s_{i j}\right)c^i(sij) における内角を θ i j ( j = 1 , 2 , 3 ) θ i j ( j = 1 , 2 , 3 ) theta_(ij)(j=1,2,3)\theta_{i j}(j=1,2,3)θij(j=1,2,3) とし, c ^ i j := c ^ i | [ s i , j 1 , s i j ] c ^ i j := c ^ i s i , j 1 , s i j hat(c)_(ij):= hat(c)_(i)|_([s_(i,j-1),s_(ij)])\hat{c}_{i j}:=\left.\hat{c}_{i}\right|_{\left[s_{i, j-1}, s_{i j}\right]}c^ij:=c^i|[si,j1,sij] の測地的曲率を κ i j κ i j kappa^(ij)\kappa^{i j}κij とする。このとき、すでに示した事実から,
S K d A = i = 1 l S i K d A (2.8.9) = i = 1 l ( 2 π ( j = 1 3 s i , j 1 s i j κ i j ( s ) d s + j = 1 3 ( π θ i j ) ) ) = π l i = 1 l j = 1 3 s i , j 1 s i j κ i j ( s ) d s + i = 1 l j = 1 3 θ i j S K d A = i = 1 l S i K d A (2.8.9) = i = 1 l 2 π j = 1 3 s i , j 1 s i j κ i j ( s ) d s + j = 1 3 π θ i j = π l i = 1 l j = 1 3 s i , j 1 s i j κ i j ( s ) d s + i = 1 l j = 1 3 θ i j {:[int_(S^('))KdA=sum_(i=1)^(l)int_(S_(i)^('))KdA],[(2.8.9)=sum_(i=1)^(l)(2pi-(sum_(j=1)^(3)int_(s_(i,j-1))^(s_(ij))kappa^(ij)(s)ds+sum_(j=1)^(3)(pi-theta_(ij))))],[=-pi l-sum_(i=1)^(l)sum_(j=1)^(3)int_(s_(i,j-1))^(s_(ij))kappa^(ij)(s)ds+sum_(i=1)^(l)sum_(j=1)^(3)theta_(ij)]:}\begin{align*} & \int_{S^{\prime}} K d A=\sum_{i=1}^{l} \int_{S_{i}^{\prime}} K d A \\ = & \sum_{i=1}^{l}\left(2 \pi-\left(\sum_{j=1}^{3} \int_{s_{i, j-1}}^{s_{i j}} \kappa^{i j}(s) d s+\sum_{j=1}^{3}\left(\pi-\theta_{i j}\right)\right)\right) \tag{2.8.9}\\ = & -\pi l-\sum_{i=1}^{l} \sum_{j=1}^{3} \int_{s_{i, j-1}}^{s_{i j}} \kappa^{i j}(s) d s+\sum_{i=1}^{l} \sum_{j=1}^{3} \theta_{i j} \end{align*}SKdA=i=1lSiKdA(2.8.9)=i=1l(2π(j=13si,j1sijκij(s)ds+j=13(πθij)))=πli=1lj=13si,j1sijκij(s)ds+i=1lj=13θij
が示される. c i j ( [ s i , j 1 , s i j ] ) = c i j ( [ s i j 1 , s i j ] ) c i j s i , j 1 , s i j = c i j s i j 1 , s i j c_(ij)([s_(i,j-1),s_(ij)])=c_(i^(')j^('))([s_(i^(')j^(')-1),s_(i^(')j^('))])c_{i j}\left(\left[s_{i, j-1}, s_{i j}\right]\right)=c_{i^{\prime} j^{\prime}}\left(\left[s_{i^{\prime} j^{\prime}-1}, s_{i^{\prime} j^{\prime}}\right]\right)cij([si,j1,sij])=cij([sij1,sij]) のとき, c i j | [ s i , j 1 , s i j ] c i j s i , j 1 , s i j c_(ij)|_([s_(i,j-1),s_(ij)])\left.c_{i j}\right|_{\left[s_{i, j-1}, s_{i j}\right]}cij|[si,j1,sij] c i j | [ s i j 1 , s i j ] c i j s i j 1 , s i j c_(i^(')j^('))|_([s_(i^(')j^(')-1),s_(i^(')j^('))])\left.c_{i^{\prime} j^{\prime}}\right|_{\left[s_{i^{\prime} j^{\prime}-1}, s_{i^{\prime} j^{\prime}}\right]}cij|[sij1,sij] は逆向きなので,
s i j 1 s i j κ i j d s = s i j 1 s i j κ i j d s s i j 1 s i j κ i j d s = s i j 1 s i j κ i j d s int_(s_(ij-1))^(s_(ij))kappa^(ij)ds=-int_(s_(i^(')j^(')-1))^(s_(i^(')j^(')))kappa^(i^(')j^('))ds\int_{s_{i j-1}}^{s_{i j}} \kappa^{i j} d s=-\int_{s_{i^{\prime} j^{\prime}-1}}^{s_{i^{\prime} j^{\prime}}} \kappa^{i^{\prime} j^{\prime}} d ssij1sijκijds=sij1sijκijds
となり, それゆえ
(2.8.10) i = 1 l j = 1 3 s i , j 1 s i j κ i j ( s ) d s = i = 1 m s i 1 s i κ i ( s ) d s (2.8.10) i = 1 l j = 1 3 s i , j 1 s i j κ i j ( s ) d s = i = 1 m s i 1 s i κ i ( s ) d s {:(2.8.10)sum_(i=1)^(l)sum_(j=1)^(3)int_(s_(i,j-1))^(s_(ij))kappa^(ij)(s)ds=sum_(i=1)^(m)int_(s_(i-1))^(s_(i))kappa^(i)(s)ds:}\begin{equation*} \sum_{i=1}^{l} \sum_{j=1}^{3} \int_{s_{i, j-1}}^{s_{i j}} \kappa^{i j}(s) d s=\sum_{i=1}^{m} \int_{s_{i-1}}^{s_{i}} \kappa^{i}(s) d s \tag{2.8.10} \end{equation*}(2.8.10)i=1lj=13si,j1sijκij(s)ds=i=1msi1siκi(s)ds
が示される. また,分割 S = S 1 S l S = S 1 S l S^(')=S_(1)^(')uu cdots uuS_(l)^(')S^{\prime}=S_{1}^{\prime} \cup \cdots \cup S_{l}^{\prime}S=S1Sl における頂点で境界 S S delS^(')\partial S^{\prime}S 上にない ものの個数を m m m^(')m^{\prime}m とするとき,
(2.8.11) i = 1 l j = 1 3 θ i j = 2 m π + i = 1 m θ i (2.8.11) i = 1 l j = 1 3 θ i j = 2 m π + i = 1 m θ i {:(2.8.11)sum_(i=1)^(l)sum_(j=1)^(3)theta_(ij)=2m^(')pi+sum_(i=1)^(m)theta_(i):}\begin{equation*} \sum_{i=1}^{l} \sum_{j=1}^{3} \theta_{i j}=2 m^{\prime} \pi+\sum_{i=1}^{m} \theta_{i} \tag{2.8.11} \end{equation*}(2.8.11)i=1lj=13θij=2mπ+i=1mθi
が示される. 一方, 一般に, m m mmm 角形の三角形分割における頂点, 辺, 面の個数を各々 n v , n e , n f n v , n e , n f n_(v),n_(e),n_(f)n_{v}, n_{e}, n_{f}nv,ne,nf とするとき, n v n e + n f = 1 n v n e + n f = 1 n_(v)-n_(e)+n_(f)=1n_{v}-n_{e}+n_{f}=1nvne+nf=1 となることが知られてい る. ここで考えている m m mmm 角形 S S S^(')S^{\prime}S の三角形分割の場合, n v = m + m , n e = n v = m + m , n e = n_(v)=m^(')+m,n_(e)=n_{v}=m^{\prime}+m, n_{e}=nv=m+m,ne= 3 l + m 2 + m , n f = l 3 l + m 2 + m , n f = l (3l+m)/(2)+m,n_(f)=l\frac{3 l+m}{2}+m, n_{f}=l3l+m2+m,nf=l なので, m + m 2 l 2 = 1 m + m 2 l 2 = 1 m^(')+(m)/(2)-(l)/(2)=1m^{\prime}+\frac{m}{2}-\frac{l}{2}=1m+m2l2=1, つまり, 2 m l = 2 m 2 m l = 2 m 2m^(')-l=2-m2 m^{\prime}-l=2-m2ml=2m を える。この事実と式 ( 2.8 .9 ) , ( 2.8 .10 ) , ( 2.8 .11 ) ( 2.8 .9 ) , ( 2.8 .10 ) , ( 2.8 .11 ) (2.8.9),(2.8.10),(2.8.11)(2.8 .9),(2.8 .10),(2.8 .11)(2.8.9),(2.8.10),(2.8.11) から, 求めるべき関係式が導か れる。
注意より一般に, E 3 E 3 E^(3)\mathbb{E}^{3}E3 内の区分的に C C C^(oo)C^{\infty}C 級の境界をもつ区分的に C C C^(oo)C^{\infty}C 級の超曲面 S S S^(')S^{\prime}S に対して, 定理 2.8 .1 を一般化した積分公式が成り立つことが, [IO] の結果か ら導かれる。 [ IO ] [ IO ] [IO][\mathrm{IO}][IO] では, E 3 E 3 E^(3)\mathbb{E}^{3}E3 内の区分的に C C C^(oo)C^{\infty}C 級の境界をもつ区分的に C C C^(oo)C^{\infty}C 級の超曲面を一般化した概念として、区分的にリーマン的な 2 次元多面体という概念が定義され, さらに, その多面体の頂点と辺上で, 特異曲率とよばれる頂点と辺上に集中した曲率を表す量が定義されている。そして, 各面(これは 2 次元リーマン多様体)上のガウス曲率の積分, 各辺上の特異曲率の積分, および, 各頂点における特異曲率, これら 3 種の全曲率の総和に関する公式が示されている. この公式は, S S S^(')S^{\prime}S が区分的に C C C^(oo)C^{\infty}C 級の境界をもつ C C C^(oo)C^{\infty}C 超曲面の場合, 定理 2.8.1における積分公式と 一致する. ここでガウス曲率は, E 3 E 3 E^(3)\mathbb{E}^{3}E3 内の超曲面のみならず, 一般に, 2 次元リーマ ン多様体に対し内在的に定義することができることを注意しておく(4.3 節を参照).
定理 2.8.1 から直接, C C C^(oo)C^{\infty}C 曲面片上の測地 m m mmm 角形に対する次の内角の和の 積分表示公式(integral expression formula of the internal angle sum) が導かれる。
系 2.8.5(曲面上の測地多角形の内角の和の公式) S S S^(')S^{\prime}S C C C^(oo)C^{\infty}C 曲面片 S S SSS 上の 測地 m m mmm 角形とする。このとき, S S S^(')S^{\prime}S m m mmm 個の内角 θ 1 , , θ m θ 1 , , θ m theta_(1),dots,theta_(m)\theta_{1}, \ldots, \theta_{m}θ1,,θm の和は次式によ って与えられる:
(2.8.12) i = 1 m θ i = ( m 2 ) π + S K d A (2.8.12) i = 1 m θ i = ( m 2 ) π + S K d A {:(2.8.12)sum_(i=1)^(m)theta_(i)=(m-2)pi+int_(S^('))KdA:}\begin{equation*} \sum_{i=1}^{m} \theta_{i}=(m-2) \pi+\int_{S^{\prime}} K d A \tag{2.8.12} \end{equation*}(2.8.12)i=1mθi=(m2)π+SKdA
注意(i)平面や円筒のガウス曲率は恒等的に 0 に等しいので, 平面や円筒上の 測地 m m mmm 角形の内角の和は, 常に ( m 2 ) π ( m 2 ) π (m-2)pi(m-2) \pi(m2)π に等しくなる.
(ii) S S SSS のガウス曲率が各点で正であるならば, S S SSS 上の任意の測地 m m mmm 角形の内角 の和は ( m 2 ) π ( m 2 ) π (m-2)pi(m-2) \pi(m2)π よりも大きくなり, その和は, 測地 m m mmm 角形のとり方に依存 して変動する. 例えば, 単位球面 S 2 ( 1 ) S 2 ( 1 ) S^(2)(1)S^{2}(1)S2(1) のガウス曲率は恒等的に 1 に等しい ので, S 2 ( 1 ) S 2 ( 1 ) S^(2)(1)S^{2}(1)S2(1) 上の測地 m m mmm 角形の内角の和は, ( m 2 ) π ( m 2 ) π (m-2)pi(m-2) \pi(m2)π とその測地 m m mmm 角形の (曲)面積の和に等しくなる。それゆえ,その測地 m m mmm 角形の面積が大きければ 大きいほど, その内角の和も大きくなる(図 2.8 .2 を参照).
S : S : S:S:S: ガウス曲率が正の曲面片
図 2.8.2 ガウス曲率が正である曲面片上の測地三角形
(iii) S S SSS のガウス曲率が各点で負であるならば, S S SSS 上の任意の測地 m m mmm 角形の内角 の和は ( m 2 ) π ( m 2 ) π (m-2)pi(m-2) \pi(m2)π よりも小さくなり, その和は, 測地 m m mmm 角形のとり方に依存 して変動する(図 2.8.3を参照)。例えば, S S SSS が下記の問 2.8 .2 で述べるトラク トリクスの場合, そのガウス曲率は恒等的に -1 に等しいので, S S SSS 上の測地 m m mmm
S : S : S:S:S: ガウス曲率が負の曲面片
図 2.8.3 ガウス曲率が負である曲面片上の測地三角形
角形の内角の和は, ( m 2 ) π ( m 2 ) π (m-2)pi(m-2) \pi(m2)π からその測地 m m mmm 角形の(曲)面積を引いた値に 等しくなる。そゆえ, その測地 m m mmm 角形の面積が大きければ大きいほど, そ の内角の和は小さくなる.
問 2.8.1 この問いにおいて, S 2 ( 1 ) S 2 ( 1 ) S^(2)(1)S^{2}(1)S2(1) 上の測地三角形の 3 つの内角が等しい場合に,測地正三角形とよぶことにする.
(i) S 2 ( 1 ) S 2 ( 1 ) S^(2)(1)S^{2}(1)S2(1) 上の正測地三角形の内角のとりうる値の範囲を求めよ.
(ii) S 2 ( 1 ) S 2 ( 1 ) S^(2)(1)S^{2}(1)S2(1) 上の 3 つの内角が π 2 π 2 (pi)/(2)\frac{\pi}{2}π2 であるような測地正三角形を図示せよ.
(iii) S 2 ( 1 ) S 2 ( 1 ) S^(2)(1)S^{2}(1)S2(1) 上の 3 つの内角が 3 π 4 3 π 4 (3pi)/(4)\frac{3 \pi}{4}3π4 であるような測地正三角形を図示せよ.
問 2.8.2 D := ( 0 , ) × [ 0 , 2 π ) D := ( 0 , ) × [ 0 , 2 π ) D:=(0,oo)xx[0,2pi)D:=(0, \infty) \times[0,2 \pi)D:=(0,)×[0,2π) とし, C C C^(oo)C^{\infty}C 正則局所曲面 x : D E 3 x : D E 3 x:D rarrE^(3)\boldsymbol{x}: D \rightarrow \mathbb{E}^{3}x:DE3
x ( u 1 , u 2 ) := ( cos u 2 cosh u 1 , sin u 2 cosh u 1 , u 1 tanh u 1 ) x u 1 , u 2 := cos u 2 cosh u 1 , sin u 2 cosh u 1 , u 1 tanh u 1 x(u_(1),u_(2)):=((cos u_(2))/(cosh u_(1)),(sin u_(2))/(cosh u_(1)),u_(1)-tanh u_(1))\boldsymbol{x}\left(u_{1}, u_{2}\right):=\left(\frac{\cos u_{2}}{\cosh u_{1}}, \frac{\sin u_{2}}{\cosh u_{1}}, u_{1}-\tanh u_{1}\right)x(u1,u2):=(cosu2coshu1,sinu2coshu1,u1tanhu1)
によって定義する. この C C C^(oo)C^{\infty}C 曲面片 S = x ( D ) S = x ( D ) S=x(D)S=\boldsymbol{x}(D)S=x(D) は, トラクトリクス(tractrix) とよばれ, ガウス曲率が恒等的に -1 の曲面であることが知られている。.この曲面上に, 3 点 p t 1 = x ( t , 0 ) , p t 2 = x ( t , π ) , p t 3 = x ( 1 t , 3 π 2 ) p t 1 = x ( t , 0 ) , p t 2 = x ( t , π ) , p t 3 = x 1 t , 3 π 2 p_(t)^(1)=x(t,0),p_(t)^(2)=x(t,pi),p_(t)^(3)=x((1)/(t),(3pi)/(2))p_{t}^{1}=\boldsymbol{x}(t, 0), p_{t}^{2}=\boldsymbol{x}(t, \pi), p_{t}^{3}=\boldsymbol{x}\left(\frac{1}{t}, \frac{3 \pi}{2}\right)pt1=x(t,0),pt2=x(t,π),pt3=x(1t,3π2) をとる. ここで, t t ttt は十分小さな正の数とする.
(i) S S SSS の概形を描け.
(ii) p t 1 , p t 2 , p t 3 p t 1 , p t 2 , p t 3 p_(t)^(1),p_(t)^(2),p_(t)^(3)p_{t}^{1}, p_{t}^{2}, p_{t}^{3}pt1,pt2,pt3 を頂点とする S S SSS 上の測地三角形 p t 1 p t 2 p t 3 p t 1 p t 2 p t 3 /_\p_(t)^(1)p_(t)^(2)p_(t)^(3)\triangle p_{t}^{1} p_{t}^{2} p_{t}^{3}pt1pt2pt3 の概形を描け.
(iii) 測地三角形 p t 1 p t 2 p t 3 p t 1 p t 2 p t 3 /_\p_(t)^(1)p_(t)^(2)p_(t)^(3)\triangle p_{t}^{1} p_{t}^{2} p_{t}^{3}pt1pt2pt3 p t 1 ( i = 1 , 2 , 3 ) p t 1 ( i = 1 , 2 , 3 ) p_(t)^(1)(i=1,2,3)p_{t}^{1}(i=1,2,3)pt1(i=1,2,3) における内角を θ t 1 θ t 1 theta_(t)^(1)\theta_{t}^{1}θt1 とするとき, lim t + 0 θ t 1 = 0 lim t + 0 θ t 1 = 0 lim_(t rarr+0)theta_(t)^(1)=0\lim _{t \rightarrow+0} \theta_{t}^{1}=0limt+0θt1=0 と推定されることを図解せよ.

2.9 曲面論におけるガウス・ボンネの定理

この節では r 2 r 2 r >= 2r \geq 2r2 とする.この節において, 前節で示したガウス・ボン ネの定理(局所版)を用いて, E 3 E 3 E^(3)\mathbb{E}^{3}E3 内の向き付けられた C r C r C^(r)C^{r}Cr 閉曲面に対するが ウス・ボンネの定理(大域版)を証明することにする。一般に, 位相空間 X X XXX に対し, k k k\boldsymbol{k}k 次特異ホモロジー群 ( k = 0 , 1 , 2 , ) ( k = 0 , 1 , 2 , ) (k=0,1,2,dots)(k=0,1,2, \ldots)(k=0,1,2,) とよばれる Z Z Z\mathbb{Z}Z 加群 H k sing ( X H k sing ( X H_(k)^(sing)(XH_{k}^{\operatorname{sing}}(XHksing(X, Z ) Z ) Z)\mathbb{Z})Z) が定義され, それが有限生成である場合, その階数は X X XXX k k k\boldsymbol{k}k 次ベッチ数 (k-th betti number)とよばれ, b k ( X ) b k ( X ) b_(k)(X)b_{k}(X)bk(X) と表される. k k kkk 次特異ホモロジー 群の定義については, 5.1 節を参照のこと. ここで, 有限生成 Z Z Z\mathbb{Z}Z 加群 M M M\mathcal{M}M は,一般に,
( r Z ) Z m 1 Z m l ( r Z ) Z m 1 Z m l (o+^(r)Z)o+Z_(m_(1))o+cdots o+Z_(m_(l))(\stackrel{r}{\oplus} \mathbb{Z}) \oplus \mathbb{Z}_{m_{1}} \oplus \cdots \oplus \mathbb{Z}_{m_{l}}(rZ)Zm1Zml
( Z m i Z m i (Z_(m_(i)):}\left(\mathbb{Z}_{m_{i}}\right.(Zmi : 位数 m i m i m_(i)m_{i}mi の巡回群 ) ) ))) という形の Z Z Z\mathbb{Z}Z 加群に同型であることが知られてお り,上式における r r rrr M M MMM の階数とよばれる. 非負の各整数 k k kkk に対し, H k sing ( X , Z ) H k sing ( X , Z ) H_(k)^(sing)(X,Z)H_{k}^{\operatorname{sing}}(X, \mathbb{Z})Hksing(X,Z) が有限生成であるとき, ベッチ数の交代和 k 0 ( 1 ) k b k ( X ) k 0 ( 1 ) k b k ( X ) sum_(k >= 0)(-1)^(k)b_(k)(X)\sum_{k \geq 0}(-1)^{k} b_{k}(X)k0(1)kbk(X) は, X X XXX のオイラー標数(Euler characteristic)とよばれ,通常, χ ( X ) χ ( X ) chi(X)\chi(X)χ(X) と表される. ここで, X X XXX がコンパクトならば,すべての非負の整数 k k kkk に対し, H k sing ( X , Z ) H k sing ( X , Z ) H_(k)^(sing)(X,Z)H_{k}^{\mathrm{sing}}(X, \mathbb{Z})Hksing(X,Z) は有限生成になり, そのオイラー標数が定義されることに注意する。
特に X X XXX が閉曲面の場合, χ ( X ) χ ( X ) chi(X)\chi(X)χ(X) を実践的に計算する方法を与えよう。 ( S , D ) ( S , D ) (S,D)(S, \mathcal{D})(S,D) E 3 E 3 E^(3)\mathbb{E}^{3}E3 内の C C C^(oo)C^{\infty}C 閉曲面とし,
D = { ( S λ , x λ 1 ) λ Λ } D = S λ , x λ 1 λ Λ D={(S_(lambda),x_(lambda)^(-1))∣lambda in Lambda}\mathcal{D}=\left\{\left(S_{\lambda}, \boldsymbol{x}_{\lambda}^{-1}\right) \mid \lambda \in \Lambda\right\}D={(Sλ,xλ1)λΛ}
とする。 C C C^(oo)C^{\infty}C 閉曲面 S S SSS のいくつかの三角形による分割 S = S 1 S k S = S 1 S k S=S_(1)^(')uu cdots uuS_(k)^(')S=S_{1}^{\prime} \cup \cdots \cup S_{k}^{\prime}S=S1Sk を 考える。 S i S i delS_(i)^(')\partial S_{i}^{\prime}Si をえる弧長でパラメーター付けられた区分的に C r C r C^(r)C^{r}Cr 級の曲線を c i : [ 0 , l i ] S c i : 0 , l i S c_(i):[0,l_(i)]rarr Sc_{i}:\left[0, l_{i}\right] \rightarrow Sci:[0,li]S とし, その 3 つの頂点を p i j := c i ( s i j ) ( j = 1 , 2 , 3 ) p i j := c i s i j ( j = 1 , 2 , 3 ) p_(ij):=c_(i)(s_(ij))(j=1,2,3)p_{i j}:=c_{i}\left(s_{i j}\right)(j=1,2,3)pij:=ci(sij)(j=1,2,3) とする. こ こで, s i 1 = 0 < s i 2 < s i 3 < l i s i 1 = 0 < s i 2 < s i 3 < l i s_(i1)=0 < s_(i2) < s_(i3) < l_(i)s_{i 1}=0<s_{i 2}<s_{i 3}<l_{i}si1=0<si2<si3<li であることに注意する. この分割が次の条件を 満たすとする:
(SC) S i S j S i S j quadS_(i)nnS_(j)!=O/\quad S_{i} \cap S_{j} \neq \emptysetSiSj のき, S i S j S i S j S_(i)nnS_(j)S_{i} \cap S_{j}SiSj は, S i S i S_(i)S_{i}Si S j S j S_(j)S_{j}Sj の共通の辺であるか, また は, S i S i S_(i)S_{i}Si S j S j S_(j)S_{j}Sj の共通の頂点である.
このとき, この分割を S S SSS の三角形分割(triangulation)といい, 各 S i S i S_(i)^(')S_{i}^{\prime}Si をこ の分割における面(face)といい, S i S i S_(i)^(')S_{i}^{\prime}Si の各辺をこの分割における辺(edge) といい, S i S i S_(i)^(')S_{i}^{\prime}Si の各頂点をこの分割における頂点(vertex)という。一般に, C C C^(oo)C^{\infty}C 閉曲面は三角形分割を許容することが知られている。この事実を C C C^(oo)C^{\infty}C 閉曲面の三角形分割可能性(triangulation possibility)という.
C C C^(oo)C^{\infty}C 閉曲面のオイラー標数について, 次の事実が成り立つ.
命題 2.9.1 S = S 1 S k S = S 1 S k S=S_(1)^(')uu cdots uuS_(k)^(')S=S_{1}^{\prime} \cup \cdots \cup S_{k}^{\prime}S=S1Sk C C C^(oo)C^{\infty}C 曲面 S S SSS の三角形分割とし, その分割に おける頂点, 辺, 面の個数を各々, n v , n e , n f n v , n e , n f n_(v),n_(e),n_(f)n_{v}, n_{e}, n_{f}nv,ne,nf と表すことにする. このとき, S S SSS のオイラー標数 χ ( S ) χ ( S ) chi(S)\chi(S)χ(S) は, 交代和 n v n e + n f n v n e + n f n_(v)-n_(e)+n_(f)n_{v}-n_{e}+n_{f}nvne+nf に等しくなる.
問 2.9.1 単位球面 S 2 ( 1 ) S 2 ( 1 ) S^(2)(1)S^{2}(1)S2(1) のオイラー標数を求めよ.
問 2.9.2 2 次元トーラス(2-dimensional torus)
T 2 = { ( ( a + b cos u 1 ) cos u 2 , ( a + b cos u 1 ) sin u 2 , b sin u 1 ) ( u 1 , u 2 ) [ 0 , 2 π ) 2 } T 2 = a + b cos u 1 cos u 2 , a + b cos u 1 sin u 2 , b sin u 1 u 1 , u 2 [ 0 , 2 π ) 2 T^(2)={((a+b cos u_(1))cos u_(2),(a+b cos u_(1))sin u_(2),b sin u_(1))∣(u_(1),u_(2))in[0,2pi)^(2)}T^{2}=\left\{\left(\left(a+b \cos u_{1}\right) \cos u_{2},\left(a+b \cos u_{1}\right) \sin u_{2}, b \sin u_{1}\right) \mid\left(u_{1}, u_{2}\right) \in[0,2 \pi)^{2}\right\}T2={((a+bcosu1)cosu2,(a+bcosu1)sinu2,bsinu1)(u1,u2)[0,2π)2}
( a > b > 0 ) ( a > b > 0 ) (a > b > 0)(a>b>0)(a>b>0) のオイラー標数を求めよ(注意 T 2 T 2 T^(2)T^{2}T2 は,単位円 S 1 ( 1 ) S 1 ( 1 ) S^(1)(1)S^{1}(1)S1(1) とそれ自身との 直積位相空間 S 1 ( 1 ) × S 1 ( 1 ) S 1 ( 1 ) × S 1 ( 1 ) S^(1)(1)xxS^(1)(1)S^{1}(1) \times S^{1}(1)S1(1)×S1(1) に同相である).
問 2.9.3 E 3 E 3 E^(3)\mathbb{E}^{3}E3 内に 2 次元トーラスを互いに交わらないように 2 つ配置し, それらか ら, 各々, 十分小さな円盤領域を取り除き, 取り除いてできた穴の淵を円筒で滑ら かにつないでできる C C C^(oo)C^{\infty}C 曲面 S S SSS を考える(図 2.9.1 を参照)。 このような曲面は, 2 人乗りの浮袋とよばれる。 S S SSS のオイラー標数を求めよ.
図 2.9.1 2 人乗りの浮袋
注意一般に,任意の自然数 g g ggg に対し, E 3 g E 3 g E^(3)にg\mathbb{E}^{3} に gE3g 個の 2 次元トーラスを互いに交わ らないように一列に配置して、それらから各々, 十分小さな円盤領域を取り除き、取り除いてできた穴の淵を順番に円筒で滑らかにつなぐことにより構成される C C C^(oo)C^{\infty}C曲面を考える. このような C C C^(oo)C^{\infty}C 曲面は g g ggg 人乗りの浮袋とよばれ, 種数 g g g\boldsymbol{g}g の閉曲面 (closed surface of genus g g g\boldsymbol{g}g ) とよばれる. 種数 g g ggg の閉曲面のオイラー数は ( 2 ( 2 (2-(2-(2 2 g ) 2 g ) 2g)2 g)2g) になることが示される.
E 3 E 3 E^(3)\mathbb{E}^{3}E3 内の向き付けられた C C C^(oo)C^{\infty}C 閉曲面に対し, 次のガウス・ボンネの定理が成 り立つ.
定理 2.9.2(ガウス・ボンネの定理(大域版)) S S SSS を向き付けられた C C C^(oo)C^{\infty}C閉曲面とし,Kを S S SSS のガウス曲率とする。このとき, 次式が成り立つ:
S K d A = 2 π χ ( S ) S K d A = 2 π χ ( S ) int_(S)KdA=2pi chi(S)\int_{S} K d A=2 \pi \chi(S)SKdA=2πχ(S)
証明 S S SSS の三角形分割 S = S 1 S k S = S 1 S k S=S_(1)^(')uu cdots uuS_(k)^(')S=S_{1}^{\prime} \cup \cdots \cup S_{k}^{\prime}S=S1Sk をとる. S i S i delS_(i)^(')\partial S_{i}^{\prime}Si を与える弧長でパラメ ーター付けられた区分的に C r C r C^(r)C^{r}Cr 級の曲線を c i : [ 0 , l i ] S c i : 0 , l i S c_(i):[0,l_(i)]rarr Sc_{i}:\left[0, l_{i}\right] \rightarrow Sci:[0,li]S とし, S i S i S_(i)^(')S_{i}^{\prime}Si の 3 つの頂点を c i ( 0 ) ( = c i ( l i ) ) , c i ( s i 1 ) , c i ( s i 2 ) c i ( 0 ) = c i l i , c i s i 1 , c i s i 2 c_(i)(0)(=c_(i)(l_(i))),c_(i)(s_(i1)),c_(i)(s_(i2))c_{i}(0)\left(=c_{i}\left(l_{i}\right)\right), c_{i}\left(s_{i 1}\right), c_{i}\left(s_{i 2}\right)ci(0)(=ci(li)),ci(si1),ci(si2) とする. 便宜上, s i 0 := 0 , s i 3 := l i s i 0 := 0 , s i 3 := l i s_(i0):=0,s_(i3):=l_(i)s_{i 0}:=0, s_{i 3}:=l_{i}si0:=0,si3:=li とお き, p i j := c i ( s i , j 1 ) ( j = 1 , 2 , 3 ) p i j := c i s i , j 1 ( j = 1 , 2 , 3 ) p_(ij):=c_(i)(s_(i,j-1))(j=1,2,3)p_{i j}:=c_{i}\left(s_{i, j-1}\right)(j=1,2,3)pij:=ci(si,j1)(j=1,2,3) とおく. また, その 3 つの辺 c i ( [ s i , j 1 , s i j ] ) c i s i , j 1 , s i j c_(i)([s_(i,j-1),s_(ij)])c_{i}\left(\left[s_{i, j-1}, s_{i j}\right]\right)ci([si,j1,sij]) ( j = 1 , 2 , 3 ) ( j = 1 , 2 , 3 ) (j=1,2,3)(j=1,2,3)(j=1,2,3) を各々, e i j ( j = 1 , 2 , 3 ) e i j ( j = 1 , 2 , 3 ) e_(ij)(j=1,2,3)e_{i j}(j=1,2,3)eij(j=1,2,3) と表し, c i j := c | [ s i , j 1 , s i j ] ( j = 1 , 2 , 3 ) c i j := c s i , j 1 , s i j ( j = 1 , 2 , 3 ) c_(ij):=c|_([s_(i,j-1),s_(ij)])(j=1,2,3)c_{i j}:=\left.c\right|_{\left[s_{i, j-1}, s_{i j}\right]}(j=1,2,3)cij:=c|[si,j1,sij](j=1,2,3) と おく. この三角形分割における頂点の個数, 辺の個数, 面の個数を各々, n v n v n_(v)n_{v}nv,
図 2.9.2 辺上の測地的曲率の積分が相殺される様子
n e , n f n e , n f n_(e),n_(f)n_{e}, n_{f}ne,nf とする. 明らかに, n f = k n f = k n_(f)=kn_{f}=knf=k である. 各面 S i S i S_(i)^(')S_{i}^{\prime}Si に対し,辺が 3 つあり,各辺は 2 つの面によって共有されるので,
(2.9.1) n e = 3 2 n f (2.9.1) n e = 3 2 n f {:(2.9.1)n_(e)=(3)/(2)n_(f):}\begin{equation*} n_{e}=\frac{3}{2} n_{f} \tag{2.9.1} \end{equation*}(2.9.1)ne=32nf
という関係が成り立つ. c i j c i j c_(ij)c_{i j}cij の測地的曲率を κ i j κ i j kappa_(ij)\kappa_{i j}κij とし, S i S i S_(i)^(')S_{i}^{\prime}Si の頂点 p i j p i j p_(ij)p_{i j}pij における 内角を θ i j θ i j theta_(ij)\theta_{i j}θij と表すことにする。このとき, 定理 2.8 .1 より次式が導かれる:
S K d A = i = 1 n f S i K d A = i = 1 n f ( 2 π j = 1 3 s i , j 1 s i j κ i j ( s ) d s j = 1 3 ( π θ i j ) ) (2.9.2) = π n f + i = 1 n f j = 1 3 θ i j i = 1 n f j = 1 3 s i , j 1 s i j κ i j ( s ) d s S K d A = i = 1 n f S i K d A = i = 1 n f 2 π j = 1 3 s i , j 1 s i j κ i j ( s ) d s j = 1 3 π θ i j (2.9.2) = π n f + i = 1 n f j = 1 3 θ i j i = 1 n f j = 1 3 s i , j 1 s i j κ i j ( s ) d s {:[int_(S)KdA=sum_(i=1)^(n_(f))int_(S_(i)^('))KdA],[=sum_(i=1)^(n_(f))(2pi-sum_(j=1)^(3)int_(s_(i,j-1))^(s_(ij))kappa^(ij)(s)ds-sum_(j=1)^(3)(pi-theta_(ij)))],[(2.9.2)=-pin_(f)+sum_(i=1)^(n_(f))sum_(j=1)^(3)theta_(ij)-sum_(i=1)^(n_(f))sum_(j=1)^(3)int_(s_(i,j-1))^(s_(ij))kappa^(ij)(s)ds]:}\begin{align*} \int_{S} K d A & =\sum_{i=1}^{n_{f}} \int_{S_{i}^{\prime}} K d A \\ & =\sum_{i=1}^{n_{f}}\left(2 \pi-\sum_{j=1}^{3} \int_{s_{i, j-1}}^{s_{i j}} \kappa^{i j}(s) d s-\sum_{j=1}^{3}\left(\pi-\theta_{i j}\right)\right) \\ & =-\pi n_{f}+\sum_{i=1}^{n_{f}} \sum_{j=1}^{3} \theta_{i j}-\sum_{i=1}^{n_{f}} \sum_{j=1}^{3} \int_{s_{i, j-1}}^{s_{i j}} \kappa^{i j}(s) d s \tag{2.9.2} \end{align*}SKdA=i=1nfSiKdA=i=1nf(2πj=13si,j1sijκij(s)dsj=13(πθij))(2.9.2)=πnf+i=1nfj=13θiji=1nfj=13si,j1sijκij(s)ds
1 つの頂点に集まっている内角の和は 2 π 2 π 2pi2 \pi2π なので,
(2.9.3) i = 1 n f j = 1 3 θ i j = 2 π n v (2.9.3) i = 1 n f j = 1 3 θ i j = 2 π n v {:(2.9.3)sum_(i=1)^(n_(f))sum_(j=1)^(3)theta_(ij)=2pin_(v):}\begin{equation*} \sum_{i=1}^{n_{f}} \sum_{j=1}^{3} \theta_{i j}=2 \pi n_{v} \tag{2.9.3} \end{equation*}(2.9.3)i=1nfj=13θij=2πnv
が成り立つ(図 2.9 .2 を参照)。また,面 S i 1 S i 1 S_(i_(1))^(')S_{i_{1}}^{\prime}Si1 と面 S i 2 S i 2 S_(i_(2))^(')S_{i_{2}}^{\prime}Si2 が 1 つの辺を共有してい る場合, その共有している辺を e i 1 j 1 = e i 2 j 2 e i 1 j 1 = e i 2 j 2 e_(i_(1)j_(1))=e_(i_(2)j_(2))e_{i_{1} j_{1}}=e_{i_{2} j_{2}}ei1j1=ei2j2 とすると, c i 1 j 1 c i 1 j 1 c_(i_(1)j_(1))c_{i_{1} j_{1}}ci1j1 c i 2 j 2 c i 2 j 2 c_(i_(2)j_(2))c_{i_{2} j_{2}}ci2j2 は逆向き になるので,
s i 1 , j 1 1 s i 1 j 1 κ i 1 j 1 ( s ) d s = s i 2 , j 2 1 s i 2 j 2 κ i 2 j 2 ( s ) d s s i 1 , j 1 1 s i 1 j 1 κ i 1 j 1 ( s ) d s = s i 2 , j 2 1 s i 2 j 2 κ i 2 j 2 ( s ) d s int_(s_(i_(1),j_(1)-1))^(s_(i_(1)j_(1)))kappa^(i_(1)j_(1))(s)ds=-int_(s_(i_(2),j_(2)-1))^(s_(i_(2)j_(2)))kappa^(i_(2)j_(2))(s)ds\int_{s_{i_{1}, j_{1}-1}}^{s_{i_{1} j_{1}}} \kappa^{i_{1} j_{1}}(s) d s=-\int_{s_{i_{2}, j_{2}-1}}^{s_{i_{2} j_{2}}} \kappa^{i_{2} j_{2}}(s) d ssi1,j11si1j1κi1j1(s)ds=si2,j21si2j2κi2j2(s)ds
が成り立つ(図 2.9.2を参照)。それゆえ,
(2.9.4) i = 1 n f j = 1 3 s i , j 1 s i j κ i j ( s ) d s = 0 (2.9.4) i = 1 n f j = 1 3 s i , j 1 s i j κ i j ( s ) d s = 0 {:(2.9.4)sum_(i=1)^(n_(f))sum_(j=1)^(3)int_(s_(i,j-1))^(s_(ij))kappa^(ij)(s)ds=0:}\begin{equation*} \sum_{i=1}^{n_{f}} \sum_{j=1}^{3} \int_{s_{i, j-1}}^{s_{i j}} \kappa^{i j}(s) d s=0 \tag{2.9.4} \end{equation*}(2.9.4)i=1nfj=13si,j1sijκij(s)ds=0
が導かれる。式 (2.9.1), (2.9.3), (2.9.4)を式 (2.9.2)に代入して, 求めるべき 積分公式をえる。

3 CHAPTER 定理・ガウスの発散定理

第 1 章と第 2 章で述べた超曲面は, ユークリッド空間内の超曲面片を貼り 合わせてえられる部分集合として定義された。つまり, 次元が 1 つ高いユー クリッド空間に住む人によって(つまり外在的に)定義された。この章では、 まず, E n + 1 E n + 1 E^(n+1)\mathbb{E}^{n+1}En+1 内の超曲面が R n R n R^(n)\mathbb{R}^{n}Rn の領域と同相な集合(超曲面片のこと)の貼り 合わせになっていることに着目して, 一般に, n n nnn 次元多様体という概念を内在的に定義し,その理論における基礎概念,および基本的事実について述べるこ とにする.次に,第2章で述べた超曲面上のストークスの定理が, より一般 に,多様体上でも成り立つことを示す.さらに,第1章で述べたユークリッ ド空間内におけるガウスの発散定理が, より一般に, リーマン多様体内でも成 り立つことを示すことにする.

3.1 多様体

この節において, 多様体, および複素多様体を定義し, それらの基本的な例 を与えることにする。この節では r 0 r 0 r >= 0r \geq 0r0 とする.
最初に, 位相空間の概念は既知として, 位相空間のハウスドルフ性, コンパ クト性, 局所コンパクト性, パラコンパクト性, および, 位相空間が第 2 可算公理を満たすことを定義しておく。 ( X , O ) ( X , O ) (X,O)(X, \mathcal{O})(X,O) を位相空間とする。ここで, O O O\mathcal{O}O X X XXX の位相,つまり開集合族を表す。まず,ハウスドルフ性を定義しよう.任意の異なる 2 点 p , q X p , q X p,q in Xp, q \in Xp,qX に対し, p p ppp の開近傍(つまり p p ppp を含む開集合) U U UUU q q qqq の開近傍 V V VVV で, U V = U V = U nn V=O/U \cap V=\emptysetUV= となるようなものが存在するとき, ( X , O ) ( X , O ) (X,O)(X, \mathcal{O})(X,O) をハウスドルフ空間(Hausdorff space)という.次に, コンパクト性を定義しよう。 O O O\mathcal{O}O の部分集合族 U U U\mathcal{U}U U U U = X U U U = X uu_(U inU)U=X\underset{U \in \mathcal{U}}{\cup} U=XUUU=X を満たすようなものを,Xの開被覆(open covering)といい, U U U\mathcal{U}U の部分集合族 V V VVV X X XXX の開被覆になるよ
うなものを、Uの部分被覆(subcovering)といい,それが有限族である場合,有限部分被覆(finite subcovering)という。また, X X XXX の部分集合 A A AAA に 対し, O O O\mathcal{O}O の部分集合族 U U U^(')\mathcal{U}^{\prime}U で, A U U U A U U U A subuu_(U^(')inU^('))U^(')A \subset \underset{U^{\prime} \in \mathcal{U}^{\prime}}{\cup} U^{\prime}AUUU を満たすようなものを, A A AAA の開被覆という。 X X XXX の任意の開被覆が有限部分被覆をもつとき, ( X , O ) ( X , O ) (X,O)(X, \mathcal{O})(X,O) をコン パクト空間(compact space)といい, A A AAA の任意の開被覆が有限部分被覆 をもつとき、 A A AAA ( X , O ) ( X , O ) (X,O)(X, \mathcal{O})(X,O) のコンパクト部分集合(compact subset)とい う. また, 任意の点 p X p X p in Xp \in XpX に対し, p p ppp のコンパクトな閉近傍が存在するとき, ( X , O ) ( X , O ) (X,O)(X, \mathcal{O})(X,O) を局所コンパクト空間(locally compact space)という。ここで, p p ppp の閉近傍とは, p p ppp のある開近傍の閉包を意味する.
次に, 第 2 可算公理について説明するために, 開基の概念を定義しておく. O O O\mathcal{O}O の部分集合族 B B B\mathcal{B}B で, 次の条件を满たすものを開基(open basis)という:
(OB)任意の U O U O U inOU \in \mathcal{O}UO は, B B B\mathcal{B}B に属する開集合たちの和集合として表される.
( X , O ) ( X , O ) (X,O)(X, \mathcal{O})(X,O) が高々可算個からなる開基を許容するとき, ( X , O ) ( X , O ) (X,O)(X, \mathcal{O})(X,O) は第 2 可算公理 (the second axiom of countability)を满たすという.
次に, パラコンパクト性を定義しよう. そのために, 開被覆の局所有限な 細分の概念を定義しておく. U , V ( O ) U , V ( O ) U,V(subO)\mathcal{U}, \mathcal{V}(\subset \mathcal{O})U,V(O) ( X , O ) ( X , O ) (X,O)(X, \mathcal{O})(X,O) の開被覆とする。 V V V\mathcal{V}V が, U U U\mathcal{U}U に対し次の条件を満たすとき, V V V\mathcal{V}V をUの細分(partition)という:
(P) 任意の V V V V V inVV \in \mathcal{V}VV に対し, V U V U V sub UV \subset UVU となる U U U U U inUU \in \mathcal{U}UU が存在する.
また, V V V\mathcal{V}V が次の条件を満たすとき, V は局所有限(locally finite)であると いう:
(LF) 任意の p X p X p in Xp \in XpX に対し, p p ppp の開近傍 W W WWW { V V V W } { V V V W } {V inV∣V nn W!=O/}\{V \in \mathcal{V} \mid V \cap W \neq \emptyset\}{VVVW} が有限集合となるようなものが存在する。
( X , O ) ( X , O ) (X,O)(X, \mathcal{O})(X,O) の任意の開被覆が局所有限な細分を許容するとき, ( X , O ) ( X , O ) (X,O)(X, \mathcal{O})(X,O) をパラコン パクト空間(paracompact space)という。明らかに, コンパクト空間は パラコンパクトになる.
パラコンパクト性について, 次の事実が成り立つ:
命題 3.1.1 第 2 可算公理を满たす局所コンパクトなハウスドルフ空間は,
パラコンパクトである.
多様体上で,様々な滑らかな幾何学量を構成する際に,開被覆に従属する 1 の分割という概念が利用される(例えば, 3.9 節の命題 3.9.1 の証明を参照). それゆえ,その存在性を保証する条件を発見することは重要である。開被覆に 従属する 1 の分割を定義しよう。 U = { U λ } λ Λ U = U λ λ Λ U={U_(lambda)}_(lambda in Lambda)\mathcal{U}=\left\{U_{\lambda}\right\}_{\lambda \in \Lambda}U={Uλ}λΛ X X XXX の開被覆とする. 位相空間 ( X , O ) ( X , O ) (X,O)(X, \mathcal{O})(X,O) 上の非負値連続関数の族 { ρ i } i I ρ i i I {rho_(i)}_(i inI)\left\{\rho_{i}\right\}_{i \in \mathcal{I}}{ρi}iI で,次の条件を満たすようなもの をUに従属する 1 の分割(partition of unity subordinating to U U U\mathcal{U}U ) と いう:
(i) ρ i ρ i quadrho_(i)\quad \rho_{i}ρi の台 supp ρ i := { p X ρ i ( p ) 0 } supp ρ i := p X ρ i ( p ) 0 ¯ supprho_(i):= bar({p in X∣rho_(i)(p)!=0})\operatorname{supp} \rho_{i}:=\overline{\left\{p \in X \mid \rho_{i}(p) \neq 0\right\}}suppρi:={pXρi(p)0} はコンパクトである;
(ii) { supp ρ i } i I supp ρ i i I {supprho_(i)}_(i inI)\left\{\operatorname{supp} \rho_{i}\right\}_{i \in \mathcal{I}}{suppρi}iI は局所有限である;
(iii) i I ρ i = 1 i I ρ i = 1 sum_(i inI)rho_(i)=1\sum_{i \in \mathcal{I}} \rho_{i}=1iIρi=1 が成り立つ;
(iv) 各 i I i I i inIi \in \mathcal{I}iI に対し, supp ρ i U λ i supp ρ i U λ i supprho_(i)subU_(lambda_(i))\operatorname{supp} \rho_{i} \subset U_{\lambda_{i}}suppρiUλi となる λ i Λ λ i Λ lambda_(i)in Lambda\lambda_{i} \in \LambdaλiΛ が存在する.
開被覆に従属する 1 の分割の存在性について, 次の事実が成り立つ:
命題 3.1.2 ( X , O ) ( X , O ) (X,O)(X, \mathcal{O})(X,O) がパラコンパクトなハウスドルフ空間であるとき, X X XXX の任意の開被覆に対し,それに従属する1の分割が存在する.
注意 C r C r C^(r)C^{r}Cr 多様体 M M MMM がパラコンパクトである場合, M M MMM の任意の開被覆 U = U = U=\mathcal{U}=U= { U λ } λ Λ U λ λ Λ {U_(lambda)}_(lambda in Lambda)\left\{U_{\lambda}\right\}_{\lambda \in \Lambda}{Uλ}λΛ に対し,それに従属する 1 の分割 { ρ i } i I ρ i i I {rho_(i)}_(i inI)\left\{\rho_{i}\right\}_{i \in \mathcal{I}}{ρi}iI で, 各 ρ i ρ i rho_(i)\rho_{i}ρi M M MMM 上の C r C r C^(r)C^{r}Cr 級関数であるようなものが存在することが示される。 C r C r C^(r)C^{r}Cr 多様体の定義については, こ の節の後半部を参照のこと. また, C r C r C^(r)C^{r}Cr 多様体上の C r C r C^(r)C^{r}Cr 級関数の定義については, 次節を参照のこと.
第 2 可算公理を満たす局所コンパクトなハウスドルフ空間の例を与えよう. d E d E d_(E)d_{\mathbb{E}}dE n n nnn 次元アフィン空間 A n A n A^(n)\mathbb{A}^{n}An のユークリッド距離関数, つまり, 次のように 定義される A n × A n A n × A n A^(n)xxA^(n)\mathbb{A}^{n} \times \mathbb{A}^{n}An×An 上の関数とする:
d E ( p , q ) := p q ( p , q A n ) d E ( p , q ) := p q p , q A n d_(E)(p,q):=|| vec(pq)||quad(p,q inA^(n))d_{\mathbb{E}}(p, q):=\|\overrightarrow{p q}\| \quad\left(p, q \in \mathbb{A}^{n}\right)dE(p,q):=pq(p,qAn)
d E d E d_(E)d_{\mathbb{E}}dE を用いて,
B E := { U r ( p ) p A n , r > 0 } B E := U r ( p ) p A n , r > 0 B_(E):={U_(r)(p)∣p inA^(n),r > 0}\mathcal{B}_{\mathbb{E}}:=\left\{U_{r}(p) \mid p \in \mathbb{A}^{n}, r>0\right\}BE:={Ur(p)pAn,r>0}
を開基とするような A n A n A^(n)\mathbb{A}^{n}An の位相が定まる。ここで, U r ( p ) U r ( p ) U_(r)(p)U_{r}(p)Ur(p) は, p p ppp d E d E d_(E)d_{\mathbb{E}}dE に関する r r rrr 近傍,つまり { q A n d E ( p , q ) < r } q A n d E ( p , q ) < r {q inA^(n)∣d_(E)(p,q) < r}\left\{q \in \mathbb{A}^{n} \mid d_{\mathbb{E}}(p, q)<r\right\}{qAndE(p,q)<r} を表す. この位相をユークリッド距離位相(Euclidean distance topology)といい, O E O E O_(E)\mathcal{O}_{\mathbb{E}}OE と表す. この位相空間 ( A n , O E ) A n , O E (A^(n),O_(E))\left(\mathbb{A}^{n}, \mathcal{O}_{\mathbb{E}}\right)(An,OE) は, 第 2 可算公理を満たす局所コンパクトなハウスドルフ空間にな る. この事実を示そう。まず, ハウスドルフ性を示そう。任意に異なる 2 点 p , q A n p , q A n p,q inA^(n)p, q \in \mathbb{A}^{n}p,qAn をとる. r := d E ( p , q ) r := d E ( p , q ) r:=d_(E)(p,q)r:=d_{\mathbb{E}}(p, q)r:=dE(p,q) とおく.このとき, U r 2 ( p ) U r 2 ( q ) = U r 2 ( p ) U r 2 ( q ) = U_((r)/(2))(p)nnU_((r)/(2))(q)=O/U_{\frac{r}{2}}(p) \cap U_{\frac{r}{2}}(q)=\emptysetUr2(p)Ur2(q)= が三角不等式を用いて示される。それゆえ, ( A n , O E ) A n , O E (A^(n),O_(E))\left(\mathbb{A}^{n}, \mathcal{O}_{\mathbb{E}}\right)(An,OE) がハウスドルフ空間であるこ とがわかる. 次に, ( A n , O E ) A n , O E (A^(n),O_(E))\left(\mathbb{A}^{n}, \mathcal{O}_{\mathbb{E}}\right)(An,OE) が第 2 可算公理を満たすことを示そう.
B := { U r ( p ) p Q n , r Q } B := U r ( p ) p Q n , r Q B:={U_(r)(p)∣p inQ^(n),r inQ}\mathcal{B}:=\left\{U_{r}(p) \mid p \in \mathbb{Q}^{n}, r \in \mathbb{Q}\right\}B:={Ur(p)pQn,rQ}
Q Q (Q( \mathbb{Q}Q : 有理数全体からなる集合)は, ( A n , O E ) A n , O E (A^(n),O_(E))\left(\mathbb{A}^{n}, \mathcal{O}_{\mathbb{E}}\right)(An,OE) の可算個からなる開基である ことが容易に示される。それゆえ, ( A n , O E ) A n , O E (A^(n),O_(E))\left(\mathbb{A}^{n}, \mathcal{O}_{\mathbb{E}}\right)(An,OE) は第 2 可算公理を満たすことが わかる. 次に, 局所コンパクト性を示そう。任意に, p A n p A n p inA^(n)p \in \mathbb{A}^{n}pAn をとる。 U r ( p ) U r ( p ) U_(r)(p)U_{r}(p)Ur(p) の閉包 U r ( p ) = { q A n p q r } U r ( p ) ¯ = q A n p q r bar(U_(r)(p))={q inA^(n)∣|| vec(pq)|| <= r}\overline{U_{r}(p)}=\left\{q \in \mathbb{A}^{n} \mid\|\overrightarrow{p q}\| \leq r\right\}Ur(p)={qAnpqr} は, p p ppp のコンパクトな閉近傍であること が示される。そゆえ, ( A n , O E ) A n , O E (A^(n),O_(E))\left(\mathbb{A}^{n}, \mathcal{O}_{\mathbb{E}}\right)(An,OE) が局所コンパクトであることがわかる. こ こで, U r ( p ) U r ( p ) U_(r)(p)U_{r}(p)Ur(p) はコンパクトでないが, U r ( p ) U r ( p ) ¯ bar(U_(r)(p))\overline{U_{r}(p)}Ur(p) はコンパクトであることを簡単に 説明しておこう. 1 r 1 r (1)/(r)\frac{1}{r}1r よりも大きい最小の自然数を k 0 k 0 k_(0)k_{0}k0 とする. このとき,
U := { U r 1 k ( p ) | k N s.t. k k 0 } U := U r 1 k ( p ) k N  s.t.  k k 0 U:={U_(r-(1)/(k))(p)|k inN" s.t. "k >= k_(0)}\mathcal{U}:=\left\{\left.U_{r-\frac{1}{k}}(p) \right\rvert\, k \in \mathbb{N} \text { s.t. } k \geq k_{0}\right\}U:={Ur1k(p)|kN s.t. kk0}

は有限部分被覆をもたない。それゆえ, U r ( p ) U r ( p ) U_(r)(p)U_{r}(p)Ur(p) は, ( A n , O E ) A n , O E (A^(n),O_(E))\left(\mathbb{A}^{n}, \mathcal{O}_{\mathbb{E}}\right)(An,OE) のコンパクト部分集合ではない。一方, U U U\mathcal{U}U は, U r ( p ) U r ( p ) ¯ bar(U_(r)(p))\overline{U_{r}(p)}Ur(p) の開被覆ではないので, この族に開集合 V ε := U r + ε ( p ) U r ε ( p ) ( ε : V ε := U r + ε ( p ) U r ε ( p ) ¯ ( ε : V_(epsi):=U_(r+epsi)(p)\\ bar(U_(r-epsi)(p))(epsi:V_{\varepsilon}:=U_{r+\varepsilon}(p) \backslash \overline{U_{r-\varepsilon}(p)}(\varepsilon:Vε:=Ur+ε(p)Urε(p)(ε: 十分小さな正の数 ) ) ))) を加えた族 U ~ := U { V ε } U ~ := U V ε tilde(U):=Uuu{V_(epsi)}\tilde{\mathcal{U}}:=\mathcal{U} \cup\left\{V_{\varepsilon}\right\}U~:=U{Vε} を考える。この族は, U r ( p ) U r ( p ) ¯ bar(U_(r)(p))\overline{U_{r}(p)}Ur(p) の開被覆になる。 これが有限部分被覆をもつこと の証明方針を述べておこう. 1 ε 1 ε (1)/(epsi)\frac{1}{\varepsilon}1ε よりも大きい最小の自然数を k 1 k 1 k_(1)k_{1}k1 とする.この とき, { U r 1 k 1 ( p ) , V ε } U r 1 k 1 ( p ) , V ε {U_(r-(1)/(k_(1)))(p),V_(epsi)}\left\{U_{r-\frac{1}{k_{1}}}(p), V_{\varepsilon}\right\}{Ur1k1(p),Vε} は, A A AAA の開被覆 U ~ U ~ tilde(U)\tilde{\mathcal{U}}U~ の有限部分被覆になる. この事実か ら, U r ( p ) U r ( p ) ¯ bar(U_(r)(p))\overline{U_{r}(p)}Ur(p) がコンパクトになることが推測される。厳密な証明については, 位相空間論の本を参照のこと.
超曲面を内在的に定義した概念である多様体という概念を定義しよう。ここ で,“内在的定義”とは,次を意味する。超曲面は,1 つ次元の高いユークリ
ッド空間内の滑らかな図形として定義された。つまり, 超曲面に住む人ではな く, 1つ次元の高いユークリッド空間に住む人が定義した。このことを“外在的定義”という。それに比べ, “内在的定義”とは,超曲面を超曲面に住む人 が定義することを意味する。このことを踏まえ,超曲面を内在的に定義した概念として, 多様体という概念が次のように定義される。以下, R n R n R^(n)\mathbb{R}^{n}Rn A n A n A^(n)\mathbb{A}^{n}An との 同一視の下, 位相空間 ( A n , O E ) A n , O E (A^(n),O_(E))\left(\mathbb{A}^{n}, \mathcal{O}_{\mathbb{E}}\right)(An,OE) とみなすことにする。 M M MMM を第 2 可算公理を満 たすハウスドルフ空間とする。 M M MMM の開集合 U λ U λ U_(lambda)U_{\lambda}Uλ U λ U λ U_(lambda)U_{\lambda}Uλ から R n R n R^(n)\mathbb{R}^{n}Rn のある開集合へ の同相写像 φ λ φ λ varphi_(lambda)\varphi_{\lambda}φλ の組 ( U λ , φ λ ) U λ , φ λ (U_(lambda),varphi_(lambda))\left(U_{\lambda}, \varphi_{\lambda}\right)(Uλ,φλ) の族 D := { ( U λ , φ λ ) λ Λ } D := U λ , φ λ λ Λ D:={(U_(lambda),varphi_(lambda))∣lambda in Lambda}\mathcal{D}:=\left\{\left(U_{\lambda}, \varphi_{\lambda}\right) \mid \lambda \in \Lambda\right\}D:={(Uλ,φλ)λΛ} を考える. この族 が, 次の 2 条件を満たすとする:
(i) { U λ λ Λ } U λ λ Λ {U_(lambda)∣lambda in Lambda}\left\{U_{\lambda} \mid \lambda \in \Lambda\right\}{UλλΛ} M M MMM の開被覆である;
(ii) U λ U μ U λ U μ U_(lambda)nnU_(mu)!=O/U_{\lambda} \cap U_{\mu} \neq \emptysetUλUμ のとき, φ μ φ λ 1 : φ λ ( U λ U μ ) φ μ ( U λ U μ ) φ μ φ λ 1 : φ λ U λ U μ φ μ U λ U μ varphi_(mu)@varphi_(lambda)^(-1):varphi_(lambda)(U_(lambda)nnU_(mu))rarrvarphi_(mu)(U_(lambda)nnU_(mu))\varphi_{\mu} \circ \varphi_{\lambda}^{-1}: \varphi_{\lambda}\left(U_{\lambda} \cap U_{\mu}\right) \rightarrow \varphi_{\mu}\left(U_{\lambda} \cap U_{\mu}\right)φμφλ1:φλ(UλUμ)φμ(UλUμ) C r C r C^(r)C^{r}Cr同型写像である.
このとき, 族 D M D M DをM\mathcal{D} を MDM C r C r C^(r)\boldsymbol{C}^{r}Cr 構造( C r C r C^(r)\boldsymbol{C}^{r}Cr-structure)といい, 組 ( M , D ) ( M , D ) (M,D)(M, \mathcal{D})(M,D) n n n\boldsymbol{n}n 次元 C r C r C^(r)\boldsymbol{C}^{r}Cr 多様体( n n n\boldsymbol{n}n-dimensional C r C r C^(r)\boldsymbol{C}^{\boldsymbol{r}}Cr-manifold)という(図 3.1.1を 参照)。定義から容易にわかるように, M M MMM は局所コンパクトであるので, 命題 3.1.1 により, M M MMM はパラコンパクトになることを注意しておく.特に, M M MMM がコンパクトであるとき, ( M , D ) ( M , D ) (M,D)(M, \mathcal{D})(M,D) C r C r C^(r)\boldsymbol{C}^{r}Cr 閉多様体 ( C r C r (C^(r):}\left(\boldsymbol{C}^{r}\right.(Cr-closed manifold) とよばれる。 また, 各 ( U λ , φ λ ) U λ , φ λ (U_(lambda),varphi_(lambda))\left(U_{\lambda}, \varphi_{\lambda}\right)(Uλ,φλ) を局所チャート(local chart)といい, U λ U λ U_(lambda)U_{\lambda}Uλ, φ λ φ λ varphi_(lambda)\varphi_{\lambda}φλ を各々, 局所座標近傍, 局所座標という。また, φ λ = ( x 1 λ , , x n λ ) φ λ = x 1 λ , , x n λ varphi_(lambda)=(x_(1)^(lambda),dots,x_(n)^(lambda))\varphi_{\lambda}=\left(x_{1}^{\lambda}, \ldots, x_{n}^{\lambda}\right)φλ=(x1λ,,xnλ) によっ て定義される U λ U λ U_(lambda)U_{\lambda}Uλ 上の関数 x i λ ( i = 1 , , n ) x i λ ( i = 1 , , n ) x_(i)^(lambda)quad(i=1,dots,n)x_{i}^{\lambda} \quad(i=1, \ldots, n)xiλ(i=1,,n) を局所座標関数(local coordinate function) という.
C r C r C^(r)C^{r}Cr 多様体 ( M , D ) ( D = { ( U λ , φ λ ) λ Λ } ) ( M , D ) D = U λ , φ λ λ Λ (M,D)(D={(U_(lambda),varphi_(lambda))∣lambda in Lambda})(M, \mathcal{D})\left(\mathcal{D}=\left\{\left(U_{\lambda}, \varphi_{\lambda}\right) \mid \lambda \in \Lambda\right\}\right)(M,D)(D={(Uλ,φλ)λΛ}) に対し, M M MMM の開集合 V V VVV V V VVV から R n R n R^(n)\mathbb{R}^{n}Rn のある開集合への同相写像 ψ ψ psi\psiψ の組 ( V , ψ ) ( V , ψ ) (V,psi)(V, \psi)(V,ψ) で, V U λ V U λ V nnU_(lambda)!=O/V \cap U_{\lambda} \neq \emptysetVUλ となる各 λ λ lambda\lambdaλ に対し,
ψ φ λ 1 : φ λ ( V U λ ) ψ ( V U λ ) ψ φ λ 1 : φ λ V U λ ψ V U λ psi@varphi_(lambda)^(-1):varphi_(lambda)(V nnU_(lambda))rarr psi(V nnU_(lambda))\psi \circ \varphi_{\lambda}^{-1}: \varphi_{\lambda}\left(V \cap U_{\lambda}\right) \rightarrow \psi\left(V \cap U_{\lambda}\right)ψφλ1:φλ(VUλ)ψ(VUλ)
C r C r C^(r)C^{r}Cr 同型写像になるようなものを D D D\mathcal{D}D と両立する局所チャートという.明ら かに, D D D\mathcal{D}D と両立する局所チャートの全体 D ^ M D ^ M widehat(D)もM\widehat{\mathcal{D}} も MD^M C r C r C^(r)C^{r}Cr 構造を与える。このよ うに極大化された C r C r C^(r)C^{r}Cr 構造を極大な C r C r C^(r)C^{r}Cr 構造(maximal C r C r C^(r)C^{r}Cr-structure)と いう. M M MMM の 2 つの C r C r C^(r)C^{r}Cr 構造 D 1 , D 2 D 1 , D 2 D_(1),D_(2)\mathcal{D}_{1}, \mathcal{D}_{2}D1,D2 に対し, それらの極大化された C r C r C^(r)C^{r}Cr 構造が
図 3.1.1 C r C r C^(r)C^{r}Cr 多様体と C r C r C^(r)C^{r}Cr 超曲面
一致するとき, D 1 D 1 D_(1)\mathcal{D}_{1}D1 D 2 D 2 D_(2)\mathcal{D}_{2}D2 C r C r C^(r)\boldsymbol{C}^{r}Cr 同値( C r C r C^(r)\boldsymbol{C}^{r}Cr-equivalent)であるという.
命題 3.1.3 C r C r C^(r)C^{r}Cr 多様体 M M MMM の任意の開被覆 U U U\mathcal{U}U に対し, M M MMM 上の C r C r C^(r)C^{r}Cr 級関数か らなるUUに従属する 1 の分割が存在する.
証明 M M MMM の次元を n n nnn とする. M M MMM は局所的に R n R n R^(n)\mathbb{R}^{n}Rn の開集合と同相なので, 局所コンパクトであることがわかる。それゆえ, M M MMM は第 2 可算公理を満たす局所コンパクトなハウスドルフ空間なので, 命題3.1.1により, パラコンパクト であることがわかる。したがって,命題 3.1 .2 , およびその直後の注意により,主張が示される。
問 3.1.1 A A A\mathbb{A}A n n nnn 次元ベクトル空間 V V VVV に付随するアフィン空間とする. V V VVV の各基底 E = ( e 1 , , e n ) E = e 1 , , e n E=(e_(1),dots,e_(n))E=\left(\boldsymbol{e}_{1}, \ldots, \boldsymbol{e}_{n}\right)E=(e1,,en) に対し,全単射 η E : V R n η E : V R n eta_(E):V rarrR^(n)\eta_{E}: V \rightarrow \mathbb{R}^{n}ηE:VRn
η E ( v ) := ( v 1 , , v n ) ( v = i = 1 n v i e i V ) η E ( v ) := v 1 , , v n v = i = 1 n v i e i V eta_(E)(v):=(v_(1),dots,v_(n))quad(v=sum_(i=1)^(n)v_(i)e_(i)in V)\eta_{E}(\boldsymbol{v}):=\left(v_{1}, \ldots, v_{n}\right) \quad\left(\boldsymbol{v}=\sum_{i=1}^{n} v_{i} \boldsymbol{e}_{i} \in V\right)ηE(v):=(v1,,vn)(v=i=1nvieiV)
によって定義する. η E η E eta_(E)\eta_{E}ηE を通じて R n R n R^(n)\mathbb{R}^{n}Rn のハウスドルフ位相から A A A\mathbb{A}A のハウスドルフ位相 が定まる. この位相は V V VVV の基底 E E EEE のとり方によらない。実際, この事実は, E ¯ E ¯ bar(E)\bar{E}E¯ V V VVV のもう 1 つの基底として, 同様に全単射 η E ¯ : V R n η E ¯ : V R n eta_( bar(E)):V rarrR^(n)\eta_{\bar{E}}: V \rightarrow \mathbb{R}^{n}ηE¯:VRn を定義するとき, η E ¯ η E ¯ eta_( bar(E))\eta_{\bar{E}}ηE¯
η E 1 : R n R n η E 1 : R n R n eta_(E)^(-1):R^(n)rarrR^(n)\eta_{E}^{-1}: \mathbb{R}^{n} \rightarrow \mathbb{R}^{n}ηE1:RnRn が同相写像になることから確かめられる。以下, A A A\mathbb{A}A は, このハウス ドルフ位相により,ハウスドルフ空間とみなすことにする.明らかに, このハウス ドルフ空間は, 第 2 可算公理を満たす. A A A\mathbb{A}A の各点 p p ppp に対し, φ E , p : A R n φ E , p : A R n varphi_(E,p):ArarrR^(n)\varphi_{E, p}: \mathbb{A} \rightarrow \mathbb{R}^{n}φE,p:ARn
φ E , p ( q ) := η E ( p q ) ( q A ) φ E , p ( q ) := η E ( p q ) ( q A ) varphi_(E,p)(q):=eta_(E)( vec(pq))quad(q inA)\varphi_{E, p}(q):=\eta_{E}(\overrightarrow{p q}) \quad(q \in \mathbb{A})φE,p(q):=ηE(pq)(qA)
によって定義する. また, V V VVV の基底の全体を F ( V ) F ( V ) F(V)\mathcal{F}(V)F(V) と表すことにする.
(i) 族 D := { ( A , φ E , p ) ( E , p ) F ( V ) × A } D := A , φ E , p ( E , p ) F ( V ) × A D:={(A,varphi_(E,p))∣(E,p)inF(V)xxA}\mathcal{D}:=\left\{\left(\mathbb{A}, \varphi_{E, p}\right) \mid(E, p) \in \mathcal{F}(V) \times \mathbb{A}\right\}D:={(A,φE,p)(E,p)F(V)×A} は, ハウスドルフ空間 A A A\mathbb{A}A C ω C ω C^(omega)C^{\omega}Cω 構造を与えることを示せ(注意 “ C ω C ω C^(omega)C^{\omega}Cω ”は,実解析性を意味する).
n = 2 とする. A の点 p o V の基底 E o := ( e 1 o , e 2 o ) を固定し, n = 2  とする.  A  の点  p o  と  V  の基底  E o := e 1 o , e 2 o  を固定し,  n=2" とする. "A" の点 "p_(o)" と "V" の基底 "E_(o):=(e_(1)^(o),e_(2)^(o))" を固定し, "n=2 \text { とする. } \mathbb{A} \text { の点 } p_{o} \text { と } V \text { の基底 } E_{o}:=\left(\boldsymbol{e}_{1}^{o}, \boldsymbol{e}_{2}^{o}\right) \text { を固定し, }n=2 とする. A の点 po と V の基底 Eo:=(e1o,e2o) を固定し, 
x : ( 0 , ) × ( 0 , 2 π ) A x : ( 0 , ) × ( 0 , 2 π ) A x:(0,oo)xx(0,2pi)rarrA\boldsymbol{x}:(0, \infty) \times(0,2 \pi) \rightarrow \mathbb{A}x:(0,)×(0,2π)A
x ( r , θ ) := Φ p o 1 ( r cos θ e 1 o + r sin θ e 2 o ) ( ( r , θ ) ( 0 , ) × ( 0 , 2 π ) ) x ( r , θ ) := Φ p o 1 r cos θ e 1 o + r sin θ e 2 o ( ( r , θ ) ( 0 , ) × ( 0 , 2 π ) ) x(r,theta):=Phi_(p_(o))^(-1)(r cos thetae_(1)^(o)+r sin thetae_(2)^(o))quad((r,theta)in(0,oo)xx(0,2pi))\boldsymbol{x}(r, \theta):=\Phi_{p_{o}}^{-1}\left(r \cos \theta \boldsymbol{e}_{1}^{o}+r \sin \theta \boldsymbol{e}_{2}^{o}\right) \quad((r, \theta) \in(0, \infty) \times(0,2 \pi))x(r,θ):=Φpo1(rcosθe1o+rsinθe2o)((r,θ)(0,)×(0,2π))
によって定義する。ここで 1.1 節で述べたように, Φ p o Φ p o Phi_(p_(o))\Phi_{p_{o}}Φpo は, Φ p o ( p ) := p o p Φ p o ( p ) := p o p Phi_(p_(o))(p):= vec(p_(o)p)\Phi_{p_{o}}(p):=\overrightarrow{p_{o} p}Φpo(p):=pop ( p A ) ( p A ) (p inA)(p \in \mathbb{A})(pA) によって定義される A A A\mathbb{A}A から V V VVV への全単射である. ψ := x 1 ψ := x 1 psi:=x^(-1)\psi:=\boldsymbol{x}^{-1}ψ:=x1 とお く. ψ ψ psi\psiψ は, A { p o } A p o A\\{p_(o)}\mathbb{A} \backslash\left\{p_{o}\right\}A{po} から R 2 R 2 R^(2)\mathbb{R}^{2}R2 の開集合 ( 0 , ) × ( 0 , 2 π ) ( 0 , ) × ( 0 , 2 π ) (0,oo)xx(0,2pi)(0, \infty) \times(0,2 \pi)(0,)×(0,2π) への同相写像になる.
(ii) ( A { p o } , ψ ) A p o , ψ (A\\{p_(o)},psi)\left(\mathbb{A} \backslash\left\{p_{o}\right\}, \psi\right)(A{po},ψ) D D D\mathcal{D}D と両立する局所チャートになることを示せ.
問 3.1.2 n n nnn 次元単位球面
S n ( 1 ) := { ( x 1 , , x n + 1 ) i = 1 n + 1 x i 2 = 1 } S n ( 1 ) := x 1 , , x n + 1 i = 1 n + 1 x i 2 = 1 S^(n)(1):={(x_(1),dots,x_(n+1))∣sum_(i=1)^(n+1)x_(i)^(2)=1}S^{n}(1):=\left\{\left(x_{1}, \ldots, x_{n+1}\right) \mid \sum_{i=1}^{n+1} x_{i}^{2}=1\right\}Sn(1):={(x1,,xn+1)i=1n+1xi2=1}
は, R n + 1 R n + 1 R^(n+1)\mathbb{R}^{n+1}Rn+1 の部分位相空間として第 2 可算公理を満たすハウスドルフ空間になる.族 D D D\mathcal{D}D を次のように定義する:
D := { ( U i + , φ i + ) i = 1 , , n + 1 } { ( U i , φ i ) i = 1 , , n + 1 } ( U i + := { ( x 1 , , x n + 1 ) S n ( 1 ) x i > 0 } U i := { ( x 1 , , x n + 1 ) S n ( 1 ) x i < 0 } φ i ± def φ i ± ( x 1 , , x n + 1 ) := ( x 1 , , x ^ i , , x n + 1 ) ) D := U i + , φ i + i = 1 , , n + 1 U i , φ i i = 1 , , n + 1 U i + := x 1 , , x n + 1 S n ( 1 ) x i > 0 U i := x 1 , , x n + 1 S n ( 1 ) x i < 0 φ i ± def φ i ± x 1 , , x n + 1 := x 1 , , x ^ i , , x n + 1 {:[D:={(U_(i)^(+),varphi_(i)^(+))∣i=1,dots,n+1}uu{(U_(i)^(-),varphi_(i)^(-))∣i=1,dots,n+1}],[([U_(i)^(+),:={(x_(1),dots,x_(n+1))inS^(n)(1)∣x_(i) > 0}],[U_(i)^(-),:={(x_(1),dots,x_(n+1))inS^(n)(1)∣x_(i) < 0}],[varphi_(i)^(+-),Longleftrightarrowdef^(⇄)varphi_(i)^(+-)(x_(1),dots,x_(n+1)):=(x_(1),dots, widehat(x)_(i),dots,x_(n+1))])]:}\begin{aligned} & \mathcal{D}:=\left\{\left(U_{i}^{+}, \varphi_{i}^{+}\right) \mid i=1, \ldots, n+1\right\} \cup\left\{\left(U_{i}^{-}, \varphi_{i}^{-}\right) \mid i=1, \ldots, n+1\right\} \\ &\left(\begin{array}{rl} U_{i}^{+} & :=\left\{\left(x_{1}, \ldots, x_{n+1}\right) \in S^{n}(1) \mid x_{i}>0\right\} \\ U_{i}^{-} & :=\left\{\left(x_{1}, \ldots, x_{n+1}\right) \in S^{n}(1) \mid x_{i}<0\right\} \\ \varphi_{i}^{ \pm} & \Longleftrightarrow \operatorname{def}^{\rightleftarrows} \varphi_{i}^{ \pm}\left(x_{1}, \ldots, x_{n+1}\right):=\left(x_{1}, \ldots, \widehat{x}_{i}, \ldots, x_{n+1}\right) \end{array}\right) \end{aligned}D:={(Ui+,φi+)i=1,,n+1}{(Ui,φi)i=1,,n+1}(Ui+:={(x1,,xn+1)Sn(1)xi>0}Ui:={(x1,,xn+1)Sn(1)xi<0}φi±defφi±(x1,,xn+1):=(x1,,x^i,,xn+1))
ここで x ^ i x ^ i widehat(x)_(i)\widehat{x}_{i}x^i は, x i x i x_(i)x_{i}xi を取り去ることを意味する.
(i) この族 D D D\mathcal{D}D は, S n ( 1 ) S n ( 1 ) S^(n)(1)S^{n}(1)Sn(1) C ω C ω C^(omega)C^{\omega}Cω 構造を与えることを示せ.
(ii) V := S n ( 1 ) { ( 0 , , 0 , 1 ) } V := S n ( 1 ) { ( 0 , , 0 , 1 ) } quad V:=S^(n)(1)\\{(0,dots,0,1)}\quad V:=S^{n}(1) \backslash\{(0, \ldots, 0,1)\}V:=Sn(1){(0,,0,1)} とし, ψ : V R n ψ : V R n psi:V rarrR^(n)\psi: V \rightarrow \mathbb{R}^{n}ψ:VRn を次式によって定義する:
ψ ( x 1 , , x n + 1 ) := ( x 1 1 x n + 1 , , x n 1 x n + 1 ) ψ x 1 , , x n + 1 := x 1 1 x n + 1 , , x n 1 x n + 1 psi(x_(1),dots,x_(n+1)):=((x_(1))/(1-x_(n+1)),dots,(x_(n))/(1-x_(n+1)))\psi\left(x_{1}, \ldots, x_{n+1}\right):=\left(\frac{x_{1}}{1-x_{n+1}}, \ldots, \frac{x_{n}}{1-x_{n+1}}\right)ψ(x1,,xn+1):=(x11xn+1,,xn1xn+1)
このとき, ( V , ψ ) ( V , ψ ) (V,psi)(V, \psi)(V,ψ) は上述の C ω C ω C^(omega)C^{\omega}Cω 構造 D D D\mathcal{D}D と両立する局所チャートになることを 示せ.
問 3.1.3 ( n + 1 ) ( n + 1 ) (n+1)(n+1)(n+1) 次元数ベクトル空間 R n + 1 R n + 1 R^(n+1)\mathbb{R}^{n+1}Rn+1 のピンホール領域 R n + 1 { 0 } R n + 1 { 0 } R^(n+1)\\{0}\mathbb{R}^{n+1} \backslash\{0\}Rn+1{0} におけ る同値関係~を次のように定義する:
( v 1 , , v n + 1 ) ( w 1 , , w n + 1 ) ある実数 a ( 0 ) に対し, ( w 1 , , w n + 1 ) = a ( v 1 , , v n + 1 ) v 1 , , v n + 1 w 1 , , w n + 1  ある実数  a ( 0 )  に対し,  w 1 , , w n + 1 = a v 1 , , v n + 1 {:[(v_(1),dots,v_(n+1))∼(w_(1),dots,w_(n+1))],[Longleftrightarrow" ある実数 "a(!=0)" に対し, "(w_(1),dots,w_(n+1))=a(v_(1),dots,v_(n+1))]:}\begin{aligned} & \left(v_{1}, \ldots, v_{n+1}\right) \sim\left(w_{1}, \ldots, w_{n+1}\right) \\ \Longleftrightarrow & \text { ある実数 } a(\neq 0) \text { に対し, }\left(w_{1}, \ldots, w_{n+1}\right)=a\left(v_{1}, \ldots, v_{n+1}\right) \end{aligned}(v1,,vn+1)(w1,,wn+1) ある実数 a(0) に対し, (w1,,wn+1)=a(v1,,vn+1)
この同値関係による商集合 ( R n + 1 { 0 } ) / R n + 1 { 0 } / (R^(n+1)\\{0})//∼\left(\mathbb{R}^{n+1} \backslash\{\mathbf{0}\}\right) / \sim(Rn+1{0})/ & R P n R P n RP^(n)\mathbb{R} P^{n}RPn と表し, n n n\boldsymbol{n}n 次元実射影空間 ( n n n\boldsymbol{n}n-dimensional real projective space) という. また, ( v 1 , , v n + 1 ) v 1 , , v n + 1 (v_(1),dots,v_(n+1))\left(v_{1}, \ldots, v_{n+1}\right)(v1,,vn+1) の属 する同値類を [ v 1 : : v n + 1 ] v 1 : : v n + 1 [v_(1):cdots:v_(n+1)]\left[v_{1}: \cdots: v_{n+1}\right][v1::vn+1] と表す. R P n R P n RP^(n)\mathbb{R} P^{n}RPn には, ピンホール領域 R n + 1 { 0 } R n + 1 { 0 } R^(n+1)\\{0}\mathbb{R}^{n+1} \backslash\{\mathbf{0}\}Rn+1{0} の位相(つまり, R n + 1 R n + 1 R^(n+1)\mathbb{R}^{n+1}Rn+1 のユークリッド距離位相の部分位相)から誘導される商位相を与 える. この商位相は, 第 2 可算公理を満たすハウスドルフ位相になる. 族 D D D\mathcal{D}D を次の ように定義する:
D := { ( U i , φ i ) i = 1 , , n + 1 } ( U i := { [ x 1 : : x n + 1 ] x i 0 } φ i def φ i ( [ x 1 : : x n + 1 ] ) := ( x 1 x i , , x i 1 x i , x i + 1 x i , x n + 1 x i ) ) D := U i , φ i i = 1 , , n + 1 ( U i := x 1 : : x n + 1 x i 0 φ i def φ i x 1 : : x n + 1 := x 1 x i , , x i 1 x i , x i + 1 x i , x n + 1 x i ) {:[D:={(U_(i),varphi_(i))∣i=1,dots,n+1}],[((U_(i):={[x_(1):cdots:x_(n+1)]∣x_(i)!=0})/(varphi_(i)Longleftrightarrow_(def)varphi_(i)([x_(1):cdots:x_(n+1)]):=((x_(1))/(x_(i)),dots,(x_(i-1))/(x_(i)),(x_(i+1))/(x_(i)),dots(x_(n+1))/(x_(i)))))]:}\begin{gathered} \mathcal{D}:=\left\{\left(U_{i}, \varphi_{i}\right) \mid i=1, \ldots, n+1\right\} \\ \binom{U_{i}:=\left\{\left[x_{1}: \cdots: x_{n+1}\right] \mid x_{i} \neq 0\right\}}{\varphi_{i} \underset{\mathrm{def}}{\Longleftrightarrow} \varphi_{i}\left(\left[x_{1}: \cdots: x_{n+1}\right]\right):=\left(\frac{x_{1}}{x_{i}}, \ldots, \frac{x_{i-1}}{x_{i}}, \frac{x_{i+1}}{x_{i}}, \ldots \frac{x_{n+1}}{x_{i}}\right)} \end{gathered}D:={(Ui,φi)i=1,,n+1}(Ui:={[x1::xn+1]xi0}φidefφi([x1::xn+1]):=(x1xi,,xi1xi,xi+1xi,xn+1xi))
この族 D D D\mathcal{D}D は, R P n R P n RP^(n)\mathbb{R} P^{n}RPn C ω C ω C^(omega)C^{\omega}Cω 構造を与えることを示せ.
注意 n n nnn 次元単位球面 S n ( 1 ) S n ( 1 ) S^(n)(1)S^{n}(1)Sn(1) における同値関係〜を次のように定義する:
( p 1 , , p n + 1 ) ( q 1 , , q n + 1 ) ( q 1 , , q n + 1 ) = ( p 1 , , p n + 1 ) or ( q 1 , , q n + 1 ) = ( p 1 , , p n + 1 ) p 1 , , p n + 1 q 1 , , q n + 1 q 1 , , q n + 1 = p 1 , , p n + 1  or  q 1 , , q n + 1 = p 1 , , p n + 1 {:[(p_(1),dots,p_(n+1))∼(q_(1),dots,q_(n+1))],[Longleftrightarrow(q_(1),dots,q_(n+1))=(p_(1),dots,p_(n+1))" or "(q_(1),dots,q_(n+1))=(-p_(1),dots,-p_(n+1))]:}\begin{aligned} \left(p_{1}, \ldots, p_{n+1}\right) & \sim\left(q_{1}, \ldots, q_{n+1}\right) \\ \Longleftrightarrow\left(q_{1}, \ldots, q_{n+1}\right) & =\left(p_{1}, \ldots, p_{n+1}\right) \text { or }\left(q_{1}, \ldots, q_{n+1}\right)=\left(-p_{1}, \ldots,-p_{n+1}\right) \end{aligned}(p1,,pn+1)(q1,,qn+1)(q1,,qn+1)=(p1,,pn+1) or (q1,,qn+1)=(p1,,pn+1)
( p 1 , , p n + 1 ) p 1 , , p n + 1 (p_(1),dots,p_(n+1))\left(p_{1}, \ldots, p_{n+1}\right)(p1,,pn+1) の属する同値類を [ ( p 1 , , p n + 1 ) ] p 1 , , p n + 1 [(p_(1),dots,p_(n+1))]\left[\left(p_{1}, \ldots, p_{n+1}\right)\right][(p1,,pn+1)] と表す. このとき, 次の対応は 1 対 1 対応になり, この対応により商集合 S n ( 1 ) / S n ( 1 ) / S^(n)(1)//∼S^{n}(1) / \simSn(1)/ は, 実射影空間 R P n R P n RP^(n)\mathbb{R} P^{n}RPn と同一視さ れる:
[ ( p 1 , , p n + 1 ) ] [ p 1 : : p n + 1 ] p 1 , , p n + 1 p 1 : : p n + 1 [(p_(1),dots,p_(n+1))]longleftrightarrow[p_(1):cdots:p_(n+1)]\left[\left(p_{1}, \ldots, p_{n+1}\right)\right] \longleftrightarrow\left[p_{1}: \cdots: p_{n+1}\right][(p1,,pn+1)][p1::pn+1]
多様体の発展的例として, 実グラスマン多様体を紹介する.
例 3.1.1 G k ( V ) G k ( V ) G_(k)(V)G_{k}(V)Gk(V) n ( 2 ) n ( 2 ) n( >= 2)n(\geq 2)n(2) 次元実ベクトル空間 V V VVV k k kkk 次元部分ベクトル空間全体のなす空間とする. ここで, k k kkk は 1 以上 n 1 n 1 n-1n-1n1 以下のある自然数とす る. G k ( V ) G k ( V ) G_(k)(V)G_{k}(V)Gk(V) C ω C ω C^(omega)C^{\omega}Cω 構造は次のように定義される. V V VVV に補助的に内積〈, 〉を 与える. ( V , ( V , (V,(::)(V,\langle\rangle(V,, ) k ) k )のk) の k)k 個のベクトルからなる 1 次独立系の全体を S k ( V ) S k ( V ) S_(k)(V)S_{k}(V)Sk(V) と表 す。 V V VVV の基底 ( e 1 o , , e n o ) e 1 o , , e n o (e_(1)^(o),dots,e_(n)^(o))\left(e_{1}^{o}, \ldots, e_{n}^{o}\right)(e1o,,eno) を固定する. 各 ( e 1 , , e k ) S k ( V ) e 1 , , e k S k ( V ) (e_(1),dots,e_(k))inS_(k)(V)\left(e_{1}, \ldots, e_{k}\right) \in S_{k}(V)(e1,,ek)Sk(V) に対し, e i = e i = e_(i)=e_{i}=ei= j = 1 n a i j e j o ( i = 1 , , k ) j = 1 n a i j e j o ( i = 1 , , k ) sum_(j=1)^(n)a_(i)^(j)e_(j)^(o)quad(i=1,dots,k)\sum_{j=1}^{n} a_{i}^{j} e_{j}^{o} \quad(i=1, \ldots, k)j=1naijejo(i=1,,k) として, ( k , n ) ( k , n ) (k,n)(k, n)(k,n) 型行列 ( a i j ) a i j (a_(i)^(j))\left(a_{i}^{j}\right)(aij) を対応させることにより, S k ( V ) S k ( V ) S_(k)(V)S_{k}(V)Sk(V) から ( k , n ) ( k , n ) (k,n)(k, n)(k,n) 型実行列全体のなす空間 M ( k , n ; R ) M ( k , n ; R ) M(k,n;R)M(k, n ; \mathbb{R})M(k,n;R) (これは, R n k R n k R^(nk)\mathbb{R}^{n k}Rnk と同一視される)の開集合への全単射が定義される。この全単射を通じて, S k ( V ) S k ( V ) S_(k)(V)S_{k}(V)Sk(V) は, M ( k , n ; R ) R n k M ( k , n ; R ) R n k M(k,n;R)~~R^(nk)M(k, n ; \mathbb{R}) \approx \mathbb{R}^{n k}M(k,n;R)Rnk の開集合とみなされ, それゆえ, R n k R n k R^(nk)\mathbb{R}^{n k}Rnk の開部分多様体
として n k n k nkn knk 次元 C ω C ω C^(omega)C^{\omega}Cω 多様体とみなされる. π : S k ( V ) G k ( V ) π : S k ( V ) G k ( V ) pi:S_(k)(V)rarrG_(k)(V)\pi: S_{k}(V) \rightarrow G_{k}(V)π:Sk(V)Gk(V) π ( e 1 , , e k ) π e 1 , , e k pi(e_(1),dots,e_(k))\pi\left(e_{1}, \ldots, e_{k}\right)π(e1,,ek) := Span { e 1 , , e k } := Span e 1 , , e k :=Span{e_(1),dots,e_(k)}:=\operatorname{Span}\left\{e_{1}, \ldots, e_{k}\right\}:=Span{e1,,ek} によって定義する。 S k ( V ) S k ( V ) S_(k)(V)S_{k}(V)Sk(V) の位相から π π pi\piπ によって誘導さ れる強位相を G k ( V ) G k ( V ) G_(k)(V)G_{k}(V)Gk(V) に与えると, この位相は第 2 可算公理を満たすハウス ドルフ位相になる。 各 W 0 G k ( V ) W 0 G k ( V ) W_(0)inG_(k)(V)W_{0} \in G_{k}(V)W0Gk(V) に対し, W 0 W 0 W_(0)W_{0}W0 の基底 ( e ¯ 1 , , e ¯ k ) e ¯ 1 , , e ¯ k ( bar(e)_(1),dots, bar(e)_(k))\left(\bar{e}_{1}, \ldots, \bar{e}_{k}\right)(e¯1,,e¯k) W 0 W 0 W_(0)^(_|_)W_{0}^{\perp}W0 の基底 ( e ¯ k + 1 , , e ¯ n ) e ¯ k + 1 , , e ¯ n ( bar(e)_(k+1),dots, bar(e)_(n))\left(\bar{e}_{k+1}, \ldots, \bar{e}_{n}\right)(e¯k+1,,e¯n) をとる。 W 0 W 0 W_(0)W_{0}W0 ( G k ( V ) G k ( V ) (G_(k)(V):}\left(G_{k}(V)\right.(Gk(V) における)十分小さな近傍 U W 0 U W 0 U_(W_(0))\mathcal{U}_{W_{0}}UW0 をとり, U W 0 U W 0 U_(W_(0))\mathcal{U}_{W_{0}}UW0 から R k ( n k ) = M ( k , n k ; R ) R k ( n k ) = M ( k , n k ; R ) R^(k(n-k))=M(k,n-k;R)への\mathbb{R}^{k(n-k)}=M(k, n-k ; \mathbb{R}) へ のRk(nk)=M(k,nk;R) 写像 φ W 0 = ( x i j ) φ W 0 = x i j varphi_(W_(0))=(x_(i)^(j))\varphi_{W_{0}}=\left(x_{i}^{j}\right)φW0=(xij) を, W W W inW \inW U W 0 U W 0 U_(W_(0))\mathcal{U}_{W_{0}}UW0 に対し, V V VVV から W , W 0 W , W 0 W^(_|_),W_(0)^(_|_)W^{\perp}, W_{0}^{\perp}W,W0 への直交射影を各々, pr W , pr W 0 pr W , pr W 0 pr_(W^(_|_)),pr_(W_(0)^(_|_))\mathrm{pr}_{W^{\perp}}, \mathrm{pr}_{W_{0}^{\perp}}prW,prW0 として,
( pr W 0 pr W ) ( e ¯ i ) = j = k + 1 n x i j ( W ) e ¯ j ( i = 1 , , k ) pr W 0 pr W e ¯ i = j = k + 1 n x i j ( W ) e ¯ j ( i = 1 , , k ) (pr_(W_(0)^(_|_))@pr_(W^(_|_)))( bar(e)_(i))=sum_(j=k+1)^(n)x_(i)^(j)(W) bar(e)_(j)quad(i=1,dots,k)\left(\operatorname{pr}_{W_{0}^{\perp}} \circ \operatorname{pr}_{W^{\perp}}\right)\left(\bar{e}_{i}\right)=\sum_{j=k+1}^{n} x_{i}^{j}(W) \bar{e}_{j} \quad(i=1, \ldots, k)(prW0prW)(e¯i)=j=k+1nxij(W)e¯j(i=1,,k)
によって定義する. このとき, D := { ( U W 0 , φ W 0 ) W 0 G k ( V ) } D := U W 0 , φ W 0 W 0 G k ( V ) D:={(U_(W_(0)),varphi_(W_(0)))∣W_(0)inG_(k)(V)}\mathcal{D}:=\left\{\left(\mathcal{U}_{W_{0}}, \varphi_{W_{0}}\right) \mid W_{0} \in G_{k}(V)\right\}D:={(UW0,φW0)W0Gk(V)} は, G k ( V ) G k ( V ) G_(k)(V)G_{k}(V)Gk(V) C ω C ω C^(omega)C^{\omega}Cω 構造を与え、それゆえ, ( G k ( V ) , D ) G k ( V ) , D (G_(k)(V),D)\left(G_{k}(V), \mathcal{D}\right)(Gk(V),D) k ( n k ) k ( n k ) k(n-k)k(n-k)k(nk) 次元 C ω C ω C^(omega)C^{\omega}Cω 多様体になる. ( G k ( V ) , D ) G k ( V ) , D (G_(k)(V),D)\left(G_{k}(V), \mathcal{D}\right)(Gk(V),D) は, k k k\boldsymbol{k}k 次元部分ベクトル空間のなす実グラスマン多様体(real Grassmannian manifold) とよばれ, 特に k = 1 k = 1 k=1k=1k=1 のとき, 問 3.1.3 で述べ た ( n 1 ) ( n 1 ) (n-1)(n-1)(n1) 次元実射影空間と同一視される。
多様体のもう一つの発展的例として, 有向実グラスマン多様体を紹介する.
例 3.1.2 G ~ k ( V ) G ~ k ( V ) widetilde(G)_(k)(V)\widetilde{G}_{k}(V)G~k(V) n ( 2 ) n ( 2 ) n( >= 2)n(\geq 2)n(2) 次元実べクトル空間 V V VVV の向き付けられた k k kkk 次元部分ベクトル空間全体のなす空間とする. ここで, k k kkk は 1 以上 n 1 n 1 n-1n-1n1 以下のあ る自然数とする。実ベクトル空間の向き付けの定義については, 1.2 節を参照 のこと. G ~ k ( V ) G ~ k ( V ) widetilde(G)_(k)(V)\widetilde{G}_{k}(V)G~k(V) C ω C ω C^(omega)C^{\omega}Cω 構造は次のように定義される. π : G ~ k ( V ) G k ( V ) π : G ~ k ( V ) G k ( V ) pi: widetilde(G)_(k)(V)rarrG_(k)(V)\pi: \widetilde{G}_{k}(V) \rightarrow G_{k}(V)π:G~k(V)Gk(V)
π ( W , O ) := W ( ( W , O ) G ~ k ( V ) ) π ( W , O ) := W ( W , O ) G ~ k ( V ) pi(W,O):=W quad((W,O)in widetilde(G)_(k)(V))\pi(W, O):=W \quad\left((W, O) \in \widetilde{G}_{k}(V)\right)π(W,O):=W((W,O)G~k(V))
によって定義する. ここで, O O OOO W W WWW の向きを表す. W W WWW の向きは 2 つ存在す ることから, この写像が 2 : 1 2 : 1 2:12: 12:1 の写像であることがわかる. 例 3.1.2の G k ( V ) G k ( V ) G_(k)(V)G_{k}(V)Gk(V) C ω C ω C^(omega)C^{\omega}Cω 構造
D := { ( U W 0 , φ W 0 ) W 0 G k ( V ) } D := U W 0 , φ W 0 W 0 G k ( V ) D:={(U_(W_(0)),varphi_(W_(0)))∣W_(0)inG_(k)(V)}\mathcal{D}:=\left\{\left(\mathcal{U}_{W_{0}}, \varphi_{W_{0}}\right) \mid W_{0} \in G_{k}(V)\right\}D:={(UW0,φW0)W0Gk(V)}
に対し, 各 U W 0 U W 0 U_(W_(0))\mathcal{U}_{W_{0}}UW0 は十分小さくとってあるので, π 1 ( U W 0 ) π 1 U W 0 pi^(-1)(U_(W_(0)))\pi^{-1}\left(\mathcal{U}_{W_{0}}\right)π1(UW0) は, 2 つの連結成分 からなることが示される。それらを U W 0 + , U W 0 U W 0 + , U W 0 U_(W_(0))^(+),U_(W_(0))^(-)\mathcal{U}_{W_{0}}^{+}, \mathcal{U}_{W_{0}}^{-}UW0+,UW0と表し, φ W 0 ± := φ W 0 π | U W 0 ± φ W 0 ± := φ W 0 π U W 0 ± varphi_(W_(0))^(+-):=varphi_(W_(0))@pi|_(U_(W_(0))^(+-))\varphi_{W_{0}}^{ \pm}:=\left.\varphi_{W_{0}} \circ \pi\right|_{\mathcal{U}_{W_{0}}^{ \pm}}φW0±:=φW0π|UW0±と おく.このとき,
D ~ := { ( U W 0 + , φ W 0 + ) W 0 G k ( V ) } { ( U W 0 , φ W 0 ) W 0 G k ( V ) } D ~ := U W 0 + , φ W 0 + W 0 G k ( V ) U W 0 , φ W 0 W 0 G k ( V ) widetilde(D):={(U_(W_(0))^(+),varphi_(W_(0))^(+))∣W_(0)inG_(k)(V)}uu{(U_(W_(0))^(-),varphi_(W_(0))^(-))∣W_(0)inG_(k)(V)}\widetilde{\mathcal{D}}:=\left\{\left(\mathcal{U}_{W_{0}}^{+}, \varphi_{W_{0}}^{+}\right) \mid W_{0} \in G_{k}(V)\right\} \cup\left\{\left(\mathcal{U}_{W_{0}}^{-}, \varphi_{W_{0}}^{-}\right) \mid W_{0} \in G_{k}(V)\right\}D~:={(UW0+,φW0+)W0Gk(V)}{(UW0,φW0)W0Gk(V)}
は, G ~ k ( V ) G ~ k ( V ) widetilde(G)_(k)(V)\widetilde{G}_{k}(V)G~k(V) C ω C ω C^(omega)C^{\omega}Cω 構造を与えることが示される。 ( G ~ k ( V ) , D ~ ) G ~ k ( V ) , D ~ ( widetilde(G)_(k)(V),( widetilde(D)))\left(\widetilde{G}_{k}(V), \widetilde{\mathcal{D}}\right)(G~k(V),D~) は, 向き付けら れた k k k\boldsymbol{k}k 次元部分ベクトル空間のなす有向実グラスマン多様体 (oriented real Grassmannian manifold) とよばれる。
次に, 開部分多様体の概念を定義しよう. ( M , D ) ( M , D ) (M,D)(M, \mathcal{D})(M,D) n n nnn 次元 C r C r C^(r)C^{r}Cr 多様体とし, D = { ( U λ , φ λ ) λ Λ } D = U λ , φ λ λ Λ D={(U_(lambda),varphi_(lambda))∣lambda in Lambda}\mathcal{D}=\left\{\left(U_{\lambda}, \varphi_{\lambda}\right) \mid \lambda \in \Lambda\right\}D={(Uλ,φλ)λΛ} とする. W W WWW M M MMM の開集合とする。 W W WWW には,Mの 部分位相を与える. M M MMM は第 2 可算公理を満たすハウスドルフ空間なので, 部分位相空間 W W WWW も第 2 可算公理を満たすハウスドルフ空間になる. 族 D | W D W D|_(W)\left.\mathcal{D}\right|_{W}D|W D | W := { ( U λ W , φ λ | U λ W ) λ Λ D W := U λ W , φ λ U λ W λ Λ D|_(W):={(U_(lambda)nn W,varphi_(lambda)|_(U_(lambda)nn W))∣lambda in Lambda:}\left.\mathcal{D}\right|_{W}:=\left\{\left(U_{\lambda} \cap W,\left.\varphi_{\lambda}\right|_{U_{\lambda} \cap W}\right) \mid \lambda \in \Lambda\right.D|W:={(UλW,φλ|UλW)λΛ s.t. U λ W } U λ W {:U_(lambda)nn W!=O/}\left.U_{\lambda} \cap W \neq \emptyset\right\}UλW} にって定義する.明らかに各 φ λ | W φ λ W varphi_(lambda)|_(W)\left.\varphi_{\lambda}\right|_{W}φλ|W は, R n R n R^(n)\mathbb{R}^{n}Rn のある開集合への同相写像であり, 族 D | W D W D|_(W)\left.\mathcal{D}\right|_{W}D|W W W WWW C r C r C^(r)C^{r}Cr 構造を与える. このように, ( W , D | W ) W , D W (W,D|_(W))\left(W,\left.\mathcal{D}\right|_{W}\right)(W,D|W) n n nnn 次元 C r C r C^(r)C^{r}Cr 多様体になる. この ような n n nnn 次元 C r C r C^(r)C^{r}Cr 多様体を ( M , D ) ( M , D ) (M,D)(M, \mathcal{D})(M,D) の開部分多様体 (open submanifold) と いう.
次に, 積多様体の概念を定義しよう. ( M , D M ) ( D M = { ( U λ , φ λ ) λ Λ } ) M , D M D M = U λ , φ λ λ Λ (M,D_(M))quad(D_(M)={(U_(lambda),varphi_(lambda))∣lambda in Lambda})\left(M, \mathcal{D}_{M}\right) \quad\left(\mathcal{D}_{M}=\left\{\left(U_{\lambda}, \varphi_{\lambda}\right) \mid \lambda \in \Lambda\right\}\right)(M,DM)(DM={(Uλ,φλ)λΛ}) m m mmm 次元 C r C r C^(r)C^{r}Cr 多様体とし, ( N , D N ) ( D N = { ( V μ , ψ μ ) μ M } ) N , D N D N = V μ , ψ μ μ M (N,D_(N))(D_(N)={(V_(mu),psi_(mu))∣mu inM})\left(N, \mathcal{D}_{N}\right)\left(\mathcal{D}_{N}=\left\{\left(V_{\mu}, \psi_{\mu}\right) \mid \mu \in \mathcal{M}\right\}\right)(N,DN)(DN={(Vμ,ψμ)μM}) n n nnn 次元 C r C r C^(r)C^{r}Cr 多様体とする. 族 D M × D N D M × D N D_(M)xxD_(N)\mathcal{D}_{M} \times \mathcal{D}_{N}DM×DN
D M × D N := { ( U λ × V μ , φ λ × ψ μ ) ( λ , μ ) Λ × M } D M × D N := U λ × V μ , φ λ × ψ μ ( λ , μ ) Λ × M D_(M)xxD_(N):={(U_(lambda)xxV_(mu),varphi_(lambda)xxpsi_(mu))∣(lambda,mu)in Lambda xxM}\mathcal{D}_{M} \times \mathcal{D}_{N}:=\left\{\left(U_{\lambda} \times V_{\mu}, \varphi_{\lambda} \times \psi_{\mu}\right) \mid(\lambda, \mu) \in \Lambda \times \mathcal{M}\right\}DM×DN:={(Uλ×Vμ,φλ×ψμ)(λ,μ)Λ×M}
によって定義する.ここで φ λ × ψ μ φ λ × ψ μ varphi_(lambda)xxpsi_(mu)\varphi_{\lambda} \times \psi_{\mu}φλ×ψμ は, φ λ φ λ varphi_(lambda)\varphi_{\lambda}φλ ψ μ ψ μ psi_(mu)\psi_{\mu}ψμ の積写像, つまり,次式に よって定義される U λ × V μ U λ × V μ U_(lambda)xxV_(mu)U_{\lambda} \times V_{\mu}Uλ×Vμ から R m × R n = R m + n R m × R n = R m + n R^(m)xxR^(n)=R^(m+n)へ\mathbb{R}^{m} \times \mathbb{R}^{n}=\mathbb{R}^{m+n} へRm×Rn=Rm+n の写像を表す:
( φ λ × ψ μ ) ( p , q ) := ( φ λ ( p ) , ψ μ ( q ) ) ( ( p , q ) U λ × V μ ) φ λ × ψ μ ( p , q ) := φ λ ( p ) , ψ μ ( q ) ( p , q ) U λ × V μ (varphi_(lambda)xxpsi_(mu))(p,q):=(varphi_(lambda)(p),psi_(mu)(q))quad((p,q)inU_(lambda)xxV_(mu))\left(\varphi_{\lambda} \times \psi_{\mu}\right)(p, q):=\left(\varphi_{\lambda}(p), \psi_{\mu}(q)\right) \quad\left((p, q) \in U_{\lambda} \times V_{\mu}\right)(φλ×ψμ)(p,q):=(φλ(p),ψμ(q))((p,q)Uλ×Vμ)
(図 3.1.2 を参照)。この族 D M × D N D M × D N D_(M)xxD_(N)\mathcal{D}_{M} \times \mathcal{D}_{N}DM×DN が積位相空間 M × N M × N M xx NM \times NM×N C r C r C^(r)C^{r}Cr 構造である ことを示そう. 各 φ λ × ψ μ φ λ × ψ μ varphi_(lambda)xxpsi_(mu)\varphi_{\lambda} \times \psi_{\mu}φλ×ψμ が, U λ × V μ U λ × V μ U_(lambda)xxV_(mu)U_{\lambda} \times V_{\mu}Uλ×Vμ から R m + n R m + n R^(m+n)\mathbb{R}^{m+n}Rm+n のある開集合への同相写像であることは, 明らかである。 ( U λ 1 × V μ 1 ) ( U λ 1 × V μ 2 ) U λ 1 × V μ 1 U λ 1 × V μ 2 (U_(lambda_(1))xxV_(mu_(1)))nn(U_(lambda_(1))xxV_(mu_(2)))!=O/\left(U_{\lambda_{1}} \times V_{\mu_{1}}\right) \cap\left(U_{\lambda_{1}} \times V_{\mu_{2}}\right) \neq \emptyset(Uλ1×Vμ1)(Uλ1×Vμ2) の場合,
( φ λ 2 × ψ μ 2 ) ( φ λ 1 × ψ μ 1 ) 1 = ( φ λ 2 φ λ 1 1 ) × ( ψ μ 2 ψ μ 1 1 ) φ λ 2 × ψ μ 2 φ λ 1 × ψ μ 1 1 = φ λ 2 φ λ 1 1 × ψ μ 2 ψ μ 1 1 (varphi_(lambda_(2))xxpsi_(mu_(2)))@(varphi_(lambda_(1))xxpsi_(mu_(1)))^(-1)=(varphi_(lambda_(2))@varphi_(lambda_(1))^(-1))xx(psi_(mu_(2))@psi_(mu_(1))^(-1))\left(\varphi_{\lambda_{2}} \times \psi_{\mu_{2}}\right) \circ\left(\varphi_{\lambda_{1}} \times \psi_{\mu_{1}}\right)^{-1}=\left(\varphi_{\lambda_{2}} \circ \varphi_{\lambda_{1}}^{-1}\right) \times\left(\psi_{\mu_{2}} \circ \psi_{\mu_{1}}^{-1}\right)(φλ2×ψμ2)(φλ1×ψμ1)1=(φλ2φλ11)×(ψμ2ψμ11)
となり, φ λ 2 φ λ 1 1 , ψ μ 2 ψ μ 1 1 φ λ 2 φ λ 1 1 , ψ μ 2 ψ μ 1 1 varphi_(lambda_(2))@varphi_(lambda_(1))^(-1),psi_(mu_(2))@psi_(mu_(1))^(-1)\varphi_{\lambda_{2}} \circ \varphi_{\lambda_{1}}^{-1}, \psi_{\mu_{2}} \circ \psi_{\mu_{1}}^{-1}φλ2φλ11,ψμ2ψμ11 C r C r C^(r)C^{r}Cr 同型写像であることから, ( φ λ 2 × ψ μ 2 ) φ λ 2 × ψ μ 2 (varphi_(lambda_(2))xxpsi_(mu_(2)))@\left(\varphi_{\lambda_{2}} \times \psi_{\mu_{2}}\right) \circ(φλ2×ψμ2) ( φ λ 1 × ψ μ 1 ) 1 φ λ 1 × ψ μ 1 1 (varphi_(lambda_(1))xxpsi_(mu_(1)))^(-1)\left(\varphi_{\lambda_{1}} \times \psi_{\mu_{1}}\right)^{-1}(φλ1×ψμ1)1 C r C r C^(r)C^{r}Cr 同型写像であることが示される.したがって, D M × D N D M × D N D_(M)xxD_(N)\mathcal{D}_{M} \times \mathcal{D}_{N}DM×DN
図 3.1.2 積多様体の C r C r C^(r)C^{r}Cr 構造
は積位相空間 M × N M × N M xx NM \times NM×N C r C r C^(r)C^{r}Cr 構造であることがわかる. この ( m + n ) ( m + n ) (m+n)(m+n)(m+n) 次元 C r C r C^(r)C^{r}Cr 多様体 ( M × N , D M × D N ) M × N , D M × D N (M xx N,D_(M)xxD_(N))\left(M \times N, \mathcal{D}_{M} \times \mathcal{D}_{N}\right)(M×N,DM×DN) ( M , D M ) M , D M (M,D_(M))\left(M, \mathcal{D}_{M}\right)(M,DM) ( N , D N ) N , D N (N,D_(N))\left(N, \mathcal{D}_{N}\right)(N,DN) の積多様体(product manifold) という.
次に, 複素多様体の概念を定義する。以下, C n R 2 n C n R 2 n C^(n)とR^(2n)\mathbb{C}^{n} と \mathbb{R}^{2 n}CnR2n の自然な 1 対 1 対応
( z 1 , , z n ) ( C n ) ( x 1 , y 1 , , x n , y n ) ( R 2 n ) ( z i = x i + 1 y i ( i = 1 , , n ) ) z 1 , , z n C n x 1 , y 1 , , x n , y n R 2 n z i = x i + 1 y i ( i = 1 , , n ) {:[(z_(1),dots,z_(n))(inC^(n))longleftrightarrow(x_(1),y_(1),dots,x_(n),y_(n))(inR^(2n))],[(z_(i)=x_(i)+sqrt(-1)y_(i)(i=1,dots,n))]:}\begin{aligned} &\left(z_{1}, \ldots, z_{n}\right)\left(\in \mathbb{C}^{n}\right) \longleftrightarrow\left(x_{1}, y_{1}, \ldots, x_{n}, y_{n}\right)\left(\in \mathbb{R}^{2 n}\right) \\ &\left(z_{i}=x_{i}+\sqrt{-1} y_{i}(i=1, \ldots, n)\right) \end{aligned}(z1,,zn)(Cn)(x1,y1,,xn,yn)(R2n)(zi=xi+1yi(i=1,,n))
の下, C n C n C^(n)\mathbb{C}^{n}Cn R 2 n R 2 n R^(2n)\mathbb{R}^{2 n}R2n と同一視することにする。 M M MMM を第 2 可算公理を満たすハウ スドルフ空間とし, M M MMM の開集合 U λ U λ U_(lambda)U_{\lambda}Uλ と, U λ U λ U_(lambda)U_{\lambda}Uλ から C n C n C^(n)\mathbb{C}^{n}Cn のある開集合への同相写像 φ λ φ λ varphi_(lambda)\varphi_{\lambda}φλ の組 ( U λ , φ λ ) U λ , φ λ (U_(lambda),varphi_(lambda))\left(U_{\lambda}, \varphi_{\lambda}\right)(Uλ,φλ) の族 D := { ( U λ , φ λ ) λ Λ } D := U λ , φ λ λ Λ D:={(U_(lambda),varphi_(lambda))∣lambda in Lambda}\mathcal{D}:=\left\{\left(U_{\lambda}, \varphi_{\lambda}\right) \mid \lambda \in \Lambda\right\}D:={(Uλ,φλ)λΛ} を考える. この族が次の 2 条件を満たすとする:
(i) { U λ λ Λ } U λ λ Λ {U_(lambda)∣lambda in Lambda}\left\{U_{\lambda} \mid \lambda \in \Lambda\right\}{UλλΛ} M M MMM の開被覆である;
(ii) U λ U μ U λ U μ quadU_(lambda)nnU_(mu)!=O/\quad U_{\lambda} \cap U_{\mu} \neq \emptysetUλUμ のとき, φ μ φ λ 1 : φ λ ( U λ U μ ) φ μ ( U λ U μ ) φ μ φ λ 1 : φ λ U λ U μ φ μ U λ U μ varphi_(mu)@varphi_(lambda)^(-1):varphi_(lambda)(U_(lambda)nnU_(mu))rarrvarphi_(mu)(U_(lambda)nnU_(mu))\varphi_{\mu} \circ \varphi_{\lambda}^{-1}: \varphi_{\lambda}\left(U_{\lambda} \cap U_{\mu}\right) \rightarrow \varphi_{\mu}\left(U_{\lambda} \cap U_{\mu}\right)φμφλ1:φλ(UλUμ)φμ(UλUμ) は正則同型写像である.
このとき, 族 D D D\mathcal{D}D M M MMM の複素構造といい, 組 ( M , D ) ( M , D ) (M,D)(M, \mathcal{D})(M,D) n n n\boldsymbol{n}n 次元複素多様体 (n-dimensional complex manifold)という。定義から容易にわかるよう に, M M MMM は局所コンパクトであるので, 命題3.1.1により, M M MMM はパラコンパク
トになることを注意しておく.特に,1 次元複素多様体は, リーマン面(Riemann surface)とよばれる。また, 各 ( U λ , φ λ ) U λ , φ λ (U_(lambda),varphi_(lambda))\left(U_{\lambda}, \varphi_{\lambda}\right)(Uλ,φλ) を局所チャートといい, U λ U λ U_(lambda)U_{\lambda}Uλ, φ λ φ λ varphi_(lambda)\varphi_{\lambda}φλ を各々, 局所座標近傍, 局所座標という。また, φ λ = ( z 1 λ , , z n λ ) φ λ = z 1 λ , , z n λ varphi_(lambda)=(z_(1)^(lambda),dots,z_(n)^(lambda))\varphi_{\lambda}=\left(z_{1}^{\lambda}, \ldots, z_{n}^{\lambda}\right)φλ=(z1λ,,znλ) によ って定義される U λ U λ U_(lambda)U_{\lambda}Uλ 上の関数 z i λ ( i = 1 , , n ) z i λ ( i = 1 , , n ) z_(i)^(lambda)(i=1,dots,n)z_{i}^{\lambda}(i=1, \ldots, n)ziλ(i=1,,n) を局所座標関数という. 上述の C n C n C^(n)\mathbb{C}^{n}Cn R 2 n R 2 n R^(2n)\mathbb{R}^{2 n}R2n の自然な同一視の下, 各 φ λ φ λ varphi_(lambda)\varphi_{\lambda}φλ R 2 n R 2 n R^(2n)\mathbb{R}^{2 n}R2n への写像とみなした場合, 複素構造 D D D\mathcal{D}D C ω C ω C^(omega)C^{\omega}Cω 構造を与えることが容易に示される. このように, n n nnn 次元複素多様体は, 2 n 2 n 2n2 n2n 次元 C ω C ω C^(omega)C^{\omega}Cω 多様体とみなされる。上述の開部分多様体, 積多様体 と同様に, 複素多様体に対しても, 開部分多様体, 積複素多様体が定義され る.
問 3.1.4 ( n + 1 ) ( n + 1 ) (n+1)(n+1)(n+1) 次元複素数ベクトル空間 C n + 1 C n + 1 C^(n+1)\mathbb{C}^{n+1}Cn+1 のピンホール領域 C n + 1 { 0 } C n + 1 { 0 } C^(n+1)\\{0}\mathbb{C}^{n+1} \backslash\{0\}Cn+1{0} に おける同値関係~を次のように定義する:
( v 1 , , v n + 1 ) ( w 1 , , w n + 1 ) ある複素数 a ( 0 ) に対し , ( w 1 , , w n + 1 ) = a ( v 1 , , v n + 1 ) . v 1 , , v n + 1 w 1 , , w n + 1  ある複素数  a ( 0 )  に対し  , w 1 , , w n + 1 = a v 1 , , v n + 1 . {:[(v_(1),dots,v_(n+1))∼(w_(1),dots,w_(n+1))],[ Longleftrightarrow],[ Longleftrightarrow" ある複素数 "a(!=0)" に対し "","quad(w_(1),dots,w_(n+1))=a(v_(1),dots,v_(n+1)).]:}\begin{aligned} &\left(v_{1}, \ldots, v_{n+1}\right) \sim\left(w_{1}, \ldots, w_{n+1}\right) \\ & \Longleftrightarrow \\ & \Longleftrightarrow \text { ある複素数 } a(\neq 0) \text { に対し }, \quad\left(w_{1}, \ldots, w_{n+1}\right)=a\left(v_{1}, \ldots, v_{n+1}\right) . \end{aligned}(v1,,vn+1)(w1,,wn+1) ある複素数 a(0) に対し ,(w1,,wn+1)=a(v1,,vn+1).
この同値関係による商集合 ( C n + 1 { 0 } ) / C n + 1 { 0 } / (C^(n+1)\\{0})//∼\left(\mathbb{C}^{n+1} \backslash\{\mathbf{0}\}\right) / \sim(Cn+1{0})/ P n P n P^(n)P^{n}Pn と表し, n n n\boldsymbol{n}n 次元複素射影空間 (只-dimensional complex projective space)という. また, ( v 1 , , v n + 1 ) v 1 , , v n + 1 (v_(1),dots,v_(n+1))\left(v_{1}, \ldots, v_{n+1}\right)(v1,,vn+1) の属する同値類を [ v 1 : : v n + 1 ] v 1 : : v n + 1 [v_(1):cdots:v_(n+1)]\left[v_{1}: \cdots: v_{n+1}\right][v1::vn+1] と表す. C P n C P n CP^(n)\mathbb{C} P^{n}CPn には, ピンホール領域 C n + 1 { 0 } C n + 1 { 0 } C^(n+1)\\{0}\mathbb{C}^{n+1} \backslash\{\mathbf{0}\}Cn+1{0} の位相(つまり, C n + 1 C n + 1 C^(n+1)\mathbb{C}^{n+1}Cn+1 のユークリッド距離位相の部分位相)から誘導される商位相 を与える。この商位相は, 第 2 可算公理を満たすハウスドルフ位相になる. 族 D D D\mathcal{D}D を 次のように定義する:
D := { ( U i , φ i ) i = 1 , , n + 1 } ( U i := { [ z 1 : : z n + 1 ] z i 0 } φ i def φ i ( [ z 1 : : z n + 1 ] ) := ( z 1 z i , , z i 1 z i , z i + 1 z i , z n + 1 z i ) ) D := U i , φ i i = 1 , , n + 1 U i := z 1 : : z n + 1 z i 0 φ i def φ i z 1 : : z n + 1 := z 1 z i , , z i 1 z i , z i + 1 z i , z n + 1 z i {:[D:={(U_(i),varphi_(i))∣i=1,dots,n+1}],[([U_(i),:={[z_(1):cdots:z_(n+1)]∣z_(i)!=0}],[varphi_(i),Longleftrightarrow_(def)varphi_(i)([z_(1):cdots:z_(n+1)]):=((z_(1))/(z_(i)),dots,(z_(i-1))/(z_(i)),(z_(i+1))/(z_(i)),dots(z_(n+1))/(z_(i)))])]:}\begin{gathered} \mathcal{D}:=\left\{\left(U_{i}, \varphi_{i}\right) \mid i=1, \ldots, n+1\right\} \\ \left(\begin{array}{rl} U_{i} & :=\left\{\left[z_{1}: \cdots: z_{n+1}\right] \mid z_{i} \neq 0\right\} \\ \varphi_{i} & \underset{\mathrm{def}}{\Longleftrightarrow} \varphi_{i}\left(\left[z_{1}: \cdots: z_{n+1}\right]\right):=\left(\frac{z_{1}}{z_{i}}, \ldots, \frac{z_{i-1}}{z_{i}}, \frac{z_{i+1}}{z_{i}}, \ldots \frac{z_{n+1}}{z_{i}}\right) \end{array}\right) \end{gathered}D:={(Ui,φi)i=1,,n+1}(Ui:={[z1::zn+1]zi0}φidefφi([z1::zn+1]):=(z1zi,,zi1zi,zi+1zi,zn+1zi))
この族 D D D\mathcal{D}D は, C P n C P n CP^(n)\mathbb{C} P^{n}CPn の複素構造を与えることを示せ.
注意 ( 2 n + 1 ) ( 2 n + 1 ) (2n+1)(2 n+1)(2n+1) 次元単位球面
S 2 n + 1 ( 1 ) = { ( z 1 , , z n + 1 ) C n + 1 | i = 1 n + 1 | z i | 2 = 1 } S 2 n + 1 ( 1 ) = z 1 , , z n + 1 C n + 1 i = 1 n + 1 z i 2 = 1 S^(2n+1)(1)={(z_(1),dots,z_(n+1))inC^(n+1)|sum_(i=1)^(n+1)|z_(i)|^(2)=1}S^{2 n+1}(1)=\left\{\left.\left(z_{1}, \ldots, z_{n+1}\right) \in \mathbb{C}^{n+1}\left|\sum_{i=1}^{n+1}\right| z_{i}\right|^{2}=1\right\}S2n+1(1)={(z1,,zn+1)Cn+1|i=1n+1|zi|2=1}
における同値関係~を次のように定義する:
( z 1 , , z n + 1 ) ( w 1 , , w n + 1 ) α C ( | α | = 1 ) s.t. ( w 1 , , w n + 1 ) = α ( z 1 , , z n + 1 ) z 1 , , z n + 1 w 1 , , w n + 1 α C ( | α | = 1 )  s.t.  w 1 , , w n + 1 = α z 1 , , z n + 1 {:[(z_(1),dots,z_(n+1))∼(w_(1),dots,w_(n+1))],[LongleftrightarrowEE alpha inC(|alpha|=1)" s.t. "(w_(1),dots,w_(n+1))=alpha(z_(1),dots,z_(n+1))]:}\begin{aligned} & \left(z_{1}, \ldots, z_{n+1}\right) \sim\left(w_{1}, \ldots, w_{n+1}\right) \\ \Longleftrightarrow & \exists \alpha \in \mathbb{C}(|\alpha|=1) \text { s.t. }\left(w_{1}, \ldots, w_{n+1}\right)=\alpha\left(z_{1}, \ldots, z_{n+1}\right) \end{aligned}(z1,,zn+1)(w1,,wn+1)αC(|α|=1) s.t. (w1,,wn+1)=α(z1,,zn+1)
( z 1 , , z n + 1 ) z 1 , , z n + 1 (z_(1),dots,z_(n+1))\left(z_{1}, \ldots, z_{n+1}\right)(z1,,zn+1) の属する同値類を [ ( z 1 , , z n + 1 ) ] z 1 , , z n + 1 [(z_(1),cdots,z_(n+1))]\left[\left(z_{1}, \cdots, z_{n+1}\right)\right][(z1,,zn+1)] と表す. このとき,次の 1 対 1
対応により, 商集合 S 2 n + 1 ( 1 ) / S 2 n + 1 ( 1 ) / S^(2n+1)(1)//∼S^{2 n+1}(1) / \simS2n+1(1)/ は, 複素射影空間 C P n C P n CP^(n)\mathbb{C} P^{n}CPn と同一視される:
[ ( z 1 , , z n + 1 ) ] [ z 1 : : z n + 1 ] z 1 , , z n + 1 z 1 : : z n + 1 [(z_(1),dots,z_(n+1))]longleftrightarrow[z_(1):cdots:z_(n+1)]\left[\left(z_{1}, \ldots, z_{n+1}\right)\right] \longleftrightarrow\left[z_{1}: \cdots: z_{n+1}\right][(z1,,zn+1)][z1::zn+1]
複素多様体の発展的例として, 複素グラスマン多様体を紹介する.
例 3.1.3 G k ( V ) G k ( V ) G_(k)(V)G_{k}(V)Gk(V) n ( 2 ) n ( 2 ) n( >= 2)n(\geq 2)n(2) 次元複素ベクトル空間 V V VVV k k kkk 次元部分ベクトル 空間全体のなす空間とする. ここで, k k kkk は 1 以上 n 1 n 1 n-1n-1n1 以下のある自然数とす る. G k ( V ) G k ( V ) G_(k)(V)G_{k}(V)Gk(V) の第 2 可算公理を満たすハウスドルフ位相と複素構造は, 例 3.1.1 の実グラスマン多様体の場合とほぼ同様に与えられ, これは, k ( n k ) k ( n k ) k(n-k)k(n-k)k(nk) 次元複素多様体になる。この複素多様体 G k ( V ) G k ( V ) G_(k)(V)G_{k}(V)Gk(V) k k k\boldsymbol{k}k 次元部分ベクトル空間のなす複素グラスマン多様体(complex Grassmannian manifold)といい, 特に k = 1 k = 1 k=1k=1k=1 のとき, 問 3.1.4 で述べた ( n 1 ) ( n 1 ) (n-1)(n-1)(n1) 次元複素射影空間と同一視される.

3.2 C r 3.2 C r 3.2C^(r)3.2 C^{r}3.2Cr 写像

この節では, r 0 r 0 r >= 0r \geq 0r0, または r = r = r=oor=\inftyr= とする. この節において, C C C^(oo)C^{\infty}C 多様体間の写像の C r C r C^(r)C^{r}Cr 級性( r r rrr 回連続微分可能性)を定義する。 ( M , D M ) , ( N , D N ) M , D M , N , D N (M,D_(M)),(N,D_(N))\left(M, \mathcal{D}_{M}\right),\left(N, \mathcal{D}_{N}\right)(M,DM),(N,DN) C C C^(oo)C^{\infty}C 多様体とし, f f fff M M MMM から N N NNN への連続写像とする。以下, D M , D N D M , D N D_(M),D_(N)\mathcal{D}_{M}, \mathcal{D}_{N}DM,DN は 略すことにする. 点 p M p M p in Mp \in MpM のまわりの M M MMM の局所チャート ( U , φ ) ( U , φ ) (U,varphi)(U, \varphi)(U,φ) と点 f ( p ) f ( p ) f(p)f(p)f(p) の まわりの N N NNN の局所チャート ( V , ψ ) ( V , ψ ) (V,psi)(V, \psi)(V,ψ) に対し, ψ f φ 1 : φ ( U f 1 ( V ) ) ψ f φ 1 : φ U f 1 ( V ) psi@f@varphi^(-1):varphi(U nnf^(-1)(V))rarr\psi \circ f \circ \varphi^{-1}: \varphi\left(U \cap f^{-1}(V)\right) \rightarrowψfφ1:φ(Uf1(V)) ψ ( f ( U ) V ) ψ ( f ( U ) V ) psi(f(U)nn V)\psi(f(U) \cap V)ψ(f(U)V) が点 φ ( p ) φ ( p ) varphi(p)\varphi(p)φ(p) C r C r C^(r)C^{r}Cr 級であるとき, f f fff p p p\boldsymbol{p}p C r C r C^(r)\boldsymbol{C}^{r}Cr 級である(of class C r C r C^(r)C^{r}Cr at p ) p {:p)\left.\boldsymbol{p}\right)p) という. f f fff M M MMM の各点で C r C r C^(r)C^{r}Cr 級であるとき, f f fff C r C r C^(r)C^{r}Cr 写像 ( C r m a p C r m a p C^(r)-map)\boldsymbol{C}^{r}-\mathbf{m a p} )Crmap という. この定義が, p p ppp のまわりの M M MMM の局所チャートと f ( p ) f ( p ) f(p)f(p)f(p) の まわりの N N NNN の局所チャートのとり方によらないことを示そう. 点 p p ppp のまわり の M M MMM の局所チャート ( U ^ , φ ^ ) ( U ^ , φ ^ ) ( hat(U), hat(varphi))(\hat{U}, \hat{\varphi})(U^,φ^) と点 f ( p ) f ( p ) f(p)f(p)f(p) のまわりの N N NNN の局所チャート ( V ^ , ψ ^ ) ( V ^ , ψ ^ ) ( hat(V), hat(psi))(\hat{V}, \hat{\psi})(V^,ψ^) をもう 1 組とる。このとき,
ψ ^ f φ ^ 1 = ( ψ ^ ψ 1 ) ( ψ f φ 1 ) ( φ φ ^ 1 ) ψ ^ f φ ^ 1 = ψ ^ ψ 1 ψ f φ 1 φ φ ^ 1 hat(psi)@f@ hat(varphi)^(-1)=(( hat(psi))@psi^(-1))@(psi@f@varphi^(-1))@(varphi@ hat(varphi)^(-1))\hat{\psi} \circ f \circ \hat{\varphi}^{-1}=\left(\hat{\psi} \circ \psi^{-1}\right) \circ\left(\psi \circ f \circ \varphi^{-1}\right) \circ\left(\varphi \circ \hat{\varphi}^{-1}\right)ψ^fφ^1=(ψ^ψ1)(ψfφ1)(φφ^1)
(図 3.1.3 を参照)より, ψ f φ 1 ψ f φ 1 psi@f@varphi^(-1)\psi \circ f \circ \varphi^{-1}ψfφ1 が点 φ ( p ) φ ( p ) varphi(p)\varphi(p)φ(p) C r C r C^(r)C^{r}Cr 級であるならば, ψ ^ f ψ ^ f hat(psi)@f@\hat{\psi} \circ f \circψ^f φ ^ 1 φ ^ 1 hat(varphi)^(-1)\hat{\varphi}^{-1}φ^1 は点 φ ^ ( p ) φ ^ ( p ) hat(varphi)(p)\hat{\varphi}(p)φ^(p) C r C r C^(r)C^{r}Cr 級であることが示される。逆も同様に示されるので, ψ ψ psi\psiψ f φ 1 f φ 1 f@varphi^(-1)f \circ \varphi^{-1}fφ1 が点 φ ( p ) φ ( p ) varphi(p)\varphi(p)φ(p) C r C r C^(r)C^{r}Cr 級であることと, ψ ^ f φ ^ 1 ψ ^ f φ ^ 1 hat(psi)@f@ hat(varphi)^(-1)\hat{\psi} \circ f \circ \hat{\varphi}^{-1}ψ^fφ^1 が点 φ ^ ( p ) φ ^ ( p ) hat(varphi)(p)\hat{\varphi}(p)φ^(p) C r C r C^(r)C^{r}Cr 級であ ることが同値である, つまり, f f fff p p ppp での C r C r C^(r)C^{r}Cr 級性の定義は, p p ppp のまわりの M M MMM の局所チャートと f ( p ) f ( p ) f(p)f(p)f(p) のまわりの N N NNN の局所チャートのとり方によらないこと
図 3.1.3多様体間の写像の 2 つの局所表示間の関係
が示される.
特に, M M MMM から R R R\mathbb{R}R への C r C r C^(r)C^{r}Cr 写像を M M MMM 上の C r C r C^(r)C^{r}Cr 級関数( C r C r C^(r)\boldsymbol{C}^{r}Cr-function)とい
う. M M MMM 上の C r C r C^(r)C^{r}Cr 級関数の全体は C r ( M ) C r ( M ) C^(r)(M)C^{r}(M)Cr(M) と表される. M M MMM から N N NNN への全単射 f f fff で, f , f 1 f , f 1 f,f^(-1)f, f^{-1}f,f1 共に C r C r C^(r)C^{r}Cr 写像であるようなものを M M MMM から N N NNN への C r C r C^(r)C^{r}Cr 同型写像 ( C r C r (C^(r):}\left(C^{r}\right.(Cr-isomorphism),または, C r C r C^(r)C^{r}Cr 微分同相写像 ( C r C r (C^(r):}\left(C^{r}\right.(Cr-diffeomorphism) といい, M M MMM から N N NNN への C r C r C^(r)C^{r}Cr 同型写像が存在するとき, M M MMM N N NNN C r C r C^(r)C^{r}Cr 同型 ( C r C r (C^(r):}\left(C^{r}\right.(Cr-isomorphic) である, または, C r C r C^(r)C^{r}Cr 微分同相 ( C r C r (C^(r):}\left(C^{r}\right.(Cr-diffeomorphic) であるという. 2 つの C r C r C^(r)C^{r}Cr 多様体が C r C r C^(r)C^{r}Cr 同型であることは, それらが C r C r C^(r)C^{r}Cr 多様体として本質的に同じものであることを意味することに注意する.
問 3.2.1 S 1 ( 1 ) := { ( x 1 , x 2 ) R 2 x 1 2 + x 2 2 = 1 } S 1 ( 1 ) := x 1 , x 2 R 2 x 1 2 + x 2 2 = 1 S^(1)(1):={(x_(1),x_(2))inR^(2)∣x_(1)^(2)+x_(2)^(2)=1}S^{1}(1):=\left\{\left(x_{1}, x_{2}\right) \in \mathbb{R}^{2} \mid x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=1\right\}S1(1):={(x1,x2)R2x12+x22=1} とし, D = { ( U , φ ) , ( V , ψ ) } D = { ( U , φ ) , ( V , ψ ) } D={(U,varphi),(V,psi)}\mathcal{D}=\{(U, \varphi),(V, \psi)\}D={(U,φ),(V,ψ)} を 次のように定める:
U := { ( x 1 , x 2 ) S 1 ( 1 ) x 1 > 0 } , φ : U R def φ ( x 1 , x 2 ) = x 2 , V := S 1 ( 1 ) { ( 1 , 0 ) } , ψ : V R def ψ ( cos θ , sin θ ) = θ ( 0 < θ < 2 π ) U := x 1 , x 2 S 1 ( 1 ) x 1 > 0 , φ : U R def φ x 1 , x 2 = x 2 , V := S 1 ( 1 ) { ( 1 , 0 ) } , ψ : V R def ψ ( cos θ , sin θ ) = θ ( 0 < θ < 2 π ) {:[U:={(x_(1),x_(2))inS^(1)(1)∣x_(1) > 0}","quad varphi:U rarrRLongleftrightarrow_(def)varphi(x_(1),x_(2))=x_(2)","],[V:=S^(1)(1)\\{(1","0)}","quad psi:V rarrRLongleftrightarrow_(def)psi(cos theta","sin theta)=theta(0 < theta < 2pi)]:}\begin{aligned} & U:=\left\{\left(x_{1}, x_{2}\right) \in S^{1}(1) \mid x_{1}>0\right\}, \quad \varphi: U \rightarrow \mathbb{R} \underset{\mathrm{def}}{\Longleftrightarrow} \varphi\left(x_{1}, x_{2}\right)=x_{2}, \\ & V:=S^{1}(1) \backslash\{(1,0)\}, \quad \psi: V \rightarrow \mathbb{R} \underset{\mathrm{def}}{\Longleftrightarrow} \psi(\cos \theta, \sin \theta)=\theta(0<\theta<2 \pi) \end{aligned}U:={(x1,x2)S1(1)x1>0},φ:URdefφ(x1,x2)=x2,V:=S1(1){(1,0)},ψ:VRdefψ(cosθ,sinθ)=θ(0<θ<2π)
(i) ( S 1 ( 1 ) , D ) S 1 ( 1 ) , D quad(S^(1)(1),D)\quad\left(S^{1}(1), \mathcal{D}\right)(S1(1),D) は, 1 次元 C ω C ω C^(omega)C^{\omega}Cω 多様体であることを示せ.
(ii) 写像 f : ( S 1 ( 1 ) , D ) ( S 1 ( 1 ) , D ) f : S 1 ( 1 ) , D S 1 ( 1 ) , D f:(S^(1)(1),D)rarr(S^(1)(1),D)f:\left(S^{1}(1), \mathcal{D}\right) \rightarrow\left(S^{1}(1), \mathcal{D}\right)f:(S1(1),D)(S1(1),D)
f ( cos θ , sin θ ) := ( cos 2 θ , sin 2 θ ) ( 0 θ < 2 π ) f ( cos θ , sin θ ) := ( cos 2 θ , sin 2 θ ) ( 0 θ < 2 π ) f(cos theta,sin theta):=(cos 2theta,sin 2theta)quad(0 <= theta < 2pi)f(\cos \theta, \sin \theta):=(\cos 2 \theta, \sin 2 \theta) \quad(0 \leq \theta<2 \pi)f(cosθ,sinθ):=(cos2θ,sin2θ)(0θ<2π)
によって定義する. f f fff C ω C ω C^(omega)C^{\omega}Cω 写像であることを示せ.

3.3 接ベクトル

この節では r 0 r 0 r >= 0r \geq 0r0 とする. この節において, C C C^(oo)C^{\infty}C 多様体の各点における接べ クトル,および接空間の概念を定義する。開区間 ( a , b ) ( a , b ) (a,b)(a, b)(a,b) (または閉区間 [ a , b ] [ a , b ] [a,b][a, b][a,b] ) から C C C^(oo)C^{\infty}C 多様体 M M MMM への C r C r C^(r)C^{r}Cr 写像を, M M MMM 上の C r C r C^(r)C^{r}Cr 曲線という. ここで, 閉区間 [ a , b ] [ a , b ] [a,b][a, b][a,b] から M M MMM への C r C r C^(r)C^{r}Cr 写像とは, [ a , b ] [ a , b ] [a,b][a, b][a,b] を含むある開区間 ( a ε , b + ε ) ( a ε , b + ε ) (a-epsi,b+epsi)(a-\varepsilon, b+\varepsilon)(aε,b+ε) か ら M M MMM への C r C r C^(r)C^{r}Cr 写像の [ a , b ] [ a , b ] [a,b][a, b][a,b] への制限を意味する。 C := { ( c , t 0 ) c C := c , t 0 c C:={(c,t_(0))∣c:}\mathcal{C}:=\left\{\left(c, t_{0}\right) \mid c\right.C:={(c,t0)c M M MMM 上の C r C r C^(r)C^{r}Cr 曲線, t 0 t 0 t_(0)t_{0}t0 c c ccc の定義域内の 1 点 } } }\}} にける同値関係〜を次のように定義 する:
( c 1 , t 1 ) ( c 2 , t 2 ) def { c 1 ( t 1 ) = c 2 ( t 2 ) ; c 1 ( t 1 ) = c 2 ( t 2 ) のまわりの局所チャート ( U , φ = ( x 1 , , x n ) ) に対し d ( φ c 1 ) d t | t = t 1 = d ( φ c 2 ) d t | t = t 2 c 1 , t 1 c 2 , t 2 def c 1 t 1 = c 2 t 2 ; c 1 t 1 = c 2 t 2  のまわりの局所チャート  U , φ = x 1 , , x n  に対し  d φ c 1 d t t = t 1 = d φ c 2 d t t = t 2 (c_(1),t_(1))∼(c_(2),t_(2))Longleftrightarrow _(def){[∙c_(1)(t_(1))=c_(2)(t_(2));],[∙c_(1)(t_(1))=c_(2)(t_(2))" のまわりの局所チャート "],[(U,varphi=(x_(1),dots,x_(n)))" に対し "],[(d(varphi@c_(1)))/(dt)|_(t=t_(1))=(d(varphi@c_(2)))/(dt)|_(t=t_(2))]:}\left(c_{1}, t_{1}\right) \sim\left(c_{2}, t_{2}\right) \underset{\operatorname{def}}{\Longleftrightarrow}\left\{\begin{array}{c} \bullet c_{1}\left(t_{1}\right)=c_{2}\left(t_{2}\right) ; \\ \bullet c_{1}\left(t_{1}\right)=c_{2}\left(t_{2}\right) \text { のまわりの局所チャート } \\ \left(U, \varphi=\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)\right) \text { に対し } \\ \left.\frac{d\left(\varphi \circ c_{1}\right)}{d t}\right|_{t=t_{1}}=\left.\frac{d\left(\varphi \circ c_{2}\right)}{d t}\right|_{t=t_{2}} \end{array}\right.(c1,t1)(c2,t2)def{c1(t1)=c2(t2);c1(t1)=c2(t2) のまわりの局所チャート (U,φ=(x1,,xn)) に対し d(φc1)dt|t=t1=d(φc2)dt|t=t2
ここで, d ( φ c i ) d t | t = t i ( i = 1 , 2 ) d φ c i d t t = t i ( i = 1 , 2 ) quad(d(varphi@c_(i)))/(dt)|_(t=t_(i))(i=1,2)\left.\quad \frac{d\left(\varphi \circ c_{i}\right)}{d t}\right|_{t=t_{i}}(i=1,2)d(φci)dt|t=ti(i=1,2) φ c i φ c i varphi@c_(i)\varphi \circ c_{i}φci R n R n R^(n)\mathbb{R}^{n}Rn に値をとるベクトル値関数 とみて微分したもの, つまり,
( d ( x 1 φ c i ) d t | t = t i , , d ( x n φ c i ) d t | t = t i ) d x 1 φ c i d t t = t i , , d x n φ c i d t t = t i ((d(x_(1)@varphi@c_(i)))/(dt)|_(t=t_(i)),dots,(d(x_(n)@varphi@c_(i)))/(dt)|_(t=t_(i)))\left(\left.\frac{d\left(x_{1} \circ \varphi \circ c_{i}\right)}{d t}\right|_{t=t_{i}}, \ldots,\left.\frac{d\left(x_{n} \circ \varphi \circ c_{i}\right)}{d t}\right|_{t=t_{i}}\right)(d(x1φci)dt|t=ti,,d(xnφci)dt|t=ti)
を表す. この同値関係が well-defined であること, つまり, p p ppp のまわりの局所 チャート ( U , φ ) ( U , φ ) (U,varphi)(U, \varphi)(U,φ) のとり方によらないことを示そう。そのためには, もう 1 , p := c 1 ( t 1 ) = c 2 ( t 2 ) p := c 1 t 1 = c 2 t 2 p:=c_(1)(t_(1))=c_(2)(t_(2))p:=c_{1}\left(t_{1}\right)=c_{2}\left(t_{2}\right)p:=c1(t1)=c2(t2) のまわりの局所チャート ( V , ψ = ( y 1 , , y n ) ) V , ψ = y 1 , , y n (V,psi=(y_(1),dots,y_(n)))\left(V, \psi=\left(y_{1}, \ldots, y_{n}\right)\right)(V,ψ=(y1,,yn)) をとり, d ( φ c 1 ) d t | t = t 1 = d ( φ c 2 ) d t | t = t 2 d φ c 1 d t t = t 1 = d φ c 2 d t t = t 2 (d(varphi@c_(1)))/(dt)|_(t=t_(1))=(d(varphi@c_(2)))/(dt)|_(t=t_(2))\left.\frac{d\left(\varphi \circ c_{1}\right)}{d t}\right|_{t=t_{1}}=\left.\frac{d\left(\varphi \circ c_{2}\right)}{d t}\right|_{t=t_{2}}d(φc1)dt|t=t1=d(φc2)dt|t=t2 d ( ψ c 1 ) d t | t = t 1 = d ( ψ c 2 ) d t | t = t 2 d ψ c 1 d t t = t 1 = d ψ c 2 d t t = t 2 (d(psi@c_(1)))/(dt)|_(t=t_(1))=(d(psi@c_(2)))/(dt)|_(t=t_(2))\left.\frac{d\left(\psi \circ c_{1}\right)}{d t}\right|_{t=t_{1}}=\left.\frac{d\left(\psi \circ c_{2}\right)}{d t}\right|_{t=t_{2}}d(ψc1)dt|t=t1=d(ψc2)dt|t=t2 が同値で あることを示せばよい. d ( φ c 1 ) d t | t = t 1 = d ( φ c 2 ) d t | t = t 2 d φ c 1 d t t = t 1 = d φ c 2 d t t = t 2 (d(varphi@c_(1)))/(dt)|_(t=t_(1))=(d(varphi@c_(2)))/(dt)|_(t=t_(2))\left.\frac{d\left(\varphi \circ c_{1}\right)}{d t}\right|_{t=t_{1}}=\left.\frac{d\left(\varphi \circ c_{2}\right)}{d t}\right|_{t=t_{2}}d(φc1)dt|t=t1=d(φc2)dt|t=t2 であるとする. この とき,
図 3.3.1接ベクトル
d ( y i c 1 ) d t | t = t 1 = d d t | t = t 1 ( y i φ 1 ) ( ( x 1 c 1 ) ( t ) , , ( x n c 1 ) ( t ) ) = j = 1 n ( y i φ 1 x j ) φ ( p ) d ( x j c 1 ) d t | t = t 1 = j = 1 n ( y i φ 1 x j ) φ ( p ) d ( x j c 2 ) d t | t = t 2 = d ( y i c 2 ) d t | t = t 2 d y i c 1 d t t = t 1 = d d t t = t 1 y i φ 1 x 1 c 1 ( t ) , , x n c 1 ( t ) = j = 1 n y i φ 1 x j φ ( p ) d x j c 1 d t t = t 1 = j = 1 n y i φ 1 x j φ ( p ) d x j c 2 d t t = t 2 = d y i c 2 d t t = t 2 {:[(d(y_(i)@c_(1)))/(dt)|_(t=t_(1))=(d)/(dt)|_(t=t_(1))(y_(i)@varphi^(-1))((x_(1)@c_(1))(t),dots,(x_(n)@c_(1))(t))],[=sum_(j=1)^(n)((dely_(i)@varphi^(-1))/(delx_(j)))_(varphi(p))(d(x_(j)@c_(1)))/(dt)|_(t=t_(1))],[=sum_(j=1)^(n)((dely_(i)@varphi^(-1))/(delx_(j)))_(varphi(p))(d(x_(j)@c_(2)))/(dt)|_(t=t_(2))=(d(y_(i)@c_(2)))/(dt)|_(t=t_(2))]:}\begin{aligned} \left.\frac{d\left(y_{i} \circ c_{1}\right)}{d t}\right|_{t=t_{1}} & =\left.\frac{d}{d t}\right|_{t=t_{1}}\left(y_{i} \circ \varphi^{-1}\right)\left(\left(x_{1} \circ c_{1}\right)(t), \ldots,\left(x_{n} \circ c_{1}\right)(t)\right) \\ & =\left.\sum_{j=1}^{n}\left(\frac{\partial y_{i} \circ \varphi^{-1}}{\partial x_{j}}\right)_{\varphi(p)} \frac{d\left(x_{j} \circ c_{1}\right)}{d t}\right|_{t=t_{1}} \\ & =\left.\sum_{j=1}^{n}\left(\frac{\partial y_{i} \circ \varphi^{-1}}{\partial x_{j}}\right)_{\varphi(p)} \frac{d\left(x_{j} \circ c_{2}\right)}{d t}\right|_{t=t_{2}}=\left.\frac{d\left(y_{i} \circ c_{2}\right)}{d t}\right|_{t=t_{2}} \end{aligned}d(yic1)dt|t=t1=ddt|t=t1(yiφ1)((x1c1)(t),,(xnc1)(t))=j=1n(yiφ1xj)φ(p)d(xjc1)dt|t=t1=j=1n(yiφ1xj)φ(p)d(xjc2)dt|t=t2=d(yic2)dt|t=t2
それゆえ, d ( ψ c 1 ) d t | t = t 1 = d ( ψ c 2 ) d t | t = t 2 d ψ c 1 d t t = t 1 = d ψ c 2 d t t = t 2 quad(d(psi@c_(1)))/(dt)|_(t=t_(1))=(d(psi@c_(2)))/(dt)|_(t=t_(2))\left.\quad \frac{d\left(\psi \circ c_{1}\right)}{d t}\right|_{t=t_{1}}=\left.\frac{d\left(\psi \circ c_{2}\right)}{d t}\right|_{t=t_{2}}d(ψc1)dt|t=t1=d(ψc2)dt|t=t2 が示される. 逆も同様に示される. このように, 上述の同値関係はwell-definedである. 〜に関する ( c , t 0 ) c , t 0 (c,t_(0))\left(c, t_{0}\right)(c,t0) の属 する同値類を c ( t 0 ) , d c d t | t = t 0 c t 0 , d c d t t = t 0 c^(')(t_(0)),(dc)/(dt)|_(t=t_(0))c^{\prime}\left(t_{0}\right),\left.\frac{d c}{d t}\right|_{t=t_{0}}c(t0),dcdt|t=t0, または d d t | t = t 0 c ( t ) d d t t = t 0 c ( t ) (d)/(dt)|_(t=t_(0))c(t)\left.\frac{d}{d t}\right|_{t=t_{0}} c(t)ddt|t=t0c(t) と表し, c c ccc t 0 t 0 t_(0)t_{0}t0 における接 ベクトル, または, 速度ベクトルという(図 3.3.1を参照).
次に, 接空間を定義する. T p M := { c ( t 0 ) ( c , t 0 ) C T p M := c t 0 c , t 0 C T_(p)M:={c^(')(t_(0))∣(c,t_(0))inC:}T_{p} M:=\left\{c^{\prime}\left(t_{0}\right) \mid\left(c, t_{0}\right) \in \mathcal{C}\right.TpM:={c(t0)(c,t0)C s.t. c ( t 0 ) = p } c t 0 = p {:c(t_(0))=p}\left.c\left(t_{0}\right)=p\right\}c(t0)=p} とお く. T p M T p M T_(p)MT_{p} MTpM における和,実数倍を次のように定義する。 ( U , φ = ( x 1 , , x n ) ) U , φ = x 1 , , x n (U,varphi=(x_(1),dots,x_(n)))\left(U, \varphi=\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)\right)(U,φ=(x1,,xn)) p p ppp のまわりの局所チャートとする. v 1 , v 2 T p M v 1 , v 2 T p M v_(1),v_(2)inT_(p)M\boldsymbol{v}_{1}, \boldsymbol{v}_{2} \in T_{p} Mv1,v2TpM に対し, 和 v 1 + v 2 v 1 + v 2 v_(1)+v_(2)\boldsymbol{v}_{1}+\boldsymbol{v}_{2}v1+v2 v i = c i ( 0 ) ( i = 1 , 2 ) v i = c i ( 0 ) ( i = 1 , 2 ) v_(i)=c_(i)^(')(0)(i=1,2)\boldsymbol{v}_{i}=c_{i}^{\prime}(0)(i=1,2)vi=ci(0)(i=1,2) として,
v 1 + v 2 := c ¯ ( 0 ) ( c ¯ ( t ) := φ 1 ( i = 1 2 ( φ ( c i ( t ) ) φ ( p ) ) + φ ( p ) ) ) v 1 + v 2 := c ¯ ( 0 ) c ¯ ( t ) := φ 1 i = 1 2 φ c i ( t ) φ ( p ) + φ ( p ) v_(1)+v_(2):= bar(c)^(')(0)quad(( bar(c))(t):=varphi^(-1)(sum_(i=1)^(2)(varphi(c_(i)(t))-varphi(p))+varphi(p)))\boldsymbol{v}_{1}+\boldsymbol{v}_{2}:=\bar{c}^{\prime}(0) \quad\left(\bar{c}(t):=\varphi^{-1}\left(\sum_{i=1}^{2}\left(\varphi\left(c_{i}(t)\right)-\varphi(p)\right)+\varphi(p)\right)\right)v1+v2:=c¯(0)(c¯(t):=φ1(i=12(φ(ci(t))φ(p))+φ(p)))
により定義する。また, v T p M v T p M v inT_(p)M\boldsymbol{v} \in T_{p} MvTpM a R a R a inRa \in \mathbb{R}aR に対し, a v a v ava \boldsymbol{v}av v = c ( 0 ) v = c ( 0 ) v=c^(')(0)\boldsymbol{v}=c^{\prime}(0)v=c(0) として,
a v := c ^ ( 0 ) ( c ^ ( t ) := φ 1 ( a ( φ ( c ( t ) ) φ ( p ) ) + φ ( p ) ) a v := c ^ ( 0 ) c ^ ( t ) := φ 1 ( a ( φ ( c ( t ) ) φ ( p ) ) + φ ( p ) ) av:= hat(c)^(')(0)quad(( hat(c))(t):=varphi^(-1)(a(varphi(c(t))-varphi(p))+varphi(p)):}a \boldsymbol{v}:=\hat{c}^{\prime}(0) \quad\left(\hat{c}(t):=\varphi^{-1}(a(\varphi(c(t))-\varphi(p))+\varphi(p))\right.av:=c^(0)(c^(t):=φ1(a(φ(c(t))φ(p))+φ(p))
により定義する。この実数倍と和は well-defined, つまり, ( U , φ ) ( U , φ ) (U,varphi)(U, \varphi)(U,φ) のとり方に よらずに定まることを示そう. そのために, もう 1 つ, p p ppp のまわりの局所チャ ート ( V , ψ = ( y 1 , , y n ) ) V , ψ = y 1 , , y n (V,psi=(y_(1),dots,y_(n)))\left(V, \psi=\left(y_{1}, \ldots, y_{n}\right)\right)(V,ψ=(y1,,yn)) をとる。
c φ ( t ) := φ 1 ( i = 1 2 ( φ ( c i ( t ) ) φ ( p ) ) + φ ( p ) ) c ψ ( t ) := ψ 1 ( i = 1 2 ( ψ ( c i ( t ) ) ψ ( p ) ) + ψ ( p ) ) c φ ( t ) := φ 1 i = 1 2 φ c i ( t ) φ ( p ) + φ ( p ) c ψ ( t ) := ψ 1 i = 1 2 ψ c i ( t ) ψ ( p ) + ψ ( p ) {:[c_(varphi)(t):=varphi^(-1)(sum_(i=1)^(2)(varphi(c_(i)(t))-varphi(p))+varphi(p))],[c_(psi)(t):=psi^(-1)(sum_(i=1)^(2)(psi(c_(i)(t))-psi(p))+psi(p))]:}\begin{aligned} & c_{\varphi}(t):=\varphi^{-1}\left(\sum_{i=1}^{2}\left(\varphi\left(c_{i}(t)\right)-\varphi(p)\right)+\varphi(p)\right) \\ & c_{\psi}(t):=\psi^{-1}\left(\sum_{i=1}^{2}\left(\psi\left(c_{i}(t)\right)-\psi(p)\right)+\psi(p)\right) \end{aligned}cφ(t):=φ1(i=12(φ(ci(t))φ(p))+φ(p))cψ(t):=ψ1(i=12(ψ(ci(t))ψ(p))+ψ(p))
として, c φ ( 0 ) = c ψ ( 0 ) c φ ( 0 ) = c ψ ( 0 ) c_(varphi)^(')(0)=c_(psi)^(')(0)c_{\varphi}^{\prime}(0)=c_{\psi}^{\prime}(0)cφ(0)=cψ(0) を示さなければならない.
d ( x i c φ ) d t | t = 0 = d d t | t = 0 ( j = 1 2 ( x i ( c j ( t ) ) x i ( p ) ) + x i ( p ) ) = j = 1 2 d ( x i c j ) d t | t = 0 d x i c φ d t t = 0 = d d t t = 0 j = 1 2 x i c j ( t ) x i ( p ) + x i ( p ) = j = 1 2 d x i c j d t t = 0 {:[(d(x_(i)@c_(varphi)))/(dt)|_(t=0)=(d)/(dt)|_(t=0)(sum_(j=1)^(2)(x_(i)(c_(j)(t))-x_(i)(p))+x_(i)(p))],[=sum_(j=1)^(2)(d(x_(i)@c_(j)))/(dt)|_(t=0)]:}\begin{aligned} \left.\frac{d\left(x_{i} \circ c_{\varphi}\right)}{d t}\right|_{t=0} & =\left.\frac{d}{d t}\right|_{t=0}\left(\sum_{j=1}^{2}\left(x_{i}\left(c_{j}(t)\right)-x_{i}(p)\right)+x_{i}(p)\right) \\ & =\left.\sum_{j=1}^{2} \frac{d\left(x_{i} \circ c_{j}\right)}{d t}\right|_{t=0} \end{aligned}d(xicφ)dt|t=0=ddt|t=0(j=12(xi(cj(t))xi(p))+xi(p))=j=12d(xicj)dt|t=0
および,
d ( x i c ψ ) d t | t = 0 = d d t | t = 0 ( ( x i ψ 1 ) ( j = 1 2 ( y 1 ( c j ( t ) ) y 1 ( p ) ) + y 1 ( p ) , , j = 1 2 ( y n ( c j ( t ) ) y n ( p ) ) + y n ( p ) ) ) = k = 1 n ( ( x i ψ 1 ) y k ) ψ ( p ) d d t | t = 0 ( j = 1 2 ( y k ( c j ( t ) ) y k ( p ) ) + y k ( p ) ) d x i c ψ d t t = 0 = d d t t = 0 ( x i ψ 1 ) j = 1 2 y 1 c j ( t ) y 1 ( p ) + y 1 ( p ) , , j = 1 2 y n c j ( t ) y n ( p ) + y n ( p ) = k = 1 n x i ψ 1 y k ψ ( p ) d d t t = 0 j = 1 2 y k c j ( t ) y k ( p ) + y k ( p ) {:[(d(x_(i)@c_(psi)))/(dt)|_(t=0)],[=(d)/(dt)|_(t=0)((x_(i)@psi^(-1))(sum_(j=1)^(2)(y_(1)(c_(j)(t))-y_(1)(p))+y_(1)(p),dots:}],[{: dots,sum_(j=1)^(2)(y_(n)(c_(j)(t))-y_(n)(p))+y_(n)(p)))],[=sum_(k=1)^(n)((del(x_(i)@psi^(-1)))/(dely_(k)))_(psi(p))(d)/(dt)|_(t=0)(sum_(j=1)^(2)(y_(k)(c_(j)(t))-y_(k)(p))+y_(k)(p))]:}\begin{aligned} &\left.\frac{d\left(x_{i} \circ c_{\psi}\right)}{d t}\right|_{t=0} \\ &=\left.\frac{d}{d t}\right|_{t=0}\left(( x _ { i } \circ \psi ^ { - 1 } ) \left(\sum_{j=1}^{2}\left(y_{1}\left(c_{j}(t)\right)-y_{1}(p)\right)+y_{1}(p), \ldots\right.\right. \\ &\left.\left.\ldots, \sum_{j=1}^{2}\left(y_{n}\left(c_{j}(t)\right)-y_{n}(p)\right)+y_{n}(p)\right)\right) \\ &=\left.\sum_{k=1}^{n}\left(\frac{\partial\left(x_{i} \circ \psi^{-1}\right)}{\partial y_{k}}\right)_{\psi(p)} \frac{d}{d t}\right|_{t=0}\left(\sum_{j=1}^{2}\left(y_{k}\left(c_{j}(t)\right)-y_{k}(p)\right)+y_{k}(p)\right) \end{aligned}d(xicψ)dt|t=0=ddt|t=0((xiψ1)(j=12(y1(cj(t))y1(p))+y1(p),,j=12(yn(cj(t))yn(p))+yn(p)))=k=1n((xiψ1)yk)ψ(p)ddt|t=0(j=12(yk(cj(t))yk(p))+yk(p))
= j = 1 2 k = 1 n ( ( x i ψ 1 ) y k ) ψ ( p ) d ( y k ( c j ( t ) ) ) d t | t = 0 = j = 1 2 d ( x i c j ) d t | t = 0 = j = 1 2 k = 1 n x i ψ 1 y k ψ ( p ) d y k c j ( t ) d t t = 0 = j = 1 2 d x i c j d t t = 0 =sum_(j=1)^(2)sum_(k=1)^(n)((del(x_(i)@psi^(-1)))/(dely_(k)))_(psi(p))(d(y_(k)(c_(j)(t))))/(dt)|_(t=0)=sum_(j=1)^(2)(d(x_(i)@c_(j)))/(dt)|_(t=0)=\left.\sum_{j=1}^{2} \sum_{k=1}^{n}\left(\frac{\partial\left(x_{i} \circ \psi^{-1}\right)}{\partial y_{k}}\right)_{\psi(p)} \frac{d\left(y_{k}\left(c_{j}(t)\right)\right)}{d t}\right|_{t=0}=\left.\sum_{j=1}^{2} \frac{d\left(x_{i} \circ c_{j}\right)}{d t}\right|_{t=0}=j=12k=1n((xiψ1)yk)ψ(p)d(yk(cj(t)))dt|t=0=j=12d(xicj)dt|t=0
が示されるので,
d ( x i c φ ) d t | t = 0 = d ( x i c ψ ) d t | t = 0 ( i = 1 , , n ) d x i c φ d t t = 0 = d x i c ψ d t t = 0 ( i = 1 , , n ) (d(x_(i)@c_(varphi)))/(dt)|_(t=0)=(d(x_(i)@c_(psi)))/(dt)|_(t=0)quad(i=1,dots,n)\left.\frac{d\left(x_{i} \circ c_{\varphi}\right)}{d t}\right|_{t=0}=\left.\frac{d\left(x_{i} \circ c_{\psi}\right)}{d t}\right|_{t=0} \quad(i=1, \ldots, n)d(xicφ)dt|t=0=d(xicψ)dt|t=0(i=1,,n)
をえる。それゆえ, c φ ( 0 ) = c ψ ( 0 ) c φ ( 0 ) = c ψ ( 0 ) c_(varphi)^(')(0)=c_(psi)^(')(0)c_{\varphi}^{\prime}(0)=c_{\psi}^{\prime}(0)cφ(0)=cψ(0) が示される。したがって, 上述の和が welldefined であることが示されたことになる。同様に,上述の接べクトルの実数倍が well-definedであることも示される。また, T p M T p M T_(p)MT_{p} MTpM がこれらの和と実数倍 に関してベクトル空間になることが容易に示される. このべクトル空間 T p M T p M T_(p)MT_{p} MTpM を, M M MMM の点 p p ppp における接空間といい, この T p M T p M T_(p)MT_{p} MTpM の各元を M M MMM の点 p p ppp における 接ベクトルという.
M M MMM の局所チャート ( U , φ = ( x 1 , , x n ) ) U , φ = x 1 , , x n (U,varphi=(x_(1),dots,x_(n)))\left(U, \varphi=\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)\right)(U,φ=(x1,,xn)) に対し, ( x i ) p ( T p M ) x i p T p M ((del)/(delx_(i)))_(p)(inT_(p)M)\left(\frac{\partial}{\partial x_{i}}\right)_{p}\left(\in T_{p} M\right)(xi)p(TpM) を, c i ( t ) := φ 1 ( x 1 ( p ) , , x i ( p ) + t , , x n ( p ) ) c i ( t ) := φ 1 x 1 ( p ) , , x i ( p ) + t , , x n ( p ) c_(i)(t):=varphi^(-1)(x_(1)(p),dots,x_(i)(p)+t,dots,x_(n)(p))c_{i}(t):=\varphi^{-1}\left(x_{1}(p), \ldots, x_{i}(p)+t, \ldots, x_{n}(p)\right)ci(t):=φ1(x1(p),,xi(p)+t,,xn(p)) として ( x i ) p := c i ( 0 ) x i p := c i ( 0 ) ((del)/(delx_(i)))_(p):=c_(i)^(')(0)\left(\frac{\partial}{\partial x_{i}}\right)_{p}:=c_{i}^{\prime}(0)(xi)p:=ci(0) によっ て定義する. このとき,次の事実が成り立つ.
命題 3.3.1 ( ( x 1 ) p , , ( x n ) p ) x 1 p , , x n p (((del)/(delx_(1)))_(p),dots,((del)/(delx_(n)))_(p))\left(\left(\frac{\partial}{\partial x_{1}}\right)_{p}, \ldots,\left(\frac{\partial}{\partial x_{n}}\right)_{p}\right)((x1)p,,(xn)p) は, T p M T p M T_(p)MT_{p} MTpM の基底になる.
証明 簡単のため, p i := x i ( p ) ( i = 1 , , n ) p i := x i ( p ) ( i = 1 , , n ) p_(i):=x_(i)(p)(i=1,dots,n)p_{i}:=x_{i}(p)(i=1, \ldots, n)pi:=xi(p)(i=1,,n) とおく. 最初に, 1 次独立性を示すことにする。
(3.3.1) i = 1 n a i ( x i ) p = 0 (3.3.1) i = 1 n a i x i p = 0 {:(3.3.1)sum_(i=1)^(n)a_(i)((del)/(delx_(i)))_(p)=0:}\begin{equation*} \sum_{i=1}^{n} a_{i}\left(\frac{\partial}{\partial x_{i}}\right)_{p}=\mathbf{0} \tag{3.3.1} \end{equation*}(3.3.1)i=1nai(xi)p=0
a i R a i R (a_(i)inR)( a_{i} \in \mathbb{R} )aiR とする. このとき, T p M T p M T_(p)MT_{p} MTpM における和,実数倍の定義より,
c ^ ( t ) := φ 1 ( i = 1 n a i ( φ ( c i ( t ) ) φ ( p ) ) + φ ( p ) ) c ^ ( t ) := φ 1 i = 1 n a i φ c i ( t ) φ ( p ) + φ ( p ) widehat(c)(t):=varphi^(-1)(sum_(i=1)^(n)a_(i)(varphi(c_(i)(t))-varphi(p))+varphi(p))\widehat{c}(t):=\varphi^{-1}\left(\sum_{i=1}^{n} a_{i}\left(\varphi\left(c_{i}(t)\right)-\varphi(p)\right)+\varphi(p)\right)c^(t):=φ1(i=1nai(φ(ci(t))φ(p))+φ(p))
として、 c ~ ( 0 ) = i = 1 n a i ( x i ) p c ~ ( 0 ) = i = 1 n a i x i p widetilde(c)^(')(0)=sum_(i=1)^(n)a_(i)((del)/(delx_(i)))_(p)\widetilde{c}^{\prime}(0)=\sum_{i=1}^{n} a_{i}\left(\frac{\partial}{\partial x_{i}}\right)_{p}c~(0)=i=1nai(xi)p となる.したがって, 式 (3.3.1)より、 d ( φ c ^ ) d t | t = 0 = ( 0 , , 0 ) d ( φ c ^ ) d t t = 0 = ( 0 , , 0 ) (d(varphi@( widehat(c))))/(dt)|_(t=0)=(0,dots,0)\left.\frac{d(\varphi \circ \widehat{c})}{d t}\right|_{t=0}=(0, \ldots, 0)d(φc^)dt|t=0=(0,,0) となる. 一方, d ( φ c ^ ) d t | t = 0 d ( φ c ^ ) d t t = 0 (d(varphi@( widehat(c))))/(dt)|_(t=0)\left.\frac{d(\varphi \circ \widehat{c})}{d t}\right|_{t=0}d(φc^)dt|t=0 を計算すると,
d ( φ c ^ ) d t | t = 0 = d d t | t = 0 ( i = 1 n a i ( φ ( c i ( t ) ) φ ( p ) ) + φ ( p ) ) = d d t | t = 0 ( p 1 + a 1 t , , p n + a n t ) = ( a 1 , , a n ) d ( φ c ^ ) d t t = 0 = d d t t = 0 i = 1 n a i φ c i ( t ) φ ( p ) + φ ( p ) = d d t t = 0 p 1 + a 1 t , , p n + a n t = a 1 , , a n {:[(d(varphi@( widehat(c))))/(dt)|_(t=0)=(d)/(dt)|_(t=0)(sum_(i=1)^(n)a_(i)(varphi(c_(i)(t))-varphi(p))+varphi(p))],[=(d)/(dt)|_(t=0)(p_(1)+a_(1)t,dots,p_(n)+a_(n)t)=(a_(1),dots,a_(n))]:}\begin{aligned} \left.\frac{d(\varphi \circ \widehat{c})}{d t}\right|_{t=0} & =\left.\frac{d}{d t}\right|_{t=0}\left(\sum_{i=1}^{n} a_{i}\left(\varphi\left(c_{i}(t)\right)-\varphi(p)\right)+\varphi(p)\right) \\ & =\left.\frac{d}{d t}\right|_{t=0}\left(p_{1}+a_{1} t, \ldots, p_{n}+a_{n} t\right)=\left(a_{1}, \ldots, a_{n}\right) \end{aligned}d(φc^)dt|t=0=ddt|t=0(i=1nai(φ(ci(t))φ(p))+φ(p))=ddt|t=0(p1+a1t,,pn+ant)=(a1,,an)
をえる。それゆえ, a 1 = = a n = 0 a 1 = = a n = 0 a_(1)=cdots=a_(n)=0a_{1}=\cdots=a_{n}=0a1==an=0 が導かれる。したがって, ( x i ) p x i p ((del)/(delx_(i)))_(p)\left(\frac{\partial}{\partial x_{i}}\right)_{p}(xi)p , ( x n ) p , x n p dots,((del)/(delx_(n)))_(p)\ldots,\left(\frac{\partial}{\partial x_{n}}\right)_{p},(xn)p が 1 次独立であることが示される.
次に,生成性を示すことにする。任意に v T p M v T p M v inT_(p)M\boldsymbol{v} \in T_{p} MvTpM をとる. v = c ( 0 ) v = c ( 0 ) v=c^(')(0)\boldsymbol{v}=c^{\prime}(0)v=c(0) とす る. ある実数の列 a 1 , , a n a 1 , , a n a_(1),dots,a_(n)a_{1}, \ldots, a_{n}a1,,an に対し,
(3.3.2) v = i = 1 n a i ( x i ) p (3.3.2) v = i = 1 n a i x i p {:(3.3.2)v=sum_(i=1)^(n)a_(i)((del)/(delx_(i)))_(p):}\begin{equation*} \boldsymbol{v}=\sum_{i=1}^{n} a_{i}\left(\frac{\partial}{\partial x_{i}}\right)_{p} \tag{3.3.2} \end{equation*}(3.3.2)v=i=1nai(xi)p
と表されることを示したい. c i , c ^ c i , c ^ c_(i), widehat(c)c_{i}, \widehat{c}ci,c^ を上述のような曲線とする. このとき, 式 (3.3.2) が成り立つためには, d x i ( c ( t ) ) d t | t = 0 = d x i ( c ^ ( t ) ) d t | t = 0 d x i ( c ( t ) ) d t t = 0 = d x i ( c ^ ( t ) ) d t t = 0 (dx_(i)(c(t)))/(dt)|_(t=0)=(dx_(i)(( widehat(c))(t)))/(dt)|_(t=0)\left.\frac{d x_{i}(c(t))}{d t}\right|_{t=0}=\left.\frac{d x_{i}(\widehat{c}(t))}{d t}\right|_{t=0}dxi(c(t))dt|t=0=dxi(c^(t))dt|t=0 が成り立たなけ ればならないが, この式の右辺を計算すると a i a i a_(i)a_{i}ai となるので, 結局, a i = a i = a_(i)=a_{i}=ai= d ( x i c ) d t | t = 0 d x i c d t t = 0 (d(x_(i)@c))/(dt)|_(t=0)\left.\frac{d\left(x_{i} \circ c\right)}{d t}\right|_{t=0}d(xic)dt|t=0 が成り立たなければならないことになる。それゆえ, v v v\boldsymbol{v}v ( x 1 ) p , , ( x n ) p x 1 p , , x n p ((del)/(delx_(1)))_(p),dots,((del)/(delx_(n)))_(p)\left(\frac{\partial}{\partial x_{1}}\right)_{p}, \ldots,\left(\frac{\partial}{\partial x_{n}}\right)_{p}(x1)p,,(xn)p の 1 次結合で表されるとすれば,
(3.3.3) v = i = 1 n d ( x i c ) d t | t = 0 ( x i ) p (3.3.3) v = i = 1 n d x i c d t t = 0 x i p {:(3.3.3)v=sum_(i=1)^(n)(d(x_(i)@c))/(dt)|_(t=0)((del)/(delx_(i)))_(p):}\begin{equation*} \boldsymbol{v}=\left.\sum_{i=1}^{n} \frac{d\left(x_{i} \circ c\right)}{d t}\right|_{t=0}\left(\frac{\partial}{\partial x_{i}}\right)_{p} \tag{3.3.3} \end{equation*}(3.3.3)v=i=1nd(xic)dt|t=0(xi)p
という形をしていなければならないが, 実際にこの式が成り立つことは容易に 確認することできる.このように, v v v\boldsymbol{v}v ( x 1 ) p , , ( x n ) p x 1 p , , x n p ((del)/(delx_(1)))_(p),dots,((del)/(delx_(n)))_(p)\left(\frac{\partial}{\partial x_{1}}\right)_{p}, \ldots,\left(\frac{\partial}{\partial x_{n}}\right)_{p}(x1)p,,(xn)p の 1 次結合 で表される。それゆえ, v v v\boldsymbol{v}v の任意性により, ( x 1 ) p , , ( x n ) p x 1 p , , x n p ((del)/(delx_(1)))_(p),dots,((del)/(delx_(n)))_(p)\left(\frac{\partial}{\partial x_{1}}\right)_{p}, \ldots,\left(\frac{\partial}{\partial x_{n}}\right)_{p}(x1)p,,(xn)p T p M T p M T_(p)MT_{p} MTpM を生成することがわかる。したがって, ( ( x 1 ) p , , ( x n ) p ) x 1 p , , x n p (((del)/(delx_(1)))_(p),dots,((del)/(delx_(n)))_(p))\left(\left(\frac{\partial}{\partial x_{1}}\right)_{p}, \ldots,\left(\frac{\partial}{\partial x_{n}}\right)_{p}\right)((x1)p,,(xn)p) T p M T p M T_(p)MT_{p} MTpM の基底であることが結論される。
この基底 ( ( x i ) p , , ( x n ) p ) x i p , , x n p (((del)/(delx_(i)))_(p),dots,((del)/(delx_(n)))_(p))\left(\left(\frac{\partial}{\partial x_{i}}\right)_{p}, \ldots,\left(\frac{\partial}{\partial x_{n}}\right)_{p}\right)((xi)p,,(xn)p) ( U , φ ) ( U , φ ) (U,varphi)(U, \varphi)(U,φ) p p ppp における座標基底(co-
ordinate basis), または, 自然基底(natural basis)という。式 (3.3.3) によれば, 次の主張が成り立つ.
命題 3.3.2 C r C r C^(r)C^{r}Cr 曲線 c : I M c : I M c:I rarr Mc: I \rightarrow Mc:IM に対し, 次の関係式が成り立つ:
c ( t 0 ) = i = 1 n d ( x i c ) d t | t = t 0 ( x i ) c ( t 0 ) ( t 0 I ) c t 0 = i = 1 n d x i c d t t = t 0 x i c t 0 t 0 I c^(')(t_(0))=sum_(i=1)^(n)(d(x_(i)@c))/(dt)|_(t=t_(0))((del)/(delx_(i)))_(c(t_(0)))quad(t_(0)in I)c^{\prime}\left(t_{0}\right)=\left.\sum_{i=1}^{n} \frac{d\left(x_{i} \circ c\right)}{d t}\right|_{t=t_{0}}\left(\frac{\partial}{\partial x_{i}}\right)_{c\left(t_{0}\right)} \quad\left(t_{0} \in I\right)c(t0)=i=1nd(xic)dt|t=t0(xi)c(t0)(t0I)
この関係式を用いて, 次の関係式が導かれる。
命題 3.3.3 ( U , φ = ( x 1 , , x n ) ) , ( V , ψ = ( y 1 , , y n ) ) U , φ = x 1 , , x n , V , ψ = y 1 , , y n (U,varphi=(x_(1),dots,x_(n))),(V,psi=(y_(1),dots,y_(n)))\left(U, \varphi=\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)\right),\left(V, \psi=\left(y_{1}, \ldots, y_{n}\right)\right)(U,φ=(x1,,xn)),(V,ψ=(y1,,yn)) p p ppp のまわの局所チャートとする。このとき, 次の関係式が成り立つ:
(3.3.4) ( x i ) p = j = 1 n ( ( y j φ 1 ) x i ) φ ( p ) ( y j ) p (3.3.4) x i p = j = 1 n y j φ 1 x i φ ( p ) y j p {:(3.3.4)((del)/(delx_(i)))_(p)=sum_(j=1)^(n)((del(y_(j)@varphi^(-1)))/(delx_(i)))_(varphi(p))((del)/(dely_(j)))_(p):}\begin{equation*} \left(\frac{\partial}{\partial x_{i}}\right)_{p}=\sum_{j=1}^{n}\left(\frac{\partial\left(y_{j} \circ \varphi^{-1}\right)}{\partial x_{i}}\right)_{\varphi(p)}\left(\frac{\partial}{\partial y_{j}}\right)_{p} \tag{3.3.4} \end{equation*}(3.3.4)(xi)p=j=1n((yjφ1)xi)φ(p)(yj)p

証明

c i ( t ) := φ 1 ( x 1 ( p ) , , x i ( p ) + t , , x n ( p ) ) c i ( t ) := φ 1 x 1 ( p ) , , x i ( p ) + t , , x n ( p ) c_(i)(t):=varphi^(-1)(x_(1)(p),dots,x_(i)(p)+t,dots,x_(n)(p))c_{i}(t):=\varphi^{-1}\left(x_{1}(p), \ldots, x_{i}(p)+t, \ldots, x_{n}(p)\right)ci(t):=φ1(x1(p),,xi(p)+t,,xn(p))
とする. このとき, c i ( 0 ) = ( x i ) p c i ( 0 ) = x i p c_(i)^(')(0)=((del)/(delx_(i)))_(p)c_{i}^{\prime}(0)=\left(\frac{\partial}{\partial x_{i}}\right)_{p}ci(0)=(xi)p となるので, 命題 3.3.2 を用いて,
( x i ) p = j = 1 n d ( y j c i ) d t | t = 0 ( y j ) p = j = 1 n d d t | t = 0 ( ( y j φ 1 ) ( x 1 ( p ) , , x i ( p ) + t , , x n ( p ) ) ) ( y j ) p = j = 1 n ( ( y j φ 1 ) x i ) φ ( p ) ( y j ) p x i p = j = 1 n d y j c i d t t = 0 y j p = j = 1 n d d t t = 0 y j φ 1 x 1 ( p ) , , x i ( p ) + t , , x n ( p ) y j p = j = 1 n y j φ 1 x i φ ( p ) y j p {:[((del)/(delx_(i)))_(p)=sum_(j=1)^(n)(d(y_(j)@c_(i)))/(dt)|_(t=0)((del)/(dely_(j)))_(p)],[=sum_(j=1)^(n)(d)/(dt)|_(t=0)((y_(j)@varphi^(-1))(x_(1)(p),dots,x_(i)(p)+t,dots,x_(n)(p)))((del)/(dely_(j)))_(p)],[=sum_(j=1)^(n)((del(y_(j)@varphi^(-1)))/(delx_(i)))_(varphi(p))((del)/(dely_(j)))_(p)]:}\begin{aligned} \left(\frac{\partial}{\partial x_{i}}\right)_{p} & =\left.\sum_{j=1}^{n} \frac{d\left(y_{j} \circ c_{i}\right)}{d t}\right|_{t=0}\left(\frac{\partial}{\partial y_{j}}\right)_{p} \\ & =\left.\sum_{j=1}^{n} \frac{d}{d t}\right|_{t=0}\left(\left(y_{j} \circ \varphi^{-1}\right)\left(x_{1}(p), \ldots, x_{i}(p)+t, \ldots, x_{n}(p)\right)\right)\left(\frac{\partial}{\partial y_{j}}\right)_{p} \\ & =\sum_{j=1}^{n}\left(\frac{\partial\left(y_{j} \circ \varphi^{-1}\right)}{\partial x_{i}}\right)_{\varphi(p)}\left(\frac{\partial}{\partial y_{j}}\right)_{p} \end{aligned}(xi)p=j=1nd(yjci)dt|t=0(yj)p=j=1nddt|t=0((yjφ1)(x1(p),,xi(p)+t,,xn(p)))(yj)p=j=1n((yjφ1)xi)φ(p)(yj)p
が示される.
問 3.3.1 A A A\mathbb{A}A n n nnn 次元ベクトル空間 V V VVV に付随するアフィン空間とし, D := D := D:=\mathcal{D}:=D:= { ( A , φ E , p ) ( E , p ) F ( V ) × A } A , φ E , p ( E , p ) F ( V ) × A {(A,varphi_(E,p))∣(E,p)inF(V)xxA}\left\{\left(\mathbb{A}, \varphi_{E, p}\right) \mid(E, p) \in \mathcal{F}(V) \times \mathbb{A}\right\}{(A,φE,p)(E,p)F(V)×A} を問 3.1.1 で述べたような A A A\mathbb{A}A C ω C ω C^(omega)C^{\omega}Cω 構造とする. o o ooo A A A\mathbb{A}A の基点として固定する. v V v V v in V\boldsymbol{v} \in VvV に対し, A A A\mathbb{A}A 上の C C C^(oo)C^{\infty}C 級曲線 c v : R A c v : R A c_(v):RrarrAc_{\boldsymbol{v}}: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{A}cv:RA
c v ( t ) := Φ o 1 ( o p + t v ) ( t R ) c v ( t ) := Φ o 1 ( o p + t v ) ( t R ) c_(v)(t):=Phi_(o)^(-1)( vec(op)+tv)quad(t inR)c_{\boldsymbol{v}}(t):=\Phi_{o}^{-1}(\overrightarrow{o p}+t \boldsymbol{v}) \quad(t \in \mathbb{R})cv(t):=Φo1(op+tv)(tR)
と定義する. ここで Φ o Φ o Phi_(o)\Phi_{o}Φo は, 1.1 節, および問 3.1.1 で述べた A A A\mathbb{A}A から V V VVV への全単射
である. 明らかに, c v ( 0 ) = p c v ( 0 ) = p c_(v)(0)=pc_{\boldsymbol{v}}(0)=pcv(0)=p なので, c v ( 0 ) c v ( 0 ) c_(v)^(')(0)c_{\boldsymbol{v}}^{\prime}(0)cv(0) T p A T p A T_(p)AT_{p} \mathbb{A}TpA の元である. 写像 Ψ p : V Ψ p : V Psi_(p):V rarr\Psi_{p}: V \rightarrowΨp:V T p A T p A T_(p)AT_{p} \mathbb{A}TpA
Ψ p ( v ) = c v ( 0 ) ( v V ) Ψ p ( v ) = c v ( 0 ) ( v V ) Psi_(p)(v)=c_(v)^(')(0)quad(v in V)\Psi_{p}(\boldsymbol{v})=c_{\boldsymbol{v}}^{\prime}(0) \quad(\boldsymbol{v} \in V)Ψp(v)=cv(0)(vV)
と定義する. この写像 Ψ p Ψ p Psi_(p)\Psi_{p}Ψp が線形同型写像であることを示せ(通常, この線形同型写像 Ψ p Ψ p Psi_(p)\Psi_{p}Ψp を通じて, T p A T p A T_(p)AT_{p} \mathbb{A}TpA V V VVV と同一視される).
C ( p ) C ( p ) C^(oo)(p)C^{\infty}(p)C(p) を, p p ppp の近傍上で定義された C C C^(oo)C^{\infty}C 級関数全体からなる集合とする. v ( = c ( t 0 ) ) T p M v = c t 0 T p M v(=c^(')(t_(0)))inT_(p)M\boldsymbol{v}\left(=c^{\prime}\left(t_{0}\right)\right) \in T_{p} Mv(=c(t0))TpM f C ( p ) f C ( p ) f inC^(oo)(p)f \in C^{\infty}(p)fC(p) に対し, v ( f ) v ( f ) v(f)\boldsymbol{v}(f)v(f) v ( f ) := d f ( c ( t ) ) d t | t = t 0 v ( f ) := d f ( c ( t ) ) d t t = t 0 v(f):=(df(c(t)))/(dt)|_(t=t_(0))\boldsymbol{v}(f):=\left.\frac{d f(c(t))}{d t}\right|_{t=t_{0}}v(f):=df(c(t))dt|t=t0 に よって定義する.
問 3.3.2 v ( f ) v ( f ) v(f)\boldsymbol{v}(f)v(f) は well-defined, つまり, c ( t 0 ) = v c t 0 = v c^(')(t_(0))=vc^{\prime}\left(t_{0}\right)=\boldsymbol{v}c(t0)=v となる曲線 c c ccc のとり方によら ないことを示せ.
v ( f ) v ( f ) v(f)\boldsymbol{v}(f)v(f) f f fff v v v\boldsymbol{v}v に関する方向微分という. 明らかに, 方向微分に関して, 次 の事実が成り立つ.
命題 3.3.4 v T p M v T p M quad v inT_(p)M\quad \boldsymbol{v} \in T_{p} MvTpM に対し, 次の (i)-(iii) が成り立つ.
(i) f f fff p p ppp のある近傍で一定であるならば, v ( f ) = 0 v ( f ) = 0 v(f)=0\boldsymbol{v}(f)=0v(f)=0 となる;
(ii) v ( a f 1 + b f 2 ) = a v ( f 1 ) + b v ( f 2 ) ( a , b R , f 1 , f 2 C ( p ) ) v a f 1 + b f 2 = a v f 1 + b v f 2 a , b R , f 1 , f 2 C ( p ) v(af_(1)+bf_(2))=av(f_(1))+bv(f_(2))quad(a,b inR,f_(1),f_(2)inC^(oo)(p))\boldsymbol{v}\left(a f_{1}+b f_{2}\right)=a \boldsymbol{v}\left(f_{1}\right)+b \boldsymbol{v}\left(f_{2}\right) \quad\left(a, b \in \mathbb{R}, f_{1}, f_{2} \in C^{\infty}(p)\right)v(af1+bf2)=av(f1)+bv(f2)(a,bR,f1,f2C(p));
(iii) v ( f 1 f 2 ) = f 1 ( p ) v ( f 2 ) + v ( f 1 ) f 2 ( p ) ( f 1 , f 2 C ( p ) ) v f 1 f 2 = f 1 ( p ) v f 2 + v f 1 f 2 ( p ) f 1 , f 2 C ( p ) v(f_(1)f_(2))=f_(1)(p)v(f_(2))+v(f_(1))f_(2)(p)quad(f_(1),f_(2)inC^(oo)(p))\boldsymbol{v}\left(f_{1} f_{2}\right)=f_{1}(p) \boldsymbol{v}\left(f_{2}\right)+\boldsymbol{v}\left(f_{1}\right) f_{2}(p) \quad\left(f_{1}, f_{2} \in C^{\infty}(p)\right)v(f1f2)=f1(p)v(f2)+v(f1)f2(p)(f1,f2C(p)).
問 3.3.3 ( U , φ = ( x 1 , , x n ) ) U , φ = x 1 , , x n (U,varphi=(x_(1),dots,x_(n)))\left(U, \varphi=\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)\right)(U,φ=(x1,,xn)) n n nnn 次元 C C C^(oo)C^{\infty}C 多様体 M M MMM の点 p p ppp のまわりの局所チ ヤートとする. v T p M v T p M v inT_(p)M\boldsymbol{v} \in T_{p} MvTpM に対し,
(3.3.5) v = i = 1 n v ( x i ) ( x i ) p (3.3.5) v = i = 1 n v x i x i p {:(3.3.5)v=sum_(i=1)^(n)v(x_(i))((del)/(delx_(i)))_(p):}\begin{equation*} \boldsymbol{v}=\sum_{i=1}^{n} \boldsymbol{v}\left(x_{i}\right)\left(\frac{\partial}{\partial x_{i}}\right)_{p} \tag{3.3.5} \end{equation*}(3.3.5)v=i=1nv(xi)(xi)p
が成り立つことを示せ.
C ( p ) C ( p ) C^(oo)(p)C^{\infty}(p)C(p) から R R R\mathbb{R}R への写像 v ^ v ^ hat(v)\hat{\boldsymbol{v}}v^ で, 命題 3.3 .4 における条件 (i)-(iii) を满たすよ うなものの全体を T p M T p M T_(p)M\mathcal{T}_{p} MTpM と表すことにする。 T p M T p M T_(p)M\mathcal{T}_{p} MTpM は, 自然な和,実数倍の下 にベクトル空間になる。各 v T p M v T p M v inT_(p)M\boldsymbol{v} \in T_{p} MvTpM に対し, v ^ ( f ) := v ( f ) ( f C ( p ) ) v ^ ( f ) := v ( f ) f C ( p ) hat(v)(f):=v(f)(f inC^(oo)(p))\hat{\boldsymbol{v}}(f):=\boldsymbol{v}(f)\left(f \in C^{\infty}(p)\right)v^(f):=v(f)(fC(p)) に よって定義される v ^ T p M v ^ T p M hat(v)inT_(p)M\hat{\boldsymbol{v}} \in \mathcal{T}_{p} Mv^TpM を対応させる対応は, T p M T p M T_(p)MT_{p} MTpM から T p M T p M T_(p)M\mathcal{T}_{p} MTpM への線形同型写像を与えることが容易に示される。本によっては, この線形同型写像を通 じて, T p M T p M T_(p)MT_{p} MTpM T p M T p M T_(p)M\mathcal{T}_{p} MTpM を同一視することにより, T p M T p M T_(p)M\mathcal{T}_{p} MTpM の各元を M M MMM の点 p p ppp にお ける接ベクトルとよび, T p M T p M T_(p)M\mathcal{T}_{p} MTpM M M MMM の点 p p ppp における接空間とよんでいる.
問 3.3.4 実際に, 各 v T p M v T p M v inT_(p)M\boldsymbol{v} \in T_{p} MvTpM に対し, v ^ ( f ) := v ( f ) ( f C ( p ) ) v ^ ( f ) := v ( f ) f C ( p ) hat(v)(f):=v(f)(f inC^(oo)(p))\hat{\boldsymbol{v}}(f):=\boldsymbol{v}(f)\left(f \in C^{\infty}(p)\right)v^(f):=v(f)(fC(p)) によって定義 される v ^ T p M v ^ T p M hat(v)inT_(p)M\hat{\boldsymbol{v}} \in \mathcal{T}_{p} Mv^TpM を対応させる対応は, T p M T p M T_(p)MT_{p} MTpM から T p M T p M T_(p)M\mathcal{T}_{p} MTpM への線形同型写像を与える ことを示せ.
問 3.3.5 D := { ( U i + , φ i + ) i = 1 , , n + 1 } { ( U i , φ i ) i = 1 , , n + 1 } D := U i + , φ i + i = 1 , , n + 1 U i , φ i i = 1 , , n + 1 D:={(U_(i)^(+),varphi_(i)^(+))∣i=1,dots,n+1}uu{(U_(i)^(-),varphi_(i)^(-))∣i=1,dots,n+1}\mathcal{D}:=\left\{\left(U_{i}^{+}, \varphi_{i}^{+}\right) \mid i=1, \ldots, n+1\right\} \cup\left\{\left(U_{i}^{-}, \varphi_{i}^{-}\right) \mid i=1, \ldots, n+1\right\}D:={(Ui+,φi+)i=1,,n+1}{(Ui,φi)i=1,,n+1} を 問 3.1.2 で述べたような n n nnn 次元単位球面 S n ( 1 ) S n ( 1 ) S^(n)(1)S^{n}(1)Sn(1) C ω C ω C^(omega)C^{\omega}Cω 構造とする. この問いでは, n = 2 n = 2 n=2n=2n=2 の場合を考えよう. 2 次元 C ω C ω C^(omega)C^{\omega}Cω 多様体 ( S 2 ( 1 ) , D ) S 2 ( 1 ) , D (S^(2)(1),D)\left(S^{2}(1), \mathcal{D}\right)(S2(1),D) 上の C C C^(oo)C^{\infty}C 曲線 c c ccc を,
c ( t ) := ( cos ( t + π 6 ) , 1 2 sin ( t + π 6 ) , 3 2 sin ( t + π 6 ) ) c ( t ) := cos t + π 6 , 1 2 sin t + π 6 , 3 2 sin t + π 6 c(t):=(cos(t+(pi)/(6)),(1)/(2)sin(t+(pi)/(6)),(sqrt3)/(2)sin(t+(pi)/(6)))c(t):=\left(\cos \left(t+\frac{\pi}{6}\right), \frac{1}{2} \sin \left(t+\frac{\pi}{6}\right), \frac{\sqrt{3}}{2} \sin \left(t+\frac{\pi}{6}\right)\right)c(t):=(cos(t+π6),12sin(t+π6),32sin(t+π6))
と定義し, p := c ( 0 ) , v := c ( 0 ) p := c ( 0 ) , v := c ( 0 ) p:=c(0),v:=c^(')(0)p:=c(0), \boldsymbol{v}:=c^{\prime}(0)p:=c(0),v:=c(0) とおく. また, ( S 2 ( 1 ) , D ) S 2 ( 1 ) , D (S^(2)(1),D)\left(S^{2}(1), \mathcal{D}\right)(S2(1),D) 上の C ω C ω C^(omega)C^{\omega}Cω 級関数 f f fff f ( x 1 , x 2 , x 3 ) := x 1 f x 1 , x 2 , x 3 := x 1 f(x_(1),x_(2),x_(3)):=x_(1)f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right):=x_{1}f(x1,x2,x3):=x1 によって定義する。以下, φ 1 + = ( y 1 , y 2 ) φ 1 + = y 1 , y 2 varphi_(1)^(+)=(y_(1),y_(2))\varphi_{1}^{+}=\left(y_{1}, y_{2}\right)φ1+=(y1,y2) とする.
(i) ( y 1 ) p ( f ) , ( y 2 ) p ( f ) y 1 p ( f ) , y 2 p ( f ) ((del)/(dely_(1)))_(p)(f),((del)/(dely_(2)))_(p)(f)\left(\frac{\partial}{\partial y_{1}}\right)_{p}(f),\left(\frac{\partial}{\partial y_{2}}\right)_{p}(f)(y1)p(f),(y2)p(f) を求めよ.
(ii) v v v\boldsymbol{v}v ( y 1 ) p , ( y 2 ) p y 1 p , y 2 p ((del)/(dely_(1)))_(p),((del)/(dely_(2)))_(p)\left(\frac{\partial}{\partial y_{1}}\right)_{p},\left(\frac{\partial}{\partial y_{2}}\right)_{p}(y1)p,(y2)p の 1 次結合で表せ.
(iii) (i), (ii) の計算結果を用いて, v ( f ) v ( f ) v(f)\boldsymbol{v}(f)v(f) を求めよ.
(iv) (i), (ii) の計算結果を用いずに, 直接 v ( f ) v ( f ) v(f)\boldsymbol{v}(f)v(f) を求めよ.

3.4 写像の微分

この節では r 1 r 1 r >= 1r \geq 1r1 とする。この節において, C C C^(oo)C^{\infty}C 多様体間の C r C r C^(r)C^{r}Cr 写像の微分 を定義することにする. f f fff m m mmm 次元 C C C^(oo)C^{\infty}C 多様体 M M MMM から n n nnn 次元 C C C^(oo)C^{\infty}C 多様体 N N NNN への C r C r C^(r)C^{r}Cr 写像とする. p M p M p in Mp \in MpM に対し, 写像 d f p : T p M T f ( p ) N d f p : T p M T f ( p ) N df_(p):T_(p)M rarrT_(f(p))Nd f_{p}: T_{p} M \rightarrow T_{f(p)} Ndfp:TpMTf(p)N を次式によっ て定義する:
d f p ( v ) := ( f c ) ( t 0 ) ( v = c ( t 0 ) T p M ) d f p ( v ) := ( f c ) t 0 v = c t 0 T p M df_(p)(v):=(f@c)^(')(t_(0))quad(v=c^(')(t_(0))inT_(p)M)d f_{p}(\boldsymbol{v}):=(f \circ c)^{\prime}\left(t_{0}\right) \quad\left(\boldsymbol{v}=c^{\prime}\left(t_{0}\right) \in T_{p} M\right)dfp(v):=(fc)(t0)(v=c(t0)TpM)
(図 3.4.1 を参照). この写像 d f p d f p df_(p)d f_{p}dfp が well-definedであること, つまり, c ( t 0 ) c t 0 c^(')(t_(0))c^{\prime}\left(t_{0}\right)c(t0) = v = v =v=\boldsymbol{v}=v となる C r C r C^(r)C^{r}Cr 曲線 c c ccc のとり方によらないことを示そう. v = c 1 ( t 1 ) = c 2 ( t 2 ) v = c 1 t 1 = c 2 t 2 v=c_(1)^(')(t_(1))=c_(2)^(')(t_(2))\boldsymbol{v}=c_{1}^{\prime}\left(t_{1}\right)=c_{2}^{\prime}\left(t_{2}\right)v=c1(t1)=c2(t2) とする. p p ppp のまわりの M M MMM の局所チャート ( U , φ = ( x 1 , , x m ) ) U , φ = x 1 , , x m (U,varphi=(x_(1),dots,x_(m)))\left(U, \varphi=\left(x_{1}, \ldots, x_{m}\right)\right)(U,φ=(x1,,xm)) f ( p ) f ( p ) f(p)f(p)f(p) のま わりの N N NNN の局所チャート ( V , ψ = ( y 1 , , y n ) ) V , ψ = y 1 , , y n (V,psi=(y_(1),dots,y_(n)))\left(V, \psi=\left(y_{1}, \ldots, y_{n}\right)\right)(V,ψ=(y1,,yn)) をる. このとき,
図 3.4.1 写像の微分
( f c 1 ) ( t 1 ) = j = 1 n d y j ( f ( c 1 ( t ) ) ) d t | t = t 1 ( y j ) f ( p ) = j = 1 n i = 1 m ( ( y j f φ 1 ) x i ) φ ( p ) d x i ( c 1 ( t ) ) d t | t = t 1 ( y j ) f ( p ) = j = 1 n i = 1 m ( ( y j f φ 1 ) x i ) φ ( p ) d x i ( c 2 ( t ) ) d t | t = t 2 ( y j ) f ( p ) = ( f c 2 ) ( t 2 ) f c 1 t 1 = j = 1 n d y j f c 1 ( t ) d t t = t 1 y j f ( p ) = j = 1 n i = 1 m y j f φ 1 x i φ ( p ) d x i c 1 ( t ) d t t = t 1 y j f ( p ) = j = 1 n i = 1 m y j f φ 1 x i φ ( p ) d x i c 2 ( t ) d t t = t 2 y j f ( p ) = f c 2 t 2 {:[(f@c_(1))^(')(t_(1))=sum_(j=1)^(n)(dy_(j)(f(c_(1)(t))))/(dt)|_(t=t_(1))((del)/(dely_(j)))_(f(p))],[=sum_(j=1)^(n)sum_(i=1)^(m)((del(y_(j)@f@varphi^(-1)))/(delx_(i)))_(varphi(p))(dx_(i)(c_(1)(t)))/(dt)|_(t=t_(1))((del)/(dely_(j)))_(f(p))],[=sum_(j=1)^(n)sum_(i=1)^(m)((del(y_(j)@f@varphi^(-1)))/(delx_(i)))_(varphi(p))(dx_(i)(c_(2)(t)))/(dt)|_(t=t_(2))((del)/(dely_(j)))_(f(p))],[=(f@c_(2))^(')(t_(2))]:}\begin{aligned} \left(f \circ c_{1}\right)^{\prime}\left(t_{1}\right) & =\left.\sum_{j=1}^{n} \frac{d y_{j}\left(f\left(c_{1}(t)\right)\right)}{d t}\right|_{t=t_{1}}\left(\frac{\partial}{\partial y_{j}}\right)_{f(p)} \\ & =\left.\sum_{j=1}^{n} \sum_{i=1}^{m}\left(\frac{\partial\left(y_{j} \circ f \circ \varphi^{-1}\right)}{\partial x_{i}}\right)_{\varphi(p)} \frac{d x_{i}\left(c_{1}(t)\right)}{d t}\right|_{t=t_{1}}\left(\frac{\partial}{\partial y_{j}}\right)_{f(p)} \\ & =\left.\sum_{j=1}^{n} \sum_{i=1}^{m}\left(\frac{\partial\left(y_{j} \circ f \circ \varphi^{-1}\right)}{\partial x_{i}}\right)_{\varphi(p)} \frac{d x_{i}\left(c_{2}(t)\right)}{d t}\right|_{t=t_{2}}\left(\frac{\partial}{\partial y_{j}}\right)_{f(p)} \\ & =\left(f \circ c_{2}\right)^{\prime}\left(t_{2}\right) \end{aligned}(fc1)(t1)=j=1ndyj(f(c1(t)))dt|t=t1(yj)f(p)=j=1ni=1m((yjfφ1)xi)φ(p)dxi(c1(t))dt|t=t1(yj)f(p)=j=1ni=1m((yjfφ1)xi)φ(p)dxi(c2(t))dt|t=t2(yj)f(p)=(fc2)(t2)
をえる。したがって, d f p d f p df_(p)d f_{p}dfp がwell-defined であることがわかる. d f p d f p df_(p)d f_{p}dfp f f f\boldsymbol{f}f p p p\boldsymbol{p}p における微分(the differential of f f f\boldsymbol{f}f at p p p)\boldsymbol{p} )p という。以下において, d f p d f p df_(p)d f_{p}dfp f p f p f_(**p)f_{* p}fp と表すこともある.
命題 3.4.1 d f p d f p df_(p)d f_{p}dfp は線形写像である.
証明 a , b R , v 1 ( = c 1 ( 0 ) ) , v 2 ( = c 2 ( 0 ) ) T p M a , b R , v 1 = c 1 ( 0 ) , v 2 = c 2 ( 0 ) T p M a,b inR,v_(1)(=c_(1)^(')(0)),v_(2)(=c_(2)^(')(0))inT_(p)Ma, b \in \mathbb{R}, \boldsymbol{v}_{1}\left(=c_{1}^{\prime}(0)\right), \boldsymbol{v}_{2}\left(=c_{2}^{\prime}(0)\right) \in T_{p} Ma,bR,v1(=c1(0)),v2(=c2(0))TpM とする. p p ppp のまわりの M M MMM の局所チャート ( U , φ = ( x 1 , , x m ) ) U , φ = x 1 , , x m (U,varphi=(x_(1),dots,x_(m)))\left(U, \varphi=\left(x_{1}, \ldots, x_{m}\right)\right)(U,φ=(x1,,xm)) f ( p ) f ( p ) f(p)f(p)f(p) のまわりの N N NNN の局所チャー ト ( V , ψ = ( y 1 , , y n ) ) V , ψ = y 1 , , y n (V,psi=(y_(1),dots,y_(n)))\left(V, \psi=\left(y_{1}, \ldots, y_{n}\right)\right)(V,ψ=(y1,,yn)) をとる.
c ^ ( t ) := φ 1 ( a ( φ ( c 1 ( t ) ) φ ( p ) ) + b ( φ ( c 2 ( t ) ) φ ( p ) ) + φ ( p ) ) ( = φ 1 ( a ( x 1 ( c 1 ( t ) ) x 1 ( p ) ) + b ( x 1 ( c 2 ( t ) ) x 1 ( p ) ) + x 1 ( p ) , a ( x n ( c 1 ( t ) ) x n ( p ) ) + b ( x n ( c 2 ( t ) ) x n ( p ) ) + x n ( p ) ) c ^ ( t ) := φ 1 ( a φ c 1 ( t ) φ ( p ) + b φ c 2 ( t ) φ ( p ) + φ ( p ) = φ 1 a x 1 c 1 ( t ) x 1 ( p ) + b x 1 c 2 ( t ) x 1 ( p ) + x 1 ( p ) , a x n c 1 ( t ) x n ( p ) + b x n c 2 ( t ) x n ( p ) + x n ( p ) {:[ widehat(c)(t):=varphi^(-1)({:a(varphi(c_(1)(t))-varphi(p))+b(varphi(c_(2)(t))-varphi(p))+varphi(p))],[(=varphi^(-1)(a(x_(1)(c_(1)(t))-x_(1)(p))+b(x_(1)(c_(2)(t))-x_(1)(p))+x_(1)(p):}],[{: quad dots,a(x_(n)(c_(1)(t))-x_(n)(p))+b(x_(n)(c_(2)(t))-x_(n)(p))+x_(n)(p))]:}\begin{aligned} & \widehat{c}(t):=\varphi^{-1}(\left.a\left(\varphi\left(c_{1}(t)\right)-\varphi(p)\right)+b\left(\varphi\left(c_{2}(t)\right)-\varphi(p)\right)+\varphi(p)\right) \\ &\left(=\varphi^{-1}\left(a\left(x_{1}\left(c_{1}(t)\right)-x_{1}(p)\right)+b\left(x_{1}\left(c_{2}(t)\right)-x_{1}(p)\right)+x_{1}(p)\right.\right. \\ &\left.\quad \ldots, a\left(x_{n}\left(c_{1}(t)\right)-x_{n}(p)\right)+b\left(x_{n}\left(c_{2}(t)\right)-x_{n}(p)\right)+x_{n}(p)\right) \end{aligned}c^(t):=φ1(a(φ(c1(t))φ(p))+b(φ(c2(t))φ(p))+φ(p))(=φ1(a(x1(c1(t))x1(p))+b(x1(c2(t))x1(p))+x1(p),a(xn(c1(t))xn(p))+b(xn(c2(t))xn(p))+xn(p))
として、 c ^ ( 0 ) = a v 1 + b v 2 c ^ ( 0 ) = a v 1 + b v 2 widehat(c)^(')(0)=av_(1)+bv_(2)\widehat{c}^{\prime}(0)=a \boldsymbol{v}_{1}+b \boldsymbol{v}_{2}c^(0)=av1+bv2 となる. それゆえ、
d f p ( a v 1 + b v 2 ) = ( f c ^ ) ( 0 ) = j = 1 n d ( y j f c ^ ) d t | t = 0 ( y j ) f ( p ) = j = 1 n i = 1 m ( ( y j f φ 1 ) x i ) φ ( p ) d ( x i c ^ ) d t | t = 0 ( y j ) f ( p ) d f p a v 1 + b v 2 = ( f c ^ ) ( 0 ) = j = 1 n d y j f c ^ d t t = 0 y j f ( p ) = j = 1 n i = 1 m y j f φ 1 x i φ ( p ) d x i c ^ d t t = 0 y j f ( p ) {:[df_(p)(av_(1)+bv_(2))=(f@ widehat(c))^(')(0)=sum_(j=1)^(n)(d(y_(j)@f@( widehat(c))))/(dt)|_(t=0)((del)/(dely_(j)))_(f(p))],[=sum_(j=1)^(n)sum_(i=1)^(m)((del(y_(j)@f@varphi^(-1)))/(delx_(i)))_(varphi(p))(d(x_(i)@( widehat(c))))/(dt)|_(t=0)((del)/(dely_(j)))_(f(p))]:}\begin{aligned} d f_{p}\left(a \boldsymbol{v}_{1}+b \boldsymbol{v}_{2}\right) & =(f \circ \widehat{c})^{\prime}(0)=\left.\sum_{j=1}^{n} \frac{d\left(y_{j} \circ f \circ \widehat{c}\right)}{d t}\right|_{t=0}\left(\frac{\partial}{\partial y_{j}}\right)_{f(p)} \\ & =\left.\sum_{j=1}^{n} \sum_{i=1}^{m}\left(\frac{\partial\left(y_{j} \circ f \circ \varphi^{-1}\right)}{\partial x_{i}}\right)_{\varphi(p)} \frac{d\left(x_{i} \circ \widehat{c}\right)}{d t}\right|_{t=0}\left(\frac{\partial}{\partial y_{j}}\right)_{f(p)} \end{aligned}dfp(av1+bv2)=(fc^)(0)=j=1nd(yjfc^)dt|t=0(yj)f(p)=j=1ni=1m((yjfφ1)xi)φ(p)d(xic^)dt|t=0(yj)f(p)
となる. 一方,
( x i c ^ ) ( t ) = a ( x i ( c 1 ( t ) ) x i ( p ) ) + b ( x i ( c 2 ( t ) ) x i ( p ) ) + x i ( p ) x i c ^ ( t ) = a x i c 1 ( t ) x i ( p ) + b x i c 2 ( t ) x i ( p ) + x i ( p ) (x_(i)@( widehat(c)))(t)=a(x_(i)(c_(1)(t))-x_(i)(p))+b(x_(i)(c_(2)(t))-x_(i)(p))+x_(i)(p)\left(x_{i} \circ \widehat{c}\right)(t)=a\left(x_{i}\left(c_{1}(t)\right)-x_{i}(p)\right)+b\left(x_{i}\left(c_{2}(t)\right)-x_{i}(p)\right)+x_{i}(p)(xic^)(t)=a(xi(c1(t))xi(p))+b(xi(c2(t))xi(p))+xi(p)
なので,
d ( x i c ^ ) d t | t = 0 = a d ( x i c 1 ) d t | t = 0 + b d ( x i c 2 ) d t | t = 0 d x i c ^ d t t = 0 = a d x i c 1 d t t = 0 + b d x i c 2 d t t = 0 (d(x_(i)@( widehat(c))))/(dt)|_(t=0)=a(d(x_(i)@c_(1)))/(dt)|_(t=0)+b(d(x_(i)@c_(2)))/(dt)|_(t=0)\left.\frac{d\left(x_{i} \circ \widehat{c}\right)}{d t}\right|_{t=0}=\left.a \frac{d\left(x_{i} \circ c_{1}\right)}{d t}\right|_{t=0}+\left.b \frac{d\left(x_{i} \circ c_{2}\right)}{d t}\right|_{t=0}d(xic^)dt|t=0=ad(xic1)dt|t=0+bd(xic2)dt|t=0
となる. それゆえ,
d f p ( a v 1 + b v 2 ) = a j = 1 n i = 1 m ( ( y j f φ 1 ) x i ) φ ( p ) d ( x i c 1 ) d t | t = 0 ( y j ) f ( p ) + b j = 1 n i = 1 m ( ( y j f φ 1 ) x i ) φ ( p ) d ( x i c 2 ) d t | t = 0 ( y j ) f ( p ) = a ( f c 1 ) ( 0 ) + b ( f c 2 ) ( 0 ) = a d f p ( v 1 ) + b d f p ( v 2 ) d f p a v 1 + b v 2 = a j = 1 n i = 1 m y j f φ 1 x i φ ( p ) d x i c 1 d t t = 0 y j f ( p ) + b j = 1 n i = 1 m y j f φ 1 x i φ ( p ) d x i c 2 d t t = 0 y j f ( p ) = a f c 1 ( 0 ) + b f c 2 ( 0 ) = a d f p v 1 + b d f p v 2 {:[df_(p)(av_(1)+bv_(2))=asum_(j=1)^(n)sum_(i=1)^(m)((del(y_(j)@f@varphi^(-1)))/(delx_(i)))_(varphi(p))(d(x_(i)@c_(1)))/(dt)|_(t=0)((del)/(dely_(j)))_(f(p))],[+bsum_(j=1)^(n)sum_(i=1)^(m)((del(y_(j)@f@varphi^(-1)))/(delx_(i)))_(varphi(p))(d(x_(i)@c_(2)))/(dt)|_(t=0)((del)/(dely_(j)))_(f(p))],[=a(f@c_(1))^(')(0)+b(f@c_(2))^(')(0)=adf_(p)(v_(1))+bdf_(p)(v_(2))]:}\begin{aligned} d f_{p}\left(a \boldsymbol{v}_{1}+b \boldsymbol{v}_{2}\right)= & \left.a \sum_{j=1}^{n} \sum_{i=1}^{m}\left(\frac{\partial\left(y_{j} \circ f \circ \varphi^{-1}\right)}{\partial x_{i}}\right)_{\varphi(p)} \frac{d\left(x_{i} \circ c_{1}\right)}{d t}\right|_{t=0}\left(\frac{\partial}{\partial y_{j}}\right)_{f(p)} \\ & +\left.b \sum_{j=1}^{n} \sum_{i=1}^{m}\left(\frac{\partial\left(y_{j} \circ f \circ \varphi^{-1}\right)}{\partial x_{i}}\right)_{\varphi(p)} \frac{d\left(x_{i} \circ c_{2}\right)}{d t}\right|_{t=0}\left(\frac{\partial}{\partial y_{j}}\right)_{f(p)} \\ = & a\left(f \circ c_{1}\right)^{\prime}(0)+b\left(f \circ c_{2}\right)^{\prime}(0)=a d f_{p}\left(\boldsymbol{v}_{1}\right)+b d f_{p}\left(\boldsymbol{v}_{2}\right) \end{aligned}dfp(av1+bv2)=aj=1ni=1m((yjfφ1)xi)φ(p)d(xic1)dt|t=0(yj)f(p)+bj=1ni=1m((yjfφ1)xi)φ(p)d(xic2)dt|t=0(yj)f(p)=a(fc1)(0)+b(fc2)(0)=adfp(v1)+bdfp(v2)
が示され, d f p d f p df_(p)d f_{p}dfp が線形写像であることがわかる.
注意 d f p d f p df_(p)d f_{p}dfp は, f f fff p p ppp において無限小化してえられる線形写像と解釈される.
次に, C C C^(oo)C^{\infty}C 多様体間の C r C r C^(r)C^{r}Cr 写像のヤコビ行列を定義する. ( U , φ = ( x 1 , U , φ = x 1 , (U,varphi=(x_(1),dots:}\left(U, \varphi=\left(x_{1}, \ldots\right.\right.(U,φ=(x1,, x m ) ) x m {:x_(m)))\left.\left.x_{m}\right)\right)xm)) p p ppp のわりの M M MMM の局所チャートとし, ( V , ψ = ( y 1 , , y n ) ) V , ψ = y 1 , , y n (V,psi=(y_(1),dots,y_(n)))\left(V, \psi=\left(y_{1}, \ldots, y_{n}\right)\right)(V,ψ=(y1,,yn)) f ( p ) f ( p ) f(p)f(p)f(p) のまわりの N N NNN の局所チャートとする. c i ( t ) := φ 1 ( x 1 ( p ) , , x i ( p ) + t , c i ( t ) := φ 1 x 1 ( p ) , , x i ( p ) + t , c_(i)(t):=varphi^(-1)(x_(1)(p),dots,x_(i)(p)+t,dots:}c_{i}(t):=\varphi^{-1}\left(x_{1}(p), \ldots, x_{i}(p)+t, \ldots\right.ci(t):=φ1(x1(p),,xi(p)+t,, x n ( p ) ) x n ( p ) {:x_(n)(p))\left.x_{n}(p)\right)xn(p)) とすると, c i ( 0 ) = ( x i ) p c i ( 0 ) = x i p c_(i)^(')(0)=((del)/(delx_(i)))_(p)c_{i}^{\prime}(0)=\left(\frac{\partial}{\partial x_{i}}\right)_{p}ci(0)=(xi)p となるので,
d f p ( ( x i ) p ) = j = 1 n d ( y j f c i ) d t | t = 0 ( y j ) f ( p ) (3.4.1) = j = 1 n ( ( y j f φ 1 ) x i ) φ ( p ) ( y j ) f ( p ) d f p x i p = j = 1 n d y j f c i d t t = 0 y j f ( p ) (3.4.1) = j = 1 n y j f φ 1 x i φ ( p ) y j f ( p ) {:[df_(p)(((del)/(delx_(i)))_(p))=sum_(j=1)^(n)(d(y_(j)@f@c_(i)))/(dt)|_(t=0)((del)/(dely_(j)))_(f(p))],[(3.4.1)=sum_(j=1)^(n)((del(y_(j)@f@varphi^(-1)))/(delx_(i)))_(varphi(p))((del)/(dely_(j)))_(f(p))]:}\begin{align*} d f_{p}\left(\left(\frac{\partial}{\partial x_{i}}\right)_{p}\right) & =\left.\sum_{j=1}^{n} \frac{d\left(y_{j} \circ f \circ c_{i}\right)}{d t}\right|_{t=0}\left(\frac{\partial}{\partial y_{j}}\right)_{f(p)} \\ & =\sum_{j=1}^{n}\left(\frac{\partial\left(y_{j} \circ f \circ \varphi^{-1}\right)}{\partial x_{i}}\right)_{\varphi(p)}\left(\frac{\partial}{\partial y_{j}}\right)_{f(p)} \tag{3.4.1} \end{align*}dfp((xi)p)=j=1nd(yjfci)dt|t=0(yj)f(p)(3.4.1)=j=1n((yjfφ1)xi)φ(p)(yj)f(p)
が示される。この関係式は, 線形写像 d f p : T p M T f ( p ) N d f p : T p M T f ( p ) N df_(p):T_(p)M rarrT_(f(p))Nd f_{p}: T_{p} M \rightarrow T_{f(p)} Ndfp:TpMTf(p)N の基底 ( ( x 1 ) p , , ( x m ) p ) x 1 p , , x m p (((del)/(delx_(1)))_(p),dots,((del)/(delx_(m)))_(p))\left(\left(\frac{\partial}{\partial x_{1}}\right)_{p}, \ldots,\left(\frac{\partial}{\partial x_{m}}\right)_{p}\right)((x1)p,,(xm)p) と基底 ( ( y 1 ) f ( p ) , , ( y n ) f ( p ) ) y 1 f ( p ) , , y n f ( p ) (((del)/(dely_(1)))_(f(p)),dots,((del)/(dely_(n)))_(f(p)))\left(\left(\frac{\partial}{\partial y_{1}}\right)_{f(p)}, \ldots,\left(\frac{\partial}{\partial y_{n}}\right)_{f(p)}\right)((y1)f(p),,(yn)f(p)) に関する 表現行列が ( ( ( y j f φ 1 ) x i ) φ ( p ) ) y j f φ 1 x i φ ( p ) quad(((del(y_(j)@f@varphi^(-1)))/(delx_(i)))_(varphi(p)))\quad\left(\left(\frac{\partial\left(y_{j} \circ f \circ \varphi^{-1}\right)}{\partial x_{i}}\right)_{\varphi(p)}\right)(((yjfφ1)xi)φ(p)) であることを表す.ここで, ( ( ( y j f φ 1 ) x i ) φ ( p ) ) y j f φ 1 x i φ ( p ) (((del(y_(j)@f@varphi^(-1)))/(delx_(i)))_(varphi(p)))\left(\left(\frac{\partial\left(y_{j} \circ f \circ \varphi^{-1}\right)}{\partial x_{i}}\right)_{\varphi(p)}\right)(((yjfφ1)xi)φ(p)) は, ( ( y j f φ 1 ) x i ) φ ( p ) y j f φ 1 x i φ ( p ) ((del(y_(j)@f@varphi^(-1)))/(delx_(i)))_(varphi(p))\left(\frac{\partial\left(y_{j} \circ f \circ \varphi^{-1}\right)}{\partial x_{i}}\right)_{\varphi(p)}((yjfφ1)xi)φ(p) ( i , j ) ( i , j ) (i,j)(i, j)(i,j) 成分とする ( m , n ) ( m , n ) (m,n)(m, n)(m,n)型行列を表す. この表現行列は, f f fff の点 p p ppp における ( U , φ ) , ( V , ψ ) ( U , φ ) , ( V , ψ ) (U,varphi),(V,psi)(U, \varphi),(V, \psi)(U,φ),(V,ψ) に関するヤ コビ行列とよばれ, 本書では, この行列を J f p φ , ψ J f p φ , ψ Jf_(p)^(varphi,psi)J f_{p}^{\varphi, \psi}Jfpφ,ψ と表すことにする.
特に N = R N = R N=RN=\mathbb{R}N=R, つまり, f f fff M M MMM 上の C r C r C^(r)C^{r}Cr 級関数の場合を考える。ここで, R R R\mathbb{R}R D := { ( R , id R ) } D := R , id R D:={(R,id_(R))}\mathcal{D}:=\left\{\left(\mathbb{R}, \mathrm{id}_{\mathbb{R}}\right)\right\}D:={(R,idR)} C ω C ω C^(omega)C^{\omega}Cω 構造としてもつ 1 次元 C ω C ω C^(omega)C^{\omega}Cω 多様体とみなされる. id R id R id_(R)\mathrm{id}_{\mathbb{R}}idR = ( t ) = ( t ) =(t)=(t)=(t) として, この座標の座標基底は, t t (del)/(del t)\frac{\partial}{\partial t}t ではなく, d d t d d t (d)/(dt)\frac{d}{d t}ddt と表すことにする. なぜならば, t t (del)/(del t)\frac{\partial}{\partial t}t に関する R R R\mathbb{R}R 上の関数の方向微分は常微分となるからである.接空間 T t 0 R T t 0 R T_(t_(0))RT_{t_{0}} \mathbb{R}Tt0R は, 対応 a ( d d t ) t 0 a ( a R ) a d d t t 0 a ( a R ) a((d)/(dt))_(t_(0))longleftrightarrow a quad(a inR)a\left(\frac{d}{d t}\right)_{t_{0}} \longleftrightarrow a \quad(a \in \mathbb{R})a(ddt)t0a(aR) の下, R R R\mathbb{R}R と同一視される ので, f f fff p ( M ) p ( M ) p(in M)p(\in M)p(M) における微分 d f p : T p M T f ( p ) R d f p : T p M T f ( p ) R df_(p):T_(p)M rarrT_(f(p))Rd f_{p}: T_{p} M \rightarrow T_{f(p)} \mathbb{R}dfp:TpMTf(p)R は, T p M T p M T_(p)MT_{p} MTpM 上の線形関数, つまり, T p M T p M T_(p)MT_{p} MTpM の双対空間 T p M T p M T_(p)^(**)MT_{p}^{*} MTpM の元とみなされる. 同様に, M M MMM の局所チ ヤート ( U , φ = ( x 1 , , x n ) ) U , φ = x 1 , , x n (U,varphi=(x_(1),dots,x_(n)))\left(U, \varphi=\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)\right)(U,φ=(x1,,xn)) に対し, x i x i x_(i)x_{i}xi U U UUU 上の C C C^(oo)C^{\infty}C 級関数なので, ( d x i ) p d x i p (dx_(i))_(p)\left(d x_{i}\right)_{p}(dxi)p T p U ( = T p M ) T p U = T p M T_(p)^(**)U(=T_(p)^(**)M)T_{p}^{*} U\left(=T_{p}^{*} M\right)TpU(=TpM) の元とみなされる.
命題 3.4.2 ( ( d x 1 ) p , , ( d x n ) p ) d x 1 p , , d x n p ((dx_(1))_(p),dots,(dx_(n))_(p))\left(\left(d x_{1}\right)_{p}, \ldots,\left(d x_{n}\right)_{p}\right)((dx1)p,,(dxn)p) は, T p M T p M T_(p)MT_{p} MTpM の基底
( ( x 1 ) p , , ( x n ) p ) x 1 p , , x n p (((del)/(delx_(1)))_(p),dots,((del)/(delx_(n)))_(p))\left(\left(\frac{\partial}{\partial x_{1}}\right)_{p}, \ldots,\left(\frac{\partial}{\partial x_{n}}\right)_{p}\right)((x1)p,,(xn)p)
の双対基底である。
証明 c j ( s ) := φ 1 ( x 1 ( p ) , , x j ( p ) + s , , x n ( p ) ) c j ( s ) := φ 1 x 1 ( p ) , , x j ( p ) + s , , x n ( p ) quadc_(j)(s):=varphi^(-1)(x_(1)(p),dots,x_(j)(p)+s,dots,x_(n)(p))\quad c_{j}(s):=\varphi^{-1}\left(x_{1}(p), \ldots, x_{j}(p)+s, \ldots, x_{n}(p)\right)cj(s):=φ1(x1(p),,xj(p)+s,,xn(p)) とする. このとき, 上述の T f ( p ) R T f ( p ) R T_(f(p))RT_{f(p)} \mathbb{R}Tf(p)R R R R\mathbb{R}R の同一視の下,
( d x i ) p ( ( x j ) p ) = d ( t x i c j ) d s | s = 0 ( d d t ) f ( p ) = d ( t x i c j ) d s | s = 0 = d ( x i c j ) d s | s = 0 = ( x i φ 1 x j ) φ ( p ) = δ i j d x i p x j p = d t x i c j d s s = 0 d d t f ( p ) = d t x i c j d s s = 0 = d x i c j d s s = 0 = x i φ 1 x j φ ( p ) = δ i j {:[(dx_(i))_(p)(((del)/(delx_(j)))_(p))=(d(t@x_(i)@c_(j)))/(ds)|_(s=0)((d)/(dt))_(f(p))=(d(t@x_(i)@c_(j)))/(ds)|_(s=0)],[=(d(x_(i)@c_(j)))/(ds)|_(s=0)=((delx_(i)@varphi^(-1))/(delx_(j)))_(varphi(p))=delta_(ij)]:}\begin{aligned} \left(d x_{i}\right)_{p}\left(\left(\frac{\partial}{\partial x_{j}}\right)_{p}\right) & =\left.\frac{d\left(t \circ x_{i} \circ c_{j}\right)}{d s}\right|_{s=0}\left(\frac{d}{d t}\right)_{f(p)}=\left.\frac{d\left(t \circ x_{i} \circ c_{j}\right)}{d s}\right|_{s=0} \\ & =\left.\frac{d\left(x_{i} \circ c_{j}\right)}{d s}\right|_{s=0}=\left(\frac{\partial x_{i} \circ \varphi^{-1}}{\partial x_{j}}\right)_{\varphi(p)}=\delta_{i j} \end{aligned}(dxi)p((xj)p)=d(txicj)ds|s=0(ddt)f(p)=d(txicj)ds|s=0=d(xicj)ds|s=0=(xiφ1xj)φ(p)=δij
をえる. したがって, 主張が示される.
次に, d f p d f p df_(p)d f_{p}dfp ( d x 1 ) p , , ( d x n ) p d x 1 p , , d x n p (dx_(1))_(p),dots,(dx_(n))_(p)\left(d x_{1}\right)_{p}, \ldots,\left(d x_{n}\right)_{p}(dx1)p,,(dxn)p の 1 次結合による表示を与えよう.
命題 3.4.3 C r C r C^(r)C^{r}Cr 級関数 f : M R f : M R f:M rarrRf: M \rightarrow \mathbb{R}f:MR p p ppp のまわりの局所チャート ( U , φ = ( U , φ = (U,varphi=(U, \varphi=(U,φ= ( x 1 , , x n ) ) x 1 , , x n {:(x_(1),dots,x_(n)))\left.\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)\right)(x1,,xn)) に対し,次式が成り立つ:
d f p = i = 1 m ( ( f φ 1 ) x i ) φ ( p ) ( d x i ) p d f p = i = 1 m f φ 1 x i φ ( p ) d x i p df_(p)=sum_(i=1)^(m)((del(f@varphi^(-1)))/(delx_(i)))_(varphi(p))(dx_(i))_(p)d f_{p}=\sum_{i=1}^{m}\left(\frac{\partial\left(f \circ \varphi^{-1}\right)}{\partial x_{i}}\right)_{\varphi(p)}\left(d x_{i}\right)_{p}dfp=i=1m((fφ1)xi)φ(p)(dxi)p
証明 命題3.4.2より, ( ( d x 1 ) p , , ( d x n ) p ) d x 1 p , , d x n p ((dx_(1))_(p),dots,(dx_(n))_(p))\left(\left(d x_{1}\right)_{p}, \ldots,\left(d x_{n}\right)_{p}\right)((dx1)p,,(dxn)p) は, T p M T p M T_(p)^(**)MT_{p}^{*} MTpM の基底なので, ある 実数 a 1 , , a n a 1 , , a n a_(1),dots,a_(n)a_{1}, \ldots, a_{n}a1,,an を用いて, d f p = i = 1 n a i ( d x i ) p d f p = i = 1 n a i d x i p df_(p)=sum_(i=1)^(n)a_(i)(dx_(i))_(p)d f_{p}=\sum_{i=1}^{n} a_{i}\left(d x_{i}\right)_{p}dfp=i=1nai(dxi)p と表される。 a i a i a_(i)a_{i}ai を求めよう. c i ( s ) := φ 1 ( x 1 ( p ) , , x i ( p ) + s , , x n ( p ) ) c i ( s ) := φ 1 x 1 ( p ) , , x i ( p ) + s , , x n ( p ) c_(i)(s):=varphi^(-1)(x_(1)(p),dots,x_(i)(p)+s,dots,x_(n)(p))c_{i}(s):=\varphi^{-1}\left(x_{1}(p), \ldots, x_{i}(p)+s, \ldots, x_{n}(p)\right)ci(s):=φ1(x1(p),,xi(p)+s,,xn(p)) とすると,次の 2 式をえる:
d f p ( ( x i ) p ) = d ( t f c i ) d s | s = 0 ( d d t ) f ( p ) = ( ( f φ 1 ) x i ) φ ( p ) d f p ( ( x i ) p ) = ( j = 1 n a j ( d x j ) p ) ( ( x i ) p ) = j = 1 n a j ( d x j ) p ( x i ) p = a i d f p x i p = d t f c i d s s = 0 d d t f ( p ) = f φ 1 x i φ ( p ) d f p x i p = j = 1 n a j d x j p x i p = j = 1 n a j d x j p x i p = a i {:[df_(p)(((del)/(delx_(i)))_(p))=(d(t@f@c_(i)))/(ds)|_(s=0)((d)/(dt))_(f(p))=((del(f@varphi^(-1)))/(delx_(i)))_(varphi(p))],[df_(p)(((del)/(delx_(i)))_(p))=(sum_(j=1)^(n)a_(j)(dx_(j))_(p))(((del)/(delx_(i)))_(p))=sum_(j=1)^(n)a_(j)(dx_(j))_(p)((del)/(delx_(i)))_(p)=a_(i)]:}\begin{aligned} & d f_{p}\left(\left(\frac{\partial}{\partial x_{i}}\right)_{p}\right)=\left.\frac{d\left(t \circ f \circ c_{i}\right)}{d s}\right|_{s=0}\left(\frac{d}{d t}\right)_{f(p)}=\left(\frac{\partial\left(f \circ \varphi^{-1}\right)}{\partial x_{i}}\right)_{\varphi(p)} \\ & d f_{p}\left(\left(\frac{\partial}{\partial x_{i}}\right)_{p}\right)=\left(\sum_{j=1}^{n} a_{j}\left(d x_{j}\right)_{p}\right)\left(\left(\frac{\partial}{\partial x_{i}}\right)_{p}\right)=\sum_{j=1}^{n} a_{j}\left(d x_{j}\right)_{p}\left(\frac{\partial}{\partial x_{i}}\right)_{p}=a_{i} \end{aligned}dfp((xi)p)=d(tfci)ds|s=0(ddt)f(p)=((fφ1)xi)φ(p)dfp((xi)p)=(j=1naj(dxj)p)((xi)p)=j=1naj(dxj)p(xi)p=ai
それゆえ, a i = ( ( f φ 1 ) x i ) φ ( p ) a i = f φ 1 x i φ ( p ) a_(i)=((del(f@varphi^(-1)))/(delx_(i)))_(varphi(p))a_{i}=\left(\frac{\partial\left(f \circ \varphi^{-1}\right)}{\partial x_{i}}\right)_{\varphi(p)}ai=((fφ1)xi)φ(p) が示される. これを d f p = i = 1 n a i ( d x i ) p d f p = i = 1 n a i d x i p df_(p)=sum_(i=1)^(n)a_(i)(dx_(i))_(p)d f_{p}=\sum_{i=1}^{n} a_{i}\left(d x_{i}\right)_{p}dfp=i=1nai(dxi)p に 代人して, 求めるべき関係式がえられる。
d f p d f p df_(p)d f_{p}dfp f f fff の方向微分の間に, 次の関係式が成り立つ.
命題 3.4.4 C r C r C^(r)C^{r}Cr 級関数 f : M R f : M R f:M rarrRf: M \rightarrow \mathbb{R}f:MR v T p M v T p M v inT_(p)M\boldsymbol{v} \in T_{p} MvTpM に対し, d f p ( v ) = v ( f ) d f p ( v ) = v ( f ) df_(p)(v)=v(f)d f_{p}(\boldsymbol{v})=\boldsymbol{v}(f)dfp(v)=v(f) が 成り立つ.
証明 v = c ( 0 ) とする. このとき,  証明  v = c ( 0 )  とする. このとき,  " 証明 "v=c^(')(0)" とする. このとき, "\text { 証明 } \boldsymbol{v}=c^{\prime}(0) \text { とする. このとき, } 証明 v=c(0) とする. このとき, 
d f p ( v ) = ( f c ) ( 0 ) = d ( t f c ) d s | s = 0 ( d d t ) p = d ( f c ) d s | s = 0 = v ( f ) d f p ( v ) = ( f c ) ( 0 ) = d ( t f c ) d s s = 0 d d t p = d ( f c ) d s s = 0 = v ( f ) df_(p)(v)=(f@c)^(')(0)=(d(t@f@c))/(ds)|_(s=0)((d)/(dt))_(p)=(d(f@c))/(ds)|_(s=0)=v(f)d f_{p}(\boldsymbol{v})=(f \circ c)^{\prime}(0)=\left.\frac{d(t \circ f \circ c)}{d s}\right|_{s=0}\left(\frac{d}{d t}\right)_{p}=\left.\frac{d(f \circ c)}{d s}\right|_{s=0}=\boldsymbol{v}(f)dfp(v)=(fc)(0)=d(tfc)ds|s=0(ddt)p=d(fc)ds|s=0=v(f)
となり, 求めるべき関係式が示される.
問 3.4.1 f f fff を 4 次元単位球面 ( S 4 ( 1 ) , D ) S 4 ( 1 ) , D (S^(4)(1),D)\left(S^{4}(1), \mathcal{D}\right)(S4(1),D) から ( A 5 , D ~ ) A 5 , D ~ (A^(5),( widetilde(D)))\left(\mathbb{A}^{5}, \widetilde{D}\right)(A5,D~) への包含写像とする(つま り f ( p ) = p ( p S 4 ( 1 ) ) ) f ( p ) = p p S 4 ( 1 ) {:f(p)=p(p inS^(4)(1)))\left.f(p)=p\left(p \in S^{4}(1)\right)\right)f(p)=p(pS4(1))). ここで, D D D\mathcal{D}D は問 3.1.2 で述べた S n ( 1 ) S n ( 1 ) S^(n)(1)S^{n}(1)Sn(1) C ω C ω C^(omega)C^{\omega}Cω 構造の n = 4 n = 4 n=4n=4n=4 版を表し, D ~ D ~ widetilde(D)\widetilde{D}D~ は問 3.1.1 で述べた一般のアフィン空間 A A A\mathbb{A}A C ω C ω C^(omega)C^{\omega}Cω 構造の A 5 A 5 A^(5)\mathbb{A}^{5}A5 版 を表す:
D = { ( U i + , φ i + ) i = 1 , , 5 } { ( U i , φ i ) i = 1 , , 5 } D ~ = { ( A 5 , φ E , p ) ( E , p ) F ( R 5 ) × A 5 } D = U i + , φ i + i = 1 , , 5 U i , φ i i = 1 , , 5 D ~ = A 5 , φ E , p ( E , p ) F R 5 × A 5 {:[D={(U_(i)^(+),varphi_(i)^(+))∣i=1,dots,5}uu{(U_(i)^(-),varphi_(i)^(-))∣i=1,dots,5}],[ widetilde(D)={(A^(5),varphi_(E,p))∣(E,p)inF(R^(5))xxA^(5)}]:}\begin{aligned} & \mathcal{D}=\left\{\left(U_{i}^{+}, \varphi_{i}^{+}\right) \mid i=1, \ldots, 5\right\} \cup\left\{\left(U_{i}^{-}, \varphi_{i}^{-}\right) \mid i=1, \ldots, 5\right\} \\ & \widetilde{\mathcal{D}}=\left\{\left(\mathbb{A}^{5}, \varphi_{E, p}\right) \mid(E, p) \in \mathcal{F}\left(\mathbb{R}^{5}\right) \times \mathbb{A}^{5}\right\} \end{aligned}D={(Ui+,φi+)i=1,,5}{(Ui,φi)i=1,,5}D~={(A5,φE,p)(E,p)F(R5)×A5}
f f fff の点 p = ( 1 , 0 , 0 , 0 , 0 ) p = ( 1 , 0 , 0 , 0 , 0 ) p=(1,0,0,0,0)p=(1,0,0,0,0)p=(1,0,0,0,0) のまわりの S 4 ( 1 ) S 4 ( 1 ) S^(4)(1)S^{4}(1)S4(1) の局所チャート ( U 1 + , φ 1 + ) ( D ) U 1 + , φ 1 + ( D ) (U_(1)^(+),varphi_(1)^(+))(inD)\left(U_{1}^{+}, \varphi_{1}^{+}\right)(\in \mathcal{D})(U1+,φ1+)(D) A 5 A 5 A^(5)\mathbb{A}^{5}A5 の局所チャート ( A 5 , φ E 0 , o ) A 5 , φ E 0 , o (A^(5),varphi_(E_(0),o))\left(\mathbb{A}^{5}, \varphi_{E_{0}, \mathbf{o}}\right)(A5,φE0,o) に関するヤコビ行列 J f p φ 1 + , φ E 0 , 0 J f p φ 1 + , φ E 0 , 0 Jf_(p)^(varphi_(1)^(+),varphi_(E_(0),0))J f_{p}^{\varphi_{1}^{+}, \varphi_{E_{0}, 0}}Jfpφ1+,φE0,0 を求めよ. ここで E 0 E 0 E_(0)E_{0}E0 は, 数ベクトル空間 R 5 R 5 R^(5)\mathbb{R}^{5}R5 の標準基底
( ( 1 , 0 , 0 , 0 , 0 ) , ( 0 , 1 , 0 , 0 , 0 ) , ( 0 , 0 , 1 , 0 , 0 ) , ( 0 , 0 , 0 , 1 , 0 ) , ( 0 , 0 , 0 , 0 , 1 ) ) ( ( 1 , 0 , 0 , 0 , 0 ) , ( 0 , 1 , 0 , 0 , 0 ) , ( 0 , 0 , 1 , 0 , 0 ) , ( 0 , 0 , 0 , 1 , 0 ) , ( 0 , 0 , 0 , 0 , 1 ) ) ((1,0,0,0,0),(0,1,0,0,0),(0,0,1,0,0),(0,0,0,1,0),(0,0,0,0,1))((1,0,0,0,0),(0,1,0,0,0),(0,0,1,0,0),(0,0,0,1,0),(0,0,0,0,1))((1,0,0,0,0),(0,1,0,0,0),(0,0,1,0,0),(0,0,0,1,0),(0,0,0,0,1))
を表し, 0 0 0\mathbf{0}0 ( 0 , , 0 ) ( 0 , , 0 ) (0,dots,0)(0, \ldots, 0)(0,,0) を表す.

3.5 臨界点, およびその指数

この節の前半部では r 1 r 1 r >= 1r \geq 1r1 とする。この節において, C C C^(oo)C^{\infty}C 多様体間の C r C r C^(r)C^{r}Cr写像の臨界点, 正則点, 臨界値, および正則値を定義し, さらに臨界点の指数を定義する. M , N M , N M,NM, NM,N を各々, m m mmm 次元, n n nnn 次元の C C C^(oo)C^{\infty}C 多様体とし, f f fff M M MMM か ら N N NNN への C r C r C^(r)C^{r}Cr 写像とする. p M p M p in Mp \in MpM q N q N q in Nq \in NqN をとる. d f p d f p df_(p)d f_{p}dfp が全射でない(つま り rank d f p < dim N rank d f p < dim N rank df_(p) < dim N\operatorname{rank} d f_{p}<\operatorname{dim} Nrankdfp<dimN ) とき, p p ppp f f fff の臨界点(critical point)といい, d f p d f p df_(p)d f_{p}dfp が全射であるとき, p p ppp f f fff の正則点(regular point)という。また, f 1 ( q ) f 1 ( q ) f^(-1)(q)f^{-1}(q)f1(q) が臨界点を含むとき, q q qqq f f fff の臨界値(critical value)といい, f 1 ( q ) f 1 ( q ) f^(-1)(q)f^{-1}(q)f1(q) が臨界点を含まないとき, q q qqq f f fff の正則値(regular value)という(図3.5.1 を 参照). 特に, f f fff M M MMM 上の C r C r C^(r)C^{r}Cr 級関数のとき, p M p M p in Mp \in MpM f f fff の臨界点であるこ とと d f p = 0 d f p = 0 df_(p)=0d f_{p}=0dfp=0 が同値になることを注意しておく.
f f fff の臨界値の集合に対し, 次のサードの定理(Sard's theorem)が成り立 つ.
定理 3.5.1(サードの定理) C r C r C^(r)C^{r}Cr 写像 f : M N f : M N f:M rarr Nf: M \rightarrow Nf:MN の臨界倡の全体は, N N NNN に おいて測度 0 である.
p 1 , , p 4 p 1 , , p 4 p_(1),dots,p_(4)p_{1}, \ldots, p_{4}p1,,p4 f f fff の臨界点のすべてである.
  • q 1 , , q 4 q 1 , , q 4 q_(1),dots,q_(4)q_{1}, \ldots, q_{4}q1,,q4 f f fff の臨界値のすべてである.
図 3.5.1 臨界点と臨界値
注意 N N NNN の部分集合 S S SSS が測度 0 であるとは, N N NNN の任意の局所チャート ( U , φ ) ( U , φ ) (U,varphi)(U, \varphi)(U,φ) に 対し, φ ( U S ) φ ( U S ) varphi(U nn S)\varphi(U \cap S)φ(US) が外測度 μ μ mu\muμ を備えた測度空間 ( R n , μ ) R n , μ (R^(n),mu)\left(\mathbb{R}^{n}, \mu\right)(Rn,μ) において, 測度 0 であること を意味する.
以下, この節の後半部では r 2 r 2 r >= 2r \geq 2r2 とする。まず, C C C^(oo)C^{\infty}C 多様体上の C r C r C^(r)C^{r}Cr 級関数 の臨界点におけるヘッシアンを定義しよう. f : M R f : M R f:M rarrRf: M \rightarrow \mathbb{R}f:MR C r C r C^(r)C^{r}Cr 級関数とする. p p ppp f f fff の臨界点とする. 対称双線形形式 H f p : T p M × T p M R H f p : T p M × T p M R Hf_(p):T_(p)M xxT_(p)M rarrRH f_{p}: T_{p} M \times T_{p} M \rightarrow \mathbb{R}Hfp:TpM×TpMR を次のよう に定義する:
( H f ) p ( v , w ) := i = 1 n j = 1 n ( 2 ( f φ 1 ) x i x j ) φ ( p ) v i w j ( v , w T p M ) ( v = i = 1 n v i ( x i ) p , w = i = 1 n w i ( x i ) p ) ( H f ) p ( v , w ) := i = 1 n j = 1 n 2 f φ 1 x i x j φ ( p ) v i w j v , w T p M ( v = i = 1 n v i x i p , w = i = 1 n w i x i p {:[(Hf)_(p)(v","w):=sum_(i=1)^(n)sum_(j=1)^(n)((del^(2)(f@varphi^(-1)))/(delx_(i)delx_(j)))_(varphi(p))v_(i)w_(j)quad(v,w inT_(p)M)],[(v{:=sum_(i=1)^(n)v_(i)((del)/(delx_(i)))_(p),quad w=sum_(i=1)^(n)w_(i)((del)/(delx_(i)))_(p))]:}\begin{aligned} (H f)_{p}(\boldsymbol{v}, \boldsymbol{w}) & :=\sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n}\left(\frac{\partial^{2}\left(f \circ \varphi^{-1}\right)}{\partial x_{i} \partial x_{j}}\right)_{\varphi(p)} v_{i} w_{j} \quad\left(\boldsymbol{v}, \boldsymbol{w} \in T_{p} M\right) \\ (\boldsymbol{v} & \left.=\sum_{i=1}^{n} v_{i}\left(\frac{\partial}{\partial x_{i}}\right)_{p}, \quad \boldsymbol{w}=\sum_{i=1}^{n} w_{i}\left(\frac{\partial}{\partial x_{i}}\right)_{p}\right) \end{aligned}(Hf)p(v,w):=i=1nj=1n(2(fφ1)xixj)φ(p)viwj(v,wTpM)(v=i=1nvi(xi)p,w=i=1nwi(xi)p)
この対称双線形形式 H f p H f p Hf_(p)H f_{p}Hfp f f fff p p ppp におるヘッシアン(Hessian)という. ( H f ) p ( H f ) p (Hf)_(p)(H f)_{p}(Hf)p が well-defined, つまり, p p ppp のまわりの局所チャート ( U , φ = ( x 1 , U , φ = x 1 , (U,varphi=(x_(1),dots:}\left(U, \varphi=\left(x_{1}, \ldots\right.\right.(U,φ=(x1,, x n ) x n {:x_(n))\left.x_{n}\right)xn) )のとり方によらずに定まることを示そう. もう 1 つ, p p ppp のまわりの局所 チャート ( V , ψ = ( y 1 , , y n ) ) V , ψ = y 1 , , y n (V,psi=(y_(1),dots,y_(n)))\left(V, \psi=\left(y_{1}, \ldots, y_{n}\right)\right)(V,ψ=(y1,,yn)) をとり,
v = i = 1 n v ¯ i ( y i ) p , w = i = 1 n w ¯ i ( y i ) p v = i = 1 n v ¯ i y i p , w = i = 1 n w ¯ i y i p v=sum_(i=1)^(n) bar(v)_(i)((del)/(dely_(i)))_(p),quad w=sum_(i=1)^(n) bar(w)_(i)((del)/(dely_(i)))_(p)\boldsymbol{v}=\sum_{i=1}^{n} \bar{v}_{i}\left(\frac{\partial}{\partial y_{i}}\right)_{p}, \quad \boldsymbol{w}=\sum_{i=1}^{n} \bar{w}_{i}\left(\frac{\partial}{\partial y_{i}}\right)_{p}v=i=1nv¯i(yi)p,w=i=1nw¯i(yi)p
とする. ( U , φ ) ( U , φ ) (U,varphi)(U, \varphi)(U,φ) が定義する ( H f ) p ( v , w ) ( H f ) p ( v , w ) (Hf)_(p)(v,w)(H f)_{p}(\boldsymbol{v}, \boldsymbol{w})(Hf)p(v,w) は,
i , j = 1 n ( 2 ( f φ 1 ) x i x j ) φ ( p ) v i w j i , j = 1 n 2 f φ 1 x i x j φ ( p ) v i w j sum_(i,j=1)^(n)((del^(2)(f@varphi^(-1)))/(delx_(i)delx_(j)))_(varphi(p))v_(i)w_(j)\sum_{i, j=1}^{n}\left(\frac{\partial^{2}\left(f \circ \varphi^{-1}\right)}{\partial x_{i} \partial x_{j}}\right)_{\varphi(p)} v_{i} w_{j}i,j=1n(2(fφ1)xixj)φ(p)viwj
となり, ( V , ψ ) ( V , ψ ) (V,psi)(V, \psi)(V,ψ) が定義する ( H f ) p ( v , w ) ( H f ) p ( v , w ) (Hf)_(p)(v,w)(H f)_{p}(\boldsymbol{v}, \boldsymbol{w})(Hf)p(v,w) は,
i , j = 1 n ( 2 ( f ψ 1 ) y i y j ) ψ ( p ) v ¯ i w ¯ j i , j = 1 n 2 f ψ 1 y i y j ψ ( p ) v ¯ i w ¯ j sum_(i,j=1)^(n)((del^(2)(f@psi^(-1)))/(dely_(i)dely_(j)))_(psi(p)) bar(v)_(i) bar(w)_(j)\sum_{i, j=1}^{n}\left(\frac{\partial^{2}\left(f \circ \psi^{-1}\right)}{\partial y_{i} \partial y_{j}}\right)_{\psi(p)} \bar{v}_{i} \bar{w}_{j}i,j=1n(2(fψ1)yiyj)ψ(p)v¯iw¯j
となるので, これらが等しいことを示さなければならない。以下, これを示す.
( x i ) p = j = 1 n ( ( y j φ 1 ) x i ) φ ( p ) ( y j ) p x i p = j = 1 n y j φ 1 x i φ ( p ) y j p ((del)/(delx_(i)))_(p)=sum_(j=1)^(n)((del(y_(j)@varphi^(-1)))/(delx_(i)))_(varphi(p))((del)/(dely_(j)))_(p)\left(\frac{\partial}{\partial x_{i}}\right)_{p}=\sum_{j=1}^{n}\left(\frac{\partial\left(y_{j} \circ \varphi^{-1}\right)}{\partial x_{i}}\right)_{\varphi(p)}\left(\frac{\partial}{\partial y_{j}}\right)_{p}(xi)p=j=1n((yjφ1)xi)φ(p)(yj)p
が成り立つので,
v ¯ i = j = 1 n v j ( ( y i φ 1 ) x j ) φ ( p ) , w ¯ i = j = 1 n w j ( ( y i φ 1 ) x j ) φ ( p ) v ¯ i = j = 1 n v j y i φ 1 x j φ ( p ) , w ¯ i = j = 1 n w j y i φ 1 x j φ ( p ) bar(v)_(i)=sum_(j=1)^(n)v_(j)((del(y_(i)@varphi^(-1)))/(delx_(j)))_(varphi(p)),quad bar(w)_(i)=sum_(j=1)^(n)w_(j)((del(y_(i)@varphi^(-1)))/(delx_(j)))_(varphi(p))\bar{v}_{i}=\sum_{j=1}^{n} v_{j}\left(\frac{\partial\left(y_{i} \circ \varphi^{-1}\right)}{\partial x_{j}}\right)_{\varphi(p)}, \quad \bar{w}_{i}=\sum_{j=1}^{n} w_{j}\left(\frac{\partial\left(y_{i} \circ \varphi^{-1}\right)}{\partial x_{j}}\right)_{\varphi(p)}v¯i=j=1nvj((yiφ1)xj)φ(p),w¯i=j=1nwj((yiφ1)xj)φ(p)
をえる。一方,
( 2 ( f φ 1 ) x i x j ) φ ( p ) = ( x i ( k = 1 n ( ( f ψ 1 ) y k ψ φ 1 ) ( y k φ 1 ) x j ) ) φ ( p ) = k = 1 n ( ( f ψ 1 ) y k ) ψ ( p ) ( 2 ( y k φ 1 ) x i x j ) φ ( p ) + k , l = 1 n ( 2 ( f ψ 1 ) y l y k ) ψ ( p ) ( ( y l φ 1 ) x i ) φ ( p ) ( ( y k φ 1 ) x j ) φ ( p ) = k , l = 1 n ( 2 ( f ψ 1 ) y l y k ) ψ ( p ) ( ( y l φ 1 ) x i ) φ ( p ) ( ( y k φ 1 ) x j ) φ ( p ) ここで, ( ( f ψ 1 ) y k ) ψ ( p ) = 0 (これは, p f の臨界点なので成り立つ ) 2 f φ 1 x i x j φ ( p ) = x i k = 1 n f ψ 1 y k ψ φ 1 y k φ 1 x j φ ( p ) = k = 1 n f ψ 1 y k ψ ( p ) 2 y k φ 1 x i x j φ ( p ) + k , l = 1 n 2 f ψ 1 y l y k ψ ( p ) y l φ 1 x i φ ( p ) y k φ 1 x j φ ( p ) = k , l = 1 n 2 f ψ 1 y l y k ψ ( p ) y l φ 1 x i φ ( p ) y k φ 1 x j φ ( p )  ここで,  f ψ 1 y k ψ ( p ) = 0  (これは,  p  が  f  の臨界点なので成り立つ  {:[((del^(2)(f@varphi^(-1)))/(delx_(i)delx_(j)))_(varphi(p))=((del)/(delx_(i))(sum_(k=1)^(n)((del(f@psi^(-1)))/(dely_(k))@psi@varphi^(-1))*(del(y_(k)@varphi^(-1)))/(delx_(j))))_(varphi(p))],[=sum_(k=1)^(n)((del(f@psi^(-1)))/(dely_(k)))_(psi(p))*((del^(2)(y_(k)@varphi^(-1)))/(delx_(i)delx_(j)))_(varphi(p))],[quad+sum_(k,l=1)^(n)((del^(2)(f@psi^(-1)))/(dely_(l)dely_(k)))_(psi(p))*((del(y_(l)@varphi^(-1)))/(delx_(i)))_(varphi(p))*((del(y_(k)@varphi^(-1)))/(delx_(j)))_(varphi(p))],[=sum_(k,l=1)^(n)((del^(2)(f@psi^(-1)))/(dely_(l)dely_(k)))_(psi(p))*((del(y_(l)@varphi^(-1)))/(delx_(i)))_(varphi(p))*((del(y_(k)@varphi^(-1)))/(delx_(j)))_(varphi(p))],[" ここで, "{:((del(f@psi^(-1)))/(dely_(k)))_(psi(p))=0" (これは, "p" が "f" の臨界点なので成り立つ ")]:}\begin{aligned} & \left(\frac{\partial^{2}\left(f \circ \varphi^{-1}\right)}{\partial x_{i} \partial x_{j}}\right)_{\varphi(p)}=\left(\frac{\partial}{\partial x_{i}}\left(\sum_{k=1}^{n}\left(\frac{\partial\left(f \circ \psi^{-1}\right)}{\partial y_{k}} \circ \psi \circ \varphi^{-1}\right) \cdot \frac{\partial\left(y_{k} \circ \varphi^{-1}\right)}{\partial x_{j}}\right)\right)_{\varphi(p)} \\ & =\sum_{k=1}^{n}\left(\frac{\partial\left(f \circ \psi^{-1}\right)}{\partial y_{k}}\right)_{\psi(p)} \cdot\left(\frac{\partial^{2}\left(y_{k} \circ \varphi^{-1}\right)}{\partial x_{i} \partial x_{j}}\right)_{\varphi(p)} \\ & \quad+\sum_{k, l=1}^{n}\left(\frac{\partial^{2}\left(f \circ \psi^{-1}\right)}{\partial y_{l} \partial y_{k}}\right)_{\psi(p)} \cdot\left(\frac{\partial\left(y_{l} \circ \varphi^{-1}\right)}{\partial x_{i}}\right)_{\varphi(p)} \cdot\left(\frac{\partial\left(y_{k} \circ \varphi^{-1}\right)}{\partial x_{j}}\right)_{\varphi(p)} \\ & =\sum_{k, l=1}^{n}\left(\frac{\partial^{2}\left(f \circ \psi^{-1}\right)}{\partial y_{l} \partial y_{k}}\right)_{\psi(p)} \cdot\left(\frac{\partial\left(y_{l} \circ \varphi^{-1}\right)}{\partial x_{i}}\right)_{\varphi(p)} \cdot\left(\frac{\partial\left(y_{k} \circ \varphi^{-1}\right)}{\partial x_{j}}\right)_{\varphi(p)} \\ & \text { ここで, } \left.\left(\frac{\partial\left(f \circ \psi^{-1}\right)}{\partial y_{k}}\right)_{\psi(p)}=0 \text { (これは, } p \text { が } f \text { の臨界点なので成り立つ }\right) \end{aligned}(2(fφ1)xixj)φ(p)=(xi(k=1n((fψ1)ykψφ1)(ykφ1)xj))φ(p)=k=1n((fψ1)yk)ψ(p)(2(ykφ1)xixj)φ(p)+k,l=1n(2(fψ1)ylyk)ψ(p)((ylφ1)xi)φ(p)((ykφ1)xj)φ(p)=k,l=1n(2(fψ1)ylyk)ψ(p)((ylφ1)xi)φ(p)((ykφ1)xj)φ(p) ここで, ((fψ1)yk)ψ(p)=0 (これは, p が f の臨界点なので成り立つ )
を用いた。 これらの関係式より, 示すべき関係式をえる。
S S SSS n n nnn 次元実ベクトル空間 V V VVV 上の対称双線形形式とする.このとき, シル ヴェスタの慣性法則により, n n nnn 次正方行列 ( S ( e i , e j ) ) S e i , e j (S(e_(i),e_(j)))\left(S\left(\boldsymbol{e}_{i}, \boldsymbol{e}_{j}\right)\right)(S(ei,ej))
( E k 1 0 0 0 E k 2 0 0 0 0 k 3 ) E k 1 0 0 0 E k 2 0 0 0 0 k 3 ([-E_(k_(1)),0,0],[0,E_(k_(2)),0],[0,0,0_(k_(3))])\left(\begin{array}{ccc} -E_{k_{1}} & 0 & 0 \\ 0 & E_{k_{2}} & 0 \\ 0 & 0 & 0_{k_{3}} \end{array}\right)(Ek1000Ek20000k3)
( E k i : k i E k i : k i (E_(k_(i)):k_(i):}\left(E_{k_{i}}: k_{i}\right.(Eki:ki 次単位行列, 0 k 3 : k 3 0 k 3 : k 3 0_(k_(3)):k_(3)0_{k_{3}}: k_{3}0k3:k3 次零行列)に等しくなるような V V VVV の基底 ( e 1 , , e n ) e 1 , , e n (e_(1),dots,e_(n))\left(\boldsymbol{e}_{1}, \ldots, \boldsymbol{e}_{n}\right)(e1,,en) が存在する. k 1 , k 2 , k 3 k 1 , k 2 , k 3 k_(1),k_(2),k_(3)k_{1}, k_{2}, k_{3}k1,k2,k3 は, そのような基底 ( e 1 , , e n ) e 1 , , e n (e_(1),dots,e_(n))\left(\boldsymbol{e}_{1}, \ldots, \boldsymbol{e}_{n}\right)(e1,,en) のとう方 に関係なくSのみによって決まることが示される。 k 1 k 1 k_(1)k_{1}k1 S S SSS の指数(index) とよばれ, k 3 k 3 k_(3)k_{3}k3 S S SSS の退化次数(nullity)とよばれる. 退化次数が 0 であると き, S S SSS は非退化(non-degenerate)であるという.
p p ppp C r C r C^(r)C^{r}Cr 級関数 f : M R ( r 2 ) f : M R ( r 2 ) f:M rarrR(r >= 2)f: M \rightarrow \mathbb{R}(r \geq 2)f:MR(r2) の臨界点とする. ヘッシアン H f p H f p Hf_(p)H f_{p}Hfp が非退化であるとき, p p ppp f f fff の非退化臨界点(non-degenerate critical point) という. また, H f p H f p Hf_(p)H f_{p}Hfp の指数を臨界点 p p p\boldsymbol{p}p の指数(the index of the critical point p ) p ) p)\boldsymbol{p})p) という.
問 3.5.1 n n nnn 次元単位球面
S n ( 1 ) := { ( x 1 , , x n + 1 ) i = 1 n + 1 x i 2 = 1 } S n ( 1 ) := x 1 , , x n + 1 i = 1 n + 1 x i 2 = 1 S^(n)(1):={(x_(1),dots,x_(n+1))∣sum_(i=1)^(n+1)x_(i)^(2)=1}S^{n}(1):=\left\{\left(x_{1}, \ldots, x_{n+1}\right) \mid \sum_{i=1}^{n+1} x_{i}^{2}=1\right\}Sn(1):={(x1,,xn+1)i=1n+1xi2=1}
上の C C C^(oo)C^{\infty}C 級関数 f f fff
f ( x 1 , , x n + 1 ) = x 1 ( ( x 1 , , x n + 1 ) S n ( 1 ) ) f x 1 , , x n + 1 = x 1 x 1 , , x n + 1 S n ( 1 ) f(x_(1),dots,x_(n+1))=x_(1)quad((x_(1),dots,x_(n+1))inS^(n)(1))f\left(x_{1}, \ldots, x_{n+1}\right)=x_{1} \quad\left(\left(x_{1}, \ldots, x_{n+1}\right) \in S^{n}(1)\right)f(x1,,xn+1)=x1((x1,,xn+1)Sn(1))
によって定義する. f f fff の臨界点をすべて求めよ. さらに, 各臨界点の指数を求めよ.

3.6 はめ込み・沈め込みと陰関数定理

この節では r 1 r 1 r >= 1r \geq 1r1 とする. この節において, まず, はめ込みと沈め込みを 定義し, その後, 陰関数定理(単射型)と陰関数定理(全射型)を述べ, これ らの定理により, はめ込みと沈め込みがどのような写像であるかを視覚的に捉 えることができることを説明する。さらに,多様体内の正則部分多様体を定義 し,それが第 1,2 章で述べたユークリッド空間内の超曲面と同種のものであ ることを説明する。
f f fff m m mmm 次元 C C C^(oo)C^{\infty}C 多様体 M M MMM から n n nnn 次元多様体 N N NNN への C r C r C^(r)C^{r}Cr 写像とする. 各点
p M p M p in Mp \in MpM に対し, d f p d f p df_(p)d f_{p}dfp が単射であるとき, f f fff C r C r C^(r)C^{r}Cr はめ込み ( C r C r (C^(r):}\left(C^{r}\right.(Cr-immersion) といい, さらに f f fff が単射であり, f f fff M M MMM から N N NNN の部分位相空間 f ( M ) f ( M ) f(M)f(M)f(M) への 同相写像になるとき, f f fff C r C r C^(r)C^{r}Cr 埋め込み ( C r C r (C^(r):}\left(C^{r}\right.(Cr-embedding)という。一方,各点 p M p M p in Mp \in MpM に対し, d f p d f p df_(p)d f_{p}dfp が全射(つまり, M M MMM の各点が f f fff の正則点)であると き, f f fff C r C r C^(r)\boldsymbol{C}^{r}Cr 沈め込み ( C r C r (C^(r)-:}\left(\boldsymbol{C}^{r}-\right.(Cr submersion)という(図 3.6.1 を参照).
図 3.6.1 はめ込みと沈め込み
例 3.6.1 2 次元トーラス
T 2 = { ( ( a + b cos θ ) cos φ , ( a + b cos θ ) sin φ , b sin θ ) ( θ , φ ) [ 0 , 2 π ) 2 } T 2 = ( ( a + b cos θ ) cos φ , ( a + b cos θ ) sin φ , b sin θ ) ( θ , φ ) [ 0 , 2 π ) 2 T^(2)={((a+b cos theta)cos varphi,(a+b cos theta)sin varphi,b sin theta)∣(theta,varphi)in[0,2pi)^(2)}T^{2}=\left\{((a+b \cos \theta) \cos \varphi,(a+b \cos \theta) \sin \varphi, b \sin \theta) \mid(\theta, \varphi) \in[0,2 \pi)^{2}\right\}T2={((a+bcosθ)cosφ,(a+bcosθ)sinφ,bsinθ)(θ,φ)[0,2π)2}
( 0 < b < a ) ( 0 < b < a ) (0 < b < a)(0<b<a)(0<b<a) は, E 3 E 3 E^(3)\mathbb{E}^{3}E3 内の C C C^(oo)C^{\infty}C 超曲面であり, 2 次元 C C C^(oo)C^{\infty}C 多様体である. 1 次元 アフィン空間 A 1 A 1 A^(1)\mathbb{A}^{1}A1 から T 2 T 2 T^(2)T^{2}T2 への写像 f f fff
f ( t ) := ( ( a + b cos t ) cos ( 2 t ) , ( a + b cos t ) sin 2 t , cos ( 2 t ) ) ( t A 1 ) f ( t ) := ( ( a + b cos t ) cos ( 2 t ) , ( a + b cos t ) sin 2 t , cos ( 2 t ) ) t A 1 f(t):=((a+b cos t)cos(sqrt2t),(a+b cos t)sin sqrt2t,cos(sqrt2t))quad(t inA^(1))f(t):=((a+b \cos t) \cos (\sqrt{2} t),(a+b \cos t) \sin \sqrt{2} t, \cos (\sqrt{2} t)) \quad\left(t \in \mathbb{A}^{1}\right)f(t):=((a+bcost)cos(2t),(a+bcost)sin2t,cos(2t))(tA1)
と定義する. このとき f f fff は, 1 次元 C ω C ω C^(omega)C^{\omega}Cω 多様体 A 1 A 1 A^(1)\mathbb{A}^{1}A1 から 2 次元 C ω C ω C^(omega)C^{\omega}Cω 多様体 T 2 T 2 T^(2)T^{2}T2 への C ω C ω C^(omega)C^{\omega}Cω はめ达みであることが示される。一方, f ( A 1 ) f A 1 f(A^(1))f\left(\mathbb{A}^{1}\right)f(A1) の閉包 f ( A 1 ) f A 1 ¯ bar(f(A^(1)))\overline{f\left(\mathbb{A}^{1}\right)}f(A1) T 2 T 2 T^(2)T^{2}T2 に 等しくなることが示される。この事実から, T 2 T 2 T^(2)T^{2}T2 の位相から誘導される f ( A 1 ) f A 1 f(A^(1))f\left(\mathbb{A}^{1}\right)f(A1) の部分位相における開集合は, 無限に多くの互いに交わらない A 1 A 1 A^(1)\mathbb{A}^{1}A1 の開区間の 和集合の f f fff による像であることがわかる。 それゆえ, f ( A 1 ) f A 1 f(A^(1))f\left(\mathbb{A}^{1}\right)f(A1) の部分位相から f f fff を通じて A 1 A 1 A^(1)\mathbb{A}^{1}A1 に誘導される位相は, 1 次元 C ω C ω C^(omega)C^{\omega}Cω 多様体 A 1 A 1 A^(1)\mathbb{A}^{1}A1 のハウスドルフ位相 よりも弱い位相であることがわかる。ゆえに, f f fff A 1 A 1 A^(1)\mathbb{A}^{1}A1 から T 2 T 2 T^(2)T^{2}T2 への C ω C ω C^(omega)C^{\omega}Cω 埋め
込みではない. f ( A 1 ) = T 2 f A 1 ¯ = T 2 bar(f(A^(1)))=T^(2)\overline{f\left(\mathbb{A}^{1}\right)}=T^{2}f(A1)=T2 (つまり, f ( A 1 ) 2 T 2 f A 1 2 T 2 f(A^(1))か^(2)T^(2)f\left(\mathbb{A}^{1}\right) か^{2} T^{2}f(A1)2T2 で稠密)であることを説明しよう。 R 2 R 2 R^(2)\mathbb{R}^{2}R2 における同値関係〜を
( a 1 , a 2 ) ( b 1 , b 2 ) def a 1 b 1 , a 2 b 2 Z a 1 , a 2 b 1 , b 2 def a 1 b 1 , a 2 b 2 Z (a_(1),a_(2))∼(b_(1),b_(2))Longleftrightarrow_(def)a_(1)-b_(1),a_(2)-b_(2)inZ\left(a_{1}, a_{2}\right) \sim\left(b_{1}, b_{2}\right) \underset{\mathrm{def}}{\Longleftrightarrow} a_{1}-b_{1}, a_{2}-b_{2} \in \mathbb{Z}(a1,a2)(b1,b2)defa1b1,a2b2Z
によって定義し, 商集合 R 2 / R 2 / R^(2)//∼\mathbb{R}^{2} / \simR2/ R R 2 R 2 R^(2)\mathbb{R}^{2}R2 のユークリッド距離位相 O E O E O_(E)\mathcal{O}_{\mathbb{E}}OE から誘導さ れる商位相を与える. ( a 1 , a 2 ) a 1 , a 2 (a_(1),a_(2))\left(a_{1}, a_{2}\right)(a1,a2) の同値関係〜に関する同値類を [ ( a 1 , a 2 ) ] a 1 , a 2 [(a_(1),a_(2))]\left[\left(a_{1}, a_{2}\right)\right][(a1,a2)] と表 すことにする。商写像 π : R 2 R 2 / π : R 2 R 2 / pi:R^(2)rarrR^(2)//∼\pi: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2} / \simπ:R2R2/ は被覆写像になることが示される.こ こで π π pi\piπ が被覆写像であるとは, π π pi\piπ が局所同相写像であり, R 2 / R 2 / R^(2)//∼\mathbb{R}^{2} / \simR2/ の各点 p p ppp に対 し, p p ppp の開近傍 V V VVV π π pi\piπ π 1 ( V ) π 1 ( V ) pi^(-1)(V)\pi^{-1}(V)π1(V) の各連結成分への制限が V V VVV への同相写像を 与えるようなものが存在することを意味する。 写像 F : R 2 / ∼→ T 2 F : R 2 / ∼→ T 2 F:R^(2)//∼ rarrT^(2)F: \mathbb{R}^{2} / \sim \rightarrow T^{2}F:R2/∼→T2
F ( [ ( x 1 , x 2 ) ] ) = ( ( a + b cos ( 2 π ( x 1 [ x 1 ] ) ) ) cos ( 2 π ( x 2 [ x 2 ] ) ) ( a + b cos ( 2 π ( x 1 [ x 1 ] ) ) ) sin ( 2 π ( x 2 [ x 2 ] ) ) , b sin ( 2 π ( x 1 [ x 1 ] ) ) ) F x 1 , x 2 = a + b cos 2 π x 1 x 1 cos 2 π x 2 x 2 a + b cos 2 π x 1 x 1 sin 2 π x 2 x 2 , b sin 2 π x 1 x 1 {:[F([(x_(1),x_(2))])=((a+b cos(2pi(x_(1)-[x_(1)])))cos(2pi(x_(2)-[x_(2)])):}],[{:(a+b cos(2pi(x_(1)-[x_(1)])))sin(2pi(x_(2)-[x_(2)])),b sin(2pi(x_(1)-[x_(1)])))]:}\begin{aligned} F\left(\left[\left(x_{1}, x_{2}\right)\right]\right)= & \left(\left(a+b \cos \left(2 \pi\left(x_{1}-\left[x_{1}\right]\right)\right)\right) \cos \left(2 \pi\left(x_{2}-\left[x_{2}\right]\right)\right)\right. \\ & \left.\left(a+b \cos \left(2 \pi\left(x_{1}-\left[x_{1}\right]\right)\right)\right) \sin \left(2 \pi\left(x_{2}-\left[x_{2}\right]\right)\right), b \sin \left(2 \pi\left(x_{1}-\left[x_{1}\right]\right)\right)\right) \end{aligned}F([(x1,x2)])=((a+bcos(2π(x1[x1])))cos(2π(x2[x2]))(a+bcos(2π(x1[x1])))sin(2π(x2[x2])),bsin(2π(x1[x1])))
([ x i ] x i x i x i {:x_(i)]:x_(i)\left.x_{i}\right] : x_{i}xi]xi のガウスの記号)によって定義する.この写像 F F FFF は同相写像にな ることが示される。したがって, F π : R 2 T 2 F π : R 2 T 2 F@pi:R^(2)rarrT^(2)F \circ \pi: \mathbb{R}^{2} \rightarrow T^{2}Fπ:R2T2 は被覆写像になる。また、 ( F π ) 1 ( f ( A 1 ) ) ( F π ) 1 f A 1 (F@pi)^(-1)(f(A^(1)))(F \circ \pi)^{-1}\left(f\left(\mathbb{A}^{1}\right)\right)(Fπ)1(f(A1)) は, R 2 R 2 R^(2)\mathbb{R}^{2}R2 上の傾き 2 2 sqrt2\sqrt{2}2 の直線の可算無限族になり, かつ, そ の閉包は R 2 R 2 R^(2)\mathbb{R}^{2}R2 になることが示されるので, f ( A 1 ) f A 1 f(A^(1))f\left(\mathbb{A}^{1}\right)f(A1) T 2 T 2 T^(2)T^{2}T2 で稠密であることがわ かる(図 3.6.2 を参照).
C C C^(oo)C^{\infty}C 多様体間の C r C r C^(r)C^{r}Cr 写像に対し, 次の逆関数定理 (inverse function theorem)が成り立つ.
定理 3.6.1 M , N M , N M,NM, NM,N n n nnn 次元 C C C^(oo)C^{\infty}C 多様体とし, f f fff M M MMM から N N NNN への C r C r C^(r)C^{r}Cr 写像 とする. このとき, d f p d f p df_(p)d f_{p}dfp が全単射であるならば, p p ppp のある開近傍 U U UUU に対し, f f fff U U UUU への制限 f | U f U f|_(U)\left.f\right|_{U}f|U N N NNN のある開集合への C r C r C^(r)C^{r}Cr 同型写像になる.
証明 任意に p p ppp のまわりの M M MMM の局所チャート ( V , φ = ( x 1 , , x n ) ) V , φ = x 1 , , x n (V,varphi=(x_(1),dots,x_(n)))\left(V, \varphi=\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)\right)(V,φ=(x1,,xn)) f ( p ) f ( p ) f(p)f(p)f(p) のまわりの N N NNN の局所チャート ( W , ψ = ( y 1 , , y n ) ) W , ψ = y 1 , , y n (W,psi=(y_(1),dots,y_(n)))\left(W, \psi=\left(y_{1}, \ldots, y_{n}\right)\right)(W,ψ=(y1,,yn)) をとる(必要ならば, V V VVV を縮めることにより, f ( V ) W f ( V ) W f(V)sub Wf(V) \subset Wf(V)W とする). d f p d f p df_(p)d f_{p}dfp が全単射であることより, ヤ コビ行列 J ( ψ f φ 1 ) φ ( p ) J ψ f φ 1 φ ( p ) J(psi@f@varphi^(-1))_(varphi(p))J\left(\psi \circ f \circ \varphi^{-1}\right)_{\varphi(p)}J(ψfφ1)φ(p) は正則行列になる。それゆえ, 微分積分学にお ける逆関数定理によれば, φ ( p ) φ ( p ) varphi(p)\varphi(p)φ(p) のある十分小さな開近傍 U ( φ ( V ) ) U ( φ ( V ) ) U(sub varphi(V))U(\subset \varphi(V))U(φ(V)) から R n R n R^(n)\mathbb{R}^{n}Rn のある開集合への C r C r C^(r)C^{r}Cr 同型写像 φ ^ φ ^ widehat(varphi)\widehat{\varphi}φ^
図 3.6.2単射かつはめ込みだが, 埋め込みでない例
( ( ψ f φ 1 ) φ ^ 1 ) ( x 1 , , x n ) = ( x 1 , , x n ) ( ( x 1 , , x n ) φ ^ ( U ) ) ψ f φ 1 φ ^ 1 x 1 , , x n = x 1 , , x n x 1 , , x n φ ^ ( U ) {:[((psi@f@varphi^(-1))@ widehat(varphi)^(-1))(x_(1),dots,x_(n))=(x_(1),dots,x_(n))],[((x_(1),dots,x_(n))in( widehat(varphi))(U))]:}\begin{array}{r} \left(\left(\psi \circ f \circ \varphi^{-1}\right) \circ \widehat{\varphi}^{-1}\right)\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)=\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right) \\ \left(\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right) \in \widehat{\varphi}(U)\right) \end{array}((ψfφ1)φ^1)(x1,,xn)=(x1,,xn)((x1,,xn)φ^(U))
となるようなものがとれる。この事実から, f | φ 1 ( U ) f φ 1 ( U ) f|_(varphi^(-1)(U))\left.f\right|_{\varphi^{-1}(U)}f|φ1(U) は のある開集合への C r C r C^(r)C^{r}Cr 同型写像になることが導かれる.
また, C C C^(oo)C^{\infty}C 多様体間の C r C r C^(r)C^{r}Cr 写像に対し, 次の陰関数定理(全射型)(implicit function theorem (surjection type))が成り立つ.
定理 3.6.2 M M MMM m m mmm 次元 C C C^(oo)C^{\infty}C 多様体, N N NNN n ( < m ) n ( < m ) n( < m)n(<m)n(<m) 次元 C C C^(oo)C^{\infty}C 多様体とし, f f fff M M MMM から N N NNN への C r C r C^(r)C^{r}Cr 写像とする. このとき, d f p d f p df_(p)d f_{p}dfp が全射であるならば, p p ppp のまわりの M M MMM の局所チャート ( U , φ = ( x 1 , , x m ) ) U , φ = x 1 , , x m (U,varphi=(x_(1),dots,x_(m)))\left(U, \varphi=\left(x_{1}, \ldots, x_{m}\right)\right)(U,φ=(x1,,xm)) f ( p ) f ( p ) f(p)f(p)f(p) のまわりの N N NNN の 局所チャート ( V , ψ = ( y 1 , , y n ) ) ( f ( U ) V V , ψ = y 1 , , y n ( f ( U ) V (V,psi=(y_(1),dots,y_(n)))(f(U)sub V\left(V, \psi=\left(y_{1}, \ldots, y_{n}\right)\right)(f(U) \subset V(V,ψ=(y1,,yn))(f(U)V とする)で,
( ψ f φ 1 ) ( x 1 , , x m ) = ( x 1 , , x n ) ( ( x 1 , , x m ) φ ( U ) ) ψ f φ 1 x 1 , , x m = x 1 , , x n x 1 , , x m φ ( U ) (psi@f@varphi^(-1))(x_(1),dots,x_(m))=(x_(1),dots,x_(n))quad((x_(1),dots,x_(m))in varphi(U))\left(\psi \circ f \circ \varphi^{-1}\right)\left(x_{1}, \ldots, x_{m}\right)=\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right) \quad\left(\left(x_{1}, \ldots, x_{m}\right) \in \varphi(U)\right)(ψfφ1)(x1,,xm)=(x1,,xn)((x1,,xm)φ(U))
となるようなものが存在する.
証明任意に p p ppp のまわりの M M MMM の局所チャート ( U ^ , φ ^ = ( x 1 , , x m ) ) U ^ , φ ^ = x 1 , , x m (( widehat(U)),( widehat(varphi))=(x_(1),dots,x_(m)))\left(\widehat{U}, \widehat{\varphi}=\left(x_{1}, \ldots, x_{m}\right)\right)(U^,φ^=(x1,,xm)) f ( p ) f ( p ) f(p)f(p)f(p) のまわりの N N NNN の局所チャート ( V , ψ = ( y 1 , , y n ) ) V , ψ = y 1 , , y n (V,psi=(y_(1),dots,y_(n)))\left(V, \psi=\left(y_{1}, \ldots, y_{n}\right)\right)(V,ψ=(y1,,yn)) をとる ( f ( U ^ ) V ( f ( U ^ ) V (f( widehat(U))sub V(f(\widehat{U}) \subset V(f(U^)V とする). d f p d f p df_(p)d f_{p}dfp が全射であることより, ヤコビ行列 J ( ψ f φ ^ 1 ) φ ^ ( p ) J ψ f φ ^ 1 φ ^ ( p ) J(psi@f@ hat(varphi)^(-1))_( hat(varphi)(p))J\left(\psi \circ f \circ \hat{\varphi}^{-1}\right)_{\hat{\varphi}(p)}J(ψfφ^1)φ^(p) の階数 は n n nnn になる。れゆえ, 微分積分学における陰関数定理(全射型)を用いて, φ ^ ( p ) φ ^ ( p ) widehat(varphi)(p)\widehat{\varphi}(p)φ^(p) のある十分小さな開近傍 U ( φ ^ ( U ^ ) ) U ( φ ^ ( U ^ ) ) U^(')(sub widehat(varphi)( widehat(U)))U^{\prime}(\subset \widehat{\varphi}(\widehat{U}))U(φ^(U^)) から R m R m R^(m)\mathbb{R}^{m}Rm のある開集合への C r C r C^(r)C^{r}Cr 同型写像 φ ~ φ ~ widetilde(varphi)\widetilde{\varphi}φ~
( ( ψ f φ ^ 1 ) φ ~ 1 ) ( x 1 , , x m ) = ( x 1 , , x n ) ( ( x 1 , , x m ) φ ~ ( U ) ) ψ f φ ^ 1 φ ~ 1 x 1 , , x m = x 1 , , x n x 1 , , x m φ ~ U {:[((psi@f@ hat(varphi)^(-1))@ widetilde(varphi)^(-1))(x_(1),dots,x_(m))=(x_(1),dots,x_(n))],[((x_(1),dots,x_(m))in( widetilde(varphi))(U^(')))]:}\begin{array}{r} \left(\left(\psi \circ f \circ \hat{\varphi}^{-1}\right) \circ \widetilde{\varphi}^{-1}\right)\left(x_{1}, \ldots, x_{m}\right)=\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right) \\ \left(\left(x_{1}, \ldots, x_{m}\right) \in \widetilde{\varphi}\left(U^{\prime}\right)\right) \end{array}((ψfφ^1)φ~1)(x1,,xm)=(x1,,xn)((x1,,xm)φ~(U))
となるようなものがとれることが示される. U := φ 1 ( U ) , φ := ( φ ~ φ ^ ) | φ 1 ( U ) U := φ 1 U , φ := ( φ ~ φ ^ ) φ 1 U U:=varphi^(-1)(U^(')),varphi:=(( widetilde(varphi))@( widehat(varphi)))|_(varphi^(-1)(U^(')))U:=\varphi^{-1}\left(U^{\prime}\right), \varphi:=\left.(\widetilde{\varphi} \circ \widehat{\varphi})\right|_{\varphi^{-1}\left(U^{\prime}\right)}U:=φ1(U),φ:=(φ~φ^)|φ1(U) とおく。明らかに, ( U , φ ) ( U , φ ) (U,varphi)(U, \varphi)(U,φ) M M MMM の局所チャートであり,
( ψ f φ 1 ) ( x 1 , , x m ) = ( x 1 , , x n ) ( ( x 1 , , x m ) φ ( U ) ) ψ f φ 1 x 1 , , x m = x 1 , , x n x 1 , , x m φ ( U ) {:[(psi@f@varphi^(-1))(x_(1),dots,x_(m))=(x_(1),dots,x_(n))],[((x_(1),dots,x_(m))in varphi(U))]:}\begin{array}{r} \left(\psi \circ f \circ \varphi^{-1}\right)\left(x_{1}, \ldots, x_{m}\right)=\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right) \\ \left(\left(x_{1}, \ldots, x_{m}\right) \in \varphi(U)\right) \end{array}(ψfφ1)(x1,,xm)=(x1,,xn)((x1,,xm)φ(U))
が成り立つ. それゆえ, ( U , φ ) ( U , φ ) (U,varphi)(U, \varphi)(U,φ) ( V , ψ ) ( V , ψ ) (V,psi)(V, \psi)(V,ψ) が求めるべき局所チャートの組であ る.
同様に, 微分積分学における陰関数定理(単射型)を用いて, C C C^(oo)C^{\infty}C 多様体間 の C r C r C^(r)C^{r}Cr 写像に対し, 次の陰関数定理(単射型)(implicit function theorem (injection type))が示される.
定理 3.6.3 M M MMM m m mmm 次元 C C C^(oo)C^{\infty}C 多様体, N N NNN n ( > m ) n ( > m ) n( > m)n(>m)n(>m) 次元 C C C^(oo)C^{\infty}C 多様体とし, f f fff M M MMM から N N NNN への C r C r C^(r)C^{r}Cr 写像とする. このとき, d f p d f p df_(p)d f_{p}dfp が単射であるならば, p p ppp のまわりの M M MMM の局所チャート ( U , φ = ( x 1 , , x m ) ) U , φ = x 1 , , x m (U,varphi=(x_(1),dots,x_(m)))\left(U, \varphi=\left(x_{1}, \ldots, x_{m}\right)\right)(U,φ=(x1,,xm)) f ( p ) f ( p ) f(p)f(p)f(p) のまわりの N N NNN の 局所チャート ( V , ψ = ( y 1 , , y n ) ) ( f ( U ) V V , ψ = y 1 , , y n ( f ( U ) V (V,psi=(y_(1),dots,y_(n)))(f(U)sub V\left(V, \psi=\left(y_{1}, \ldots, y_{n}\right)\right)(f(U) \subset V(V,ψ=(y1,,yn))(f(U)V とする)で,
( ψ f φ 1 ) ( x 1 , , x m ) = ( x 1 , , x m , 0 , , 0 ) ( ( x 1 , , x m ) U ) ψ f φ 1 x 1 , , x m = x 1 , , x m , 0 , , 0 x 1 , , x m U (psi@f@varphi^(-1))(x_(1),dots,x_(m))=(x_(1),dots,x_(m),0,dots,0)quad((x_(1),dots,x_(m))in U)\left(\psi \circ f \circ \varphi^{-1}\right)\left(x_{1}, \ldots, x_{m}\right)=\left(x_{1}, \ldots, x_{m}, 0, \ldots, 0\right) \quad\left(\left(x_{1}, \ldots, x_{m}\right) \in U\right)(ψfφ1)(x1,,xm)=(x1,,xm,0,,0)((x1,,xm)U)
となるようなものが存在する。
次に, 正則部分多様体の概念を定義しよう. M M MMM m m mmm 次元 C C C^(oo)C^{\infty}C 多様体とし, L L LLL M M MMM 部分集合とする。また, l l lll m m mmm よりも小さい自然数とする. 各点 p L p L p in Lp \in LpL に対し, p p ppp のまわりの M M MMM の局所チャート ( U , φ = ( x 1 , , x m ) ) U , φ = x 1 , , x m (U,varphi=(x_(1),dots,x_(m)))\left(U, \varphi=\left(x_{1}, \ldots, x_{m}\right)\right)(U,φ=(x1,,xm)) で,
(3.6.1) U L = { q U x l + 1 ( q ) = = x m ( q ) = 0 } (3.6.1) U L = q U x l + 1 ( q ) = = x m ( q ) = 0 {:(3.6.1)U nn L={q in U∣x_(l+1)(q)=cdots=x_(m)(q)=0}:}\begin{equation*} U \cap L=\left\{q \in U \mid x_{l+1}(q)=\cdots=x_{m}(q)=0\right\} \tag{3.6.1} \end{equation*}(3.6.1)UL={qUxl+1(q)==xm(q)=0}
(図 3.6.3 を参照)となるようなものがとれるとき, L L LLL M M MMM l l l\boldsymbol{l}l 次元正則部分多様体(l-dimensional regular submanifold)という. 各点 p L p L p in Lp \in LpL に対し, 条件 (3.6.1) を満たす M M MMM の局所チャート ( U p , φ p ) U p , φ p (U_(p),varphi_(p))\left(U_{p}, \varphi_{p}\right)(Up,φp) をとることにより, L L LLL を被覆する M M MMM の局所チャートの族 D := { ( U p , φ p ) p L } D := U p , φ p p L D^('):={(U_(p),varphi_(p))∣p in L}\mathcal{D}^{\prime}:=\left\{\left(U_{p}, \varphi_{p}\right) \mid p \in L\right\}D:={(Up,φp)pL} を定義する. pr R l pr R l pr_(R^(l))\mathrm{pr}_{\mathbb{R}^{l}}prRl R m R m R^(m)\mathbb{R}^{m}Rm から R l R l R^(l)\mathbb{R}^{l}Rl への自然な射影(つまり, pr R l ( x 1 , , x m ) := ( x 1 , , x l ) ) pr R l x 1 , , x m := x 1 , , x l {:pr_(R^(l))(x_(1),dots,x_(m)):=(x_(1),dots,x_(l)))\left.\mathrm{pr}_{\mathbb{R}^{l}}\left(x_{1}, \ldots, x_{m}\right):=\left(x_{1}, \ldots, x_{l}\right)\right)prRl(x1,,xm):=(x1,,xl)) とし, D L D L D_(L)^(')\mathcal{D}_{L}^{\prime}DL
D L := { ( U p L , pr R i φ p | U p L ) p L } D L := U p L , pr R i φ p U p L p L D_(L)^('):={(U_(p)nn L,pr_(R^(i))@varphi_(p)|_(U_(p)nn L))∣p in L}\mathcal{D}_{L}^{\prime}:=\left\{\left(U_{p} \cap L,\left.\operatorname{pr}_{\mathbb{R}^{i}} \circ \varphi_{p}\right|_{U_{p} \cap L}\right) \mid p \in L\right\}DL:={(UpL,prRiφp|UpL)pL}
によって定めると、明らかにこれは L L LLL C C C^(oo)C^{\infty}C 構造を与え、それゆえ, ( L , D L ) L , D L (L,D_(L))\left(L, \mathcal{D}_{L}\right)(L,DL) l l lll 次元 C C C^(oo)C^{\infty}C 多様体になることがわかる. また, R l R l R^(l)\mathbb{R}^{l}Rl の開集合 D p D p D_(p)D_{p}Dp
D p := { ( u 1 , , u l ) R l ( u 1 , , u l , 0 , , 0 ) φ p ( U p ) } D p := u 1 , , u l R l u 1 , , u l , 0 , , 0 φ p U p D_(p):={(u_(1),dots,u_(l))inR^(l)∣(u_(1),dots,u_(l),0,dots,0)invarphi_(p)(U_(p))}D_{p}:=\left\{\left(u_{1}, \ldots, u_{l}\right) \in \mathbb{R}^{l} \mid\left(u_{1}, \ldots, u_{l}, 0, \ldots, 0\right) \in \varphi_{p}\left(U_{p}\right)\right\}Dp:={(u1,,ul)Rl(u1,,ul,0,,0)φp(Up)}
によって定義し, x p : D p M x p : D p M x_(p):D_(p)rarr M\boldsymbol{x}_{p}: D_{p} \rightarrow Mxp:DpM
x p ( u 1 , , u l ) := φ p 1 ( u 1 , , u l , 0 , , 0 ) ( ( u 1 , , u l ) D p ) x p u 1 , , u l := φ p 1 u 1 , , u l , 0 , , 0 u 1 , , u l D p x_(p)(u_(1),dots,u_(l)):=varphi_(p)^(-1)(u_(1),dots,u_(l),0,dots,0)quad((u_(1),dots,u_(l))inD_(p))\boldsymbol{x}_{p}\left(u_{1}, \ldots, u_{l}\right):=\varphi_{p}^{-1}\left(u_{1}, \ldots, u_{l}, 0, \ldots, 0\right) \quad\left(\left(u_{1}, \ldots, u_{l}\right) \in D_{p}\right)xp(u1,,ul):=φp1(u1,,ul,0,,0)((u1,,ul)Dp)
により定義する(図 3.6 .3 を参照)。 このとき, x p : D p M x p : D p M x_(p):D_(p)rarr M\boldsymbol{x}_{p}: D_{p} \rightarrow Mxp:DpM C C C^(oo)C^{\infty}C はめ込 みになり,1.9 節で定義したユークリッド空間内の正則局所曲面と同種のもの になるので, これは M M MMM 内の C C C^(oo)C^{\infty}C 正則局所部分多様体とよばれるべきものにな る. それゆえ, L p := x p ( D p ) ( = U p L ) L p := x p D p = U p L L_(p):=x_(p)(D_(p))(=U_(p)nn L)L_{p}:=\boldsymbol{x}_{p}\left(D_{p}\right)\left(=U_{p} \cap L\right)Lp:=xp(Dp)(=UpL) は, M M MMM 内の C C C^(oo)C^{\infty}C 部分多様体片とよ ばれるべきものになり, L = p L L p L = p L L p L=uu_(p in L)L_(p)L=\underset{p \in L}{\cup} L_{p}L=pLLp M M MMM 内の C C C^(oo)C^{\infty}C 部分多様体とよばれるべ きものになる.
陰関数定理(全射型, 定理 3.6.2)を用いて次の事実が示される。
定理 3.6.4 M M MMM m m mmm 次元 C C C^(oo)C^{\infty}C 多様体, N N NNN n ( < m ) n ( < m ) n( < m)n(<m)n(<m) 次元 C C C^(oo)C^{\infty}C 多様体とし, f : M N f : M N f:M rarr Nf: M \rightarrow Nf:MN C C C^(oo)C^{\infty}C 写像 ( r 1 ) ( r 1 ) (r >= 1)(r \geq 1)(r1) とする. このとき, f f fff の正則値 q q qqq に対し, L := f 1 ( q ) L := f 1 ( q ) L:=f^(-1)(q)L:=f^{-1}(q)L:=f1(q) M M MMM 内の ( m n ) ( m n ) (m-n)(m-n)(mn) 次元正則部分多様体になる. た, T p L = T p L = T_(p)L=T_{p} L=TpL= Ker d f p ( p L ) Ker d f p ( p L ) Ker df_(p)(p in L)\operatorname{Ker} d f_{p}(p \in L)Kerdfp(pL) が成り立つ.
証明 任意に p 0 L p 0 L p_(0)in Lp_{0} \in Lp0L をとる. q 0 = f ( p 0 ) q 0 = f p 0 q_(0)=f(p_(0))q_{0}=f\left(p_{0}\right)q0=f(p0) f f fff の正則値なので, p 0 p 0 p_(0)p_{0}p0 f f fff の 正則点, つまり, d f p 0 d f p 0 df_(p_(0))d f_{p_{0}}dfp0 は全射である。それゆえ, 陰関数定理(全射型, 定理
図 3.6.3 正則部分多様体
3.6.2) によれば, p 0 p 0 p_(0)p_{0}p0 のまわりの局所チャート ( U , φ = ( x 1 , , x m ) ) U , φ = x 1 , , x m (U,varphi=(x_(1),dots,x_(m)))\left(U, \varphi=\left(x_{1}, \ldots, x_{m}\right)\right)(U,φ=(x1,,xm)) q 0 q 0 q_(0)q_{0}q0 の まわりの局所チャート ( V , ψ = ( y 1 , , y n ) ) V , ψ = y 1 , , y n (V,psi=(y_(1),dots,y_(n)))\left(V, \psi=\left(y_{1}, \ldots, y_{n}\right)\right)(V,ψ=(y1,,yn))
( ψ f φ 1 ) ( x 1 , , x m ) = ( x 1 , , x n ) ( ( x 1 , , x m ) φ ( U ) ) ψ f φ 1 x 1 , , x m = x 1 , , x n x 1 , , x m φ ( U ) (psi@f@varphi^(-1))(x_(1),dots,x_(m))=(x_(1),dots,x_(n))quad((x_(1),dots,x_(m))in varphi(U))\left(\psi \circ f \circ \varphi^{-1}\right)\left(x_{1}, \ldots, x_{m}\right)=\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right) \quad\left(\left(x_{1}, \ldots, x_{m}\right) \in \varphi(U)\right)(ψfφ1)(x1,,xm)=(x1,,xn)((x1,,xm)φ(U))
となるようなものがとれる. φ ( p 0 ) = ( p 01 , , p 0 m ) φ p 0 = p 01 , , p 0 m varphi(p_(0))=(p_(01),dots,p_(0m))\varphi\left(p_{0}\right)=\left(p_{01}, \ldots, p_{0 m}\right)φ(p0)=(p01,,p0m) とする. τ : φ ( U ) R m τ : φ ( U ) R m tau:varphi(U)rarrR^(m)\tau: \varphi(U) \rightarrow \mathbb{R}^{m}τ:φ(U)Rm
τ ( x 1 , , x m ) := ( x n + 1 p 0 , n + 1 , , x m p 0 m , x 1 p 01 , , x n p 0 n ) ( ( x 1 , , x m ) φ ( U ) ) τ x 1 , , x m := x n + 1 p 0 , n + 1 , , x m p 0 m , x 1 p 01 , , x n p 0 n x 1 , , x m φ ( U ) {:[tau(x_(1),dots,x_(m)):=(x_(n+1)-p_(0,n+1),dots,x_(m)-p_(0m),x_(1)-p_(01),dots,x_(n)-p_(0n))],[((x_(1),dots,x_(m))in varphi(U))]:}\begin{array}{r} \tau\left(x_{1}, \ldots, x_{m}\right):=\left(x_{n+1}-p_{0, n+1}, \ldots, x_{m}-p_{0 m}, x_{1}-p_{01}, \ldots, x_{n}-p_{0 n}\right) \\ \left(\left(x_{1}, \ldots, x_{m}\right) \in \varphi(U)\right) \end{array}τ(x1,,xm):=(xn+1p0,n+1,,xmp0m,x1p01,,xnp0n)((x1,,xm)φ(U))
により定義する。 φ ^ := τ φ φ ^ := τ φ widehat(varphi):=tau@varphi\widehat{\varphi}:=\tau \circ \varphiφ^:=τφ とおき、 φ ^ = ( x ^ 1 , , x ^ m ) φ ^ = x ^ 1 , , x ^ m widehat(varphi)=( widehat(x)_(1),dots, widehat(x)_(m))\widehat{\varphi}=\left(\widehat{x}_{1}, \ldots, \widehat{x}_{m}\right)φ^=(x^1,,x^m) とする. このとき, 明 らかに ( U , φ ^ ) ( U , φ ^ ) (U, widehat(varphi))(U, \widehat{\varphi})(U,φ^) M M MMM の局所チャートになる。また,
p U L f ( p ) = q 0 ( ψ f φ 1 ) ( x 1 ( p ) , , x m ( p ) ) = ( ψ f φ 1 ) ( x 1 ( p 0 ) , , x m ( p 0 ) ) ( x 1 ( p ) , , x n ( p ) ) = ( x 1 ( p 0 ) , , x n ( p 0 ) ) ( x 1 ( p ) , , x n ( p ) ) = ( p 01 , , p 0 n ) x ^ m n + 1 ( p ) = = x ^ m ( p ) = 0 p U L f ( p ) = q 0 ψ f φ 1 x 1 ( p ) , , x m ( p ) = ψ f φ 1 x 1 p 0 , , x m p 0 x 1 ( p ) , , x n ( p ) = x 1 p 0 , , x n p 0 x 1 ( p ) , , x n ( p ) = p 01 , , p 0 n x ^ m n + 1 ( p ) = = x ^ m ( p ) = 0 {:[p in U nn L Longleftrightarrow f(p)=q_(0)],[Longleftrightarrow(psi@f@varphi^(-1))(x_(1)(p),dots,x_(m)(p))=(psi@f@varphi^(-1))(x_(1)(p_(0)),dots,x_(m)(p_(0)))],[Longleftrightarrow(x_(1)(p),dots,x_(n)(p))=(x_(1)(p_(0)),dots,x_(n)(p_(0)))],[Longleftrightarrow(x_(1)(p),dots,x_(n)(p))=(p_(01),dots,p_(0n))],[Longleftrightarrow hat(x)_(m-n+1)(p)=cdots= widehat(x)_(m)(p)=0]:}\begin{aligned} & p \in U \cap L \Longleftrightarrow f(p)=q_{0} \\ \Longleftrightarrow & \left(\psi \circ f \circ \varphi^{-1}\right)\left(x_{1}(p), \ldots, x_{m}(p)\right)=\left(\psi \circ f \circ \varphi^{-1}\right)\left(x_{1}\left(p_{0}\right), \ldots, x_{m}\left(p_{0}\right)\right) \\ \Longleftrightarrow & \left(x_{1}(p), \ldots, x_{n}(p)\right)=\left(x_{1}\left(p_{0}\right), \ldots, x_{n}\left(p_{0}\right)\right) \\ \Longleftrightarrow & \left(x_{1}(p), \ldots, x_{n}(p)\right)=\left(p_{01}, \ldots, p_{0 n}\right) \\ \Longleftrightarrow & \hat{x}_{m-n+1}(p)=\cdots=\widehat{x}_{m}(p)=0 \end{aligned}pULf(p)=q0(ψfφ1)(x1(p),,xm(p))=(ψfφ1)(x1(p0),,xm(p0))(x1(p),,xn(p))=(x1(p0),,xn(p0))(x1(p),,xn(p))=(p01,,p0n)x^mn+1(p)==x^m(p)=0
つまり, U L = { p U x ^ m n + 1 ( p ) = = x ^ m ( p ) = 0 } U L = p U x ^ m n + 1 ( p ) = = x ^ m ( p ) = 0 U nn L={p in U∣ widehat(x)_(m-n+1)(p)=cdots= widehat(x)_(m)(p)=0}U \cap L=\left\{p \in U \mid \widehat{x}_{m-n+1}(p)=\cdots=\widehat{x}_{m}(p)=0\right\}UL={pUx^mn+1(p)==x^m(p)=0} が示される. し たがって, L L LLL M M MMM 内の ( m n ) ( m n ) (m-n)(m-n)(mn) 次元正則部分多様体である(図 3.6.4 を参照).
次に, 後半部を示す. 任意に v T p L v T p L v inT_(p)L\boldsymbol{v} \in T_{p} LvTpL をとり, c c ccc c ( 0 ) = v c ( 0 ) = v c^(')(0)=vc^{\prime}(0)=\boldsymbol{v}c(0)=v となる L L LLL 内 の C r C r C^(r)C^{r}Cr 曲線とする. このとき, f ( c ( t ) ) = q f ( c ( t ) ) = q f(c(t))=qf(c(t))=qf(c(t))=q なので, ( f c ) ( 0 ) = 0 ( f c ) ( 0 ) = 0 (f@c)^(')(0)=0(f \circ c)^{\prime}(0)=\mathbf{0}(fc)(0)=0 をえる. そ れゆえ, d f p ( v ) = ( f c ) ( 0 ) = 0 , , v Ker d f p d f p ( v ) = ( f c ) ( 0 ) = 0 , , v Ker d f p df_(p)(v)=(f@c)^(')(0)=0,つまり,v in Ker df_(p)d f_{p}(\boldsymbol{v})=(f \circ c)^{\prime}(0)=\mathbf{0}, つ ま り, \boldsymbol{v} \in \operatorname{Ker} d f_{p}dfp(v)=(fc)(0)=0,,vKerdfp が示される.したが
図 3.6.4 正則値の等高面
って, T p L Ker d f p T p L Ker d f p T_(p)L sub Ker df_(p)T_{p} L \subset \operatorname{Ker} d f_{p}TpLKerdfp をえる。一方, 線形代数学における次元定理, および, d f p d f p df_(p)d f_{p}dfp が全射であることを用いて,
m = dim T p M = dim Ker d f p + dim Im d f p = dimKer d f p + n m = dim T p M = dim Ker d f p + dim Im d f p = dimKer d f p + n m=dimT_(p)M=dim Ker df_(p)+dim Im df_(p)=dimKer df_(p)+nm=\operatorname{dim} T_{p} M=\operatorname{dim} \operatorname{Ker} d f_{p}+\operatorname{dim} \operatorname{Im} d f_{p}=\operatorname{dimKer} d f_{p}+nm=dimTpM=dimKerdfp+dimImdfp=dimKerdfp+n
つまり, dim Ker d f p = m n = dim T p L dim Ker d f p = m n = dim T p L dim Ker df_(p)=m-n=dimT_(p)L\operatorname{dim} \operatorname{Ker} d f_{p}=m-n=\operatorname{dim} T_{p} LdimKerdfp=mn=dimTpL が示される.したがって, Ker d f p = Ker d f p = Ker df_(p)=\operatorname{Ker} d f_{p}=Kerdfp= T p L T p L T_(p)LT_{p} LTpL をえる.
L L LLL l l lll 次元 C C C^(oo)C^{\infty}C 多様体とし, M M MMM m ( > l ) m ( > l ) m( > l)m(>l)m(>l) 次元 C C C^(oo)C^{\infty}C 多様体とする. L L LLL から M M MMM への C r C r C^(r)C^{r}Cr はめ込み写像 f f fff が与えられているとき, L L LLL f f f\boldsymbol{f}f によってはめ込ま れた M M MMM 内の l l lll 次元 C r C r C^(r)C^{r}Cr 級部分多様体 ( l l (l:}\left(l\right.(l-dimensional C r C r C^(r)C^{r}Cr-submanifold in M M MMM immersed by f f fff ), または単に, はめ込まれた C r C r C^(r)C^{r}Cr 部分多様体(immersed C r C r C^(r)C^{r}Cr-submanifold) といい, ( m l ) ( m l ) (m-l)(m-l)(ml) をその余次元(codimension) という. 特に, はめ込まれた余次元 1 の C r C r C^(r)C^{r}Cr 部分多様体は, はめ込まれた C r C r C^(r)C^{r}Cr超曲面(immersed C r C r C^(r)C^{r}Cr-hypersurface)とよばれる。また, L L LLL から M M M∼M \simM C r C r C^(r)C^{r}Cr 埋め込み写像 f f fff が与えられているとき, L L LLL または f ( L ) f ( L ) f(L)f(L)f(L) f f f\boldsymbol{f}f によって 埋め込まれた M M MMM 内の l l lll 次元 C r C r C^(r)C^{r}Cr 級部分多様体 ( l l lll-dimensional C r C r C^(r)-C^{r}-Cr
submanifold in M M MMM embedded by f f fff ), または単に, 埋め込まれた C r C r C^(r)C^{r}Cr部分多様体 (embedded C r C r C^(r)C^{r}Cr-submanifold) という.

3.7 ベクトル場と局所 1 パラメーター変換群

この節において, C C C^(oo)C^{\infty}C 多様体上の C r C r C^(r)C^{r}Cr ベクトル場と C r C r C^(r)C^{r}Cr 局所 1 パラメーター 変換群を定義し,それらの関係について述べる。また一般に,実ベクトルバ ンドルの概念, さらにその基本的な例として, 接ベクトルバンドルを定義し, C r C r C^(r)C^{r}Cr ベクトル場が接ベクトルバンドルの C r C r C^(r)C^{r}Cr 切断とよばれるものとして捉えら れることについて述べる。この節では r 1 r 1 r >= 1r \geq 1r1 とする.
n n nnn 次元 C C C^(oo)C^{\infty}C 多様体 M M MMM の各点 p p ppp に対し, T p M T p M T_(p)MT_{p} MTpM の元 X p X p X_(p)\boldsymbol{X}_{p}Xp を対応させる対応 X X X\boldsymbol{X}X M M MMM 上の接ベクトル場, または単に, ベクトル場という。超曲面の場合と異 なり, 法べクトル場に相当するものが実在しないので, “接”を略してべクト ル場とよぶことにする。 M M MMM の局所チャート ( U , φ = ( x 1 , , x n ) ) U , φ = x 1 , , x n (U,varphi=(x_(1),dots,x_(n)))\left(U, \varphi=\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)\right)(U,φ=(x1,,xn)) に対し,
X p = i = 1 n X i ( p ) ( x i ) p ( p U ) X p = i = 1 n X i ( p ) x i p ( p U ) X_(p)=sum_(i=1)^(n)X_(i)(p)((del)/(delx_(i)))_(p)quad(p in U)\boldsymbol{X}_{p}=\sum_{i=1}^{n} X_{i}(p)\left(\frac{\partial}{\partial x_{i}}\right)_{p} \quad(p \in U)Xp=i=1nXi(p)(xi)p(pU)
によって定義される U U UUU 上の関数 X i X i X_(i)X_{i}Xi たちを X X XXX ( U , φ ) ( U , φ ) (U,varphi)(U, \varphi)(U,φ) に関する成分(the component of X X X\boldsymbol{X}X with respect to ( U , φ ) ( U , φ ) (U,varphi)(U, \varphi)(U,φ) ) という. M M MMM の各局所チャート に関する成分が C r C r C^(r)C^{r}Cr 級であるとき, X X X\boldsymbol{X}X C r C r C^(r)C^{r}Cr ベクトル場 ( C r C r (C^(r):}\left(C^{r}\right.(Cr-vector field ) ) ))) という。 M M MMM 上の C r C r C^(r)C^{r}Cr ベクトル場の全体を X r ( M ) X r ( M ) X^(r)(M)\mathcal{X}^{r}(M)Xr(M) と表し, 特に, C C C^(oo)C^{\infty}C ベクト ル場の全体を X ( M ) X ( M ) X(M)\mathcal{X}(M)X(M) と表すことにする。
M M MMM 上の C r C r C^(r)C^{r}Cr ベクトル場 X X X\boldsymbol{X}X C r C r C^(r)C^{r}Cr 級関数 f f fff に対し, X ( f ) X ( f ) X(f)\boldsymbol{X}(f)X(f)
X ( f ) ( p ) := X p ( f ) ( p M ) X ( f ) ( p ) := X p ( f ) ( p M ) X(f)(p):=X_(p)(f)quad(p in M)\boldsymbol{X}(f)(p):=\boldsymbol{X}_{p}(f) \quad(p \in M)X(f)(p):=Xp(f)(pM)
で定める。 X ( f ) X ( f ) X(f)\boldsymbol{X}(f)X(f) M M MMM 上の C r 1 C r 1 C^(r-1)C^{r-1}Cr1 級関数になる。 X ( f ) X ( f ) X(f)\boldsymbol{X}(f)X(f) f f fff X X X\boldsymbol{X}X に関する 方向微分という. 命題 3.3.4 から直接, 次の関係式が導かれる:
(i) X ( a f 1 + b f 2 ) = a X ( f 1 ) + b X ( f 2 ) ( a , b R , f 1 , f 2 C r ( M ) ) X a f 1 + b f 2 = a X f 1 + b X f 2 a , b R , f 1 , f 2 C r ( M ) quad X(af_(1)+bf_(2))=aX(f_(1))+bX(f_(2))quad(a,b inR,f_(1),f_(2)inC^(r)(M))\quad \boldsymbol{X}\left(a f_{1}+b f_{2}\right)=a \boldsymbol{X}\left(f_{1}\right)+b \boldsymbol{X}\left(f_{2}\right) \quad\left(a, b \in \mathbb{R}, f_{1}, f_{2} \in C^{r}(M)\right)X(af1+bf2)=aX(f1)+bX(f2)(a,bR,f1,f2Cr(M));
(ii) X ( f 1 f 2 ) = f 1 X ( f 2 ) + X ( f 1 ) f 2 ( f 1 , f 2 C r ( M ) ) X f 1 f 2 = f 1 X f 2 + X f 1 f 2 f 1 , f 2 C r ( M ) quad X(f_(1)f_(2))=f_(1)X(f_(2))+X(f_(1))f_(2)quad(f_(1),f_(2)inC^(r)(M))\quad \boldsymbol{X}\left(f_{1} f_{2}\right)=f_{1} \boldsymbol{X}\left(f_{2}\right)+\boldsymbol{X}\left(f_{1}\right) f_{2} \quad\left(f_{1}, f_{2} \in C^{r}(M)\right)X(f1f2)=f1X(f2)+X(f1)f2(f1,f2Cr(M)).
C r ( M ) C r ( M ) C^(r)(M)C^{r}(M)Cr(M) から C r 1 ( M ) C r 1 ( M ) C^(r-1)(M)C^{r-1}(M)Cr1(M) への写像 X ^ X ^ widehat(X)\widehat{\boldsymbol{X}}X^ で, 上述の条件 (i), (ii)を満たすようなも のの全体を X ^ r ( M ) X ^ r ( M ) widehat(X)^(r)(M)\widehat{\mathcal{X}}^{r}(M)X^r(M) と表すことにする。 X ^ r ( M ) X ^ r ( M ) widehat(X)^(r)(M)\widehat{\mathcal{X}}^{r}(M)X^r(M) は自然な和, 実数倍の下に無
限次元実ベクトル空間になる。 各 X X r ( M ) X X r ( M ) X inX^(r)(M)\boldsymbol{X} \in \mathcal{X}^{r}(M)XXr(M) に対し, X ^ ( f ) := X ( f ) ( f X ^ ( f ) := X ( f ) ( f hat(X)(f):=X(f)(f in\hat{\boldsymbol{X}}(f):=\boldsymbol{X}(f)(f \inX^(f):=X(f)(f C ( M ) ) C ( M ) {:C^(oo)(M))\left.C^{\infty}(M)\right)C(M)) によって定義される X ^ X ^ ( M ) X ^ X ^ ( M ) hat(X)in widehat(X)(M)\hat{\boldsymbol{X}} \in \widehat{\mathcal{X}}(M)X^X^(M) を対応させる対応は, X r ( M ) X r ( M ) X^(r)(M)\mathcal{X}^{r}(M)Xr(M) から X ^ r ( M ) X ^ r ( M ) widehat(X)^(r)(M)\widehat{\mathcal{X}}^{r}(M)X^r(M) への線形同型写像を与えることが容易に示される.
次に,接空間を束ねた空間として,接ベクトルバンドルという概念を定義す る. まず、一般の実ベクトルバンドルの概念を定義しておこう。 E , M E , M E,ME, ME,M C r C r C^(r)C^{r}Cr多様体とし, π : E M π : E M pi:E rarr M\pi: E \rightarrow Mπ:EM を上への C r C r C^(r)C^{r}Cr 沈め込み写像とする. このとき, 定理 3.6.4 によれば, 各 p M p M p in Mp \in MpM に対し, π 1 ( p ) π 1 ( p ) pi^(-1)(p)\pi^{-1}(p)π1(p) E E EEE の正則部分多様体になる. E p := π 1 ( p ) E p := π 1 ( p ) E_(p):=pi^(-1)(p)E_{p}:=\pi^{-1}(p)Ep:=π1(p) とおく. 次の 2 条件が成り立つとき, π : E M π : E M pi:E rarr M\pi: E \rightarrow Mπ:EM M M MMM 上の 階数 k k k\boldsymbol{k}k C r C r C^(r)C^{r}Cr 級実ベクトルバンドル ( C r C r (C^(r):}\left(C^{r}\right.(Cr-real vector bundle of rank k k k\boldsymbol{k}k over M ) M ) M)M)M) という:
(i) 各 E p ( p M ) E p ( p M ) E_(p)(p in M)E_{p}(p \in M)Ep(pM) k k kkk 次元実ベクトル空間の構造が与えられている;
(ii) M M MMM の各点 p 0 p 0 p_(0)p_{0}p0 に対し, p 0 p 0 p_(0)p_{0}p0 の近傍 U U UUU C r C r C^(r)C^{r}Cr 同型写像 φ : π 1 ( U ) U × φ : π 1 ( U ) U × varphi:pi^(-1)(U)rarr U xx\varphi: \pi^{-1}(U) \rightarrow U \timesφ:π1(U)U× R k R k R^(k)\mathbb{R}^{k}Rk で, 各点 p U p U p in Up \in UpU に対し, φ | E p φ E p varphi|_(E_(p))\left.\varphi\right|_{E_{p}}φ|Ep E p E p E_(p)E_{p}Ep から { p } × R k { p } × R k {p}xxR^(k)\{p\} \times \mathbb{R}^{k}{p}×Rk への線形同型写像 になるようなものが存在する。(局所自明性)
E p E p E_(p)E_{p}Ep p p ppp 上のファイバー(fibre)とよばれ,(ii)における φ φ varphi\varphiφ は局所自明化写像(local trivialization)とよばれる。階数 k k kkk C r C r C^(r)C^{r}Cr 級実ベクトルバンドル π : E M π : E M pi:E rarr M\pi: E \rightarrow Mπ:EM に対し, M M MMM から E E EEE への C s C s C^(s)C^{s}Cs 写像 σ ( 0 s r ) σ ( 0 s r ) sigma(0 <= s <= r)\sigma(0 \leq s \leq r)σ(0sr) で, π σ = id M π σ = id M pi@sigma=id_(M)\pi \circ \sigma=\mathrm{id}_{M}πσ=idM と なるようなものを実ベクトルバンドル E E EEE C s C s C^(s)C^{s}Cs 切断( C s C s C^(s)C^{s}Cs-section)という. E E EEE C s C s C^(s)C^{s}Cs 切断全体のなす空間は Γ loc s ( E ) Γ loc s ( E ) Gamma_(loc)^(s)(E)\Gamma_{\mathrm{loc}}^{s}(E)Γlocs(E) で表され, 特に, E E EEE C C C^(oo)C^{\infty}C 切断全体 のなす空間は Γ ( E ) Γ ( E ) Gamma^(oo)(E)\Gamma^{\infty}(E)Γ(E) で表される。
階数 k k kkk C r C r C^(r)C^{r}Cr 級実ベクトルバンドル π : E M π : E M pi:E rarr M\pi: E \rightarrow Mπ:EM の局所自明化写像の族
{ φ λ : π 1 ( U λ ) U λ × R k λ Λ } φ λ : π 1 U λ U λ × R k λ Λ {varphi_(lambda):pi^(-1)(U_(lambda))rarrU_(lambda)xxR^(k)∣lambda in Lambda}\left\{\varphi_{\lambda}: \pi^{-1}\left(U_{\lambda}\right) \rightarrow U_{\lambda} \times \mathbb{R}^{k} \mid \lambda \in \Lambda\right\}{φλ:π1(Uλ)Uλ×RkλΛ}
{ U λ λ Λ } U λ λ Λ {U_(lambda)∣lambda in Lambda}\left\{U_{\lambda} \mid \lambda \in \Lambda\right\}{UλλΛ} M M MMM の開被覆を与えるようなものをとる. このとき, U λ U λ U_(lambda)nnU_{\lambda} \capUλ U μ U μ U_(mu)!=O/U_{\mu} \neq \emptysetUμ となる各組 ( λ , μ ) Λ 2 ( λ , μ ) Λ 2 (lambda,mu)inLambda^(2)(\lambda, \mu) \in \Lambda^{2}(λ,μ)Λ2 に対し, C r C r C^(r)C^{r}Cr 写像 g λ μ : U λ U μ G L ( k , R ) g λ μ : U λ U μ G L ( k , R ) g_(lambda mu):U_(lambda)nnU_(mu)rarr GL(k,R)g_{\lambda \mu}: U_{\lambda} \cap U_{\mu} \rightarrow G L(k, \mathbb{R})gλμ:UλUμGL(k,R)
( φ μ φ λ 1 ) ( p , ( x 1 , , x k ) ) := ( p , ( x 1 , , x k ) g λ μ ( p ) ) ( ( p , ( x 1 , , x k ) ) ( U λ U μ ) × R k ) φ μ φ λ 1 p , x 1 , , x k := p , x 1 , , x k g λ μ ( p ) p , x 1 , , x k U λ U μ × R k {:[(varphi_(mu)@varphi_(lambda)^(-1))(p,(x_(1),dots,x_(k))):=(p,(x_(1),dots,x_(k))g_(lambda mu)(p))],[((p,(x_(1),dots,x_(k)))in(U_(lambda)nnU_(mu))xxR^(k))]:}\begin{array}{r} \left(\varphi_{\mu} \circ \varphi_{\lambda}^{-1}\right)\left(p,\left(x_{1}, \ldots, x_{k}\right)\right):=\left(p,\left(x_{1}, \ldots, x_{k}\right) g_{\lambda \mu}(p)\right) \\ \left(\left(p,\left(x_{1}, \ldots, x_{k}\right)\right) \in\left(U_{\lambda} \cap U_{\mu}\right) \times \mathbb{R}^{k}\right) \end{array}(φμφλ1)(p,(x1,,xk)):=(p,(x1,,xk)gλμ(p))((p,(x1,,xk))(UλUμ)×Rk)
によって定義される。ここで G L ( k , R ) G L ( k , R ) GL(k,R)G L(k, \mathbb{R})GL(k,R) は, k k kkk 次一般線形群(つまり, k k kkk 次実
正則行列全体のなす乗法群)を表し, ( x 1 , , x k ) g λ μ ( p ) x 1 , , x k g λ μ ( p ) (x_(1),dots,x_(k))g_(lambda mu)(p)\left(x_{1}, \ldots, x_{k}\right) g_{\lambda \mu}(p)(x1,,xk)gλμ(p) は, ( x 1 , , x k ) x 1 , , x k (x_(1),dots,x_(k))\left(x_{1}, \ldots, x_{k}\right)(x1,,xk) g λ μ ( p ) g λ μ ( p ) g_(lambda mu)(p)g_{\lambda \mu}(p)gλμ(p) の行列積を表す. この C r C r C^(r)C^{r}Cr 級関数 g λ μ g λ μ g_(lambda mu)g_{\lambda \mu}gλμ を変換関数(transition function)という。明らかに, U λ U μ U ν U λ U μ U ν U_(lambda)nnU_(mu)nnU_(nu)!=O/U_{\lambda} \cap U_{\mu} \cap U_{\nu} \neq \emptysetUλUμUν となる任意の ( λ , μ , ν ) Λ 3 ( λ , μ , ν ) Λ 3 (lambda,mu,nu)inLambda^(3)(\lambda, \mu, \nu) \in \Lambda^{3}(λ,μ,ν)Λ3 に対 し, g λ μ g μ ν = g λ ν g λ μ g μ ν = g λ ν g_(lambda mu)g_(mu nu)=g_(lambda nu)g_{\lambda \mu} g_{\mu \nu}=g_{\lambda \nu}gλμgμν=gλν U λ U μ U ν U λ U μ U ν U_(lambda)nnU_(mu)nnU_(nu)U_{\lambda} \cap U_{\mu} \cap U_{\nu}UλUμUν 上で成り立つ.
逆に, M M MMM の開被覆 { U λ λ Λ } U λ λ Λ {U_(lambda)∣lambda in Lambda}\left\{U_{\lambda} \mid \lambda \in \Lambda\right\}{UλλΛ} C r C r C^(r)C^{r}Cr 写像の族
{ g λ μ : U λ U μ G L ( k , R ) ( λ , μ ) Λ 2 s.t. U λ U μ } g λ μ : U λ U μ G L ( k , R ) ( λ , μ ) Λ 2  s.t.  U λ U μ {g_(lambda mu):U_(lambda)nnU_(mu)rarr GL(k,R)∣(lambda,mu)inLambda^(2)" s.t. "U_(lambda)nnU_(mu)!=O/}\left\{g_{\lambda \mu}: U_{\lambda} \cap U_{\mu} \rightarrow G L(k, \mathbb{R}) \mid(\lambda, \mu) \in \Lambda^{2} \text { s.t. } U_{\lambda} \cap U_{\mu} \neq \emptyset\right\}{gλμ:UλUμGL(k,R)(λ,μ)Λ2 s.t. UλUμ}
U λ U μ U ν U λ U μ U ν U_(lambda)nnU_(mu)nnU_(nu)!=O/U_{\lambda} \cap U_{\mu} \cap U_{\nu} \neq \emptysetUλUμUν とな任意の ( λ , μ , ν ) Λ 3 ( λ , μ , ν ) Λ 3 (lambda,mu,nu)inLambda^(3)(\lambda, \mu, \nu) \in \Lambda^{3}(λ,μ,ν)Λ3 に対し, g λ μ g μ ν = g λ ν g λ μ g μ ν = g λ ν g_(lambda mu)g_(mu nu)=g_(lambda nu)g_{\lambda \mu} g_{\mu \nu}=g_{\lambda \nu}gλμgμν=gλν U λ U μ U ν U λ U μ U ν U_(lambda)nnU_(mu)nnU_(nu)U_{\lambda} \cap U_{\mu} \cap U_{\nu}UλUμUν 上で成り立つような族が与えられたとき, この族から, M M MMM上の階数 k k kkk C r C r C^(r)C^{r}Cr 級実ベクトルバンドルを次のように構成することができる. { λ } × U λ × R k ( λ Λ ) { λ } × U λ × R k ( λ Λ ) {lambda}xxU_(lambda)xxR^(k)(lambda in Lambda)\{\lambda\} \times U_{\lambda} \times \mathbb{R}^{k}(\lambda \in \Lambda){λ}×Uλ×Rk(λΛ) の(外)直和 E ~ := ⨿ λ Λ ( { λ } × U λ × R k ) E ~ := ⨿ λ Λ { λ } × U λ × R k widetilde(E):=⨿_(lambda in Lambda)({lambda}xxU_(lambda)xxR^(k))\widetilde{E}:=\underset{\lambda \in \Lambda}{\amalg}\left(\{\lambda\} \times U_{\lambda} \times \mathbb{R}^{k}\right)E~:=⨿λΛ({λ}×Uλ×Rk) における同値関係〜を
( λ , p , ( a 1 , , a k ) ) ( μ , q , ( b 1 , , b k ) ) p = q かつ ( b 1 , , b k ) = ( a 1 , , a k ) g λ μ ( p ) λ , p , a 1 , , a k μ , q , b 1 , , b k p = q  かつ  b 1 , , b k = a 1 , , a k g λ μ ( p ) {:[(lambda,p,(a_(1),dots,a_(k)))∼(mu,q,(b_(1),dots,b_(k)))],[Longleftrightarrowp=q" かつ "(b_(1),dots,b_(k))=(a_(1),dots,a_(k))g_(lambda mu)(p)]:}\begin{aligned} & \left(\lambda, p,\left(a_{1}, \ldots, a_{k}\right)\right) \sim\left(\mu, q,\left(b_{1}, \ldots, b_{k}\right)\right) \\ \Longleftrightarrow & p=q \text { かつ }\left(b_{1}, \ldots, b_{k}\right)=\left(a_{1}, \ldots, a_{k}\right) g_{\lambda \mu}(p) \end{aligned}(λ,p,(a1,,ak))(μ,q,(b1,,bk))p=q かつ (b1,,bk)=(a1,,ak)gλμ(p)
によって定義し, この同値関係〜による商集合 E ~ / E ~ / widetilde(E)//∼\widetilde{E} / \simE~/ E E EEE で表し, この同値関係〜に関する商写像を ψ ψ psi\psiψ で表す。また, ( λ , p , ( a 1 , , a k ) ) λ , p , a 1 , , a k (lambda,p,(a_(1),dots,a_(k)))\left(\lambda, p,\left(a_{1}, \ldots, a_{k}\right)\right)(λ,p,(a1,,ak)) の属する同値類を [ ( λ , p , ( a 1 , , a k ) ) ] λ , p , a 1 , , a k [(lambda,p,(a_(1),dots,a_(k)))]\left[\left(\lambda, p,\left(a_{1}, \ldots, a_{k}\right)\right)\right][(λ,p,(a1,,ak))] で表すことにする. π : E M π : E M pi:E rarr M\pi: E \rightarrow Mπ:EM π ( [ ( λ , p , ( a 1 , π λ , p , a 1 , pi([(lambda,p,(a_(1),dots:}\pi\left(\left[\left(\lambda, p,\left(a_{1}, \ldots\right.\right.\right.\right.π([(λ,p,(a1,, a k ) ] ) := p a k := p {:a_(k))]):=p\left.\left.\left.a_{k}\right)\right]\right):=pak)]):=p によって定義し, φ λ : ψ ( { λ } × U λ × R k ) U λ × R k φ λ : ψ { λ } × U λ × R k U λ × R k varphi_(lambda):psi({lambda}xxU_(lambda)xxR^(k))rarrU_(lambda)xxR^(k)\varphi_{\lambda}: \psi\left(\{\lambda\} \times U_{\lambda} \times \mathbb{R}^{k}\right) \rightarrow U_{\lambda} \times \mathbb{R}^{k}φλ:ψ({λ}×Uλ×Rk)Uλ×Rk
φ λ ( [ ( λ , p , ( a 1 , , a k ) ) ] := ( p , ( a 1 , , a k ) ) φ λ λ , p , a 1 , , a k := p , a 1 , , a k varphi_(lambda)([(lambda,p,(a_(1),dots,a_(k)))]:=(p,(a_(1),dots,a_(k))):}\varphi_{\lambda}\left(\left[\left(\lambda, p,\left(a_{1}, \ldots, a_{k}\right)\right)\right]:=\left(p,\left(a_{1}, \ldots, a_{k}\right)\right)\right.φλ([(λ,p,(a1,,ak))]:=(p,(a1,,ak))
で定める. このとき, 各 ψ ( { λ } × U λ × R k ) ψ { λ } × U λ × R k psi({lambda}xxU_(lambda)xxR^(k))\psi\left(\{\lambda\} \times U_{\lambda} \times \mathbb{R}^{k}\right)ψ({λ}×Uλ×Rk) を開集合とし, 各 φ λ φ λ varphi_(lambda)\varphi_{\lambda}φλ を同相写像 とするような位相(これは第 2 可算公理を満たすハウスドルフ位相)を E E EEE に 与えることができ, さらに, 各 φ λ φ λ varphi_(lambda)\varphi_{\lambda}φλ C r C r C^(r)C^{r}Cr 同型写像とするような C r C r C^(r)C^{r}Cr 構造を E E EEE に与えることができる。 このとき, π : E M π : E M pi:E rarr M\pi: E \rightarrow Mπ:EM は, 各 φ λ φ λ varphi_(lambda)\varphi_{\lambda}φλ を局所自明化写像 とするような階数 k k kkk C r C r C^(r)C^{r}Cr 級実べクトルバンンドルになる(図 3.7.1 を参照). このように, 上述のような C r C r C^(r)C^{r}Cr 写像族 { g λ μ } ( λ , μ ) Λ 2 g λ μ ( λ , μ ) Λ 2 {g_(lambda mu)}_((lambda,mu)inLambda^(2))\left\{g_{\lambda \mu}\right\}_{(\lambda, \mu) \in \Lambda^{2}}{gλμ}(λ,μ)Λ2 から C r C r C^(r)C^{r}Cr 級実べクトルバ ンドルを構成することができるのである.
M M MMM の接ベクトルバンドルは次のように定義される. M M MMM の次元を n n nnn とする. T M := ⨿ p M T p M T M := ⨿ p M T p M TM:=⨿_(p in M)T_(p)MT M:=\underset{p \in M}{\amalg} T_{p} MTM:=⨿pMTpM とし, π : T M M π : T M M pi:TM rarr M\pi: T M \rightarrow Mπ:TMM T M T M TMT MTM の各元 v v v\boldsymbol{v}v に対し, v T p M v T p M v inT_(p)M\boldsymbol{v} \in T_{p} MvTpM
図 3.7.1変換関数族を用いた実ベクトルバンドルの再構成
となる p p ppp を対応させることにより定義する. M M MMM C C C^(oo)C^{\infty}C 構造を D D D\mathcal{D}D とする. 各 ( U , φ = ( x 1 , , x n ) ) D U , φ = x 1 , , x n D (U,varphi=(x_(1),dots,x_(n)))inD\left(U, \varphi=\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)\right) \in \mathcal{D}(U,φ=(x1,,xn))D に対し, U ~ := π 1 ( U ) U ~ := π 1 ( U ) widetilde(U):=pi^(-1)(U)\widetilde{U}:=\pi^{-1}(U)U~:=π1(U) とし, φ ~ : U ~ R 2 n φ ~ : U ~ R 2 n widetilde(varphi): widetilde(U)rarrR^(2n)\widetilde{\varphi}: \widetilde{U} \rightarrow \mathbb{R}^{2 n}φ~:U~R2n
φ ~ ( v ) := ( x 1 ( π ( v ) ) , , x n ( π ( v ) ) , v 1 , , v n ) ( v U ~ ) ( v = i = 1 n v i ( x i ) π ( v ) ) φ ~ ( v ) := x 1 ( π ( v ) ) , , x n ( π ( v ) ) , v 1 , , v n ( v U ~ ) v = i = 1 n v i x i π ( v ) {:[ widetilde(varphi)(v):=(x_(1)(pi(v)),dots,x_(n)(pi(v)),v_(1),dots,v_(n))quad(v in widetilde(U))],[(v=sum_(i=1)^(n)v_(i)((del)/(delx_(i)))_(pi(v)))]:}\begin{gathered} \widetilde{\varphi}(\boldsymbol{v}):=\left(x_{1}(\pi(\boldsymbol{v})), \ldots, x_{n}(\pi(\boldsymbol{v})), v_{1}, \ldots, v_{n}\right) \quad(\boldsymbol{v} \in \widetilde{U}) \\ \left(\boldsymbol{v}=\sum_{i=1}^{n} v_{i}\left(\frac{\partial}{\partial x_{i}}\right)_{\pi(\boldsymbol{v})}\right) \end{gathered}φ~(v):=(x1(π(v)),,xn(π(v)),v1,,vn)(vU~)(v=i=1nvi(xi)π(v))
により定義する。このとき, T M T M TMT MTM に, U ~ U ~ widetilde(U)\widetilde{U}U~ たちを開集合とし、 φ ~ φ ~ widetilde(varphi)\widetilde{\varphi}φ~ たちを R 2 n R 2 n R^(2n)\mathbb{R}^{2 n}R2n

算公理を満たすハウスドルフ空間 R 2 n R 2 n R^(2n)\mathbb{R}^{2 n}R2n のある開集合への同相写像になるよう に位相を与えているので, この位相は第 2 可算公理を満たすハウスドルフ位相であることがわかる. D ~ := { ( U ~ , φ ~ ) ( U , φ ) D } D ~ := { ( U ~ , φ ~ ) ( U , φ ) D } widetilde(D):={( widetilde(U), widetilde(varphi))∣(U,varphi)inD}\widetilde{\mathcal{D}}:=\{(\widetilde{U}, \widetilde{\varphi}) \mid(U, \varphi) \in \mathcal{D}\}D~:={(U~,φ~)(U,φ)D} は, このハウスドルフ空間 T M T M TMT MTM C C C^(oo)C^{\infty}C 構造になる。実際, U V U V U nn V!=O/U \cap V \neq \emptysetUV となる ( U , φ = ( x 1 , , x n ) ) U , φ = x 1 , , x n (U,varphi=(x_(1),dots,x_(n)))\left(U, \varphi=\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)\right)(U,φ=(x1,,xn)), ( V , ψ = ( y 1 , , y n ) ) D V , ψ = y 1 , , y n D (V,psi=(y_(1),dots,y_(n)))inD\left(V, \psi=\left(y_{1}, \ldots, y_{n}\right)\right) \in \mathcal{D}(V,ψ=(y1,,yn))D に対し,上述のように定義される φ ~ : U ~ R 2 n , ψ ~ : φ ~ : U ~ R 2 n , ψ ~ : widetilde(varphi): widetilde(U)rarrR^(2n), widetilde(psi):\widetilde{\varphi}: \widetilde{U} \rightarrow \mathbb{R}^{2 n}, \widetilde{\psi}:φ~:U~R2n,ψ~: V ~ R 2 n V ~ R 2 n widetilde(V)rarrR^(2n)\widetilde{V} \rightarrow \mathbb{R}^{2 n}V~R2n に対し, ψ ~ φ ~ 1 ψ ~ φ ~ 1 widetilde(psi)@ widetilde(varphi)^(-1)\widetilde{\psi} \circ \widetilde{\varphi}^{-1}ψ~φ~1 を計算すると,
( ψ ~ φ ~ 1 ) ( x 1 , , x n , v 1 , , v n ) = ψ ~ ( i = 1 n v i ( x i ) φ 1 ( x 1 , , x n ) ) = ψ ~ ( i = 1 n v i ( j = 1 n ( ( y j φ 1 ) x i ) ( x 1 , , x n ) ( y j ) φ 1 ( x 1 , , x n ) ) ) = ψ ~ ( j = 1 n ( i = 1 n v i ( ( y j φ 1 ) x i ) ( x 1 , , x n ) ) ( y j ) φ 1 ( x 1 , , x n ) ) = ( y 1 ( φ 1 ( x 1 , , x n ) ) , , y n ( φ 1 ( x 1 , , x n ) ) i = 1 n v i ( ( y 1 φ 1 ) x i ) ( x 1 , , x n ) , , i = 1 n v i ( ( y n φ 1 ) x i ) ( x 1 , , x n ) ) ψ ~ φ ~ 1 x 1 , , x n , v 1 , , v n = ψ ~ i = 1 n v i x i φ 1 x 1 , , x n = ψ ~ i = 1 n v i j = 1 n y j φ 1 x i x 1 , , x n y j φ 1 x 1 , , x n = ψ ~ j = 1 n i = 1 n v i y j φ 1 x i x 1 , , x n y j φ 1 x 1 , , x n = y 1 φ 1 x 1 , , x n , , y n φ 1 x 1 , , x n i = 1 n v i y 1 φ 1 x i x 1 , , x n , , i = 1 n v i y n φ 1 x i x 1 , , x n {:[(( widetilde(psi))@ tilde(varphi)^(-1))(x_(1),dots,x_(n),v_(1),dots,v_(n))= widetilde(psi)(sum_(i=1)^(n)v_(i)((del)/(delx_(i)))_(varphi^(-1)(x_(1),dots,x_(n))))],[= widetilde(psi)(sum_(i=1)^(n)v_(i)(sum_(j=1)^(n)((del(y_(j)@varphi^(-1)))/(delx_(i)))_((x_(1),dots,x_(n)))((del)/(dely_(j)))_(varphi^(-1)(x_(1),dots,x_(n)))))],[= widetilde(psi)(sum_(j=1)^(n)(sum_(i=1)^(n)v_(i)((del(y_(j)@varphi^(-1)))/(delx_(i)))_((x_(1),dots,x_(n))))((del)/(dely_(j)))_(varphi^(-1)(x_(1),dots,x_(n))))],[=(y_(1)(varphi^(-1)(x_(1),dots,x_(n))),dots,y_(n)(varphi^(-1)(x_(1),dots,x_(n))):}],[{:sum_(i=1)^(n)v_(i)((del(y_(1)@varphi^(-1)))/(delx_(i)))_((x_(1),dots,x_(n))),dots,sum_(i=1)^(n)v_(i)((del(y_(n)@varphi^(-1)))/(delx_(i)))_((x_(1),dots,x_(n))))]:}\begin{aligned} & \left(\widetilde{\psi} \circ \tilde{\varphi}^{-1}\right)\left(x_{1}, \ldots, x_{n}, v_{1}, \ldots, v_{n}\right)=\widetilde{\psi}\left(\sum_{i=1}^{n} v_{i}\left(\frac{\partial}{\partial x_{i}}\right)_{\varphi^{-1}\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)}\right) \\ = & \widetilde{\psi}\left(\sum_{i=1}^{n} v_{i}\left(\sum_{j=1}^{n}\left(\frac{\partial\left(y_{j} \circ \varphi^{-1}\right)}{\partial x_{i}}\right)_{\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)}\left(\frac{\partial}{\partial y_{j}}\right)_{\varphi^{-1}\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)}\right)\right) \\ = & \widetilde{\psi}\left(\sum_{j=1}^{n}\left(\sum_{i=1}^{n} v_{i}\left(\frac{\partial\left(y_{j} \circ \varphi^{-1}\right)}{\partial x_{i}}\right)_{\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)}\right)\left(\frac{\partial}{\partial y_{j}}\right)_{\varphi^{-1}\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)}\right) \\ = & \left(y_{1}\left(\varphi^{-1}\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)\right), \ldots, y_{n}\left(\varphi^{-1}\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)\right)\right. \\ & \left.\sum_{i=1}^{n} v_{i}\left(\frac{\partial\left(y_{1} \circ \varphi^{-1}\right)}{\partial x_{i}}\right)_{\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)}, \ldots, \sum_{i=1}^{n} v_{i}\left(\frac{\partial\left(y_{n} \circ \varphi^{-1}\right)}{\partial x_{i}}\right)_{\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)}\right) \end{aligned}(ψ~φ~1)(x1,,xn,v1,,vn)=ψ~(i=1nvi(xi)φ1(x1,,xn))=ψ~(i=1nvi(j=1n((yjφ1)xi)(x1,,xn)(yj)φ1(x1,,xn)))=ψ~(j=1n(i=1nvi((yjφ1)xi)(x1,,xn))(yj)φ1(x1,,xn))=(y1(φ1(x1,,xn)),,yn(φ1(x1,,xn))i=1nvi((y1φ1)xi)(x1,,xn),,i=1nvi((ynφ1)xi)(x1,,xn))
となり, ψ ~ φ ~ 1 ψ ~ φ ~ 1 widetilde(psi)@ widetilde(varphi)^(-1)\widetilde{\psi} \circ \widetilde{\varphi}^{-1}ψ~φ~1 C C C^(oo)C^{\infty}C 写像になることがわかる. 同様に, その逆写像 ( ψ ~ ( ψ ~ ( widetilde(psi)@(\widetilde{\psi} \circ(ψ~ φ ~ 1 ) 1 ( = φ ~ ψ ~ 1 ) φ ~ 1 1 = φ ~ ψ ~ 1 widetilde(varphi)^(-1))^(-1)(=( widetilde(varphi))@ widetilde(psi)^(-1))\left.\widetilde{\varphi}^{-1}\right)^{-1}\left(=\widetilde{\varphi} \circ \widetilde{\psi}^{-1}\right)φ~1)1(=φ~ψ~1) C C C^(oo)C^{\infty}C 写像であることが示され, それゆえ, ψ ~ φ ~ 1 ψ ~ φ ~ 1 widetilde(psi)@ widetilde(varphi)^(-1)\widetilde{\psi} \circ \widetilde{\varphi}^{-1}ψ~φ~1 C C C^(oo)C^{\infty}C 同型写像であることが示される。このように, D ~ D ~ widetilde(D)\widetilde{\mathcal{D}}D~ T M T M TMT MTM C C C^(oo)C^{\infty}C 構造を与 えることがわかる. 次に, π : ( T M , D ~ ) ( M , D ) π : ( T M , D ~ ) ( M , D ) pi:(TM, widetilde(D))rarr(M,D)\pi:(T M, \widetilde{D}) \rightarrow(M, \mathcal{D})π:(TM,D~)(M,D) が上への C C C^(oo)C^{\infty}C 沈め込みに なることを示そう. π π pi\piπ が全射であることは明らかである. ( U , φ ) D ( U , φ ) D (U,varphi)inD(U, \varphi) \in \mathcal{D}(U,φ)D に対し, φ ~ π φ 1 φ ~ π φ 1 widetilde(varphi)@pi@varphi^(-1)\widetilde{\varphi} \circ \pi \circ \varphi^{-1}φ~πφ1 を計算すると,
( φ π φ ~ 1 ) ( x 1 , , x n , v 1 , , v n ) = ( x 1 , , x n ) φ π φ ~ 1 x 1 , , x n , v 1 , , v n = x 1 , , x n (varphi@pi@ widetilde(varphi)^(-1))(x_(1),dots,x_(n),v_(1),dots,v_(n))=(x_(1),dots,x_(n))\left(\varphi \circ \pi \circ \widetilde{\varphi}^{-1}\right)\left(x_{1}, \ldots, x_{n}, v_{1}, \ldots, v_{n}\right)=\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)(φπφ~1)(x1,,xn,v1,,vn)=(x1,,xn)
となり, π π pi\piπ U ~ U ~ widetilde(U)\widetilde{U}U~ 上で C C C^(oo)C^{\infty}C 沈め込みになることがわかる. さらに, ( U , φ ) ( U , φ ) (U,varphi)(U, \varphi)(U,φ) の任意性により, π π pi\piπ T M T M TMT MTM 全体で C C C^(oo)C^{\infty}C 沈め达みになる。次に, π : ( T M , D ~ ) π : ( T M , D ~ ) pi:(TM, widetilde(D))rarr\pi:(T M, \widetilde{D}) \rightarrowπ:(TM,D~) ( M , D ) ( M , D ) (M,D)(M, \mathcal{D})(M,D) の局所自明性を示そう. ( U , φ ) D ( U , φ ) D (U,varphi)inD(U, \varphi) \in \mathcal{D}(U,φ)D に対し, φ ^ : U ~ U × R n φ ^ : U ~ U × R n widehat(varphi): widetilde(U)rarr U xxR^(n)\widehat{\varphi}: \widetilde{U} \rightarrow U \times \mathbb{R}^{n}φ^:U~U×Rn φ ^ ( v ) = ( p , v 1 , , v n ) ( p U , v T p M ) ( v = i = 1 n v i ( x i ) p ) φ ^ ( v ) = p , v 1 , , v n p U , v T p M v = i = 1 n v i x i p widehat(varphi)(v)=(p,v_(1),dots,v_(n))(p in U,v inT_(p)M)(v=sum_(i=1)^(n)v_(i)((del)/(delx_(i)))_(p))\widehat{\varphi}(\boldsymbol{v})=\left(p, v_{1}, \ldots, v_{n}\right)\left(p \in U, \boldsymbol{v} \in T_{p} M\right)\left(\boldsymbol{v}=\sum_{i=1}^{n} v_{i}\left(\frac{\partial}{\partial x_{i}}\right)_{p}\right)φ^(v)=(p,v1,,vn)(pU,vTpM)(v=i=1nvi(xi)p) によって定義する。 φ ^ : U ~ U × R n φ ^ : U ~ U × R n widehat(varphi): widetilde(U)rarr U xxR^(n)\widehat{\varphi}: \widetilde{U} \rightarrow U \times \mathbb{R}^{n}φ^:U~U×Rn p ( U ) p ( U ) p(in U)p(\in U)p(U) 上のファイバー π 1 ( p ) ( = T p M ) π 1 ( p ) = T p M pi^(-1)(p)(=T_(p)M)\pi^{-1}(p)\left(=T_{p} M\right)π1(p)(=TpM) への制限 φ ^ | T p M φ ^ T p M ( widehat(varphi))|_(T_(p)M)\left.\widehat{\varphi}\right|_{T_{p} M}φ^|TpM は,
( φ ^ | T p M ) ( v ) = ( x 1 ( p ) , , x n ( p ) , v 1 , , v n ) ( v = i = 1 n v i ( x i ) p T p M ) φ ^ T p M ( v ) = x 1 ( p ) , , x n ( p ) , v 1 , , v n v = i = 1 n v i x i p T p M (( hat(varphi))|_(T_(p)M))(v)=(x_(1)(p),dots,x_(n)(p),v_(1),dots,v_(n))quad(v=sum_(i=1)^(n)v_(i)((del)/(delx_(i)))_(p)inT_(p)M)\left(\left.\hat{\varphi}\right|_{T_{p} M}\right)(\boldsymbol{v})=\left(x_{1}(p), \ldots, x_{n}(p), v_{1}, \ldots, v_{n}\right) \quad\left(\boldsymbol{v}=\sum_{i=1}^{n} v_{i}\left(\frac{\partial}{\partial x_{i}}\right)_{p} \in T_{p} M\right)(φ^|TpM)(v)=(x1(p),,xn(p),v1,,vn)(v=i=1nvi(xi)pTpM)
によって与えられるので, T p M T p M T_(p)MT_{p} MTpM から { ( x 1 ( p ) , , x n ( p ) } × R n ( = R n ) x 1 ( p ) , , x n ( p ) × R n = R n {(x_(1)(p),dots,x_(n)(p)}xxR^(n)(=R^(n)):}\left\{\left(x_{1}(p), \ldots, x_{n}(p)\right\} \times \mathbb{R}^{n}\left(=\mathbb{R}^{n}\right)\right.{(x1(p),,xn(p)}×Rn(=Rn) への線形同型写像になることがわかる. したがって, 族 { φ ^ : U ~ U × R n } ( U , φ ) D φ ^ : U ~ U × R n ( U , φ ) D {( widehat(varphi)):( widetilde(U))rarr U xxR^(n)}_((U,varphi)inD)\left\{\widehat{\varphi}: \widetilde{U} \rightarrow U \times \mathbb{R}^{n}\right\}_{(U, \varphi) \in \mathcal{D}}{φ^:U~U×Rn}(U,φ)D
が局所自明化写像の族を与えることがわかる. このように, π : ( T M , D ~ ) π : ( T M , D ~ ) pi:(TM, widetilde(D))rarr\pi:(T M, \widetilde{D}) \rightarrowπ:(TM,D~) ( M , D ) ( M , D ) (M,D)(M, \mathcal{D})(M,D) が階数 n n nnn C C C^(oo)C^{\infty}C 級実ベクトルバンドルになることが示される. この階数 n n nnn C C C^(oo)C^{\infty}C 級実ベクトルバンドルを M M MMM の接ベクトルバンドルという.
次に, M M MMM 上の C r C r C^(r)C^{r}Cr ベクトル場 X X X\boldsymbol{X}X T M T M TMT MTM C r C r C^(r)C^{r}Cr 切断とみなされることを説明しよう。 X X X\boldsymbol{X}X T M T M TMT MTM の切断とみなされることは明らかである(図 3.7 .2 を参照). X X X\boldsymbol{X}X ( U , φ = ( x 1 , , x n ) ) D U , φ = x 1 , , x n D (U,varphi=(x_(1),dots,x_(n)))inD\left(U, \varphi=\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)\right) \in \mathcal{D}(U,φ=(x1,,xn))D に関する成分を X 1 , , X n X 1 , , X n X_(1),dots,X_(n)X_{1}, \ldots, X_{n}X1,,Xn ,つまり X = i = 1 n X i x i X = i = 1 n X i x i X=sum_(i=1)^(n)X_(i)(del)/(delx_(i))\boldsymbol{X}=\sum_{i=1}^{n} X_{i} \frac{\partial}{\partial x_{i}}X=i=1nXixi とする. このとき, φ ~ X φ 1 φ ~ X φ 1 widetilde(varphi)@X@varphi^(-1)\widetilde{\varphi} \circ \boldsymbol{X} \circ \varphi^{-1}φ~Xφ1 を計算すると
図 3.7.2 ベクトル場と接ベクトルバンドル
( φ ~ X φ 1 ) ( x 1 , , x n ) = φ ~ ( i = 1 n X i ( φ 1 ( x 1 , , x n ) ) ( x i ) φ 1 ( x 1 , , x n ) ) = ( x 1 , , x n , ( X 1 φ 1 ) ( x 1 , , x n ) , , ( X n φ 1 ) ( x 1 , , x n ) ) φ ~ X φ 1 x 1 , , x n = φ ~ i = 1 n X i φ 1 x 1 , , x n x i φ 1 x 1 , , x n = x 1 , , x n , X 1 φ 1 x 1 , , x n , , X n φ 1 x 1 , , x n {:[(( widetilde(varphi))@X@varphi^(-1))(x_(1),dots,x_(n))= widetilde(varphi)(sum_(i=1)^(n)X_(i)(varphi^(-1)(x_(1),dots,x_(n)))((del)/(delx_(i)))_(varphi^(-1)(x_(1),dots,x_(n))))],[=(x_(1),dots,x_(n),(X_(1)@varphi^(-1))(x_(1),dots,x_(n)),dots,(X_(n)@varphi^(-1))(x_(1),dots,x_(n)))]:}\begin{aligned} & \left(\widetilde{\varphi} \circ \boldsymbol{X} \circ \varphi^{-1}\right)\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)=\widetilde{\varphi}\left(\sum_{i=1}^{n} X_{i}\left(\varphi^{-1}\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)\right)\left(\frac{\partial}{\partial x_{i}}\right)_{\varphi^{-1}\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)}\right) \\ = & \left(x_{1}, \ldots, x_{n},\left(X_{1} \circ \varphi^{-1}\right)\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right), \ldots,\left(X_{n} \circ \varphi^{-1}\right)\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)\right) \end{aligned}(φ~Xφ1)(x1,,xn)=φ~(i=1nXi(φ1(x1,,xn))(xi)φ1(x1,,xn))=(x1,,xn,(X1φ1)(x1,,xn),,(Xnφ1)(x1,,xn))
となる。 X X X\boldsymbol{X}X C r C r C^(r)C^{r}Cr ベクトル場なので, X i φ 1 ( i = 1 , , n ) X i φ 1 ( i = 1 , , n ) X_(i)@varphi^(-1)(i=1,dots,n)X_{i} \circ \varphi^{-1}(i=1, \ldots, n)Xiφ1(i=1,,n) C r C r C^(r)C^{r}Cr 級である. それゆえ上式から, φ ~ X φ 1 φ ~ X φ 1 widetilde(varphi)@X@varphi^(-1)\widetilde{\varphi} \circ \boldsymbol{X} \circ \varphi^{-1}φ~Xφ1 C r C r C^(r)C^{r}Cr 級であること,つまり, T M T M TMT MTM の切断 X : M T M X : M T M X:M rarr TM\boldsymbol{X}: M \rightarrow T MX:MTM U U UUU 上で C r C r C^(r)C^{r}Cr 級であることが示される。したがって, ( U , φ ) ( U , φ ) (U,varphi)(U, \varphi)(U,φ) の任意性により,切断 X X X\boldsymbol{X}X M M MMM 全体で C r C r C^(r)C^{r}Cr 級であることが示される.上述の 議論から,逆も成り立つことは容易にわかる。したがって、次の事実をえる.
命題 3.7.1 X X X\boldsymbol{X}X C r C r C^(r)C^{r}Cr ベクトル場であることと, X : M T M X : M T M X:M rarr TM\boldsymbol{X}: M \rightarrow T MX:MTM C r C r C^(r)C^{r}Cr 切断
であることは同値である.
次に, C C C^(oo)C^{\infty}C 多様体の C r C r C^(r)C^{r}Cr 級 1 パラメーター変換群, より一般に, C r C r C^(r)C^{r}Cr 級局所 1 パラメーター変換群を定義しよう. n n nnn 次元 C C C^(oo)C^{\infty}C 多様体 M M MMM からそれ自身への C r C r C^(r)C^{r}Cr 同型写像の 1 パラメーター族 { ϕ t t R } ϕ t t R {phi_(t)∣t inR}\left\{\phi_{t} \mid t \in \mathbb{R}\right\}{ϕttR} で, 次の 2 条件を満たすもの を M M MMM C r C r C^(r)C^{r}Cr 級 1 パラメーター変換群 (one-parameter transformation group of class C r C r C^(r)C^{r}Cr of M ) M {:M)\left.M\right)M), または, M M MMM 上の C r C r C^(r)C^{r}Cr 級の流れ ( C r C r (C^(r):}\left(C^{r}\right.(Cr-flow on M) という:
(i) 任意の t 1 , t 2 R t 1 , t 2 R t_(1),t_(2)inRt_{1}, t_{2} \in \mathbb{R}t1,t2R に対し, ϕ t 1 ϕ t 2 = ϕ t 1 + t 2 ϕ t 1 ϕ t 2 = ϕ t 1 + t 2 phi_(t_(1))@phi_(t_(2))=phi_(t_(1)+t_(2))\phi_{t_{1}} \circ \phi_{t_{2}}=\phi_{t_{1}+t_{2}}ϕt1ϕt2=ϕt1+t2 が成り立ち, また, ϕ 0 = ϕ 0 = phi_(0)=\phi_{0}=ϕ0= id M id M id_(M)\operatorname{id}_{M}idM が成り立つ;
(ii) ϕ ( p , t ) := ϕ t ( p ) ( ( p , t ) M × R ) ϕ ( p , t ) := ϕ t ( p ) ( ( p , t ) M × R ) phi(p,t):=phi_(t)(p)((p,t)in M xxR)\phi(p, t):=\phi_{t}(p)((p, t) \in M \times \mathbb{R})ϕ(p,t):=ϕt(p)((p,t)M×R) によって定義される積多様体 M × R M × R M xxRM \times \mathbb{R}M×R から多様体 M M MMM への写像 ϕ ϕ phi\phiϕ C r C r C^(r)C^{r}Cr 級である.
各点 p M p M p in Mp \in MpM に対し, c p ( t ) := ϕ t ( p ) c p ( t ) := ϕ t ( p ) c_(p)(t):=phi_(t)(p)c_{p}(t):=\phi_{t}(p)cp(t):=ϕt(p) によって定義される曲線 c p : R M c p : R M c_(p):Rrarr Mc_{p}: \mathbb{R} \rightarrow Mcp:RM は, p p p\boldsymbol{p}p を通る流線(flow curve through p p p\boldsymbol{p}p ) とよばれる。
より一般に, C r C r C^(r)C^{r}Cr 級局所 1 パラメーター変換群という概念が次のように定義される。 I I III を, 0 を含む開区間とする。 M M MMM の開集合 U t U t U_(t)U_{t}Ut から M M MMM のある開集合への C r C r C^(r)C^{r}Cr 同型写像 ϕ t ϕ t phi_(t)\phi_{t}ϕt の 1 パラメーター族 { ϕ t t I } ϕ t t I {phi_(t)∣t in I}\left\{\phi_{t} \mid t \in I\right\}{ϕttI} で, 次の 2 条件を満 たすものを M M MMM C r C r C^(r)C^{r}Cr 級局所 1 パラメーター変換群(local one-parameter transformation group of class C r C r C^(r)C^{r}Cr ) という:
(i) 任意の t 1 , t 2 I t 1 , t 2 I t_(1),t_(2)in It_{1}, t_{2} \in It1,t2I s.t. t 1 + t 2 I t 1 + t 2 I t_(1)+t_(2)in It_{1}+t_{2} \in It1+t2I に対し, ϕ t 1 ϕ t 2 = ϕ t 1 + t 2 ϕ t 1 ϕ t 2 = ϕ t 1 + t 2 phi_(t_(1))@phi_(t_(2))=phi_(t_(1)+t_(2))\phi_{t_{1}} \circ \phi_{t_{2}}=\phi_{t_{1}+t_{2}}ϕt1ϕt2=ϕt1+t2 が, 両辺が 定義される開集合上で成り立ち, また, U 0 = M , ϕ 0 = id M U 0 = M , ϕ 0 = id M U_(0)=M,phi_(0)=id_(M)U_{0}=M, \phi_{0}=\operatorname{id}_{M}U0=M,ϕ0=idM である;
(ii) ϕ ( p , t ) := ϕ t ( p ) ( ( p , t ) ⨿ t I ( U t × { t } ) ) ϕ ( p , t ) := ϕ t ( p ) ( p , t ) ⨿ t I U t × { t } phi(p,t):=phi_(t)(p)((p,t)in⨿_(t in I)(U_(t)xx{t}))\phi(p, t):=\phi_{t}(p)\left((p, t) \in \underset{t \in I}{\amalg}\left(U_{t} \times\{t\}\right)\right)ϕ(p,t):=ϕt(p)((p,t)⨿tI(Ut×{t})) によって定義される積多様体 M × R M × R M xxRM \times \mathbb{R}M×R の開部分多様体 ⨿ t I ( U t × { t } ) ⨿ t I U t × { t } ⨿_(t in I)(U_(t)xx{t})\underset{t \in I}{\amalg}\left(U_{t} \times\{t\}\right)⨿tI(Ut×{t}) から多様体 M M MMM への写像 ϕ ϕ phi\phiϕ C r C r C^(r)C^{r}Cr 級 である.
各点 p M p M p in Mp \in MpM に対し, c p ( t ) := ϕ t ( p ) c p ( t ) := ϕ t ( p ) c_(p)(t):=phi_(t)(p)c_{p}(t):=\phi_{t}(p)cp(t):=ϕt(p) によって定義される曲線 c p : I p M c p : I p M c_(p):I_(p)rarr Mc_{p}: I_{p} \rightarrow Mcp:IpM I p := { t I p U t } I p := t I p U t (I_(p):={t in I∣p inU_(t)})( I_{p}:=\left\{t \in I \mid p \in U_{t}\right\} )Ip:={tIpUt} は, p p p\boldsymbol{p}p を通る流線とよばれる.
{ ϕ t t I } ϕ t t I {phi_(t)∣t in I}\left\{\phi_{t} \mid t \in I\right\}{ϕttI} M M MMM C r C r C^(r)C^{r}Cr 級の局所 1 パラメーター変換群とする. M M MMM の各点 p p ppp に対し, c p ( t ) := ϕ t ( p ) c p ( t ) := ϕ t ( p ) c_(p)(t):=phi_(t)(p)c_{p}(t):=\phi_{t}(p)cp(t):=ϕt(p) とする。このとき, M M MMM 上のベクトル場 X X X\boldsymbol{X}X X p := X p := X_(p):=\boldsymbol{X}_{p}:=Xp:= c p ( 0 ) ( p M ) c p ( 0 ) ( p M ) c_(p)^(')(0)(p in M)c_{p}^{\prime}(0)(p \in M)cp(0)(pM) によって定義される. このべクトル場 X X X\boldsymbol{X}X { ϕ t t I } ϕ t t I {phi_(t)∣t in I}\left\{\phi_{t} \mid \boldsymbol{t} \in \boldsymbol{I}\right\}{ϕttI} に 付随するベクトル場という。
命題 3.7.2 C r C r C^(r)C^{r}Cr 級の局所 1 パラメーター変換群に付随するベクトル場は, C r 1 C r 1 C^(r-1)C^{r-1}Cr1 ベクトル場である.
証明 { ϕ t t I } ϕ t t I {phi_(t)∣t in I}\left\{\phi_{t} \mid t \in I\right\}{ϕttI} C r C r C^(r)C^{r}Cr 級の局所 1 パラメーター変換群とし, X X X\boldsymbol{X}X をそれに 付随するベクトル場とする。 M M MMM の局所チャート ( U , φ = ( x 1 , , x n ) ) U , φ = x 1 , , x n (U,varphi=(x_(1),dots,x_(n)))\left(U, \varphi=\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)\right)(U,φ=(x1,,xn)) に関す る X X X\boldsymbol{X}X の局所表示を X = i = 1 n X i x i X = i = 1 n X i x i X=sum_(i=1)^(n)X_(i)(del)/(delx_(i))\boldsymbol{X}=\sum_{i=1}^{n} X_{i} \frac{\partial}{\partial x_{i}}X=i=1nXixi とする. このとき, p U p U p in Up \in UpU に対し.
X p = c p ( 0 ) = d ϕ ( p , t ) d t | t = 0 = i = 1 n d x i ( ϕ ( p , t ) ) d t | t = 0 ( x i ) p X p = c p ( 0 ) = d ϕ ( p , t ) d t t = 0 = i = 1 n d x i ( ϕ ( p , t ) ) d t t = 0 x i p X_(p)=c_(p)^(')(0)=(d phi(p,t))/(dt)|_(t=0)=sum_(i=1)^(n)(dx_(i)(phi(p,t)))/(dt)|_(t=0)((del)/(delx_(i)))_(p)\boldsymbol{X}_{p}=c_{p}^{\prime}(0)=\left.\frac{d \phi(p, t)}{d t}\right|_{t=0}=\left.\sum_{i=1}^{n} \frac{d x_{i}(\phi(p, t))}{d t}\right|_{t=0}\left(\frac{\partial}{\partial x_{i}}\right)_{p}Xp=cp(0)=dϕ(p,t)dt|t=0=i=1ndxi(ϕ(p,t))dt|t=0(xi)p
が成り立つ. それゆえ,
X i ( p ) = d ( x i ( ϕ ( p , t ) ) ) d t | t = 0 = d d t | t = 0 ( x i ϕ ( φ × id ) 1 ) ( x 1 ( p ) , , x n ( p ) , t ) X i ( p ) = d x i ( ϕ ( p , t ) ) d t t = 0 = d d t t = 0 x i ϕ ( φ × id ) 1 x 1 ( p ) , , x n ( p ) , t {:[X_(i)(p)=(d(x_(i)(phi(p,t))))/(dt)|_(t=0)],[=(d)/(dt)|_(t=0)(x_(i)@phi@(varphi xxid)^(-1))(x_(1)(p),dots,x_(n)(p),t)]:}\begin{aligned} X_{i}(p) & =\left.\frac{d\left(x_{i}(\phi(p, t))\right)}{d t}\right|_{t=0} \\ & =\left.\frac{d}{d t}\right|_{t=0}\left(x_{i} \circ \phi \circ(\varphi \times \mathrm{id})^{-1}\right)\left(x_{1}(p), \ldots, x_{n}(p), t\right) \end{aligned}Xi(p)=d(xi(ϕ(p,t)))dt|t=0=ddt|t=0(xiϕ(φ×id)1)(x1(p),,xn(p),t)
となり, p p ppp の任意性から,
X i φ 1 = t | t = 0 ( x i ϕ ( φ × id ) 1 ) X i φ 1 = t t = 0 x i ϕ ( φ × id ) 1 X_(i)@varphi^(-1)=(del)/(del t)|_(t=0)(x_(i)@phi@(varphi xxid)^(-1))X_{i} \circ \varphi^{-1}=\left.\frac{\partial}{\partial t}\right|_{t=0}\left(x_{i} \circ \phi \circ(\varphi \times \mathrm{id})^{-1}\right)Xiφ1=t|t=0(xiϕ(φ×id)1)
が導かれる。はは C r C r C^(r)C^{r}Cr 級なので, この右辺は C r 1 C r 1 C^(r-1)C^{r-1}Cr1 級であることがわかる. そ れゆえ, X i φ 1 X i φ 1 X_(i)@varphi^(-1)X_{i} \circ \varphi^{-1}Xiφ1 C r 1 C r 1 C^(r-1)C^{r-1}Cr1 級である。したがって, X X X\boldsymbol{X}X C r 1 C r 1 C^(r-1)C^{r-1}Cr1 級べクトル場 である.
C r C r C^(r)C^{r}Cr ベクトル場 X X X\boldsymbol{X}X に対し, C r + 1 C r + 1 C^(r+1)C^{r+1}Cr+1 曲線 c : I M c : I M c:I rarr Mc: I \rightarrow Mc:IM c ( t ) = X c ( t ) ( t I ) c ( t ) = X c ( t ) ( t I ) c^(')(t)=X_(c(t))(t in I)c^{\prime}(t)=\boldsymbol{X}_{c(t)}(t \in I)c(t)=Xc(t)(tI) と なるようなものを X X XXX の積分曲線(integral curve)という. 積分曲線の存在性・一意性について, 次の事実が成り立つ.
命題 3.7.3 X X XXX M M MMM 上の C r C r C^(r)C^{r}Cr ベクトル場とする. このとき, 各 p M p M p in Mp \in MpM に対 し, X X X\boldsymbol{X}X の積分曲線 c : ( ε , ε ) M c : ( ε , ε ) M c:(-epsi,epsi)rarr Mc:(-\varepsilon, \varepsilon) \rightarrow Mc:(ε,ε)M c ( 0 ) = p c ( 0 ) = p c(0)=pc(0)=pc(0)=p となるようなものがただ 1 つ 存在する. ここで, ε ε epsi\varepsilonε は十分小さな正の定数とする.
証明 p p ppp のまわりの局所チャート ( U , φ = ( x 1 , , x n ) ) U , φ = x 1 , , x n (U,varphi=(x_(1),dots,x_(n)))\left(U, \varphi=\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)\right)(U,φ=(x1,,xn)) に関する X X X\boldsymbol{X}X の局所表示を X = i = 1 n X i x i X = i = 1 n X i x i X=sum_(i=1)^(n)X_(i)(del)/(delx_(i))\boldsymbol{X}=\sum_{i=1}^{n} X_{i} \frac{\partial}{\partial x_{i}}X=i=1nXixi とし, φ ( p ) = ( p 1 , , p n ) φ ( p ) = p 1 , , p n varphi(p)=(p_(1),dots,p_(n))\varphi(p)=\left(p_{1}, \ldots, p_{n}\right)φ(p)=(p1,,pn) とする. c : ( ε , ε ) c : ( ε , ε ) c:(-epsi,epsi)rarrc:(-\varepsilon, \varepsilon) \rightarrowc:(ε,ε)
U U UUU C r + 1 C r + 1 C^(r+1)C^{r+1}Cr+1 級曲線とする. このとき, c ( t ) = i = 1 n d ( x i c ) d t ( x i ) c ( t ) c ( t ) = i = 1 n d x i c d t x i c ( t ) c^(')(t)=sum_(i=1)^(n)(d(x_(i)@c))/(dt)((del)/(delx_(i)))_(c(t))c^{\prime}(t)=\sum_{i=1}^{n} \frac{d\left(x_{i} \circ c\right)}{d t}\left(\frac{\partial}{\partial x_{i}}\right)_{c(t)}c(t)=i=1nd(xic)dt(xi)c(t) なので,
c ( t ) = X c ( t ) c ( t ) = X c ( t ) c^(')(t)=X_(c(t))c^{\prime}(t)=\boldsymbol{X}_{c(t)}c(t)=Xc(t) が成り立つことと
(3.7.1) d ( x i c ) ( t ) d t = ( X i φ 1 ) ( ( x 1 c ) ( t ) , , ( x n c ) ( t ) ) ( i = 1 , , n ) (3.7.1) d x i c ( t ) d t = X i φ 1 x 1 c ( t ) , , x n c ( t ) ( i = 1 , , n ) {:(3.7.1){:[(d(x_(i)@c)(t))/(dt)=(X_(i)@varphi^(-1))((x_(1)@c)(t),dots,(x_(n)@c)(t))],[(i=1","dots","n)]:}:}\begin{array}{r} \frac{d\left(x_{i} \circ c\right)(t)}{d t}=\left(X_{i} \circ \varphi^{-1}\right)\left(\left(x_{1} \circ c\right)(t), \ldots,\left(x_{n} \circ c\right)(t)\right) \tag{3.7.1}\\ (i=1, \ldots, n) \end{array}(3.7.1)d(xic)(t)dt=(Xiφ1)((x1c)(t),,(xnc)(t))(i=1,,n)
が成り立つことは同値である。また, c ( 0 ) = p c ( 0 ) = p c(0)=pc(0)=pc(0)=p が成り立つことと
(3.7.2) ( x i c ) ( 0 ) = p i ( i = 1 , , n ) (3.7.2) x i c ( 0 ) = p i ( i = 1 , , n ) {:(3.7.2)(x_(i)@c)(0)=p_(i)(i=1","dots","n):}\begin{equation*} \left(x_{i} \circ c\right)(0)=p_{i}(i=1, \ldots, n) \tag{3.7.2} \end{equation*}(3.7.2)(xic)(0)=pi(i=1,,n)
が成り立つことは同値である。正規型連立常微分方程式の局所解の存在性・一意性定理によれば, 初期条件 (3.7.2) を満たす ( x i c ) ( i = 1 , , n ) x i c ( i = 1 , , n ) (x_(i)@c)(i=1,dots,n)\left(x_{i} \circ c\right)(i=1, \ldots, n)(xic)(i=1,,n) を未知関数とする 1 階正規型連立常微分方程式 (3.7.1) の解は, 局所的に一意に存在す ることがわかる。それゆえ, 十分小さな正の数 ε ε epsi\varepsilonε に対し, c ( 0 ) = p c ( 0 ) = p c(0)=pc(0)=pc(0)=p となる X X X\boldsymbol{X}X の積分曲線 c : ( ε , ε ) M c : ( ε , ε ) M c:(-epsi,epsi)rarr Mc:(-\varepsilon, \varepsilon) \rightarrow Mc:(ε,ε)M が一意に存在することが示される.
X X X\boldsymbol{X}X M M MMM 上の C r C r C^(r)C^{r}Cr ベクトル場とし, c p : I p M c p : I p M c_(p):I_(p)rarr Mc_{p}: I_{p} \rightarrow Mcp:IpM c p ( 0 ) = p c p ( 0 ) = p c_(p)(0)=pc_{p}(0)=pcp(0)=p となる X X X\boldsymbol{X}X の 最大の(つまり, それ以上延長不可能な)積分曲線とし, U t := { p M t U t := { p M t U_(t):={p in M∣t inU_{t}:=\{p \in M \mid t \inUt:={pMt I p } , I := ⨿ p M I p I p , I := ⨿ p M I p {:I_(p)},quad I:=⨿_(p in M)I_(p)\left.I_{p}\right\}, \quad I:=\underset{p \in M}{\amalg} I_{p}Ip},I:=⨿pMIp とおく. 各 t I t I t in It \in ItI に対し, ϕ t : U t M ϕ t : U t M phi_(t):U_(t)rarr M\phi_{t}: U_{t} \rightarrow Mϕt:UtM ϕ t ( p ) := c p ( t ) ( p ϕ t ( p ) := c p ( t ) ( p phi_(t)(p):=c_(p)(t)(p\phi_{t}(p):=c_{p}(t)(pϕt(p):=cp(t)(p U t ) U t {: inU_(t))\left.\in U_{t}\right)Ut) によって定義する. このとき, { ϕ t t I } ϕ t t I {phi_(t)∣t in I}\left\{\phi_{t} \mid t \in I\right\}{ϕttI} C r + 1 C r + 1 C^(r+1)C^{r+1}Cr+1 級の局所 1 パラメー ター変換群になることが示される。この局所 1 パラメーター変換群を X X X\boldsymbol{X}X に付随する局所 1 パラメーター変換群という.
問 3.7.1 実際に, 上述の { ϕ t t I } ϕ t t I {phi_(t)∣t in I}\left\{\phi_{t} \mid t \in I\right\}{ϕttI} C r + 1 C r + 1 C^(r+1)C^{r+1}Cr+1 級の局所 1 パラメーター変換群にな ることを示せ.
C r C r C^(r)C^{r}Cr 級ベクトル場 X X X\boldsymbol{X}X に付随する局所 1 パラメーター変換群が 1 パラメータ 一変換群としてとれるとき, X X X\boldsymbol{X}X は完備である(complete)という。ベクト ル場の完備性に関して, 次の事実が成り立つ.
補題 3.7.4 { ϕ t t I } ϕ t t I {phi_(t)∣t in I}\left\{\phi_{t} \mid t \in I\right\}{ϕttI} C r C r C^(r)C^{r}Cr 級ベクトル場 X X X\boldsymbol{X}X に付随する局所 1 パラメー ター変換群とする. もし, ( ε , ε ) I ( ε , ε ) I (-epsi,epsi)sub I(-\varepsilon, \varepsilon) \subset I(ε,ε)I となる ε > 0 ε > 0 epsi > 0\varepsilon>0ε>0 が存在して, すべての t t t int \int ( ε , ε ) ( ε , ε ) (-epsi,epsi)(-\varepsilon, \varepsilon)(ε,ε) に対し, ϕ t ϕ t phi_(t)\phi_{t}ϕt M M MMM 全体で定義されているならば, 実は, I = R I = R I=RI=\mathbb{R}I=R であり, すべての t R t R t inRt \in \mathbb{R}tR に対し, ϕ t ϕ t phi_(t)\phi_{t}ϕt M M MMM 全体で定義される. つまり, { ϕ t t I } ϕ t t I {phi_(t)∣t in I}\left\{\phi_{t} \mid t \in I\right\}{ϕttI}
M C r + 1 M C r + 1 MのC^(r+1)M の C^{r+1}MCr+1 級の 1 パラメーター変換群であり, それゆえ, X X X\boldsymbol{X}X は完備である.
証明 任意に ( p , t ) M × R ( p , t ) M × R (p,t)in M xxR(p, t) \in M \times \mathbb{R}(p,t)M×R をとる. k k kkk | t | k < ε | t | k < ε (|t|)/(k) < epsi\frac{|t|}{k}<\varepsilon|t|k<ε を満たす自然数とする. このとき t k < ε t k < ε (t)/(k) < epsi\frac{t}{k}<\varepsilontk<ε なので,仮定より, ϕ t k ϕ t k phi_((t)/(k))\phi_{\frac{t}{k}}ϕtk M M MMM 全体で定義される. それゆえ, ( ϕ t k ) k ( p ) ϕ t k k ( p ) (phi_((t)/(k)))^(k)(p)\left(\phi_{\frac{t}{k}}\right)^{k}(p)(ϕtk)k(p) が定義される。ここで, ( ϕ t k ) k ϕ t k k (phi_((t)/(k)))^(k)\left(\phi_{\frac{t}{k}}\right)^{k}(ϕtk)k ϕ t k ϕ t k phi_((t)/(k))\phi_{\frac{t}{k}}ϕtk k k kkk 回合成した写像を表す。一方, ( ϕ t k ) k ( p ) = ϕ k × t k ( p ) = ϕ t ( p ) ϕ t k k ( p ) = ϕ k × t k ( p ) = ϕ t ( p ) (phi_((t)/(k)))^(k)(p)=phi_(k xx(t)/(k))(p)=phi_(t)(p)\left(\phi_{\frac{t}{k}}\right)^{k}(p)=\phi_{k \times \frac{t}{k}}(p)=\phi_{t}(p)(ϕtk)k(p)=ϕk×tk(p)=ϕt(p) となるので, 結局 ϕ t ( p ) ϕ t ( p ) phi_(t)(p)\phi_{t}(p)ϕt(p) が定義されることが わかる。 ( p , t ) ( p , t ) (p,t)(p, t)(p,t) M × R M × R M xxRM \times \mathbb{R}M×R から任意にとった点なので, ϕ ϕ phi\phiϕ M × R M × R M xxRM \times \mathbb{R}M×R 全体で定義 されることになり, { ϕ t t I } ϕ t t I {phi_(t)∣t in I}\left\{\phi_{t} \mid t \in I\right\}{ϕttI} は,Mの C r + 1 C r + 1 C^(r+1)C^{r+1}Cr+1 級の 1 パラメーター変換群で あることが示される.
この補題を用いて, 次の事実が示される.
系 3.7.5 C C C^(oo)C^{\infty}C 閉多様体上の C r C r C^(r)C^{r}Cr ベクトル場はすべて完備である.
証明 X X X\boldsymbol{X}X C C C^(oo)C^{\infty}C 閉多様体 M M MMM 上の C r C r C^(r)C^{r}Cr ベクトル場とし, { ϕ t : U t M t ϕ t : U t M t {phi_(t):U_(t)rarr M∣t in:}\left\{\phi_{t}: U_{t} \rightarrow M \mid t \in\right.{ϕt:UtMt I } I } I}I\}I} X X X\boldsymbol{X}X に付随する局所 1 パラメーター変換群とする。 ( a p , b p ) := { t a p , b p := { t (-a_(p),b_(p)):={t in\left(-a_{p}, b_{p}\right):=\{t \in(ap,bp):={t I p U t } I p U t {:I∣p inU_(t)}\left.I \mid p \in U_{t}\right\}IpUt} とし, c p : ( a p , b p ) M c p : a p , b p M c_(p):(-a_(p),b_(p))rarr Mc_{p}:\left(-a_{p}, b_{p}\right) \rightarrow Mcp:(ap,bp)M p p ppp を通る流線(つまり c p ( t ) := ϕ t ( p ) c p ( t ) := ϕ t ( p ) c_(p)(t):=phi_(t)(p)c_{p}(t):=\phi_{t}(p)cp(t):=ϕt(p) ) とする. ρ + : M R ρ + : M R rho_(+):M rarrR\rho_{+}: M \rightarrow \mathbb{R}ρ+:MR ρ + ( p ) := b p ρ + ( p ) := b p rho_(+)(p):=b_(p)\rho_{+}(p):=b_{p}ρ+(p):=bp によって定義し, ρ : M R ρ : M R rho_(-):M rarrR\rho_{-}: M \rightarrow \mathbb{R}ρ:MR ρ ( p ) := a p ρ ( p ) := a p rho_(-)(p):=a_(p)\rho_{-}(p):=a_{p}ρ(p):=ap によって定義する。明らかに, これらの関数は下半連続である. それゆえ, M M MMM がコンパクトなので, これらの関数は最小元をもつ. ε := ε := epsi:=\varepsilon:=ε:= min { min ρ + , min ρ } ( > 0 ) min min ρ + , min ρ ( > 0 ) min{minrho_(+),minrho_(-)}( > 0)\min \left\{\min \rho_{+}, \min \rho_{-}\right\}(>0)min{minρ+,minρ}(>0) とおく.すべての ( p , t ) M × ( ε , ε ) ( p , t ) M × ( ε , ε ) (p,t)in M xx(-epsi,epsi)(p, t) \in M \times(-\varepsilon, \varepsilon)(p,t)M×(ε,ε) に対し c p ( t ) c p ( t ) c_(p)(t)c_{p}(t)cp(t) が定義されるので, すべての t ( ε , ε ) t ( ε , ε ) t in(-epsi,epsi)t \in(-\varepsilon, \varepsilon)t(ε,ε) に対し, U t = M U t = M U_(t)=MU_{t}=MUt=M となることが わかる。したがって, 前補題より, X X X\boldsymbol{X}X が完備であることが示される.
X , Y X , Y X,Y\boldsymbol{X}, \boldsymbol{Y}X,Y M M MMM 上の C C C^(oo)C^{\infty}C 級ベクトル場とし, { ϕ t t I } ϕ t t I {phi_(t)∣t in I}\left\{\phi_{t} \mid t \in I\right\}{ϕttI} X X X\boldsymbol{X}X に付随する C C C^(oo)C^{\infty}C級の局所 1 パラメーター変換群とする。このとき, M M MMM 上の C C C^(oo)C^{\infty}C 級ベクトル場 L X Y L X Y L_(X)Y\mathcal{L}_{X} YLXY
( L X Y ) p := lim t 0 1 t ( ( d ϕ t ) p 1 ( Y ϕ t ( p ) ) Y p ) ( = d d t | t = 0 ( d ϕ t ) p 1 ( Y ϕ t ( p ) ) ) L X Y p := lim t 0 1 t d ϕ t p 1 Y ϕ t ( p ) Y p = d d t t = 0 d ϕ t p 1 Y ϕ t ( p ) (L_(X)Y)_(p):=lim_(t rarr0)(1)/(t)((dphi_(t))_(p)^(-1)(Y_(phi_(t)(p)))-Y_(p))(=(d)/(dt)|_(t=0)(dphi_(t))_(p)^(-1)(Y_(phi_(t)(p))))\left(\mathcal{L}_{\boldsymbol{X}} \boldsymbol{Y}\right)_{p}:=\lim _{t \rightarrow 0} \frac{1}{t}\left(\left(d \phi_{t}\right)_{p}^{-1}\left(\boldsymbol{Y}_{\phi_{t}(p)}\right)-\boldsymbol{Y}_{p}\right)\left(=\left.\frac{d}{d t}\right|_{t=0}\left(d \phi_{t}\right)_{p}^{-1}\left(\boldsymbol{Y}_{\phi_{t}(p)}\right)\right)(LXY)p:=limt01t((dϕt)p1(Yϕt(p))Yp)(=ddt|t=0(dϕt)p1(Yϕt(p)))
( p M ) ( p M ) (p in M)(p \in M)(pM) によって定義する(図 3.7.3を参照)。この C C C^(oo)C^{\infty}C 級ベクトル場 L X Y L X Y L_(X)Y\mathcal{L}_{\boldsymbol{X}} \boldsymbol{Y}LXY は、 Y Y Y\boldsymbol{Y}Y X X X\boldsymbol{X}X に関するリー微分(Lie derivative)とよばれる。また, L X L X LX\mathcal{L} \boldsymbol{X}LX は,次の命題で述べる事実により, [ X , Y ] [ X , Y ] [X,Y][\boldsymbol{X}, \boldsymbol{Y}][X,Y] とも表され, X X X\boldsymbol{X}X Y Y Y\boldsymbol{Y}Y のブラケッ
ト積(bracket product)ともよばれる。
命題 3.7.6 M M MMM 上の C C C^(oo)C^{\infty}C 級関数 f f fff に対し,
( L X Y ) ( f ) = [ X , Y ] ( f ) = X ( Y ( f ) ) Y ( X ( f ) ) ( = ( X Y Y X ) ( f ) ) L X Y ( f ) = [ X , Y ] ( f ) = X ( Y ( f ) ) Y ( X ( f ) ) ( = ( X Y Y X ) ( f ) ) {:[(L_(X)Y)(f)=[X","Y](f)],[=X(Y(f))-Y(X(f))(=(X@Y-Y@X)(f))]:}\begin{aligned} \left(\mathcal{L}_{\boldsymbol{X}} \boldsymbol{Y}\right)(f) & =[\boldsymbol{X}, \boldsymbol{Y}](f) \\ & =\boldsymbol{X}(\boldsymbol{Y}(f))-\boldsymbol{Y}(\boldsymbol{X}(f))(=(\boldsymbol{X} \circ \boldsymbol{Y}-\boldsymbol{Y} \circ \boldsymbol{X})(f)) \end{aligned}(LXY)(f)=[X,Y](f)=X(Y(f))Y(X(f))(=(XYYX)(f))
が成り立つ.
この命題の証明については, [ K o 8 ] [ K o 8 ] [Ko8][K o 8][Ko8] の命題 4.6.5 の証明を参照のこと.命題 3.7.6 を用いて, 次の関係式が直接導かれる.
図 3.7.3 E 3 E 3 E^(3)\mathbb{E}^{3}E3 上のベクトル場のリー微分の例
命題 3.7.7 X , Y , Z X ( M ) X , Y , Z X ( M ) X,Y,Z inX(M)\boldsymbol{X}, \boldsymbol{Y}, \boldsymbol{Z} \in \mathcal{X}(M)X,Y,ZX(M) f 1 , f 2 C ( M ) f 1 , f 2 C ( M ) f_(1),f_(2)inC^(oo)(M)f_{1}, f_{2} \in C^{\infty}(M)f1,f2C(M) に対し, 次の (i)-(iii) の関係式が成り立つ:
(i) [ X , Y ] = [ Y , X ] [ X , Y ] = [ Y , X ] quad[X,Y]=-[Y,X]\quad[\boldsymbol{X}, \boldsymbol{Y}]=-[\boldsymbol{Y}, \boldsymbol{X}][X,Y]=[Y,X];
(ii) [ f 1 X , f 2 Y ] = f 1 f 2 [ X , Y ] + f 1 X ( f 2 ) Y f 2 Y ( f 1 ) X f 1 X , f 2 Y = f 1 f 2 [ X , Y ] + f 1 X f 2 Y f 2 Y f 1 X [f_(1)X,f_(2)Y]=f_(1)f_(2)[X,Y]+f_(1)*X(f_(2))Y-f_(2)*Y(f_(1))X\left[f_{1} \boldsymbol{X}, f_{2} \boldsymbol{Y}\right]=f_{1} f_{2}[\boldsymbol{X}, \boldsymbol{Y}]+f_{1} \cdot \boldsymbol{X}\left(f_{2}\right) \boldsymbol{Y}-f_{2} \cdot \boldsymbol{Y}\left(f_{1}\right) \boldsymbol{X}[f1X,f2Y]=f1f2[X,Y]+f1X(f2)Yf2Y(f1)X;
(iii) [ [ X , Y ] , Z ] + [ [ Y , Z ] , X ] + [ [ Z , X ] , Y ] = 0 [ [ X , Y ] , Z ] + [ [ Y , Z ] , X ] + [ [ Z , X ] , Y ] = 0 [[X,Y],Z]+[[Y,Z],X]+[[Z,X],Y]=0[[\boldsymbol{X}, \boldsymbol{Y}], \boldsymbol{Z}]+[[\boldsymbol{Y}, \boldsymbol{Z}], \boldsymbol{X}]+[[\boldsymbol{Z}, \boldsymbol{X}], \boldsymbol{Y}]=0[[X,Y],Z]+[[Y,Z],X]+[[Z,X],Y]=0.
(iii)の関係式は, ヤコビの恒等式(Jacobi identity)とよばれる。
問 3.7.2 φ E 0 , o : A n R n φ E 0 , o : A n R n varphi_(E_(0),o):A^(n)rarrR^(n)\varphi_{E_{0}, o}: \mathbb{A}^{n} \rightarrow \mathbb{R}^{n}φE0,o:AnRn を通じて A n A n A^(n)\mathbb{A}^{n}An R n R n R^(n)\mathbb{R}^{n}Rn を同一視する. ここで E 0 E 0 E_(0)E_{0}E0 は, 数 ベクトル空間 R n R n R^(n)\mathbb{R}^{n}Rn の標準基底
( ( 1 , 0 , , 0 ) , ( 0 , 1 , 0 , , 0 ) , , ( 0 , , 0 , 1 ) ) ( ( 1 , 0 , , 0 ) , ( 0 , 1 , 0 , , 0 ) , , ( 0 , , 0 , 1 ) ) ((1,0,dots,0),(0,1,0,dots,0),dots,(0,dots,0,1))((1,0, \ldots, 0),(0,1,0, \ldots, 0), \ldots,(0, \ldots, 0,1))((1,0,,0),(0,1,0,,0),,(0,,0,1))
を表し, o o ooo は, A n A n A^(n)\mathbb{A}^{n}An の基点を表す( φ E 0 , o φ E 0 , o varphi_(E_(0),o)\varphi_{E_{0}, o}φE0,o の定義については, 問 3.1.1 参照のこと). ϕ t : A n A n ( t R ) ϕ t : A n A n ( t R ) phi_(t):A^(n)rarrA^(n)(t inR)\phi_{t}: \mathbb{A}^{n} \rightarrow \mathbb{A}^{n}(t \in \mathbb{R})ϕt:AnAn(tR)
ϕ t ( x 1 , , x n ) := ( x 1 + t v 1 , , x n + t v n ) ( ( x 1 , , x n ) A n ) ϕ t x 1 , , x n := x 1 + t v 1 , , x n + t v n x 1 , , x n A n phi_(t)(x_(1),dots,x_(n)):=(x_(1)+tv_(1),dots,x_(n)+tv_(n))quad((x_(1),dots,x_(n))inA^(n))\phi_{t}\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right):=\left(x_{1}+t v_{1}, \ldots, x_{n}+t v_{n}\right) \quad\left(\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right) \in \mathbb{A}^{n}\right)ϕt(x1,,xn):=(x1+tv1,,xn+tvn)((x1,,xn)An)
( v 1 , , v n v 1 , , v n (v_(1),dots,v_(n):}\left(v_{1}, \ldots, v_{n}\right.(v1,,vn は定数)と定義する.
(i) { ϕ t t R } ϕ t t R {phi_(t)∣t inR}\left\{\phi_{t} \mid t \in \mathbb{R}\right\}{ϕttR} A n A n _(A^(n))_{\mathbb{A}^{n}}An C ω C ω C^(omega)C^{\omega}Cω 級の 1 パラメーター変換群になることを示せ.
(ii) X X X\boldsymbol{X}X { ϕ t t R } ϕ t t R {phi_(t)∣t inR}\left\{\phi_{t} \mid t \in \mathbb{R}\right\}{ϕttR} に付随するべクトル場とする。 X X X\boldsymbol{X}X を局所チャート ( A n A n (A^(n):}\left(\mathbb{A}^{n}\right.(An, φ E 0 , o = ( x 1 , , x n ) ) φ E 0 , o = x 1 , , x n {:varphi_(E_(0),o)=(x_(1),dots,x_(n)))\left.\varphi_{E_{0}, o}=\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)\right)φE0,o=(x1,,xn)) の自然基底 x 1 , , x n x 1 , , x n (del)/(delx_(1)),dots,(del)/(delx_(n))\frac{\partial}{\partial x_{1}}, \ldots, \frac{\partial}{\partial x_{n}}x1,,xn の 1 次結合で表せ.
(iii) n = 2 , ( v 1 , v 2 ) = ( 1 , 3 ) n = 2 , v 1 , v 2 = ( 1 , 3 ) n=2,(v_(1),v_(2))=(1,sqrt3)n=2,\left(v_{1}, v_{2}\right)=(1, \sqrt{3})n=2,(v1,v2)=(1,3) のとき, 流線 c ( p 1 , p 2 ) ( t ) := ϕ t ( p 1 , p 2 ) c p 1 , p 2 ( t ) := ϕ t p 1 , p 2 c_((p_(1),p_(2)))(t):=phi_(t)(p_(1),p_(2))c_{\left(p_{1}, p_{2}\right)}(t):=\phi_{t}\left(p_{1}, p_{2}\right)c(p1,p2)(t):=ϕt(p1,p2) の族
{ c ( p 1 , p 2 ) ( p 1 , p 2 ) A n } c p 1 , p 2 p 1 , p 2 A n {c_((p_(1),p_(2)))∣(p_(1),p_(2))inA^(n)}\left\{c_{\left(p_{1}, p_{2}\right)} \mid\left(p_{1}, p_{2}\right) \in \mathbb{A}^{n}\right\}{c(p1,p2)(p1,p2)An}
および, ベクトル場 X X X\boldsymbol{X}X を図示せよ.
問 3.7.3 φ E 0 , o : A 3 R 3 φ E 0 , o : A 3 R 3 varphi_(E_(0),o):A^(3)rarrR^(3)\varphi_{E_{0}, o}: \mathbb{A}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3}φE0,o:A3R3 を通じて A 3 A 3 A^(3)\mathbb{A}^{3}A3 R 3 R 3 R^(3)\mathbb{R}^{3}R3 を同一視する。ここで E 0 E 0 E_(0)E_{0}E0 は, 数べ クトル空間 R 3 R 3 R^(3)\mathbb{R}^{3}R3 の標準基底
( ( 1 , 0 , , 0 ) , ( 0 , 1 , 0 ) , ( 0 , 0 , 1 ) ) ( ( 1 , 0 , , 0 ) , ( 0 , 1 , 0 ) , ( 0 , 0 , 1 ) ) ((1,0,,0),(0,1,0),(0,0,1))((1,0,, 0),(0,1,0),(0,0,1))((1,0,,0),(0,1,0),(0,0,1))
を表し, o o ooo は, A 3 A 3 A^(3)\mathbb{A}^{3}A3 の基点を表す. ϕ t : A 3 A 3 ( t R ) ϕ t : A 3 A 3 ( t R ) phi_(t):A^(3)rarrA^(3)(t inR)\phi_{t}: \mathbb{A}^{3} \rightarrow \mathbb{A}^{3}(t \in \mathbb{R})ϕt:A3A3(tR)
ϕ t ( x 1 , x 2 , x 3 ) := ( x 1 cos t x 2 sin t , x 1 sin t + x 2 cos t , x 3 ) ( ( x 1 , x 2 , x 3 ) A 3 ) ϕ t x 1 , x 2 , x 3 := x 1 cos t x 2 sin t , x 1 sin t + x 2 cos t , x 3 x 1 , x 2 , x 3 A 3 phi_(t)(x_(1),x_(2),x_(3)):=(x_(1)cos t-x_(2)sin t,x_(1)sin t+x_(2)cos t,x_(3))quad((x_(1),x_(2),x_(3))inA^(3))\phi_{t}\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right):=\left(x_{1} \cos t-x_{2} \sin t, x_{1} \sin t+x_{2} \cos t, x_{3}\right) \quad\left(\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right) \in \mathbb{A}^{3}\right)ϕt(x1,x2,x3):=(x1costx2sint,x1sint+x2cost,x3)((x1,x2,x3)A3) と定義する.
(i) { ϕ t t R } ϕ t t R {phi_(t)∣t inR}\left\{\phi_{t} \mid t \in \mathbb{R}\right\}{ϕttR} A 3 A 3 A^(3)\mathbb{A}^{3}A3 C ω C ω C^(omega)C^{\omega}Cω 級の 1 パラメーター変換群であることを示せ.
(ii) X X X\boldsymbol{X}X { ϕ t t R } ϕ t t R {phi_(t)∣t inR}\left\{\phi_{t} \mid t \in \mathbb{R}\right\}{ϕttR} に付随するべクトル場とする。 X X X\boldsymbol{X}X を局所チャート ( A 3 A 3 (A^(3):}\left(\mathbb{A}^{3}\right.(A3, φ E 0 , o = ( x 1 , x 2 , x 3 ) ) φ E 0 , o = x 1 , x 2 , x 3 {:varphi_(E_(0),o)=(x_(1),x_(2),x_(3)))\left.\varphi_{E_{0}, o}=\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)\right)φE0,o=(x1,x2,x3)) の自然基底 x 1 , x 2 , x 3 x 1 , x 2 , x 3 (del)/(delx_(1)),(del)/(delx_(2)),(del)/(delx_(3))\frac{\partial}{\partial x_{1}}, \frac{\partial}{\partial x_{2}}, \frac{\partial}{\partial x_{3}}x1,x2,x3 の 1 次結合で表せ.
(iii) 流線 c ( p 1 , p 2 , p 3 ) ( t ) := ϕ t ( p 1 , p 2 , p 3 ) c p 1 , p 2 , p 3 ( t ) := ϕ t p 1 , p 2 , p 3 c_((p_(1),p_(2),p_(3)))(t):=phi_(t)(p_(1),p_(2),p_(3))c_{\left(p_{1}, p_{2}, p_{3}\right)}(t):=\phi_{t}\left(p_{1}, p_{2}, p_{3}\right)c(p1,p2,p3)(t):=ϕt(p1,p2,p3) の族
{ c ( p 1 , p 2 , p 3 ) ( p 1 , p 2 , p 3 ) A 3 } c p 1 , p 2 , p 3 p 1 , p 2 , p 3 A 3 {c_((p_(1),p_(2),p_(3)))∣(p_(1),p_(2),p_(3))inA^(3)}\left\{c_{\left(p_{1}, p_{2}, p_{3}\right)} \mid\left(p_{1}, p_{2}, p_{3}\right) \in \mathbb{A}^{3}\right\}{c(p1,p2,p3)(p1,p2,p3)A3}
および, ベクトル場 X X X\boldsymbol{X}X を図示せよ.
問 3.7.4 ϕ t : S 2 ( 1 ) S 2 ( 1 ) ( t R ) ϕ t : S 2 ( 1 ) S 2 ( 1 ) ( t R ) phi_(t):S^(2)(1)rarrS^(2)(1)(t inR)\phi_{t}: S^{2}(1) \rightarrow S^{2}(1)(t \in \mathbb{R})ϕt:S2(1)S2(1)(tR)
ϕ t ( x 1 , x 2 , x 3 ) := ( x 1 cos t x 2 sin t , x 1 sin t + x 2 cos t , x 3 ) ( ( x 1 , x 2 , x 3 ) S 2 ( 1 ) ) ϕ t x 1 , x 2 , x 3 := x 1 cos t x 2 sin t , x 1 sin t + x 2 cos t , x 3 x 1 , x 2 , x 3 S 2 ( 1 ) phi_(t)(x_(1),x_(2),x_(3)):=(x_(1)cos t-x_(2)sin t,x_(1)sin t+x_(2)cos t,x_(3))quad((x_(1),x_(2),x_(3))inS^(2)(1))\phi_{t}\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right):=\left(x_{1} \cos t-x_{2} \sin t, x_{1} \sin t+x_{2} \cos t, x_{3}\right) \quad\left(\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right) \in S^{2}(1)\right)ϕt(x1,x2,x3):=(x1costx2sint,x1sint+x2cost,x3)((x1,x2,x3)S2(1))
によって定義する。
(i) { ϕ t t R } ϕ t t R {phi_(t)∣t inR}\left\{\phi_{t} \mid t \in \mathbb{R}\right\}{ϕttR} S 2 ( 1 ) S 2 ( 1 ) S^(2)(1)S^{2}(1)S2(1) C ω C ω C^(omega)C^{\omega}Cω 級の 1 パラメーター変換群になることを示せ.
(ii) X X X\boldsymbol{X}X { ϕ t t R } ϕ t t R {phi_(t)∣t inR}\left\{\phi_{t} \mid t \in \mathbb{R}\right\}{ϕttR} に付随するベクトル場とする. X X X\boldsymbol{X}X を局所チャート ( U 3 + U 3 + (U_(3)^(+):}\left(U_{3}^{+}\right.(U3+, φ 3 + = ( y 1 , y 2 ) ) φ 3 + = y 1 , y 2 {:varphi_(3)^(+)=(y_(1),y_(2)))\left.\varphi_{3}^{+}=\left(y_{1}, y_{2}\right)\right)φ3+=(y1,y2)) の自然基底 y 1 , y 2 y 1 , y 2 (del)/(dely_(1)),(del)/(dely_(2))\frac{\partial}{\partial y_{1}}, \frac{\partial}{\partial y_{2}}y1,y2 の 1 次結合で表せ ( ( U 3 + , φ 3 + = ( y 1 , y 2 ) ) U 3 + , φ 3 + = y 1 , y 2 ((U_(3)^(+),varphi_(3)^(+)=(y_(1),y_(2))):}\left(\left(U_{3}^{+}, \varphi_{3}^{+}=\left(y_{1}, y_{2}\right)\right)\right.((U3+,φ3+=(y1,y2)) については問 3.1.2 を参照).
(iii) 流線 c ( p 1 , p 2 , p 3 ) ( t ) := ϕ t ( p 1 , p 2 , p 3 ) c p 1 , p 2 , p 3 ( t ) := ϕ t p 1 , p 2 , p 3 c_((p_(1),p_(2),p_(3)))(t):=phi_(t)(p_(1),p_(2),p_(3))c_{\left(p_{1}, p_{2}, p_{3}\right)}(t):=\phi_{t}\left(p_{1}, p_{2}, p_{3}\right)c(p1,p2,p3)(t):=ϕt(p1,p2,p3) の族
{ c ( p 1 , p 2 , p 3 ) ( p 1 , p 2 , p 3 ) S 2 ( 1 ) } c p 1 , p 2 , p 3 p 1 , p 2 , p 3 S 2 ( 1 ) {c_((p_(1),p_(2),p_(3)))∣(p_(1),p_(2),p_(3))inS^(2)(1)}\left\{c_{\left(p_{1}, p_{2}, p_{3}\right)} \mid\left(p_{1}, p_{2}, p_{3}\right) \in S^{2}(1)\right\}{c(p1,p2,p3)(p1,p2,p3)S2(1)}
および, ベクトル場 X X X\boldsymbol{X}X を図示せよ.

3.8 テンソル場・微分形式

この節において, C C C^(oo)C^{\infty}C 多様体上の k k kkk 次共変テンソル場, ( 1 , k ) ( 1 , k ) (1,k)(1, k)(1,k) 次テンソル 場, および, k k kkk 次微分形式について述べることにする。この節では r 0 r 0 r >= 0r \geq 0r0 と する。
M M MMM n n nnn 次元 C C C^(oo)C^{\infty}C 多様体とする. M M MMM の各点 p p ppp に対し, T p M T p M T_(p)MT_{p} MTpM 上の k k kkk 次共変テ ンソル S p S p S_(p)S_{p}Sp を対応させる対応 S S SSS M M MMM 上の k k k\boldsymbol{k}k 次共変テンソル場(covariant tensor field of degree k k k\boldsymbol{k}k ) という. 各局所チャート ( U , φ = ( x 1 , , x n ) ) U , φ = x 1 , , x n (U,varphi=(x_(1),dots,x_(n)))\left(U, \varphi=\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)\right)(U,φ=(x1,,xn))

( d x n ) p ) d x n p {:(dx_(n))_(p))\left.\left(d x_{n}\right)_{p}\right)(dxn)p) はその双対基底であるので,
( ( d x i 1 ) p ( d x i k ) p ) 1 i 1 , , i k n d x i 1 p d x i k p 1 i 1 , , i k n ((dx_(i_(1)))_(p)ox cdots ox(dx_(i_(k)))_(p))_(1 <= i_(1),dots,i_(k) <= n)\left(\left(d x_{i_{1}}\right)_{p} \otimes \cdots \otimes\left(d x_{i_{k}}\right)_{p}\right)_{1 \leq i_{1}, \ldots, i_{k} \leq n}((dxi1)p(dxik)p)1i1,,ikn
T ( 0 , k ) ( T p M ) T ( 0 , k ) T p M T^((0,k))(T_(p)M)\mathcal{T}^{(0, k)}\left(T_{p} M\right)T(0,k)(TpM) の基底を与えることが示される(命題 2.2 .1 を参照). ここで, ( d x i 1 ) p ( d x i k ) p d x i 1 p d x i k p (dx_(i_(1)))_(p)ox cdots ox(dx_(i_(k)))_(p)\left(d x_{i_{1}}\right)_{p} \otimes \cdots \otimes\left(d x_{i_{k}}\right)_{p}(dxi1)p(dxik)p は,
( d x i 1 ) p ( d x i k ) p ( v 1 , , v k ) = ( d x i 1 ) p ( v 1 ) ( d x i k ) p ( v k ) ( v 1 , , v k T p M ) d x i 1 p d x i k p v 1 , , v k = d x i 1 p v 1 d x i k p v k v 1 , , v k T p M {:[(dx_(i_(1)))_(p)ox cdots ox(dx_(i_(k)))_(p)(v_(1),dots,v_(k))=(dx_(i_(1)))_(p)(v_(1))cdots cdots(dx_(i_(k)))_(p)(v_(k))],[(v_(1),dots,v_(k)inT_(p)M)]:}\begin{array}{r} \left(d x_{i_{1}}\right)_{p} \otimes \cdots \otimes\left(d x_{i_{k}}\right)_{p}\left(\boldsymbol{v}_{1}, \ldots, \boldsymbol{v}_{k}\right)=\left(d x_{i_{1}}\right)_{p}\left(\boldsymbol{v}_{1}\right) \cdots \cdots\left(d x_{i_{k}}\right)_{p}\left(\boldsymbol{v}_{k}\right) \\ \left(\boldsymbol{v}_{1}, \ldots, \boldsymbol{v}_{k} \in T_{p} M\right) \end{array}(dxi1)p(dxik)p(v1,,vk)=(dxi1)p(v1)(dxik)p(vk)(v1,,vkTpM)
によって定義される T ( 0 , k ) ( T p M ) T ( 0 , k ) T p M T^((0,k))(T_(p)M)\mathcal{T}^{(0, k)}\left(T_{p} M\right)T(0,k)(TpM) の元である。 それゆえ, 各点 p U p U p in Up \in UpU に対し、 S p S p S_(p)S_{p}Sp
S p = i 1 = 1 n i k = 1 n ( S i 1 i k ) p ( d x i 1 ) p ( d x i k ) p S p = i 1 = 1 n i k = 1 n S i 1 i k p d x i 1 p d x i k p S_(p)=sum_(i_(1)=1)^(n)cdotssum_(i_(k)=1)^(n)(S_(i_(1)cdotsi_(k)))_(p)(dx_(i_(1)))_(p)ox cdots ox(dx_(i_(k)))_(p)S_{p}=\sum_{i_{1}=1}^{n} \cdots \sum_{i_{k}=1}^{n}\left(S_{i_{1} \cdots i_{k}}\right)_{p}\left(d x_{i_{1}}\right)_{p} \otimes \cdots \otimes\left(d x_{i_{k}}\right)_{p}Sp=i1=1nik=1n(Si1ik)p(dxi1)p(dxik)p
( ( S i 1 i k ) p R ) S i 1 i k p R ((S_(i_(1)cdotsi_(k)))_(p)inR)\left(\left(S_{i_{1} \cdots i_{k}}\right)_{p} \in \mathbb{R}\right)((Si1ik)pR) と表される。 U U UUU 上の関数 S i 1 i k S i 1 i k S_(i_(1)cdotsi_(k))S_{i_{1} \cdots i_{k}}Si1ik
S i 1 i k ( p ) := ( S i 1 i k ) p ( p U ) S i 1 i k ( p ) := S i 1 i k p ( p U ) S_(i_(1)cdotsi_(k))(p):=(S_(i_(1)cdotsi_(k)))_(p)quad(p in U)S_{i_{1} \cdots i_{k}}(p):=\left(S_{i_{1} \cdots i_{k}}\right)_{p} \quad(p \in U)Si1ik(p):=(Si1ik)p(pU)
によって定義する. これらの関数は, S S SSS ( U , φ ) ( U , φ ) (U,varphi)(U, \varphi)(U,φ) に関する成分とよばれる.次の関係式が成り立つことを注意しておく:
S i 1 i k ( p ) = S p ( ( x i 1 ) p , , ( x i k ) p ) S i 1 i k ( p ) = S p x i 1 p , , x i k p S_(i_(1)cdotsi_(k))(p)=S_(p)(((del)/(delx_(i_(1))))_(p),dots,((del)/(delx_(i_(k))))_(p))S_{i_{1} \cdots i_{k}}(p)=S_{p}\left(\left(\frac{\partial}{\partial x_{i_{1}}}\right)_{p}, \ldots,\left(\frac{\partial}{\partial x_{i_{k}}}\right)_{p}\right)Si1ik(p)=Sp((xi1)p,,(xik)p)
各局所チャート ( U , φ ) ( U , φ ) (U,varphi)(U, \varphi)(U,φ) に対し, S S SSS ( U , φ ) ( U , φ ) (U,varphi)(U, \varphi)(U,φ) に関する成分が C r C r C^(r)C^{r}Cr 級であるとき, S S SSS C r C r C^(r)C^{r}Cr 級であるという.
M M MMM の各点 p p ppp に対し, T p M T p M T_(p)MT_{p} MTpM 上の ( 1 , k ) ( 1 , k ) (1,k)(1, k)(1,k) 次テンソル S ^ p S ^ p hat(S)_(p)\hat{S}_{p}S^p を対応させる対応 S ^ S ^ hat(S)\hat{S}S^ M M MMM 上の ( 1 , k ) ( 1 , k ) (1,k)(1, k)(1,k) 次テンソル場 (tensor field of type ( 1 , k ) ( 1 , k ) (1,k)(1, k)(1,k) ) という. 各局所チャート ( U , φ = ( x 1 , , x n ) ) U , φ = x 1 , , x n (U,varphi=(x_(1),dots,x_(n)))\left(U, \varphi=\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)\right)(U,φ=(x1,,xn)) に対し.
( ( d x i 1 ) p ( d x i k ) p ( x j ) p ) 1 i 1 , , i k , j n d x i 1 p d x i k p x j p 1 i 1 , , i k , j n ((dx_(i_(1)))_(p)ox cdots ox(dx_(i_(k)))_(p)ox((del)/(delx_(j)))_(p))_(1 <= i_(1),dots,i_(k),j <= n)\left(\left(d x_{i_{1}}\right)_{p} \otimes \cdots \otimes\left(d x_{i_{k}}\right)_{p} \otimes\left(\frac{\partial}{\partial x_{j}}\right)_{p}\right)_{1 \leq i_{1}, \ldots, i_{k}, j \leq n}((dxi1)p(dxik)p(xj)p)1i1,,ik,jn
T ( 1 , k ) ( T p M ) T ( 1 , k ) T p M T^((1,k))(T_(p)M)\mathcal{T}^{(1, k)}\left(T_{p} M\right)T(1,k)(TpM) の基底を与えることが示される(命題 2.2 .1 を参照). ここで, ( d x i 1 ) p ( d x i k ) p ( x j ) p d x i 1 p d x i k p x j p (dx_(i_(1)))_(p)ox cdots ox(dx_(i_(k)))_(p)ox((del)/(delx_(j)))_(p)\left(d x_{i_{1}}\right)_{p} \otimes \cdots \otimes\left(d x_{i_{k}}\right)_{p} \otimes\left(\frac{\partial}{\partial x_{j}}\right)_{p}(dxi1)p(dxik)p(xj)p は,
( ( d x i 1 ) p ( d x i k ) p ( x j ) p ) ( v 1 , , v k ) = ( d x i 1 ) p ( v 1 ) ( d x i k ) p ( v k ) ( x j ) p ( v 1 , , v k T p M ) d x i 1 p d x i k p x j p v 1 , , v k = d x i 1 p v 1 d x i k p v k x j p v 1 , , v k T p M {:[((dx_(i_(1)))_(p)ox cdots ox(dx_(i_(k)))_(p)ox((del)/(delx_(j)))_(p))(v_(1),dots,v_(k))],[=(dx_(i_(1)))_(p)(v_(1))cdots(dx_(i_(k)))_(p)(v_(k))((del)/(delx_(j)))_(p)quad(v_(1),dots,v_(k)inT_(p)M)]:}\begin{aligned} & \left(\left(d x_{i_{1}}\right)_{p} \otimes \cdots \otimes\left(d x_{i_{k}}\right)_{p} \otimes\left(\frac{\partial}{\partial x_{j}}\right)_{p}\right)\left(\boldsymbol{v}_{1}, \ldots, \boldsymbol{v}_{k}\right) \\ = & \left(d x_{i_{1}}\right)_{p}\left(\boldsymbol{v}_{1}\right) \cdots\left(d x_{i_{k}}\right)_{p}\left(\boldsymbol{v}_{k}\right)\left(\frac{\partial}{\partial x_{j}}\right)_{p} \quad\left(\boldsymbol{v}_{1}, \ldots, \boldsymbol{v}_{k} \in T_{p} M\right) \end{aligned}((dxi1)p(dxik)p(xj)p)(v1,,vk)=(dxi1)p(v1)(dxik)p(vk)(xj)p(v1,,vkTpM)
によって定義される T ( 1 , k ) ( T p M ) T ( 1 , k ) T p M T^((1,k))(T_(p)M)\mathcal{T}^{(1, k)}\left(T_{p} M\right)T(1,k)(TpM) の元である。それゆえ, 各点 p U p U p in Up \in UpU に対し S ^ p S ^ p hat(S)_(p)\hat{S}_{p}S^p
S ^ p = i 1 = 1 n i k = 1 n j = 1 n ( S ^ i 1 i k j ) p ( d x i 1 ) p ( d x i k ) p ( x j ) p S ^ p = i 1 = 1 n i k = 1 n j = 1 n S ^ i 1 i k j p d x i 1 p d x i k p x j p hat(S)_(p)=sum_(i_(1)=1)^(n)cdotssum_(i_(k)=1)^(n)sum_(j=1)^(n)( hat(S)_(i_(1)cdotsi_(k))^(j))_(p)(dx_(i_(1)))_(p)ox cdots ox(dx_(i_(k)))_(p)ox((del)/(delx_(j)))_(p)\hat{S}_{p}=\sum_{i_{1}=1}^{n} \cdots \sum_{i_{k}=1}^{n} \sum_{j=1}^{n}\left(\hat{S}_{i_{1} \cdots i_{k}}^{j}\right)_{p}\left(d x_{i_{1}}\right)_{p} \otimes \cdots \otimes\left(d x_{i_{k}}\right)_{p} \otimes\left(\frac{\partial}{\partial x_{j}}\right)_{p}S^p=i1=1nik=1nj=1n(S^i1ikj)p(dxi1)p(dxik)p(xj)p
( ( S ^ i 1 i k j ) p R ) S ^ i 1 i k j p R (( hat(S)_(i_(1)cdotsi_(k))^(j))_(p)inR)\left(\left(\hat{S}_{i_{1} \cdots i_{k}}^{j}\right)_{p} \in \mathbb{R}\right)((S^i1ikj)pR) と表される。 U U UUU 上の関数 S ^ i 1 i k j S ^ i 1 i k j hat(S)_(i_(1)cdotsi_(k))^(j)\hat{S}_{i_{1} \cdots i_{k}}^{j}S^i1ikj
S ^ i 1 i k j ( p ) := ( S ^ i 1 i k j ) p ( p U ) S ^ i 1 i k j ( p ) := S ^ i 1 i k j p ( p U ) hat(S)_(i_(1)cdotsi_(k))^(j)(p):=( hat(S)_(i_(1)cdotsi_(k))^(j))_(p)quad(p in U)\hat{S}_{i_{1} \cdots i_{k}}^{j}(p):=\left(\hat{S}_{i_{1} \cdots i_{k}}^{j}\right)_{p} \quad(p \in U)S^i1ikj(p):=(S^i1ikj)p(pU)
により定義する。 これらの関数は, S ^ S ^ hat(S)\hat{S}S^ ( U , φ ) ( U , φ ) (U,varphi)(U, \varphi)(U,φ) に関する成分とよばれる。次 の関係式が成り立つことを注意しておく:
S ^ p ( ( x i 1 ) p , , ( x i k ) p ) = j = 1 n S ^ i 1 i k j ( p ) ( x j ) p S ^ p x i 1 p , , x i k p = j = 1 n S ^ i 1 i k j ( p ) x j p hat(S)_(p)(((del)/(delx_(i_(1))))_(p),dots,((del)/(delx_(i_(k))))_(p))=sum_(j=1)^(n) hat(S)_(i_(1)cdotsi_(k))^(j)(p)((del)/(delx_(j)))_(p)\hat{S}_{p}\left(\left(\frac{\partial}{\partial x_{i_{1}}}\right)_{p}, \ldots,\left(\frac{\partial}{\partial x_{i_{k}}}\right)_{p}\right)=\sum_{j=1}^{n} \hat{S}_{i_{1} \cdots i_{k}}^{j}(p)\left(\frac{\partial}{\partial x_{j}}\right)_{p}S^p((xi1)p,,(xik)p)=j=1nS^i1ikj(p)(xj)p
各局所チャート ( U , φ ) ( U , φ ) (U,varphi)(U, \varphi)(U,φ) に対し, S ^ S ^ hat(S)\hat{S}S^ ( U , φ ) ( U , φ ) (U,varphi)(U, \varphi)(U,φ) に関する成分が C r C r C^(r)C^{r}Cr 級であるとき, S ^ S ^ hat(S)\hat{S}S^ C r C r C^(r)C^{r}Cr 級であるという.
次に, k k kkk 次共変テンソルバンドルを定義しよう. T ( 0 , k ) ( T M ) := ⨿ p M T ( 0 , k ) ( T M ) := ⨿ p M T^((0,k))(TM):=⨿_(p in M)T^{(0, k)}(T M):=\underset{p \in M}{\amalg}T(0,k)(TM):=⨿pM T ( 0 , k ) ( T p M ) T ( 0 , k ) T p M T^((0,k))(T_(p)M)\mathcal{T}^{(0, k)}\left(T_{p} M\right)T(0,k)(TpM) とし, π : T ( 0 , k ) ( T M ) M π : T ( 0 , k ) ( T M ) M pi:T^((0,k))(TM)rarr M\pi: T^{(0, k)}(T M) \rightarrow Mπ:T(0,k)(TM)M T ( 0 , k ) ( T M ) T ( 0 , k ) ( T M ) T^((0,k))(TM)T^{(0, k)}(T M)T(0,k)(TM) の各元 S S SSS に対し, S T ( 0 , k ) ( T p M ) S T ( 0 , k ) T p M S inT^((0,k))(T_(p)M)S \in \mathcal{T}^{(0, k)}\left(T_{p} M\right)ST(0,k)(TpM) となる p p ppp を対応させることにより定義する. M M MMM C C C^(oo)C^{\infty}C 構造を D D D\mathcal{D}D とする. 各 ( U , φ = ( x 1 , , x n ) ) D U , φ = x 1 , , x n D (U,varphi=(x_(1),dots,x_(n)))inD\left(U, \varphi=\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)\right) \in \mathcal{D}(U,φ=(x1,,xn))D に対し, U ~ := π 1 ( U ) U ~ := π 1 ( U ) widetilde(U):=pi^(-1)(U)\widetilde{U}:=\pi^{-1}(U)U~:=π1(U) とし,ま た φ ~ : U ~ R n + n k φ ~ : U ~ R n + n k widetilde(varphi): widetilde(U)rarrR^(n+n^(k))\widetilde{\varphi}: \widetilde{U} \rightarrow \mathbb{R}^{n+n^{k}}φ~:U~Rn+nk を次式によって定義する:
φ ~ ( S ) := ( x 1 ( π ( S ) ) , , x n ( π ( S ) ) , ( S i 1 i k ) 1 i 1 , , i k n ) ( S U ~ ) ( S = 1 i 1 , , i k n S i 1 i k ( d x i 1 ) π ( S ) ( d x i k ) π ( S ) ) φ ~ ( S ) := x 1 ( π ( S ) ) , , x n ( π ( S ) ) , S i 1 i k 1 i 1 , , i k n ( S U ~ ) S = 1 i 1 , , i k n S i 1 i k d x i 1 π ( S ) d x i k π ( S ) {:[ widetilde(varphi)(S):=(x_(1)(pi(S)),dots,x_(n)(pi(S)),(S_(i_(1)cdotsi_(k)))_(1 <= i_(1),dots,i_(k) <= n))quad(S in widetilde(U))],[(S=sum_(1 <= i_(1),dots,i_(k) <= n)S_(i_(1)cdotsi_(k))(dx_(i_(1)))_(pi(S))ox cdots ox(dx_(i_(k)))_(pi(S)))]:}\begin{gathered} \widetilde{\varphi}(S):=\left(x_{1}(\pi(S)), \ldots, x_{n}(\pi(S)),\left(S_{i_{1} \cdots i_{k}}\right)_{1 \leq i_{1}, \ldots, i_{k} \leq n}\right) \quad(S \in \widetilde{U}) \\ \left(S=\sum_{1 \leq i_{1}, \ldots, i_{k} \leq n} S_{i_{1} \cdots i_{k}}\left(d x_{i_{1}}\right)_{\pi(S)} \otimes \cdots \otimes\left(d x_{i_{k}}\right)_{\pi(S)}\right) \end{gathered}φ~(S):=(x1(π(S)),,xn(π(S)),(Si1ik)1i1,,ikn)(SU~)(S=1i1,,iknSi1ik(dxi1)π(S)(dxik)π(S))
このとき T ( 0 , k ) ( T M ) T ( 0 , k ) ( T M ) T^((0,k))(TM)T^{(0, k)}(T M)T(0,k)(TM) に, U ~ U ~ widetilde(U)\widetilde{U}U~ たちを開集合とし φ ~ φ ~ widetilde(varphi)\widetilde{\varphi}φ~ たちを同相写像とするよう な位相が一意的に決まり, この位相は第 2 可算公理を満たすハウスドルフ位相になる。 また, D ~ := { ( U ~ , φ ~ ) ( U , φ ) D } D ~ := { ( U ~ , φ ~ ) ( U , φ ) D } widetilde(D):={( widetilde(U), widetilde(varphi))∣(U,varphi)inD}\widetilde{\mathcal{D}}:=\{(\widetilde{U}, \widetilde{\varphi}) \mid(U, \varphi) \in \mathcal{D}\}D~:={(U~,φ~)(U,φ)D} が,この第 2 可算公理を満たす ハウスドルフ空間 T ( 0 , k ) ( T M ) T ( 0 , k ) ( T M ) T^((0,k))(TM)T^{(0, k)}(T M)T(0,k)(TM) C C C^(oo)C^{\infty}C 構造を与えることが次のように示され る. ( U , φ = ( x 1 , , x n ) ) , ( V , ψ = ( y 1 , , y n ) ) U , φ = x 1 , , x n , V , ψ = y 1 , , y n (U,varphi=(x_(1),dots,x_(n))),(V,psi=(y_(1),dots,y_(n)))\left(U, \varphi=\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)\right),\left(V, \psi=\left(y_{1}, \ldots, y_{n}\right)\right)(U,φ=(x1,,xn)),(V,ψ=(y1,,yn)) U V U V U nn V!=O/U \cap V \neq \emptysetUV となる M M MMM の 局所チャートとして, S T ( 0 , k ) ( T M ) | U V S T ( 0 , k ) ( T M ) U V S inT^((0,k))(TM)|_(U nn V)\left.S \in T^{(0, k)}(T M)\right|_{U \cap V}ST(0,k)(TM)|UV ( U , φ ) , ( V , ψ ) ( U , φ ) , ( V , ψ ) (U,varphi),(V,psi)(U, \varphi),(V, \psi)(U,φ),(V,ψ) に関する成分を 各々, S i 1 i k , S ¯ i 1 i k S i 1 i k , S ¯ i 1 i k S_(i_(1)cdotsi_(k)), bar(S)_(i_(1)cdotsi_(k))S_{i_{1} \cdots i_{k}}, \bar{S}_{i_{1} \cdots i_{k}}Si1ik,S¯i1ik とする。簡単のため, p := π ( S ) p := π ( S ) p:=pi(S)p:=\pi(S)p:=π(S) とおく. このとき, 変換式
( d x i ) p = j = 1 n ( ( x i ψ 1 ) y j ) ψ ( p ) ( d y j ) p d x i p = j = 1 n x i ψ 1 y j ψ ( p ) d y j p (dx_(i))_(p)=sum_(j=1)^(n)((del(x_(i)@psi^(-1)))/(dely_(j)))_(psi(p))(dy_(j))_(p)\left(d x_{i}\right)_{p}=\sum_{j=1}^{n}\left(\frac{\partial\left(x_{i} \circ \psi^{-1}\right)}{\partial y_{j}}\right)_{\psi(p)}\left(d y_{j}\right)_{p}(dxi)p=j=1n((xiψ1)yj)ψ(p)(dyj)p
を用いて,
( d x i 1 ) p ( d x i k ) p = j 1 = 1 n j k = 1 n ( ( x i 1 ψ 1 ) y j 1 ) ψ ( p ) ( ( x i k ψ 1 ) y j k ) ψ ( p ) × ( d y j 1 ) p ( d y j k ) p d x i 1 p d x i k p = j 1 = 1 n j k = 1 n x i 1 ψ 1 y j 1 ψ ( p ) x i k ψ 1 y j k ψ ( p ) × d y j 1 p d y j k p {:[(dx_(i_(1)))_(p)ox cdots ox(dx_(i_(k)))_(p)],[=sum_(j_(1)=1)^(n)cdotssum_(j_(k)=1)^(n)((del(x_(i_(1))@psi^(-1)))/(dely_(j_(1))))_(psi(p))cdots((del(x_(i_(k))@psi^(-1)))/(dely_(j_(k))))_(psi(p))],[xx(dy_(j_(1)))_(p)ox cdots ox(dy_(j_(k)))_(p)]:}\begin{gathered} \left(d x_{i_{1}}\right)_{p} \otimes \cdots \otimes\left(d x_{i_{k}}\right)_{p} \\ =\sum_{j_{1}=1}^{n} \cdots \sum_{j_{k}=1}^{n}\left(\frac{\partial\left(x_{i_{1}} \circ \psi^{-1}\right)}{\partial y_{j_{1}}}\right)_{\psi(p)} \cdots\left(\frac{\partial\left(x_{i_{k}} \circ \psi^{-1}\right)}{\partial y_{j_{k}}}\right)_{\psi(p)} \\ \times\left(d y_{j_{1}}\right)_{p} \otimes \cdots \otimes\left(d y_{j_{k}}\right)_{p} \end{gathered}(dxi1)p(dxik)p=j1=1njk=1n((xi1ψ1)yj1)ψ(p)((xikψ1)yjk)ψ(p)×(dyj1)p(dyjk)p
が示され, それゆえ変換式
S ¯ i 1 i k = j 1 = 1 n j k = 1 n ( ( x j 1 ψ 1 ) y i 1 ) ψ ( p ) ( ( x j k ψ 1 ) y i k ) ψ ( p ) S j 1 j k S ¯ i 1 i k = j 1 = 1 n j k = 1 n x j 1 ψ 1 y i 1 ψ ( p ) x j k ψ 1 y i k ψ ( p ) S j 1 j k bar(S)_(i_(1)cdotsi_(k))=sum_(j_(1)=1)^(n)cdotssum_(j_(k)=1)^(n)((del(x_(j_(1))@psi^(-1)))/(dely_(i_(1))))_(psi(p))dots((del(x_(j_(k))@psi^(-1)))/(dely_(i_(k))))_(psi(p))S_(j_(1)cdotsj_(k))\bar{S}_{i_{1} \cdots i_{k}}=\sum_{j_{1}=1}^{n} \cdots \sum_{j_{k}=1}^{n}\left(\frac{\partial\left(x_{j_{1}} \circ \psi^{-1}\right)}{\partial y_{i_{1}}}\right)_{\psi(p)} \ldots\left(\frac{\partial\left(x_{j_{k}} \circ \psi^{-1}\right)}{\partial y_{i_{k}}}\right)_{\psi(p)} S_{j_{1} \cdots j_{k}}S¯i1ik=j1=1njk=1n((xj1ψ1)yi1)ψ(p)((xjkψ1)yik)ψ(p)Sj1jk

あることが示される。ゆえに、 D ~ D ~ widetilde(D)\widetilde{\mathcal{D}}D~ T ( 0 , k ) ( T M ) T ( 0 , k ) ( T M ) T^((0,k))(TM)T^{(0, k)}(T M)T(0,k)(TM) C C C^(oo)C^{\infty}C 構造を与えることが わかる。さらに,前節で述べた接ベクトルバンドルと同様に,局所自明化写像 の族を与えることができ, π : ( T ( 0 , k ) M , D ~ ) ( M , D ) π : T ( 0 , k ) M , D ~ ( M , D ) pi:(T^((0,k))M,( widetilde(D)))rarr(M,D)\pi:\left(T^{(0, k)} M, \widetilde{\mathcal{D}}\right) \rightarrow(M, \mathcal{D})π:(T(0,k)M,D~)(M,D) が階数 n k n k n^(k)n^{k}nk C C C^(oo)C^{\infty}C 級実 ベクトルバンドルになることが示される。この実ベクトルバンドルは,Mの k k k\boldsymbol{k}k 次共変テンソルバンドル(covariant tensor bundle of degree k k k\boldsymbol{k}k ) と よばれる。明らかに, M M MMM 上の C s C s C^(s)C^{s}Cs 級の k k kkk 次共変テンソル場は T ( 0 , k ) ( T M ) T ( 0 , k ) ( T M ) T^((0,k))(TM)T^{(0, k)}(T M)T(0,k)(TM) C s C s C^(s)C^{s}Cs 切断とみなされる ( 0 s r ) ( 0 s r ) (0 <= s <= r)(0 \leq s \leq r)(0sr). 同様に, M M MMM ( 1 , k ) ( 1 , k ) (1,k)(1, k)(1,k) 次テンソルバンド ル π : T ( 1 , k ) ( T M ) M π : T ( 1 , k ) ( T M ) M pi:T^((1,k))(TM)rarr M\pi: T^{(1, k)}(T M) \rightarrow Mπ:T(1,k)(TM)M が階数 n k + 1 n k + 1 n^(k+1)n^{k+1}nk+1 C C C^(oo)C^{\infty}C 級実ベクトルバンドルとして定義され, M M MMM 上の C s C s C^(s)C^{s}Cs 級の ( 1 , k ) ( 1 , k ) (1,k)(1, k)(1,k) 次テンソル場は T ( 1 , k ) ( T M ) T ( 1 , k ) ( T M ) T^((1,k))(TM)T^{(1, k)}(T M)T(1,k)(TM) C s C s C^(s)C^{s}Cs 切断とみな される ( 0 s r ) ( 0 s r ) (0 <= s <= r)(0 \leq s \leq r)(0sr).
M M MMM 上の k k kkk 次共変テンソル場 ω ω omega\omegaω で各 p M p M p in Mp \in MpM に対し ω p ω p omega_(p)\omega_{p}ωp k k kkk 次交代形式であ るようなものを k k k\boldsymbol{k}k 次微分形式という。 2.2 節で述べた事実によれば, T p M T p M T_(p)MT_{p} MTpM 上 の k k kkk 次交代形式の全体 k ( T p M ) k T p M ^^^(k)(T_(p)^(**)M)\wedge^{k}\left(T_{p}^{*} M\right)k(TpM) は, T ( 0 , k ) ( T p M ) T ( 0 , k ) T p M T^((0,k))(T_(p)M)\mathcal{T}^{(0, k)}\left(T_{p} M\right)T(0,k)(TpM) n C k n C k _(n)C_(k){ }_{n} C_{k}nCk 次元部分ベクトル 空間になり, p p ppp のまわりの局所チャート ( U , φ = ( x 1 , , x n ) ) U , φ = x 1 , , x n (U,varphi=(x_(1),dots,x_(n)))\left(U, \varphi=\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)\right)(U,φ=(x1,,xn)) に対し,
( ( d x i 1 ) p ( d x i k ) p ) 1 i 1 < < i k n d x i 1 p d x i k p 1 i 1 < < i k n ((dx_(i_(1)))_(p)^^cdots^^(dx_(i_(k)))_(p))_(1 <= i_(1) < cdots < i_(k) <= n)\left(\left(d x_{i_{1}}\right)_{p} \wedge \cdots \wedge\left(d x_{i_{k}}\right)_{p}\right)_{1 \leq i_{1}<\cdots<i_{k} \leq n}((dxi1)p(dxik)p)1i1<<ikn
k ( T p M ) k T p M ^^^(k)(T_(p)^(**)M)\wedge^{k}\left(T_{p}^{*} M\right)k(TpM) の基底を与える. k ( T M ) := ⨿ p M k ( T p M ) k T M := ⨿ p M k T p M ^^^(k)(T^(**)M):=⨿_(p in M)^^^(k)(T_(p)^(**)M)\wedge^{k}\left(T^{*} M\right):=\underset{p \in M}{\amalg} \wedge^{k}\left(T_{p}^{*} M\right)k(TM):=⨿pMk(TpM) とし, π π pi\piπ : k ( T M ) M k T M M ^^^(k)(T^(**)M)rarr M\wedge^{k}\left(T^{*} M\right) \rightarrow Mk(TM)M k ( T M ) k T M ^^^(k)(T^(**)M)\wedge^{k}\left(T^{*} M\right)k(TM) の各元 ω ω omega\omegaω に対し, ω k ( T p M ) ω k T p M omega in^^^(k)(T_(p)^(**)M)\omega \in \wedge^{k}\left(T_{p}^{*} M\right)ωk(TpM) となる p p ppp を 対応させることにより定義する. 各 ( U , φ = ( x 1 , , x n ) ) D U , φ = x 1 , , x n D (U,varphi=(x_(1),dots,x_(n)))inD\left(U, \varphi=\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)\right) \in \mathcal{D}(U,φ=(x1,,xn))D に対し, U ~ := U ~ := widetilde(U):=\widetilde{U}:=U~:= π 1 ( U ) π 1 ( U ) pi^(-1)(U)\pi^{-1}(U)π1(U) とし, また, φ ~ : U ~ R n + n C k φ ~ : U ~ R n + n C k widetilde(varphi): widetilde(U)rarrR^(n+_(n)C_(k))\widetilde{\varphi}: \widetilde{U} \rightarrow \mathbb{R}^{n+{ }_{n} C_{k}}φ~:U~Rn+nCk
φ ~ ( ω ) := ( x 1 ( π ( ω ) ) , , x n ( π ( ω ) ) , ( ω i 1 , , i k ) 1 i 1 < < i k n ) ( ω U ~ ) ( ω = 1 i 1 < < i k n ω i 1 , , i k ( d x i 1 ) π ( ω ) ( d x i k ) π ( ω ) ) φ ~ ( ω ) := x 1 ( π ( ω ) ) , , x n ( π ( ω ) ) , ω i 1 , , i k 1 i 1 < < i k n ( ω U ~ ) ω = 1 i 1 < < i k n ω i 1 , , i k d x i 1 π ( ω ) d x i k π ( ω ) {:[ widetilde(varphi)(omega):=(x_(1)(pi(omega)),dots,x_(n)(pi(omega)),(omega_(i_(1),dots,i_(k)))_(1 <= i_(1) < dots < i_(k) <= n))quad(omega in widetilde(U))],[(omega=sum_(1 <= i_(1) < cdots < i_(k) <= n)omega_(i_(1),dots,i_(k))(dx_(i_(1)))_(pi(omega))^^cdots^^(dx_(i_(k)))_(pi(omega)))]:}\begin{gathered} \widetilde{\varphi}(\omega):=\left(x_{1}(\pi(\omega)), \ldots, x_{n}(\pi(\omega)),\left(\omega_{i_{1}, \ldots, i_{k}}\right)_{1 \leq i_{1}<\ldots<i_{k} \leq n}\right) \quad(\omega \in \widetilde{U}) \\ \left(\omega=\sum_{1 \leq i_{1}<\cdots<i_{k} \leq n} \omega_{i_{1}, \ldots, i_{k}}\left(d x_{i_{1}}\right)_{\pi(\omega)} \wedge \cdots \wedge\left(d x_{i_{k}}\right)_{\pi(\omega)}\right) \end{gathered}φ~(ω):=(x1(π(ω)),,xn(π(ω)),(ωi1,,ik)1i1<<ikn)(ωU~)(ω=1i1<<iknωi1,,ik(dxi1)π(ω)(dxik)π(ω))
によって定義する. このとき k ( T M ) k T M ^^^(k)(T^(**)M)\wedge^{k}\left(T^{*} M\right)k(TM) に, U ~ U ~ widetilde(U)\widetilde{U}U~ たちを開集合とし, φ ~ φ ~ widetilde(varphi)\widetilde{\varphi}φ~ たちを 同相写像とするような位相が一意的に決まり(この位相は第 2 可算公理を満 たすハウスドルフ位相になる), D ~ := { ( U ~ , φ ~ ) ( U , φ ) D } D ~ := { ( U ~ , φ ~ ) ( U , φ ) D } widetilde(D):={( widetilde(U), widetilde(varphi))∣(U,varphi)inD}\widetilde{\mathcal{D}}:=\{(\widetilde{U}, \widetilde{\varphi}) \mid(U, \varphi) \in \mathcal{D}\}D~:={(U~,φ~)(U,φ)D} は, この第 2 可算公理を満たすハウスドルフ空間 k ( T M ) k T M ^^^(k)(T^(**)M)\wedge^{k}\left(T^{*} M\right)k(TM) C C C^(oo)C^{\infty}C 構造を与える.また, π : ( k ( T M ) , D ~ ) ( M , D ) π : k T M , D ~ ( M , D ) pi:(^^^(k)(T^(**)M),( widetilde(D)))rarr(M,D)\pi:\left(\wedge^{k}\left(T^{*} M\right), \widetilde{\mathcal{D}}\right) \rightarrow(M, \mathcal{D})π:(k(TM),D~)(M,D) は, 階数 n C k n C k _(n)C_(k){ }_{n} C_{k}nCk C C C^(oo)C^{\infty}C 級実ベクトルバンドルにな ることが示される。この実ベクトルバンドルを M M MMM k k k\boldsymbol{k}k 次外積バンドル(exterior product bundle of degree k k k\boldsymbol{k}k ) という. 明らかに, M M MMM 上の C s C s C^(s)C^{s}Cs 級の k k kkk 次微分形式は k ( T M ) k T M ^^^(k)(T^(**)M)\wedge^{k}\left(T^{*} M\right)k(TM) C s C s C^(s)C^{s}Cs 切断とみなされる ( 0 s r ) ( 0 s r ) (0 <= s <= r)(0 \leq s \leq r)(0sr).
この節の終わりに, 微分形式の引き戻しを定義しておこう. f f fff C C C^(oo)C^{\infty}C 多様体 M M MMM から C C C^(oo)C^{\infty}C 多様体 N N NNN への C r C r C^(r)C^{r}Cr 写像とし, ω ω omega\omegaω N N NNN 上の C C C^(oo)C^{\infty}C 級の k k kkk 次微分形式とする. このとき, M M MMM 上の k k kkk 次微分形式 f ω f ω f^(**)omegaf^{*} \omegafω
( f ω ) p ( v 1 , , v k ) := ω f ( p ) ( d f p ( v 1 ) , , d f p ( v k ) ) ( p M , v 1 , , v k T p M ) f ω p v 1 , , v k := ω f ( p ) d f p v 1 , , d f p v k p M , v 1 , , v k T p M {:[(f^(**)omega)_(p)(v_(1),dots,v_(k)):=omega_(f(p))(df_(p)(v_(1)),dots,df_(p)(v_(k)))],[(p in M,quadv_(1),dots,v_(k)inT_(p)M)]:}\begin{array}{r} \left(f^{*} \omega\right)_{p}\left(\boldsymbol{v}_{1}, \ldots, \boldsymbol{v}_{k}\right):=\omega_{f(p)}\left(d f_{p}\left(\boldsymbol{v}_{1}\right), \ldots, d f_{p}\left(\boldsymbol{v}_{k}\right)\right) \\ \left(p \in M, \quad \boldsymbol{v}_{1}, \ldots, \boldsymbol{v}_{k} \in T_{p} M\right) \end{array}(fω)p(v1,,vk):=ωf(p)(dfp(v1),,dfp(vk))(pM,v1,,vkTpM)
によって定義する. これは, M M MMM 上の C r 1 C r 1 C^(r-1)C^{r-1}Cr1 級の k k kkk 次微分形式になることが容易に示される。 f ω f ω f^(**)omegaf^{*} \omegafω ω ω omega\boldsymbol{\omega}ω f f f\boldsymbol{f}f による引き戻し(the pull-back of ω ω omega\boldsymbol{\omega}ω by f f f\boldsymbol{f}f ) という.

3.9 多様体の向き

1.2 節において, ベクトル空間の向きを定義した. この節において, この概念を用いて C C C^(oo)C^{\infty}C 多様体の向きを定義しよう。 M M MMM n n nnn 次元 C C C^(oo)C^{\infty}C 多様体とする. 1.2 節の表記に従って, T p M T p M T_(p)MT_{p} MTpM の向きの全体を O ( T p M ) O T p M O(T_(p)M)\mathcal{O}\left(T_{p} M\right)O(TpM) と表すことにする. 各点 p M p M p in Mp \in MpM に対し, O ( T p M ) O T p M O(T_(p)M)\mathcal{O}\left(T_{p} M\right)O(TpM) の元 O p O p O_(p)O_{p}Op を対応させる対応 O O OOO で, 次の条件を満た すものを M M MMM の向き(orientation) とよぶ:
( (:}\left(\right.( 各点 p 0 M p 0 M p_(0)in Mp_{0} \in Mp0M に対し, p 0 p 0 p_(0)p_{0}p0 のまわりの局所チャート ( U , φ = ( x 1 , , x n ) ) U , φ = x 1 , , x n (U,varphi=(x_(1),dots,x_(n)))\left(U, \varphi=\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)\right)(U,φ=(x1,,xn)) で,
[ ( ( x 1 ) p , , ( x n ) p ) ] = O p ( p U ) x 1 p , , x n p = O p ( p U ) [(((del)/(delx_(1)))_(p),dots,((del)/(delx_(n)))_(p))]=O_(p)quad(AA p in U)\left[\left(\left(\frac{\partial}{\partial x_{1}}\right)_{p}, \ldots,\left(\frac{\partial}{\partial x_{n}}\right)_{p}\right)\right]=O_{p} \quad(\forall p \in U)[((x1)p,,(xn)p)]=Op(pU)
となるようなものが存在する.
一般に, M M MMM は向きを許容するとは限らない。 M M MMM が向きを許容するとき, M M MMM は向き付け可能(orientable)であるといい, M M MMM が向きを許容しないとき, M M MMM は向き付け不可能(non-orientable)であるという。 M M MMM は向き付け可能 であるとき, M M MMM M M MMM の向き O O OOO の組 ( M , O ) ( M , O ) (M,O)(M, O)(M,O) を向き付けられた多様体(oriented manifold) という. 向き付けられた多様体 ( M , O ) ( M , O ) (M,O)(M, O)(M,O) に対し, M M MMM の局所チャート ( U , φ = ( x 1 , , x n ) ) U , φ = x 1 , , x n (U,varphi=(x_(1),dots,x_(n)))\left(U, \varphi=\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)\right)(U,φ=(x1,,xn)) で次の条件を満たすようなものを ( M , O ) ( M , O ) (M,O)(M, O)(M,O) の 正の局所チャート(positive local chart)という:
[ ( ( x 1 ) p , , ( x n ) p ) ] = O p ( p U ) x 1 p , , x n p = O p ( p U ) [(((del)/(delx_(1)))_(p),dots,((del)/(delx_(n)))_(p))]=O_(p)quad(AA p in U)\left[\left(\left(\frac{\partial}{\partial x_{1}}\right)_{p}, \ldots,\left(\frac{\partial}{\partial x_{n}}\right)_{p}\right)\right]=O_{p} \quad(\forall p \in U)[((x1)p,,(xn)p)]=Op(pU)
命題 3.9.1 n n nnn 次元 C C C^(oo)C^{\infty}C 多様体 M M MMM が向き付け可能であることと, M M MMM 上の至 る所零テンソルでない C C C^(oo)C^{\infty}C 級の n n nnn 次微分形式が存在することは,同値である.
証明 M M MMM 上の至る所 0 でない C C C^(oo)C^{\infty}C 級の n n nnn 次微分形式 ω ω omega\omegaω が存在するとする. このとき, 各点 p M p M p in Mp \in MpM に対し, ω p ( e 1 , , e n ) > 0 ω p e 1 , , e n > 0 omega_(p)(e_(1),dots,e_(n)) > 0\omega_{p}\left(\boldsymbol{e}_{1}, \ldots, \boldsymbol{e}_{n}\right)>0ωp(e1,,en)>0 となる T p M T p M T_(p)MT_{p} MTpM の基底 ( e 1 , , e n ) e 1 , , e n (e_(1),dots,e_(n))\left(\boldsymbol{e}_{1}, \ldots, \boldsymbol{e}_{n}\right)(e1,,en) をとり, T p M T p M T_(p)MT_{p} MTpM の向き O p O p O_(p)O_{p}Op O p := [ ( e 1 , , e n ) ] O p := e 1 , , e n O_(p):=[(e_(1),dots,e_(n))]O_{p}:=\left[\left(\boldsymbol{e}_{1}, \ldots, \boldsymbol{e}_{n}\right)\right]Op:=[(e1,,en)] によって定め る. O p O p O_(p)O_{p}Op が well-defined であることを示そう. ω p ( e 1 , , e n ) > 0 ω p e ¯ 1 , , e ¯ n > 0 omega_(p)( bar(e)_(1),dots, bar(e)_(n)) > 0\omega_{p}\left(\overline{\boldsymbol{e}}_{1}, \ldots, \overline{\boldsymbol{e}}_{n}\right)>0ωp(e1,,en)>0 となる T p M T p M T_(p)MT_{p} MTpM の基底 ( e 1 , , e n ) e ¯ 1 , , e ¯ n ( bar(e)_(1),dots, bar(e)_(n))\left(\overline{\boldsymbol{e}}_{1}, \ldots, \overline{\boldsymbol{e}}_{n}\right)(e1,,en) をもう 1 つとる。 e i = j = 1 n a i j e j ( i = 1 , , n ) e ¯ i = j = 1 n a i j e j ( i = 1 , , n ) bar(e)_(i)=sum_(j=1)^(n)a_(ij)e_(j)(i=1,dots,n)\overline{\boldsymbol{e}}_{i}=\sum_{j=1}^{n} a_{i j} \boldsymbol{e}_{j}(i=1, \ldots, n)ei=j=1naijej(i=1,,n) とする。 このとき, ω ω omega\omegaω の交代性を用いて,
ω p ( e 1 , , e n ) = det ( a i j ) ω p ( e 1 , , e n ) ω p e ¯ 1 , , e ¯ n = det a i j ω p e 1 , , e n omega_(p)( bar(e)_(1),dots, bar(e)_(n))=det(a_(ij))omega_(p)(e_(1),dots,e_(n))\omega_{p}\left(\overline{\boldsymbol{e}}_{1}, \ldots, \overline{\boldsymbol{e}}_{n}\right)=\operatorname{det}\left(a_{i j}\right) \omega_{p}\left(\boldsymbol{e}_{1}, \ldots, \boldsymbol{e}_{n}\right)ωp(e1,,en)=det(aij)ωp(e1,,en)
が示され,それゆえ, det ( a i j ) > 0 [ ( e 1 , , e n ) ] = [ ( e 1 , , e n ) ] det a i j > 0 e 1 , , e n = e ¯ 1 , , e ¯ n det(a_(ij)) > 0,つまり[(e_(1),dots,e_(n))]=[( bar(e)_(1),dots, bar(e)_(n))]\operatorname{det}\left(a_{i j}\right)>0 , つ ま り\left[\left(\boldsymbol{e}_{1}, \ldots, \boldsymbol{e}_{n}\right)\right]=\left[\left(\overline{\boldsymbol{e}}_{1}, \ldots, \overline{\boldsymbol{e}}_{n}\right)\right]det(aij)>0[(e1,,en)]=[(e1,,en)] が わかる. このように, O p O p O_(p)O_{p}Op はwell-defined である. 次に, 各点 p M p M p in Mp \in MpM O p O p O_(p)O_{p}Op を 対応させる対応 O O OOO M M MMM の向きを与えることを示そう. 任意に, p 0 M p 0 M p_(0)in Mp_{0} \in Mp0M をと る. さらに, p 0 p 0 p_(0)p_{0}p0 のまわりの局所チャート ( U , φ = ( x 1 , , x n ) ) U , φ = x 1 , , x n (U,varphi=(x_(1),dots,x_(n)))\left(U, \varphi=\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)\right)(U,φ=(x1,,xn)) を任意にとろ う. ω ω omega\omegaω は至る所零テンソルでないので,
ω ( x 1 , , x n ) : U R ω x 1 , , x n : U R omega((del)/(delx_(1)),dots,(del)/(delx_(n))):U rarrR\omega\left(\frac{\partial}{\partial x_{1}}, \ldots, \frac{\partial}{\partial x_{n}}\right): U \rightarrow \mathbb{R}ω(x1,,xn):UR
は零点をもたない。つまり,恒等的に正になるか,または恒等的に負になる.恒等的に正になる場合,
O p = [ ( ( x 1 ) p , , ( x n ) p ) ] ( p U ) O p = x 1 p , , x n p ( p U ) O_(p)=[(((del)/(delx_(1)))_(p),dots,((del)/(delx_(n)))_(p))]quad(p in U)O_{p}=\left[\left(\left(\frac{\partial}{\partial x_{1}}\right)_{p}, \ldots,\left(\frac{\partial}{\partial x_{n}}\right)_{p}\right)\right] \quad(p \in U)Op=[((x1)p,,(xn)p)](pU)
が示される。恒等的に負になる場合, ψ = ( y 1 , , y n ) : U R n ψ = y 1 , , y n : U R n psi=(y_(1),dots,y_(n)):U rarrR^(n)\psi=\left(y_{1}, \ldots, y_{n}\right): U \rightarrow \mathbb{R}^{n}ψ=(y1,,yn):URn
ψ ( p ) := ( x 1 ( p ) , x 2 ( p ) , , x n ( p ) ) ( p U ) ψ ( p ) := x 1 ( p ) , x 2 ( p ) , , x n ( p ) ( p U ) psi(p):=(-x_(1)(p),x_(2)(p),dots,x_(n)(p))quad(p in U)\psi(p):=\left(-x_{1}(p), x_{2}(p), \ldots, x_{n}(p)\right) \quad(p \in U)ψ(p):=(x1(p),x2(p),,xn(p))(pU)
によって定義すると, ( U , ψ ) ( U , ψ ) (U,psi)(U, \psi)(U,ψ) M M MMM の局所チャートになり,
ω ( y 1 , , y n ) : U R ω y 1 , , y n : U R omega((del)/(dely_(1)),dots,(del)/(dely_(n))):U rarrR\omega\left(\frac{\partial}{\partial y_{1}}, \ldots, \frac{\partial}{\partial y_{n}}\right): U \rightarrow \mathbb{R}ω(y1,,yn):UR
は恒等的に正になり, それゆえ,
O p = [ ( ( y 1 ) p , , ( y n ) p ) ] ( p U ) O p = y 1 p , , y n p ( p U ) O_(p)=[(((del)/(dely_(1)))_(p),dots,((del)/(dely_(n)))_(p))]quad(p in U)O_{p}=\left[\left(\left(\frac{\partial}{\partial y_{1}}\right)_{p}, \ldots,\left(\frac{\partial}{\partial y_{n}}\right)_{p}\right)\right] \quad(p \in U)Op=[((y1)p,,(yn)p)](pU)
が示される. このように, いずれの場合も, p 0 p 0 p_(0)p_{0}p0 のまわりの局所チャートで正 の局所チャートとよぶべきものがとれるので, 対応 O O OOO M M MMM の向きを与えるこ とがわかり, M M MMM が向き付け可能であることが示される.
次に, 逆を示すことにする。 M M MMM が向き付け可能であるとし, O O OOO M M MMM の向 きとする. 各点 p M p M p in Mp \in MpM に対し, ( O O (O:}\left(O\right.(O に関して) 正の局所チャート ( U p , φ p = U p , φ p = (U_(p),varphi_(p)=:}\left(U_{p}, \varphi_{p}=\right.(Up,φp= ( x 1 p , , x n p ) ) x 1 p , , x n p {:(x_(1)^(p),dots,x_(n)^(p)))\left.\left(x_{1}^{p}, \ldots, x_{n}^{p}\right)\right)(x1p,,xnp)) をとる。命題 3.1 .3 により, C C C^(oo)C^{\infty}C 級関数からなる M M MMM の開被覆 { U p } p M U p p M {U_(p)}_(p in M)\left\{U_{p}\right\}_{p \in M}{Up}pM に従属する 1 の分割 { ρ λ } λ Λ ρ λ λ Λ {rho_(lambda)}_(lambda in Lambda)\left\{\rho_{\lambda}\right\}_{\lambda \in \Lambda}{ρλ}λΛ が存在する。また, 開被覆に従属する 1 の分割の定義より, 各 λ Λ λ Λ lambda in Lambda\lambda \in \LambdaλΛ に対し supp ρ λ U p λ supp ρ λ U p λ supprho_(lambda)subU_(p_(lambda))\operatorname{supp} \rho_{\lambda} \subset U_{p_{\lambda}}suppρλUpλ となる p λ p λ p_(lambda)p_{\lambda}pλ が存在する. φ p λ = ( x 1 λ , , x n λ ) φ p λ = x 1 λ , , x n λ varphi_(p_(lambda))=(x_(1)^(lambda),dots,x_(n)^(lambda))\varphi_{p_{\lambda}}=\left(x_{1}^{\lambda}, \ldots, x_{n}^{\lambda}\right)φpλ=(x1λ,,xnλ) とする。 M M MMM 上の n n nnn 次微分形式 ω ω omega\omegaω を次式によって定義す る:
ω := λ Λ ρ λ ( d x 1 λ d x n λ ) ω := λ Λ ρ λ d x 1 λ d x n λ omega:=sum_(lambda in Lambda)rho_(lambda)*(dx_(1)^(lambda)^^cdots^^dx_(n)^(lambda))\omega:=\sum_{\lambda \in \Lambda} \rho_{\lambda} \cdot\left(d x_{1}^{\lambda} \wedge \cdots \wedge d x_{n}^{\lambda}\right)ω:=λΛρλ(dx1λdxnλ)
ここで,右辺の各項は ρ λ ( d x 1 λ d x n λ ) ρ λ d x 1 λ d x n λ rho_(lambda)*(dx_(1)^(lambda)^^cdots^^dx_(n)^(lambda))\rho_{\lambda} \cdot\left(d x_{1}^{\lambda} \wedge \cdots \wedge d x_{n}^{\lambda}\right)ρλ(dx1λdxnλ) U λ U λ U_(lambda)U_{\lambda}Uλ の外で 0 になるように拡張 した M M MMM 上の n n nnn 次微分形式を表す. ω ω omega\omegaω が, C C C^(oo)C^{\infty}C n n nnn 次微分形式であることは容
易に確かめられる. ω ω omega\omegaω が至る所䨐テンソルでないことを示そう. q M q M q in Mq \in MqM を任意にとる. { supp ρ λ } λ Λ supp ρ λ λ Λ {supprho_(lambda)}_(lambda in Lambda)\left\{\operatorname{supp} \rho_{\lambda}\right\}_{\lambda \in \Lambda}{suppρλ}λΛ は局所有限なので, { λ Λ ρ λ ( q ) 0 } λ Λ ρ λ ( q ) 0 {lambda in Lambda∣rho_(lambda)(q)!=0}\left\{\lambda \in \Lambda \mid \rho_{\lambda}(q) \neq 0\right\}{λΛρλ(q)0} は有限集合 である. この有限集合を { λ 1 , , λ k } λ 1 , , λ k {lambda_(1),dots,lambda_(k)}\left\{\lambda_{1}, \ldots, \lambda_{k}\right\}{λ1,,λk} とし,
( d x 1 p λ i d x n p λ i ) q = a i ( d x 1 p λ 1 d x n p λ 1 ) q ( i = 1 , , k ) d x 1 p λ i d x n p λ i q = a i d x 1 p λ 1 d x n p λ 1 q ( i = 1 , , k ) (dx_(1)^(p_(lambda_(i)))^^cdots^^dx_(n)^(p_(lambda_(i))))_(q)=a_(i)(dx_(1)^(p_(lambda_(1)))^^cdots^^dx_(n)^(p_(lambda_(1))))_(q)quad(i=1,dots,k)\left(d x_{1}^{p_{\lambda_{i}}} \wedge \cdots \wedge d x_{n}^{p_{\lambda_{i}}}\right)_{q}=a_{i}\left(d x_{1}^{p_{\lambda_{1}}} \wedge \cdots \wedge d x_{n}^{p_{\lambda_{1}}}\right)_{q} \quad(i=1, \ldots, k)(dx1pλidxnpλi)q=ai(dx1pλ1dxnpλ1)q(i=1,,k)
とする. ( U p λ i , φ p λ i = ( x 1 p λ i , , x n p λ i ) ) ( i = 1 , , k ) U p λ i , φ p λ i = x 1 p λ i , , x n p λ i ( i = 1 , , k ) (U_(p_(lambda_(i))),varphi_(p_(lambda_(i)))=(x_(1)^(p_(lambda_(i))),dots,x_(n)^(p_(lambda_(i)))))(i=1,dots,k)\left(U_{p_{\lambda_{i}}}, \varphi_{p_{\lambda_{i}}}=\left(x_{1}^{p_{\lambda_{i}}}, \ldots, x_{n}^{p_{\lambda_{i}}}\right)\right)(i=1, \ldots, k)(Upλi,φpλi=(x1pλi,,xnpλi))(i=1,,k) は正の局所チャートな ので, a i > 0 a i > 0 a_(i) > 0a_{i}>0ai>0 であることがわかる.
ω q = i = 1 k ρ λ i ( q ) ( d x 1 p λ i d x n p λ i ) q = ( i = 1 k ρ λ i ( q ) a i ) ( d x 1 p λ 1 d x n p λ 1 ) q ω q = i = 1 k ρ λ i ( q ) d x 1 p λ i d x n p λ i q = i = 1 k ρ λ i ( q ) a i d x 1 p λ 1 d x n p λ 1 q {:[omega_(q)=sum_(i=1)^(k)rho_(lambda_(i))(q)*(dx_(1)^(p_(lambda_(i)))^^cdots^^dx_(n)^(p_(lambda_(i))))_(q)],[=(sum_(i=1)^(k)rho_(lambda_(i))(q)a_(i))*(dx_(1)^(p_(lambda_(1)))^^cdots^^dx_(n)^(p_(lambda_(1))))_(q)]:}\begin{aligned} \omega_{q} & =\sum_{i=1}^{k} \rho_{\lambda_{i}}(q) \cdot\left(d x_{1}^{p_{\lambda_{i}}} \wedge \cdots \wedge d x_{n}^{p_{\lambda_{i}}}\right)_{q} \\ & =\left(\sum_{i=1}^{k} \rho_{\lambda_{i}}(q) a_{i}\right) \cdot\left(d x_{1}^{p_{\lambda_{1}}} \wedge \cdots \wedge d x_{n}^{p_{\lambda_{1}}}\right)_{q} \end{aligned}ωq=i=1kρλi(q)(dx1pλidxnpλi)q=(i=1kρλi(q)ai)(dx1pλ1dxnpλ1)q
となり, かつ i = 1 k ρ λ i ( q ) a i > 0 i = 1 k ρ λ i ( q ) a i > 0 sum_(i=1)^(k)rho_(lambda_(i))(q)a_(i) > 0\sum_{i=1}^{k} \rho_{\lambda_{i}}(q) a_{i}>0i=1kρλi(q)ai>0 が示されるので, ω q 0 ω q 0 omega_(q)!=0\omega_{q} \neq \mathbf{0}ωq0 をえる. このように, ω ω omega\omegaω が至る所零テンソルでない C C C^(oo)C^{\infty}C 級の n n nnn 次微分形式であることが示される.
この節の終わりに, 向き付け不可能な C C C^(oo)C^{\infty}C 多様体から, 向き付け可能な C C C^(oo)C^{\infty}C 多様体を 2 重被覆空間として構成する方法を紹介しておこう. ( M , D ) ( M , D ) (M,D)(M, \mathcal{D})(M,D) を 向き付け不可能な n n nnn 次元 C C C^(oo)C^{\infty}C 多様体とする. O ( M ) O ( M ) O(M)\mathcal{O}(M)O(M) O ( M ) := ⨿ p M O ( T p M ) O ( M ) := ⨿ p M O T p M O(M):=⨿_(p in M)O(T_(p)M)\mathcal{O}(M):=\underset{p \in M}{\amalg} \mathcal{O}\left(T_{p} M\right)O(M):=⨿pMO(TpM) によって定義し, π : O ( M ) M π : O ( M ) M pi:O(M)rarr M\pi: \mathcal{O}(M) \rightarrow Mπ:O(M)M を自然な射影(つまり π ( O ( T p M ) ) = { p } π O T p M = { p } pi(O(T_(p)M))={p}\pi\left(\mathcal{O}\left(T_{p} M\right)\right)=\{p\}π(O(TpM))={p} ( p M ) ( p M ) (p in M)(p \in M)(pM) ) とする。明らかに, π π pi\piπ 2 1 2 1 2:12 : 121 の写像である。各 ( U , φ = ( x 1 , U , φ = x 1 , (U,varphi=(x_(1),dots:}\left(U, \varphi=\left(x_{1}, \ldots\right.\right.(U,φ=(x1,, x n ) ) D x n D {:x_(n)))inD\left.\left.x_{n}\right)\right) \in \mathcal{D}xn))D に対し, U ~ φ ± U ~ φ ± widetilde(U)_(varphi)^(+-)\widetilde{U}_{\varphi}^{ \pm}U~φ±
U ~ φ + := { [ ( ( x 1 ) p , , ( x n ) p ) ] | p U } U ~ φ := { [ ( ( x 1 ) p , , ( x n ) p ) ] | p U } U ~ φ + := x 1 p , , x n p p U U ~ φ := x 1 p , , x n p p U {:[ widetilde(U)_(varphi)^(+):={[(((del)/(delx_(1)))_(p),dots,((del)/(delx_(n)))_(p))]|p in U}],[ widetilde(U)_(varphi)^(-):={[(-((del)/(delx_(1)))_(p),dots,((del)/(delx_(n)))_(p))]|p in U}]:}\begin{aligned} & \widetilde{U}_{\varphi}^{+}:=\left\{\left.\left[\left(\left(\frac{\partial}{\partial x_{1}}\right)_{p}, \ldots,\left(\frac{\partial}{\partial x_{n}}\right)_{p}\right)\right] \right\rvert\, p \in U\right\} \\ & \widetilde{U}_{\varphi}^{-}:=\left\{\left.\left[\left(-\left(\frac{\partial}{\partial x_{1}}\right)_{p}, \ldots,\left(\frac{\partial}{\partial x_{n}}\right)_{p}\right)\right] \right\rvert\, p \in U\right\} \end{aligned}U~φ+:={[((x1)p,,(xn)p)]|pU}U~φ:={[((x1)p,,(xn)p)]|pU}
によって定義し, φ ~ ± : U ~ φ ± R n φ ~ ± : U ~ φ ± R n widetilde(varphi)_(+-): widetilde(U)_(varphi)^(+-)rarrR^(n)\widetilde{\varphi}_{ \pm}: \widetilde{U}_{\varphi}^{ \pm} \rightarrow \mathbb{R}^{n}φ~±:U~φ±Rn を, φ ~ ± := ( φ π ) | U ~ φ φ ~ ± := ( φ π ) U ~ φ widetilde(varphi)_(+-):=(varphi@pi)|_( widetilde(U)_(varphi))\widetilde{\varphi}_{ \pm}:=\left.(\varphi \circ \pi)\right|_{\widetilde{U}_{\varphi}}φ~±:=(φπ)|U~φ によって定義する. こ のとき, U ~ φ + , U ~ φ U ~ φ + , U ~ φ widetilde(U)_(varphi)^(+), widetilde(U)_(varphi)^(-)\widetilde{U}_{\varphi}^{+}, \widetilde{U}_{\varphi}^{-}U~φ+,U~φたちを開集合とし, 各 φ ~ + , φ ~ φ ~ + , φ ~ widetilde(varphi)_(+), widetilde(varphi)_(-)\widetilde{\varphi}_{+}, \widetilde{\varphi}_{-}φ~+,φ~たちを R n R n R^(n)\mathbb{R}^{n}Rn のある開集合への 同相写像とするような O ( M ) O ( M ) O(M)\mathcal{O}(M)O(M) の第 2 可算公理を満たすハウスドルフ位相 O O O\mathcal{O}O が 一意に定まる. さらに,
D ~ := { ( U ~ φ + , φ ~ + ) ( U , φ ) D } { ( U ~ φ , φ ~ ) ( U , φ ) D } D ~ := U ~ φ + , φ ~ + ( U , φ ) D U ~ φ , φ ~ ( U , φ ) D widetilde(D):={( widetilde(U)_(varphi)^(+), widetilde(varphi)_(+))∣(U,varphi)inD}uu{( widetilde(U)_(varphi)^(-), widetilde(varphi)_(-))∣(U,varphi)inD}\widetilde{\mathcal{D}}:=\left\{\left(\widetilde{U}_{\varphi}^{+}, \widetilde{\varphi}_{+}\right) \mid(U, \varphi) \in \mathcal{D}\right\} \cup\left\{\left(\widetilde{U}_{\varphi}^{-}, \widetilde{\varphi}_{-}\right) \mid(U, \varphi) \in \mathcal{D}\right\}D~:={(U~φ+,φ~+)(U,φ)D}{(U~φ,φ~)(U,φ)D}
が, このハウスドルフ空間 ( O ( M ) , O ) ( O ( M ) , O ) (O(M),O)(\mathcal{O}(M), \mathcal{O})(O(M),O) C C C^(oo)C^{\infty}C 構造を与えることが示される. また容易に, ( O ( M ) , O ~ ) ( O ( M ) , O ~ ) (O(M), widetilde(O))(\mathcal{O}(M), \widetilde{\mathcal{O}})(O(M),O~) が向き付け可能な n n nnn 次元 C C C^(oo)C^{\infty}C 多様体であること,お よび, π : ( O ( M ) , D ~ ) ( M , D ) π : ( O ( M ) , D ~ ) ( M , D ) pi:(O(M), widetilde(D))rarr(M,D)\pi:(\mathcal{O}(M), \widetilde{\mathcal{D}}) \rightarrow(M, \mathcal{D})π:(O(M),D~)(M,D) が局所 C C C^(oo)C^{\infty}C 同型写像で, 2 重被覆写像である ことが示される。このように, 向き付け不可能な C C C^(oo)C^{\infty}C 多様体から, 向き付け 可能な C C C^(oo)C^{\infty}C 多様体を 2 重被覆空間として構成することができるのである.

3.10 ストークスの定理(微分幾何学版)

この節において, 多様体論におけるストークスの定理について述べること にする。まず, 微分形式の外微分を定義しよう。 M M MMM n n nnn 次元 C C C^(oo)C^{\infty}C 多様体と し, M M MMM 上の C C C^(oo)C^{\infty}C 級の k k kkk 次微分形式の全体を Ω k ( M ) Ω k ( M ) Omega^(k)(M)\Omega^{k}(M)Ωk(M) と表す ( k = 1 , , n ) ( k = 1 , , n ) (k=1,dots,n)(k=1, \ldots, n)(k=1,,n). ここで, M M MMM 上の C C C^(oo)C^{\infty}C 級の 0 次微分形式は, M M MMM 上の C C C^(oo)C^{\infty}C 級関数を意味するの で, Ω 0 ( M ) Ω 0 ( M ) Omega^(0)(M)\Omega^{0}(M)Ω0(M) C ( M ) C ( M ) C^(oo)(M)C^{\infty}(M)C(M) を意味することを注意しておく. 写像 d 0 : Ω 0 ( M ) d 0 : Ω 0 ( M ) d_(0):Omega^(0)(M)rarrd_{0}: \Omega^{0}(M) \rightarrowd0:Ω0(M) Ω 1 ( M ) Ω 1 ( M ) Omega^(1)(M)\Omega^{1}(M)Ω1(M) を, ( d 0 f ) p = d f p ( p M ) d 0 f p = d f p ( p M ) (d_(0)f)_(p)=df_(p)(p in M)\left(d_{0} f\right)_{p}=d f_{p}(p \in M)(d0f)p=dfp(pM) によって定める。また, 写像 d k : Ω k ( M ) d k : Ω k ( M ) d_(k):Omega^(k)(M)d_{k}: \Omega^{k}(M)dk:Ωk(M) Ω k + 1 ( M ) ( 1 k n ) Ω k + 1 ( M ) ( 1 k n ) rarrOmega^(k+1)(M)(1 <= k <= n)\rightarrow \Omega^{k+1}(M)(1 \leq k \leq n)Ωk+1(M)(1kn) を, 次のように定義する. ω Ω k ( M ) ω Ω k ( M ) omega inOmega^(k)(M)\omega \in \Omega^{k}(M)ωΩk(M) とする. 各局所チャート ( U , φ = ( x 1 , , x n ) ) U , φ = x 1 , , x n (U,varphi=(x_(1),dots,x_(n)))\left(U, \varphi=\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)\right)(U,φ=(x1,,xn)) に対し, ( d ω ) ( U , φ ) Ω k + 1 ( U ) ( d ω ) ( U , φ ) Ω k + 1 ( U ) (d omega)_((U,varphi))inOmega^(k+1)(U)(d \omega)_{(U, \varphi)} \in \Omega^{k+1}(U)(dω)(U,φ)Ωk+1(U)
ω = 1 i 1 < < i k n ω i 1 i k d x i 1 d x i k ω = 1 i 1 < < i k n ω i 1 i k d x i 1 d x i k omega=sum_(1 <= i_(1) < cdots < i_(k) <= n)omega_(i_(1)cdotsi_(k))dx_(i_(1))^^cdots^^dx_(i_(k))\omega=\sum_{1 \leq i_{1}<\cdots<i_{k} \leq n} \omega_{i_{1} \cdots i_{k}} d x_{i_{1}} \wedge \cdots \wedge d x_{i_{k}}ω=1i1<<iknωi1ikdxi1dxik
として,
( d ω ) ( U , φ ) := 1 i 1 < < i k n d ( ω i 1 i k ) d x i 1 d x i k ( d ω ) ( U , φ ) := 1 i 1 < < i k n d ω i 1 i k d x i 1 d x i k (d omega)_((U,varphi)):=sum_(1 <= i_(1) < cdots < i_(k) <= n)d(omega_(i_(1)cdotsi_(k)))^^dx_(i_(1))^^cdots^^dx_(i_(k))(d \omega)_{(U, \varphi)}:=\sum_{1 \leq i_{1}<\cdots<i_{k} \leq n} d\left(\omega_{i_{1} \cdots i_{k}}\right) \wedge d x_{i_{1}} \wedge \cdots \wedge d x_{i_{k}}(dω)(U,φ):=1i1<<iknd(ωi1ik)dxi1dxik
により定める. ここで, d ( ω i 1 i k ) d ω i 1 i k d(omega_(i_(1)cdotsi_(k)))d\left(\omega_{i_{1} \cdots i_{k}}\right)d(ωi1ik) は 1 次微分形式なので, d ( ω i 1 i k ) d x i 1 d ω i 1 i k d x i 1 d(omega_(i_(1)cdotsi_(k)))^^dx_(i_(1))^^d\left(\omega_{i_{1} \cdots i_{k}}\right) \wedge d x_{i_{1}} \wedged(ωi1ik)dxi1 d x i k d x i k cdots^^dx_(i_(k))\cdots \wedge d x_{i_{k}}dxik d x i 1 d x i k d x i 1 d x i k dx_(i_(1))^^cdots^^dx_(i_(k))d x_{i_{1}} \wedge \cdots \wedge d x_{i_{k}}dxi1dxik と同様に定義されることを注意しておく. U V U V U nn V!=U \cap V \neqUV O/\emptyset となるもう 1 つの局所チャート ( V , ψ = ( y 1 , , y n ) ) V , ψ = y 1 , , y n (V,psi=(y_(1),dots,y_(n)))\left(V, \psi=\left(y_{1}, \ldots, y_{n}\right)\right)(V,ψ=(y1,,yn)) をとり, d ω ( V , ψ ) d ω ( V , ψ ) domega_((V,psi))d \omega_{(V, \psi)}dω(V,ψ)
ω = 1 i 1 < < i k n ω ¯ i 1 i k d y i 1 d y i k ω = 1 i 1 < < i k n ω ¯ i 1 i k d y i 1 d y i k omega=sum_(1 <= i_(1) < cdots < i_(k) <= n) bar(omega)_(i_(1)cdotsi_(k))dy_(i_(1))^^cdots^^dy_(i_(k))\omega=\sum_{1 \leq i_{1}<\cdots<i_{k} \leq n} \bar{\omega}_{i_{1} \cdots i_{k}} d y_{i_{1}} \wedge \cdots \wedge d y_{i_{k}}ω=1i1<<iknω¯i1ikdyi1dyik
として,
( d ω ) ( V , ψ ) := 1 i 1 < < i k n d ( ω ¯ i 1 i k ) d y i 1 d y i k ( d ω ) ( V , ψ ) := 1 i 1 < < i k n d ω ¯ i 1 i k d y i 1 d y i k (d omega)_((V,psi)):=sum_(1 <= i_(1) < cdots < i_(k) <= n)d( bar(omega)_(i_(1)cdotsi_(k)))^^dy_(i_(1))^^cdots^^dy_(i_(k))(d \omega)_{(V, \psi)}:=\sum_{1 \leq i_{1}<\cdots<i_{k} \leq n} d\left(\bar{\omega}_{i_{1} \cdots i_{k}}\right) \wedge d y_{i_{1}} \wedge \cdots \wedge d y_{i_{k}}(dω)(V,ψ):=1i1<<iknd(ω¯i1ik)dyi1dyik
により定める. このとき, U V U V U nn VU \cap VUV 上で ( d ω ) ( U , φ ) = ( d ω ) ( V , ψ ) ( d ω ) ( U , φ ) = ( d ω ) ( V , ψ ) (d omega)_((U,varphi))=(d omega)_((V,psi))(d \omega)_{(U, \varphi)}=(d \omega)_{(V, \psi)}(dω)(U,φ)=(dω)(V,ψ) が成り立つこと
が次のように示される. ( d x i ) p = j = 1 n ( ( x i ψ 1 ) y j ) ψ ( p ) ( d y j ) p d x i p = j = 1 n x i ψ 1 y j ψ ( p ) d y j p (dx_(i))_(p)=sum_(j=1)^(n)((del(x_(i)@psi^(-1)))/(dely_(j)))_(psi(p))(dy_(j))_(p)\left(d x_{i}\right)_{p}=\sum_{j=1}^{n}\left(\frac{\partial\left(x_{i} \circ \psi^{-1}\right)}{\partial y_{j}}\right)_{\psi(p)}\left(d y_{j}\right)_{p}(dxi)p=j=1n((xiψ1)yj)ψ(p)(dyj)p, および,
( d x i σ ( 1 ) ) p ( d x i σ ( k ) ) p = sgn ( σ ) ( d x i 1 ) p ( d x i k ) p d x i σ ( 1 ) p d x i σ ( k ) p = sgn ( σ ) d x i 1 p d x i k p (dx_(i_(sigma(1))))_(p)^^cdots^^(dx_(i_(sigma(k))))_(p)=sgn(sigma)*(dx_(i_(1)))_(p)^^cdots^^(dx_(i_(k)))_(p)\left(d x_{i_{\sigma(1)}}\right)_{p} \wedge \cdots \wedge\left(d x_{i_{\sigma(k)}}\right)_{p}=\operatorname{sgn}(\sigma) \cdot\left(d x_{i_{1}}\right)_{p} \wedge \cdots \wedge\left(d x_{i_{k}}\right)_{p}(dxiσ(1))p(dxiσ(k))p=sgn(σ)(dxi1)p(dxik)p
σ : k σ : k (sigma:k( \sigma: kσ:k 文字の置換)を用いて, ω i 1 i k , ω ¯ i 1 i k ω i 1 i k , ω ¯ i 1 i k omega_(i_(1)cdotsi_(k)), bar(omega)_(i_(1)cdotsi_(k))\omega_{i_{1} \cdots i_{k}}, \bar{\omega}_{i_{1} \cdots i_{k}}ωi1ik,ω¯i1ik の間の関係式(少し複雑)が 導出される。その関係式を用いて, U V U V U nn VU \cap VUV 上で ( d ω ) ( U , φ ) = ( d ω ) ( V , ψ ) ( d ω ) ( U , φ ) = ( d ω ) ( V , ψ ) (d omega)_((U,varphi))=(d omega)_((V,psi))(d \omega)_{(U, \varphi)}=(d \omega)_{(V, \psi)}(dω)(U,φ)=(dω)(V,ψ) が成 り立つことが示される. したがって, d ω ( U , φ ) ( ( U , φ ) D ) d ω ( U , φ ) ( ( U , φ ) D ) domega_((U,varphi))((U,varphi)inD)d \omega_{(U, \varphi)}((U, \varphi) \in \mathcal{D})dω(U,φ)((U,φ)D) らを貼り合わせ て M M MMM 上の C C C^(oo)C^{\infty}C ( k + 1 ) ( k + 1 ) (k+1)(k+1)(k+1) 次微分形式がえられる. この C C C^(oo)C^{\infty}C ( k + 1 ) ( k + 1 ) (k+1)(k+1)(k+1) 次微分形式を d k ω d k ω d_(k)omegad_{k} \omegadkω と表し, ω ω omega\omegaω の外微分という。各 C C C^(oo)C^{\infty}C k k kkk 次微分形式 ω ω omega\omegaω に対し, こ の C C C^(oo)C^{\infty}C ( k + 1 ) ( k + 1 ) (k+1)(k+1)(k+1) 次微分形式 d k ω d k ω d_(k)omegad_{k} \omegadkω を対応させることにより定まる Ω k ( M ) Ω k ( M ) Omega^(k)(M)\Omega^{k}(M)Ωk(M) から Ω k + 1 ( M ) Ω k + 1 ( M ) Omega^(k+1)(M)\Omega^{k+1}(M)Ωk+1(M) への写像を d k d k d_(k)d_{k}dk と表す. d k : Ω k ( M ) Ω k + 1 ( M ) ( k = 0 , , n ) d k : Ω k ( M ) Ω k + 1 ( M ) ( k = 0 , , n ) d_(k):Omega^(k)(M)rarrOmega^(k+1)(M)(k=0,dots,n)d_{k}: \Omega^{k}(M) \rightarrow \Omega^{k+1}(M)(k=0, \ldots, n)dk:Ωk(M)Ωk+1(M)(k=0,,n) た ちを外微分作用素(exterior differential operator)という。以下, 簡単 のため, 外微分作用素 d k d k d_(k)d_{k}dk d d ddd と略記することにする.
注意一般に, M M MMM 上の C 1 C 1 C^(1)C^{1}C1 級の k k kkk 次微分形式 ω ω omega\omegaω に対し, d k ω d k ω d_(k)omegad_{k} \omegadkω は上述のように定義される。
次に, 微分形式の積分を定義しよう. ( M , O ) ( M , O ) (M,O)(M, O)(M,O) を向き付けられた n n nnn 次元 C C C^(oo)C^{\infty}C多様体とする。 ω ω omega\omegaω M M MMM 上の C 0 C 0 C^(0)C^{0}C0 級の n n nnn 次微分形式で,
supp ω ( := { p M ω p 0 } ) supp ω := p M ω p 0 ¯ supp omega(:= bar({p in M∣omega_(p)!=0}))\operatorname{supp} \omega\left(:=\overline{\left\{p \in M \mid \omega_{p} \neq 0\right\}}\right)suppω(:={pMωp0})
がコンパクトであるようなものとする。Mの正の局所チャートからなる高々可算族
{ ( U λ , φ λ = ( x 1 λ , , x n λ ) ) λ Λ } U λ , φ λ = x 1 λ , , x n λ λ Λ {(U_(lambda),varphi_(lambda)=(x_(1)^(lambda),dots,x_(n)^(lambda)))∣lambda in Lambda}\left\{\left(U_{\lambda}, \varphi_{\lambda}=\left(x_{1}^{\lambda}, \ldots, x_{n}^{\lambda}\right)\right) \mid \lambda \in \Lambda\right\}{(Uλ,φλ=(x1λ,,xnλ))λΛ}
{ U λ } λ Λ U λ λ Λ {U_(lambda)}_(lambda in Lambda)\left\{U_{\lambda}\right\}_{\lambda \in \Lambda}{Uλ}λΛ M M MMM の開被覆であるようなものと, { U λ } λ Λ U λ λ Λ {U_(lambda)}_(lambda in Lambda)\left\{U_{\lambda}\right\}_{\lambda \in \Lambda}{Uλ}λΛ に従属する 1 の分解 { ρ i } i I ρ i i I {rho_(i)}_(i inI)\left\{\rho_{i}\right\}_{i \in \mathcal{I}}{ρi}iI をとる. supp ρ i U λ i ( i I ) supp ρ i U λ i ( i I ) supprho_(i)subU_(lambda_(i))(i inI)\operatorname{supp} \rho_{i} \subset U_{\lambda_{i}}(i \in \mathcal{I})suppρiUλi(iI) となる Λ Λ Lambda\LambdaΛ の部分族 { λ i } i I λ i i I {lambda_(i)}_(i inI)\left\{\lambda_{i}\right\}_{i \in \mathcal{I}}{λi}iI をとっ ておこう. これらを用いて, M ω M ω int_(M)omegaを\int_{M} \omega をMω
M ω := i I φ λ i ( U λ i ) ( ( ρ i ω λ i ) φ λ i 1 ) d x 1 d x n M ω := i I φ λ i U λ i ρ i ω λ i φ λ i 1 d x 1 d x n int_(M)omega:=sum_(i inI)int cdotsint_(varphi_(lambda_(i))(U_(lambda_(i))))((rho_(i)omega_(lambda_(i)))@varphi_(lambda_(i))^(-1))dx_(1)cdots dx_(n)\int_{M} \omega:=\sum_{i \in \mathcal{I}} \int \cdots \int_{\varphi_{\lambda_{i}}\left(U_{\lambda_{i}}\right)}\left(\left(\rho_{i} \omega_{\lambda_{i}}\right) \circ \varphi_{\lambda_{i}}^{-1}\right) d x_{1} \cdots d x_{n}Mω:=iIφλi(Uλi)((ρiωλi)φλi1)dx1dxn
によって定義する. ただし ω λ i ω λ i omega_(lambda_(i))\omega_{\lambda_{i}}ωλi は, ω | U λ i = ω λ i d x 1 λ i d x n λ i ω U λ i = ω λ i d x 1 λ i d x n λ i omega|_(U_(lambda_(i)))=omega_(lambda_(i))dx_(1)^(lambda_(i))^^cdots^^dx_(n)^(lambda_(i))\left.\omega\right|_{U_{\lambda_{i}}}=\omega_{\lambda_{i}} d x_{1}^{\lambda_{i}} \wedge \cdots \wedge d x_{n}^{\lambda_{i}}ω|Uλi=ωλidx1λidxnλi によって定
義される U λ i U λ i U_(lambda_(i))U_{\lambda_{i}}Uλi 上の関数を表し,右辺の積分は n n nnn 重積分を表す. この定義式の 右辺の値は, { ( U λ , φ λ ) λ Λ } U λ , φ λ λ Λ {(U_(lambda),varphi_(lambda))∣lambda in Lambda}\left\{\left(U_{\lambda}, \varphi_{\lambda}\right) \mid \lambda \in \Lambda\right\}{(Uλ,φλ)λΛ}, および { ρ i } i I ρ i i I {rho_(i)}_(i inI)\left\{\rho_{i}\right\}_{i \in \mathcal{I}}{ρi}iI のとり方によらないことが 示される. この量 M ω M ω int_(M)omega\int_{M} \omegaMω ω ω omega\omegaω M M MMM 上の積分(the integral of ω ω omega\omegaω over M M MMM ) という.
D D DDD M M MMM のコンパクト閉領域とし, ω ω omega\omegaω M M MMM 上の C 0 C 0 C^(0)C^{0}C0 n n nnn 次微分形式とする. { ( U λ , φ λ = ( x 1 λ , , x n λ ) ) λ Λ } , { ρ i } i I U λ , φ λ = x 1 λ , , x n λ λ Λ , ρ i i I {(U_(lambda),varphi_(lambda)=(x_(1)^(lambda),dots,x_(n)^(lambda)))∣lambda in Lambda},quad{rho_(i)}_(i inI)\left\{\left(U_{\lambda}, \varphi_{\lambda}=\left(x_{1}^{\lambda}, \ldots, x_{n}^{\lambda}\right)\right) \mid \lambda \in \Lambda\right\}, \quad\left\{\rho_{i}\right\}_{i \in \mathcal{I}}{(Uλ,φλ=(x1λ,,xnλ))λΛ},{ρi}iI, および Λ Λ Lambda\LambdaΛ の部分族 { λ i } i I λ i i I {lambda_(i)}_(i inI)\left\{\lambda_{i}\right\}_{i \in \mathcal{I}}{λi}iI を上述のようにとる。これらを用いて, D ω D ω int_(D)omegaを\int_{D} \omega をDω
D ω := i I φ λ i ( U λ i D ) ( ( ρ i ω λ i ) φ λ i 1 ) d x 1 d x n D ω := i I φ λ i U λ i D ρ i ω λ i φ λ i 1 d x 1 d x n int_(D)omega:=sum_(i inI)int_(varphi_(lambda_(i))(U_(lambda_(i))nn D))((rho_(i)omega_(lambda_(i)))@varphi_(lambda_(i))^(-1))dx_(1)cdots dx_(n)\int_{D} \omega:=\sum_{i \in \mathcal{I}} \int_{\varphi_{\lambda_{i}}\left(U_{\lambda_{i}} \cap D\right)}\left(\left(\rho_{i} \omega_{\lambda_{i}}\right) \circ \varphi_{\lambda_{i}}^{-1}\right) d x_{1} \cdots d x_{n}Dω:=iIφλi(UλiD)((ρiωλi)φλi1)dx1dxn
によって定める。ただし, ω λ i ω λ i omega_(lambda_(i))\omega_{\lambda_{i}}ωλi は上述のようなものとする.
1.9 節において, ユークリッド空間内の区分的に C r C r C^(r)C^{r}Cr 級の境界をもつ有界閉領域, および区分的に C r C r C^(r)C^{r}Cr 級の超曲面という概念を定義した。 ここで, 有界閉領域はコンパクト閉領域を意味することに注意する。 C C C^(oo)C^{\infty}C 多様体は局所的にユークリッド空間なので, 一般の C C C^(oo)C^{\infty}C 多様体内でも全く同様に, 区分的 に C r C r C^(r)C^{r}Cr 級の境界をもつコンパクト閉領域, および区分的に C r C r C^(r)C^{r}Cr 級の超曲面と いう概念を定義することができる。ここで, ユークリッド空間は距離構造を もつため, 領域の有界性が定義されるが, 一般の C C C^(oo)C^{\infty}C 多様体は距離構造をも たないため, “有界”ではなく“コンパクト”という言葉を用いなければなら ないことを注意しておく。以下, この節では r 2 r 2 r >= 2r \geq 2r2 とする。 D D DDD ( M , O ) ( M , O ) (M,O)(M, O)(M,O) の 区分的に C r C r C^(r)C^{r}Cr 級の境界をもつコンパクト閉領域とする。 N p N p N_(p)\boldsymbol{N}_{p}Np D D del D\partial DD の外側向き の T p M T p ( D ) T p M T p ( D ) T_(p)M\\T_(p)(del D)T_{p} M \backslash T_{p}(\partial D)TpMTp(D) に属するベクトルとし, ( e 1 , , e n 1 ) e 1 , , e n 1 (e_(1),dots,e_(n-1))\left(\boldsymbol{e}_{1}, \ldots, \boldsymbol{e}_{n-1}\right)(e1,,en1) T p ( D ) T p ( D ) T_(p)(del D)T_{p}(\partial D)Tp(D) の基底で [ ( N p , e 1 , , e n 1 ) ] = O p N p , e 1 , , e n 1 = O p [(N_(p),e_(1),dots,e_(n-1))]=O_(p)\left[\left(\boldsymbol{N}_{p}, \boldsymbol{e}_{1}, \ldots, \boldsymbol{e}_{n-1}\right)\right]=O_{p}[(Np,e1,,en1)]=Op となるようなものとして, T p ( D ) T p ( D ) T_(p)(del D)T_{p}(\partial D)Tp(D) の向き O ^ p O ^ p hat(O)_(p)\hat{O}_{p}O^p O ^ p := [ ( e 1 , , e n 1 ) ] O ^ p := e 1 , , e n 1 hat(O)_(p):=[(e_(1),dots,e_(n-1))]\hat{O}_{p}:=\left[\left(\boldsymbol{e}_{1}, \ldots, \boldsymbol{e}_{n-1}\right)\right]O^p:=[(e1,,en1)] によって定義する(図 3.10 .1 を参照). このとき, 各 p D p D p in del Dp \in \partial DpD に対し O ^ p O ^ p hat(O)_(p)\hat{O}_{p}O^p を対応させる対応 O ^ O ^ hat(O)\hat{O}O^ は, D D del D\partial DD の向きを与えることが容易に 示される。の向きを O O OOO から D D del D\partial DD に誘導される向き(the orientation of D D del D\partial DD induced from O O OOO ) という.
以上の準備の下に, 多様体論におけるストークスの定理を述べることにす る。
図 3.10.1 D D del D\partial DD に誘導される向き
定理 3.10.1(ストークスの定理) r 1 r 1 r >= 1r \geq 1r1 とする。 ( M , O ) ( M , O ) (M,O)(M, O)(M,O) を向き付けられた n n nnn 次元 C C C^(oo)C^{\infty}C 多様体とし, D D DDD M M MMM の分的に C r C r C^(r)C^{r}Cr 級の境界をもつコンパクト閉領域とする。このとき, M M MMM 上の C r C r C^(r)C^{r}Cr ( n 1 ) ( n 1 ) (n-1)(n-1)(n1) 次微分形式 ω ω omega\omegaω に対し,次の関係式が成り立つ:
D d ω = D ι ω D d ω = D ι ω int_(D)d omega=int_(del D)iota^(**)omega\int_{D} d \omega=\int_{\partial D} \iota^{*} \omegaDdω=Dιω
ただし, D D は、del Dは 、 \partial DD から M M MMM への包含写像を表し, ι ω ι ω iota^(**)omega\iota^{*} \omegaιω は, ω ω omega\omegaω のしによる引き戻 しを表す。また, D D del D\partial DD には, O O OOO から誘導される向きを与えている. 特に M M MMM が 閉多様体の場合, D D DDD として M M MMM をとることができ, M d ω = 0 M d ω = 0 int_(M)d omega=0\int_{M} d \omega=0Mdω=0 が成り立つ.
注意 ベクトル解析におけるストークスの定理(定理 1.11.1)が主張する区分的 に C r C r C^(r)C^{r}Cr 級の境界をもつ C C C^(oo)C^{\infty}C 曲面上の積分公式
S rot X d A = c X d r S rot X d A = c X d r int_(S)rot X*dA=int_(c)X*dr\int_{S} \operatorname{rot} \boldsymbol{X} \cdot d \boldsymbol{A}=\int_{c} \boldsymbol{X} \cdot d \boldsymbol{r}SrotXdA=cXdr
は, 定理 2.7.1 で述べたように, 区分的に C r C r C^(r)C^{r}Cr 級の境界をもつ C C C^(oo)C^{\infty}C 曲面上の C r C r C^(r)C^{r}Cr 級 1 次微分形式 ω ω omega\omegaω に対する積分公式
S d ω = c ω S d ω = c ω int_(S)d omega=int_(c)omega\int_{S} d \omega=\int_{c} \omegaSdω=cω
の特別な場合である. 定理3.10.1における積分公式は, 定理 2.7.1における上述の 積分公式をさらに一般化したものである.