2.8 ガウス・ボンネの定理（局所版）

この節では

r \geq 2

とする.この節において, 3 次元ユークリッド空間

E^{3}

内の

C^{\infty}

超曲面片上の区分的に

C^{r}

級の境界をもつ有界閉領域に対するガウス・ボンネの定理（局所版）（Gauss-Bonnet theorem(local version)）を紹介し, その証明を行う. さらに, この定理から直接導かれる

C^{\infty}

超曲面片上の測地

m

角形の内角の和の公式を与え, 球面片をはじめとする曲率をもつ超曲面片上では, 測地

m

角形の内角の和がその面積によって変動することを認識してもらう．実際に，球面片上でその変化する様子を図解することにする.

S = x (D)

を

E^{3}

内の

C^{\infty}

（超）曲面片とし，

N S S

の自然に定まる単位法ベクトル場とする。また,

S^{'} := x (E) (E \subset D)

を

S

内の区分的に

C^{r}

級の境界をもつ

C^{\infty}

（超）曲面とし，

E

の境界を与える，反時計回りに回る区分的に

C^{r}

正則な単純閉曲線

\bar{c} : [0, l] \to R^{2}

であって,

c := x \circ \bar{c}

が弧長でパラメーター付けられた、区分的に

C^{r}

正則な単純閉曲線になるようなものをとる.

0 = s_{0} < s_{1} < \dots < s_{m} = l

を

{c |}_{[s_{i - 1}, s_{i}]} (i = 1, \dots, m)

が

C^{r}

正則曲線となるような

[0, l]

の分割とする。簡単のため,

I := [0, l], I_{i} :=

[s_{i - 1}, s_{i}], c_{i} := {c |}_{I_{i}} (i = 1, \dots, m)

とおく.

{s \in I_{i} ∣ c_{i}^{''} (s) \neq 0}

はいくつかの開区間の和になる。それらの開区間の族を

{(s_{i j}, s_{i j}^{'}) ∣ j = 1, \dots, k_{i}}

(s_{i j}^{'} < s_{i, j + 1} (j = 1, \dots, k_{i} - 1))

とする. 簡単のため,

I_{i j} := [s_{i j}, s_{i j}^{'}], c_{i j} :=

{c |}_{I_{i j}}

とおく.

c_{i j}

の第 1 曲率, 第 1 法線ベクトル場を各々,

κ_{i j}, n_{i j}

と表す. ここで，

κ_{i j}

は負になる可能性もあることを注意しておく（2.5 節を参照）. 通常, 曲面論（=

E^{3}

内の超曲面論）では,

κ_{i j}

は測地的曲率（geodesic curvature）とよばれる.

I_{i}

上の関数

κ^{i}

を

κ^{i} (s) := {\begin{cases} κ_{i j} & (s \in I_{i j}) \\ 0 & (s \in I_{i} ∖ (\underset{j = 1}{k_{i}} I_{i j})) \end{cases}

によって定義する.

κ^{i}

を

c_{i}

の測地的曲率とよぶことにする.

p_{i} := c_{i} (s_{i}) (i = 1, \dots, m) とおく. このとき, S^{'} を p_{1}, \dots, p_{m} を頂点と

する

m

角形

(m

-polygon）といい, 特に, 各

c_{i} (i = 1, \dots, m)

が

S

上の測地線であるときは,

p_{1}, \dots, p_{m}

を頂点とする測地

m

角形 (geodesic

m^{-}

polygon) という。また,

{\vec{c}}_{i}^{'} (s_{i})

と

{\vec{c}}_{i + 1}^{'} (s_{i})

のなす角を

θ_{i}^{'}

として,

θ_{i} :=

π - θ_{i}^{'}

を

m

角形

S^{'}

の頂点

p_{i}

における内角（internal angle of a

m^{-}

polygon

S^{'}

at the vertex

p_{i}

) という.

S

の

m

角形

S^{'}

上のガウス曲率の積分に対して, 次のストークス型の積分公式が成り立つ.

定理 2.8.1（ガウス・ボンネの定理（局所版）） Kを

S

のガウス曲率,

κ^{i}

を

S^{'}

の辺

c_{i}

の測地的曲率,

θ_{i}

を

S^{'}

の頂点

p_{i} := c (s_{i})

における内角とし,

d A

を

S

の面積要素とする。このとき, 次の関係式が成り立つ：

\begin{matrix} (2.8.1) & \int_{S^{'}} K d A = 2 π - (\sum_{i = 1}^{m} \int_{s_{i - 1}}^{s_{i}} κ^{i} (s) d s + \sum_{i = 1}^{m} (π - θ_{i})) \end{matrix}

定理2.8.1を証明するために,いくつかの補題を準備しよう. まず, 測地的極座標を定義し，その性質を述べることにする。

x^{- 1} = (u_{1}, u_{2})

とする.

p \in S^{'} ∖ \partial S^{'}

を基点としてとり,

({(\frac{\partial}{\partial u_{1}})}_{p}, {(\frac{\partial}{\partial u_{2}})}_{p})

と同じ向きを定める

(T_{p} S, g_{p})

の正規直交基底

(e_{1}, e_{2})

をとる.

v_{θ} := \cos θ e_{1} + \sin θ e_{2} (θ \in

[0, 2 π) ）

とおく.

c_{θ} : [0, l_{θ}) \to S

を

S

上の測地線で

c_{θ} (0) = p, c_{θ}^{'} (0) = v_{θ}

となるようなものとする.

l_{θ}

は可能な限り大きくとる.

\tilde{W} := \underset{θ \in [0, 2 π)}{\cup} {r v_{θ} ∣ r \in [0, l_{θ})}

とし,

\exp_{p} : \tilde{W} \to S

を

\exp_{p} (r v_{θ}) := c_{θ} (r) (r v_{θ} \in \tilde{W})

により定義する。

\exp_{p}

の

0_{p}

のある近傍

\tilde{U}

への制限は，S

S

のあ開集合への

C^{r}

同型写像であることが示される（この事実は, 3.6 節で述べる逆関数定理（定理 3.6.1）を用いて示される）.

W := \exp_{p} (\tilde{W}), U := \exp_{p} (\tilde{U}), \hat{D} := {(r, θ) ∣ r v_{θ} \in \tilde{U} ∖ {0_{p}}}

とおく.

\hat{x} : \hat{D} \to S

を

\hat{x} (r, θ) := \exp_{p} (r v_{θ}) ((r, θ) \in \hat{D})

によって定義する.

\hat{x}

は

C^{\infty}

正則局所曲面を与え,

\hat{x} (\hat{D}) = U ∖ {p} \subset S

となるので,

U ∖ {p}

と

{\hat{x}}^{- 1} = (r, θ) : U ∖ {p} \to R^{2}

の組

(U ∖ {p}, {\hat{x}}^{- 1})

は

S

の局所座標を与えることになる。この局所座標を

S

の点

p

を中心とする測地的極座標 (geodesic polar coordinate) という.

S

の第 1 基本形式

g

の極座標

{\hat{x}}^{- 1} = (r, θ)

に関する成分を

{\hat{g}}_{i j} (1 \leq i, j \leq 2)

と表すことにする. つまり,

{\hat{g}}_{11} := g (\frac{\partial}{\partial r}, \frac{\partial}{\partial r}), {\hat{g}}_{12} = {\hat{g}}_{21} := g (\frac{\partial}{\partial r}, \frac{\partial}{\partial θ}), {\hat{g}}_{22} := g (\frac{\partial}{\partial θ}, \frac{\partial}{\partial θ})

とする. 測地的極座標

{\hat{x}}^{- 1} = (r, θ)

について, 次の事実が成り立つ.

補題 2.8.2 次式が成り立つ：

{\hat{g}}_{11} = 1, {\hat{g}}_{12} = {\hat{g}}_{21} = 0, lim_{r \to + 0} \frac{{\hat{g}}_{22} (\hat{x} (r, θ))}{r^{2}} = 1

証明

{(\frac{\partial \hat{x}}{\partial r})}_{(r, θ)} = c_{θ}^{'} (r)

なので,

{\hat{g}}_{11} (\hat{x} (r, θ)) = {‖ c_{θ}^{'} (r) ‖}^{2} = {‖ c_{θ}^{'} (0) ‖}^{2} = {‖ v_{θ} ‖}^{2} = 1

をえる。また,

\begin{aligned} \frac{\partial {\hat{g}}_{12}}{\partial r} = \frac{\partial}{\partial r} (\frac{\partial \hat{x}}{\partial r} \cdot \frac{\partial \hat{x}}{\partial θ}) & = \frac{\partial^{2} \hat{x}}{\partial r^{2}} \cdot \frac{\partial \hat{x}}{\partial θ} + \frac{\partial \hat{x}}{\partial r} \cdot \frac{\partial^{2} \hat{x}}{\partial r \partial θ} \\ = \frac{\partial^{2} \hat{x}}{\partial r^{2}} \cdot \frac{\partial \hat{x}}{\partial θ} + \frac{1}{2} \frac{\partial}{\partial θ} (\frac{\partial \hat{x}}{\partial r} \cdot \frac{\partial \hat{x}}{\partial r}) \\ = \frac{\partial^{2} \hat{x}}{\partial r^{2}} \cdot \frac{\partial \hat{x}}{\partial θ} + \frac{1}{2} \frac{\partial {\hat{g}}_{11}}{\partial θ} = \frac{\partial^{2} \hat{x}}{\partial r^{2}} \cdot \frac{\partial \hat{x}}{\partial θ} \end{aligned}

が示される.

c_{θ}

は

S

上の測地線なので,

\frac{\partial^{2} \hat{x}}{\partial r^{2}} = c_{θ}^{''} (r)

は

S

の点

\hat{x} (r, θ)

における法ベクトルになる。それゆえ，

\frac{\partial^{2} \hat{x}}{\partial r^{2}} \cdot \frac{\partial \hat{x}}{\partial θ} = 0

となり，

\frac{\partial {\hat{g}}_{12}}{\partial r} = 0

が示される。一方,

lim_{r \to + 0} {(\frac{\partial \hat{x}}{\partial θ})}_{(r, θ)} = 0

, および

lim_{r \to + 0} ‖ \frac{\partial^{2} \hat{x}}{\partial r^{2}} ‖ = lim_{r \to + 0} ‖ c_{θ}^{''} (r) ‖ = lim_{r \to + 0} ‖ h (c_{θ}^{'} (r), c_{θ}^{'} (r)) ‖ < \infty

が示されるので,

lim_{r \to + 0} {\hat{g}}_{12} (x (r, θ)) = 0

をえる. ここで,

h

は

S

の第 2 基本形式を表す. したがって,

{\hat{g}}_{12} \equiv 0

が示される.

第 3 式は, ロピタルの定理を用いて次のように示される.

\begin{aligned} lim_{r \to + 0} \frac{{\hat{g}}_{22} (\hat{x} (r, θ))}{r^{2}} & = lim_{r \to + 0} \frac{1}{r} \frac{\partial^{2} \hat{x}}{\partial r \partial θ} \cdot \frac{\partial \hat{x}}{\partial θ} = lim_{r \to + 0} (\frac{\partial^{3} \hat{x}}{\partial r^{2} \partial θ} \cdot \frac{\partial \hat{x}}{\partial θ} + \frac{\partial^{2} \hat{x}}{\partial r \partial θ} \cdot \frac{\partial^{2} \hat{x}}{\partial r \partial θ}) \\ = lim_{r \to + 0} (\frac{\partial}{\partial θ} (\frac{\partial^{2} \hat{x}}{\partial r^{2}} \cdot \frac{\partial \hat{x}}{\partial θ}) - \frac{\partial^{2} \hat{x}}{\partial r^{2}} \cdot \frac{\partial^{2} \hat{x}}{\partial θ^{2}} + {‖ \frac{\partial^{2} \hat{x}}{\partial r \partial θ} ‖}^{2}) \\ = lim_{r \to + 0} (- h (\frac{\partial}{\partial r}, \frac{\partial}{\partial r}) h (\frac{\partial}{\partial θ}, \frac{\partial}{\partial θ}) + {‖ \frac{\partial^{2} \hat{x}}{\partial r \partial θ} ‖}^{2}) \\ = - h_{p} (v_{θ}, v_{θ}) \cdot 0 + {‖ \frac{\partial}{\partial θ} (\cos θ e_{1} + \sin θ e_{2}) ‖}^{2} \\ = {‖ - \sin θ e_{1} + \cos θ e_{2} ‖}^{2} = 1 \end{aligned}

この補題を用いて, 次の事実が導かれる。

補題 2.8.3

S

のガウス曲率

K

は

U

上で次のように記述される：

K = - \frac{1}{\sqrt{{\hat{g}}_{22}}} \frac{\partial^{2} \sqrt{{\hat{g}}_{22}}}{\partial r^{2}}

証明便宜上,

({\hat{u}}_{1}, {\hat{u}}_{2}) := (r, θ)

とおき,

A, h

の測地的極座標

({\hat{u}}_{1}, {\hat{u}}_{2})

に関する成分を各々,

{\hat{A}}_{i}^{j}, {\hat{h}}_{i j}

で表し, 測地的極座標

({\hat{u}}_{1}, {\hat{u}}_{2})

に関するクリストッフェルの記号を

{\begin{matrix} k \\ i j \end{matrix}}

で表すことにする。hの定義より,

({\hat{h}}_{i j}) =

({\hat{A}}_{i}^{j}) ({\hat{g}}_{i j})

が成り立ち, それゆえ,

S

のガウス曲率

K

は,

U ∖ {p}

上で

\begin{matrix} (2.8.2) & K = \det ({\hat{A}}_{i}^{j}) = \frac{\det ({\hat{h}}_{i j})}{\det ({\hat{g}}_{i j})} \end{matrix}

によって与えられる.

\det ({\hat{h}}_{i j})

を計算しよう. ガウスの公式とワインガルテンの公式を用いて,

\begin{aligned} 0 & = (\frac{\partial^{3} \hat{x}}{\partial {\hat{u}}_{i} \partial {\hat{u}}_{j} \partial {\hat{u}}_{k}} - \frac{\partial^{3} \hat{x}}{\partial {\hat{u}}_{j} \partial {\hat{u}}_{i} \partial {\hat{u}}_{k}}) \cdot \frac{\partial \hat{x}}{\partial {\hat{u}}_{l}} \\ = (\nabla_{\frac{\partial}{\partial {\hat{u}}_{i}}} (\nabla_{\frac{\partial}{\partial {\hat{a}}_{j}}} \frac{\partial}{\partial {\hat{u}}_{k}}) - \nabla_{\frac{\partial}{\partial {\hat{u}}_{j}}} (\nabla_{\frac{\partial}{\partial {\hat{u}}_{i}}} \frac{\partial}{\partial {\hat{u}}_{k}})) \cdot \frac{\partial}{\partial {\hat{u}}_{l}} - {\hat{h}}_{j k} {\hat{h}}_{i l} + {\hat{h}}_{i k} {\hat{h}}_{j l} \\ = & \sum_{a = 1}^{n} (\frac{\partial}{\partial {\hat{u}}_{i}} {\begin{array}{c} a \\ j k \end{array}} - \frac{\partial}{\partial {\hat{u}}_{j}} {\begin{array}{c} a \\ i k \end{array}} + \sum_{b = 1}^{n} {\begin{array}{c} b \\ j k \end{array}} {\begin{array}{c} a \\ i b \end{array}} \\ - \sum_{b = 1}^{n} {\begin{array}{c} b \\ i k \end{array}} {\begin{array}{c} a \\ j b \end{array}}) {\hat{g}}_{a l} - {\hat{h}}_{j k} {\hat{h}}_{i l} + {\hat{h}}_{i k} {\hat{h}}_{j l} \end{aligned}

つまり,

\begin{matrix} {\hat{h}}_{j k} {\hat{h}}_{i l} - {\hat{h}}_{i k} {\hat{h}}_{j l} \\ (2.8.3) & = \sum_{a = 1}^{n} (\frac{\partial}{\partial {\hat{u}}_{i}} {\begin{matrix} a \\ j k \end{matrix}} - \frac{\partial}{\partial {\hat{u}}_{j}} {\begin{cases} a \\ i k \end{cases}} + \sum_{b = 1}^{n} {\begin{matrix} b \\ j k \end{matrix}} {\begin{matrix} a \\ i b \end{matrix}} \\ - \sum_{b = 1}^{n} {\begin{matrix} b \\ i k \end{matrix}} {\begin{matrix} a \\ j b \end{matrix}}) {\hat{g}}_{a l} \end{matrix}

が示される。一方, 補題 2.8 .2 より

{\hat{g}}^{11} = 1, {\hat{g}}^{12} = {\hat{g}}^{21} = 0, {\hat{g}}^{22} = \frac{1}{{\hat{g}}_{22}}

となるので,

\begin{aligned} {\begin{array}{c} 1 \\ 11 \end{array}} = {\begin{array}{c} 2 \\ 11 \end{array}} = {\begin{array}{c} 1 \\ 12 \end{array}} = {\begin{array}{c} 1 \\ 21 \end{array}} = 0 \\ (2.8.4) & {\begin{array}{c} 2 \\ 12 \end{array}} = {\begin{array}{c} 2 \\ 21 \end{array}} = \frac{1}{2} \frac{\partial}{\partial {\hat{u}}_{1}} \log {\hat{g}}_{22} \\ {\begin{array}{c} 1 \\ 22 \end{array}} = - \frac{1}{2} \frac{\partial {\hat{g}}_{22}}{\partial {\hat{u}}_{1}}, {\begin{array}{c} 2 \\ 22 \end{array}} = \frac{1}{2} \frac{\partial}{\partial {\hat{u}}_{2}} \log {\hat{g}}_{22} \end{aligned}

をえる. 式 (2.8.3) と式 (2.8.4) から,

\det ({\hat{h}}_{i j}) = {\hat{h}}_{11} {\hat{h}}_{22} - {\hat{h}}_{12}^{2} = - \sqrt{{\hat{g}}_{22}} \frac{\partial^{2} \sqrt{{\hat{g}}_{22}}}{\partial {\hat{u}}_{1}^{2}}

が示される. したがって,

K = \frac{\det ({\hat{h}}_{i j})}{\det ({\hat{g}}_{i j})} = - \frac{1}{\sqrt{{\hat{g}}_{22}}} \frac{\partial^{2} \sqrt{{\hat{g}}_{22}}}{\partial {\hat{u}}_{1}^{2}}

をえる.

U ∖ {p}

上の弧長でパラメーター付けられた

C^{r}

曲線の測地的曲率について,次の事実が成り立つ.

補題 2.8.4

c : I \to U ∖ {p}

を弧長でパラメーター付けられた

C^{r}

曲線で,

{\vec{c}}^{'} (s)

と

c (s)

を通る

r

曲線とのなす角を

ψ (s)

とする. このとき,

c

の測地的曲率

κ

は次のように記述される：

\begin{matrix} (2.8.5) & κ (s) = ψ^{'} (s) + {(\frac{\partial \sqrt{{\hat{g}}_{22}}}{\partial r})}_{c (s)} \cdot (θ \circ c)^{'} (s) \end{matrix}

証明便宜上,

({\hat{u}}_{1}, {\hat{u}}_{2}) := (r, θ)

とおく. このとき,

c (s) = \hat{x} ({\hat{u}}_{1} (c (s)), {\hat{u}}_{2} (c (s)))

となる. 命題 2.4 .5 の式 (2.4.6) によれば,

\nabla_{c^{'}} c^{'} = \sum_{i = 1}^{2} (\frac{d^{2} ({\hat{u}}_{i} \circ c)}{d s^{2}} + \sum_{j = 1}^{2} \sum_{k = 1}^{2} \frac{d ({\hat{u}}_{j} \circ c)}{d s} \frac{d ({\hat{u}}_{k} \circ c)}{d s} {\begin{matrix} i \\ j k \end{matrix}}_{c (s)}) {(\frac{\partial}{\partial {\hat{u}}_{i}})}_{c (s)}

が成り立つ. 一方,

{\hat{u}}_{1}, {\hat{u}}_{2}

, および

ψ

の定義より,

\frac{d {\hat{u}}_{1} (c (s))}{d s} = (r \circ c)^{'} (s) = \cos ψ (s), \frac{d {\hat{u}}_{2} (c (s))}{d s} = (θ \circ c)^{'} (s) = \frac{\sin ψ (s)}{\sqrt{{\hat{g}}_{22} (c (s))}}

が示される（図 2.8 .1 を参照）。これらの関係式と式 (2.8.4)を用いて,

\nabla_{C^{'}} c^{'}

を計算することにより,

c

の測地的曲率

κ (s)

が式

(2.8 .5)

によって与えられることが導かれる。

これらの補題と定理 2.7 .1 を用いて定理 2.8 .1 を示そう。

定理 2.8.1 の証明まず,

S^{'} = x (E)

がある測地的極座標近傍

U

に含まれる場合を考えよう.

c_{i} (s)

を通る

r

曲線と曲線

c_{i}

の点

c_{i} (s)

におけるなす角を

図 2.8.1 2 種類の偏角

θ (c (s))

と

ψ (s)

の様子

ψ_{i} (s)

と表し,

ρ := \sqrt{{\hat{g}}_{22}}

とおく. このとき, 補題 2.8 .4 を用いて,

\begin{aligned} \sum_{i = 1}^{m} \int_{s_{i - 1}}^{s_{i}} κ^{i} (s) d s = \sum_{i = 1}^{m} \int_{s_{i - 1}}^{s_{i}} (ψ_{i}^{'} (s) + {(\frac{\partial ρ}{\partial r})}_{c_{i} (s)} {(θ \circ c_{i})}^{'} (s)) d s \\ (2.8.6) & = & \sum_{i = 1}^{m} \int_{s_{i - 1}}^{s_{i}} ψ_{i}^{'} (s) d s + \int_{c} \frac{\partial ρ}{\partial r} d θ \end{aligned}

が示される. この最終辺の第 2 項目は, 補題

2.8 .2, 2.8 .3

と定理 2.7 .1 を用いて，次のように変形される：

\begin{matrix} (2.8.7) & \int_{c} \frac{\partial ρ}{\partial r} d θ = \int_{S^{'}} d (\frac{\partial ρ}{\partial r} d θ) = \int_{S^{'}} \frac{\partial^{2} ρ}{\partial r^{2}} d r \land d θ = - \int_{S^{'}} K d A \end{matrix}

式 (2.8.6) の最終辺の第 1 項目を計算しよう.

c

の

k

個の角を滑らかに丸めてえられる

C^{r}

級閉曲線の族

{{\hat{c}}^{i}}_{i = 1}^{\infty}

で, 次の条件

(*)

を満たすようなものをとる：

(*) ある 0 に収束する正の数列

{ε_{i}}_{i = 1}^{\infty}

に対し, 次の (i) と (ii) が成り立つ：

(i)

{\hat{c}}^{i} (s) = c (s) (s \in [0, l] ∖ \prod_{j = 0}^{m - 1} (s_{j} - ε_{i}, s_{j} + ε_{i}))

,
(ii)

lim_{i \to \infty} sup {‖ \vec{{\hat{c}}^{i}} (s) - \vec{c} (s) ‖ ∣ s \in \underset{j = 1}{m} (s_{j} - ε_{i}, s_{j} + ε_{i})} = 0

点

{\hat{c}}^{i} (s)

を通る

r

曲線と閉曲線

{\hat{c}}^{i}

の点

{\hat{c}}^{i} (s)

におけるなす角を

{\hat{ψ}}^{i} (s)

とする. この

C^{r}

級閉曲線の族を用いて,

\begin{aligned} \sum_{j = 1}^{m} \int_{s_{j - 1}}^{s_{j}} ψ_{j}^{'} (s) d s = lim_{i \to \infty} \sum_{j = 1}^{m} \int_{s_{j - 1} + ε_{i}}^{s_{j} - ε_{i}} ψ_{j}^{'} (s) d s \\ (2.8.8) & = & lim_{i \to \infty} (\int_{{\hat{c}}_{i}} {({\hat{ψ}}^{i})}^{'} (s) d s - \sum_{j = 1} \int_{s_{j} - ε_{i}}^{s_{j} + ε_{i}} {({\hat{ψ}}^{i})}^{'} (s) d s) \\ = & 2 π - \sum_{j = 1}^{m} (π - θ_{j}) \end{aligned}

が示される。式 (2.8.7), (2.8.8) を式 (2.8.6) に代入して, 求めるべき関係式が導かれる。

S^{'}

がある測地的極座標近傍

U

に含まれない場合は,

S^{'}

の三角形分割

S^{'} =

S_{1}^{'} \cup \dots \cup S_{l}^{'}

で, 各三角形

S_{i}^{'}

がその内点（つまり,

S_{i}^{'} ∖ \partial S_{i}^{'}

に属する点）を中心とするある測地的極座標近傍に含まれるようなものをとる。三角形

S_{i}^{'}

の 3 つの辺が弧長でパラメーター付けられた

C^{r}

曲線

{\hat{c}}_{i}

によって与えられているとする。

{\hat{c}}_{i}

の 3 個の頂点を

{\hat{c}}_{i} (s_{i j}) (j = 1, 2, 3)

とし，

S_{i}^{'}

の境界上の点

{\hat{c}}_{i} (s_{i j})

における内角を

θ_{i j} (j = 1, 2, 3)

とし,

{\hat{c}}_{i j} := {{\hat{c}}_{i} |}_{[s_{i, j - 1}, s_{i j}]}

の測地的曲率を

κ^{i j}

とする。このとき、すでに示した事実から,

\begin{aligned} \int_{S^{'}} K d A = \sum_{i = 1}^{l} \int_{S_{i}^{'}} K d A \\ (2.8.9) & = & \sum_{i = 1}^{l} (2 π - (\sum_{j = 1}^{3} \int_{s_{i, j - 1}}^{s_{i j}} κ^{i j} (s) d s + \sum_{j = 1}^{3} (π - θ_{i j}))) \\ = & - π l - \sum_{i = 1}^{l} \sum_{j = 1}^{3} \int_{s_{i, j - 1}}^{s_{i j}} κ^{i j} (s) d s + \sum_{i = 1}^{l} \sum_{j = 1}^{3} θ_{i j} \end{aligned}

が示される.

c_{i j} ([s_{i, j - 1}, s_{i j}]) = c_{i^{'} j^{'}} ([s_{i^{'} j^{'} - 1}, s_{i^{'} j^{'}}])

のとき,

{c_{i j} |}_{[s_{i, j - 1}, s_{i j}]}

と

{c_{i^{'} j^{'}} |}_{[s_{i^{'} j^{'} - 1}, s_{i^{'} j^{'}}]}

は逆向きなので,

\int_{s_{i j - 1}}^{s_{i j}} κ^{i j} d s = - \int_{s_{i^{'} j^{'} - 1}}^{s_{i^{'} j^{'}}} κ^{i^{'} j^{'}} d s

となり, それゆえ

\begin{matrix} (2.8.10) & \sum_{i = 1}^{l} \sum_{j = 1}^{3} \int_{s_{i, j - 1}}^{s_{i j}} κ^{i j} (s) d s = \sum_{i = 1}^{m} \int_{s_{i - 1}}^{s_{i}} κ^{i} (s) d s \end{matrix}

が示される. また，分割

S^{'} = S_{1}^{'} \cup \dots \cup S_{l}^{'}

における頂点で境界

\partial S^{'}

上にないものの個数を

m^{'}

とするとき,

\begin{matrix} (2.8.11) & \sum_{i = 1}^{l} \sum_{j = 1}^{3} θ_{i j} = 2 m^{'} π + \sum_{i = 1}^{m} θ_{i} \end{matrix}

が示される. 一方, 一般に,

m

角形の三角形分割における頂点, 辺, 面の個数を各々

n_{v}, n_{e}, n_{f}

とするとき,

n_{v} - n_{e} + n_{f} = 1

となることが知られている. ここで考えている

m

角形

S^{'}

の三角形分割の場合,

n_{v} = m^{'} + m, n_{e} =

\frac{3 l + m}{2} + m, n_{f} = l

なので,

m^{'} + \frac{m}{2} - \frac{l}{2} = 1

, つまり,

2 m^{'} - l = 2 - m

をえる。この事実と式

(2.8 .9), (2.8 .10), (2.8 .11)

から, 求めるべき関係式が導かれる。

注意より一般に,

E^{3}

内の区分的に

C^{\infty}

級の境界をもつ区分的に

C^{\infty}

級の超曲面

S^{'}

に対して, 定理 2.8 .1 を一般化した積分公式が成り立つことが, [IO] の結果から導かれる。

[IO]

では,

E^{3}

内の区分的に

C^{\infty}

級の境界をもつ区分的に

C^{\infty}

級の超曲面を一般化した概念として、区分的にリーマン的な 2 次元多面体という概念が定義され, さらに, その多面体の頂点と辺上で, 特異曲率とよばれる頂点と辺上に集中した曲率を表す量が定義されている。そして, 各面（これは 2 次元リーマン多様体）上のガウス曲率の積分, 各辺上の特異曲率の積分, および, 各頂点における特異曲率, これら 3 種の全曲率の総和に関する公式が示されている. この公式は,

S^{'}

が区分的に

C^{\infty}

級の境界をもつ

C^{\infty}

超曲面の場合, 定理 2.8.1における積分公式と一致する. ここでガウス曲率は,

E^{3}

内の超曲面のみならず, 一般に, 2 次元リーマン多様体に対し内在的に定義することができることを注意しておく（4.3 節を参照）.

定理 2.8.1 から直接,

C^{\infty}

曲面片上の測地

m

角形に対する次の内角の和の積分表示公式（integral expression formula of the internal angle sum) が導かれる。

系 2.8.5（曲面上の測地多角形の内角の和の公式）

S^{'}

を

C^{\infty}

曲面片

S

上の測地

m

角形とする。このとき,

S^{'}

の

m

個の内角

θ_{1}, \dots, θ_{m}

の和は次式によって与えられる：

\begin{matrix} (2.8.12) & \sum_{i = 1}^{m} θ_{i} = (m - 2) π + \int_{S^{'}} K d A \end{matrix}

注意（i）平面や円筒のガウス曲率は恒等的に 0 に等しいので, 平面や円筒上の測地

m

角形の内角の和は, 常に

(m - 2) π

に等しくなる.

(ii)

S

のガウス曲率が各点で正であるならば,

S

上の任意の測地

m

角形の内角の和は

(m - 2) π

よりも大きくなり, その和は, 測地

m

角形のとり方に依存して変動する. 例えば, 単位球面

S^{2} (1)

のガウス曲率は恒等的に 1 に等しいので,

S^{2} (1)

上の測地

m

角形の内角の和は,

(m - 2) π

とその測地

m

角形の（曲）面積の和に等しくなる。それゆえ，その測地

m

角形の面積が大きければ大きいほど, その内角の和も大きくなる（図 2.8 .2 を参照）.

S :

ガウス曲率が正の曲面片

図 2.8.2 ガウス曲率が正である曲面片上の測地三角形

(iii)

S

のガウス曲率が各点で負であるならば,

S

上の任意の測地

m

角形の内角の和は

(m - 2) π

よりも小さくなり, その和は, 測地

m

角形のとり方に依存して変動する（図 2.8.3を参照）。例えば,

S

が下記の問 2.8 .2 で述べるトラクトリクスの場合, そのガウス曲率は恒等的に -1 に等しいので,

S

上の測地

m

S :

ガウス曲率が負の曲面片

図 2.8.3 ガウス曲率が負である曲面片上の測地三角形
角形の内角の和は,

(m - 2) π

からその測地

m

角形の（曲）面積を引いた値に等しくなる。そゆえ, その測地

m

角形の面積が大きければ大きいほど, その内角の和は小さくなる.

問 2.8.1 この問いにおいて,

S^{2} (1)

上の測地三角形の 3 つの内角が等しい場合に,測地正三角形とよぶことにする.

(i)

S^{2} (1)

上の正測地三角形の内角のとりうる値の範囲を求めよ.

(ii)

S^{2} (1)

上の 3 つの内角が

\frac{π}{2}

であるような測地正三角形を図示せよ.

(iii)

S^{2} (1)

上の 3 つの内角が

\frac{3 π}{4}

であるような測地正三角形を図示せよ.

問 2.8.2

D := (0, \infty) \times [0, 2 π)

とし,

C^{\infty}

正則局所曲面

x : D \to E^{3}

を

x (u_{1}, u_{2}) := (\frac{\cos u_{2}}{\cosh u_{1}}, \frac{\sin u_{2}}{\cosh u_{1}}, u_{1} - \tanh u_{1})

によって定義する. この

C^{\infty}

曲面片

S = x (D)

は, トラクトリクス（tractrix）とよばれ, ガウス曲率が恒等的に -1 の曲面であることが知られている。.この曲面上に, 3 点

p_{t}^{1} = x (t, 0), p_{t}^{2} = x (t, π), p_{t}^{3} = x (\frac{1}{t}, \frac{3 π}{2})

をとる. ここで,

t

は十分小さな正の数とする.

(i)

S

の概形を描け.

(ii)

p_{t}^{1}, p_{t}^{2}, p_{t}^{3}

を頂点とする

S

上の測地三角形

△ p_{t}^{1} p_{t}^{2} p_{t}^{3}

の概形を描け.

（iii）測地三角形

△ p_{t}^{1} p_{t}^{2} p_{t}^{3}

の

p_{t}^{1} (i = 1, 2, 3)

における内角を

θ_{t}^{1}

とするとき,

lim_{t \to + 0} θ_{t}^{1} = 0

と推定されることを図解せよ.

2.9 曲面論におけるガウス・ボンネの定理

この節では

r \geq 2

とする.この節において, 前節で示したガウス・ボンネの定理（局所版）を用いて,

E^{3}

内の向き付けられた

C^{r}

閉曲面に対するがウス・ボンネの定理（大域版）を証明することにする。一般に, 位相空間

X

に対し,

k

次特異ホモロジー群

(k = 0, 1, 2, \dots)

とよばれる

Z

加群

H_{k}^{sing} (X

Z)

が定義され, それが有限生成である場合, その階数は

X

の

k

次ベッチ数（k-th betti number）とよばれ,

b_{k} (X)

と表される.

k

次特異ホモロジー群の定義については, 5.1 節を参照のこと. ここで, 有限生成

Z

加群

M

は,一般に,

(\overset{r}{\oplus} Z) \oplus Z_{m_{1}} \oplus \dots \oplus Z_{m_{l}}

(Z_{m_{i}}

: 位数

m_{i}

の巡回群

)

という形の

Z

加群に同型であることが知られており，上式における

r

は

M

の階数とよばれる. 非負の各整数

k

に対し,

H_{k}^{sing} (X, Z)

が有限生成であるとき, ベッチ数の交代和

\sum_{k \geq 0} (- 1)^{k} b_{k} (X)

は,

X

のオイラー標数（Euler characteristic）とよばれ，通常，

χ (X)

と表される. ここで，

X

がコンパクトならば，すべての非負の整数

k

に対し，

H_{k}^{sing} (X, Z)

は有限生成になり, そのオイラー標数が定義されることに注意する。

特に

X

が閉曲面の場合,

χ (X)

を実践的に計算する方法を与えよう。

(S, D)

を

E^{3}

内の

C^{\infty}

閉曲面とし,

D = {(S_{λ}, x_{λ}^{- 1}) ∣ λ \in Λ}

とする。

C^{\infty}

閉曲面

S

のいくつかの三角形による分割

S = S_{1}^{'} \cup \dots \cup S_{k}^{'}

を考える。

\partial S_{i}^{'}

をえる弧長でパラメーター付けられた区分的に

C^{r}

級の曲線を

c_{i} : [0, l_{i}] \to S

とし, その 3 つの頂点を

p_{i j} := c_{i} (s_{i j}) (j = 1, 2, 3)

とする. ここで,

s_{i 1} = 0 < s_{i 2} < s_{i 3} < l_{i}

であることに注意する. この分割が次の条件を満たすとする：

(SC)

S_{i} \cap S_{j} \neq \emptyset

のき,

S_{i} \cap S_{j}

は,

S_{i}

と

S_{j}

の共通の辺であるか, または,

S_{i}

と

S_{j}

の共通の頂点である.

このとき, この分割を

S

の三角形分割（triangulation）といい, 各

S_{i}^{'}

をこの分割における面（face）といい，

S_{i}^{'}

の各辺をこの分割における辺（edge）といい,

S_{i}^{'}

の各頂点をこの分割における頂点（vertex）という。一般に,

C^{\infty}

閉曲面は三角形分割を許容することが知られている。この事実を

C^{\infty}

閉曲面の三角形分割可能性（triangulation possibility）という.

C^{\infty}

閉曲面のオイラー標数について, 次の事実が成り立つ.

命題 2.9.1

S = S_{1}^{'} \cup \dots \cup S_{k}^{'}

を

C^{\infty}

曲面

S

の三角形分割とし, その分割における頂点, 辺, 面の個数を各々,

n_{v}, n_{e}, n_{f}

と表すことにする. このとき,

S

のオイラー標数

χ (S)

は, 交代和

n_{v} - n_{e} + n_{f}

に等しくなる.

問 2.9.1 単位球面

S^{2} (1)

のオイラー標数を求めよ.

問 2.9.2 2 次元トーラス（2-dimensional torus）

T^{2} = {((a + b \cos u_{1}) \cos u_{2}, (a + b \cos u_{1}) \sin u_{2}, b \sin u_{1}) ∣ (u_{1}, u_{2}) \in [0, 2 π)^{2}}

(a > b > 0)

のオイラー標数を求めよ（注意

T^{2}

は，単位円

S^{1} (1)

とそれ自身との直積位相空間

S^{1} (1) \times S^{1} (1)

に同相である).

問 2.9.3

E^{3}

内に 2 次元トーラスを互いに交わらないように 2 つ配置し, それらから, 各々, 十分小さな円盤領域を取り除き, 取り除いてできた穴の淵を円筒で滑らかにつないでできる

C^{\infty}

曲面

S

を考える（図 2.9.1 を参照）。このような曲面は, 2 人乗りの浮袋とよばれる。

S

のオイラー標数を求めよ.

図 2.9.1 2 人乗りの浮袋

注意一般に,任意の自然数

g

に対し,

E^{3} に g

個の 2 次元トーラスを互いに交わらないように一列に配置して、それらから各々, 十分小さな円盤領域を取り除き、取り除いてできた穴の淵を順番に円筒で滑らかにつなぐことにより構成される

C^{\infty}

曲面を考える. このような

C^{\infty}

曲面は

g

人乗りの浮袋とよばれ, 種数

g

の閉曲面 (closed surface of genus

g

) とよばれる. 種数

g

の閉曲面のオイラー数は

(2 -

2 g)

になることが示される.

E^{3}

内の向き付けられた

C^{\infty}

閉曲面に対し, 次のガウス・ボンネの定理が成り立つ.

定理 2.9.2（ガウス・ボンネの定理（大域版））

S

を向き付けられた

C^{\infty}

閉曲面とし，Kを

S

のガウス曲率とする。このとき, 次式が成り立つ：

\int_{S} K d A = 2 π χ (S)

証明

S

の三角形分割

S = S_{1}^{'} \cup \dots \cup S_{k}^{'}

をとる.

\partial S_{i}^{'}

を与える弧長でパラメーター付けられた区分的に

C^{r}

級の曲線を

c_{i} : [0, l_{i}] \to S

とし,

S_{i}^{'}

の 3 つの頂点を

c_{i} (0) (= c_{i} (l_{i})), c_{i} (s_{i 1}), c_{i} (s_{i 2})

とする. 便宜上,

s_{i 0} := 0, s_{i 3} := l_{i}

とおき,

p_{i j} := c_{i} (s_{i, j - 1}) (j = 1, 2, 3)

とおく. また, その 3 つの辺

c_{i} ([s_{i, j - 1}, s_{i j}])

(j = 1, 2, 3)

を各々,

e_{i j} (j = 1, 2, 3)

と表し,

c_{i j} := {c |}_{[s_{i, j - 1}, s_{i j}]} (j = 1, 2, 3)

とおく. この三角形分割における頂点の個数, 辺の個数, 面の個数を各々,

n_{v}

図 2.9.2 辺上の測地的曲率の積分が相殺される様子

n_{e}, n_{f}

とする. 明らかに,

n_{f} = k

である. 各面

S_{i}^{'}

に対し，辺が 3 つあり,各辺は 2 つの面によって共有されるので,

\begin{matrix} (2.9.1) & n_{e} = \frac{3}{2} n_{f} \end{matrix}

という関係が成り立つ.

c_{i j}

の測地的曲率を

κ_{i j}

とし,

S_{i}^{'}

の頂点

p_{i j}

における内角を

θ_{i j}

と表すことにする。このとき, 定理 2.8 .1 より次式が導かれる：

\begin{aligned} \int_{S} K d A & = \sum_{i = 1}^{n_{f}} \int_{S_{i}^{'}} K d A \\ = \sum_{i = 1}^{n_{f}} (2 π - \sum_{j = 1}^{3} \int_{s_{i, j - 1}}^{s_{i j}} κ^{i j} (s) d s - \sum_{j = 1}^{3} (π - θ_{i j})) \\ (2.9.2) & = - π n_{f} + \sum_{i = 1}^{n_{f}} \sum_{j = 1}^{3} θ_{i j} - \sum_{i = 1}^{n_{f}} \sum_{j = 1}^{3} \int_{s_{i, j - 1}}^{s_{i j}} κ^{i j} (s) d s \end{aligned}

1 つの頂点に集まっている内角の和は

2 π

なので,

\begin{matrix} (2.9.3) & \sum_{i = 1}^{n_{f}} \sum_{j = 1}^{3} θ_{i j} = 2 π n_{v} \end{matrix}

が成り立つ（図 2.9 .2 を参照）。また，面

S_{i_{1}}^{'}

と面

S_{i_{2}}^{'}

が 1 つの辺を共有している場合, その共有している辺を

e_{i_{1} j_{1}} = e_{i_{2} j_{2}}

とすると,

c_{i_{1} j_{1}}

と

c_{i_{2} j_{2}}

は逆向きになるので,

\int_{s_{i_{1}, j_{1} - 1}}^{s_{i_{1} j_{1}}} κ^{i_{1} j_{1}} (s) d s = - \int_{s_{i_{2}, j_{2} - 1}}^{s_{i_{2} j_{2}}} κ^{i_{2} j_{2}} (s) d s

が成り立つ（図 2.9.2を参照）。それゆえ,

\begin{matrix} (2.9.4) & \sum_{i = 1}^{n_{f}} \sum_{j = 1}^{3} \int_{s_{i, j - 1}}^{s_{i j}} κ^{i j} (s) d s = 0 \end{matrix}

が導かれる。式 (2.9.1), (2.9.3), (2.9.4)を式 (2.9.2)に代入して, 求めるべき積分公式をえる。

3 CHAPTER 定理・ガウスの発散定理

第 1 章と第 2 章で述べた超曲面は, ユークリッド空間内の超曲面片を貼り合わせてえられる部分集合として定義された。つまり, 次元が 1 つ高いユークリッド空間に住む人によって（つまり外在的に）定義された。この章では、まず,

E^{n + 1}

内の超曲面が

R^{n}

の領域と同相な集合（超曲面片のこと）の貼り合わせになっていることに着目して, 一般に,

n

次元多様体という概念を内在的に定義し，その理論における基礎概念，および基本的事実について述べることにする．次に，第２章で述べた超曲面上のストークスの定理が, より一般に，多様体上でも成り立つことを示す．さらに，第１章で述べたユークリッド空間内におけるガウスの発散定理が, より一般に, リーマン多様体内でも成り立つことを示すことにする.

3.1 多様体

この節において, 多様体, および複素多様体を定義し, それらの基本的な例を与えることにする。この節では

r \geq 0

とする.

最初に, 位相空間の概念は既知として, 位相空間のハウスドルフ性, コンパクト性, 局所コンパクト性, パラコンパクト性, および, 位相空間が第 2 可算公理を満たすことを定義しておく。

(X, O)

を位相空間とする。ここで,

O

は

X

の位相，つまり開集合族を表す。まず,ハウスドルフ性を定義しよう.任意の異なる 2 点

p, q \in X

に対し,

p

の開近傍（つまり

p

を含む開集合）

U

と

q

の開近傍

V

で,

U \cap V = \emptyset

となるようなものが存在するとき,

(X, O)

をハウスドルフ空間（Hausdorff space）という．次に, コンパクト性を定義しよう。

O

の部分集合族

U

で

\underset{U \in U}{\cup} U = X

を満たすようなものを，Xの開被覆（open covering）といい,

U

の部分集合族

V

で

X

の開被覆になるよ

うなものを、Uの部分被覆（subcovering）といい，それが有限族である場合，有限部分被覆（finite subcovering）という。また,

X

の部分集合

A

に対し,

O

の部分集合族

U^{'}

で,

A \subset \underset{U^{'} \in U^{'}}{\cup} U^{'}

を満たすようなものを,

A

の開被覆という。

X

の任意の開被覆が有限部分被覆をもつとき,

(X, O)

をコンパクト空間（compact space）といい,

A

の任意の開被覆が有限部分被覆をもつとき、

A

を

(X, O)

のコンパクト部分集合（compact subset）という. また, 任意の点

p \in X

に対し,

p

のコンパクトな閉近傍が存在するとき,

(X, O)

を局所コンパクト空間（locally compact space）という。ここで,

p

の閉近傍とは,

p

のある開近傍の閉包を意味する.

次に, 第 2 可算公理について説明するために, 開基の概念を定義しておく.

O

の部分集合族

B

で, 次の条件を满たすものを開基（open basis）という：

（OB）任意の

U \in O

は，

B

に属する開集合たちの和集合として表される.

(X, O)

が高々可算個からなる開基を許容するとき,

(X, O)

は第 2 可算公理（the second axiom of countability）を满たすという.

次に, パラコンパクト性を定義しよう. そのために, 開被覆の局所有限な細分の概念を定義しておく.

U, V (\subset O)

を

(X, O)

の開被覆とする。

V

が,

U

に対し次の条件を満たすとき,

V

をUの細分（partition）という：

(P) 任意の

V \in V

に対し,

V \subset U

となる

U \in U

が存在する.

また,

V

が次の条件を満たすとき, V は局所有限（locally finite）であるという：

(LF) 任意の

p \in X

に対し,

p

の開近傍

W

で

{V \in V ∣ V \cap W \neq \emptyset}

が有限集合となるようなものが存在する。

(X, O)

の任意の開被覆が局所有限な細分を許容するとき,

(X, O)

をパラコンパクト空間（paracompact space）という。明らかに, コンパクト空間はパラコンパクトになる.

パラコンパクト性について, 次の事実が成り立つ：

命題 3.1.1 第 2 可算公理を满たす局所コンパクトなハウスドルフ空間は,

パラコンパクトである.

多様体上で，様々な滑らかな幾何学量を構成する際に，開被覆に従属する 1 の分割という概念が利用される（例えば, 3.9 節の命題 3.9.1 の証明を参照）. それゆえ，その存在性を保証する条件を発見することは重要である。開被覆に従属する 1 の分割を定義しよう。

U = {U_{λ}}_{λ \in Λ}

を

X

の開被覆とする. 位相空間

(X, O)

上の非負値連続関数の族

{ρ_{i}}_{i \in I}

で，次の条件を満たすようなものをUに従属する 1 の分割（partition of unity subordinating to

U

) という：

(i)

ρ_{i}

の台

supp ρ_{i} := \overset{―}{{p \in X ∣ ρ_{i} (p) \neq 0}}

はコンパクトである；

(ii)

{supp ρ_{i}}_{i \in I}

は局所有限である；

(iii)

\sum_{i \in I} ρ_{i} = 1

が成り立つ;

(iv) 各

i \in I

に対し,

supp ρ_{i} \subset U_{λ_{i}}

となる

λ_{i} \in Λ

が存在する.

開被覆に従属する 1 の分割の存在性について, 次の事実が成り立つ：

命題 3.1.2

(X, O)

がパラコンパクトなハウスドルフ空間であるとき,

X

の任意の開被覆に対し，それに従属する１の分割が存在する.

注意

C^{r}

多様体

M

がパラコンパクトである場合,

M

の任意の開被覆

U =

{U_{λ}}_{λ \in Λ}

に対し，それに従属する 1 の分割

{ρ_{i}}_{i \in I}

で, 各

ρ_{i}

が

M

上の

C^{r}

級関数であるようなものが存在することが示される。

C^{r}

多様体の定義については, この節の後半部を参照のこと. また,

C^{r}

多様体上の

C^{r}

級関数の定義については, 次節を参照のこと.

第 2 可算公理を満たす局所コンパクトなハウスドルフ空間の例を与えよう.

d_{E}

を

n

次元アフィン空間

A^{n}

のユークリッド距離関数, つまり, 次のように定義される

A^{n} \times A^{n}

上の関数とする：

d_{E} (p, q) := ‖ \vec{p q} ‖ (p, q \in A^{n})

d_{E}

を用いて,

B_{E} := {U_{r} (p) ∣ p \in A^{n}, r > 0}

を開基とするような

A^{n}

の位相が定まる。ここで,

U_{r} (p)

は,

p

の

d_{E}

に関する

r

近傍，つまり

{q \in A^{n} ∣ d_{E} (p, q) < r}

を表す. この位相をユークリッド距離位相（Euclidean distance topology）といい,

O_{E}

と表す. この位相空間

(A^{n}, O_{E})

は, 第 2 可算公理を満たす局所コンパクトなハウスドルフ空間になる. この事実を示そう。まず, ハウスドルフ性を示そう。任意に異なる 2 点

p, q \in A^{n}

をとる.

r := d_{E} (p, q)

とおく.このとき,

U_{\frac{r}{2}} (p) \cap U_{\frac{r}{2}} (q) = \emptyset

が三角不等式を用いて示される。それゆえ,

(A^{n}, O_{E})

がハウスドルフ空間であることがわかる. 次に,

(A^{n}, O_{E})

が第 2 可算公理を満たすことを示そう.

B := {U_{r} (p) ∣ p \in Q^{n}, r \in Q}

（ Q

: 有理数全体からなる集合）は,

(A^{n}, O_{E})

の可算個からなる開基であることが容易に示される。それゆえ,

(A^{n}, O_{E})

は第 2 可算公理を満たすことがわかる. 次に, 局所コンパクト性を示そう。任意に,

p \in A^{n}

をとる。

U_{r} (p)

の閉包

\overset{―}{U_{r} (p)} = {q \in A^{n} ∣ ‖ \vec{p q} ‖ \leq r}

は,

p

のコンパクトな閉近傍であることが示される。そゆえ,

(A^{n}, O_{E})

が局所コンパクトであることがわかる. ここで,

U_{r} (p)

はコンパクトでないが,

\overset{―}{U_{r} (p)}

はコンパクトであることを簡単に説明しておこう．

\frac{1}{r}

よりも大きい最小の自然数を

k_{0}

とする. このとき，

U := {U_{r - \frac{1}{k}} (p) | k \in N s.t. k \geq k_{0}}

は有限部分被覆をもたない。それゆえ,

U_{r} (p)

は,

(A^{n}, O_{E})

のコンパクト部分集合ではない。一方,

U

は,

\overset{―}{U_{r} (p)}

の開被覆ではないので, この族に開集合

V_{ε} := U_{r + ε} (p) ∖ \overset{―}{U_{r - ε} (p)} (ε :

十分小さな正の数

)

を加えた族

\tilde{U} := U \cup {V_{ε}}

を考える。この族は,

\overset{―}{U_{r} (p)}

の開被覆になる。これが有限部分被覆をもつことの証明方針を述べておこう．

\frac{1}{ε}

よりも大きい最小の自然数を

k_{1}

とする.このとき,

{U_{r - \frac{1}{k_{1}}} (p), V_{ε}}

は,

A

の開被覆

\tilde{U}

の有限部分被覆になる. この事実から,

\overset{―}{U_{r} (p)}

がコンパクトになることが推測される。厳密な証明については, 位相空間論の本を参照のこと.

超曲面を内在的に定義した概念である多様体という概念を定義しよう。ここで，“内在的定義”とは，次を意味する。超曲面は，1 つ次元の高いユークリ

ッド空間内の滑らかな図形として定義された。つまり, 超曲面に住む人ではなく, 1つ次元の高いユークリッド空間に住む人が定義した。このことを“外在的定義”という。それに比べ, “内在的定義”とは，超曲面を超曲面に住む人が定義することを意味する。このことを踏まえ，超曲面を内在的に定義した概念として, 多様体という概念が次のように定義される。以下,

R^{n}

は

A^{n}

との同一視の下, 位相空間

(A^{n}, O_{E})

とみなすことにする。

M

を第 2 可算公理を満たすハウスドルフ空間とする。

M

の開集合

U_{λ}

と

U_{λ}

から

R^{n}

のある開集合への同相写像

φ_{λ}

の組

(U_{λ}, φ_{λ})

の族

D := {(U_{λ}, φ_{λ}) ∣ λ \in Λ}

を考える. この族が, 次の 2 条件を満たすとする：

(i)

{U_{λ} ∣ λ \in Λ}

は

M

の開被覆である；

(ii)

U_{λ} \cap U_{μ} \neq \emptyset

のとき,

φ_{μ} \circ φ_{λ}^{- 1} : φ_{λ} (U_{λ} \cap U_{μ}) \to φ_{μ} (U_{λ} \cap U_{μ})

は

C^{r}

同型写像である.

このとき, 族

D を M

の

C^{r}

構造（

C^{r}

-structure）といい, 組

(M, D)

を

n

次元

C^{r}

多様体（

n

-dimensional

C^{r}

-manifold）という（図 3.1.1を参照)。定義から容易にわかるように,

M

は局所コンパクトであるので, 命題 3.1.1 により,

M

はパラコンパクトになることを注意しておく.特に,

M

がコンパクトであるとき,

(M, D)

は

C^{r}

閉多様体

(C^{r}

-closed manifold) とよばれる。また, 各

(U_{λ}, φ_{λ})

を局所チャート（local chart）といい,

U_{λ}

φ_{λ}

を各々, 局所座標近傍, 局所座標という。また,

φ_{λ} = (x_{1}^{λ}, \dots, x_{n}^{λ})

によって定義される

U_{λ}

上の関数

x_{i}^{λ} (i = 1, \dots, n)

を局所座標関数（local coordinate function) という.

C^{r}

多様体

(M, D) (D = {(U_{λ}, φ_{λ}) ∣ λ \in Λ})

に対し,

M

の開集合

V

と

V

から

R^{n}

のある開集合への同相写像

ψ

の組

(V, ψ)

で,

V \cap U_{λ} \neq \emptyset

となる各

λ

に対し,

ψ \circ φ_{λ}^{- 1} : φ_{λ} (V \cap U_{λ}) \to ψ (V \cap U_{λ})

が

C^{r}

同型写像になるようなものを

D

と両立する局所チャートという．明らかに，

D

と両立する局所チャートの全体

\hat{D} も M

の

C^{r}

構造を与える。このように極大化された

C^{r}

構造を極大な

C^{r}

構造（maximal

C^{r}

-structure）という.

M

の 2 つの

C^{r}

構造

D_{1}, D_{2}

に対し, それらの極大化された

C^{r}

構造が

ภ

図 3.1.1

C^{r}

多様体と

C^{r}

超曲面

一致するとき,

D_{1}

と

D_{2}

は

C^{r}

同値（

C^{r}

-equivalent）であるという.

命題 3.1.3

C^{r}

多様体

M

の任意の開被覆

U

に対し,

M

上の

C^{r}

級関数からなるUUに従属する 1 の分割が存在する.

証明

M

の次元を

n

とする.

M

は局所的に

R^{n}

の開集合と同相なので, 局所コンパクトであることがわかる。それゆえ,

M

は第 2 可算公理を満たす局所コンパクトなハウスドルフ空間なので, 命題3.1.1により, パラコンパクトであることがわかる。したがって，命題 3.1 .2 , およびその直後の注意により，主張が示される。

問 3.1.1

A

を

n

次元ベクトル空間

V

に付随するアフィン空間とする.

V

の各基底

E = (e_{1}, \dots, e_{n})

に対し，全単射

η_{E} : V \to R^{n}

を

η_{E} (v) := (v_{1}, \dots, v_{n}) (v = \sum_{i = 1}^{n} v_{i} e_{i} \in V)

によって定義する.

η_{E}

を通じて

R^{n}

のハウスドルフ位相から

A

のハウスドルフ位相が定まる. この位相は

V

の基底

E

のとり方によらない。実際, この事実は,

\bar{E}

を

V

のもう 1 つの基底として, 同様に全単射

η_{\bar{E}} : V \to R^{n}

を定義するとき,

η_{\bar{E}}

。

η_{E}^{- 1} : R^{n} \to R^{n}

が同相写像になることから確かめられる。以下,

A

は, このハウスドルフ位相により，ハウスドルフ空間とみなすことにする．明らかに, このハウスドルフ空間は, 第 2 可算公理を満たす.

A

の各点

p

に対し,

φ_{E, p} : A \to R^{n}

を

φ_{E, p} (q) := η_{E} (\vec{p q}) (q \in A)

によって定義する. また,

V

の基底の全体を

F (V)

と表すことにする.

(i) 族

D := {(A, φ_{E, p}) ∣ (E, p) \in F (V) \times A}

は, ハウスドルフ空間

A

の

C^{ω}

構造を与えることを示せ（注意 “

C^{ω}

”は，実解析性を意味する）.

n = 2 とする. A の点 p_{o} と V の基底 E_{o} := (e_{1}^{o}, e_{2}^{o}) を固定し,

x : (0, \infty) \times (0, 2 π) \to A

を

x (r, θ) := Φ_{p_{o}}^{- 1} (r \cos θ e_{1}^{o} + r \sin θ e_{2}^{o}) ((r, θ) \in (0, \infty) \times (0, 2 π))

によって定義する。ここで 1.1 節で述べたように,

Φ_{p_{o}}

は,

Φ_{p_{o}} (p) := \vec{p_{o} p}

(p \in A)

によって定義される

A

から

V

への全単射である.

ψ := x^{- 1}

とおく.

ψ

は,

A ∖ {p_{o}}

から

R^{2}

の開集合

(0, \infty) \times (0, 2 π)

への同相写像になる.

(ii)

(A ∖ {p_{o}}, ψ)

が

D

と両立する局所チャートになることを示せ.

問 3.1.2

n

次元単位球面

S^{n} (1) := {(x_{1}, \dots, x_{n + 1}) ∣ \sum_{i = 1}^{n + 1} x_{i}^{2} = 1}

は,

R^{n + 1}

の部分位相空間として第 2 可算公理を満たすハウスドルフ空間になる.族

D

を次のように定義する：

\begin{aligned} D := {(U_{i}^{+}, φ_{i}^{+}) ∣ i = 1, \dots, n + 1} \cup {(U_{i}^{-}, φ_{i}^{-}) ∣ i = 1, \dots, n + 1} \\ (\begin{aligned} U_{i}^{+} & := {(x_{1}, \dots, x_{n + 1}) \in S^{n} (1) ∣ x_{i} > 0} \\ U_{i}^{-} & := {(x_{1}, \dots, x_{n + 1}) \in S^{n} (1) ∣ x_{i} < 0} \\ φ_{i}^{\pm} & ⟺ {def}^{⇄} φ_{i}^{\pm} (x_{1}, \dots, x_{n + 1}) := (x_{1}, \dots, {\hat{x}}_{i}, \dots, x_{n + 1}) \end{aligned}) \end{aligned}

ここで

{\hat{x}}_{i}

は,

x_{i}

を取り去ることを意味する.

(i) この族

D

は,

S^{n} (1)

の

C^{ω}

構造を与えることを示せ.

(ii)

V := S^{n} (1) ∖ {(0, \dots, 0, 1)}

とし，

ψ : V \to R^{n}

を次式によって定義する：

ψ (x_{1}, \dots, x_{n + 1}) := (\frac{x_{1}}{1 - x_{n + 1}}, \dots, \frac{x_{n}}{1 - x_{n + 1}})

このとき,

(V, ψ)

は上述の

C^{ω}

構造

D

と両立する局所チャートになることを示せ.

問 3.1.3

(n + 1)

次元数ベクトル空間

R^{n + 1}

のピンホール領域

R^{n + 1} ∖ {0}

における同値関係～を次のように定義する：

\begin{aligned} (v_{1}, \dots, v_{n + 1}) \sim (w_{1}, \dots, w_{n + 1}) \\ ⟺ & ある実数 a (\neq 0) に対し, (w_{1}, \dots, w_{n + 1}) = a (v_{1}, \dots, v_{n + 1}) \end{aligned}

この同値関係による商集合

(R^{n + 1} ∖ {0}) / \sim

R P^{n}

と表し,

n

次元実射影空間 (

n

-dimensional real projective space) という. また,

(v_{1}, \dots, v_{n + 1})

の属する同値類を

[v_{1} : \dots : v_{n + 1}]

と表す.

R P^{n}

には, ピンホール領域

R^{n + 1} ∖ {0}

の位相（つまり,

R^{n + 1}

のユークリッド距離位相の部分位相）から誘導される商位相を与える. この商位相は, 第 2 可算公理を満たすハウスドルフ位相になる. 族

D

を次のように定義する：

\begin{matrix} D := {(U_{i}, φ_{i}) ∣ i = 1, \dots, n + 1} \\ (\binom{U_{i} := {[x_{1} : \dots : x_{n + 1}] ∣ x_{i} \neq 0}}{φ_{i} \underset{def}{⟺} φ_{i} ([x_{1} : \dots : x_{n + 1}]) := (\frac{x_{1}}{x_{i}}, \dots, \frac{x_{i - 1}}{x_{i}}, \frac{x_{i + 1}}{x_{i}}, \dots \frac{x_{n + 1}}{x_{i}})}) \end{matrix}

この族

D

は,

R P^{n}

の

C^{ω}

構造を与えることを示せ.

注意

n

次元単位球面

S^{n} (1)

における同値関係〜を次のように定義する：

\begin{aligned} (p_{1}, \dots, p_{n + 1}) & \sim (q_{1}, \dots, q_{n + 1}) \\ ⟺ (q_{1}, \dots, q_{n + 1}) & = (p_{1}, \dots, p_{n + 1}) or (q_{1}, \dots, q_{n + 1}) = (- p_{1}, \dots, - p_{n + 1}) \end{aligned}

(p_{1}, \dots, p_{n + 1})

の属する同値類を

[(p_{1}, \dots, p_{n + 1})]

と表す. このとき, 次の対応は 1 対 1 対応になり, この対応により商集合

S^{n} (1) / \sim

は, 実射影空間

R P^{n}

と同一視される：

[(p_{1}, \dots, p_{n + 1})] ⟷ [p_{1} : \dots : p_{n + 1}]

多様体の発展的例として, 実グラスマン多様体を紹介する.

例 3.1.1

G_{k} (V)

を

n (\geq 2)

次元実ベクトル空間

V

の

k

次元部分ベクトル空間全体のなす空間とする. ここで,

k

は 1 以上

n - 1

以下のある自然数とする.

G_{k} (V)

の

C^{ω}

構造は次のように定義される.

V

に補助的に内積〈, 〉を与える.

(V, ⟨ ⟩

) の k

個のベクトルからなる 1 次独立系の全体を

S_{k} (V)

と表す。

V

の基底

(e_{1}^{o}, \dots, e_{n}^{o})

を固定する. 各

(e_{1}, \dots, e_{k}) \in S_{k} (V)

に対し，

e_{i} =

\sum_{j = 1}^{n} a_{i}^{j} e_{j}^{o} (i = 1, \dots, k)

として,

(k, n)

型行列

(a_{i}^{j})

を対応させることにより,

S_{k} (V)

から

(k, n)

型実行列全体のなす空間

M (k, n; R)

(これは,

R^{n k}

と同一視される）の開集合への全単射が定義される。この全単射を通じて,

S_{k} (V)

は,

M (k, n; R) \approx R^{n k}

の開集合とみなされ, それゆえ,

R^{n k}

の開部分多様体

として

n k

次元

C^{ω}

多様体とみなされる.

π : S_{k} (V) \to G_{k} (V)

を

π (e_{1}, \dots, e_{k})

:= Span {e_{1}, \dots, e_{k}}

によって定義する。

S_{k} (V)

の位相から

π

によって誘導される強位相を

G_{k} (V)

に与えると, この位相は第 2 可算公理を満たすハウスドルフ位相になる。各

W_{0} \in G_{k} (V)

に対し,

W_{0}

の基底

({\bar{e}}_{1}, \dots, {\bar{e}}_{k})

と

W_{0}^{⊥}

の基底

({\bar{e}}_{k + 1}, \dots, {\bar{e}}_{n})

をとる。

W_{0}

の

(G_{k} (V)

における）十分小さな近傍

U_{W_{0}}

をとり,

U_{W_{0}}

から

R^{k (n - k)} = M (k, n - k; R) へ の

写像

φ_{W_{0}} = (x_{i}^{j})

を,

W \in

U_{W_{0}}

に対し,

V

から

W^{⊥}, W_{0}^{⊥}

への直交射影を各々,

{pr}_{W^{⊥}}, {pr}_{W_{0}^{⊥}}

として,

({pr}_{W_{0}^{⊥}} \circ {pr}_{W^{⊥}}) ({\bar{e}}_{i}) = \sum_{j = k + 1}^{n} x_{i}^{j} (W) {\bar{e}}_{j} (i = 1, \dots, k)

によって定義する. このとき,

D := {(U_{W_{0}}, φ_{W_{0}}) ∣ W_{0} \in G_{k} (V)}

は,

G_{k} (V)

の

C^{ω}

構造を与え、それゆえ,

(G_{k} (V), D)

は

k (n - k)

次元

C^{ω}

多様体になる.

(G_{k} (V), D)

は,

k

次元部分ベクトル空間のなす実グラスマン多様体（real Grassmannian manifold) とよばれ, 特に

k = 1

のとき, 問 3.1.3 で述べた

(n - 1)

次元実射影空間と同一視される。

多様体のもう一つの発展的例として, 有向実グラスマン多様体を紹介する.

例 3.1.2

{\tilde{G}}_{k} (V)

を

n (\geq 2)

次元実べクトル空間

V

の向き付けられた

k

次元部分ベクトル空間全体のなす空間とする. ここで,

k

は 1 以上

n - 1

以下のある自然数とする。実ベクトル空間の向き付けの定義については, 1.2 節を参照のこと.

{\tilde{G}}_{k} (V)

の

C^{ω}

構造は次のように定義される.

π : {\tilde{G}}_{k} (V) \to G_{k} (V)

を

π (W, O) := W ((W, O) \in {\tilde{G}}_{k} (V))

によって定義する. ここで,

O

は

W

の向きを表す.

W

の向きは 2 つ存在することから, この写像が

2 : 1

の写像であることがわかる. 例 3.1.2の

G_{k} (V)

の

C^{ω}

構造

D := {(U_{W_{0}}, φ_{W_{0}}) ∣ W_{0} \in G_{k} (V)}

に対し, 各

U_{W_{0}}

は十分小さくとってあるので,

π^{- 1} (U_{W_{0}})

は, 2 つの連結成分からなることが示される。それらを

U_{W_{0}}^{+}, U_{W_{0}}^{-}

と表し,

φ_{W_{0}}^{\pm} := {φ_{W_{0}} \circ π |}_{U_{W_{0}}^{\pm}}

とおく.このとき,

\tilde{D} := {(U_{W_{0}}^{+}, φ_{W_{0}}^{+}) ∣ W_{0} \in G_{k} (V)} \cup {(U_{W_{0}}^{-}, φ_{W_{0}}^{-}) ∣ W_{0} \in G_{k} (V)}

は,

{\tilde{G}}_{k} (V)

の

C^{ω}

構造を与えることが示される。

({\tilde{G}}_{k} (V), \tilde{D})

は, 向き付けられた

k

次元部分ベクトル空間のなす有向実グラスマン多様体 (oriented real Grassmannian manifold) とよばれる。

次に, 開部分多様体の概念を定義しよう.

(M, D)

を

n

次元

C^{r}

多様体とし,

D = {(U_{λ}, φ_{λ}) ∣ λ \in Λ}

とする.

W

を

M

の開集合とする。

W

には，Ｍの部分位相を与える.

M

は第 2 可算公理を満たすハウスドルフ空間なので, 部分位相空間

W

も第 2 可算公理を満たすハウスドルフ空間になる. 族

{D |}_{W}

を

{D |}_{W} := {(U_{λ} \cap W, {φ_{λ} |}_{U_{λ} \cap W}) ∣ λ \in Λ

s.t.

U_{λ} \cap W \neq \emptyset}

にって定義する.明らかに各

{φ_{λ} |}_{W}

は,

R^{n}

のある開集合への同相写像であり, 族

{D |}_{W}

は

W

の

C^{r}

構造を与える. このように,

(W, {D |}_{W})

は

n

次元

C^{r}

多様体になる. このような

n

次元

C^{r}

多様体を

(M, D)

の開部分多様体 (open submanifold) という.

次に, 積多様体の概念を定義しよう.

(M, D_{M}) (D_{M} = {(U_{λ}, φ_{λ}) ∣ λ \in Λ})

を

m

次元

C^{r}

多様体とし,

(N, D_{N}) (D_{N} = {(V_{μ}, ψ_{μ}) ∣ μ \in M})

を

n

次元

C^{r}

多様体とする. 族

D_{M} \times D_{N}

を

D_{M} \times D_{N} := {(U_{λ} \times V_{μ}, φ_{λ} \times ψ_{μ}) ∣ (λ, μ) \in Λ \times M}

によって定義する．ここで

φ_{λ} \times ψ_{μ}

は，

φ_{λ}

と

ψ_{μ}

の積写像, つまり，次式によって定義される

U_{λ} \times V_{μ}

から

R^{m} \times R^{n} = R^{m + n} へ

の写像を表す：

(φ_{λ} \times ψ_{μ}) (p, q) := (φ_{λ} (p), ψ_{μ} (q)) ((p, q) \in U_{λ} \times V_{μ})

（図 3.1.2 を参照）。この族

D_{M} \times D_{N}

が積位相空間

M \times N

の

C^{r}

構造であることを示そう. 各

φ_{λ} \times ψ_{μ}

が,

U_{λ} \times V_{μ}

から

R^{m + n}

のある開集合への同相写像であることは, 明らかである。

(U_{λ_{1}} \times V_{μ_{1}}) \cap (U_{λ_{1}} \times V_{μ_{2}}) \neq \emptyset

の場合,

(φ_{λ_{2}} \times ψ_{μ_{2}}) \circ {(φ_{λ_{1}} \times ψ_{μ_{1}})}^{- 1} = (φ_{λ_{2}} \circ φ_{λ_{1}}^{- 1}) \times (ψ_{μ_{2}} \circ ψ_{μ_{1}}^{- 1})

となり,

φ_{λ_{2}} \circ φ_{λ_{1}}^{- 1}, ψ_{μ_{2}} \circ ψ_{μ_{1}}^{- 1}

が

C^{r}

同型写像であることから,

(φ_{λ_{2}} \times ψ_{μ_{2}}) \circ

{(φ_{λ_{1}} \times ψ_{μ_{1}})}^{- 1}

が

C^{r}

同型写像であることが示される.したがって,

D_{M} \times D_{N}

図 3.1.2 積多様体の

C^{r}

構造

は積位相空間

M \times N

の

C^{r}

構造であることがわかる. この

(m + n)

次元

C^{r}

多様体

(M \times N, D_{M} \times D_{N})

を

(M, D_{M})

と

(N, D_{N})

の積多様体（product manifold) という.

次に, 複素多様体の概念を定義する。以下,

C^{n} と R^{2 n}

の自然な 1 対 1 対応

\begin{aligned} (z_{1}, \dots, z_{n}) (\in C^{n}) ⟷ (x_{1}, y_{1}, \dots, x_{n}, y_{n}) (\in R^{2 n}) \\ (z_{i} = x_{i} + \sqrt{- 1} y_{i} (i = 1, \dots, n)) \end{aligned}

の下,

C^{n}

を

R^{2 n}

と同一視することにする。

M

を第 2 可算公理を満たすハウスドルフ空間とし,

M

の開集合

U_{λ}

と,

U_{λ}

から

C^{n}

のある開集合への同相写像

φ_{λ}

の組

(U_{λ}, φ_{λ})

の族

D := {(U_{λ}, φ_{λ}) ∣ λ \in Λ}

を考える. この族が次の 2 条件を満たすとする：

(i)

{U_{λ} ∣ λ \in Λ}

は

M

の開被覆である；

(ii)

U_{λ} \cap U_{μ} \neq \emptyset

のとき,

φ_{μ} \circ φ_{λ}^{- 1} : φ_{λ} (U_{λ} \cap U_{μ}) \to φ_{μ} (U_{λ} \cap U_{μ})

は正則同型写像である.

このとき, 族

D

を

M

の複素構造といい, 組

(M, D)

を

n

次元複素多様体（n-dimensional complex manifold）という。定義から容易にわかるように,

M

は局所コンパクトであるので, 命題3.1.1により,

M

はパラコンパク

トになることを注意しておく．特に，1 次元複素多様体は, リーマン面（Riemann surface）とよばれる。また, 各

(U_{λ}, φ_{λ})

を局所チャートといい,

U_{λ}

φ_{λ}

を各々, 局所座標近傍, 局所座標という。また,

φ_{λ} = (z_{1}^{λ}, \dots, z_{n}^{λ})

によって定義される

U_{λ}

上の関数

z_{i}^{λ} (i = 1, \dots, n)

を局所座標関数という. 上述の

C^{n}

と

R^{2 n}

の自然な同一視の下, 各

φ_{λ}

を

R^{2 n}

への写像とみなした場合, 複素構造

D

は

C^{ω}

構造を与えることが容易に示される. このように,

n

次元複素多様体は,

2 n

次元

C^{ω}

多様体とみなされる。上述の開部分多様体, 積多様体と同様に, 複素多様体に対しても, 開部分多様体, 積複素多様体が定義される.

問 3.1.4

(n + 1)

次元複素数ベクトル空間

C^{n + 1}

のピンホール領域

C^{n + 1} ∖ {0}

における同値関係～を次のように定義する：

\begin{aligned} (v_{1}, \dots, v_{n + 1}) \sim (w_{1}, \dots, w_{n + 1}) \\ ⟺ \\ ⟺ ある複素数 a (\neq 0) に対し, (w_{1}, \dots, w_{n + 1}) = a (v_{1}, \dots, v_{n + 1}) . \end{aligned}

この同値関係による商集合

(C^{n + 1} ∖ {0}) / \sim

を

P^{n}

と表し,

n

次元複素射影空間（只-dimensional complex projective space）という. また,

(v_{1}, \dots, v_{n + 1})

の属する同値類を

[v_{1} : \dots : v_{n + 1}]

と表す.

C P^{n}

には, ピンホール領域

C^{n + 1} ∖ {0}

の位相（つまり,

C^{n + 1}

のユークリッド距離位相の部分位相）から誘導される商位相を与える。この商位相は, 第 2 可算公理を満たすハウスドルフ位相になる. 族

D

を次のように定義する：

\begin{matrix} D := {(U_{i}, φ_{i}) ∣ i = 1, \dots, n + 1} \\ (\begin{aligned} U_{i} & := {[z_{1} : \dots : z_{n + 1}] ∣ z_{i} \neq 0} \\ φ_{i} & \underset{def}{⟺} φ_{i} ([z_{1} : \dots : z_{n + 1}]) := (\frac{z_{1}}{z_{i}}, \dots, \frac{z_{i - 1}}{z_{i}}, \frac{z_{i + 1}}{z_{i}}, \dots \frac{z_{n + 1}}{z_{i}}) \end{aligned}) \end{matrix}

この族

D

は,

C P^{n}

の複素構造を与えることを示せ.

注意

(2 n + 1)

次元単位球面

S^{2 n + 1} (1) = {{(z_{1}, \dots, z_{n + 1}) \in C^{n + 1} | \sum_{i = 1}^{n + 1} | z_{i} |}^{2} = 1}

における同値関係～を次のように定義する：

\begin{aligned} (z_{1}, \dots, z_{n + 1}) \sim (w_{1}, \dots, w_{n + 1}) \\ ⟺ & \exists α \in C (| α | = 1) s.t. (w_{1}, \dots, w_{n + 1}) = α (z_{1}, \dots, z_{n + 1}) \end{aligned}

(z_{1}, \dots, z_{n + 1})

の属する同値類を

[(z_{1}, \dots, z_{n + 1})]

と表す. このとき，次の 1 対 1
対応により, 商集合

S^{2 n + 1} (1) / \sim

は, 複素射影空間

C P^{n}

と同一視される：

[(z_{1}, \dots, z_{n + 1})] ⟷ [z_{1} : \dots : z_{n + 1}]

複素多様体の発展的例として, 複素グラスマン多様体を紹介する.

例 3.1.3

G_{k} (V)

を

n (\geq 2)

次元複素ベクトル空間

V

の

k

次元部分ベクトル空間全体のなす空間とする. ここで,

k

は 1 以上

n - 1

以下のある自然数とする.

G_{k} (V)

の第 2 可算公理を満たすハウスドルフ位相と複素構造は, 例 3.1.1 の実グラスマン多様体の場合とほぼ同様に与えられ, これは,

k (n - k)

次元複素多様体になる。この複素多様体

G_{k} (V)

を

k

次元部分ベクトル空間のなす複素グラスマン多様体（complex Grassmannian manifold）といい, 特に

k = 1

のとき, 問 3.1.4 で述べた

(n - 1)

次元複素射影空間と同一視される.

$3.2 C^{r}$ 写像

この節では,

r \geq 0

, または

r = \infty

とする. この節において,

C^{\infty}

多様体間の写像の

C^{r}

級性（

r

回連続微分可能性）を定義する。

(M, D_{M}), (N, D_{N})

を

C^{\infty}

多様体とし,

f

を

M

から

N

への連続写像とする。以下,

D_{M}, D_{N}

は略すことにする. 点

p \in M

のまわりの

M

の局所チャート

(U, φ)

と点

f (p)

のまわりの

N

の局所チャート

(V, ψ)

に対し,

ψ \circ f \circ φ^{- 1} : φ (U \cap f^{- 1} (V)) \to

ψ (f (U) \cap V)

が点

φ (p)

で

C^{r}

級であるとき,

f

は

p

で

C^{r}

級である（of class

C^{r}

p)

という.

f

が

M

の各点で

C^{r}

級であるとき,

f

を

C^{r}

写像（

C^{r} - m a p ）

という. この定義が,

p

のまわりの

M

の局所チャートと

f (p)

のまわりの

N

の局所チャートのとり方によらないことを示そう. 点

p

のまわりの

M

の局所チャート

(\hat{U}, \hat{φ})

と点

f (p)

のまわりの

N

の局所チャート

(\hat{V}, \hat{ψ})

をもう 1 組とる。このとき,

\hat{ψ} \circ f \circ {\hat{φ}}^{- 1} = (\hat{ψ} \circ ψ^{- 1}) \circ (ψ \circ f \circ φ^{- 1}) \circ (φ \circ {\hat{φ}}^{- 1})

（図 3.1.3 を参照）より,

ψ \circ f \circ φ^{- 1}

が点

φ (p)

で

C^{r}

級であるならば,

\hat{ψ} \circ f \circ

{\hat{φ}}^{- 1}

は点

\hat{φ} (p)

で

C^{r}

級であることが示される。逆も同様に示されるので,

ψ

○

f \circ φ^{- 1}

が点

φ (p)

で

C^{r}

級であることと,

\hat{ψ} \circ f \circ {\hat{φ}}^{- 1}

が点

\hat{φ} (p)

で

C^{r}

級であることが同値である, つまり,

f

の

p

での

C^{r}

級性の定義は,

p

のまわりの

M

の局所チャートと

f (p)

のまわりの

N

の局所チャートのとり方によらないこと

図 3.1.3多様体間の写像の 2 つの局所表示間の関係

が示される.

特に,

M

から

R

への

C^{r}

写像を

M

上の

C^{r}

級関数（

C^{r}

-function）とい

う.

M

上の

C^{r}

級関数の全体は

C^{r} (M)

と表される.

M

から

N

への全単射

f

で,

f, f^{- 1}

共に

C^{r}

写像であるようなものを

M

から

N

への

C^{r}

同型写像

(C^{r}

-isomorphism)，または，

C^{r}

微分同相写像

(C^{r}

-diffeomorphism）といい,

M

から

N

への

C^{r}

同型写像が存在するとき,

M

と

N

は

C^{r}

同型

(C^{r}

-isomorphic) である, または,

C^{r}

微分同相

(C^{r}

-diffeomorphic) であるという. 2 つの

C^{r}

多様体が

C^{r}

同型であることは, それらが

C^{r}

多様体として本質的に同じものであることを意味することに注意する.

問 3.2.1

S^{1} (1) := {(x_{1}, x_{2}) \in R^{2} ∣ x_{1}^{2} + x_{2}^{2} = 1}

とし,

D = {(U, φ), (V, ψ)}

を次のように定める：

\begin{aligned} U := {(x_{1}, x_{2}) \in S^{1} (1) ∣ x_{1} > 0}, φ : U \to R \underset{def}{⟺} φ (x_{1}, x_{2}) = x_{2}, \\ V := S^{1} (1) ∖ {(1, 0)}, ψ : V \to R \underset{def}{⟺} ψ (\cos θ, \sin θ) = θ (0 < θ < 2 π) \end{aligned}

(i)

(S^{1} (1), D)

は, 1 次元

C^{ω}

多様体であることを示せ.

(ii) 写像

f : (S^{1} (1), D) \to (S^{1} (1), D)

を

f (\cos θ, \sin θ) := (\cos 2 θ, \sin 2 θ) (0 \leq θ < 2 π)

によって定義する.

f

が

C^{ω}

写像であることを示せ.

3.3 接ベクトル

この節では

r \geq 0

とする. この節において,

C^{\infty}

多様体の各点における接べクトル，および接空間の概念を定義する。開区間

(a, b)

（または閉区間

[a, b]

) から

C^{\infty}

多様体

M

への

C^{r}

写像を,

M

上の

C^{r}

曲線という. ここで, 閉区間

[a, b]

から

M

への

C^{r}

写像とは,

[a, b]

を含むある開区間

(a - ε, b + ε)

から

M

への

C^{r}

写像の

[a, b]

への制限を意味する。

C := {(c, t_{0}) ∣ c

は

M

上の

C^{r}

曲線,

t_{0}

は

c

の定義域内の 1 点

}

にける同値関係〜を次のように定義する：

(c_{1}, t_{1}) \sim (c_{2}, t_{2}) \underset{def}{⟺} {\begin{matrix} ∙ c_{1} (t_{1}) = c_{2} (t_{2}); \\ ∙ c_{1} (t_{1}) = c_{2} (t_{2}) のまわりの局所チャート \\ (U, φ = (x_{1}, \dots, x_{n})) に対し \\ {\frac{d (φ \circ c_{1})}{d t} |}_{t = t_{1}} = {\frac{d (φ \circ c_{2})}{d t} |}_{t = t_{2}} \end{matrix}

ここで,

{\frac{d (φ \circ c_{i})}{d t} |}_{t = t_{i}} (i = 1, 2)

は

φ \circ c_{i}

を

R^{n}

に値をとるベクトル値関数とみて微分したもの, つまり,

({\frac{d (x_{1} \circ φ \circ c_{i})}{d t} |}_{t = t_{i}}, \dots, {\frac{d (x_{n} \circ φ \circ c_{i})}{d t} |}_{t = t_{i}})

を表す. この同値関係が well-defined であること, つまり,

p

のまわりの局所チャート

(U, φ)

のとり方によらないことを示そう。そのためには, もう 1 ,

p := c_{1} (t_{1}) = c_{2} (t_{2})

のまわりの局所チャート

(V, ψ = (y_{1}, \dots, y_{n}))

をとり,

{\frac{d (φ \circ c_{1})}{d t} |}_{t = t_{1}} = {\frac{d (φ \circ c_{2})}{d t} |}_{t = t_{2}}

と

{\frac{d (ψ \circ c_{1})}{d t} |}_{t = t_{1}} = {\frac{d (ψ \circ c_{2})}{d t} |}_{t = t_{2}}

が同値であることを示せばよい.

{\frac{d (φ \circ c_{1})}{d t} |}_{t = t_{1}} = {\frac{d (φ \circ c_{2})}{d t} |}_{t = t_{2}}

であるとする. このとき，

図 3.3.1接ベクトル

\begin{aligned} {\frac{d (y_{i} \circ c_{1})}{d t} |}_{t = t_{1}} & = {\frac{d}{d t} |}_{t = t_{1}} (y_{i} \circ φ^{- 1}) ((x_{1} \circ c_{1}) (t), \dots, (x_{n} \circ c_{1}) (t)) \\ = {\sum_{j = 1}^{n} {(\frac{\partial y_{i} \circ φ^{- 1}}{\partial x_{j}})}_{φ (p)} \frac{d (x_{j} \circ c_{1})}{d t} |}_{t = t_{1}} \\ = {\sum_{j = 1}^{n} {(\frac{\partial y_{i} \circ φ^{- 1}}{\partial x_{j}})}_{φ (p)} \frac{d (x_{j} \circ c_{2})}{d t} |}_{t = t_{2}} = {\frac{d (y_{i} \circ c_{2})}{d t} |}_{t = t_{2}} \end{aligned}

それゆえ,

{\frac{d (ψ \circ c_{1})}{d t} |}_{t = t_{1}} = {\frac{d (ψ \circ c_{2})}{d t} |}_{t = t_{2}}

が示される. 逆も同様に示される. このように, 上述の同値関係はwell-definedである. 〜に関する

(c, t_{0})

の属する同値類を

c^{'} (t_{0}), {\frac{d c}{d t} |}_{t = t_{0}}

, または

{\frac{d}{d t} |}_{t = t_{0}} c (t)

と表し,

c

の

t_{0}

における接ベクトル, または, 速度ベクトルという（図 3.3.1を参照）.

次に, 接空間を定義する.

T_{p} M := {c^{'} (t_{0}) ∣ (c, t_{0}) \in C

s.t.

c (t_{0}) = p}

とおく.

T_{p} M

における和，実数倍を次のように定義する。

(U, φ = (x_{1}, \dots, x_{n}))

を

p

のまわりの局所チャートとする.

v_{1}, v_{2} \in T_{p} M

に対し, 和

v_{1} + v_{2}

を

v_{i} = c_{i}^{'} (0) (i = 1, 2)

として,

v_{1} + v_{2} := {\bar{c}}^{'} (0) (\bar{c} (t) := φ^{- 1} (\sum_{i = 1}^{2} (φ (c_{i} (t)) - φ (p)) + φ (p)))

により定義する。また,

v \in T_{p} M

と

a \in R

に対し，

a v

を

v = c^{'} (0)

として,

a v := {\hat{c}}^{'} (0) (\hat{c} (t) := φ^{- 1} (a (φ (c (t)) - φ (p)) + φ (p))

により定義する。この実数倍と和は well-defined, つまり,

(U, φ)

のとり方によらずに定まることを示そう. そのために, もう 1 つ,

p

のまわりの局所チャート

(V, ψ = (y_{1}, \dots, y_{n}))

をとる。

\begin{aligned} c_{φ} (t) := φ^{- 1} (\sum_{i = 1}^{2} (φ (c_{i} (t)) - φ (p)) + φ (p)) \\ c_{ψ} (t) := ψ^{- 1} (\sum_{i = 1}^{2} (ψ (c_{i} (t)) - ψ (p)) + ψ (p)) \end{aligned}

として,

c_{φ}^{'} (0) = c_{ψ}^{'} (0)

を示さなければならない.

\begin{aligned} {\frac{d (x_{i} \circ c_{φ})}{d t} |}_{t = 0} & = {\frac{d}{d t} |}_{t = 0} (\sum_{j = 1}^{2} (x_{i} (c_{j} (t)) - x_{i} (p)) + x_{i} (p)) \\ = {\sum_{j = 1}^{2} \frac{d (x_{i} \circ c_{j})}{d t} |}_{t = 0} \end{aligned}

および,

\begin{aligned} {\frac{d (x_{i} \circ c_{ψ})}{d t} |}_{t = 0} \\ = {\frac{d}{d t} |}_{t = 0} ((x_{i} \circ ψ^{- 1}) (\sum_{j = 1}^{2} (y_{1} (c_{j} (t)) - y_{1} (p)) + y_{1} (p), \dots \\ \dots, \sum_{j = 1}^{2} (y_{n} (c_{j} (t)) - y_{n} (p)) + y_{n} (p))) \\ = {\sum_{k = 1}^{n} {(\frac{\partial (x_{i} \circ ψ^{- 1})}{\partial y_{k}})}_{ψ (p)} \frac{d}{d t} |}_{t = 0} (\sum_{j = 1}^{2} (y_{k} (c_{j} (t)) - y_{k} (p)) + y_{k} (p)) \end{aligned}

= {\sum_{j = 1}^{2} \sum_{k = 1}^{n} {(\frac{\partial (x_{i} \circ ψ^{- 1})}{\partial y_{k}})}_{ψ (p)} \frac{d (y_{k} (c_{j} (t)))}{d t} |}_{t = 0} = {\sum_{j = 1}^{2} \frac{d (x_{i} \circ c_{j})}{d t} |}_{t = 0}

が示されるので,

{\frac{d (x_{i} \circ c_{φ})}{d t} |}_{t = 0} = {\frac{d (x_{i} \circ c_{ψ})}{d t} |}_{t = 0} (i = 1, \dots, n)

をえる。それゆえ,

c_{φ}^{'} (0) = c_{ψ}^{'} (0)

が示される。したがって, 上述の和が welldefined であることが示されたことになる。同様に,上述の接べクトルの実数倍が well-definedであることも示される。また，

T_{p} M

がこれらの和と実数倍に関してベクトル空間になることが容易に示される. このべクトル空間

T_{p} M

を,

M

の点

p

における接空間といい, この

T_{p} M

の各元を

M

の点

p

における接ベクトルという.

M

の局所チャート

(U, φ = (x_{1}, \dots, x_{n}))

に対し,

{(\frac{\partial}{\partial x_{i}})}_{p} (\in T_{p} M)

を,

c_{i} (t) := φ^{- 1} (x_{1} (p), \dots, x_{i} (p) + t, \dots, x_{n} (p))

として

{(\frac{\partial}{\partial x_{i}})}_{p} := c_{i}^{'} (0)

によって定義する. このとき，次の事実が成り立つ.

命題 3.3.1

({(\frac{\partial}{\partial x_{1}})}_{p}, \dots, {(\frac{\partial}{\partial x_{n}})}_{p})

は,

T_{p} M

の基底になる.

証明簡単のため,

p_{i} := x_{i} (p) (i = 1, \dots, n)

とおく. 最初に, 1 次独立性を示すことにする。

\begin{matrix} (3.3.1) & \sum_{i = 1}^{n} a_{i} {(\frac{\partial}{\partial x_{i}})}_{p} = 0 \end{matrix}

（ a_{i} \in R ）

とする. このとき,

T_{p} M

における和，実数倍の定義より，

\hat{c} (t) := φ^{- 1} (\sum_{i = 1}^{n} a_{i} (φ (c_{i} (t)) - φ (p)) + φ (p))

として、

{\tilde{c}}^{'} (0) = \sum_{i = 1}^{n} a_{i} {(\frac{\partial}{\partial x_{i}})}_{p}

となる.したがって, 式 (3.3.1)より、

{\frac{d (φ \circ \hat{c})}{d t} |}_{t = 0} = (0, \dots, 0)

となる. 一方,

{\frac{d (φ \circ \hat{c})}{d t} |}_{t = 0}

を計算すると,

\begin{aligned} {\frac{d (φ \circ \hat{c})}{d t} |}_{t = 0} & = {\frac{d}{d t} |}_{t = 0} (\sum_{i = 1}^{n} a_{i} (φ (c_{i} (t)) - φ (p)) + φ (p)) \\ = {\frac{d}{d t} |}_{t = 0} (p_{1} + a_{1} t, \dots, p_{n} + a_{n} t) = (a_{1}, \dots, a_{n}) \end{aligned}

をえる。それゆえ,

a_{1} = \dots = a_{n} = 0

が導かれる。したがって,

{(\frac{\partial}{\partial x_{i}})}_{p}

，

\dots, {(\frac{\partial}{\partial x_{n}})}_{p}

が 1 次独立であることが示される.

次に，生成性を示すことにする。任意に

v \in T_{p} M

をとる.

v = c^{'} (0)

とする. ある実数の列

a_{1}, \dots, a_{n}

に対し，

\begin{matrix} (3.3.2) & v = \sum_{i = 1}^{n} a_{i} {(\frac{\partial}{\partial x_{i}})}_{p} \end{matrix}

と表されることを示したい.

c_{i}, \hat{c}

を上述のような曲線とする. このとき, 式 (3.3.2) が成り立つためには,

{\frac{d x_{i} (c (t))}{d t} |}_{t = 0} = {\frac{d x_{i} (\hat{c} (t))}{d t} |}_{t = 0}

が成り立たなければならないが, この式の右辺を計算すると

a_{i}

となるので, 結局,

a_{i} =

{\frac{d (x_{i} \circ c)}{d t} |}_{t = 0}

が成り立たなければならないことになる。それゆえ,

v

が

{(\frac{\partial}{\partial x_{1}})}_{p}, \dots, {(\frac{\partial}{\partial x_{n}})}_{p}

の 1 次結合で表されるとすれば,

\begin{matrix} (3.3.3) & v = {\sum_{i = 1}^{n} \frac{d (x_{i} \circ c)}{d t} |}_{t = 0} {(\frac{\partial}{\partial x_{i}})}_{p} \end{matrix}

という形をしていなければならないが, 実際にこの式が成り立つことは容易に確認することできる.このように,

v

は

{(\frac{\partial}{\partial x_{1}})}_{p}, \dots, {(\frac{\partial}{\partial x_{n}})}_{p}

の 1 次結合で表される。それゆえ，

v

の任意性により，

{(\frac{\partial}{\partial x_{1}})}_{p}, \dots, {(\frac{\partial}{\partial x_{n}})}_{p}

が

T_{p} M

を生成することがわかる。したがって,

({(\frac{\partial}{\partial x_{1}})}_{p}, \dots, {(\frac{\partial}{\partial x_{n}})}_{p})

が

T_{p} M

の基底であることが結論される。

この基底

({(\frac{\partial}{\partial x_{i}})}_{p}, \dots, {(\frac{\partial}{\partial x_{n}})}_{p})

を

(U, φ)

の

p

における座標基底（co-
ordinate basis), または, 自然基底（natural basis）という。式 (3.3.3) によれば, 次の主張が成り立つ.

命題 3.3.2

C^{r}

曲線

c : I \to M

に対し, 次の関係式が成り立つ：

c^{'} (t_{0}) = {\sum_{i = 1}^{n} \frac{d (x_{i} \circ c)}{d t} |}_{t = t_{0}} {(\frac{\partial}{\partial x_{i}})}_{c (t_{0})} (t_{0} \in I)

この関係式を用いて, 次の関係式が導かれる。

命題 3.3.3

(U, φ = (x_{1}, \dots, x_{n})), (V, ψ = (y_{1}, \dots, y_{n}))

を

p

のまわの局所チャートとする。このとき, 次の関係式が成り立つ：

\begin{matrix} (3.3.4) & {(\frac{\partial}{\partial x_{i}})}_{p} = \sum_{j = 1}^{n} {(\frac{\partial (y_{j} \circ φ^{- 1})}{\partial x_{i}})}_{φ (p)} {(\frac{\partial}{\partial y_{j}})}_{p} \end{matrix}

証明

c_{i} (t) := φ^{- 1} (x_{1} (p), \dots, x_{i} (p) + t, \dots, x_{n} (p))

とする. このとき,

c_{i}^{'} (0) = {(\frac{\partial}{\partial x_{i}})}_{p}

となるので, 命題 3.3.2 を用いて,

\begin{aligned} {(\frac{\partial}{\partial x_{i}})}_{p} & = {\sum_{j = 1}^{n} \frac{d (y_{j} \circ c_{i})}{d t} |}_{t = 0} {(\frac{\partial}{\partial y_{j}})}_{p} \\ = {\sum_{j = 1}^{n} \frac{d}{d t} |}_{t = 0} ((y_{j} \circ φ^{- 1}) (x_{1} (p), \dots, x_{i} (p) + t, \dots, x_{n} (p))) {(\frac{\partial}{\partial y_{j}})}_{p} \\ = \sum_{j = 1}^{n} {(\frac{\partial (y_{j} \circ φ^{- 1})}{\partial x_{i}})}_{φ (p)} {(\frac{\partial}{\partial y_{j}})}_{p} \end{aligned}

が示される.

問 3.3.1

A

を

n

次元ベクトル空間

V

に付随するアフィン空間とし,

D :=

{(A, φ_{E, p}) ∣ (E, p) \in F (V) \times A}

を問 3.1.1 で述べたような

A

の

C^{ω}

構造とする.

o

を

A

の基点として固定する.

v \in V

に対し,

A

上の

C^{\infty}

級曲線

c_{v} : R \to A

を

c_{v} (t) := Φ_{o}^{- 1} (\vec{o p} + t v) (t \in R)

と定義する. ここで

Φ_{o}

は, 1.1 節, および問 3.1.1 で述べた

A

から

V

への全単射

である. 明らかに,

c_{v} (0) = p

なので,

c_{v}^{'} (0)

は

T_{p} A

の元である. 写像

Ψ_{p} : V \to

T_{p} A

を

Ψ_{p} (v) = c_{v}^{'} (0) (v \in V)

と定義する. この写像

Ψ_{p}

が線形同型写像であることを示せ（通常, この線形同型写像

Ψ_{p}

を通じて,

T_{p} A

は

V

と同一視される).

C^{\infty} (p)

を,

p

の近傍上で定義された

C^{\infty}

級関数全体からなる集合とする.

v (= c^{'} (t_{0})) \in T_{p} M

と

f \in C^{\infty} (p)

に対し,

v (f)

を

v (f) := {\frac{d f (c (t))}{d t} |}_{t = t_{0}}

によって定義する.

問 3.3.2

v (f)

は well-defined, つまり,

c^{'} (t_{0}) = v

となる曲線

c

のとり方によらないことを示せ.

v (f)

を

f

の

v

に関する方向微分という. 明らかに, 方向微分に関して, 次の事実が成り立つ.

命題 3.3.4

v \in T_{p} M

に対し, 次の (i)-(iii) が成り立つ.

(i)

f

が

p

のある近傍で一定であるならば,

v (f) = 0

となる；

(ii)

v (a f_{1} + b f_{2}) = a v (f_{1}) + b v (f_{2}) (a, b \in R, f_{1}, f_{2} \in C^{\infty} (p))

;

(iii)

v (f_{1} f_{2}) = f_{1} (p) v (f_{2}) + v (f_{1}) f_{2} (p) (f_{1}, f_{2} \in C^{\infty} (p))

問 3.3.3

(U, φ = (x_{1}, \dots, x_{n}))

を

n

次元

C^{\infty}

多様体

M

の点

p

のまわりの局所チヤートとする.

v \in T_{p} M

に対し,

\begin{matrix} (3.3.5) & v = \sum_{i = 1}^{n} v (x_{i}) {(\frac{\partial}{\partial x_{i}})}_{p} \end{matrix}

が成り立つことを示せ.

C^{\infty} (p)

から

R

への写像

\hat{v}

で, 命題 3.3 .4 における条件 (i)-(iii) を满たすようなものの全体を

T_{p} M

と表すことにする。

T_{p} M

は, 自然な和，実数倍の下にベクトル空間になる。各

v \in T_{p} M

に対し，

\hat{v} (f) := v (f) (f \in C^{\infty} (p))

によって定義される

\hat{v} \in T_{p} M

を対応させる対応は,

T_{p} M

から

T_{p} M

への線形同型写像を与えることが容易に示される。本によっては, この線形同型写像を通じて,

T_{p} M

と

T_{p} M

を同一視することにより,

T_{p} M

の各元を

M

の点

p

における接ベクトルとよび,

T_{p} M

を

M

の点

p

における接空間とよんでいる.
問 3.3.4 実際に, 各

v \in T_{p} M

に対し,

\hat{v} (f) := v (f) (f \in C^{\infty} (p))

によって定義される

\hat{v} \in T_{p} M

を対応させる対応は,

T_{p} M

から

T_{p} M

への線形同型写像を与えることを示せ.

問 3.3.5

D := {(U_{i}^{+}, φ_{i}^{+}) ∣ i = 1, \dots, n + 1} \cup {(U_{i}^{-}, φ_{i}^{-}) ∣ i = 1, \dots, n + 1}

を問 3.1.2 で述べたような

n

次元単位球面

S^{n} (1)

の

C^{ω}

構造とする. この問いでは,

n = 2

の場合を考えよう. 2 次元

C^{ω}

多様体

(S^{2} (1), D)

上の

C^{\infty}

曲線

c

を,

c (t) := (\cos (t + \frac{π}{6}), \frac{1}{2} \sin (t + \frac{π}{6}), \frac{\sqrt{3}}{2} \sin (t + \frac{π}{6}))

と定義し,

p := c (0), v := c^{'} (0)

とおく. また,

(S^{2} (1), D)

上の

C^{ω}

級関数

f

を

f (x_{1}, x_{2}, x_{3}) := x_{1}

によって定義する。以下,

φ_{1}^{+} = (y_{1}, y_{2})

とする.

(i)

{(\frac{\partial}{\partial y_{1}})}_{p} (f), {(\frac{\partial}{\partial y_{2}})}_{p} (f)

を求めよ.

（ii）

v

を

{(\frac{\partial}{\partial y_{1}})}_{p}, {(\frac{\partial}{\partial y_{2}})}_{p}

の 1 次結合で表せ.

(iii) (i), (ii) の計算結果を用いて,

v (f)

を求めよ.

(iv) (i), (ii) の計算結果を用いずに, 直接

v (f)

を求めよ.

3.4 写像の微分

この節では

r \geq 1

とする。この節において,

C^{\infty}

多様体間の

C^{r}

写像の微分を定義することにする.

f

を

m

次元

C^{\infty}

多様体

M

から

n

次元

C^{\infty}

多様体

N

への

C^{r}

写像とする.

p \in M

に対し, 写像

d f_{p} : T_{p} M \to T_{f (p)} N

を次式によって定義する：

d f_{p} (v) := (f \circ c)^{'} (t_{0}) (v = c^{'} (t_{0}) \in T_{p} M)

（図 3.4.1 を参照）. この写像

d f_{p}

が well-definedであること, つまり,

c^{'} (t_{0})

= v

となる

C^{r}

曲線

c

のとり方によらないことを示そう.

v = c_{1}^{'} (t_{1}) = c_{2}^{'} (t_{2})

とする.

p

のまわりの

M

の局所チャート

(U, φ = (x_{1}, \dots, x_{m}))

と

f (p)

のまわりの

N

の局所チャート

(V, ψ = (y_{1}, \dots, y_{n}))

をる. このとき,

図 3.4.1 写像の微分

\begin{aligned} {(f \circ c_{1})}^{'} (t_{1}) & = {\sum_{j = 1}^{n} \frac{d y_{j} (f (c_{1} (t)))}{d t} |}_{t = t_{1}} {(\frac{\partial}{\partial y_{j}})}_{f (p)} \\ = {\sum_{j = 1}^{n} \sum_{i = 1}^{m} {(\frac{\partial (y_{j} \circ f \circ φ^{- 1})}{\partial x_{i}})}_{φ (p)} \frac{d x_{i} (c_{1} (t))}{d t} |}_{t = t_{1}} {(\frac{\partial}{\partial y_{j}})}_{f (p)} \\ = {\sum_{j = 1}^{n} \sum_{i = 1}^{m} {(\frac{\partial (y_{j} \circ f \circ φ^{- 1})}{\partial x_{i}})}_{φ (p)} \frac{d x_{i} (c_{2} (t))}{d t} |}_{t = t_{2}} {(\frac{\partial}{\partial y_{j}})}_{f (p)} \\ = {(f \circ c_{2})}^{'} (t_{2}) \end{aligned}

をえる。したがって,

d f_{p}

がwell-defined であることがわかる.

d f_{p}

を

f

の

p

における微分（the differential of

f

p ）

という。以下において,

d f_{p}

を

f_{* p}

と表すこともある.

命題 3.4.1

d f_{p}

は線形写像である.

証明

a, b \in R, v_{1} (= c_{1}^{'} (0)), v_{2} (= c_{2}^{'} (0)) \in T_{p} M

とする.

p

のまわりの

M

の局所チャート

(U, φ = (x_{1}, \dots, x_{m}))

と

f (p)

のまわりの

N

の局所チャート

(V, ψ = (y_{1}, \dots, y_{n}))

をとる.

\begin{aligned} \hat{c} (t) := φ^{- 1} (a (φ (c_{1} (t)) - φ (p)) + b (φ (c_{2} (t)) - φ (p)) + φ (p)) \\ (= φ^{- 1} (a (x_{1} (c_{1} (t)) - x_{1} (p)) + b (x_{1} (c_{2} (t)) - x_{1} (p)) + x_{1} (p) \\ \dots, a (x_{n} (c_{1} (t)) - x_{n} (p)) + b (x_{n} (c_{2} (t)) - x_{n} (p)) + x_{n} (p)) \end{aligned}

として、

{\hat{c}}^{'} (0) = a v_{1} + b v_{2}

となる. それゆえ、

\begin{aligned} d f_{p} (a v_{1} + b v_{2}) & = (f \circ \hat{c})^{'} (0) = {\sum_{j = 1}^{n} \frac{d (y_{j} \circ f \circ \hat{c})}{d t} |}_{t = 0} {(\frac{\partial}{\partial y_{j}})}_{f (p)} \\ = {\sum_{j = 1}^{n} \sum_{i = 1}^{m} {(\frac{\partial (y_{j} \circ f \circ φ^{- 1})}{\partial x_{i}})}_{φ (p)} \frac{d (x_{i} \circ \hat{c})}{d t} |}_{t = 0} {(\frac{\partial}{\partial y_{j}})}_{f (p)} \end{aligned}

となる. 一方,

(x_{i} \circ \hat{c}) (t) = a (x_{i} (c_{1} (t)) - x_{i} (p)) + b (x_{i} (c_{2} (t)) - x_{i} (p)) + x_{i} (p)

なので,

{\frac{d (x_{i} \circ \hat{c})}{d t} |}_{t = 0} = {a \frac{d (x_{i} \circ c_{1})}{d t} |}_{t = 0} + {b \frac{d (x_{i} \circ c_{2})}{d t} |}_{t = 0}

となる. それゆえ,

\begin{aligned} d f_{p} (a v_{1} + b v_{2}) = & {a \sum_{j = 1}^{n} \sum_{i = 1}^{m} {(\frac{\partial (y_{j} \circ f \circ φ^{- 1})}{\partial x_{i}})}_{φ (p)} \frac{d (x_{i} \circ c_{1})}{d t} |}_{t = 0} {(\frac{\partial}{\partial y_{j}})}_{f (p)} \\ + {b \sum_{j = 1}^{n} \sum_{i = 1}^{m} {(\frac{\partial (y_{j} \circ f \circ φ^{- 1})}{\partial x_{i}})}_{φ (p)} \frac{d (x_{i} \circ c_{2})}{d t} |}_{t = 0} {(\frac{\partial}{\partial y_{j}})}_{f (p)} \\ = & a {(f \circ c_{1})}^{'} (0) + b {(f \circ c_{2})}^{'} (0) = a d f_{p} (v_{1}) + b d f_{p} (v_{2}) \end{aligned}

が示され,

d f_{p}

が線形写像であることがわかる.

注意

d f_{p}

は,

f

を

p

において無限小化してえられる線形写像と解釈される.

次に,

C^{\infty}

多様体間の

C^{r}

写像のヤコビ行列を定義する.

(U, φ = (x_{1}, \dots

x_{m}))

を

p

のわりの

M

の局所チャートとし,

(V, ψ = (y_{1}, \dots, y_{n}))

を

f (p)

のまわりの

N

の局所チャートとする.

c_{i} (t) := φ^{- 1} (x_{1} (p), \dots, x_{i} (p) + t, \dots

x_{n} (p))

とすると,

c_{i}^{'} (0) = {(\frac{\partial}{\partial x_{i}})}_{p}

となるので,

\begin{aligned} d f_{p} ({(\frac{\partial}{\partial x_{i}})}_{p}) & = {\sum_{j = 1}^{n} \frac{d (y_{j} \circ f \circ c_{i})}{d t} |}_{t = 0} {(\frac{\partial}{\partial y_{j}})}_{f (p)} \\ (3.4.1) & = \sum_{j = 1}^{n} {(\frac{\partial (y_{j} \circ f \circ φ^{- 1})}{\partial x_{i}})}_{φ (p)} {(\frac{\partial}{\partial y_{j}})}_{f (p)} \end{aligned}

が示される。この関係式は, 線形写像

d f_{p} : T_{p} M \to T_{f (p)} N

の基底

({(\frac{\partial}{\partial x_{1}})}_{p}, \dots, {(\frac{\partial}{\partial x_{m}})}_{p})

と基底

({(\frac{\partial}{\partial y_{1}})}_{f (p)}, \dots, {(\frac{\partial}{\partial y_{n}})}_{f (p)})

に関する表現行列が

({(\frac{\partial (y_{j} \circ f \circ φ^{- 1})}{\partial x_{i}})}_{φ (p)})

であることを表す.ここで,

({(\frac{\partial (y_{j} \circ f \circ φ^{- 1})}{\partial x_{i}})}_{φ (p)})

は,

{(\frac{\partial (y_{j} \circ f \circ φ^{- 1})}{\partial x_{i}})}_{φ (p)}

を

(i, j)

成分とする

(m, n)

型行列を表す. この表現行列は,

f

の点

p

における

(U, φ), (V, ψ)

に関するヤコビ行列とよばれ, 本書では, この行列を

J f_{p}^{φ, ψ}

と表すことにする.

特に

N = R

, つまり,

f

が

M

上の

C^{r}

級関数の場合を考える。ここで,

R

は

D := {(R, {id}_{R})}

を

C^{ω}

構造としてもつ 1 次元

C^{ω}

多様体とみなされる.

{id}_{R}

= (t)

として, この座標の座標基底は，

\frac{\partial}{\partial t}

ではなく，

\frac{d}{d t}

と表すことにする. なぜならば,

\frac{\partial}{\partial t}

に関する

R

上の関数の方向微分は常微分となるからである.接空間

T_{t_{0}} R

は, 対応

a {(\frac{d}{d t})}_{t_{0}} ⟷ a (a \in R)

の下,

R

と同一視されるので,

f

の

p (\in M)

における微分

d f_{p} : T_{p} M \to T_{f (p)} R

は,

T_{p} M

上の線形関数, つまり,

T_{p} M

の双対空間

T_{p}^{*} M

の元とみなされる. 同様に,

M

の局所チヤート

(U, φ = (x_{1}, \dots, x_{n}))

に対し,

x_{i}

は

U

上の

C^{\infty}

級関数なので,

{(d x_{i})}_{p}

は

T_{p}^{*} U (= T_{p}^{*} M)

の元とみなされる.

命題 3.4.2

({(d x_{1})}_{p}, \dots, {(d x_{n})}_{p})

は,

T_{p} M

の基底

({(\frac{\partial}{\partial x_{1}})}_{p}, \dots, {(\frac{\partial}{\partial x_{n}})}_{p})

の双対基底である。

証明

c_{j} (s) := φ^{- 1} (x_{1} (p), \dots, x_{j} (p) + s, \dots, x_{n} (p))

とする. このとき, 上述の

T_{f (p)} R

と

R

の同一視の下,

\begin{aligned} {(d x_{i})}_{p} ({(\frac{\partial}{\partial x_{j}})}_{p}) & = {\frac{d (t \circ x_{i} \circ c_{j})}{d s} |}_{s = 0} {(\frac{d}{d t})}_{f (p)} = {\frac{d (t \circ x_{i} \circ c_{j})}{d s} |}_{s = 0} \\ = {\frac{d (x_{i} \circ c_{j})}{d s} |}_{s = 0} = {(\frac{\partial x_{i} \circ φ^{- 1}}{\partial x_{j}})}_{φ (p)} = δ_{i j} \end{aligned}

をえる. したがって, 主張が示される.

次に,

d f_{p}

の

{(d x_{1})}_{p}, \dots, {(d x_{n})}_{p}

の 1 次結合による表示を与えよう.

命題 3.4.3

C^{r}

級関数

f : M \to R

と

p

のまわりの局所チャート

(U, φ =

(x_{1}, \dots, x_{n}))

に対し，次式が成り立つ：

d f_{p} = \sum_{i = 1}^{m} {(\frac{\partial (f \circ φ^{- 1})}{\partial x_{i}})}_{φ (p)} {(d x_{i})}_{p}

証明命題3.4.2より,

({(d x_{1})}_{p}, \dots, {(d x_{n})}_{p})

は,

T_{p}^{*} M

の基底なので, ある実数

a_{1}, \dots, a_{n}

を用いて,

d f_{p} = \sum_{i = 1}^{n} a_{i} {(d x_{i})}_{p}

と表される。

a_{i}

を求めよう.

c_{i} (s) := φ^{- 1} (x_{1} (p), \dots, x_{i} (p) + s, \dots, x_{n} (p))

とすると，次の 2 式をえる：

\begin{aligned} d f_{p} ({(\frac{\partial}{\partial x_{i}})}_{p}) = {\frac{d (t \circ f \circ c_{i})}{d s} |}_{s = 0} {(\frac{d}{d t})}_{f (p)} = {(\frac{\partial (f \circ φ^{- 1})}{\partial x_{i}})}_{φ (p)} \\ d f_{p} ({(\frac{\partial}{\partial x_{i}})}_{p}) = (\sum_{j = 1}^{n} a_{j} {(d x_{j})}_{p}) ({(\frac{\partial}{\partial x_{i}})}_{p}) = \sum_{j = 1}^{n} a_{j} {(d x_{j})}_{p} {(\frac{\partial}{\partial x_{i}})}_{p} = a_{i} \end{aligned}

それゆえ,

a_{i} = {(\frac{\partial (f \circ φ^{- 1})}{\partial x_{i}})}_{φ (p)}

が示される. これを

d f_{p} = \sum_{i = 1}^{n} a_{i} {(d x_{i})}_{p}

に代人して, 求めるべき関係式がえられる。

d f_{p}

と

f

の方向微分の間に, 次の関係式が成り立つ.

命題 3.4.4

C^{r}

級関数

f : M \to R

と

v \in T_{p} M

に対し,

d f_{p} (v) = v (f)

が成り立つ.

証明 v = c^{'} (0) とする. このとき，

d f_{p} (v) = (f \circ c)^{'} (0) = {\frac{d (t \circ f \circ c)}{d s} |}_{s = 0} {(\frac{d}{d t})}_{p} = {\frac{d (f \circ c)}{d s} |}_{s = 0} = v (f)

となり, 求めるべき関係式が示される.

問 3.4.1

f

を 4 次元単位球面

(S^{4} (1), D)

から

(A^{5}, \tilde{D})

への包含写像とする（つまり

f (p) = p (p \in S^{4} (1)))

. ここで,

D

は問 3.1.2 で述べた

S^{n} (1)

の

C^{ω}

構造の

n = 4

版を表し,

\tilde{D}

は問 3.1.1 で述べた一般のアフィン空間

A

の

C^{ω}

構造の

A^{5}

版を表す：

\begin{aligned} D = {(U_{i}^{+}, φ_{i}^{+}) ∣ i = 1, \dots, 5} \cup {(U_{i}^{-}, φ_{i}^{-}) ∣ i = 1, \dots, 5} \\ \tilde{D} = {(A^{5}, φ_{E, p}) ∣ (E, p) \in F (R^{5}) \times A^{5}} \end{aligned}

f

の点

p = (1, 0, 0, 0, 0)

のまわりの

S^{4} (1)

の局所チャート

(U_{1}^{+}, φ_{1}^{+}) (\in D)

と

A^{5}

の局所チャート

(A^{5}, φ_{E_{0}, o})

に関するヤコビ行列

J f_{p}^{φ_{1}^{+}, φ_{E_{0}, 0}}

を求めよ. ここで

E_{0}

は, 数ベクトル空間

R^{5}

の標準基底

((1, 0, 0, 0, 0), (0, 1, 0, 0, 0), (0, 0, 1, 0, 0), (0, 0, 0, 1, 0), (0, 0, 0, 0, 1))

を表し,

0

は

(0, \dots, 0)

を表す.

3.5 臨界点, およびその指数

この節の前半部では

r \geq 1

とする。この節において,

C^{\infty}

多様体間の

C^{r}

写像の臨界点, 正則点, 臨界値, および正則値を定義し, さらに臨界点の指数を定義する.

M, N

を各々,

m

次元,

n

次元の

C^{\infty}

多様体とし,

f

を

M

から

N

への

C^{r}

写像とする.

p \in M

と

q \in N

をとる.

d f_{p}

が全射でない（つまり

rank d f_{p} < \dim N

) とき,

p

を

f

の臨界点（critical point）といい,

d f_{p}

が全射であるとき,

p

を

f

の正則点（regular point）という。また,

f^{- 1} (q)

が臨界点を含むとき，

q

を

f

の臨界値（critical value）といい,

f^{- 1} (q)

が臨界点を含まないとき,

q

を

f

の正則値（regular value）という（図3.5.1 を参照). 特に,

f

が

M

上の

C^{r}

級関数のとき,

p \in M

が

f

の臨界点であることと

d f_{p} = 0

が同値になることを注意しておく.

f

の臨界値の集合に対し, 次のサードの定理（Sard's theorem）が成り立つ.

定理 3.5.1（サードの定理）

C^{r}

写像

f : M \to N

の臨界倡の全体は,

N

において測度 0 である.

・

p_{1}, \dots, p_{4}

が

f

の臨界点のすべてである.

$q_{1}, \dots, q_{4}$ が $f$ の臨界値のすべてである.

図 3.5.1 臨界点と臨界値

注意

N

の部分集合

S

が測度 0 であるとは,

N

の任意の局所チャート

(U, φ)

に対し,

φ (U \cap S)

が外測度

μ

を備えた測度空間

(R^{n}, μ)

において, 測度 0 であることを意味する.

以下, この節の後半部では

r \geq 2

とする。まず,

C^{\infty}

多様体上の

C^{r}

級関数の臨界点におけるヘッシアンを定義しよう.

f : M \to R

を

C^{r}

級関数とする.

p

を

f

の臨界点とする. 対称双線形形式

H f_{p} : T_{p} M \times T_{p} M \to R

を次のように定義する：

\begin{aligned} (H f)_{p} (v, w) & := \sum_{i = 1}^{n} \sum_{j = 1}^{n} {(\frac{\partial^{2} (f \circ φ^{- 1})}{\partial x_{i} \partial x_{j}})}_{φ (p)} v_{i} w_{j} (v, w \in T_{p} M) \\ (v & = \sum_{i = 1}^{n} v_{i} {(\frac{\partial}{\partial x_{i}})}_{p}, w = \sum_{i = 1}^{n} w_{i} {(\frac{\partial}{\partial x_{i}})}_{p}) \end{aligned}

この対称双線形形式

H f_{p}

を

f

の

p

におるヘッシアン（Hessian）という.

(H f)_{p}

が well-defined, つまり,

p

のまわりの局所チャート

(U, φ = (x_{1}, \dots

x_{n})

)のとり方によらずに定まることを示そう. もう 1 つ,

p

のまわりの局所チャート

(V, ψ = (y_{1}, \dots, y_{n}))

をとり,

v = \sum_{i = 1}^{n} {\bar{v}}_{i} {(\frac{\partial}{\partial y_{i}})}_{p}, w = \sum_{i = 1}^{n} {\bar{w}}_{i} {(\frac{\partial}{\partial y_{i}})}_{p}

とする.

(U, φ)

が定義する

(H f)_{p} (v, w)

は,

\sum_{i, j = 1}^{n} {(\frac{\partial^{2} (f \circ φ^{- 1})}{\partial x_{i} \partial x_{j}})}_{φ (p)} v_{i} w_{j}

となり,

(V, ψ)

が定義する

(H f)_{p} (v, w)

は,

\sum_{i, j = 1}^{n} {(\frac{\partial^{2} (f \circ ψ^{- 1})}{\partial y_{i} \partial y_{j}})}_{ψ (p)} {\bar{v}}_{i} {\bar{w}}_{j}

となるので, これらが等しいことを示さなければならない。以下, これを示す.

{(\frac{\partial}{\partial x_{i}})}_{p} = \sum_{j = 1}^{n} {(\frac{\partial (y_{j} \circ φ^{- 1})}{\partial x_{i}})}_{φ (p)} {(\frac{\partial}{\partial y_{j}})}_{p}

が成り立つので,

{\bar{v}}_{i} = \sum_{j = 1}^{n} v_{j} {(\frac{\partial (y_{i} \circ φ^{- 1})}{\partial x_{j}})}_{φ (p)}, {\bar{w}}_{i} = \sum_{j = 1}^{n} w_{j} {(\frac{\partial (y_{i} \circ φ^{- 1})}{\partial x_{j}})}_{φ (p)}

をえる。一方，

\begin{aligned} {(\frac{\partial^{2} (f \circ φ^{- 1})}{\partial x_{i} \partial x_{j}})}_{φ (p)} = {(\frac{\partial}{\partial x_{i}} (\sum_{k = 1}^{n} (\frac{\partial (f \circ ψ^{- 1})}{\partial y_{k}} \circ ψ \circ φ^{- 1}) \cdot \frac{\partial (y_{k} \circ φ^{- 1})}{\partial x_{j}}))}_{φ (p)} \\ = \sum_{k = 1}^{n} {(\frac{\partial (f \circ ψ^{- 1})}{\partial y_{k}})}_{ψ (p)} \cdot {(\frac{\partial^{2} (y_{k} \circ φ^{- 1})}{\partial x_{i} \partial x_{j}})}_{φ (p)} \\ + \sum_{k, l = 1}^{n} {(\frac{\partial^{2} (f \circ ψ^{- 1})}{\partial y_{l} \partial y_{k}})}_{ψ (p)} \cdot {(\frac{\partial (y_{l} \circ φ^{- 1})}{\partial x_{i}})}_{φ (p)} \cdot {(\frac{\partial (y_{k} \circ φ^{- 1})}{\partial x_{j}})}_{φ (p)} \\ = \sum_{k, l = 1}^{n} {(\frac{\partial^{2} (f \circ ψ^{- 1})}{\partial y_{l} \partial y_{k}})}_{ψ (p)} \cdot {(\frac{\partial (y_{l} \circ φ^{- 1})}{\partial x_{i}})}_{φ (p)} \cdot {(\frac{\partial (y_{k} \circ φ^{- 1})}{\partial x_{j}})}_{φ (p)} \\ ここで, {(\frac{\partial (f \circ ψ^{- 1})}{\partial y_{k}})}_{ψ (p)} = 0 (これは, p が f の臨界点なので成り立つ) \end{aligned}

を用いた。これらの関係式より, 示すべき関係式をえる。

S

を

n

次元実ベクトル空間

V

上の対称双線形形式とする.このとき, シルヴェスタの慣性法則により,

n

次正方行列

(S (e_{i}, e_{j}))

が

(\begin{array}{ccc} - E_{k_{1}} & 0 & 0 \\ 0 & E_{k_{2}} & 0 \\ 0 & 0 & 0_{k_{3}} \end{array})

(E_{k_{i}} : k_{i}

次単位行列,

0_{k_{3}} : k_{3}

次零行列）に等しくなるような

V

の基底

(e_{1}, \dots, e_{n})

が存在する.

k_{1}, k_{2}, k_{3}

は, そのような基底

(e_{1}, \dots, e_{n})

のとう方に関係なくＳのみによって決まることが示される。

k_{1}

は

S

の指数（index）とよばれ,

k_{3}

は

S

の退化次数（nullity）とよばれる. 退化次数が 0 であるとき,

S

は非退化（non-degenerate）であるという.

p

を

C^{r}

級関数

f : M \to R (r \geq 2)

の臨界点とする. ヘッシアン

H f_{p}

が非退化であるとき,

p

を

f

の非退化臨界点（non-degenerate critical point）という. また,

H f_{p}

の指数を臨界点

p

の指数（the index of the critical point

p)

という.

問 3.5.1

n

次元単位球面

S^{n} (1) := {(x_{1}, \dots, x_{n + 1}) ∣ \sum_{i = 1}^{n + 1} x_{i}^{2} = 1}

上の

C^{\infty}

級関数

f

を

f (x_{1}, \dots, x_{n + 1}) = x_{1} ((x_{1}, \dots, x_{n + 1}) \in S^{n} (1))

によって定義する.

f

の臨界点をすべて求めよ. さらに, 各臨界点の指数を求めよ.

3.6 はめ込み・沈め込みと陰関数定理

この節では

r \geq 1

とする. この節において, まず, はめ込みと沈め込みを定義し, その後, 陰関数定理（単射型）と陰関数定理（全射型）を述べ, これらの定理により, はめ込みと沈め込みがどのような写像であるかを視覚的に捉えることができることを説明する。さらに，多様体内の正則部分多様体を定義し，それが第 1,2 章で述べたユークリッド空間内の超曲面と同種のものであることを説明する。

f

を

m

次元

C^{\infty}

多様体

M

から

n

次元多様体

N

への

C^{r}

写像とする. 各点

p \in M

に対し，

d f_{p}

が単射であるとき,

f

を

C^{r}

はめ込み

(C^{r}

-immersion) といい, さらに

f

が単射であり,

f

が

M

から

N

の部分位相空間

f (M)

への同相写像になるとき,

f

を

C^{r}

埋め込み

(C^{r}

-embedding）という。一方，各点

p \in M

に対し,

d f_{p}

が全射（つまり,

M

の各点が

f

の正則点）であるとき,

f

を

C^{r}

沈め込み

(C^{r} -

submersion）という（図 3.6.1 を参照）.

図 3.6.1 はめ込みと沈め込み

例 3.6.1 2 次元トーラス

T^{2} = {((a + b \cos θ) \cos φ, (a + b \cos θ) \sin φ, b \sin θ) ∣ (θ, φ) \in [0, 2 π)^{2}}

(0 < b < a)

は,

E^{3}

内の

C^{\infty}

超曲面であり, 2 次元

C^{\infty}

多様体である. 1 次元アフィン空間

A^{1}

から

T^{2}

への写像

f

を

f (t) := ((a + b \cos t) \cos (\sqrt{2} t), (a + b \cos t) \sin \sqrt{2} t, \cos (\sqrt{2} t)) (t \in A^{1})

と定義する. このとき

f

は, 1 次元

C^{ω}

多様体

A^{1}

から 2 次元

C^{ω}

多様体

T^{2}

への

C^{ω}

はめ达みであることが示される。一方,

f (A^{1})

の閉包

\overset{―}{f (A^{1})}

が

T^{2}

に等しくなることが示される。この事実から,

T^{2}

の位相から誘導される

f (A^{1})

の部分位相における開集合は, 無限に多くの互いに交わらない

A^{1}

の開区間の和集合の

f

による像であることがわかる。それゆえ,

f (A^{1})

の部分位相から

f

を通じて

A^{1}

に誘導される位相は, 1 次元

C^{ω}

多様体

A^{1}

のハウスドルフ位相よりも弱い位相であることがわかる。ゆえに,

f

は

A^{1}

から

T^{2}

への

C^{ω}

埋め
込みではない.

\overset{―}{f (A^{1})} = T^{2}

(つまり,

f (A^{1}) か^{2} T^{2}

で稠密）であることを説明しよう。

R^{2}

における同値関係〜を

(a_{1}, a_{2}) \sim (b_{1}, b_{2}) \underset{def}{⟺} a_{1} - b_{1}, a_{2} - b_{2} \in Z

によって定義し, 商集合

R^{2} / \sim

R^{2}

のユークリッド距離位相

O_{E}

から誘導される商位相を与える.

(a_{1}, a_{2})

の同値関係〜に関する同値類を

[(a_{1}, a_{2})]

と表すことにする。商写像

π : R^{2} \to R^{2} / \sim

は被覆写像になることが示される.ここで

π

が被覆写像であるとは,

π

が局所同相写像であり,

R^{2} / \sim

の各点

p

に対し,

p

の開近傍

V

で

π

の

π^{- 1} (V)

の各連結成分への制限が

V

への同相写像を与えるようなものが存在することを意味する。写像

F : R^{2} / \sim\to T^{2}

を

\begin{aligned} F ([(x_{1}, x_{2})]) = & ((a + b \cos (2 π (x_{1} - [x_{1}]))) \cos (2 π (x_{2} - [x_{2}])) \\ (a + b \cos (2 π (x_{1} - [x_{1}]))) \sin (2 π (x_{2} - [x_{2}])), b \sin (2 π (x_{1} - [x_{1}]))) \end{aligned}

（[

x_{i}] ： x_{i}

のガウスの記号）によって定義する.この写像

F

は同相写像になることが示される。したがって,

F \circ π : R^{2} \to T^{2}

は被覆写像になる。また、

(F \circ π)^{- 1} (f (A^{1}))

は,

R^{2}

上の傾き

\sqrt{2}

の直線の可算無限族になり, かつ, その閉包は

R^{2}

になることが示されるので,

f (A^{1})

が

T^{2}

で稠密であることがわかる（図 3.6.2 を参照）.

C^{\infty}

多様体間の

C^{r}

写像に対し, 次の逆関数定理 (inverse function theorem）が成り立つ.

定理 3.6.1

M, N

を

n

次元

C^{\infty}

多様体とし,

f

を

M

から

N

への

C^{r}

写像とする. このとき,

d f_{p}

が全単射であるならば,

p

のある開近傍

U

に対し,

f

の

U

への制限

{f |}_{U}

は

N

のある開集合への

C^{r}

同型写像になる.

証明任意に

p

のまわりの

M

の局所チャート

(V, φ = (x_{1}, \dots, x_{n}))

と

f (p)

のまわりの

N

の局所チャート

(W, ψ = (y_{1}, \dots, y_{n}))

をとる（必要ならば,

V

を縮めることにより，

f (V) \subset W

とする).

d f_{p}

が全単射であることより, ヤコビ行列

J {(ψ \circ f \circ φ^{- 1})}_{φ (p)}

は正則行列になる。それゆえ, 微分積分学における逆関数定理によれば,

φ (p)

のある十分小さな開近傍

U (\subset φ (V))

から

R^{n}

のある開集合への

C^{r}

同型写像

\hat{φ}

で

図 3.6.2単射かつはめ込みだが, 埋め込みでない例

\begin{array}{r} ((ψ \circ f \circ φ^{- 1}) \circ {\hat{φ}}^{- 1}) (x_{1}, \dots, x_{n}) = (x_{1}, \dots, x_{n}) \\ ((x_{1}, \dots, x_{n}) \in \hat{φ} (U)) \end{array}

となるようなものがとれる。この事実から，

{f |}_{φ^{- 1} (U)}

はのある開集合への

C^{r}

同型写像になることが導かれる.

また,

C^{\infty}

多様体間の

C^{r}

写像に対し, 次の陰関数定理（全射型）（implicit function theorem (surjection type)）が成り立つ.

定理 3.6.2

M

を

m

次元

C^{\infty}

多様体,

N

を

n (< m)

次元

C^{\infty}

多様体とし,

f

を

M

から

N

への

C^{r}

写像とする. このとき,

d f_{p}

が全射であるならば,

p

のまわりの

M

の局所チャート

(U, φ = (x_{1}, \dots, x_{m}))

と

f (p)

のまわりの

N

の局所チャート

(V, ψ = (y_{1}, \dots, y_{n})) (f (U) \subset V

とする）で,

(ψ \circ f \circ φ^{- 1}) (x_{1}, \dots, x_{m}) = (x_{1}, \dots, x_{n}) ((x_{1}, \dots, x_{m}) \in φ (U))

となるようなものが存在する.
証明任意に

p

のまわりの

M

の局所チャート

(\hat{U}, \hat{φ} = (x_{1}, \dots, x_{m}))

と

f (p)

のまわりの

N

の局所チャート

(V, ψ = (y_{1}, \dots, y_{n}))

をとる

(f (\hat{U}) \subset V

とする).

d f_{p}

が全射であることより, ヤコビ行列

J {(ψ \circ f \circ {\hat{φ}}^{- 1})}_{\hat{φ} (p)}

の階数は

n

になる。れゆえ, 微分積分学における陰関数定理（全射型）を用いて,

\hat{φ} (p)

のある十分小さな開近傍

U^{'} (\subset \hat{φ} (\hat{U}))

から

R^{m}

のある開集合への

C^{r}

同型写像

\tilde{φ}

で

\begin{array}{r} ((ψ \circ f \circ {\hat{φ}}^{- 1}) \circ {\tilde{φ}}^{- 1}) (x_{1}, \dots, x_{m}) = (x_{1}, \dots, x_{n}) \\ ((x_{1}, \dots, x_{m}) \in \tilde{φ} (U^{'})) \end{array}

となるようなものがとれることが示される.

U := φ^{- 1} (U^{'}), φ := {(\tilde{φ} \circ \hat{φ}) |}_{φ^{- 1} (U^{'})}

とおく。明らかに,

(U, φ)

は

M

の局所チャートであり,

\begin{array}{r} (ψ \circ f \circ φ^{- 1}) (x_{1}, \dots, x_{m}) = (x_{1}, \dots, x_{n}) \\ ((x_{1}, \dots, x_{m}) \in φ (U)) \end{array}

が成り立つ. それゆえ,

(U, φ)

と

(V, ψ)

が求めるべき局所チャートの組である.

同様に, 微分積分学における陰関数定理（単射型）を用いて,

C^{\infty}

多様体間の

C^{r}

写像に対し, 次の陰関数定理（単射型）（implicit function theorem (injection type)）が示される.

定理 3.6.3

M

を

m

次元

C^{\infty}

多様体,

N

を

n (> m)

次元

C^{\infty}

多様体とし,

f

を

M

から

N

への

C^{r}

写像とする. このとき,

d f_{p}

が単射であるならば,

p

のまわりの

M

の局所チャート

(U, φ = (x_{1}, \dots, x_{m}))

と

f (p)

のまわりの

N

の局所チャート

(V, ψ = (y_{1}, \dots, y_{n})) (f (U) \subset V

とする）で,

(ψ \circ f \circ φ^{- 1}) (x_{1}, \dots, x_{m}) = (x_{1}, \dots, x_{m}, 0, \dots, 0) ((x_{1}, \dots, x_{m}) \in U)

となるようなものが存在する。

次に, 正則部分多様体の概念を定義しよう.

M

を

m

次元

C^{\infty}

多様体とし,

L

を

M

部分集合とする。また,

l

を

m

よりも小さい自然数とする. 各点

p \in L

に対し,

p

のまわりの

M

の局所チャート

(U, φ = (x_{1}, \dots, x_{m}))

で,

\begin{matrix} (3.6.1) & U \cap L = {q \in U ∣ x_{l + 1} (q) = \dots = x_{m} (q) = 0} \end{matrix}

（図 3.6.3 を参照）となるようなものがとれるとき,

L

を

M

内

l

次元正則部分多様体（l-dimensional regular submanifold）という. 各点

p \in L

に対し, 条件 (3.6.1) を満たす

M

の局所チャート

(U_{p}, φ_{p})

をとることにより,

L

を被覆する

M

の局所チャートの族

D^{'} := {(U_{p}, φ_{p}) ∣ p \in L}

を定義する.

{pr}_{R^{l}}

を

R^{m}

から

R^{l}

への自然な射影（つまり,

{pr}_{R^{l}} (x_{1}, \dots, x_{m}) := (x_{1}, \dots, x_{l}))

とし,

D_{L}^{'}

を

D_{L}^{'} := {(U_{p} \cap L, {{pr}_{R^{i}} \circ φ_{p} |}_{U_{p} \cap L}) ∣ p \in L}

によって定めると、明らかにこれは

L

の

C^{\infty}

構造を与え、それゆえ,

(L, D_{L})

は

l

次元

C^{\infty}

多様体になることがわかる. また,

R^{l}

の開集合

D_{p}

を

D_{p} := {(u_{1}, \dots, u_{l}) \in R^{l} ∣ (u_{1}, \dots, u_{l}, 0, \dots, 0) \in φ_{p} (U_{p})}

によって定義し,

x_{p} : D_{p} \to M

を

x_{p} (u_{1}, \dots, u_{l}) := φ_{p}^{- 1} (u_{1}, \dots, u_{l}, 0, \dots, 0) ((u_{1}, \dots, u_{l}) \in D_{p})

により定義する（図 3.6 .3 を参照）。このとき,

x_{p} : D_{p} \to M

は

C^{\infty}

はめ込みになり，1.9 節で定義したユークリッド空間内の正則局所曲面と同種のものになるので, これは

M

内の

C^{\infty}

正則局所部分多様体とよばれるべきものになる. それゆえ,

L_{p} := x_{p} (D_{p}) (= U_{p} \cap L)

は,

M

内の

C^{\infty}

部分多様体片とよばれるべきものになり,

L = \underset{p \in L}{\cup} L_{p}

は

M

内の

C^{\infty}

部分多様体とよばれるべきものになる.

陰関数定理（全射型, 定理 3.6.2）を用いて次の事実が示される。

定理 3.6.4

M

を

m

次元

C^{\infty}

多様体,

N

を

n (< m)

次元

C^{\infty}

多様体とし,

f : M \to N

を

C^{\infty}

写像

(r \geq 1)

とする. このとき,

f

の正則値

q

に対し,

L := f^{- 1} (q)

は

M

内の

(m - n)

次元正則部分多様体になる. た,

T_{p} L =

Ker d f_{p} (p \in L)

が成り立つ.

証明任意に

p_{0} \in L

をとる.

q_{0} = f (p_{0})

は

f

の正則値なので,

p_{0}

は

f

の正則点, つまり,

d f_{p_{0}}

は全射である。それゆえ, 陰関数定理（全射型, 定理

図 3.6.3 正則部分多様体

3.6.2) によれば,

p_{0}

のまわりの局所チャート

(U, φ = (x_{1}, \dots, x_{m}))

と

q_{0}

のまわりの局所チャート

(V, ψ = (y_{1}, \dots, y_{n}))

で

(ψ \circ f \circ φ^{- 1}) (x_{1}, \dots, x_{m}) = (x_{1}, \dots, x_{n}) ((x_{1}, \dots, x_{m}) \in φ (U))

となるようなものがとれる.

φ (p_{0}) = (p_{01}, \dots, p_{0 m})

とする.

τ : φ (U) \to R^{m}

を

\begin{array}{r} τ (x_{1}, \dots, x_{m}) := (x_{n + 1} - p_{0, n + 1}, \dots, x_{m} - p_{0 m}, x_{1} - p_{01}, \dots, x_{n} - p_{0 n}) \\ ((x_{1}, \dots, x_{m}) \in φ (U)) \end{array}

により定義する。

\hat{φ} := τ \circ φ

とおき、

\hat{φ} = ({\hat{x}}_{1}, \dots, {\hat{x}}_{m})

とする. このとき, 明らかに

(U, \hat{φ})

は

M

の局所チャートになる。また,

\begin{aligned} p \in U \cap L ⟺ f (p) = q_{0} \\ ⟺ & (ψ \circ f \circ φ^{- 1}) (x_{1} (p), \dots, x_{m} (p)) = (ψ \circ f \circ φ^{- 1}) (x_{1} (p_{0}), \dots, x_{m} (p_{0})) \\ ⟺ & (x_{1} (p), \dots, x_{n} (p)) = (x_{1} (p_{0}), \dots, x_{n} (p_{0})) \\ ⟺ & (x_{1} (p), \dots, x_{n} (p)) = (p_{01}, \dots, p_{0 n}) \\ ⟺ & {\hat{x}}_{m - n + 1} (p) = \dots = {\hat{x}}_{m} (p) = 0 \end{aligned}

つまり,

U \cap L = {p \in U ∣ {\hat{x}}_{m - n + 1} (p) = \dots = {\hat{x}}_{m} (p) = 0}

が示される. したがって,

L

は

M

内の

(m - n)

次元正則部分多様体である（図 3.6.4 を参照）.

次に, 後半部を示す. 任意に

v \in T_{p} L

をとり,

c

を

c^{'} (0) = v

となる

L

内の

C^{r}

曲線とする. このとき,

f (c (t)) = q

なので,

(f \circ c)^{'} (0) = 0

をえる. それゆえ,

d f_{p} (v) = (f \circ c)^{'} (0) = 0, つ ま り, v \in Ker d f_{p}

が示される.したが

図 3.6.4 正則値の等高面

って,

T_{p} L \subset Ker d f_{p}

をえる。一方, 線形代数学における次元定理, および,

d f_{p}

が全射であることを用いて,

m = \dim T_{p} M = \dim Ker d f_{p} + \dim Im d f_{p} = dimKer d f_{p} + n

つまり,

\dim Ker d f_{p} = m - n = \dim T_{p} L

が示される.したがって,

Ker d f_{p} =

T_{p} L

をえる.

L

を

l

次元

C^{\infty}

多様体とし,

M

を

m (> l)

次元

C^{\infty}

多様体とする.

L

から

M

への

C^{r}

はめ込み写像

f

が与えられているとき,

L

を

f

によってはめ込まれた

M

内の

l

次元

C^{r}

級部分多様体

(l

-dimensional

C^{r}

-submanifold in

M

immersed by

f

), または単に, はめ込まれた

C^{r}

部分多様体（immersed

C^{r}

-submanifold) といい,

(m - l)

をその余次元（codimension) という. 特に, はめ込まれた余次元 1 の

C^{r}

部分多様体は, はめ込まれた

C^{r}

超曲面（immersed

C^{r}

-hypersurface）とよばれる。また,

L

から

M \sim

の

C^{r}

埋め込み写像

f

が与えられているとき,

L

または

f (L)

を

f

によって埋め込まれた

M

内の

l

次元

C^{r}

級部分多様体 (

l

-dimensional

C^{r} -

submanifold in

M

embedded by

f

), または単に, 埋め込まれた

C^{r}

部分多様体 (embedded

C^{r}

-submanifold) という.

3.7 ベクトル場と局所 1 パラメーター変換群

この節において,

C^{\infty}

多様体上の

C^{r}

ベクトル場と

C^{r}

局所 1 パラメーター変換群を定義し，それらの関係について述べる。また一般に，実ベクトルバンドルの概念, さらにその基本的な例として, 接ベクトルバンドルを定義し,

C^{r}

ベクトル場が接ベクトルバンドルの

C^{r}

切断とよばれるものとして捉えられることについて述べる。この節では

r \geq 1

とする.

n

次元

C^{\infty}

多様体

M

の各点

p

に対し,

T_{p} M

の元

X_{p}

を対応させる対応

X

を

M

上の接ベクトル場, または単に, ベクトル場という。超曲面の場合と異なり, 法べクトル場に相当するものが実在しないので, “接”を略してべクトル場とよぶことにする。

M

の局所チャート

(U, φ = (x_{1}, \dots, x_{n}))

に対し,

X_{p} = \sum_{i = 1}^{n} X_{i} (p) {(\frac{\partial}{\partial x_{i}})}_{p} (p \in U)

によって定義される

U

上の関数

X_{i}

たちを

X

の

(U, φ)

に関する成分（the component of

X

with respect to

(U, φ)

) という.

M

の各局所チャートに関する成分が

C^{r}

級であるとき,

X

を

C^{r}

ベクトル場

(C^{r}

-vector field

)

という。

M

上の

C^{r}

ベクトル場の全体を

X^{r} (M)

と表し, 特に,

C^{\infty}

ベクトル場の全体を

X (M)

と表すことにする。

M

上の

C^{r}

ベクトル場

X

と

C^{r}

級関数

f

に対し,

X (f)

を

X (f) (p) := X_{p} (f) (p \in M)

で定める。

X (f)

は

M

上の

C^{r - 1}

級関数になる。

X (f)

を

f

の

X

に関する方向微分という. 命題 3.3.4 から直接, 次の関係式が導かれる：

(i)

X (a f_{1} + b f_{2}) = a X (f_{1}) + b X (f_{2}) (a, b \in R, f_{1}, f_{2} \in C^{r} (M))

;

(ii)

X (f_{1} f_{2}) = f_{1} X (f_{2}) + X (f_{1}) f_{2} (f_{1}, f_{2} \in C^{r} (M))

C^{r} (M)

から

C^{r - 1} (M)

への写像

\hat{X}

で, 上述の条件 (i), (ii)を満たすようなものの全体を

{\hat{X}}^{r} (M)

と表すことにする。

{\hat{X}}^{r} (M)

は自然な和, 実数倍の下に無
限次元実ベクトル空間になる。各

X \in X^{r} (M)

に対し,

\hat{X} (f) := X (f) (f \in

C^{\infty} (M))

によって定義される

\hat{X} \in \hat{X} (M)

を対応させる対応は,

X^{r} (M)

から

{\hat{X}}^{r} (M)

への線形同型写像を与えることが容易に示される.

次に，接空間を束ねた空間として，接ベクトルバンドルという概念を定義する. まず、一般の実ベクトルバンドルの概念を定義しておこう。

E, M

を

C^{r}

多様体とし,

π : E \to M

を上への

C^{r}

沈め込み写像とする. このとき, 定理 3.6.4 によれば, 各

p \in M

に対し,

π^{- 1} (p)

は

E

の正則部分多様体になる.

E_{p} := π^{- 1} (p)

とおく. 次の 2 条件が成り立つとき,

π : E \to M

を

M

上の階数

k

の

C^{r}

級実ベクトルバンドル

(C^{r}

-real vector bundle of rank

k

over

M)

という:

(i) 各

E_{p} (p \in M)

に

k

次元実ベクトル空間の構造が与えられている；

(ii)

M

の各点

p_{0}

に対し,

p_{0}

の近傍

U

と

C^{r}

同型写像

φ : π^{- 1} (U) \to U \times

R^{k}

で, 各点

p \in U

に対し,

{φ |}_{E_{p}}

が

E_{p}

から

{p} \times R^{k}

への線形同型写像になるようなものが存在する。（局所自明性）

E_{p}

は

p

上のファイバー（fibre）とよばれ，(ii)における

φ

は局所自明化写像（local trivialization）とよばれる。階数

k

の

C^{r}

級実ベクトルバンドル

π : E \to M

に対し,

M

から

E

への

C^{s}

写像

σ (0 \leq s \leq r)

で,

π \circ σ = {id}_{M}

となるようなものを実ベクトルバンドル

E

の

C^{s}

切断（

C^{s}

-section）という.

E

の

C^{s}

切断全体のなす空間は

Γ_{loc}^{s} (E)

で表され, 特に,

E

の

C^{\infty}

切断全体のなす空間は

Γ^{\infty} (E)

で表される。

階数

k

の

C^{r}

級実ベクトルバンドル

π : E \to M

の局所自明化写像の族

{φ_{λ} : π^{- 1} (U_{λ}) \to U_{λ} \times R^{k} ∣ λ \in Λ}

で

{U_{λ} ∣ λ \in Λ}

が

M

の開被覆を与えるようなものをとる. このとき,

U_{λ} \cap

U_{μ} \neq \emptyset

となる各組

(λ, μ) \in Λ^{2}

に対し,

C^{r}

写像

g_{λ μ} : U_{λ} \cap U_{μ} \to G L (k, R)

が

\begin{array}{r} (φ_{μ} \circ φ_{λ}^{- 1}) (p, (x_{1}, \dots, x_{k})) := (p, (x_{1}, \dots, x_{k}) g_{λ μ} (p)) \\ ((p, (x_{1}, \dots, x_{k})) \in (U_{λ} \cap U_{μ}) \times R^{k}) \end{array}

によって定義される。ここで

G L (k, R)

は,

k

次一般線形群（つまり，

k

次実
正則行列全体のなす乗法群）を表し,

(x_{1}, \dots, x_{k}) g_{λ μ} (p)

は,

(x_{1}, \dots, x_{k})

と

g_{λ μ} (p)

の行列積を表す. この

C^{r}

級関数

g_{λ μ}

を変換関数（transition function）という。明らかに,

U_{λ} \cap U_{μ} \cap U_{ν} \neq \emptyset

となる任意の

(λ, μ, ν) \in Λ^{3}

に対し,

g_{λ μ} g_{μ ν} = g_{λ ν}

が

U_{λ} \cap U_{μ} \cap U_{ν}

上で成り立つ.

逆に,

M

の開被覆

{U_{λ} ∣ λ \in Λ}

と

C^{r}

写像の族

{g_{λ μ} : U_{λ} \cap U_{μ} \to G L (k, R) ∣ (λ, μ) \in Λ^{2} s.t. U_{λ} \cap U_{μ} \neq \emptyset}

で

U_{λ} \cap U_{μ} \cap U_{ν} \neq \emptyset

とな任意の

(λ, μ, ν) \in Λ^{3}

に対し,

g_{λ μ} g_{μ ν} = g_{λ ν}

が

U_{λ} \cap U_{μ} \cap U_{ν}

上で成り立つような族が与えられたとき, この族から,

M

上の階数

k

の

C^{r}

級実ベクトルバンドルを次のように構成することができる.

{λ} \times U_{λ} \times R^{k} (λ \in Λ)

の（外）直和

\tilde{E} := \underset{λ \in Λ}{⨿} ({λ} \times U_{λ} \times R^{k})

における同値関係〜を

\begin{aligned} (λ, p, (a_{1}, \dots, a_{k})) \sim (μ, q, (b_{1}, \dots, b_{k})) \\ ⟺ & p = q かつ (b_{1}, \dots, b_{k}) = (a_{1}, \dots, a_{k}) g_{λ μ} (p) \end{aligned}

によって定義し, この同値関係〜による商集合

\tilde{E} / \sim

を

E

で表し, この同値関係〜に関する商写像を

ψ

で表す。また,

(λ, p, (a_{1}, \dots, a_{k}))

の属する同値類を

[(λ, p, (a_{1}, \dots, a_{k}))]

で表すことにする.

π : E \to M

を

π ([(λ, p, (a_{1}, \dots

a_{k})]) := p

によって定義し,

φ_{λ} : ψ ({λ} \times U_{λ} \times R^{k}) \to U_{λ} \times R^{k}

を

φ_{λ} ([(λ, p, (a_{1}, \dots, a_{k}))] := (p, (a_{1}, \dots, a_{k}))

で定める. このとき, 各

ψ ({λ} \times U_{λ} \times R^{k})

を開集合とし, 各

φ_{λ}

を同相写像とするような位相（これは第 2 可算公理を満たすハウスドルフ位相）を

E

に与えることができ, さらに, 各

φ_{λ}

を

C^{r}

同型写像とするような

C^{r}

構造を

E

に与えることができる。このとき,

π : E \to M

は, 各

φ_{λ}

を局所自明化写像とするような階数

k

の

C^{r}

級実べクトルバンンドルになる（図 3.7.1 を参照）. このように, 上述のような

C^{r}

写像族

{g_{λ μ}}_{(λ, μ) \in Λ^{2}}

から

C^{r}

級実べクトルバンドルを構成することができるのである.

M

の接ベクトルバンドルは次のように定義される.

M

の次元を

n

とする.

T M := \underset{p \in M}{⨿} T_{p} M

とし,

π : T M \to M

を

T M

の各元

v

に対し,

v \in T_{p} M

図 3.7.1変換関数族を用いた実ベクトルバンドルの再構成

となる

p

を対応させることにより定義する.

M

の

C^{\infty}

構造を

D

とする. 各

(U, φ = (x_{1}, \dots, x_{n})) \in D

に対し，

\tilde{U} := π^{- 1} (U)

とし，

\tilde{φ} : \tilde{U} \to R^{2 n}

を

\begin{matrix} \tilde{φ} (v) := (x_{1} (π (v)), \dots, x_{n} (π (v)), v_{1}, \dots, v_{n}) (v \in \tilde{U}) \\ (v = \sum_{i = 1}^{n} v_{i} {(\frac{\partial}{\partial x_{i}})}_{π (v)}) \end{matrix}

により定義する。このとき,

T M

に,

\tilde{U}

たちを開集合とし、

\tilde{φ}

たちを

R^{2 n}

の

算公理を満たすハウスドルフ空間

R^{2 n}

のある開集合への同相写像になるように位相を与えているので, この位相は第 2 可算公理を満たすハウスドルフ位相であることがわかる.

\tilde{D} := {(\tilde{U}, \tilde{φ}) ∣ (U, φ) \in D}

は, このハウスドルフ空間

T M

の

C^{\infty}

構造になる。実際，

U \cap V \neq \emptyset

となる

(U, φ = (x_{1}, \dots, x_{n}))

(V, ψ = (y_{1}, \dots, y_{n})) \in D

に対し，上述のように定義される

\tilde{φ} : \tilde{U} \to R^{2 n}, \tilde{ψ} :

\tilde{V} \to R^{2 n}

に対し，

\tilde{ψ} \circ {\tilde{φ}}^{- 1}

を計算すると，

\begin{aligned} (\tilde{ψ} \circ {\tilde{φ}}^{- 1}) (x_{1}, \dots, x_{n}, v_{1}, \dots, v_{n}) = \tilde{ψ} (\sum_{i = 1}^{n} v_{i} {(\frac{\partial}{\partial x_{i}})}_{φ^{- 1} (x_{1}, \dots, x_{n})}) \\ = & \tilde{ψ} (\sum_{i = 1}^{n} v_{i} (\sum_{j = 1}^{n} {(\frac{\partial (y_{j} \circ φ^{- 1})}{\partial x_{i}})}_{(x_{1}, \dots, x_{n})} {(\frac{\partial}{\partial y_{j}})}_{φ^{- 1} (x_{1}, \dots, x_{n})})) \\ = & \tilde{ψ} (\sum_{j = 1}^{n} (\sum_{i = 1}^{n} v_{i} {(\frac{\partial (y_{j} \circ φ^{- 1})}{\partial x_{i}})}_{(x_{1}, \dots, x_{n})}) {(\frac{\partial}{\partial y_{j}})}_{φ^{- 1} (x_{1}, \dots, x_{n})}) \\ = & (y_{1} (φ^{- 1} (x_{1}, \dots, x_{n})), \dots, y_{n} (φ^{- 1} (x_{1}, \dots, x_{n})) \\ \sum_{i = 1}^{n} v_{i} {(\frac{\partial (y_{1} \circ φ^{- 1})}{\partial x_{i}})}_{(x_{1}, \dots, x_{n})}, \dots, \sum_{i = 1}^{n} v_{i} {(\frac{\partial (y_{n} \circ φ^{- 1})}{\partial x_{i}})}_{(x_{1}, \dots, x_{n})}) \end{aligned}

となり,

\tilde{ψ} \circ {\tilde{φ}}^{- 1}

が

C^{\infty}

写像になることがわかる. 同様に, その逆写像

(\tilde{ψ} \circ

{{\tilde{φ}}^{- 1})}^{- 1} (= \tilde{φ} \circ {\tilde{ψ}}^{- 1})

が

C^{\infty}

写像であることが示され, それゆえ,

\tilde{ψ} \circ {\tilde{φ}}^{- 1}

が

C^{\infty}

同型写像であることが示される。このように,

\tilde{D}

が

T M

の

C^{\infty}

構造を与えることがわかる. 次に,

π : (T M, \tilde{D}) \to (M, D)

が上への

C^{\infty}

沈め込みになることを示そう.

π

が全射であることは明らかである.

(U, φ) \in D

に対し，

\tilde{φ} \circ π \circ φ^{- 1}

を計算すると，

(φ \circ π \circ {\tilde{φ}}^{- 1}) (x_{1}, \dots, x_{n}, v_{1}, \dots, v_{n}) = (x_{1}, \dots, x_{n})

となり,

π

が

\tilde{U}

上で

C^{\infty}

沈め込みになることがわかる. さらに,

(U, φ)

の任意性により,

π

は

T M

全体で

C^{\infty}

沈め达みになる。次に,

π : (T M, \tilde{D}) \to

(M, D)

の局所自明性を示そう.

(U, φ) \in D

に対し,

\hat{φ} : \tilde{U} \to U \times R^{n}

を

\hat{φ} (v) = (p, v_{1}, \dots, v_{n}) (p \in U, v \in T_{p} M) (v = \sum_{i = 1}^{n} v_{i} {(\frac{\partial}{\partial x_{i}})}_{p})

によって定義する。

\hat{φ} : \tilde{U} \to U \times R^{n}

の

p (\in U)

上のファイバー

π^{- 1} (p) (= T_{p} M)

への制限

{\hat{φ} |}_{T_{p} M}

は,

({\hat{φ} |}_{T_{p} M}) (v) = (x_{1} (p), \dots, x_{n} (p), v_{1}, \dots, v_{n}) (v = \sum_{i = 1}^{n} v_{i} {(\frac{\partial}{\partial x_{i}})}_{p} \in T_{p} M)

によって与えられるので,

T_{p} M

から

{(x_{1} (p), \dots, x_{n} (p)} \times R^{n} (= R^{n})

への線形同型写像になることがわかる. したがって, 族

{\hat{φ} : \tilde{U} \to U \times R^{n}}_{(U, φ) \in D}

が局所自明化写像の族を与えることがわかる. このように,

π : (T M, \tilde{D}) \to

(M, D)

が階数

n

の

C^{\infty}

級実ベクトルバンドルになることが示される. この階数

n

の

C^{\infty}

級実ベクトルバンドルを

M

の接ベクトルバンドルという.

次に,

M

上の

C^{r}

ベクトル場

X

が

T M

の

C^{r}

切断とみなされることを説明しよう。

X

が

T M

の切断とみなされることは明らかである（図 3.7 .2 を参照).

X

の

(U, φ = (x_{1}, \dots, x_{n})) \in D

に関する成分を

X_{1}, \dots, X_{n}

，つまり

X = \sum_{i = 1}^{n} X_{i} \frac{\partial}{\partial x_{i}}

とする. このとき,

\tilde{φ} \circ X \circ φ^{- 1}

を計算すると

図 3.7.2 ベクトル場と接ベクトルバンドル

\begin{aligned} (\tilde{φ} \circ X \circ φ^{- 1}) (x_{1}, \dots, x_{n}) = \tilde{φ} (\sum_{i = 1}^{n} X_{i} (φ^{- 1} (x_{1}, \dots, x_{n})) {(\frac{\partial}{\partial x_{i}})}_{φ^{- 1} (x_{1}, \dots, x_{n})}) \\ = & (x_{1}, \dots, x_{n}, (X_{1} \circ φ^{- 1}) (x_{1}, \dots, x_{n}), \dots, (X_{n} \circ φ^{- 1}) (x_{1}, \dots, x_{n})) \end{aligned}

となる。

X

は

C^{r}

ベクトル場なので,

X_{i} \circ φ^{- 1} (i = 1, \dots, n)

は

C^{r}

級である. それゆえ上式から，

\tilde{φ} \circ X \circ φ^{- 1}

が

C^{r}

級であること，つまり,

T M

の切断

X : M \to T M

が

U

上で

C^{r}

級であることが示される。したがって,

(U, φ)

の任意性により，切断

X

は

M

全体で

C^{r}

級であることが示される.上述の議論から，逆も成り立つことは容易にわかる。したがって、次の事実をえる.

命題 3.7.1

X

が

C^{r}

ベクトル場であることと,

X : M \to T M

が

C^{r}

切断

であることは同値である.

次に,

C^{\infty}

多様体の

C^{r}

級 1 パラメーター変換群, より一般に,

C^{r}

級局所 1 パラメーター変換群を定義しよう.

n

次元

C^{\infty}

多様体

M

からそれ自身への

C^{r}

同型写像の 1 パラメーター族

{ϕ_{t} ∣ t \in R}

で, 次の 2 条件を満たすものを

M

の

C^{r}

級 1 パラメーター変換群 (one-parameter transformation group of class

C^{r}

M)

, または,

M

上の

C^{r}

級の流れ

(C^{r}

-flow on M) という：

(i) 任意の

t_{1}, t_{2} \in R

に対し,

ϕ_{t_{1}} \circ ϕ_{t_{2}} = ϕ_{t_{1} + t_{2}}

が成り立ち, また,

ϕ_{0} =

{id}_{M}

が成り立つ;

(ii)

ϕ (p, t) := ϕ_{t} (p) ((p, t) \in M \times R)

によって定義される積多様体

M \times R

から多様体

M

への写像

ϕ

は

C^{r}

級である.

各点

p \in M

に対し,

c_{p} (t) := ϕ_{t} (p)

によって定義される曲線

c_{p} : R \to M

は,

p

を通る流線（flow curve through

p

) とよばれる。

より一般に,

C^{r}

級局所 1 パラメーター変換群という概念が次のように定義される。

I

を, 0 を含む開区間とする。

M

の開集合

U_{t}

から

M

のある開集合への

C^{r}

同型写像

ϕ_{t}

の 1 パラメーター族

{ϕ_{t} ∣ t \in I}

で, 次の 2 条件を満たすものを

M

の

C^{r}

級局所 1 パラメーター変換群（local one-parameter transformation group of class

C^{r}

) という:

(i) 任意の

t_{1}, t_{2} \in I

s.t.

t_{1} + t_{2} \in I

に対し,

ϕ_{t_{1}} \circ ϕ_{t_{2}} = ϕ_{t_{1} + t_{2}}

が, 両辺が定義される開集合上で成り立ち, また,

U_{0} = M, ϕ_{0} = {id}_{M}

である；

(ii)

ϕ (p, t) := ϕ_{t} (p) ((p, t) \in \underset{t \in I}{⨿} (U_{t} \times {t}))

によって定義される積多様体

M \times R

の開部分多様体

\underset{t \in I}{⨿} (U_{t} \times {t})

から多様体

M

への写像

ϕ

は

C^{r}

級である.

各点

p \in M

に対し,

c_{p} (t) := ϕ_{t} (p)

によって定義される曲線

c_{p} : I_{p} \to M

（ I_{p} := {t \in I ∣ p \in U_{t}} ）

は,

p

を通る流線とよばれる.

{ϕ_{t} ∣ t \in I}

を

M

の

C^{r}

級の局所 1 パラメーター変換群とする.

M

の各点

p

に対し,

c_{p} (t) := ϕ_{t} (p)

とする。このとき,

M

上のベクトル場

X

が

X_{p} :=

c_{p}^{'} (0) (p \in M)

によって定義される. このべクトル場

X

を

{ϕ_{t} ∣ t \in I}

に付随するベクトル場という。
命題 3.7.2

C^{r}

級の局所 1 パラメーター変換群に付随するベクトル場は,

C^{r - 1}

ベクトル場である.

証明

{ϕ_{t} ∣ t \in I}

を

C^{r}

級の局所 1 パラメーター変換群とし，

X

をそれに付随するベクトル場とする。

M

の局所チャート

(U, φ = (x_{1}, \dots, x_{n}))

に関する

X

の局所表示を

X = \sum_{i = 1}^{n} X_{i} \frac{\partial}{\partial x_{i}}

とする. このとき,

p \in U

に対し.

X_{p} = c_{p}^{'} (0) = {\frac{d ϕ (p, t)}{d t} |}_{t = 0} = {\sum_{i = 1}^{n} \frac{d x_{i} (ϕ (p, t))}{d t} |}_{t = 0} {(\frac{\partial}{\partial x_{i}})}_{p}

が成り立つ. それゆえ,

\begin{aligned} X_{i} (p) & = {\frac{d (x_{i} (ϕ (p, t)))}{d t} |}_{t = 0} \\ = {\frac{d}{d t} |}_{t = 0} (x_{i} \circ ϕ \circ (φ \times id)^{- 1}) (x_{1} (p), \dots, x_{n} (p), t) \end{aligned}

となり,

p

の任意性から,

X_{i} \circ φ^{- 1} = {\frac{\partial}{\partial t} |}_{t = 0} (x_{i} \circ ϕ \circ (φ \times id)^{- 1})

が導かれる。はは

C^{r}

級なので, この右辺は

C^{r - 1}

級であることがわかる. それゆえ,

X_{i} \circ φ^{- 1}

は

C^{r - 1}

級である。したがって,

X

は

C^{r - 1}

級べクトル場である.

C^{r}

ベクトル場

X

に対し,

C^{r + 1}

曲線

c : I \to M

で

c^{'} (t) = X_{c (t)} (t \in I)

となるようなものを

X

の積分曲線（integral curve）という. 積分曲線の存在性・一意性について, 次の事実が成り立つ.

命題 3.7.3

X

を

M

上の

C^{r}

ベクトル場とする. このとき, 各

p \in M

に対し,

X

の積分曲線

c : (- ε, ε) \to M

で

c (0) = p

となるようなものがただ 1 つ存在する. ここで,

ε

は十分小さな正の定数とする.

証明

p

のまわりの局所チャート

(U, φ = (x_{1}, \dots, x_{n}))

に関する

X

の局所表示を

X = \sum_{i = 1}^{n} X_{i} \frac{\partial}{\partial x_{i}}

とし,

φ (p) = (p_{1}, \dots, p_{n})

とする.

c : (- ε, ε) \to

U

を

C^{r + 1}

級曲線とする. このとき,

c^{'} (t) = \sum_{i = 1}^{n} \frac{d (x_{i} \circ c)}{d t} {(\frac{\partial}{\partial x_{i}})}_{c (t)}

なので,

c^{'} (t) = X_{c (t)}

が成り立つことと

\begin{matrix} (3.7.1) & \begin{array}{r} \frac{d (x_{i} \circ c) (t)}{d t} = (X_{i} \circ φ^{- 1}) ((x_{1} \circ c) (t), \dots, (x_{n} \circ c) (t)) \\ (i = 1, \dots, n) \end{array} \end{matrix}

が成り立つことは同値である。また,

c (0) = p

が成り立つことと

\begin{matrix} (3.7.2) & (x_{i} \circ c) (0) = p_{i} (i = 1, \dots, n) \end{matrix}

が成り立つことは同値である。正規型連立常微分方程式の局所解の存在性・一意性定理によれば, 初期条件 (3.7.2) を満たす

(x_{i} \circ c) (i = 1, \dots, n)

を未知関数とする 1 階正規型連立常微分方程式 (3.7.1) の解は, 局所的に一意に存在することがわかる。それゆえ, 十分小さな正の数

ε

に対し,

c (0) = p

となる

X

の積分曲線

c : (- ε, ε) \to M

が一意に存在することが示される.

X

を

M

上の

C^{r}

ベクトル場とし,

c_{p} : I_{p} \to M

を

c_{p} (0) = p

となる

X

の最大の（つまり, それ以上延長不可能な）積分曲線とし,

U_{t} := {p \in M ∣ t \in

I_{p}}, I := \underset{p \in M}{⨿} I_{p}

とおく. 各

t \in I

に対し,

ϕ_{t} : U_{t} \to M

を

ϕ_{t} (p) := c_{p} (t) (p

\in U_{t})

によって定義する. このとき,

{ϕ_{t} ∣ t \in I}

は

C^{r + 1}

級の局所 1 パラメーター変換群になることが示される。この局所 1 パラメーター変換群を

X

に付随する局所 1 パラメーター変換群という.

問 3.7.1 実際に, 上述の

{ϕ_{t} ∣ t \in I}

が

C^{r + 1}

級の局所 1 パラメーター変換群になることを示せ.

C^{r}

級ベクトル場

X

に付随する局所 1 パラメーター変換群が 1 パラメータ一変換群としてとれるとき,

X

は完備である（complete）という。ベクトル場の完備性に関して, 次の事実が成り立つ.

補題 3.7.4

{ϕ_{t} ∣ t \in I}

を

C^{r}

級ベクトル場

X

に付随する局所 1 パラメーター変換群とする. もし,

(- ε, ε) \subset I

となる

ε > 0

が存在して, すべての

t \in

(- ε, ε)

に対し,

ϕ_{t}

が

M

全体で定義されているならば, 実は,

I = R

であり, すべての

t \in R

に対し,

ϕ_{t}

は

M

全体で定義される. つまり,

{ϕ_{t} ∣ t \in I}

は

M の C^{r + 1}

級の 1 パラメーター変換群であり, それゆえ,

X

は完備である.

証明任意に

(p, t) \in M \times R

をとる.

k

を

\frac{| t |}{k} < ε

を満たす自然数とする. このとき

\frac{t}{k} < ε

なので，仮定より，

ϕ_{\frac{t}{k}}

は

M

全体で定義される. それゆえ,

{(ϕ_{\frac{t}{k}})}^{k} (p)

が定義される。ここで，

{(ϕ_{\frac{t}{k}})}^{k}

は

ϕ_{\frac{t}{k}}

を

k

回合成した写像を表す。一方,

{(ϕ_{\frac{t}{k}})}^{k} (p) = ϕ_{k \times \frac{t}{k}} (p) = ϕ_{t} (p)

となるので, 結局

ϕ_{t} (p)

が定義されることがわかる。

(p, t)

は

M \times R

から任意にとった点なので,

ϕ

が

M \times R

全体で定義されることになり，

{ϕ_{t} ∣ t \in I}

は，Mの

C^{r + 1}

級の 1 パラメーター変換群であることが示される.

この補題を用いて, 次の事実が示される.

系 3.7.5

C^{\infty}

閉多様体上の

C^{r}

ベクトル場はすべて完備である.

証明

X

を

C^{\infty}

閉多様体

M

上の

C^{r}

ベクトル場とし,

{ϕ_{t} : U_{t} \to M ∣ t \in

I}

を

X

に付随する局所 1 パラメーター変換群とする。

(- a_{p}, b_{p}) := {t \in

I ∣ p \in U_{t}}

とし,

c_{p} : (- a_{p}, b_{p}) \to M

を

p

を通る流線（つまり

c_{p} (t) := ϕ_{t} (p)

) とする.

ρ_{+} : M \to R

を

ρ_{+} (p) := b_{p}

によって定義し,

ρ_{-} : M \to R

を

ρ_{-} (p) := a_{p}

によって定義する。明らかに, これらの関数は下半連続である. それゆえ,

M

がコンパクトなので, これらの関数は最小元をもつ.

ε :=

min {min ρ_{+}, min ρ_{-}} (> 0)

とおく.すべての

(p, t) \in M \times (- ε, ε)

に対し

c_{p} (t)

が定義されるので, すべての

t \in (- ε, ε)

に対し,

U_{t} = M

となることがわかる。したがって, 前補題より,

X

が完備であることが示される.

X, Y

を

M

上の

C^{\infty}

級ベクトル場とし,

{ϕ_{t} ∣ t \in I}

を

X

に付随する

C^{\infty}

級の局所 1 パラメーター変換群とする。このとき,

M

上の

C^{\infty}

級ベクトル場

L_{X} Y

を

{(L_{X} Y)}_{p} := lim_{t \to 0} \frac{1}{t} ({(d ϕ_{t})}_{p}^{- 1} (Y_{ϕ_{t} (p)}) - Y_{p}) (= {\frac{d}{d t} |}_{t = 0} {(d ϕ_{t})}_{p}^{- 1} (Y_{ϕ_{t} (p)}))

(p \in M)

によって定義する（図 3.7.3を参照）。この

C^{\infty}

級ベクトル場

L_{X} Y

は、

Y

の

X

に関するリー微分（Lie derivative）とよばれる。また，

L X

は，次の命題で述べる事実により，

[X, Y]

とも表され，

X

と

Y

のブラケッ
ト積（bracket product）ともよばれる。

命題 3.7.6

M

上の

C^{\infty}

級関数

f

に対し,

\begin{aligned} (L_{X} Y) (f) & = [X, Y] (f) \\ = X (Y (f)) - Y (X (f)) (= (X \circ Y - Y \circ X) (f)) \end{aligned}

が成り立つ.

この命題の証明については,

[K o 8]

の命題 4.6.5 の証明を参照のこと.命題 3.7.6 を用いて, 次の関係式が直接導かれる.

図 3.7.3

E^{3}

上のベクトル場のリー微分の例

命題 3.7.7

X, Y, Z \in X (M)

と

f_{1}, f_{2} \in C^{\infty} (M)

に対し, 次の (i)-(iii) の関係式が成り立つ:

(i)

[X, Y] = - [Y, X]

;

(ii)

[f_{1} X, f_{2} Y] = f_{1} f_{2} [X, Y] + f_{1} \cdot X (f_{2}) Y - f_{2} \cdot Y (f_{1}) X

;
(iii)

[[X, Y], Z] + [[Y, Z], X] + [[Z, X], Y] = 0

(iii)の関係式は, ヤコビの恒等式（Jacobi identity）とよばれる。

問 3.7.2

φ_{E_{0}, o} : A^{n} \to R^{n}

を通じて

A^{n}

と

R^{n}

を同一視する. ここで

E_{0}

は, 数ベクトル空間

R^{n}

の標準基底

((1, 0, \dots, 0), (0, 1, 0, \dots, 0), \dots, (0, \dots, 0, 1))

を表し,

o

は,

A^{n}

の基点を表す（

φ_{E_{0}, o}

の定義については, 問 3.1.1 参照のこと）.

ϕ_{t} : A^{n} \to A^{n} (t \in R)

を

ϕ_{t} (x_{1}, \dots, x_{n}) := (x_{1} + t v_{1}, \dots, x_{n} + t v_{n}) ((x_{1}, \dots, x_{n}) \in A^{n})

(v_{1}, \dots, v_{n}

は定数）と定義する.

(i)

{ϕ_{t} ∣ t \in R}

が

_{A^{n}}

の

C^{ω}

級の 1 パラメーター変換群になることを示せ.

(ii)

X

を

{ϕ_{t} ∣ t \in R}

に付随するべクトル場とする。

X

を局所チャート

(A^{n}

φ_{E_{0}, o} = (x_{1}, \dots, x_{n}))

の自然基底

\frac{\partial}{\partial x_{1}}, \dots, \frac{\partial}{\partial x_{n}}

の 1 次結合で表せ.

(iii)

n = 2, (v_{1}, v_{2}) = (1, \sqrt{3})

のとき, 流線

c_{(p_{1}, p_{2})} (t) := ϕ_{t} (p_{1}, p_{2})

の族

{c_{(p_{1}, p_{2})} ∣ (p_{1}, p_{2}) \in A^{n}}

および, ベクトル場

X

を図示せよ.

問 3.7.3

φ_{E_{0}, o} : A^{3} \to R^{3}

を通じて

A^{3}

と

R^{3}

を同一視する。ここで

E_{0}

は, 数べクトル空間

R^{3}

の標準基底

((1, 0,, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1))

を表し,

o

は,

A^{3}

の基点を表す.

ϕ_{t} : A^{3} \to A^{3} (t \in R)

を

ϕ_{t} (x_{1}, x_{2}, x_{3}) := (x_{1} \cos t - x_{2} \sin t, x_{1} \sin t + x_{2} \cos t, x_{3}) ((x_{1}, x_{2}, x_{3}) \in A^{3})

と定義する.

(i)

{ϕ_{t} ∣ t \in R}

が

A^{3}

の

C^{ω}

級の 1 パラメーター変換群であることを示せ.

(ii)

X

を

{ϕ_{t} ∣ t \in R}

に付随するべクトル場とする。

X

を局所チャート

(A^{3}

φ_{E_{0}, o} = (x_{1}, x_{2}, x_{3}))

の自然基底

\frac{\partial}{\partial x_{1}}, \frac{\partial}{\partial x_{2}}, \frac{\partial}{\partial x_{3}}

の 1 次結合で表せ.

(iii) 流線

c_{(p_{1}, p_{2}, p_{3})} (t) := ϕ_{t} (p_{1}, p_{2}, p_{3})

の族

{c_{(p_{1}, p_{2}, p_{3})} ∣ (p_{1}, p_{2}, p_{3}) \in A^{3}}

および, ベクトル場

X

を図示せよ.

問 3.7.4

ϕ_{t} : S^{2} (1) \to S^{2} (1) (t \in R)

を

ϕ_{t} (x_{1}, x_{2}, x_{3}) := (x_{1} \cos t - x_{2} \sin t, x_{1} \sin t + x_{2} \cos t, x_{3}) ((x_{1}, x_{2}, x_{3}) \in S^{2} (1))

によって定義する。

(i)

{ϕ_{t} ∣ t \in R}

が

S^{2} (1)

の

C^{ω}

級の 1 パラメーター変換群になることを示せ.

(ii)

X

を

{ϕ_{t} ∣ t \in R}

に付随するベクトル場とする.

X

を局所チャート

(U_{3}^{+}

φ_{3}^{+} = (y_{1}, y_{2}))

の自然基底

\frac{\partial}{\partial y_{1}}, \frac{\partial}{\partial y_{2}}

の 1 次結合で表せ

((U_{3}^{+}, φ_{3}^{+} = (y_{1}, y_{2}))

については問 3.1.2 を参照).

(iii) 流線

c_{(p_{1}, p_{2}, p_{3})} (t) := ϕ_{t} (p_{1}, p_{2}, p_{3})

の族

{c_{(p_{1}, p_{2}, p_{3})} ∣ (p_{1}, p_{2}, p_{3}) \in S^{2} (1)}

および, ベクトル場

X

を図示せよ.

3.8 テンソル場・微分形式

この節において,

C^{\infty}

多様体上の

k

次共変テンソル場,

(1, k)

次テンソル場, および,

k

次微分形式について述べることにする。この節では

r \geq 0

とする。

M

を

n

次元

C^{\infty}

多様体とする.

M

の各点

p

に対し,

T_{p} M

上の

k

次共変テンソル

S_{p}

を対応させる対応

S

を

M

上の

k

次共変テンソル場（covariant tensor field of degree

k

) という. 各局所チャート

(U, φ = (x_{1}, \dots, x_{n}))

{(d x_{n})}_{p})

はその双対基底であるので,

{({(d x_{i_{1}})}_{p} \otimes \dots \otimes {(d x_{i_{k}})}_{p})}_{1 \leq i_{1}, \dots, i_{k} \leq n}

は

T^{(0, k)} (T_{p} M)

の基底を与えることが示される（命題 2.2 .1 を参照）. ここで,

{(d x_{i_{1}})}_{p} \otimes \dots \otimes {(d x_{i_{k}})}_{p}

は,

\begin{array}{r} {(d x_{i_{1}})}_{p} \otimes \dots \otimes {(d x_{i_{k}})}_{p} (v_{1}, \dots, v_{k}) = {(d x_{i_{1}})}_{p} (v_{1}) \dots \dots {(d x_{i_{k}})}_{p} (v_{k}) \\ (v_{1}, \dots, v_{k} \in T_{p} M) \end{array}

によって定義される

T^{(0, k)} (T_{p} M)

の元である。それゆえ, 各点

p \in U

に対し、

S_{p}

は

S_{p} = \sum_{i_{1} = 1}^{n} \dots \sum_{i_{k} = 1}^{n} {(S_{i_{1} \dots i_{k}})}_{p} {(d x_{i_{1}})}_{p} \otimes \dots \otimes {(d x_{i_{k}})}_{p}

({(S_{i_{1} \dots i_{k}})}_{p} \in R)

と表される。

U

上の関数

S_{i_{1} \dots i_{k}}

を

S_{i_{1} \dots i_{k}} (p) := {(S_{i_{1} \dots i_{k}})}_{p} (p \in U)

によって定義する. これらの関数は,

S

の

(U, φ)

に関する成分とよばれる.次の関係式が成り立つことを注意しておく：

S_{i_{1} \dots i_{k}} (p) = S_{p} ({(\frac{\partial}{\partial x_{i_{1}}})}_{p}, \dots, {(\frac{\partial}{\partial x_{i_{k}}})}_{p})

各局所チャート

(U, φ)

に対し,

S

の

(U, φ)

に関する成分が

C^{r}

級であるとき,

S

は

C^{r}

級であるという.

M

の各点

p

に対し,

T_{p} M

上の

(1, k)

次テンソル

{\hat{S}}_{p}

を対応させる対応

\hat{S}

を

M

上の

(1, k)

次テンソル場 (tensor field of type

(1, k)

) という. 各局所チャート

(U, φ = (x_{1}, \dots, x_{n}))

に対し.

{({(d x_{i_{1}})}_{p} \otimes \dots \otimes {(d x_{i_{k}})}_{p} \otimes {(\frac{\partial}{\partial x_{j}})}_{p})}_{1 \leq i_{1}, \dots, i_{k}, j \leq n}

は

T^{(1, k)} (T_{p} M)

の基底を与えることが示される（命題 2.2 .1 を参照）. ここで,

{(d x_{i_{1}})}_{p} \otimes \dots \otimes {(d x_{i_{k}})}_{p} \otimes {(\frac{\partial}{\partial x_{j}})}_{p}

は，

\begin{aligned} ({(d x_{i_{1}})}_{p} \otimes \dots \otimes {(d x_{i_{k}})}_{p} \otimes {(\frac{\partial}{\partial x_{j}})}_{p}) (v_{1}, \dots, v_{k}) \\ = & {(d x_{i_{1}})}_{p} (v_{1}) \dots {(d x_{i_{k}})}_{p} (v_{k}) {(\frac{\partial}{\partial x_{j}})}_{p} (v_{1}, \dots, v_{k} \in T_{p} M) \end{aligned}

によって定義される

T^{(1, k)} (T_{p} M)

の元である。それゆえ, 各点

p \in U

に対し

{\hat{S}}_{p}

は

{\hat{S}}_{p} = \sum_{i_{1} = 1}^{n} \dots \sum_{i_{k} = 1}^{n} \sum_{j = 1}^{n} {({\hat{S}}_{i_{1} \dots i_{k}}^{j})}_{p} {(d x_{i_{1}})}_{p} \otimes \dots \otimes {(d x_{i_{k}})}_{p} \otimes {(\frac{\partial}{\partial x_{j}})}_{p}

({({\hat{S}}_{i_{1} \dots i_{k}}^{j})}_{p} \in R)

と表される。

U

上の関数

{\hat{S}}_{i_{1} \dots i_{k}}^{j}

を

{\hat{S}}_{i_{1} \dots i_{k}}^{j} (p) := {({\hat{S}}_{i_{1} \dots i_{k}}^{j})}_{p} (p \in U)

により定義する。これらの関数は，

\hat{S}

の

(U, φ)

に関する成分とよばれる。次の関係式が成り立つことを注意しておく：

{\hat{S}}_{p} ({(\frac{\partial}{\partial x_{i_{1}}})}_{p}, \dots, {(\frac{\partial}{\partial x_{i_{k}}})}_{p}) = \sum_{j = 1}^{n} {\hat{S}}_{i_{1} \dots i_{k}}^{j} (p) {(\frac{\partial}{\partial x_{j}})}_{p}

各局所チャート

(U, φ)

に対し,

\hat{S}

の

(U, φ)

に関する成分が

C^{r}

級であるとき,

\hat{S}

は

C^{r}

級であるという.

次に,

k

次共変テンソルバンドルを定義しよう.

T^{(0, k)} (T M) := \underset{p \in M}{⨿}

T^{(0, k)} (T_{p} M)

とし,

π : T^{(0, k)} (T M) \to M

を

T^{(0, k)} (T M)

の各元

S

に対し,

S \in T^{(0, k)} (T_{p} M)

となる

p

を対応させることにより定義する.

M

の

C^{\infty}

構造を

D

とする. 各

(U, φ = (x_{1}, \dots, x_{n})) \in D

に対し，

\tilde{U} := π^{- 1} (U)

とし，また

\tilde{φ} : \tilde{U} \to R^{n + n^{k}}

を次式によって定義する：

\begin{matrix} \tilde{φ} (S) := (x_{1} (π (S)), \dots, x_{n} (π (S)), {(S_{i_{1} \dots i_{k}})}_{1 \leq i_{1}, \dots, i_{k} \leq n}) (S \in \tilde{U}) \\ (S = \sum_{1 \leq i_{1}, \dots, i_{k} \leq n} S_{i_{1} \dots i_{k}} {(d x_{i_{1}})}_{π (S)} \otimes \dots \otimes {(d x_{i_{k}})}_{π (S)}) \end{matrix}

このとき

T^{(0, k)} (T M)

に,

\tilde{U}

たちを開集合とし

\tilde{φ}

たちを同相写像とするような位相が一意的に決まり, この位相は第 2 可算公理を満たすハウスドルフ位相になる。また,

\tilde{D} := {(\tilde{U}, \tilde{φ}) ∣ (U, φ) \in D}

が,この第 2 可算公理を満たすハウスドルフ空間

T^{(0, k)} (T M)

の

C^{\infty}

構造を与えることが次のように示される.

(U, φ = (x_{1}, \dots, x_{n})), (V, ψ = (y_{1}, \dots, y_{n}))

を

U \cap V \neq \emptyset

となる

M

の局所チャートとして,

{S \in T^{(0, k)} (T M) |}_{U \cap V}

の

(U, φ), (V, ψ)

に関する成分を各々,

S_{i_{1} \dots i_{k}}, {\bar{S}}_{i_{1} \dots i_{k}}

とする。簡単のため,

p := π (S)

とおく. このとき, 変換式

{(d x_{i})}_{p} = \sum_{j = 1}^{n} {(\frac{\partial (x_{i} \circ ψ^{- 1})}{\partial y_{j}})}_{ψ (p)} {(d y_{j})}_{p}

を用いて,

\begin{matrix} {(d x_{i_{1}})}_{p} \otimes \dots \otimes {(d x_{i_{k}})}_{p} \\ = \sum_{j_{1} = 1}^{n} \dots \sum_{j_{k} = 1}^{n} {(\frac{\partial (x_{i_{1}} \circ ψ^{- 1})}{\partial y_{j_{1}}})}_{ψ (p)} \dots {(\frac{\partial (x_{i_{k}} \circ ψ^{- 1})}{\partial y_{j_{k}}})}_{ψ (p)} \\ \times {(d y_{j_{1}})}_{p} \otimes \dots \otimes {(d y_{j_{k}})}_{p} \end{matrix}

が示され, それゆえ変換式

{\bar{S}}_{i_{1} \dots i_{k}} = \sum_{j_{1} = 1}^{n} \dots \sum_{j_{k} = 1}^{n} {(\frac{\partial (x_{j_{1}} \circ ψ^{- 1})}{\partial y_{i_{1}}})}_{ψ (p)} \dots {(\frac{\partial (x_{j_{k}} \circ ψ^{- 1})}{\partial y_{i_{k}}})}_{ψ (p)} S_{j_{1} \dots j_{k}}

あることが示される。ゆえに、

\tilde{D}

が

T^{(0, k)} (T M)

の

C^{\infty}

構造を与えることがわかる。さらに，前節で述べた接ベクトルバンドルと同様に，局所自明化写像の族を与えることができ,

π : (T^{(0, k)} M, \tilde{D}) \to (M, D)

が階数

n^{k}

の

C^{\infty}

級実ベクトルバンドルになることが示される。この実ベクトルバンドルは，Ｍの

k

次共変テンソルバンドル（covariant tensor bundle of degree

k

) とよばれる。明らかに,

M

上の

C^{s}

級の

k

次共変テンソル場は

T^{(0, k)} (T M)

の

C^{s}

切断とみなされる

(0 \leq s \leq r)

. 同様に,

M

の

(1, k)

次テンソルバンドル

π : T^{(1, k)} (T M) \to M

が階数

n^{k + 1}

の

C^{\infty}

級実ベクトルバンドルとして定義され,

M

上の

C^{s}

級の

(1, k)

次テンソル場は

T^{(1, k)} (T M)

の

C^{s}

切断とみなされる

(0 \leq s \leq r)

M

上の

k

次共変テンソル場

ω

で各

p \in M

に対し

ω_{p}

が

k

次交代形式であるようなものを

k

次微分形式という。 2.2 節で述べた事実によれば,

T_{p} M

上の

k

次交代形式の全体

\land^{k} (T_{p}^{*} M)

は,

T^{(0, k)} (T_{p} M)

の

_{n} C_{k}

次元部分ベクトル空間になり,

p

のまわりの局所チャート

(U, φ = (x_{1}, \dots, x_{n}))

に対し,

{({(d x_{i_{1}})}_{p} \land \dots \land {(d x_{i_{k}})}_{p})}_{1 \leq i_{1} < \dots < i_{k} \leq n}

は

\land^{k} (T_{p}^{*} M)

の基底を与える.

\land^{k} (T^{*} M) := \underset{p \in M}{⨿} \land^{k} (T_{p}^{*} M)

とし，

π

\land^{k} (T^{*} M) \to M

を

\land^{k} (T^{*} M)

の各元

ω

に対し,

ω \in \land^{k} (T_{p}^{*} M)

となる

p

を対応させることにより定義する. 各

(U, φ = (x_{1}, \dots, x_{n})) \in D

に対し，

\tilde{U} :=

π^{- 1} (U)

とし, また,

\tilde{φ} : \tilde{U} \to R^{n +_{n} C_{k}}

を

\begin{matrix} \tilde{φ} (ω) := (x_{1} (π (ω)), \dots, x_{n} (π (ω)), {(ω_{i_{1}, \dots, i_{k}})}_{1 \leq i_{1} < \dots < i_{k} \leq n}) (ω \in \tilde{U}) \\ (ω = \sum_{1 \leq i_{1} < \dots < i_{k} \leq n} ω_{i_{1}, \dots, i_{k}} {(d x_{i_{1}})}_{π (ω)} \land \dots \land {(d x_{i_{k}})}_{π (ω)}) \end{matrix}

によって定義する. このとき

\land^{k} (T^{*} M)

に,

\tilde{U}

たちを開集合とし,

\tilde{φ}

たちを同相写像とするような位相が一意的に決まり（この位相は第 2 可算公理を満たすハウスドルフ位相になる),

\tilde{D} := {(\tilde{U}, \tilde{φ}) ∣ (U, φ) \in D}

は, この第 2 可算公理を満たすハウスドルフ空間

\land^{k} (T^{*} M)

の

C^{\infty}

構造を与える.また,

π : (\land^{k} (T^{*} M), \tilde{D}) \to (M, D)

は, 階数

_{n} C_{k}

の

C^{\infty}

級実ベクトルバンドルになることが示される。この実ベクトルバンドルを

M

の

k

次外積バンドル（exterior product bundle of degree

k

) という. 明らかに,

M

上の

C^{s}

級の

k

次微分形式は

\land^{k} (T^{*} M)

の

C^{s}

切断とみなされる

(0 \leq s \leq r)

この節の終わりに, 微分形式の引き戻しを定義しておこう.

f

を

C^{\infty}

多様体

M

から

C^{\infty}

多様体

N

への

C^{r}

写像とし,

ω

を

N

上の

C^{\infty}

級の

k

次微分形式とする. このとき,

M

上の

k

次微分形式

f^{*} ω

を

\begin{array}{r} {(f^{*} ω)}_{p} (v_{1}, \dots, v_{k}) := ω_{f (p)} (d f_{p} (v_{1}), \dots, d f_{p} (v_{k})) \\ (p \in M, v_{1}, \dots, v_{k} \in T_{p} M) \end{array}

によって定義する. これは,

M

上の

C^{r - 1}

級の

k

次微分形式になることが容易に示される。

f^{*} ω

を

ω

の

f

による引き戻し（the pull-back of

ω

f

) という.

3.9 多様体の向き

1.2 節において, ベクトル空間の向きを定義した. この節において, この概念を用いて

C^{\infty}

多様体の向きを定義しよう。

M

を

n

次元

C^{\infty}

多様体とする. 1.2 節の表記に従って,

T_{p} M

の向きの全体を

O (T_{p} M)

と表すことにする. 各点

p \in M

に対し,

O (T_{p} M)

の元

O_{p}

を対応させる対応

O

で, 次の条件を満たすものを

M

の向き(orientation) とよぶ：

(

各点

p_{0} \in M

に対し,

p_{0}

のまわりの局所チャート

(U, φ = (x_{1}, \dots, x_{n}))

で,

[({(\frac{\partial}{\partial x_{1}})}_{p}, \dots, {(\frac{\partial}{\partial x_{n}})}_{p})] = O_{p} (\forall p \in U)

となるようなものが存在する.

一般に,

M

は向きを許容するとは限らない。

M

が向きを許容するとき,

M

は向き付け可能（orientable）であるといい,

M

が向きを許容しないとき,

M

は向き付け不可能（non-orientable）であるという。

M

は向き付け可能であるとき,

M

と

M

の向き

O

の組

(M, O)

を向き付けられた多様体（oriented manifold) という. 向き付けられた多様体

(M, O)

に対し，

M

の局所チャート

(U, φ = (x_{1}, \dots, x_{n}))

で次の条件を満たすようなものを

(M, O)

の正の局所チャート（positive local chart）という：

[({(\frac{\partial}{\partial x_{1}})}_{p}, \dots, {(\frac{\partial}{\partial x_{n}})}_{p})] = O_{p} (\forall p \in U)

命題 3.9.1

n

次元

C^{\infty}

多様体

M

が向き付け可能であることと,

M

上の至る所零テンソルでない

C^{\infty}

級の

n

次微分形式が存在することは，同値である.

証明

M

上の至る所 0 でない

C^{\infty}

級の

n

次微分形式

ω

が存在するとする. このとき, 各点

p \in M

に対し,

ω_{p} (e_{1}, \dots, e_{n}) > 0

となる

T_{p} M

の基底

(e_{1}, \dots, e_{n})

をとり,

T_{p} M

の向き

O_{p}

を

O_{p} := [(e_{1}, \dots, e_{n})]

によって定める.

O_{p}

が well-defined であることを示そう.

ω_{p} ({\overset{―}{e}}_{1}, \dots, {\overset{―}{e}}_{n}) > 0

となる

T_{p} M

の基底

({\overset{―}{e}}_{1}, \dots, {\overset{―}{e}}_{n})

をもう 1 つとる。

{\overset{―}{e}}_{i} = \sum_{j = 1}^{n} a_{i j} e_{j} (i = 1, \dots, n)

とする。このとき,

ω

の交代性を用いて,

ω_{p} ({\overset{―}{e}}_{1}, \dots, {\overset{―}{e}}_{n}) = \det (a_{i j}) ω_{p} (e_{1}, \dots, e_{n})

が示され，それゆえ，

\det (a_{i j}) > 0 ， つ ま り [(e_{1}, \dots, e_{n})] = [({\overset{―}{e}}_{1}, \dots, {\overset{―}{e}}_{n})]

がわかる. このように,

O_{p}

はwell-defined である. 次に, 各点

p \in M

に

O_{p}

を対応させる対応

O

が

M

の向きを与えることを示そう. 任意に,

p_{0} \in M

をとる. さらに,

p_{0}

のまわりの局所チャート

(U, φ = (x_{1}, \dots, x_{n}))

を任意にとろう.

ω

は至る所零テンソルでないので,

ω (\frac{\partial}{\partial x_{1}}, \dots, \frac{\partial}{\partial x_{n}}) : U \to R

は零点をもたない。つまり，恒等的に正になるか,または恒等的に負になる.恒等的に正になる場合,

O_{p} = [({(\frac{\partial}{\partial x_{1}})}_{p}, \dots, {(\frac{\partial}{\partial x_{n}})}_{p})] (p \in U)

が示される。恒等的に負になる場合,

ψ = (y_{1}, \dots, y_{n}) : U \to R^{n}

を

ψ (p) := (- x_{1} (p), x_{2} (p), \dots, x_{n} (p)) (p \in U)

によって定義すると,

(U, ψ)

は

M

の局所チャートになり,

ω (\frac{\partial}{\partial y_{1}}, \dots, \frac{\partial}{\partial y_{n}}) : U \to R

は恒等的に正になり, それゆえ,

O_{p} = [({(\frac{\partial}{\partial y_{1}})}_{p}, \dots, {(\frac{\partial}{\partial y_{n}})}_{p})] (p \in U)

が示される. このように, いずれの場合も,

p_{0}

のまわりの局所チャートで正の局所チャートとよぶべきものがとれるので, 対応

O

が

M

の向きを与えることがわかり,

M

が向き付け可能であることが示される.

次に, 逆を示すことにする。

M

が向き付け可能であるとし，

O

を

M

の向きとする. 各点

p \in M

に対し,

(O

に関して) 正の局所チャート

(U_{p}, φ_{p} =

(x_{1}^{p}, \dots, x_{n}^{p}))

をとる。命題 3.1 .3 により,

C^{\infty}

級関数からなる

M

の開被覆

{U_{p}}_{p \in M}

に従属する 1 の分割

{ρ_{λ}}_{λ \in Λ}

が存在する。また, 開被覆に従属する 1 の分割の定義より, 各

λ \in Λ

に対し

supp ρ_{λ} \subset U_{p_{λ}}

となる

p_{λ}

が存在する.

φ_{p_{λ}} = (x_{1}^{λ}, \dots, x_{n}^{λ})

とする。

M

上の

n

次微分形式

ω

を次式によって定義する：

ω := \sum_{λ \in Λ} ρ_{λ} \cdot (d x_{1}^{λ} \land \dots \land d x_{n}^{λ})

ここで，右辺の各項は

ρ_{λ} \cdot (d x_{1}^{λ} \land \dots \land d x_{n}^{λ})

を

U_{λ}

の外で 0 になるように拡張した

M

上の

n

次微分形式を表す.

ω

が,

C^{\infty}

級

n

次微分形式であることは容
易に確かめられる.

ω

が至る所䨐テンソルでないことを示そう.

q \in M

を任意にとる.

{supp ρ_{λ}}_{λ \in Λ}

は局所有限なので,

{λ \in Λ ∣ ρ_{λ} (q) \neq 0}

は有限集合である. この有限集合を

{λ_{1}, \dots, λ_{k}}

とし,

{(d x_{1}^{p_{λ_{i}}} \land \dots \land d x_{n}^{p_{λ_{i}}})}_{q} = a_{i} {(d x_{1}^{p_{λ_{1}}} \land \dots \land d x_{n}^{p_{λ_{1}}})}_{q} (i = 1, \dots, k)

とする.

(U_{p_{λ_{i}}}, φ_{p_{λ_{i}}} = (x_{1}^{p_{λ_{i}}}, \dots, x_{n}^{p_{λ_{i}}})) (i = 1, \dots, k)

は正の局所チャートなので,

a_{i} > 0

であることがわかる.

\begin{aligned} ω_{q} & = \sum_{i = 1}^{k} ρ_{λ_{i}} (q) \cdot {(d x_{1}^{p_{λ_{i}}} \land \dots \land d x_{n}^{p_{λ_{i}}})}_{q} \\ = (\sum_{i = 1}^{k} ρ_{λ_{i}} (q) a_{i}) \cdot {(d x_{1}^{p_{λ_{1}}} \land \dots \land d x_{n}^{p_{λ_{1}}})}_{q} \end{aligned}

となり, かつ

\sum_{i = 1}^{k} ρ_{λ_{i}} (q) a_{i} > 0

が示されるので,

ω_{q} \neq 0

をえる. このように,

ω

が至る所零テンソルでない

C^{\infty}

級の

n

次微分形式であることが示される.

この節の終わりに, 向き付け不可能な

C^{\infty}

多様体から, 向き付け可能な

C^{\infty}

多様体を 2 重被覆空間として構成する方法を紹介しておこう.

(M, D)

を向き付け不可能な

n

次元

C^{\infty}

多様体とする.

O (M)

を

O (M) := \underset{p \in M}{⨿} O (T_{p} M)

によって定義し，

π : O (M) \to M

を自然な射影（つまり

π (O (T_{p} M)) = {p}

(p \in M)

) とする。明らかに,

π

は

2 ： 1

の写像である。各

(U, φ = (x_{1}, \dots

x_{n})) \in D

に対し，

{\tilde{U}}_{φ}^{\pm}

を

\begin{aligned} {\tilde{U}}_{φ}^{+} := {[({(\frac{\partial}{\partial x_{1}})}_{p}, \dots, {(\frac{\partial}{\partial x_{n}})}_{p})] | p \in U} \\ {\tilde{U}}_{φ}^{-} := {[(- {(\frac{\partial}{\partial x_{1}})}_{p}, \dots, {(\frac{\partial}{\partial x_{n}})}_{p})] | p \in U} \end{aligned}

によって定義し,

{\tilde{φ}}_{\pm} : {\tilde{U}}_{φ}^{\pm} \to R^{n}

を,

{\tilde{φ}}_{\pm} := {(φ \circ π) |}_{{\tilde{U}}_{φ}}

によって定義する. このとき,

{\tilde{U}}_{φ}^{+}, {\tilde{U}}_{φ}^{-}

たちを開集合とし, 各

{\tilde{φ}}_{+}, {\tilde{φ}}_{-}

たちを

R^{n}

のある開集合への同相写像とするような

O (M)

の第 2 可算公理を満たすハウスドルフ位相

O

が一意に定まる. さらに,

\tilde{D} := {({\tilde{U}}_{φ}^{+}, {\tilde{φ}}_{+}) ∣ (U, φ) \in D} \cup {({\tilde{U}}_{φ}^{-}, {\tilde{φ}}_{-}) ∣ (U, φ) \in D}

が, このハウスドルフ空間

(O (M), O)

の

C^{\infty}

構造を与えることが示される. また容易に,

(O (M), \tilde{O})

が向き付け可能な

n

次元

C^{\infty}

多様体であること，および,

π : (O (M), \tilde{D}) \to (M, D)

が局所

C^{\infty}

同型写像で, 2 重被覆写像であることが示される。このように, 向き付け不可能な

C^{\infty}

多様体から, 向き付け可能な

C^{\infty}

多様体を 2 重被覆空間として構成することができるのである.

3.10 ストークスの定理（微分幾何学版）

この節において, 多様体論におけるストークスの定理について述べることにする。まず, 微分形式の外微分を定義しよう。

M

を

n

次元

C^{\infty}

多様体とし,

M

上の

C^{\infty}

級の

k

次微分形式の全体を

Ω^{k} (M)

と表す

(k = 1, \dots, n)

. ここで,

M

上の

C^{\infty}

級の 0 次微分形式は,

M

上の

C^{\infty}

級関数を意味するので,

Ω^{0} (M)

は

C^{\infty} (M)

を意味することを注意しておく. 写像

d_{0} : Ω^{0} (M) \to

Ω^{1} (M)

を,

{(d_{0} f)}_{p} = d f_{p} (p \in M)

によって定める。また, 写像

d_{k} : Ω^{k} (M)

\to Ω^{k + 1} (M) (1 \leq k \leq n)

を, 次のように定義する.

ω \in Ω^{k} (M)

とする. 各局所チャート

(U, φ = (x_{1}, \dots, x_{n}))

に対し,

(d ω)_{(U, φ)} \in Ω^{k + 1} (U)

を

ω = \sum_{1 \leq i_{1} < \dots < i_{k} \leq n} ω_{i_{1} \dots i_{k}} d x_{i_{1}} \land \dots \land d x_{i_{k}}

として,

(d ω)_{(U, φ)} := \sum_{1 \leq i_{1} < \dots < i_{k} \leq n} d (ω_{i_{1} \dots i_{k}}) \land d x_{i_{1}} \land \dots \land d x_{i_{k}}

により定める. ここで,

d (ω_{i_{1} \dots i_{k}})

は 1 次微分形式なので,

d (ω_{i_{1} \dots i_{k}}) \land d x_{i_{1}} \land

\dots \land d x_{i_{k}}

が

d x_{i_{1}} \land \dots \land d x_{i_{k}}

と同様に定義されることを注意しておく.

U \cap V \neq

\emptyset

となるもう 1 つの局所チャート

(V, ψ = (y_{1}, \dots, y_{n}))

をとり,

d ω_{(V, ψ)}

を

ω = \sum_{1 \leq i_{1} < \dots < i_{k} \leq n} {\bar{ω}}_{i_{1} \dots i_{k}} d y_{i_{1}} \land \dots \land d y_{i_{k}}

として,

(d ω)_{(V, ψ)} := \sum_{1 \leq i_{1} < \dots < i_{k} \leq n} d ({\bar{ω}}_{i_{1} \dots i_{k}}) \land d y_{i_{1}} \land \dots \land d y_{i_{k}}

により定める. このとき,

U \cap V

上で

(d ω)_{(U, φ)} = (d ω)_{(V, ψ)}

が成り立つこと

が次のように示される.

{(d x_{i})}_{p} = \sum_{j = 1}^{n} {(\frac{\partial (x_{i} \circ ψ^{- 1})}{\partial y_{j}})}_{ψ (p)} {(d y_{j})}_{p}

, および,

{(d x_{i_{σ (1)}})}_{p} \land \dots \land {(d x_{i_{σ (k)}})}_{p} = sgn (σ) \cdot {(d x_{i_{1}})}_{p} \land \dots \land {(d x_{i_{k}})}_{p}

（ σ : k

文字の置換）を用いて,

ω_{i_{1} \dots i_{k}}, {\bar{ω}}_{i_{1} \dots i_{k}}

の間の関係式（少し複雑）が導出される。その関係式を用いて,

U \cap V

上で

(d ω)_{(U, φ)} = (d ω)_{(V, ψ)}

が成り立つことが示される. したがって,

d ω_{(U, φ)} ((U, φ) \in D)

らを貼り合わせて

M

上の

C^{\infty}

級

(k + 1)

次微分形式がえられる. この

C^{\infty}

級

(k + 1)

次微分形式を

d_{k} ω

と表し，

ω

の外微分という。各

C^{\infty}

級

k

次微分形式

ω

に対し, この

C^{\infty}

級

(k + 1)

次微分形式

d_{k} ω

を対応させることにより定まる

Ω^{k} (M)

から

Ω^{k + 1} (M)

への写像を

d_{k}

と表す.

d_{k} : Ω^{k} (M) \to Ω^{k + 1} (M) (k = 0, \dots, n)

たちを外微分作用素（exterior differential operator）という。以下, 簡単のため, 外微分作用素

d_{k}

を

d

と略記することにする.

注意一般に,

M

上の

C^{1}

級の

k

次微分形式

ω

に対し,

d_{k} ω

は上述のように定義される。

次に, 微分形式の積分を定義しよう.

(M, O)

を向き付けられた

n

次元

C^{\infty}

多様体とする。

ω

を

M

上の

C^{0}

級の

n

次微分形式で,

supp ω (:= \overset{―}{{p \in M ∣ ω_{p} \neq 0}})

がコンパクトであるようなものとする。Mの正の局所チャートからなる高々可算族

{(U_{λ}, φ_{λ} = (x_{1}^{λ}, \dots, x_{n}^{λ})) ∣ λ \in Λ}

で

{U_{λ}}_{λ \in Λ}

が

M

の開被覆であるようなものと,

{U_{λ}}_{λ \in Λ}

に従属する 1 の分解

{ρ_{i}}_{i \in I}

をとる.

supp ρ_{i} \subset U_{λ_{i}} (i \in I)

となる

Λ

の部分族

{λ_{i}}_{i \in I}

をとっておこう. これらを用いて,

\int_{M} ω を

\int_{M} ω := \sum_{i \in I} \int \dots \int_{φ_{λ_{i}} (U_{λ_{i}})} ((ρ_{i} ω_{λ_{i}}) \circ φ_{λ_{i}}^{- 1}) d x_{1} \dots d x_{n}

によって定義する. ただし

ω_{λ_{i}}

は,

{ω |}_{U_{λ_{i}}} = ω_{λ_{i}} d x_{1}^{λ_{i}} \land \dots \land d x_{n}^{λ_{i}}

によって定
義される

U_{λ_{i}}

上の関数を表し，右辺の積分は

n

重積分を表す. この定義式の右辺の値は,

{(U_{λ}, φ_{λ}) ∣ λ \in Λ}

, および

{ρ_{i}}_{i \in I}

のとり方によらないことが示される. この量

\int_{M} ω

を

ω

の

M

上の積分（the integral of

ω

over

M

) という.

D

を

M

のコンパクト閉領域とし,

ω

を

M

上の

C^{0}

級

n

次微分形式とする.

{(U_{λ}, φ_{λ} = (x_{1}^{λ}, \dots, x_{n}^{λ})) ∣ λ \in Λ}, {ρ_{i}}_{i \in I}

, および

Λ

の部分族

{λ_{i}}_{i \in I}

を上述のようにとる。これらを用いて,

\int_{D} ω を

\int_{D} ω := \sum_{i \in I} \int_{φ_{λ_{i}} (U_{λ_{i}} \cap D)} ((ρ_{i} ω_{λ_{i}}) \circ φ_{λ_{i}}^{- 1}) d x_{1} \dots d x_{n}

によって定める。ただし，

ω_{λ_{i}}

は上述のようなものとする.

1.9 節において, ユークリッド空間内の区分的に

C^{r}

級の境界をもつ有界閉領域, および区分的に

C^{r}

級の超曲面という概念を定義した。ここで, 有界閉領域はコンパクト閉領域を意味することに注意する。

C^{\infty}

多様体は局所的にユークリッド空間なので, 一般の

C^{\infty}

多様体内でも全く同様に, 区分的に

C^{r}

級の境界をもつコンパクト閉領域, および区分的に

C^{r}

級の超曲面という概念を定義することができる。ここで, ユークリッド空間は距離構造をもつため, 領域の有界性が定義されるが, 一般の

C^{\infty}

多様体は距離構造をもたないため, “有界”ではなく“コンパクト”という言葉を用いなければならないことを注意しておく。以下, この節では

r \geq 2

とする。

D

と

(M, O)

の区分的に

C^{r}

級の境界をもつコンパクト閉領域とする。

N_{p}

を

\partial D

の外側向きの

T_{p} M ∖ T_{p} (\partial D)

に属するベクトルとし,

(e_{1}, \dots, e_{n - 1})

を

T_{p} (\partial D)

の基底で

[(N_{p}, e_{1}, \dots, e_{n - 1})] = O_{p}

となるようなものとして,

T_{p} (\partial D)

の向き

{\hat{O}}_{p}

を

{\hat{O}}_{p} := [(e_{1}, \dots, e_{n - 1})]

によって定義する（図 3.10 .1 を参照）. このとき, 各

p \in \partial D

に対し

{\hat{O}}_{p}

を対応させる対応

\hat{O}

は,

\partial D

の向きを与えることが容易に示される。の向きを

O

から

\partial D

に誘導される向き（the orientation of

\partial D

induced from

O

) という.

以上の準備の下に, 多様体論におけるストークスの定理を述べることにする。

図 3.10.1

\partial D

に誘導される向き

定理 3.10.1（ストークスの定理）

r \geq 1

とする。

(M, O)

を向き付けられた

n

次元

C^{\infty}

多様体とし,

D

を

M

の分的に

C^{r}

級の境界をもつコンパクト閉領域とする。このとき,

M

上の

C^{r}

級

(n - 1)

次微分形式

ω

に対し，次の関係式が成り立つ：

\int_{D} d ω = \int_{\partial D} ι^{*} ω

ただし，

は 、 \partial D

から

M

への包含写像を表し，

ι^{*} ω

は,

ω

のしによる引き戻しを表す。また,

\partial D

には,

O

から誘導される向きを与えている. 特に

M

が閉多様体の場合，

D

として

M

をとることができ,

\int_{M} d ω = 0

が成り立つ.

注意ベクトル解析におけるストークスの定理（定理 1.11.1）が主張する区分的に

C^{r}

級の境界をもつ

C^{\infty}

曲面上の積分公式

\int_{S} rot X \cdot d A = \int_{c} X \cdot d r

は, 定理 2.7.1 で述べたように, 区分的に

C^{r}

級の境界をもつ

C^{\infty}

曲面上の

C^{r}

級 1 次微分形式

ω

に対する積分公式

\int_{S} d ω = \int_{c} ω

の特別な場合である. 定理3.10.1における積分公式は, 定理 2.7.1における上述の積分公式をさらに一般化したものである.

2.8 ガウス・ボンネの定理（局所版）

2.9 曲面論におけるガウス・ボンネの定理

3 CHAPTER 定理・ガウスの発散定理

3.1 多様体

3.2 C r 3.2 C r 3.2C^(r)3.2 C^{r}3.2Cr 写像

3.3 接ベクトル

証明

3.4 写像の微分

3.5 臨界点, およびその指数

3.6 はめ込み・沈め込みと陰関数定理

3.7 ベクトル場と局所 1 パラメーター変換群

3.8 テンソル場・微分形式

3.9 多様体の向き

3.10 ストークスの定理（微分幾何学版）

$3.2 C^{r}$ 写像