2.8 ガウス・ボンネの定理(局所版)
この節では
r
≥
2
r
≥
2
r >= 2 r \geq 2 r ≥ 2 とする.この節において, 3 次元ユークリッド空間
E
3
E
3
E^(3) \mathbb{E}^{3} E 3 内の
C
∞
C
∞
C^(oo) C^{\infty} C ∞ 超曲面片上の区分的に
C
r
C
r
C^(r) C^{r} C r 級の境界をもつ有界閉領域に対するガウ ス・ボンネの定理(局所版)(Gauss-Bonnet theorem(local version)) を紹介し, その証明を行う. さらに, この定理から直接導かれる
C
∞
C
∞
C^(oo) C^{\infty} C ∞ 超曲面片上の測地
m
m
m m m 角形の内角の和の公式を与え, 球面片をはじめとする曲率をも つ超曲面片上では, 測地
m
m
m m m 角形の内角の和がその面積によって変動すること を認識してもらう.実際に,球面片上でその変化する様子を図解することにす る.
S
=
x
(
D
)
S
=
x
(
D
)
S=x(D) S=\boldsymbol{x}(D) S = x ( D ) を
E
3
E
3
E^(3) \mathbb{E}^{3} E 3 内の
C
∞
C
∞
C^(oo) C^{\infty} C ∞ (超)曲面片とし,
N
S
S
N
S
S
NSS \boldsymbol{N} S S N S S の自然に定まる単位法ベクトル場とする。また,
S
′
:=
x
(
E
)
(
E
⊂
D
)
S
′
:=
x
(
E
)
(
E
⊂
D
)
S^('):=x(E)(E sub D) S^{\prime}:=\boldsymbol{x}(E)(E \subset D) S ′ := x ( E ) ( E ⊂ D ) を
S
S
S S S 内の区分的に
C
r
C
r
C^(r) C^{r} C r 級 の境界をもつ
C
∞
C
∞
C^(oo) C^{\infty} C ∞ (超)曲面とし,
E
E
E E E の境界を与える,反時計回りに回る区分的に
C
r
C
r
C^(r) C^{r} C r 正則な単純閉曲線
c
¯
:
[
0
,
l
]
→
R
2
c
¯
:
[
0
,
l
]
→
R
2
bar(c):[0,l]rarrR^(2) \bar{c}:[0, l] \rightarrow \mathbb{R}^{2} c ¯ : [ 0 , l ] → R 2 であって,
c
:=
x
∘
c
¯
c
:=
x
∘
c
¯
c:=x@ bar(c) c:=\boldsymbol{x} \circ \bar{c} c := x ∘ c ¯ が弧長で パラメーター付けられた、区分的に
C
r
C
r
C^(r) C^{r} C r 正則な単純閉曲線になるようなもの をとる.
0
=
s
0
<
s
1
<
⋯
<
s
m
=
l
0
=
s
0
<
s
1
<
⋯
<
s
m
=
l
0=s_(0) < s_(1) < cdots < s_(m)=l 0=s_{0}<s_{1}<\cdots<s_{m}=l 0 = s 0 < s 1 < ⋯ < s m = l を
c
|
[
s
i
−
1
,
s
i
]
(
i
=
1
,
…
,
m
)
c
s
i
−
1
,
s
i
(
i
=
1
,
…
,
m
)
c|_([s_(i-1),s_(i)])(i=1,dots,m) \left.c\right|_{\left[s_{i-1}, s_{i}\right]}(i=1, \ldots, m) c | [ s i − 1 , s i ] ( i = 1 , … , m ) が
C
r
C
r
C^(r) C^{r} C r 正則曲線となるような
[
0
,
l
]
[
0
,
l
]
[0,l] [0, l] [ 0 , l ] の分割とする。簡単のため,
I
:=
[
0
,
l
]
,
I
i
:=
I
:=
[
0
,
l
]
,
I
i
:=
I:=[0,l],I_(i):= I:=[0, l], I_{i}:= I := [ 0 , l ] , I i :=
[
s
i
−
1
,
s
i
]
,
c
i
:=
c
|
I
i
(
i
=
1
,
…
,
m
)
s
i
−
1
,
s
i
,
c
i
:=
c
I
i
(
i
=
1
,
…
,
m
)
[s_(i-1),s_(i)],c_(i):=c|_(I_(i))(i=1,dots,m) \left[s_{i-1}, s_{i}\right], c_{i}:=\left.c\right|_{I_{i}}(i=1, \ldots, m) [ s i − 1 , s i ] , c i := c | I i ( i = 1 , … , m ) とおく.
{
s
∈
I
i
∣
c
i
′
′
(
s
)
≠
0
}
s
∈
I
i
∣
c
i
′
′
(
s
)
≠
0
{s inI_(i)∣c_(i)^('')(s)!=0} \left\{s \in I_{i} \mid c_{i}^{\prime \prime}(s) \neq \mathbf{0}\right\} { s ∈ I i ∣ c i ′ ′ ( s ) ≠ 0 } はいく つかの開区間の和になる。それらの開区間の族を
{
(
s
i
j
,
s
i
j
′
)
∣
j
=
1
,
…
,
k
i
}
s
i
j
,
s
i
j
′
∣
j
=
1
,
…
,
k
i
{(s_(ij),s_(ij)^('))∣j=1,dots,k_(i)} \left\{\left(s_{i j}, s_{i j}^{\prime}\right) \mid j=1, \ldots, k_{i}\right\} { ( s i j , s i j ′ ) ∣ j = 1 , … , k i }
(
s
i
j
′
<
s
i
,
j
+
1
(
j
=
1
,
…
,
k
i
−
1
)
)
s
i
j
′
<
s
i
,
j
+
1
j
=
1
,
…
,
k
i
−
1
(s_(ij)^(') < s_(i,j+1)(j=1,dots,k_(i)-1)) \left(s_{i j}^{\prime}<s_{i, j+1}\left(j=1, \ldots, k_{i}-1\right)\right) ( s i j ′ < s i , j + 1 ( j = 1 , … , k i − 1 ) ) とする. 簡単のため,
I
i
j
:=
[
s
i
j
,
s
i
j
′
]
,
c
i
j
:=
I
i
j
:=
s
i
j
,
s
i
j
′
,
c
i
j
:=
I_(ij):=[s_(ij),s_(ij)^(')],c_(ij):= I_{i j}:=\left[s_{i j}, s_{i j}^{\prime}\right], c_{i j}:= I i j := [ s i j , s i j ′ ] , c i j :=
c
|
I
i
j
c
I
i
j
c|_(I_(ij)) \left.c\right|_{I_{i j}} c | I i j とおく.
c
i
j
c
i
j
c_(ij) c_{i j} c i j の第 1 曲率, 第 1 法線ベクトル場を各々,
κ
i
j
,
n
i
j
κ
i
j
,
n
i
j
kappa_(ij),n_(ij) \kappa_{i j}, \boldsymbol{n}_{i j} κ i j , n i j と表す. ここで,
κ
i
j
κ
i
j
kappa_(ij) \kappa_{i j} κ i j は負になる可能性もあることを注意しておく(2.5 節を参照). 通常, 曲面論(=
E
3
E
3
E^(3) \mathbb{E}^{3} E 3 内の超曲面論)では,
κ
i
j
κ
i
j
kappa_(ij) \kappa_{i j} κ i j は測地的曲率(geodesic curvature)とよばれる.
I
i
I
i
I_(i) I_{i} I i 上の関数
κ
i
κ
i
kappa^(i) \kappa^{i} κ i を
κ
i
(
s
)
:=
{
κ
i
j
(
s
∈
I
i
j
)
0
(
s
∈
I
i
∖
(
k
i
j
=
1
I
i
j
)
)
κ
i
(
s
)
:=
κ
i
j
s
∈
I
i
j
0
s
∈
I
i
∖
k
i
j
=
1
I
i
j
kappa^(i)(s):={[kappa_(ij),(s inI_(ij))],[0,(s inI_(i)\\(k_(i)_(j=1)I_(ij)))]:} \kappa^{i}(s):= \begin{cases}\kappa_{i j} & \left(s \in I_{i j}\right) \\ 0 & \left(s \in I_{i} \backslash\left(\underset{j=1}{k_{i}} I_{i j}\right)\right)\end{cases} κ i ( s ) := { κ i j ( s ∈ I i j ) 0 ( s ∈ I i ∖ ( k i j = 1 I i j ) )
によって定義する.
κ
i
κ
i
kappa^(i) \kappa^{i} κ i を
c
i
c
i
c_(i) c_{i} c i の測地的曲率とよぶことにする.
p
i
:=
c
i
(
s
i
)
(
i
=
1
,
…
,
m
)
とおく. このとき,
S
′
を
p
1
,
…
,
p
m
を頂点と
p
i
:=
c
i
s
i
(
i
=
1
,
…
,
m
)
とおく. このとき,
S
′
を
p
1
,
…
,
p
m
を頂点と
p_(i):=c_(i)(s_(i))(i=1,dots,m)" とおく. このとき, "S^(')" を "p_(1),dots,p_(m)" を頂点と " p_{i}:=c_{i}\left(s_{i}\right)(i=1, \ldots, m) \text { とおく. このとき, } S^{\prime} \text { を } p_{1}, \ldots, p_{m} \text { を頂点と } と お く こ の と き を を 頂 点 と p i := c i ( s i ) ( i = 1 , … , m ) とおく. このとき, S ′ を p 1 , … , p m を頂点と
する
m
m
m \boldsymbol{m} m 角形
(
m
m
(m:} \left(\boldsymbol{m}\right. ( m -polygon)といい, 特に, 各
c
i
(
i
=
1
,
…
,
m
)
c
i
(
i
=
1
,
…
,
m
)
c_(i)(i=1,dots,m) c_{i}(i=1, \ldots, m) c i ( i = 1 , … , m ) が
S
S
S S S 上の 測地線であるときは,
p
1
,
…
,
p
m
p
1
,
…
,
p
m
p_(1),dots,p_(m) p_{1}, \ldots, p_{m} p 1 , … , p m を頂点とする測地
m
m
m \boldsymbol{m} m 角形 (geodesic
m
−
m
−
m^(-) \boldsymbol{m}^{-} m −
polygon) という。また,
c
→
i
′
(
s
i
)
c
→
i
′
s
i
vec(c)_(i)^(')(s_(i)) \vec{c}_{i}^{\prime}\left(s_{i}\right) c → i ′ ( s i ) と
c
→
i
+
1
′
(
s
i
)
c
→
i
+
1
′
s
i
vec(c)_(i+1)^(')(s_(i)) \vec{c}_{i+1}^{\prime}\left(s_{i}\right) c → i + 1 ′ ( s i ) のなす角を
θ
i
′
θ
i
′
theta_(i)^(') \theta_{i}^{\prime} θ i ′ として,
θ
i
:=
θ
i
:=
theta_(i):= \theta_{i}:= θ i :=
π
−
θ
i
′
π
−
θ
i
′
pi-theta_(i)^(') \pi-\theta_{i}^{\prime} π − θ i ′ を
m
m
m \boldsymbol{m} m 角形
S
′
S
′
S^(') \boldsymbol{S}^{\prime} S ′ の頂点
p
i
p
i
p_(i) \boldsymbol{p}_{\boldsymbol{i}} p i における内角(internal angle of a
m
−
m
−
m^(-) \boldsymbol{m}^{-} m − polygon
S
′
S
′
S^(') S^{\prime} S ′ at the vertex
p
i
p
i
p_(i) \boldsymbol{p}_{\boldsymbol{i}} p i ) という.
S
S
S S S の
m
m
m m m 角形
S
′
S
′
S^(') S^{\prime} S ′ 上のガウス曲率 の積分に対して, 次のストークス型の積分公式が成り立つ.
定理 2.8.1(ガウス・ボンネの定理(局所版)) Kを
S
S
S S S のガウス曲率,
κ
i
κ
i
kappa^(i) \kappa^{i} κ i を
S
′
S
′
S^(') S^{\prime} S ′ の辺
c
i
c
i
c_(i) c_{i} c i の測地的曲率,
θ
i
θ
i
theta_(i) \theta_{i} θ i を
S
′
S
′
S^(') S^{\prime} S ′ の頂点
p
i
:=
c
(
s
i
)
p
i
:=
c
s
i
p_(i):=c(s_(i)) p_{i}:=c\left(s_{i}\right) p i := c ( s i ) における内角とし,
d
A
d
A
dA d A d A を
S
S
S S S の面積要素とする。このとき, 次の関係式が成り立つ:
(2.8.1)
∫
S
′
K
d
A
=
2
π
−
(
∑
i
=
1
m
∫
s
i
−
1
s
i
κ
i
(
s
)
d
s
+
∑
i
=
1
m
(
π
−
θ
i
)
)
(2.8.1)
∫
S
′
K
d
A
=
2
π
−
∑
i
=
1
m
∫
s
i
−
1
s
i
κ
i
(
s
)
d
s
+
∑
i
=
1
m
π
−
θ
i
{:(2.8.1)int_(S^('))KdA=2pi-(sum_(i=1)^(m)int_(s_(i-1))^(s_(i))kappa^(i)(s)ds+sum_(i=1)^(m)(pi-theta_(i))):} \begin{equation*}
\int_{S^{\prime}} K d A=2 \pi-\left(\sum_{i=1}^{m} \int_{s_{i-1}}^{s_{i}} \kappa^{i}(s) d s+\sum_{i=1}^{m}\left(\pi-\theta_{i}\right)\right) \tag{2.8.1}
\end{equation*} (2.8.1) ∫ S ′ K d A = 2 π − ( ∑ i = 1 m ∫ s i − 1 s i κ i ( s ) d s + ∑ i = 1 m ( π − θ i ) )
定理2.8.1を証明するために,いくつかの補題を準備しよう. まず, 測地的極座標を定義し,その性質を述べることにする。
x
−
1
=
(
u
1
,
u
2
)
x
−
1
=
u
1
,
u
2
x^(-1)=(u_(1),u_(2)) \boldsymbol{x}^{-1}=\left(u_{1}, u_{2}\right) x − 1 = ( u 1 , u 2 ) とする.
p
∈
S
′
∖
∂
S
′
p
∈
S
′
∖
∂
S
′
p inS^(')\\delS^(') p \in S^{\prime} \backslash \partial S^{\prime} p ∈ S ′ ∖ ∂ S ′ を基点としてとり,
(
(
∂
∂
u
1
)
p
,
(
∂
∂
u
2
)
p
)
∂
∂
u
1
p
,
∂
∂
u
2
p
(((del)/(delu_(1)))_(p),((del)/(delu_(2)))_(p)) \left(\left(\frac{\partial}{\partial u_{1}}\right)_{p},\left(\frac{\partial}{\partial u_{2}}\right)_{p}\right) ( ( ∂ ∂ u 1 ) p , ( ∂ ∂ u 2 ) p ) と同じ向きを定め る
(
T
p
S
,
g
p
)
T
p
S
,
g
p
(T_(p)S,g_(p)) \left(T_{p} S, g_{p}\right) ( T p S , g p ) の正規直交基底
(
e
1
,
e
2
)
e
1
,
e
2
(e_(1),e_(2)) \left(\boldsymbol{e}_{1}, \boldsymbol{e}_{2}\right) ( e 1 , e 2 ) をとる.
v
θ
:=
cos
θ
e
1
+
sin
θ
e
2
(
θ
∈
v
θ
:=
cos
θ
e
1
+
sin
θ
e
2
(
θ
∈
v_(theta):=cos thetae_(1)+sin thetae_(2)quad(theta in \boldsymbol{v}_{\theta}:=\cos \theta \boldsymbol{e}_{1}+\sin \theta \boldsymbol{e}_{2} \quad(\theta \in v θ := cos θ e 1 + sin θ e 2 ( θ ∈
[
0
,
2
π
)
)
[
0
,
2
π
)
)
[0,2pi)) [0,2 \pi) ) ) [ 0 , 2 π ) ) とおく.
c
θ
:
[
0
,
l
θ
)
→
S
c
θ
:
0
,
l
θ
→
S
c_(theta):[0,l_(theta))rarr S c_{\theta}:\left[0, l_{\theta}\right) \rightarrow S c θ : [ 0 , l θ ) → S を
S
S
S S S 上の測地線で
c
θ
(
0
)
=
p
,
c
θ
′
(
0
)
=
v
θ
c
θ
(
0
)
=
p
,
c
θ
′
(
0
)
=
v
θ
c_(theta)(0)=p,c_(theta)^(')(0)=v_(theta) c_{\theta}(0)=p, c_{\theta}^{\prime}(0)=\boldsymbol{v}_{\theta} c θ ( 0 ) = p , c θ ′ ( 0 ) = v θ と なるようなものとする.
l
θ
l
θ
l_(theta) l_{\theta} l θ は可能な限り大きくとる.
W
~
:=
∪
θ
∈
[
0
,
2
π
)
{
r
v
θ
∣
r
∈
[
0
,
l
θ
)
}
W
~
:=
∪
θ
∈
[
0
,
2
π
)
r
v
θ
∣
r
∈
0
,
l
θ
widetilde(W):=uu_(theta in[0,2pi)){rv_(theta)∣r in[0,l_(theta))} \widetilde{W}:=\underset{\theta \in[0,2 \pi)}{\cup}\left\{r \boldsymbol{v}_{\theta} \mid r \in\left[0, l_{\theta}\right)\right\} W ~ := ∪ θ ∈ [ 0 , 2 π ) { r v θ ∣ r ∈ [ 0 , l θ ) }
とし,
exp
p
:
W
~
→
S
exp
p
:
W
~
→
S
exp_(p): widetilde(W)rarr S \exp _{p}: \widetilde{W} \rightarrow S exp p : W ~ → S を
exp
p
(
r
v
θ
)
:=
c
θ
(
r
)
(
r
v
θ
∈
W
~
)
exp
p
r
v
θ
:=
c
θ
(
r
)
r
v
θ
∈
W
~
exp_(p)(rv_(theta)):=c_(theta)(r)quad(rv_(theta)in( widetilde(W))) \exp _{p}\left(r \boldsymbol{v}_{\theta}\right):=c_{\theta}(r) \quad\left(r \boldsymbol{v}_{\theta} \in \widetilde{W}\right) exp p ( r v θ ) := c θ ( r ) ( r v θ ∈ W ~ )
により定義する。
exp
p
exp
p
exp_(p) \exp _{p} exp p の
0
p
0
p
0_(p) \mathbf{0}_{p} 0 p のある近傍
U
~
U
~
widetilde(U) \widetilde{U} U ~ への制限は,S
S
S
S S S のあ開集合への
C
r
C
r
C^(r) C^{r} C r 同型写像であることが示される(この事実は, 3.6 節で述べる逆関数定理 (定理 3.6.1)を用いて示される).
W
:=
exp
p
(
W
~
)
,
U
:=
exp
p
(
U
~
)
,
D
^
:=
{
(
r
,
θ
)
∣
r
v
θ
∈
U
~
∖
{
0
p
}
}
W
:=
exp
p
(
W
~
)
,
U
:=
exp
p
(
U
~
)
,
D
^
:=
(
r
,
θ
)
∣
r
v
θ
∈
U
~
∖
0
p
W:=exp_(p)( widetilde(W)),quad U:=exp_(p)( widetilde(U)),quad hat(D):={(r,theta)∣rv_(theta)in( widetilde(U))\\{0_(p)}} W:=\exp _{p}(\widetilde{W}), \quad U:=\exp _{p}(\widetilde{U}), \quad \hat{D}:=\left\{(r, \theta) \mid r \boldsymbol{v}_{\theta} \in \widetilde{U} \backslash\left\{\mathbf{0}_{p}\right\}\right\} W := exp p ( W ~ ) , U := exp p ( U ~ ) , D ^ := { ( r , θ ) ∣ r v θ ∈ U ~ ∖ { 0 p } }
とおく.
x
^
:
D
^
→
S
x
^
:
D
^
→
S
hat(x): hat(D)rarr S \hat{\boldsymbol{x}}: \hat{D} \rightarrow S x ^ : D ^ → S を
x
^
(
r
,
θ
)
:=
exp
p
(
r
v
θ
)
(
(
r
,
θ
)
∈
D
^
)
x
^
(
r
,
θ
)
:=
exp
p
r
v
θ
(
(
r
,
θ
)
∈
D
^
)
hat(x)(r,theta):=exp_(p)(rv_(theta))quad((r,theta)in hat(D)) \hat{\boldsymbol{x}}(r, \theta):=\exp _{p}\left(r \boldsymbol{v}_{\theta}\right) \quad((r, \theta) \in \hat{D}) x ^ ( r , θ ) := exp p ( r v θ ) ( ( r , θ ) ∈ D ^ )
によって定義する.
x
^
x
^
hat(x) \hat{\boldsymbol{x}} x ^ は
C
∞
C
∞
C^(oo) C^{\infty} C ∞ 正則局所曲面を与え,
x
^
(
D
^
)
=
U
∖
{
p
}
⊂
S
x
^
(
D
^
)
=
U
∖
{
p
}
⊂
S
hat(x)( hat(D))=U\\{p}sub S \hat{\boldsymbol{x}}(\hat{D})=U \backslash\{p\} \subset S x ^ ( D ^ ) = U ∖ { p } ⊂ S とな るので,
U
∖
{
p
}
U
∖
{
p
}
U\\{p} U \backslash\{p\} U ∖ { p } と
x
^
−
1
=
(
r
,
θ
)
:
U
∖
{
p
}
→
R
2
x
^
−
1
=
(
r
,
θ
)
:
U
∖
{
p
}
→
R
2
hat(x)^(-1)=(r,theta):U\\{p}rarrR^(2) \hat{\boldsymbol{x}}^{-1}=(r, \theta): U \backslash\{p\} \rightarrow \mathbb{R}^{2} x ^ − 1 = ( r , θ ) : U ∖ { p } → R 2
の組
(
U
∖
{
p
}
,
x
^
−
1
)
U
∖
{
p
}
,
x
^
−
1
(U\\{p}, hat(x)^(-1)) \left(U \backslash\{p\}, \hat{\boldsymbol{x}}^{-1}\right) ( U ∖ { p } , x ^ − 1 ) は
S
S
S S S の局所座標を与えることになる。この局所座標を
S
S
S S S の点
p
p
p p p を中心とする測地的極座標 (geodesic polar coordinate) という.
S
S
S S S の第 1 基本形式
g
g
g g g の極座標
x
^
−
1
=
(
r
,
θ
)
x
^
−
1
=
(
r
,
θ
)
hat(x)^(-1)=(r,theta) \hat{\boldsymbol{x}}^{-1}=(r, \theta) x ^ − 1 = ( r , θ ) に関する成分を
g
^
i
j
(
1
≤
i
,
j
≤
2
)
g
^
i
j
(
1
≤
i
,
j
≤
2
)
hat(g)_(ij)(1 <= i,j <= 2) \hat{g}_{i j}(1 \leq i, j \leq 2) g ^ i j ( 1 ≤ i , j ≤ 2 ) と表すことにする. つまり,
g
^
11
:=
g
(
∂
∂
r
,
∂
∂
r
)
,
g
^
12
=
g
^
21
:=
g
(
∂
∂
r
,
∂
∂
θ
)
,
g
^
22
:=
g
(
∂
∂
θ
,
∂
∂
θ
)
g
^
11
:=
g
∂
∂
r
,
∂
∂
r
,
g
^
12
=
g
^
21
:=
g
∂
∂
r
,
∂
∂
θ
,
g
^
22
:=
g
∂
∂
θ
,
∂
∂
θ
hat(g)_(11):=g((del)/(del r),(del)/(del r)),quad hat(g)_(12)= hat(g)_(21):=g((del)/(del r),(del)/(del theta)),quad hat(g)_(22):=g((del)/(del theta),(del)/(del theta)) \hat{g}_{11}:=g\left(\frac{\partial}{\partial r}, \frac{\partial}{\partial r}\right), \quad \hat{g}_{12}=\hat{g}_{21}:=g\left(\frac{\partial}{\partial r}, \frac{\partial}{\partial \theta}\right), \quad \hat{g}_{22}:=g\left(\frac{\partial}{\partial \theta}, \frac{\partial}{\partial \theta}\right) g ^ 11 := g ( ∂ ∂ r , ∂ ∂ r ) , g ^ 12 = g ^ 21 := g ( ∂ ∂ r , ∂ ∂ θ ) , g ^ 22 := g ( ∂ ∂ θ , ∂ ∂ θ )
とする. 測地的極座標
x
^
−
1
=
(
r
,
θ
)
x
^
−
1
=
(
r
,
θ
)
hat(x)^(-1)=(r,theta) \hat{\boldsymbol{x}}^{-1}=(r, \theta) x ^ − 1 = ( r , θ ) について, 次の事実が成り立つ.
補題 2.8.2 次式が成り立つ:
g
^
11
=
1
,
g
^
12
=
g
^
21
=
0
,
lim
r
→
+
0
g
^
22
(
x
^
(
r
,
θ
)
)
r
2
=
1
g
^
11
=
1
,
g
^
12
=
g
^
21
=
0
,
lim
r
→
+
0
g
^
22
(
x
^
(
r
,
θ
)
)
r
2
=
1
hat(g)_(11)=1,quad hat(g)_(12)= hat(g)_(21)=0,quadlim_(r rarr+0)( hat(g)_(22)(( hat(x))(r,theta)))/(r^(2))=1 \hat{g}_{11}=1, \quad \hat{g}_{12}=\hat{g}_{21}=0, \quad \lim _{r \rightarrow+0} \frac{\hat{g}_{22}(\hat{\boldsymbol{x}}(r, \theta))}{r^{2}}=1 g ^ 11 = 1 , g ^ 12 = g ^ 21 = 0 , lim r → + 0 g ^ 22 ( x ^ ( r , θ ) ) r 2 = 1
証明
(
∂
x
^
∂
r
)
(
r
,
θ
)
=
c
θ
′
(
r
)
∂
x
^
∂
r
(
r
,
θ
)
=
c
θ
′
(
r
)
((del( hat(x)))/(del r))_((r,theta))=c_(theta)^(')(r) \left(\frac{\partial \hat{\boldsymbol{x}}}{\partial r}\right)_{(r, \theta)}=c_{\theta}^{\prime}(r) ( ∂ x ^ ∂ r ) ( r , θ ) = c θ ′ ( r ) なので,
g
^
11
(
x
^
(
r
,
θ
)
)
=
‖
c
θ
′
(
r
)
‖
2
=
‖
c
θ
′
(
0
)
‖
2
=
‖
v
θ
‖
2
=
1
g
^
11
(
x
^
(
r
,
θ
)
)
=
c
θ
′
(
r
)
2
=
c
θ
′
(
0
)
2
=
v
θ
2
=
1
hat(g)_(11)( hat(x)(r,theta))=||c_(theta)^(')(r)||^(2)=||c_(theta)^(')(0)||^(2)=||v_(theta)||^(2)=1 \hat{g}_{11}(\hat{\boldsymbol{x}}(r, \theta))=\left\|c_{\theta}^{\prime}(r)\right\|^{2}=\left\|c_{\theta}^{\prime}(0)\right\|^{2}=\left\|\boldsymbol{v}_{\theta}\right\|^{2}=1 g ^ 11 ( x ^ ( r , θ ) ) = ‖ c θ ′ ( r ) ‖ 2 = ‖ c θ ′ ( 0 ) ‖ 2 = ‖ v θ ‖ 2 = 1
をえる。また,
∂
g
^
12
∂
r
=
∂
∂
r
(
∂
x
^
∂
r
⋅
∂
x
^
∂
θ
)
=
∂
2
x
^
∂
r
2
⋅
∂
x
^
∂
θ
+
∂
x
^
∂
r
⋅
∂
2
x
^
∂
r
∂
θ
=
∂
2
x
^
∂
r
2
⋅
∂
x
^
∂
θ
+
1
2
∂
∂
θ
(
∂
x
^
∂
r
⋅
∂
x
^
∂
r
)
=
∂
2
x
^
∂
r
2
⋅
∂
x
^
∂
θ
+
1
2
∂
g
^
11
∂
θ
=
∂
2
x
^
∂
r
2
⋅
∂
x
^
∂
θ
∂
g
^
12
∂
r
=
∂
∂
r
∂
x
^
∂
r
⋅
∂
x
^
∂
θ
=
∂
2
x
^
∂
r
2
⋅
∂
x
^
∂
θ
+
∂
x
^
∂
r
⋅
∂
2
x
^
∂
r
∂
θ
=
∂
2
x
^
∂
r
2
⋅
∂
x
^
∂
θ
+
1
2
∂
∂
θ
∂
x
^
∂
r
⋅
∂
x
^
∂
r
=
∂
2
x
^
∂
r
2
⋅
∂
x
^
∂
θ
+
1
2
∂
g
^
11
∂
θ
=
∂
2
x
^
∂
r
2
⋅
∂
x
^
∂
θ
{:[(del hat(g)_(12))/(del r)=(del)/(del r)((del( hat(x)))/(del r)*(del( hat(x)))/(del theta))=(del^(2)( hat(x)))/(delr^(2))*(del( hat(x)))/(del theta)+(del( hat(x)))/(del r)*(del^(2)( hat(x)))/(del r del theta)],[=(del^(2)( hat(x)))/(delr^(2))*(del( hat(x)))/(del theta)+(1)/(2)(del)/(del theta)((del( hat(x)))/(del r)*(del( hat(x)))/(del r))],[=(del^(2)( hat(x)))/(delr^(2))*(del( hat(x)))/(del theta)+(1)/(2)(del hat(g)_(11))/(del theta)=(del^(2)( hat(x)))/(delr^(2))*(del( hat(x)))/(del theta)]:} \begin{aligned}
\frac{\partial \hat{g}_{12}}{\partial r}=\frac{\partial}{\partial r}\left(\frac{\partial \hat{\boldsymbol{x}}}{\partial r} \cdot \frac{\partial \hat{\boldsymbol{x}}}{\partial \theta}\right) & =\frac{\partial^{2} \hat{\boldsymbol{x}}}{\partial r^{2}} \cdot \frac{\partial \hat{\boldsymbol{x}}}{\partial \theta}+\frac{\partial \hat{\boldsymbol{x}}}{\partial r} \cdot \frac{\partial^{2} \hat{\boldsymbol{x}}}{\partial r \partial \theta} \\
& =\frac{\partial^{2} \hat{\boldsymbol{x}}}{\partial r^{2}} \cdot \frac{\partial \hat{\boldsymbol{x}}}{\partial \theta}+\frac{1}{2} \frac{\partial}{\partial \theta}\left(\frac{\partial \hat{\boldsymbol{x}}}{\partial r} \cdot \frac{\partial \hat{\boldsymbol{x}}}{\partial r}\right) \\
& =\frac{\partial^{2} \hat{\boldsymbol{x}}}{\partial r^{2}} \cdot \frac{\partial \hat{\boldsymbol{x}}}{\partial \theta}+\frac{1}{2} \frac{\partial \hat{g}_{11}}{\partial \theta}=\frac{\partial^{2} \hat{\boldsymbol{x}}}{\partial r^{2}} \cdot \frac{\partial \hat{\boldsymbol{x}}}{\partial \theta}
\end{aligned} ∂ g ^ 12 ∂ r = ∂ ∂ r ( ∂ x ^ ∂ r ⋅ ∂ x ^ ∂ θ ) = ∂ 2 x ^ ∂ r 2 ⋅ ∂ x ^ ∂ θ + ∂ x ^ ∂ r ⋅ ∂ 2 x ^ ∂ r ∂ θ = ∂ 2 x ^ ∂ r 2 ⋅ ∂ x ^ ∂ θ + 1 2 ∂ ∂ θ ( ∂ x ^ ∂ r ⋅ ∂ x ^ ∂ r ) = ∂ 2 x ^ ∂ r 2 ⋅ ∂ x ^ ∂ θ + 1 2 ∂ g ^ 11 ∂ θ = ∂ 2 x ^ ∂ r 2 ⋅ ∂ x ^ ∂ θ
が示される.
c
θ
c
θ
c_(theta) c_{\theta} c θ は
S
S
S S S 上の測地線なので,
∂
2
x
^
∂
r
2
=
c
θ
′
′
(
r
)
∂
2
x
^
∂
r
2
=
c
θ
′
′
(
r
)
(del^(2)( hat(x)))/(delr^(2))=c_(theta)^('')(r) \frac{\partial^{2} \hat{\boldsymbol{x}}}{\partial r^{2}}=c_{\theta}^{\prime \prime}(r) ∂ 2 x ^ ∂ r 2 = c θ ′ ′ ( r ) は
S
S
S S S の点
x
^
(
r
,
θ
)
x
^
(
r
,
θ
)
hat(x)(r,theta) \hat{\boldsymbol{x}}(r, \theta) x ^ ( r , θ ) にお ける法ベクトルになる。それゆえ,
∂
2
x
^
∂
r
2
⋅
∂
x
^
∂
θ
=
0
∂
2
x
^
∂
r
2
⋅
∂
x
^
∂
θ
=
0
(del^(2)( hat(x)))/(delr^(2))*(del( hat(x)))/(del theta)=0 \frac{\partial^{2} \hat{\boldsymbol{x}}}{\partial r^{2}} \cdot \frac{\partial \hat{\boldsymbol{x}}}{\partial \theta}=0 ∂ 2 x ^ ∂ r 2 ⋅ ∂ x ^ ∂ θ = 0 となり,
∂
g
^
12
∂
r
=
0
∂
g
^
12
∂
r
=
0
(del hat(g)_(12))/(del r)=0 \frac{\partial \hat{g}_{12}}{\partial r}=0 ∂ g ^ 12 ∂ r = 0 が示さ れる。一方,
lim
r
→
+
0
(
∂
x
^
∂
θ
)
(
r
,
θ
)
=
0
lim
r
→
+
0
∂
x
^
∂
θ
(
r
,
θ
)
=
0
lim_(r rarr+0)((del( hat(x)))/(del theta))_((r,theta))=0 \lim _{r \rightarrow+0}\left(\frac{\partial \hat{\boldsymbol{x}}}{\partial \theta}\right)_{(r, \theta)}=\mathbf{0} lim r → + 0 ( ∂ x ^ ∂ θ ) ( r , θ ) = 0 , および
lim
r
→
+
0
‖
∂
2
x
^
∂
r
2
‖
=
lim
r
→
+
0
‖
c
θ
′
′
(
r
)
‖
=
lim
r
→
+
0
‖
h
(
c
θ
′
(
r
)
,
c
θ
′
(
r
)
)
‖
<
∞
lim
r
→
+
0
∂
2
x
^
∂
r
2
=
lim
r
→
+
0
c
θ
′
′
(
r
)
=
lim
r
→
+
0
h
c
θ
′
(
r
)
,
c
θ
′
(
r
)
<
∞
lim_(r rarr+0)||(del^(2)( hat(x)))/(delr^(2))||=lim_(r rarr+0)||c_(theta)^('')(r)||=lim_(r rarr+0)||h(c_(theta)^(')(r),c_(theta)^(')(r))|| < oo \lim _{r \rightarrow+0}\left\|\frac{\partial^{2} \hat{\boldsymbol{x}}}{\partial r^{2}}\right\|=\lim _{r \rightarrow+0}\left\|c_{\theta}^{\prime \prime}(r)\right\|=\lim _{r \rightarrow+0}\left\|h\left(c_{\theta}^{\prime}(r), c_{\theta}^{\prime}(r)\right)\right\|<\infty lim r → + 0 ‖ ∂ 2 x ^ ∂ r 2 ‖ = lim r → + 0 ‖ c θ ′ ′ ( r ) ‖ = lim r → + 0 ‖ h ( c θ ′ ( r ) , c θ ′ ( r ) ) ‖ < ∞
が示されるので,
lim
r
→
+
0
g
^
12
(
x
(
r
,
θ
)
)
=
0
lim
r
→
+
0
g
^
12
(
x
(
r
,
θ
)
)
=
0
lim_(r rarr+0) hat(g)_(12)(x(r,theta))=0 \lim _{r \rightarrow+0} \hat{g}_{12}(\boldsymbol{x}(r, \theta))=0 lim r → + 0 g ^ 12 ( x ( r , θ ) ) = 0 をえる. ここで,
h
h
h h h は
S
S
S S S の第 2 基本形式を表す. したがって,
g
^
12
≡
0
g
^
12
≡
0
hat(g)_(12)-=0 \hat{g}_{12} \equiv 0 g ^ 12 ≡ 0 が示される.
第 3 式は, ロピタルの定理を用いて次のように示される.
lim
r
→
+
0
g
^
22
(
x
^
(
r
,
θ
)
)
r
2
=
lim
r
→
+
0
1
r
∂
2
x
^
∂
r
∂
θ
⋅
∂
x
^
∂
θ
=
lim
r
→
+
0
(
∂
3
x
^
∂
r
2
∂
θ
⋅
∂
x
^
∂
θ
+
∂
2
x
^
∂
r
∂
θ
⋅
∂
2
x
^
∂
r
∂
θ
)
=
lim
r
→
+
0
(
∂
∂
θ
(
∂
2
x
^
∂
r
2
⋅
∂
x
^
∂
θ
)
−
∂
2
x
^
∂
r
2
⋅
∂
2
x
^
∂
θ
2
+
‖
∂
2
x
^
∂
r
∂
θ
‖
2
)
=
lim
r
→
+
0
(
−
h
(
∂
∂
r
,
∂
∂
r
)
h
(
∂
∂
θ
,
∂
∂
θ
)
+
‖
∂
2
x
^
∂
r
∂
θ
‖
2
)
=
−
h
p
(
v
θ
,
v
θ
)
⋅
0
+
‖
∂
∂
θ
(
cos
θ
e
1
+
sin
θ
e
2
)
‖
2
=
‖
−
sin
θ
e
1
+
cos
θ
e
2
‖
2
=
1
lim
r
→
+
0
g
^
22
(
x
^
(
r
,
θ
)
)
r
2
=
lim
r
→
+
0
1
r
∂
2
x
^
∂
r
∂
θ
⋅
∂
x
^
∂
θ
=
lim
r
→
+
0
∂
3
x
^
∂
r
2
∂
θ
⋅
∂
x
^
∂
θ
+
∂
2
x
^
∂
r
∂
θ
⋅
∂
2
x
^
∂
r
∂
θ
=
lim
r
→
+
0
∂
∂
θ
∂
2
x
^
∂
r
2
⋅
∂
x
^
∂
θ
−
∂
2
x
^
∂
r
2
⋅
∂
2
x
^
∂
θ
2
+
∂
2
x
^
∂
r
∂
θ
2
=
lim
r
→
+
0
−
h
∂
∂
r
,
∂
∂
r
h
∂
∂
θ
,
∂
∂
θ
+
∂
2
x
^
∂
r
∂
θ
2
=
−
h
p
v
θ
,
v
θ
⋅
0
+
∂
∂
θ
cos
θ
e
1
+
sin
θ
e
2
2
=
−
sin
θ
e
1
+
cos
θ
e
2
2
=
1
{:[lim_(r rarr+0)( hat(g)_(22)(( hat(x))(r,theta)))/(r^(2))=lim_(r rarr+0)(1)/(r)(del^(2)( hat(x)))/(del r del theta)*(del( hat(x)))/(del theta)=lim_(r rarr+0)((del^(3)( hat(x)))/(delr^(2)del theta)*(del( hat(x)))/(del theta)+(del^(2)( hat(x)))/(del r del theta)*(del^(2)( hat(x)))/(del r del theta))],[=lim_(r rarr+0)((del)/(del theta)((del^(2)( hat(x)))/(delr^(2))*(del( hat(x)))/(del theta))-(del^(2)( hat(x)))/(delr^(2))*(del^(2)( hat(x)))/(deltheta^(2))+||(del^(2)( hat(x)))/(del r del theta)||^(2))],[=lim_(r rarr+0)(-h((del)/(del r),(del)/(del r))h((del)/(del theta),(del)/(del theta))+||(del^(2)( hat(x)))/(del r del theta)||^(2))],[=-h_(p)(v_(theta),v_(theta))*0+||(del)/(del theta)(cos thetae_(1)+sin thetae_(2))||^(2)],[=||-sin thetae_(1)+cos thetae_(2)||^(2)=1]:} \begin{aligned}
\lim _{r \rightarrow+0} \frac{\hat{g}_{22}(\hat{\boldsymbol{x}}(r, \theta))}{r^{2}} & =\lim _{r \rightarrow+0} \frac{1}{r} \frac{\partial^{2} \hat{\boldsymbol{x}}}{\partial r \partial \theta} \cdot \frac{\partial \hat{\boldsymbol{x}}}{\partial \theta}=\lim _{r \rightarrow+0}\left(\frac{\partial^{3} \hat{\boldsymbol{x}}}{\partial r^{2} \partial \theta} \cdot \frac{\partial \hat{\boldsymbol{x}}}{\partial \theta}+\frac{\partial^{2} \hat{\boldsymbol{x}}}{\partial r \partial \theta} \cdot \frac{\partial^{2} \hat{\boldsymbol{x}}}{\partial r \partial \theta}\right) \\
& =\lim _{r \rightarrow+0}\left(\frac{\partial}{\partial \theta}\left(\frac{\partial^{2} \hat{\boldsymbol{x}}}{\partial r^{2}} \cdot \frac{\partial \hat{\boldsymbol{x}}}{\partial \theta}\right)-\frac{\partial^{2} \hat{\boldsymbol{x}}}{\partial r^{2}} \cdot \frac{\partial^{2} \hat{\boldsymbol{x}}}{\partial \theta^{2}}+\left\|\frac{\partial^{2} \hat{\boldsymbol{x}}}{\partial r \partial \theta}\right\|^{2}\right) \\
& =\lim _{r \rightarrow+0}\left(-h\left(\frac{\partial}{\partial r}, \frac{\partial}{\partial r}\right) h\left(\frac{\partial}{\partial \theta}, \frac{\partial}{\partial \theta}\right)+\left\|\frac{\partial^{2} \hat{\boldsymbol{x}}}{\partial r \partial \theta}\right\|^{2}\right) \\
& =-h_{p}\left(\boldsymbol{v}_{\theta}, \boldsymbol{v}_{\theta}\right) \cdot 0+\left\|\frac{\partial}{\partial \theta}\left(\cos \theta \boldsymbol{e}_{1}+\sin \theta \boldsymbol{e}_{2}\right)\right\|^{2} \\
& =\left\|-\sin \theta \boldsymbol{e}_{1}+\cos \theta \boldsymbol{e}_{2}\right\|^{2}=1
\end{aligned} lim r → + 0 g ^ 22 ( x ^ ( r , θ ) ) r 2 = lim r → + 0 1 r ∂ 2 x ^ ∂ r ∂ θ ⋅ ∂ x ^ ∂ θ = lim r → + 0 ( ∂ 3 x ^ ∂ r 2 ∂ θ ⋅ ∂ x ^ ∂ θ + ∂ 2 x ^ ∂ r ∂ θ ⋅ ∂ 2 x ^ ∂ r ∂ θ ) = lim r → + 0 ( ∂ ∂ θ ( ∂ 2 x ^ ∂ r 2 ⋅ ∂ x ^ ∂ θ ) − ∂ 2 x ^ ∂ r 2 ⋅ ∂ 2 x ^ ∂ θ 2 + ‖ ∂ 2 x ^ ∂ r ∂ θ ‖ 2 ) = lim r → + 0 ( − h ( ∂ ∂ r , ∂ ∂ r ) h ( ∂ ∂ θ , ∂ ∂ θ ) + ‖ ∂ 2 x ^ ∂ r ∂ θ ‖ 2 ) = − h p ( v θ , v θ ) ⋅ 0 + ‖ ∂ ∂ θ ( cos θ e 1 + sin θ e 2 ) ‖ 2 = ‖ − sin θ e 1 + cos θ e 2 ‖ 2 = 1
この補題を用いて, 次の事実が導かれる。
補題 2.8.3
S
S
S S S のガウス曲率
K
K
K K K は
U
U
U U U 上で次のように記述される:
K
=
−
1
g
^
22
∂
2
g
^
22
∂
r
2
K
=
−
1
g
^
22
∂
2
g
^
22
∂
r
2
K=-(1)/(sqrt( hat(g)_(22)))(del^(2)sqrt( hat(g)_(22)))/(delr^(2)) K=-\frac{1}{\sqrt{\hat{g}_{22}}} \frac{\partial^{2} \sqrt{\hat{g}_{22}}}{\partial r^{2}} K = − 1 g ^ 22 ∂ 2 g ^ 22 ∂ r 2
証明 便宜上,
(
u
^
1
,
u
^
2
)
:=
(
r
,
θ
)
u
^
1
,
u
^
2
:=
(
r
,
θ
)
( hat(u)_(1), hat(u)_(2)):=(r,theta) \left(\hat{u}_{1}, \hat{u}_{2}\right):=(r, \theta) ( u ^ 1 , u ^ 2 ) := ( r , θ ) とおき,
A
,
h
A
,
h
A,h A, h A , h の測地的極座標
(
u
^
1
,
u
^
2
)
u
^
1
,
u
^
2
( hat(u)_(1), hat(u)_(2)) \left(\hat{u}_{1}, \hat{u}_{2}\right) ( u ^ 1 , u ^ 2 ) に 関する成分を各々,
A
^
i
j
,
h
^
i
j
A
^
i
j
,
h
^
i
j
hat(A)_(i)^(j), hat(h)_(ij) \hat{A}_{i}^{j}, \hat{h}_{i j} A ^ i j , h ^ i j で表し, 測地的極座標
(
u
^
1
,
u
^
2
)
u
^
1
,
u
^
2
( hat(u)_(1), hat(u)_(2)) \left(\hat{u}_{1}, \hat{u}_{2}\right) ( u ^ 1 , u ^ 2 ) に関するクリスト ッフェルの記号を
{
k
i
j
}
k
i
j
{[k],[ij]} \left\{\begin{array}{c}k \\ i j\end{array}\right\} { k i j } で表すことにする。hの定義より,
(
h
^
i
j
)
=
h
^
i
j
=
( hat(h)_(ij))= \left(\hat{h}_{i j}\right)= ( h ^ i j ) =
(
A
^
i
j
)
(
g
^
i
j
)
A
^
i
j
g
^
i
j
( hat(A)_(i)^(j))( hat(g)_(ij)) \left(\hat{A}_{i}^{j}\right)\left(\hat{g}_{i j}\right) ( A ^ i j ) ( g ^ i j ) が成り立ち, それゆえ,
S
S
S S S のガウス曲率
K
K
K K K は,
U
∖
{
p
}
U
∖
{
p
}
U\\{p} U \backslash\{p\} U ∖ { p } 上で
(2.8.2)
K
=
det
(
A
^
i
j
)
=
det
(
h
^
i
j
)
det
(
g
^
i
j
)
(2.8.2)
K
=
det
A
^
i
j
=
det
h
^
i
j
det
g
^
i
j
{:(2.8.2)K=det( hat(A)_(i)^(j))=(det( hat(h)_(ij)))/(det( hat(g)_(ij))):} \begin{equation*}
K=\operatorname{det}\left(\hat{A}_{i}^{j}\right)=\frac{\operatorname{det}\left(\hat{h}_{i j}\right)}{\operatorname{det}\left(\hat{g}_{i j}\right)} \tag{2.8.2}
\end{equation*} (2.8.2) K = det ( A ^ i j ) = det ( h ^ i j ) det ( g ^ i j )
によって与えられる.
det
(
h
^
i
j
)
det
h
^
i
j
det( hat(h)_(ij)) \operatorname{det}\left(\hat{h}_{i j}\right) det ( h ^ i j ) を計算しよう. ガウスの公式とワインガルテン の公式を用いて,
0
=
(
∂
3
x
^
∂
u
^
i
∂
u
^
j
∂
u
^
k
−
∂
3
x
^
∂
u
^
j
∂
u
^
i
∂
u
^
k
)
⋅
∂
x
^
∂
u
^
l
=
(
∇
∂
∂
u
^
i
(
∇
∂
∂
a
^
j
∂
∂
u
^
k
)
−
∇
∂
∂
u
^
j
(
∇
∂
∂
u
^
i
∂
∂
u
^
k
)
)
⋅
∂
∂
u
^
l
−
h
^
j
k
h
^
i
l
+
h
^
i
k
h
^
j
l
=
∑
a
=
1
n
(
∂
∂
u
^
i
{
a
j
k
}
−
∂
∂
u
^
j
{
a
i
k
}
+
∑
b
=
1
n
{
b
j
k
}
{
a
i
b
}
−
∑
b
=
1
n
{
b
i
k
}
{
a
j
b
}
)
g
^
a
l
−
h
^
j
k
h
^
i
l
+
h
^
i
k
h
^
j
l
0
=
∂
3
x
^
∂
u
^
i
∂
u
^
j
∂
u
^
k
−
∂
3
x
^
∂
u
^
j
∂
u
^
i
∂
u
^
k
⋅
∂
x
^
∂
u
^
l
=
∇
∂
∂
u
^
i
∇
∂
∂
a
^
j
∂
∂
u
^
k
−
∇
∂
∂
u
^
j
∇
∂
∂
u
^
i
∂
∂
u
^
k
⋅
∂
∂
u
^
l
−
h
^
j
k
h
^
i
l
+
h
^
i
k
h
^
j
l
=
∑
a
=
1
n
∂
∂
u
^
i
a
j
k
−
∂
∂
u
^
j
a
i
k
+
∑
b
=
1
n
b
j
k
a
i
b
−
∑
b
=
1
n
b
i
k
a
j
b
g
^
a
l
−
h
^
j
k
h
^
i
l
+
h
^
i
k
h
^
j
l
{:[0=((del^(3)( hat(x)))/(del hat(u)_(i)del hat(u)_(j)del hat(u)_(k))-(del^(3)( hat(x)))/(del hat(u)_(j)del hat(u)_(i)del hat(u)_(k)))*(del( hat(x)))/(del hat(u)_(l))],[=(grad_((del)/(del hat(u)_(i)))(grad_((del)/(del hat(a)_(j)))(del)/(del hat(u)_(k)))-grad_((del)/(del hat(u)_(j)))(grad_((del)/(del hat(u)_(i)))(del)/(del hat(u)_(k))))*(del)/(del hat(u)_(l))- hat(h)_(jk) hat(h)_(il)+ hat(h)_(ik) hat(h)_(jl)],[=sum_(a=1)^(n)((del)/(del hat(u)_(i)){[a],[jk]}-(del)/(del hat(u)_(j)){[a],[ik]}+sum_(b=1)^(n){[b],[jk]}{[a],[ib]}:}],[{: quad-sum_(b=1)^(n){[b],[ik]}{[a],[jb]}) hat(g)_(al)- hat(h)_(jk) hat(h)_(il)+ hat(h)_(ik) hat(h)_(jl)]:} \begin{aligned}
0 & =\left(\frac{\partial^{3} \hat{\boldsymbol{x}}}{\partial \hat{u}_{i} \partial \hat{u}_{j} \partial \hat{u}_{k}}-\frac{\partial^{3} \hat{\boldsymbol{x}}}{\partial \hat{u}_{j} \partial \hat{u}_{i} \partial \hat{u}_{k}}\right) \cdot \frac{\partial \hat{\boldsymbol{x}}}{\partial \hat{u}_{l}} \\
& =\left(\nabla_{\frac{\partial}{\partial \hat{u}_{i}}}\left(\nabla_{\frac{\partial}{\partial \hat{a}_{j}}} \frac{\partial}{\partial \hat{u}_{k}}\right)-\nabla_{\frac{\partial}{\partial \hat{u}_{j}}}\left(\nabla_{\frac{\partial}{\partial \hat{u}_{i}}} \frac{\partial}{\partial \hat{u}_{k}}\right)\right) \cdot \frac{\partial}{\partial \hat{u}_{l}}-\hat{h}_{j k} \hat{h}_{i l}+\hat{h}_{i k} \hat{h}_{j l} \\
= & \sum_{a=1}^{n}\left(\frac{\partial}{\partial \hat{u}_{i}}\left\{\begin{array}{c}
a \\
j k
\end{array}\right\}-\frac{\partial}{\partial \hat{u}_{j}}\left\{\begin{array}{c}
a \\
i k
\end{array}\right\}+\sum_{b=1}^{n}\left\{\begin{array}{c}
b \\
j k
\end{array}\right\}\left\{\begin{array}{c}
a \\
i b
\end{array}\right\}\right. \\
& \left.\quad-\sum_{b=1}^{n}\left\{\begin{array}{c}
b \\
i k
\end{array}\right\}\left\{\begin{array}{c}
a \\
j b
\end{array}\right\}\right) \hat{g}_{a l}-\hat{h}_{j k} \hat{h}_{i l}+\hat{h}_{i k} \hat{h}_{j l}
\end{aligned} 0 = ( ∂ 3 x ^ ∂ u ^ i ∂ u ^ j ∂ u ^ k − ∂ 3 x ^ ∂ u ^ j ∂ u ^ i ∂ u ^ k ) ⋅ ∂ x ^ ∂ u ^ l = ( ∇ ∂ ∂ u ^ i ( ∇ ∂ ∂ a ^ j ∂ ∂ u ^ k ) − ∇ ∂ ∂ u ^ j ( ∇ ∂ ∂ u ^ i ∂ ∂ u ^ k ) ) ⋅ ∂ ∂ u ^ l − h ^ j k h ^ i l + h ^ i k h ^ j l = ∑ a = 1 n ( ∂ ∂ u ^ i { a j k } − ∂ ∂ u ^ j { a i k } + ∑ b = 1 n { b j k } { a i b } − ∑ b = 1 n { b i k } { a j b } ) g ^ a l − h ^ j k h ^ i l + h ^ i k h ^ j l
つまり,
h
^
j
k
h
^
i
l
−
h
^
i
k
h
^
j
l
(2.8.3)
=
∑
a
=
1
n
(
∂
∂
u
^
i
{
a
j
k
}
−
∂
∂
u
^
j
{
a
i
k
}
+
∑
b
=
1
n
{
b
j
k
}
{
a
i
b
}
−
∑
b
=
1
n
{
b
i
k
}
{
a
j
b
}
)
g
^
a
l
h
^
j
k
h
^
i
l
−
h
^
i
k
h
^
j
l
(2.8.3)
=
∑
a
=
1
n
∂
∂
u
^
i
a
j
k
−
∂
∂
u
^
j
a
i
k
+
∑
b
=
1
n
b
j
k
a
i
b
−
∑
b
=
1
n
b
i
k
a
j
b
g
^
a
l
{:[ hat(h)_(jk) hat(h)_(il)- hat(h)_(ik) hat(h)_(jl)],[(2.8.3)=sum_(a=1)^(n)((del)/(del hat(u)_(i)){[a],[jk]}-(del)/(del hat(u)_(j)){[a],[ik]}+sum_(b=1)^(n){[b],[jk]}{[a],[ib]}:}],[{:-sum_(b=1)^(n){[b],[ik]}{[a],[jb]}) hat(g)_(al)]:} \begin{gather*}
\hat{h}_{j k} \hat{h}_{i l}-\hat{h}_{i k} \hat{h}_{j l} \\
=\sum_{a=1}^{n}\left(\frac{\partial}{\partial \hat{u}_{i}}\left\{\begin{array}{c}
a \\
j k
\end{array}\right\}-\frac{\partial}{\partial \hat{u}_{j}}\left\{\begin{array}{l}
a \\
i k
\end{array}\right\}+\sum_{b=1}^{n}\left\{\begin{array}{c}
b \\
j k
\end{array}\right\}\left\{\begin{array}{c}
a \\
i b
\end{array}\right\}\right. \tag{2.8.3}\\
\left.-\sum_{b=1}^{n}\left\{\begin{array}{c}
b \\
i k
\end{array}\right\}\left\{\begin{array}{c}
a \\
j b
\end{array}\right\}\right) \hat{g}_{a l}
\end{gather*} h ^ j k h ^ i l − h ^ i k h ^ j l (2.8.3) = ∑ a = 1 n ( ∂ ∂ u ^ i { a j k } − ∂ ∂ u ^ j { a i k } + ∑ b = 1 n { b j k } { a i b } − ∑ b = 1 n { b i k } { a j b } ) g ^ a l
が示される。一方, 補題 2.8 .2 より
g
^
11
=
1
,
g
^
12
=
g
^
21
=
0
,
g
^
22
=
1
g
^
22
g
^
11
=
1
,
g
^
12
=
g
^
21
=
0
,
g
^
22
=
1
g
^
22
hat(g)^(11)=1,quad hat(g)^(12)= hat(g)^(21)=0,quad hat(g)^(22)=(1)/( hat(g)_(22)) \hat{g}^{11}=1, \quad \hat{g}^{12}=\hat{g}^{21}=0, \quad \hat{g}^{22}=\frac{1}{\hat{g}_{22}} g ^ 11 = 1 , g ^ 12 = g ^ 21 = 0 , g ^ 22 = 1 g ^ 22
となるので,
{
1
11
}
=
{
2
11
}
=
{
1
12
}
=
{
1
21
}
=
0
(2.8.4)
{
2
12
}
=
{
2
21
}
=
1
2
∂
∂
u
^
1
log
g
^
22
{
1
22
}
=
−
1
2
∂
g
^
22
∂
u
^
1
,
{
2
22
}
=
1
2
∂
∂
u
^
2
log
g
^
22
1
11
=
2
11
=
1
12
=
1
21
=
0
(2.8.4)
2
12
=
2
21
=
1
2
∂
∂
u
^
1
log
g
^
22
1
22
=
−
1
2
∂
g
^
22
∂
u
^
1
,
2
22
=
1
2
∂
∂
u
^
2
log
g
^
22
{:[{[1],[11]}={[2],[11]}={[1],[12]}={[1],[21]}=0],[(2.8.4){[2],[12]}={[2],[21]}=(1)/(2)(del)/(del hat(u)_(1))log hat(g)_(22)],[{[1],[22]}=-(1)/(2)(del hat(g)_(22))/(del hat(u)_(1))","quad{[2],[22]}=(1)/(2)(del)/(del hat(u)_(2))log hat(g)_(22)]:} \begin{align*}
& \left\{\begin{array}{c}
1 \\
11
\end{array}\right\}=\left\{\begin{array}{c}
2 \\
11
\end{array}\right\}=\left\{\begin{array}{c}
1 \\
12
\end{array}\right\}=\left\{\begin{array}{c}
1 \\
21
\end{array}\right\}=0 \\
& \left\{\begin{array}{c}
2 \\
12
\end{array}\right\}=\left\{\begin{array}{c}
2 \\
21
\end{array}\right\}=\frac{1}{2} \frac{\partial}{\partial \hat{u}_{1}} \log \hat{g}_{22} \tag{2.8.4}\\
& \left\{\begin{array}{c}
1 \\
22
\end{array}\right\}=-\frac{1}{2} \frac{\partial \hat{g}_{22}}{\partial \hat{u}_{1}}, \quad\left\{\begin{array}{c}
2 \\
22
\end{array}\right\}=\frac{1}{2} \frac{\partial}{\partial \hat{u}_{2}} \log \hat{g}_{22}
\end{align*} { 1 11 } = { 2 11 } = { 1 12 } = { 1 21 } = 0 (2.8.4) { 2 12 } = { 2 21 } = 1 2 ∂ ∂ u ^ 1 log g ^ 22 { 1 22 } = − 1 2 ∂ g ^ 22 ∂ u ^ 1 , { 2 22 } = 1 2 ∂ ∂ u ^ 2 log g ^ 22
をえる. 式 (2.8.3) と式 (2.8.4) から,
det
(
h
^
i
j
)
=
h
^
11
h
^
22
−
h
^
12
2
=
−
g
^
22
∂
2
g
^
22
∂
u
^
1
2
det
h
^
i
j
=
h
^
11
h
^
22
−
h
^
12
2
=
−
g
^
22
∂
2
g
^
22
∂
u
^
1
2
det( hat(h)_(ij))= hat(h)_(11) hat(h)_(22)- hat(h)_(12)^(2)=-sqrt( hat(g)_(22))(del^(2)sqrt( hat(g)_(22)))/(del hat(u)_(1)^(2)) \operatorname{det}\left(\hat{h}_{i j}\right)=\hat{h}_{11} \hat{h}_{22}-\hat{h}_{12}^{2}=-\sqrt{\hat{g}_{22}} \frac{\partial^{2} \sqrt{\hat{g}_{22}}}{\partial \hat{u}_{1}^{2}} det ( h ^ i j ) = h ^ 11 h ^ 22 − h ^ 12 2 = − g ^ 22 ∂ 2 g ^ 22 ∂ u ^ 1 2
が示される. したがって,
K
=
det
(
h
^
i
j
)
det
(
g
^
i
j
)
=
−
1
g
^
22
∂
2
g
^
22
∂
u
^
1
2
K
=
det
h
^
i
j
det
g
^
i
j
=
−
1
g
^
22
∂
2
g
^
22
∂
u
^
1
2
K=(det( hat(h)_(ij)))/(det( hat(g)_(ij)))=-(1)/(sqrt( hat(g)_(22)))(del^(2)sqrt( hat(g)_(22)))/(del hat(u)_(1)^(2)) K=\frac{\operatorname{det}\left(\hat{h}_{i j}\right)}{\operatorname{det}\left(\hat{g}_{i j}\right)}=-\frac{1}{\sqrt{\hat{g}_{22}}} \frac{\partial^{2} \sqrt{\hat{g}_{22}}}{\partial \hat{u}_{1}^{2}} K = det ( h ^ i j ) det ( g ^ i j ) = − 1 g ^ 22 ∂ 2 g ^ 22 ∂ u ^ 1 2
をえる.
U
∖
{
p
}
U
∖
{
p
}
U\\{p} U \backslash\{p\} U ∖ { p } 上の弧長でパラメーター付けられた
C
r
C
r
C^(r) C^{r} C r 曲線の測地的曲率について,次の事実が成り立つ.
補題 2.8.4
c
:
I
→
U
∖
{
p
}
c
:
I
→
U
∖
{
p
}
c:I rarr U\\{p} c: I \rightarrow U \backslash\{p\} c : I → U ∖ { p } を弧長でパラメーター付けられた
C
r
C
r
C^(r) C^{r} C r 曲線で,
c
→
′
(
s
)
c
→
′
(
s
)
vec(c)^(')(s) \vec{c}^{\prime}(s) c → ′ ( s ) と
c
(
s
)
c
(
s
)
c(s) c(s) c ( s ) を通る
r
r
r r r 曲線とのなす角を
ψ
(
s
)
ψ
(
s
)
psi(s) \psi(s) ψ ( s ) とする. このとき,
c
c
c c c の測地的曲率
κ
κ
kappa \kappa κ は次のように記述される:
(2.8.5)
κ
(
s
)
=
ψ
′
(
s
)
+
(
∂
g
^
22
∂
r
)
c
(
s
)
⋅
(
θ
∘
c
)
′
(
s
)
(2.8.5)
κ
(
s
)
=
ψ
′
(
s
)
+
∂
g
^
22
∂
r
c
(
s
)
⋅
(
θ
∘
c
)
′
(
s
)
{:(2.8.5)kappa(s)=psi^(')(s)+((delsqrt( hat(g)_(22)))/(del r))_(c(s))*(theta@c)^(')(s):} \begin{equation*}
\kappa(s)=\psi^{\prime}(s)+\left(\frac{\partial \sqrt{\hat{g}_{22}}}{\partial r}\right)_{c(s)} \cdot(\theta \circ c)^{\prime}(s) \tag{2.8.5}
\end{equation*} (2.8.5) κ ( s ) = ψ ′ ( s ) + ( ∂ g ^ 22 ∂ r ) c ( s ) ⋅ ( θ ∘ c ) ′ ( s )
証明 便宜上,
(
u
^
1
,
u
^
2
)
:=
(
r
,
θ
)
u
^
1
,
u
^
2
:=
(
r
,
θ
)
( hat(u)_(1), hat(u)_(2)):=(r,theta) \left(\hat{u}_{1}, \hat{u}_{2}\right):=(r, \theta) ( u ^ 1 , u ^ 2 ) := ( r , θ ) とおく. このとき,
c
(
s
)
=
x
^
(
u
^
1
(
c
(
s
)
)
,
u
^
2
(
c
(
s
)
)
)
c
(
s
)
=
x
^
u
^
1
(
c
(
s
)
)
,
u
^
2
(
c
(
s
)
)
c(s)= hat(x)( hat(u)_(1)(c(s)), hat(u)_(2)(c(s))) c(s)=\hat{\boldsymbol{x}}\left(\hat{u}_{1}(c(s)), \hat{u}_{2}(c(s))\right) c ( s ) = x ^ ( u ^ 1 ( c ( s ) ) , u ^ 2 ( c ( s ) ) )
となる. 命題 2.4 .5 の式 (2.4.6) によれば,
∇
c
′
c
′
=
∑
i
=
1
2
(
d
2
(
u
^
i
∘
c
)
d
s
2
+
∑
j
=
1
2
∑
k
=
1
2
d
(
u
^
j
∘
c
)
d
s
d
(
u
^
k
∘
c
)
d
s
{
i
j
k
}
c
(
s
)
)
(
∂
∂
u
^
i
)
c
(
s
)
∇
c
′
c
′
=
∑
i
=
1
2
d
2
u
^
i
∘
c
d
s
2
+
∑
j
=
1
2
∑
k
=
1
2
d
u
^
j
∘
c
d
s
d
u
^
k
∘
c
d
s
i
j
k
c
(
s
)
∂
∂
u
^
i
c
(
s
)
grad_(c^('))c^(')=sum_(i=1)^(2)((d^(2)( hat(u)_(i)@c))/(ds^(2))+sum_(j=1)^(2)sum_(k=1)^(2)(d( hat(u)_(j)@c))/(ds)(d( hat(u)_(k)@c))/(ds){[i],[jk]}_(c(s)))((del)/(del hat(u)_(i)))_(c(s)) \nabla_{c^{\prime}} c^{\prime}=\sum_{i=1}^{2}\left(\frac{d^{2}\left(\hat{u}_{i} \circ c\right)}{d s^{2}}+\sum_{j=1}^{2} \sum_{k=1}^{2} \frac{d\left(\hat{u}_{j} \circ c\right)}{d s} \frac{d\left(\hat{u}_{k} \circ c\right)}{d s}\left\{\begin{array}{c}
i \\
j k
\end{array}\right\}_{c(s)}\right)\left(\frac{\partial}{\partial \hat{u}_{i}}\right)_{c(s)} ∇ c ′ c ′ = ∑ i = 1 2 ( d 2 ( u ^ i ∘ c ) d s 2 + ∑ j = 1 2 ∑ k = 1 2 d ( u ^ j ∘ c ) d s d ( u ^ k ∘ c ) d s { i j k } c ( s ) ) ( ∂ ∂ u ^ i ) c ( s )
が成り立つ. 一方,
u
^
1
,
u
^
2
u
^
1
,
u
^
2
hat(u)_(1), hat(u)_(2) \hat{u}_{1}, \hat{u}_{2} u ^ 1 , u ^ 2 , および
ψ
ψ
psi \psi ψ の定義より,
d
u
^
1
(
c
(
s
)
)
d
s
=
(
r
∘
c
)
′
(
s
)
=
cos
ψ
(
s
)
,
d
u
^
2
(
c
(
s
)
)
d
s
=
(
θ
∘
c
)
′
(
s
)
=
sin
ψ
(
s
)
g
^
22
(
c
(
s
)
)
d
u
^
1
(
c
(
s
)
)
d
s
=
(
r
∘
c
)
′
(
s
)
=
cos
ψ
(
s
)
,
d
u
^
2
(
c
(
s
)
)
d
s
=
(
θ
∘
c
)
′
(
s
)
=
sin
ψ
(
s
)
g
^
22
(
c
(
s
)
)
(d hat(u)_(1)(c(s)))/(ds)=(r@c)^(')(s)=cos psi(s),quad(d hat(u)_(2)(c(s)))/(ds)=(theta@c)^(')(s)=(sin psi(s))/(sqrt( hat(g)_(22)(c(s)))) \frac{d \hat{u}_{1}(c(s))}{d s}=(r \circ c)^{\prime}(s)=\cos \psi(s), \quad \frac{d \hat{u}_{2}(c(s))}{d s}=(\theta \circ c)^{\prime}(s)=\frac{\sin \psi(s)}{\sqrt{\hat{g}_{22}(c(s))}} d u ^ 1 ( c ( s ) ) d s = ( r ∘ c ) ′ ( s ) = cos ψ ( s ) , d u ^ 2 ( c ( s ) ) d s = ( θ ∘ c ) ′ ( s ) = sin ψ ( s ) g ^ 22 ( c ( s ) )
が示される(図 2.8 .1 を参照)。これらの関係式と式 (2.8.4)を用いて,
∇
C
′
c
′
∇
C
′
c
′
grad_(C^('))c^(') \nabla_{C^{\prime}} c^{\prime} ∇ C ′ c ′ を計算することにより,
c
c
c c c の測地的曲率
κ
(
s
)
κ
(
s
)
kappa(s) \kappa(s) κ ( s ) が式
(
2.8
.5
)
(
2.8
.5
)
(2.8.5) (2.8 .5) ( 2.8 .5 ) によって与えられる ことが導かれる。
これらの補題と定理 2.7 .1 を用いて定理 2.8 .1 を示そう。
定理 2.8.1 の証明 まず,
S
′
=
x
(
E
)
S
′
=
x
(
E
)
S^(')=x(E) S^{\prime}=\boldsymbol{x}(E) S ′ = x ( E ) がある測地的極座標近傍
U
U
U U U に含まれ る場合を考えよう.
c
i
(
s
)
c
i
(
s
)
c_(i)(s) c_{i}(s) c i ( s ) を通る
r
r
r r r 曲線と曲線
c
i
c
i
c_(i) c_{i} c i の点
c
i
(
s
)
c
i
(
s
)
c_(i)(s) c_{i}(s) c i ( s ) におけるなす角を
図 2.8.1 2 種類の偏角
θ
(
c
(
s
)
)
θ
(
c
(
s
)
)
theta(c(s)) \theta(c(s)) θ ( c ( s ) ) と
ψ
(
s
)
ψ
(
s
)
psi(s) \psi(s) ψ ( s ) の様子
ψ
i
(
s
)
ψ
i
(
s
)
psi_(i)(s) \psi_{i}(s) ψ i ( s ) と表し,
ρ
:=
g
^
22
ρ
:=
g
^
22
rho:=sqrt( hat(g)_(22)) \rho:=\sqrt{\hat{g}_{22}} ρ := g ^ 22 とおく. このとき, 補題 2.8 .4 を用いて,
∑
i
=
1
m
∫
s
i
−
1
s
i
κ
i
(
s
)
d
s
=
∑
i
=
1
m
∫
s
i
−
1
s
i
(
ψ
i
′
(
s
)
+
(
∂
ρ
∂
r
)
c
i
(
s
)
(
θ
∘
c
i
)
′
(
s
)
)
d
s
(2.8.6)
=
∑
i
=
1
m
∫
s
i
−
1
s
i
ψ
i
′
(
s
)
d
s
+
∫
c
∂
ρ
∂
r
d
θ
∑
i
=
1
m
∫
s
i
−
1
s
i
κ
i
(
s
)
d
s
=
∑
i
=
1
m
∫
s
i
−
1
s
i
ψ
i
′
(
s
)
+
∂
ρ
∂
r
c
i
(
s
)
θ
∘
c
i
′
(
s
)
d
s
(2.8.6)
=
∑
i
=
1
m
∫
s
i
−
1
s
i
ψ
i
′
(
s
)
d
s
+
∫
c
∂
ρ
∂
r
d
θ
{:[sum_(i=1)^(m)int_(s_(i-1))^(s_(i))kappa^(i)(s)ds=sum_(i=1)^(m)int_(s_(i-1))^(s_(i))(psi_(i)^(')(s)+((del rho)/(del r))_(c_(i)(s))(theta@c_(i))^(')(s))ds],[(2.8.6)=sum_(i=1)^(m)int_(s_(i-1))^(s_(i))psi_(i)^(')(s)ds+int_(c)(del rho)/(del r)d theta]:} \begin{align*}
& \sum_{i=1}^{m} \int_{s_{i-1}}^{s_{i}} \kappa^{i}(s) d s=\sum_{i=1}^{m} \int_{s_{i-1}}^{s_{i}}\left(\psi_{i}^{\prime}(s)+\left(\frac{\partial \rho}{\partial r}\right)_{c_{i}(s)}\left(\theta \circ c_{i}\right)^{\prime}(s)\right) d s \\
= & \sum_{i=1}^{m} \int_{s_{i-1}}^{s_{i}} \psi_{i}^{\prime}(s) d s+\int_{c} \frac{\partial \rho}{\partial r} d \theta \tag{2.8.6}
\end{align*} ∑ i = 1 m ∫ s i − 1 s i κ i ( s ) d s = ∑ i = 1 m ∫ s i − 1 s i ( ψ i ′ ( s ) + ( ∂ ρ ∂ r ) c i ( s ) ( θ ∘ c i ) ′ ( s ) ) d s (2.8.6) = ∑ i = 1 m ∫ s i − 1 s i ψ i ′ ( s ) d s + ∫ c ∂ ρ ∂ r d θ
が示される. この最終辺の第 2 項目は, 補題
2.8
.2
,
2.8
.3
2.8
.2
,
2.8
.3
2.8.2,2.8.3 2.8 .2,2.8 .3 2.8 .2 , 2.8 .3 と定理 2.7 .1 を用い て,次のように変形される:
(2.8.7)
∫
c
∂
ρ
∂
r
d
θ
=
∫
S
′
d
(
∂
ρ
∂
r
d
θ
)
=
∫
S
′
∂
2
ρ
∂
r
2
d
r
∧
d
θ
=
−
∫
S
′
K
d
A
(2.8.7)
∫
c
∂
ρ
∂
r
d
θ
=
∫
S
′
d
∂
ρ
∂
r
d
θ
=
∫
S
′
∂
2
ρ
∂
r
2
d
r
∧
d
θ
=
−
∫
S
′
K
d
A
{:(2.8.7)int_(c)(del rho)/(del r)d theta=int_(S^('))d((del rho)/(del r)d theta)=int_(S^('))(del^(2)rho)/(delr^(2))dr^^d theta=-int_(S^('))KdA:} \begin{equation*}
\int_{c} \frac{\partial \rho}{\partial r} d \theta=\int_{S^{\prime}} d\left(\frac{\partial \rho}{\partial r} d \theta\right)=\int_{S^{\prime}} \frac{\partial^{2} \rho}{\partial r^{2}} d r \wedge d \theta=-\int_{S^{\prime}} K d A \tag{2.8.7}
\end{equation*} (2.8.7) ∫ c ∂ ρ ∂ r d θ = ∫ S ′ d ( ∂ ρ ∂ r d θ ) = ∫ S ′ ∂ 2 ρ ∂ r 2 d r ∧ d θ = − ∫ S ′ K d A
式 (2.8.6) の最終辺の第 1 項目を計算しよう.
c
c
c c c の
k
k
k k k 個の角を滑らかに丸めて えられる
C
r
C
r
C^(r) C^{r} C r 級閉曲線の族
{
c
^
i
}
i
=
1
∞
c
^
i
i
=
1
∞
{ hat(c)^(i)}_(i=1)^(oo) \left\{\hat{c}^{i}\right\}_{i=1}^{\infty} { c ^ i } i = 1 ∞ で, 次の条件
(
∗
)
(
∗
)
(**) (*) ( ∗ ) を満たすようなものをと る:
(*) ある 0 に収束する正の数列
{
ε
i
}
i
=
1
∞
ε
i
i
=
1
∞
{epsi_(i)}_(i=1)^(oo) \left\{\varepsilon_{i}\right\}_{i=1}^{\infty} { ε i } i = 1 ∞ に対し, 次の (i) と (ii) が成り立つ:
(i)
c
^
i
(
s
)
=
c
(
s
)
(
s
∈
[
0
,
l
]
∖
∏
j
=
0
m
−
1
(
s
j
−
ε
i
,
s
j
+
ε
i
)
)
c
^
i
(
s
)
=
c
(
s
)
s
∈
[
0
,
l
]
∖
∏
j
=
0
m
−
1
s
j
−
ε
i
,
s
j
+
ε
i
quad hat(c)^(i)(s)=c(s)quad(s in[0,l]\\prod_(j=0)^(m-1)(s_(j)-epsi_(i),s_(j)+epsi_(i))) \quad \hat{c}^{i}(s)=c(s) \quad\left(s \in[0, l] \backslash \prod_{j=0}^{m-1}\left(s_{j}-\varepsilon_{i}, s_{j}+\varepsilon_{i}\right)\right) c ^ i ( s ) = c ( s ) ( s ∈ [ 0 , l ] ∖ ∏ j = 0 m − 1 ( s j − ε i , s j + ε i ) ) ,
(ii)
lim
i
→
∞
sup
{
‖
c
^
i
→
(
s
)
−
c
→
(
s
)
‖
∣
s
∈
m
j
=
1
(
s
j
−
ε
i
,
s
j
+
ε
i
)
}
=
0
lim
i
→
∞
sup
c
^
i
→
(
s
)
−
c
→
(
s
)
∣
s
∈
m
j
=
1
s
j
−
ε
i
,
s
j
+
ε
i
=
0
lim_(i rarr oo)s u p{|| vec(hat(c)^(i))(s)-( vec(c))(s)||∣s inm_(j=1)(s_(j)-epsi_(i),s_(j)+epsi_(i))}=0 \lim _{i \rightarrow \infty} \sup \left\{\left\|\overrightarrow{\hat{c}^{i}}(s)-\vec{c}(s)\right\| \mid s \in \underset{j=1}{m}\left(s_{j}-\varepsilon_{i}, s_{j}+\varepsilon_{i}\right)\right\}=0 lim i → ∞ sup { ‖ c ^ i → ( s ) − c → ( s ) ‖ ∣ s ∈ m j = 1 ( s j − ε i , s j + ε i ) } = 0 .
点
c
^
i
(
s
)
c
^
i
(
s
)
hat(c)^(i)(s) \hat{c}^{i}(s) c ^ i ( s ) を通る
r
r
r r r 曲線と閉曲線
c
^
i
c
^
i
hat(c)^(i) \hat{c}^{i} c ^ i の点
c
^
i
(
s
)
c
^
i
(
s
)
hat(c)^(i)(s) \hat{c}^{i}(s) c ^ i ( s ) におけるなす角を
ψ
^
i
(
s
)
ψ
^
i
(
s
)
hat(psi)^(i)(s) \hat{\psi}^{i}(s) ψ ^ i ( s ) とする. この
C
r
C
r
C^(r) C^{r} C r 級閉曲線の族を用いて,
∑
j
=
1
m
∫
s
j
−
1
s
j
ψ
j
′
(
s
)
d
s
=
lim
i
→
∞
∑
j
=
1
m
∫
s
j
−
1
+
ε
i
s
j
−
ε
i
ψ
j
′
(
s
)
d
s
(2.8.8)
=
lim
i
→
∞
(
∫
c
^
i
(
ψ
^
i
)
′
(
s
)
d
s
−
∑
j
=
1
∫
s
j
−
ε
i
s
j
+
ε
i
(
ψ
^
i
)
′
(
s
)
d
s
)
=
2
π
−
∑
j
=
1
m
(
π
−
θ
j
)
∑
j
=
1
m
∫
s
j
−
1
s
j
ψ
j
′
(
s
)
d
s
=
lim
i
→
∞
∑
j
=
1
m
∫
s
j
−
1
+
ε
i
s
j
−
ε
i
ψ
j
′
(
s
)
d
s
(2.8.8)
=
lim
i
→
∞
∫
c
^
i
ψ
^
i
′
(
s
)
d
s
−
∑
j
=
1
∫
s
j
−
ε
i
s
j
+
ε
i
ψ
^
i
′
(
s
)
d
s
=
2
π
−
∑
j
=
1
m
π
−
θ
j
{:[sum_(j=1)^(m)int_(s_(j-1))^(s_(j))psi_(j)^(')(s)ds=lim_(i rarr oo)sum_(j=1)^(m)int_(s_(j-1)+epsi_(i))^(s_(j)-epsi_(i))psi_(j)^(')(s)ds],[(2.8.8)=lim_(i rarr oo)(int_( hat(c)_(i))( hat(psi)^(i))^(')(s)ds-sum_(j=1)int_(s_(j)-epsi_(i))^(s_(j)+epsi_(i))( hat(psi)^(i))^(')(s)ds)],[=2pi-sum_(j=1)^(m)(pi-theta_(j))]:} \begin{align*}
& \sum_{j=1}^{m} \int_{s_{j-1}}^{s_{j}} \psi_{j}^{\prime}(s) d s=\lim _{i \rightarrow \infty} \sum_{j=1}^{m} \int_{s_{j-1}+\varepsilon_{i}}^{s_{j}-\varepsilon_{i}} \psi_{j}^{\prime}(s) d s \\
= & \lim _{i \rightarrow \infty}\left(\int_{\hat{c}_{i}}\left(\hat{\psi}^{i}\right)^{\prime}(s) d s-\sum_{j=1} \int_{s_{j}-\varepsilon_{i}}^{s_{j}+\varepsilon_{i}}\left(\hat{\psi}^{i}\right)^{\prime}(s) d s\right) \tag{2.8.8}\\
= & 2 \pi-\sum_{j=1}^{m}\left(\pi-\theta_{j}\right)
\end{align*} ∑ j = 1 m ∫ s j − 1 s j ψ j ′ ( s ) d s = lim i → ∞ ∑ j = 1 m ∫ s j − 1 + ε i s j − ε i ψ j ′ ( s ) d s (2.8.8) = lim i → ∞ ( ∫ c ^ i ( ψ ^ i ) ′ ( s ) d s − ∑ j = 1 ∫ s j − ε i s j + ε i ( ψ ^ i ) ′ ( s ) d s ) = 2 π − ∑ j = 1 m ( π − θ j )
が示される。式 (2.8.7), (2.8.8) を式 (2.8.6) に代入して, 求めるべき関係式が 導かれる。
S
′
S
′
S^(') S^{\prime} S ′ がある測地的極座標近傍
U
U
U U U に含まれない場合は,
S
′
S
′
S^(') S^{\prime} S ′ の三角形分割
S
′
=
S
′
=
S^(')= S^{\prime}= S ′ =
S
1
′
∪
⋯
∪
S
l
′
S
1
′
∪
⋯
∪
S
l
′
S_(1)^(')uu cdots uuS_(l)^(') S_{1}^{\prime} \cup \cdots \cup S_{l}^{\prime} S 1 ′ ∪ ⋯ ∪ S l ′ で, 各三角形
S
i
′
S
i
′
S_(i)^(') S_{i}^{\prime} S i ′ がその内点(つまり,
S
i
′
∖
∂
S
i
′
S
i
′
∖
∂
S
i
′
S_(i)^(')\\delS_(i)^(') S_{i}^{\prime} \backslash \partial S_{i}^{\prime} S i ′ ∖ ∂ S i ′ に属する点)を 中心とするある測地的極座標近傍に含まれるようなものをとる。三角形
S
i
′
S
i
′
S_(i)^(') S_{i}^{\prime} S i ′ の 3 つの辺が弧長でパラメーター付けられた
C
r
C
r
C^(r) C^{r} C r 曲線
c
^
i
c
^
i
hat(c)_(i) \hat{c}_{i} c ^ i によって与えられている とする。
c
^
i
c
^
i
hat(c)_(i) \hat{c}_{i} c ^ i の 3 個の頂点を
c
^
i
(
s
i
j
)
(
j
=
1
,
2
,
3
)
c
^
i
s
i
j
(
j
=
1
,
2
,
3
)
hat(c)_(i)(s_(ij))(j=1,2,3) \hat{c}_{i}\left(s_{i j}\right)(j=1,2,3) c ^ i ( s i j ) ( j = 1 , 2 , 3 ) とし,
S
i
′
S
i
′
S_(i)^(') S_{i}^{\prime} S i ′ の境界上の点
c
^
i
(
s
i
j
)
c
^
i
s
i
j
hat(c)_(i)(s_(ij)) \hat{c}_{i}\left(s_{i j}\right) c ^ i ( s i j ) における内角を
θ
i
j
(
j
=
1
,
2
,
3
)
θ
i
j
(
j
=
1
,
2
,
3
)
theta_(ij)(j=1,2,3) \theta_{i j}(j=1,2,3) θ i j ( j = 1 , 2 , 3 ) とし,
c
^
i
j
:=
c
^
i
|
[
s
i
,
j
−
1
,
s
i
j
]
c
^
i
j
:=
c
^
i
s
i
,
j
−
1
,
s
i
j
hat(c)_(ij):= hat(c)_(i)|_([s_(i,j-1),s_(ij)]) \hat{c}_{i j}:=\left.\hat{c}_{i}\right|_{\left[s_{i, j-1}, s_{i j}\right]} c ^ i j := c ^ i | [ s i , j − 1 , s i j ] の測地的曲率を
κ
i
j
κ
i
j
kappa^(ij) \kappa^{i j} κ i j とする。このとき、すでに示した事実から,
∫
S
′
K
d
A
=
∑
i
=
1
l
∫
S
i
′
K
d
A
(2.8.9)
=
∑
i
=
1
l
(
2
π
−
(
∑
j
=
1
3
∫
s
i
,
j
−
1
s
i
j
κ
i
j
(
s
)
d
s
+
∑
j
=
1
3
(
π
−
θ
i
j
)
)
)
=
−
π
l
−
∑
i
=
1
l
∑
j
=
1
3
∫
s
i
,
j
−
1
s
i
j
κ
i
j
(
s
)
d
s
+
∑
i
=
1
l
∑
j
=
1
3
θ
i
j
∫
S
′
K
d
A
=
∑
i
=
1
l
∫
S
i
′
K
d
A
(2.8.9)
=
∑
i
=
1
l
2
π
−
∑
j
=
1
3
∫
s
i
,
j
−
1
s
i
j
κ
i
j
(
s
)
d
s
+
∑
j
=
1
3
π
−
θ
i
j
=
−
π
l
−
∑
i
=
1
l
∑
j
=
1
3
∫
s
i
,
j
−
1
s
i
j
κ
i
j
(
s
)
d
s
+
∑
i
=
1
l
∑
j
=
1
3
θ
i
j
{:[int_(S^('))KdA=sum_(i=1)^(l)int_(S_(i)^('))KdA],[(2.8.9)=sum_(i=1)^(l)(2pi-(sum_(j=1)^(3)int_(s_(i,j-1))^(s_(ij))kappa^(ij)(s)ds+sum_(j=1)^(3)(pi-theta_(ij))))],[=-pi l-sum_(i=1)^(l)sum_(j=1)^(3)int_(s_(i,j-1))^(s_(ij))kappa^(ij)(s)ds+sum_(i=1)^(l)sum_(j=1)^(3)theta_(ij)]:} \begin{align*}
& \int_{S^{\prime}} K d A=\sum_{i=1}^{l} \int_{S_{i}^{\prime}} K d A \\
= & \sum_{i=1}^{l}\left(2 \pi-\left(\sum_{j=1}^{3} \int_{s_{i, j-1}}^{s_{i j}} \kappa^{i j}(s) d s+\sum_{j=1}^{3}\left(\pi-\theta_{i j}\right)\right)\right) \tag{2.8.9}\\
= & -\pi l-\sum_{i=1}^{l} \sum_{j=1}^{3} \int_{s_{i, j-1}}^{s_{i j}} \kappa^{i j}(s) d s+\sum_{i=1}^{l} \sum_{j=1}^{3} \theta_{i j}
\end{align*} ∫ S ′ K d A = ∑ i = 1 l ∫ S i ′ K d A (2.8.9) = ∑ i = 1 l ( 2 π − ( ∑ j = 1 3 ∫ s i , j − 1 s i j κ i j ( s ) d s + ∑ j = 1 3 ( π − θ i j ) ) ) = − π l − ∑ i = 1 l ∑ j = 1 3 ∫ s i , j − 1 s i j κ i j ( s ) d s + ∑ i = 1 l ∑ j = 1 3 θ i j
が示される.
c
i
j
(
[
s
i
,
j
−
1
,
s
i
j
]
)
=
c
i
′
j
′
(
[
s
i
′
j
′
−
1
,
s
i
′
j
′
]
)
c
i
j
s
i
,
j
−
1
,
s
i
j
=
c
i
′
j
′
s
i
′
j
′
−
1
,
s
i
′
j
′
c_(ij)([s_(i,j-1),s_(ij)])=c_(i^(')j^('))([s_(i^(')j^(')-1),s_(i^(')j^('))]) c_{i j}\left(\left[s_{i, j-1}, s_{i j}\right]\right)=c_{i^{\prime} j^{\prime}}\left(\left[s_{i^{\prime} j^{\prime}-1}, s_{i^{\prime} j^{\prime}}\right]\right) c i j ( [ s i , j − 1 , s i j ] ) = c i ′ j ′ ( [ s i ′ j ′ − 1 , s i ′ j ′ ] ) のとき,
c
i
j
|
[
s
i
,
j
−
1
,
s
i
j
]
c
i
j
s
i
,
j
−
1
,
s
i
j
c_(ij)|_([s_(i,j-1),s_(ij)]) \left.c_{i j}\right|_{\left[s_{i, j-1}, s_{i j}\right]} c i j | [ s i , j − 1 , s i j ] と
c
i
′
j
′
|
[
s
i
′
j
′
−
1
,
s
i
′
j
′
]
c
i
′
j
′
s
i
′
j
′
−
1
,
s
i
′
j
′
c_(i^(')j^('))|_([s_(i^(')j^(')-1),s_(i^(')j^('))]) \left.c_{i^{\prime} j^{\prime}}\right|_{\left[s_{i^{\prime} j^{\prime}-1}, s_{i^{\prime} j^{\prime}}\right]} c i ′ j ′ | [ s i ′ j ′ − 1 , s i ′ j ′ ] は逆向きなので,
∫
s
i
j
−
1
s
i
j
κ
i
j
d
s
=
−
∫
s
i
′
j
′
−
1
s
i
′
j
′
κ
i
′
j
′
d
s
∫
s
i
j
−
1
s
i
j
κ
i
j
d
s
=
−
∫
s
i
′
j
′
−
1
s
i
′
j
′
κ
i
′
j
′
d
s
int_(s_(ij-1))^(s_(ij))kappa^(ij)ds=-int_(s_(i^(')j^(')-1))^(s_(i^(')j^(')))kappa^(i^(')j^('))ds \int_{s_{i j-1}}^{s_{i j}} \kappa^{i j} d s=-\int_{s_{i^{\prime} j^{\prime}-1}}^{s_{i^{\prime} j^{\prime}}} \kappa^{i^{\prime} j^{\prime}} d s ∫ s i j − 1 s i j κ i j d s = − ∫ s i ′ j ′ − 1 s i ′ j ′ κ i ′ j ′ d s
となり, それゆえ
(2.8.10)
∑
i
=
1
l
∑
j
=
1
3
∫
s
i
,
j
−
1
s
i
j
κ
i
j
(
s
)
d
s
=
∑
i
=
1
m
∫
s
i
−
1
s
i
κ
i
(
s
)
d
s
(2.8.10)
∑
i
=
1
l
∑
j
=
1
3
∫
s
i
,
j
−
1
s
i
j
κ
i
j
(
s
)
d
s
=
∑
i
=
1
m
∫
s
i
−
1
s
i
κ
i
(
s
)
d
s
{:(2.8.10)sum_(i=1)^(l)sum_(j=1)^(3)int_(s_(i,j-1))^(s_(ij))kappa^(ij)(s)ds=sum_(i=1)^(m)int_(s_(i-1))^(s_(i))kappa^(i)(s)ds:} \begin{equation*}
\sum_{i=1}^{l} \sum_{j=1}^{3} \int_{s_{i, j-1}}^{s_{i j}} \kappa^{i j}(s) d s=\sum_{i=1}^{m} \int_{s_{i-1}}^{s_{i}} \kappa^{i}(s) d s \tag{2.8.10}
\end{equation*} (2.8.10) ∑ i = 1 l ∑ j = 1 3 ∫ s i , j − 1 s i j κ i j ( s ) d s = ∑ i = 1 m ∫ s i − 1 s i κ i ( s ) d s
が示される. また,分割
S
′
=
S
1
′
∪
⋯
∪
S
l
′
S
′
=
S
1
′
∪
⋯
∪
S
l
′
S^(')=S_(1)^(')uu cdots uuS_(l)^(') S^{\prime}=S_{1}^{\prime} \cup \cdots \cup S_{l}^{\prime} S ′ = S 1 ′ ∪ ⋯ ∪ S l ′ における頂点で境界
∂
S
′
∂
S
′
delS^(') \partial S^{\prime} ∂ S ′ 上にない ものの個数を
m
′
m
′
m^(') m^{\prime} m ′ とするとき,
(2.8.11)
∑
i
=
1
l
∑
j
=
1
3
θ
i
j
=
2
m
′
π
+
∑
i
=
1
m
θ
i
(2.8.11)
∑
i
=
1
l
∑
j
=
1
3
θ
i
j
=
2
m
′
π
+
∑
i
=
1
m
θ
i
{:(2.8.11)sum_(i=1)^(l)sum_(j=1)^(3)theta_(ij)=2m^(')pi+sum_(i=1)^(m)theta_(i):} \begin{equation*}
\sum_{i=1}^{l} \sum_{j=1}^{3} \theta_{i j}=2 m^{\prime} \pi+\sum_{i=1}^{m} \theta_{i} \tag{2.8.11}
\end{equation*} (2.8.11) ∑ i = 1 l ∑ j = 1 3 θ i j = 2 m ′ π + ∑ i = 1 m θ i
が示される. 一方, 一般に,
m
m
m m m 角形の三角形分割における頂点, 辺, 面の個数を各々
n
v
,
n
e
,
n
f
n
v
,
n
e
,
n
f
n_(v),n_(e),n_(f) n_{v}, n_{e}, n_{f} n v , n e , n f とするとき,
n
v
−
n
e
+
n
f
=
1
n
v
−
n
e
+
n
f
=
1
n_(v)-n_(e)+n_(f)=1 n_{v}-n_{e}+n_{f}=1 n v − n e + n f = 1 となることが知られてい る. ここで考えている
m
m
m m m 角形
S
′
S
′
S^(') S^{\prime} S ′ の三角形分割の場合,
n
v
=
m
′
+
m
,
n
e
=
n
v
=
m
′
+
m
,
n
e
=
n_(v)=m^(')+m,n_(e)= n_{v}=m^{\prime}+m, n_{e}= n v = m ′ + m , n e =
3
l
+
m
2
+
m
,
n
f
=
l
3
l
+
m
2
+
m
,
n
f
=
l
(3l+m)/(2)+m,n_(f)=l \frac{3 l+m}{2}+m, n_{f}=l 3 l + m 2 + m , n f = l なので,
m
′
+
m
2
−
l
2
=
1
m
′
+
m
2
−
l
2
=
1
m^(')+(m)/(2)-(l)/(2)=1 m^{\prime}+\frac{m}{2}-\frac{l}{2}=1 m ′ + m 2 − l 2 = 1 , つまり,
2
m
′
−
l
=
2
−
m
2
m
′
−
l
=
2
−
m
2m^(')-l=2-m 2 m^{\prime}-l=2-m 2 m ′ − l = 2 − m を える。この事実と式
(
2.8
.9
)
,
(
2.8
.10
)
,
(
2.8
.11
)
(
2.8
.9
)
,
(
2.8
.10
)
,
(
2.8
.11
)
(2.8.9),(2.8.10),(2.8.11) (2.8 .9),(2.8 .10),(2.8 .11) ( 2.8 .9 ) , ( 2.8 .10 ) , ( 2.8 .11 ) から, 求めるべき関係式が導か れる。
注意より一般に,
E
3
E
3
E^(3) \mathbb{E}^{3} E 3 内の区分的に
C
∞
C
∞
C^(oo) C^{\infty} C ∞ 級の境界をもつ区分的に
C
∞
C
∞
C^(oo) C^{\infty} C ∞ 級の超曲面
S
′
S
′
S^(') S^{\prime} S ′ に対して, 定理 2.8 .1 を一般化した積分公式が成り立つことが, [IO] の結果か ら導かれる。
[
IO
]
[
IO
]
[IO] [\mathrm{IO}] [ IO ] では,
E
3
E
3
E^(3) \mathbb{E}^{3} E 3 内の区分的に
C
∞
C
∞
C^(oo) C^{\infty} C ∞ 級の境界をもつ区分的に
C
∞
C
∞
C^(oo) C^{\infty} C ∞ 級の超曲面を一般化した概念として、区分的にリーマン的な 2 次元多面体という概念が定義され, さらに, その多面体の頂点と辺上で, 特異曲率とよばれる頂点と辺上に集中した曲率を表す量が定義されている。そして, 各面(これは 2 次元リーマン多様体)上のガウス曲率の積分, 各辺上の特異曲率の積分, および, 各頂点における特異曲率, これら 3 種の全曲率の総和に関する公式が示されている. この公式は,
S
′
S
′
S^(') S^{\prime} S ′ が区分的に
C
∞
C
∞
C^(oo) C^{\infty} C ∞ 級の境界をもつ
C
∞
C
∞
C^(oo) C^{\infty} C ∞ 超曲面の場合, 定理 2.8.1における積分公式と 一致する. ここでガウス曲率は,
E
3
E
3
E^(3) \mathbb{E}^{3} E 3 内の超曲面のみならず, 一般に, 2 次元リーマ ン多様体に対し内在的に定義することができることを注意しておく(4.3 節を参照).
定理 2.8.1 から直接,
C
∞
C
∞
C^(oo) C^{\infty} C ∞ 曲面片上の測地
m
m
m m m 角形に対する次の内角の和の 積分表示公式(integral expression formula of the internal angle sum) が導かれる。
系 2.8.5(曲面上の測地多角形の内角の和の公式)
S
′
S
′
S^(') S^{\prime} S ′ を
C
∞
C
∞
C^(oo) C^{\infty} C ∞ 曲面片
S
S
S S S 上の 測地
m
m
m m m 角形とする。このとき,
S
′
S
′
S^(') S^{\prime} S ′ の
m
m
m m m 個の内角
θ
1
,
…
,
θ
m
θ
1
,
…
,
θ
m
theta_(1),dots,theta_(m) \theta_{1}, \ldots, \theta_{m} θ 1 , … , θ m の和は次式によ って与えられる:
(2.8.12)
∑
i
=
1
m
θ
i
=
(
m
−
2
)
π
+
∫
S
′
K
d
A
(2.8.12)
∑
i
=
1
m
θ
i
=
(
m
−
2
)
π
+
∫
S
′
K
d
A
{:(2.8.12)sum_(i=1)^(m)theta_(i)=(m-2)pi+int_(S^('))KdA:} \begin{equation*}
\sum_{i=1}^{m} \theta_{i}=(m-2) \pi+\int_{S^{\prime}} K d A \tag{2.8.12}
\end{equation*} (2.8.12) ∑ i = 1 m θ i = ( m − 2 ) π + ∫ S ′ K d A
注意(i)平面や円筒のガウス曲率は恒等的に 0 に等しいので, 平面や円筒上の 測地
m
m
m m m 角形の内角の和は, 常に
(
m
−
2
)
π
(
m
−
2
)
π
(m-2)pi (m-2) \pi ( m − 2 ) π に等しくなる.
(ii)
S
S
S S S のガウス曲率が各点で正であるならば,
S
S
S S S 上の任意の測地
m
m
m m m 角形の内角 の和は
(
m
−
2
)
π
(
m
−
2
)
π
(m-2)pi (m-2) \pi ( m − 2 ) π よりも大きくなり, その和は, 測地
m
m
m m m 角形のとり方に依存 して変動する. 例えば, 単位球面
S
2
(
1
)
S
2
(
1
)
S^(2)(1) S^{2}(1) S 2 ( 1 ) のガウス曲率は恒等的に 1 に等しい ので,
S
2
(
1
)
S
2
(
1
)
S^(2)(1) S^{2}(1) S 2 ( 1 ) 上の測地
m
m
m m m 角形の内角の和は,
(
m
−
2
)
π
(
m
−
2
)
π
(m-2)pi (m-2) \pi ( m − 2 ) π とその測地
m
m
m m m 角形の (曲)面積の和に等しくなる。それゆえ,その測地
m
m
m m m 角形の面積が大きければ 大きいほど, その内角の和も大きくなる(図 2.8 .2 を参照).
S
:
S
:
S: S: S : ガウス曲率が正の曲面片
図 2.8.2 ガウス曲率が正である曲面片上の測地三角形
(iii)
S
S
S S S のガウス曲率が各点で負であるならば,
S
S
S S S 上の任意の測地
m
m
m m m 角形の内角 の和は
(
m
−
2
)
π
(
m
−
2
)
π
(m-2)pi (m-2) \pi ( m − 2 ) π よりも小さくなり, その和は, 測地
m
m
m m m 角形のとり方に依存 して変動する(図 2.8.3を参照)。例えば,
S
S
S S S が下記の問 2.8 .2 で述べるトラク トリクスの場合, そのガウス曲率は恒等的に -1 に等しいので,
S
S
S S S 上の測地
m
m
m m m
S
:
S
:
S: S: S : ガウス曲率が負の曲面片
図 2.8.3 ガウス曲率が負である曲面片上の測地三角形
角形の内角の和は,
(
m
−
2
)
π
(
m
−
2
)
π
(m-2)pi (m-2) \pi ( m − 2 ) π からその測地
m
m
m m m 角形の(曲)面積を引いた値に 等しくなる。そゆえ, その測地
m
m
m m m 角形の面積が大きければ大きいほど, そ の内角の和は小さくなる.
問 2.8.1 この問いにおいて,
S
2
(
1
)
S
2
(
1
)
S^(2)(1) S^{2}(1) S 2 ( 1 ) 上の測地三角形の 3 つの内角が等しい場合に,測地正三角形とよぶことにする.
(i)
S
2
(
1
)
S
2
(
1
)
S^(2)(1) S^{2}(1) S 2 ( 1 ) 上の正測地三角形の内角のとりうる値の範囲を求めよ.
(ii)
S
2
(
1
)
S
2
(
1
)
S^(2)(1) S^{2}(1) S 2 ( 1 ) 上の 3 つの内角が
π
2
π
2
(pi)/(2) \frac{\pi}{2} π 2 であるような測地正三角形を図示せよ.
(iii)
S
2
(
1
)
S
2
(
1
)
S^(2)(1) S^{2}(1) S 2 ( 1 ) 上の 3 つの内角が
3
π
4
3
π
4
(3pi)/(4) \frac{3 \pi}{4} 3 π 4 であるような測地正三角形を図示せよ.
問 2.8.2
D
:=
(
0
,
∞
)
×
[
0
,
2
π
)
D
:=
(
0
,
∞
)
×
[
0
,
2
π
)
D:=(0,oo)xx[0,2pi) D:=(0, \infty) \times[0,2 \pi) D := ( 0 , ∞ ) × [ 0 , 2 π ) とし,
C
∞
C
∞
C^(oo) C^{\infty} C ∞ 正則局所曲面
x
:
D
→
E
3
x
:
D
→
E
3
x:D rarrE^(3) \boldsymbol{x}: D \rightarrow \mathbb{E}^{3} x : D → E 3 を
x
(
u
1
,
u
2
)
:=
(
cos
u
2
cosh
u
1
,
sin
u
2
cosh
u
1
,
u
1
−
tanh
u
1
)
x
u
1
,
u
2
:=
cos
u
2
cosh
u
1
,
sin
u
2
cosh
u
1
,
u
1
−
tanh
u
1
x(u_(1),u_(2)):=((cos u_(2))/(cosh u_(1)),(sin u_(2))/(cosh u_(1)),u_(1)-tanh u_(1)) \boldsymbol{x}\left(u_{1}, u_{2}\right):=\left(\frac{\cos u_{2}}{\cosh u_{1}}, \frac{\sin u_{2}}{\cosh u_{1}}, u_{1}-\tanh u_{1}\right) x ( u 1 , u 2 ) := ( cos u 2 cosh u 1 , sin u 2 cosh u 1 , u 1 − tanh u 1 )
によって定義する. この
C
∞
C
∞
C^(oo) C^{\infty} C ∞ 曲面片
S
=
x
(
D
)
S
=
x
(
D
)
S=x(D) S=\boldsymbol{x}(D) S = x ( D ) は, トラクトリクス(tractrix) とよばれ, ガウス曲率が恒等的に -1 の曲面であることが知られている。.この曲面上に, 3 点
p
t
1
=
x
(
t
,
0
)
,
p
t
2
=
x
(
t
,
π
)
,
p
t
3
=
x
(
1
t
,
3
π
2
)
p
t
1
=
x
(
t
,
0
)
,
p
t
2
=
x
(
t
,
π
)
,
p
t
3
=
x
1
t
,
3
π
2
p_(t)^(1)=x(t,0),p_(t)^(2)=x(t,pi),p_(t)^(3)=x((1)/(t),(3pi)/(2)) p_{t}^{1}=\boldsymbol{x}(t, 0), p_{t}^{2}=\boldsymbol{x}(t, \pi), p_{t}^{3}=\boldsymbol{x}\left(\frac{1}{t}, \frac{3 \pi}{2}\right) p t 1 = x ( t , 0 ) , p t 2 = x ( t , π ) , p t 3 = x ( 1 t , 3 π 2 ) をとる. ここで,
t
t
t t t は十分小さな正の数とする.
(ii)
p
t
1
,
p
t
2
,
p
t
3
p
t
1
,
p
t
2
,
p
t
3
p_(t)^(1),p_(t)^(2),p_(t)^(3) p_{t}^{1}, p_{t}^{2}, p_{t}^{3} p t 1 , p t 2 , p t 3 を頂点とする
S
S
S S S 上の測地三角形
△
p
t
1
p
t
2
p
t
3
△
p
t
1
p
t
2
p
t
3
/_\p_(t)^(1)p_(t)^(2)p_(t)^(3) \triangle p_{t}^{1} p_{t}^{2} p_{t}^{3} △ p t 1 p t 2 p t 3 の概形を描け.
(iii) 測地三角形
△
p
t
1
p
t
2
p
t
3
△
p
t
1
p
t
2
p
t
3
/_\p_(t)^(1)p_(t)^(2)p_(t)^(3) \triangle p_{t}^{1} p_{t}^{2} p_{t}^{3} △ p t 1 p t 2 p t 3 の
p
t
1
(
i
=
1
,
2
,
3
)
p
t
1
(
i
=
1
,
2
,
3
)
p_(t)^(1)(i=1,2,3) p_{t}^{1}(i=1,2,3) p t 1 ( i = 1 , 2 , 3 ) における内角を
θ
t
1
θ
t
1
theta_(t)^(1) \theta_{t}^{1} θ t 1 とするとき,
lim
t
→
+
0
θ
t
1
=
0
lim
t
→
+
0
θ
t
1
=
0
lim_(t rarr+0)theta_(t)^(1)=0 \lim _{t \rightarrow+0} \theta_{t}^{1}=0 lim t → + 0 θ t 1 = 0 と推定されることを図解せよ.
2.9 曲面論におけるガウス・ボンネの定理
この節では
r
≥
2
r
≥
2
r >= 2 r \geq 2 r ≥ 2 とする.この節において, 前節で示したガウス・ボン ネの定理(局所版)を用いて,
E
3
E
3
E^(3) \mathbb{E}^{3} E 3 内の向き付けられた
C
r
C
r
C^(r) C^{r} C r 閉曲面に対するが ウス・ボンネの定理(大域版)を証明することにする。一般に, 位相空間
X
X
X X X に対し,
k
k
k \boldsymbol{k} k 次特異ホモロジー群
(
k
=
0
,
1
,
2
,
…
)
(
k
=
0
,
1
,
2
,
…
)
(k=0,1,2,dots) (k=0,1,2, \ldots) ( k = 0 , 1 , 2 , … ) とよばれる
Z
Z
Z \mathbb{Z} Z 加群
H
k
sing
(
X
H
k
sing
(
X
H_(k)^(sing)(X H_{k}^{\operatorname{sing}}(X H k sing ( X ,
Z
)
Z
)
Z) \mathbb{Z}) Z ) が定義され, それが有限生成である場合, その階数は
X
X
X X X の
k
k
k \boldsymbol{k} k 次ベッチ数 (k-th betti number)とよばれ,
b
k
(
X
)
b
k
(
X
)
b_(k)(X) b_{k}(X) b k ( X ) と表される.
k
k
k k k 次特異ホモロジー 群の定義については, 5.1 節を参照のこと. ここで, 有限生成
Z
Z
Z \mathbb{Z} Z 加群
M
M
M \mathcal{M} M は,一般に,
(
⊕
r
Z
)
⊕
Z
m
1
⊕
⋯
⊕
Z
m
l
(
⊕
r
Z
)
⊕
Z
m
1
⊕
⋯
⊕
Z
m
l
(o+^(r)Z)o+Z_(m_(1))o+cdots o+Z_(m_(l)) (\stackrel{r}{\oplus} \mathbb{Z}) \oplus \mathbb{Z}_{m_{1}} \oplus \cdots \oplus \mathbb{Z}_{m_{l}} ( ⊕ r Z ) ⊕ Z m 1 ⊕ ⋯ ⊕ Z m l
(
Z
m
i
Z
m
i
(Z_(m_(i)):} \left(\mathbb{Z}_{m_{i}}\right. ( Z m i : 位数
m
i
m
i
m_(i) m_{i} m i の巡回群
)
)
) ) ) という形の
Z
Z
Z \mathbb{Z} Z 加群に同型であることが知られてお り,上式における
r
r
r r r は
M
M
M M M の階数とよばれる. 非負の各整数
k
k
k k k に対し,
H
k
sing
(
X
,
Z
)
H
k
sing
(
X
,
Z
)
H_(k)^(sing)(X,Z) H_{k}^{\operatorname{sing}}(X, \mathbb{Z}) H k sing ( X , Z ) が有限生成であるとき, ベッチ数の交代和
∑
k
≥
0
(
−
1
)
k
b
k
(
X
)
∑
k
≥
0
(
−
1
)
k
b
k
(
X
)
sum_(k >= 0)(-1)^(k)b_(k)(X) \sum_{k \geq 0}(-1)^{k} b_{k}(X) ∑ k ≥ 0 ( − 1 ) k b k ( X ) は,
X
X
X X X のオイラー標数(Euler characteristic)とよばれ,通常,
χ
(
X
)
χ
(
X
)
chi(X) \chi(X) χ ( X ) と表される. ここで,
X
X
X X X がコンパクトならば,すべての非負の整数
k
k
k k k に対し,
H
k
sing
(
X
,
Z
)
H
k
sing
(
X
,
Z
)
H_(k)^(sing)(X,Z) H_{k}^{\mathrm{sing}}(X, \mathbb{Z}) H k sing ( X , Z ) は有限生成になり, そのオイラー標数が定義されることに注意する。
特に
X
X
X X X が閉曲面の場合,
χ
(
X
)
χ
(
X
)
chi(X) \chi(X) χ ( X ) を実践的に計算する方法を与えよう。
(
S
,
D
)
(
S
,
D
)
(S,D) (S, \mathcal{D}) ( S , D ) を
E
3
E
3
E^(3) \mathbb{E}^{3} E 3 内の
C
∞
C
∞
C^(oo) C^{\infty} C ∞ 閉曲面とし,
D
=
{
(
S
λ
,
x
λ
−
1
)
∣
λ
∈
Λ
}
D
=
S
λ
,
x
λ
−
1
∣
λ
∈
Λ
D={(S_(lambda),x_(lambda)^(-1))∣lambda in Lambda} \mathcal{D}=\left\{\left(S_{\lambda}, \boldsymbol{x}_{\lambda}^{-1}\right) \mid \lambda \in \Lambda\right\} D = { ( S λ , x λ − 1 ) ∣ λ ∈ Λ }
とする。
C
∞
C
∞
C^(oo) C^{\infty} C ∞ 閉曲面
S
S
S S S のいくつかの三角形による分割
S
=
S
1
′
∪
⋯
∪
S
k
′
S
=
S
1
′
∪
⋯
∪
S
k
′
S=S_(1)^(')uu cdots uuS_(k)^(') S=S_{1}^{\prime} \cup \cdots \cup S_{k}^{\prime} S = S 1 ′ ∪ ⋯ ∪ S k ′ を 考える。
∂
S
i
′
∂
S
i
′
delS_(i)^(') \partial S_{i}^{\prime} ∂ S i ′ をえる弧長でパラメーター付けられた区分的に
C
r
C
r
C^(r) C^{r} C r 級の曲線を
c
i
:
[
0
,
l
i
]
→
S
c
i
:
0
,
l
i
→
S
c_(i):[0,l_(i)]rarr S c_{i}:\left[0, l_{i}\right] \rightarrow S c i : [ 0 , l i ] → S とし, その 3 つの頂点を
p
i
j
:=
c
i
(
s
i
j
)
(
j
=
1
,
2
,
3
)
p
i
j
:=
c
i
s
i
j
(
j
=
1
,
2
,
3
)
p_(ij):=c_(i)(s_(ij))(j=1,2,3) p_{i j}:=c_{i}\left(s_{i j}\right)(j=1,2,3) p i j := c i ( s i j ) ( j = 1 , 2 , 3 ) とする. こ こで,
s
i
1
=
0
<
s
i
2
<
s
i
3
<
l
i
s
i
1
=
0
<
s
i
2
<
s
i
3
<
l
i
s_(i1)=0 < s_(i2) < s_(i3) < l_(i) s_{i 1}=0<s_{i 2}<s_{i 3}<l_{i} s i 1 = 0 < s i 2 < s i 3 < l i であることに注意する. この分割が次の条件を 満たすとする:
(SC)
S
i
∩
S
j
≠
∅
S
i
∩
S
j
≠
∅
quadS_(i)nnS_(j)!=O/ \quad S_{i} \cap S_{j} \neq \emptyset S i ∩ S j ≠ ∅ のき,
S
i
∩
S
j
S
i
∩
S
j
S_(i)nnS_(j) S_{i} \cap S_{j} S i ∩ S j は,
S
i
S
i
S_(i) S_{i} S i と
S
j
S
j
S_(j) S_{j} S j の共通の辺であるか, また は,
S
i
S
i
S_(i) S_{i} S i と
S
j
S
j
S_(j) S_{j} S j の共通の頂点である.
このとき, この分割を
S
S
S S S の三角形分割(triangulation)といい, 各
S
i
′
S
i
′
S_(i)^(') S_{i}^{\prime} S i ′ をこ の分割における面(face)といい,
S
i
′
S
i
′
S_(i)^(') S_{i}^{\prime} S i ′ の各辺をこの分割における辺(edge) といい,
S
i
′
S
i
′
S_(i)^(') S_{i}^{\prime} S i ′ の各頂点をこの分割における頂点(vertex)という。一般に,
C
∞
C
∞
C^(oo) C^{\infty} C ∞ 閉曲面は三角形分割を許容することが知られている。この事実を
C
∞
C
∞
C^(oo) C^{\infty} C ∞ 閉曲面の三角形分割可能性(triangulation possibility)という.
C
∞
C
∞
C^(oo) C^{\infty} C ∞ 閉曲面のオイラー標数について, 次の事実が成り立つ.
命題 2.9.1
S
=
S
1
′
∪
⋯
∪
S
k
′
S
=
S
1
′
∪
⋯
∪
S
k
′
S=S_(1)^(')uu cdots uuS_(k)^(') S=S_{1}^{\prime} \cup \cdots \cup S_{k}^{\prime} S = S 1 ′ ∪ ⋯ ∪ S k ′ を
C
∞
C
∞
C^(oo) C^{\infty} C ∞ 曲面
S
S
S S S の三角形分割とし, その分割に おける頂点, 辺, 面の個数を各々,
n
v
,
n
e
,
n
f
n
v
,
n
e
,
n
f
n_(v),n_(e),n_(f) n_{v}, n_{e}, n_{f} n v , n e , n f と表すことにする. このとき,
S
S
S S S のオイラー標数
χ
(
S
)
χ
(
S
)
chi(S) \chi(S) χ ( S ) は, 交代和
n
v
−
n
e
+
n
f
n
v
−
n
e
+
n
f
n_(v)-n_(e)+n_(f) n_{v}-n_{e}+n_{f} n v − n e + n f に等しくなる.
問 2.9.1 単位球面
S
2
(
1
)
S
2
(
1
)
S^(2)(1) S^{2}(1) S 2 ( 1 ) のオイラー標数を求めよ.
問 2.9.2 2 次元トーラス(2-dimensional torus)
T
2
=
{
(
(
a
+
b
cos
u
1
)
cos
u
2
,
(
a
+
b
cos
u
1
)
sin
u
2
,
b
sin
u
1
)
∣
(
u
1
,
u
2
)
∈
[
0
,
2
π
)
2
}
T
2
=
a
+
b
cos
u
1
cos
u
2
,
a
+
b
cos
u
1
sin
u
2
,
b
sin
u
1
∣
u
1
,
u
2
∈
[
0
,
2
π
)
2
T^(2)={((a+b cos u_(1))cos u_(2),(a+b cos u_(1))sin u_(2),b sin u_(1))∣(u_(1),u_(2))in[0,2pi)^(2)} T^{2}=\left\{\left(\left(a+b \cos u_{1}\right) \cos u_{2},\left(a+b \cos u_{1}\right) \sin u_{2}, b \sin u_{1}\right) \mid\left(u_{1}, u_{2}\right) \in[0,2 \pi)^{2}\right\} T 2 = { ( ( a + b cos u 1 ) cos u 2 , ( a + b cos u 1 ) sin u 2 , b sin u 1 ) ∣ ( u 1 , u 2 ) ∈ [ 0 , 2 π ) 2 }
(
a
>
b
>
0
)
(
a
>
b
>
0
)
(a > b > 0) (a>b>0) ( a > b > 0 ) のオイラー標数を求めよ(注意
T
2
T
2
T^(2) T^{2} T 2 は,単位円
S
1
(
1
)
S
1
(
1
)
S^(1)(1) S^{1}(1) S 1 ( 1 ) とそれ自身との 直積位相空間
S
1
(
1
)
×
S
1
(
1
)
S
1
(
1
)
×
S
1
(
1
)
S^(1)(1)xxS^(1)(1) S^{1}(1) \times S^{1}(1) S 1 ( 1 ) × S 1 ( 1 ) に同相である).
問 2.9.3
E
3
E
3
E^(3) \mathbb{E}^{3} E 3 内に 2 次元トーラスを互いに交わらないように 2 つ配置し, それらか ら, 各々, 十分小さな円盤領域を取り除き, 取り除いてできた穴の淵を円筒で滑ら かにつないでできる
C
∞
C
∞
C^(oo) C^{\infty} C ∞ 曲面
S
S
S S S を考える(図 2.9.1 を参照)。 このような曲面は, 2 人乗りの浮袋とよばれる。
S
S
S S S のオイラー標数を求めよ.
図 2.9.1 2 人乗りの浮袋
注意一般に,任意の自然数
g
g
g g g に対し,
E
3
に
g
E
3
に
g
E^(3)にg \mathbb{E}^{3} に g に E 3 に g 個の 2 次元トーラスを互いに交わ らないように一列に配置して、それらから各々, 十分小さな円盤領域を取り除き、取り除いてできた穴の淵を順番に円筒で滑らかにつなぐことにより構成される
C
∞
C
∞
C^(oo) C^{\infty} C ∞ 曲面を考える. このような
C
∞
C
∞
C^(oo) C^{\infty} C ∞ 曲面は
g
g
g g g 人乗りの浮袋とよばれ, 種数
g
g
g \boldsymbol{g} g の閉曲面 (closed surface of genus
g
g
g \boldsymbol{g} g ) とよばれる. 種数
g
g
g g g の閉曲面のオイラー数は
(
2
−
(
2
−
(2- (2- ( 2 −
2
g
)
2
g
)
2g) 2 g) 2 g ) になることが示される.
E
3
E
3
E^(3) \mathbb{E}^{3} E 3 内の向き付けられた
C
∞
C
∞
C^(oo) C^{\infty} C ∞ 閉曲面に対し, 次のガウス・ボンネの定理が成 り立つ.
定理 2.9.2(ガウス・ボンネの定理(大域版))
S
S
S S S を向き付けられた
C
∞
C
∞
C^(oo) C^{\infty} C ∞ 閉曲面とし,Kを
S
S
S S S のガウス曲率とする。このとき, 次式が成り立つ:
∫
S
K
d
A
=
2
π
χ
(
S
)
∫
S
K
d
A
=
2
π
χ
(
S
)
int_(S)KdA=2pi chi(S) \int_{S} K d A=2 \pi \chi(S) ∫ S K d A = 2 π χ ( S )
証明
S
S
S S S の三角形分割
S
=
S
1
′
∪
⋯
∪
S
k
′
S
=
S
1
′
∪
⋯
∪
S
k
′
S=S_(1)^(')uu cdots uuS_(k)^(') S=S_{1}^{\prime} \cup \cdots \cup S_{k}^{\prime} S = S 1 ′ ∪ ⋯ ∪ S k ′ をとる.
∂
S
i
′
∂
S
i
′
delS_(i)^(') \partial S_{i}^{\prime} ∂ S i ′ を与える弧長でパラメ ーター付けられた区分的に
C
r
C
r
C^(r) C^{r} C r 級の曲線を
c
i
:
[
0
,
l
i
]
→
S
c
i
:
0
,
l
i
→
S
c_(i):[0,l_(i)]rarr S c_{i}:\left[0, l_{i}\right] \rightarrow S c i : [ 0 , l i ] → S とし,
S
i
′
S
i
′
S_(i)^(') S_{i}^{\prime} S i ′ の 3 つの頂点を
c
i
(
0
)
(
=
c
i
(
l
i
)
)
,
c
i
(
s
i
1
)
,
c
i
(
s
i
2
)
c
i
(
0
)
=
c
i
l
i
,
c
i
s
i
1
,
c
i
s
i
2
c_(i)(0)(=c_(i)(l_(i))),c_(i)(s_(i1)),c_(i)(s_(i2)) c_{i}(0)\left(=c_{i}\left(l_{i}\right)\right), c_{i}\left(s_{i 1}\right), c_{i}\left(s_{i 2}\right) c i ( 0 ) ( = c i ( l i ) ) , c i ( s i 1 ) , c i ( s i 2 ) とする. 便宜上,
s
i
0
:=
0
,
s
i
3
:=
l
i
s
i
0
:=
0
,
s
i
3
:=
l
i
s_(i0):=0,s_(i3):=l_(i) s_{i 0}:=0, s_{i 3}:=l_{i} s i 0 := 0 , s i 3 := l i とお き,
p
i
j
:=
c
i
(
s
i
,
j
−
1
)
(
j
=
1
,
2
,
3
)
p
i
j
:=
c
i
s
i
,
j
−
1
(
j
=
1
,
2
,
3
)
p_(ij):=c_(i)(s_(i,j-1))(j=1,2,3) p_{i j}:=c_{i}\left(s_{i, j-1}\right)(j=1,2,3) p i j := c i ( s i , j − 1 ) ( j = 1 , 2 , 3 ) とおく. また, その 3 つの辺
c
i
(
[
s
i
,
j
−
1
,
s
i
j
]
)
c
i
s
i
,
j
−
1
,
s
i
j
c_(i)([s_(i,j-1),s_(ij)]) c_{i}\left(\left[s_{i, j-1}, s_{i j}\right]\right) c i ( [ s i , j − 1 , s i j ] )
(
j
=
1
,
2
,
3
)
(
j
=
1
,
2
,
3
)
(j=1,2,3) (j=1,2,3) ( j = 1 , 2 , 3 ) を各々,
e
i
j
(
j
=
1
,
2
,
3
)
e
i
j
(
j
=
1
,
2
,
3
)
e_(ij)(j=1,2,3) e_{i j}(j=1,2,3) e i j ( j = 1 , 2 , 3 ) と表し,
c
i
j
:=
c
|
[
s
i
,
j
−
1
,
s
i
j
]
(
j
=
1
,
2
,
3
)
c
i
j
:=
c
s
i
,
j
−
1
,
s
i
j
(
j
=
1
,
2
,
3
)
c_(ij):=c|_([s_(i,j-1),s_(ij)])(j=1,2,3) c_{i j}:=\left.c\right|_{\left[s_{i, j-1}, s_{i j}\right]}(j=1,2,3) c i j := c | [ s i , j − 1 , s i j ] ( j = 1 , 2 , 3 ) と おく. この三角形分割における頂点の個数, 辺の個数, 面の個数を各々,
n
v
n
v
n_(v) n_{v} n v ,
図 2.9.2 辺上の測地的曲率の積分が相殺される様子
n
e
,
n
f
n
e
,
n
f
n_(e),n_(f) n_{e}, n_{f} n e , n f とする. 明らかに,
n
f
=
k
n
f
=
k
n_(f)=k n_{f}=k n f = k である. 各面
S
i
′
S
i
′
S_(i)^(') S_{i}^{\prime} S i ′ に対し,辺が 3 つあり,各辺は 2 つの面によって共有されるので,
(2.9.1)
n
e
=
3
2
n
f
(2.9.1)
n
e
=
3
2
n
f
{:(2.9.1)n_(e)=(3)/(2)n_(f):} \begin{equation*}
n_{e}=\frac{3}{2} n_{f} \tag{2.9.1}
\end{equation*} (2.9.1) n e = 3 2 n f
という関係が成り立つ.
c
i
j
c
i
j
c_(ij) c_{i j} c i j の測地的曲率を
κ
i
j
κ
i
j
kappa_(ij) \kappa_{i j} κ i j とし,
S
i
′
S
i
′
S_(i)^(') S_{i}^{\prime} S i ′ の頂点
p
i
j
p
i
j
p_(ij) p_{i j} p i j における 内角を
θ
i
j
θ
i
j
theta_(ij) \theta_{i j} θ i j と表すことにする。このとき, 定理 2.8 .1 より次式が導かれる:
∫
S
K
d
A
=
∑
i
=
1
n
f
∫
S
i
′
K
d
A
=
∑
i
=
1
n
f
(
2
π
−
∑
j
=
1
3
∫
s
i
,
j
−
1
s
i
j
κ
i
j
(
s
)
d
s
−
∑
j
=
1
3
(
π
−
θ
i
j
)
)
(2.9.2)
=
−
π
n
f
+
∑
i
=
1
n
f
∑
j
=
1
3
θ
i
j
−
∑
i
=
1
n
f
∑
j
=
1
3
∫
s
i
,
j
−
1
s
i
j
κ
i
j
(
s
)
d
s
∫
S
K
d
A
=
∑
i
=
1
n
f
∫
S
i
′
K
d
A
=
∑
i
=
1
n
f
2
π
−
∑
j
=
1
3
∫
s
i
,
j
−
1
s
i
j
κ
i
j
(
s
)
d
s
−
∑
j
=
1
3
π
−
θ
i
j
(2.9.2)
=
−
π
n
f
+
∑
i
=
1
n
f
∑
j
=
1
3
θ
i
j
−
∑
i
=
1
n
f
∑
j
=
1
3
∫
s
i
,
j
−
1
s
i
j
κ
i
j
(
s
)
d
s
{:[int_(S)KdA=sum_(i=1)^(n_(f))int_(S_(i)^('))KdA],[=sum_(i=1)^(n_(f))(2pi-sum_(j=1)^(3)int_(s_(i,j-1))^(s_(ij))kappa^(ij)(s)ds-sum_(j=1)^(3)(pi-theta_(ij)))],[(2.9.2)=-pin_(f)+sum_(i=1)^(n_(f))sum_(j=1)^(3)theta_(ij)-sum_(i=1)^(n_(f))sum_(j=1)^(3)int_(s_(i,j-1))^(s_(ij))kappa^(ij)(s)ds]:} \begin{align*}
\int_{S} K d A & =\sum_{i=1}^{n_{f}} \int_{S_{i}^{\prime}} K d A \\
& =\sum_{i=1}^{n_{f}}\left(2 \pi-\sum_{j=1}^{3} \int_{s_{i, j-1}}^{s_{i j}} \kappa^{i j}(s) d s-\sum_{j=1}^{3}\left(\pi-\theta_{i j}\right)\right) \\
& =-\pi n_{f}+\sum_{i=1}^{n_{f}} \sum_{j=1}^{3} \theta_{i j}-\sum_{i=1}^{n_{f}} \sum_{j=1}^{3} \int_{s_{i, j-1}}^{s_{i j}} \kappa^{i j}(s) d s \tag{2.9.2}
\end{align*} ∫ S K d A = ∑ i = 1 n f ∫ S i ′ K d A = ∑ i = 1 n f ( 2 π − ∑ j = 1 3 ∫ s i , j − 1 s i j κ i j ( s ) d s − ∑ j = 1 3 ( π − θ i j ) ) (2.9.2) = − π n f + ∑ i = 1 n f ∑ j = 1 3 θ i j − ∑ i = 1 n f ∑ j = 1 3 ∫ s i , j − 1 s i j κ i j ( s ) d s
1 つの頂点に集まっている内角の和は
2
π
2
π
2pi 2 \pi 2 π なので,
(2.9.3)
∑
i
=
1
n
f
∑
j
=
1
3
θ
i
j
=
2
π
n
v
(2.9.3)
∑
i
=
1
n
f
∑
j
=
1
3
θ
i
j
=
2
π
n
v
{:(2.9.3)sum_(i=1)^(n_(f))sum_(j=1)^(3)theta_(ij)=2pin_(v):} \begin{equation*}
\sum_{i=1}^{n_{f}} \sum_{j=1}^{3} \theta_{i j}=2 \pi n_{v} \tag{2.9.3}
\end{equation*} (2.9.3) ∑ i = 1 n f ∑ j = 1 3 θ i j = 2 π n v
が成り立つ(図 2.9 .2 を参照)。また,面
S
i
1
′
S
i
1
′
S_(i_(1))^(') S_{i_{1}}^{\prime} S i 1 ′ と面
S
i
2
′
S
i
2
′
S_(i_(2))^(') S_{i_{2}}^{\prime} S i 2 ′ が 1 つの辺を共有してい る場合, その共有している辺を
e
i
1
j
1
=
e
i
2
j
2
e
i
1
j
1
=
e
i
2
j
2
e_(i_(1)j_(1))=e_(i_(2)j_(2)) e_{i_{1} j_{1}}=e_{i_{2} j_{2}} e i 1 j 1 = e i 2 j 2 とすると,
c
i
1
j
1
c
i
1
j
1
c_(i_(1)j_(1)) c_{i_{1} j_{1}} c i 1 j 1 と
c
i
2
j
2
c
i
2
j
2
c_(i_(2)j_(2)) c_{i_{2} j_{2}} c i 2 j 2 は逆向き になるので,
∫
s
i
1
,
j
1
−
1
s
i
1
j
1
κ
i
1
j
1
(
s
)
d
s
=
−
∫
s
i
2
,
j
2
−
1
s
i
2
j
2
κ
i
2
j
2
(
s
)
d
s
∫
s
i
1
,
j
1
−
1
s
i
1
j
1
κ
i
1
j
1
(
s
)
d
s
=
−
∫
s
i
2
,
j
2
−
1
s
i
2
j
2
κ
i
2
j
2
(
s
)
d
s
int_(s_(i_(1),j_(1)-1))^(s_(i_(1)j_(1)))kappa^(i_(1)j_(1))(s)ds=-int_(s_(i_(2),j_(2)-1))^(s_(i_(2)j_(2)))kappa^(i_(2)j_(2))(s)ds \int_{s_{i_{1}, j_{1}-1}}^{s_{i_{1} j_{1}}} \kappa^{i_{1} j_{1}}(s) d s=-\int_{s_{i_{2}, j_{2}-1}}^{s_{i_{2} j_{2}}} \kappa^{i_{2} j_{2}}(s) d s ∫ s i 1 , j 1 − 1 s i 1 j 1 κ i 1 j 1 ( s ) d s = − ∫ s i 2 , j 2 − 1 s i 2 j 2 κ i 2 j 2 ( s ) d s
が成り立つ(図 2.9.2を参照)。それゆえ,
(2.9.4)
∑
i
=
1
n
f
∑
j
=
1
3
∫
s
i
,
j
−
1
s
i
j
κ
i
j
(
s
)
d
s
=
0
(2.9.4)
∑
i
=
1
n
f
∑
j
=
1
3
∫
s
i
,
j
−
1
s
i
j
κ
i
j
(
s
)
d
s
=
0
{:(2.9.4)sum_(i=1)^(n_(f))sum_(j=1)^(3)int_(s_(i,j-1))^(s_(ij))kappa^(ij)(s)ds=0:} \begin{equation*}
\sum_{i=1}^{n_{f}} \sum_{j=1}^{3} \int_{s_{i, j-1}}^{s_{i j}} \kappa^{i j}(s) d s=0 \tag{2.9.4}
\end{equation*} (2.9.4) ∑ i = 1 n f ∑ j = 1 3 ∫ s i , j − 1 s i j κ i j ( s ) d s = 0
が導かれる。式 (2.9.1), (2.9.3), (2.9.4)を式 (2.9.2)に代入して, 求めるべき 積分公式をえる。
3 CHAPTER 定理・ガウスの発散定理
第 1 章と第 2 章で述べた超曲面は, ユークリッド空間内の超曲面片を貼り 合わせてえられる部分集合として定義された。つまり, 次元が 1 つ高いユー クリッド空間に住む人によって(つまり外在的に)定義された。この章では、 まず,
E
n
+
1
E
n
+
1
E^(n+1) \mathbb{E}^{n+1} E n + 1 内の超曲面が
R
n
R
n
R^(n) \mathbb{R}^{n} R n の領域と同相な集合(超曲面片のこと)の貼り 合わせになっていることに着目して, 一般に,
n
n
n n n 次元多様体という概念を内在的に定義し,その理論における基礎概念,および基本的事実について述べるこ とにする.次に,第2章で述べた超曲面上のストークスの定理が, より一般 に,多様体上でも成り立つことを示す.さらに,第1章で述べたユークリッ ド空間内におけるガウスの発散定理が, より一般に, リーマン多様体内でも成 り立つことを示すことにする.
3.1 多様体
この節において, 多様体, および複素多様体を定義し, それらの基本的な例 を与えることにする。この節では
r
≥
0
r
≥
0
r >= 0 r \geq 0 r ≥ 0 とする.
最初に, 位相空間の概念は既知として, 位相空間のハウスドルフ性, コンパ クト性, 局所コンパクト性, パラコンパクト性, および, 位相空間が第 2 可算公理を満たすことを定義しておく。
(
X
,
O
)
(
X
,
O
)
(X,O) (X, \mathcal{O}) ( X , O ) を位相空間とする。ここで,
O
O
O \mathcal{O} O は
X
X
X X X の位相,つまり開集合族を表す。まず,ハウスドルフ性を定義しよう.任意の異なる 2 点
p
,
q
∈
X
p
,
q
∈
X
p,q in X p, q \in X p , q ∈ X に対し,
p
p
p p p の開近傍(つまり
p
p
p p p を含む開集合)
U
U
U U U と
q
q
q q q の開近傍
V
V
V V V で,
U
∩
V
=
∅
U
∩
V
=
∅
U nn V=O/ U \cap V=\emptyset U ∩ V = ∅ となるようなものが存在するとき,
(
X
,
O
)
(
X
,
O
)
(X,O) (X, \mathcal{O}) ( X , O ) をハウスドルフ空間(Hausdorff space)という.次に, コンパクト性を定義しよう。
O
O
O \mathcal{O} O の部分集合族
U
U
U \mathcal{U} U で
∪
U
∈
U
U
=
X
∪
U
∈
U
U
=
X
uu_(U inU)U=X \underset{U \in \mathcal{U}}{\cup} U=X ∪ U ∈ U U = X を満たすようなものを,Xの開被覆(open covering)といい,
U
U
U \mathcal{U} U の部分集合族
V
V
V V V で
X
X
X X X の開被覆になるよ
うなものを、Uの部分被覆(subcovering)といい,それが有限族である場合,有限部分被覆(finite subcovering)という。また,
X
X
X X X の部分集合
A
A
A A A に 対し,
O
O
O \mathcal{O} O の部分集合族
U
′
U
′
U^(') \mathcal{U}^{\prime} U ′ で,
A
⊂
∪
U
′
∈
U
′
U
′
A
⊂
∪
U
′
∈
U
′
U
′
A subuu_(U^(')inU^('))U^(') A \subset \underset{U^{\prime} \in \mathcal{U}^{\prime}}{\cup} U^{\prime} A ⊂ ∪ U ′ ∈ U ′ U ′ を満たすようなものを,
A
A
A A A の開被覆という。
X
X
X X X の任意の開被覆が有限部分被覆をもつとき,
(
X
,
O
)
(
X
,
O
)
(X,O) (X, \mathcal{O}) ( X , O ) をコン パクト空間(compact space)といい,
A
A
A A A の任意の開被覆が有限部分被覆 をもつとき、
A
A
A A A を
(
X
,
O
)
(
X
,
O
)
(X,O) (X, \mathcal{O}) ( X , O ) のコンパクト部分集合(compact subset)とい う. また, 任意の点
p
∈
X
p
∈
X
p in X p \in X p ∈ X に対し,
p
p
p p p のコンパクトな閉近傍が存在するとき,
(
X
,
O
)
(
X
,
O
)
(X,O) (X, \mathcal{O}) ( X , O ) を局所コンパクト空間(locally compact space)という。ここで,
p
p
p p p の閉近傍とは,
p
p
p p p のある開近傍の閉包を意味する.
次に, 第 2 可算公理について説明するために, 開基の概念を定義しておく.
O
O
O \mathcal{O} O の部分集合族
B
B
B \mathcal{B} B で, 次の条件を满たすものを開基(open basis)という:
(OB)任意の
U
∈
O
U
∈
O
U inO U \in \mathcal{O} U ∈ O は,
B
B
B \mathcal{B} B に属する開集合たちの和集合として表される.
(
X
,
O
)
(
X
,
O
)
(X,O) (X, \mathcal{O}) ( X , O ) が高々可算個からなる開基を許容するとき,
(
X
,
O
)
(
X
,
O
)
(X,O) (X, \mathcal{O}) ( X , O ) は第 2 可算公理 (the second axiom of countability)を满たすという.
次に, パラコンパクト性を定義しよう. そのために, 開被覆の局所有限な 細分の概念を定義しておく.
U
,
V
(
⊂
O
)
U
,
V
(
⊂
O
)
U,V(subO) \mathcal{U}, \mathcal{V}(\subset \mathcal{O}) U , V ( ⊂ O ) を
(
X
,
O
)
(
X
,
O
)
(X,O) (X, \mathcal{O}) ( X , O ) の開被覆とする。
V
V
V \mathcal{V} V が,
U
U
U \mathcal{U} U に対し次の条件を満たすとき,
V
V
V \mathcal{V} V をUの細分(partition)という:
(P) 任意の
V
∈
V
V
∈
V
V inV V \in \mathcal{V} V ∈ V に対し,
V
⊂
U
V
⊂
U
V sub U V \subset U V ⊂ U となる
U
∈
U
U
∈
U
U inU U \in \mathcal{U} U ∈ U が存在する.
また,
V
V
V \mathcal{V} V が次の条件を満たすとき, V は局所有限(locally finite)であると いう:
(LF) 任意の
p
∈
X
p
∈
X
p in X p \in X p ∈ X に対し,
p
p
p p p の開近傍
W
W
W W W で
{
V
∈
V
∣
V
∩
W
≠
∅
}
{
V
∈
V
∣
V
∩
W
≠
∅
}
{V inV∣V nn W!=O/} \{V \in \mathcal{V} \mid V \cap W \neq \emptyset\} { V ∈ V ∣ V ∩ W ≠ ∅ } が有限集合となるようなものが存在する。
(
X
,
O
)
(
X
,
O
)
(X,O) (X, \mathcal{O}) ( X , O ) の任意の開被覆が局所有限な細分を許容するとき,
(
X
,
O
)
(
X
,
O
)
(X,O) (X, \mathcal{O}) ( X , O ) をパラコン パクト空間(paracompact space)という。明らかに, コンパクト空間は パラコンパクトになる.
パラコンパクト性について, 次の事実が成り立つ:
命題 3.1.1 第 2 可算公理を满たす局所コンパクトなハウスドルフ空間は,
パラコンパクトである.
多様体上で,様々な滑らかな幾何学量を構成する際に,開被覆に従属する 1 の分割という概念が利用される(例えば, 3.9 節の命題 3.9.1 の証明を参照). それゆえ,その存在性を保証する条件を発見することは重要である。開被覆に 従属する 1 の分割を定義しよう。
U
=
{
U
λ
}
λ
∈
Λ
U
=
U
λ
λ
∈
Λ
U={U_(lambda)}_(lambda in Lambda) \mathcal{U}=\left\{U_{\lambda}\right\}_{\lambda \in \Lambda} U = { U λ } λ ∈ Λ を
X
X
X X X の開被覆とする. 位相空間
(
X
,
O
)
(
X
,
O
)
(X,O) (X, \mathcal{O}) ( X , O ) 上の非負値連続関数の族
{
ρ
i
}
i
∈
I
ρ
i
i
∈
I
{rho_(i)}_(i inI) \left\{\rho_{i}\right\}_{i \in \mathcal{I}} { ρ i } i ∈ I で,次の条件を満たすようなもの をUに従属する 1 の分割(partition of unity subordinating to
U
U
U \mathcal{U} U ) と いう:
(i)
ρ
i
ρ
i
quadrho_(i) \quad \rho_{i} ρ i の台
supp
ρ
i
:=
{
p
∈
X
∣
ρ
i
(
p
)
≠
0
}
―
supp
ρ
i
:=
p
∈
X
∣
ρ
i
(
p
)
≠
0
¯
supprho_(i):= bar({p in X∣rho_(i)(p)!=0}) \operatorname{supp} \rho_{i}:=\overline{\left\{p \in X \mid \rho_{i}(p) \neq 0\right\}} supp ρ i := { p ∈ X ∣ ρ i ( p ) ≠ 0 } ― はコンパクトである;
(ii)
{
supp
ρ
i
}
i
∈
I
supp
ρ
i
i
∈
I
{supprho_(i)}_(i inI) \left\{\operatorname{supp} \rho_{i}\right\}_{i \in \mathcal{I}} { supp ρ i } i ∈ I は局所有限である;
(iii)
∑
i
∈
I
ρ
i
=
1
∑
i
∈
I
ρ
i
=
1
sum_(i inI)rho_(i)=1 \sum_{i \in \mathcal{I}} \rho_{i}=1 ∑ i ∈ I ρ i = 1 が成り立つ;
(iv) 各
i
∈
I
i
∈
I
i inI i \in \mathcal{I} i ∈ I に対し,
supp
ρ
i
⊂
U
λ
i
supp
ρ
i
⊂
U
λ
i
supprho_(i)subU_(lambda_(i)) \operatorname{supp} \rho_{i} \subset U_{\lambda_{i}} supp ρ i ⊂ U λ i となる
λ
i
∈
Λ
λ
i
∈
Λ
lambda_(i)in Lambda \lambda_{i} \in \Lambda λ i ∈ Λ が存在する.
開被覆に従属する 1 の分割の存在性について, 次の事実が成り立つ:
命題 3.1.2
(
X
,
O
)
(
X
,
O
)
(X,O) (X, \mathcal{O}) ( X , O ) がパラコンパクトなハウスドルフ空間であるとき,
X
X
X X X の任意の開被覆に対し,それに従属する1の分割が存在する.
注意
C
r
C
r
C^(r) C^{r} C r 多様体
M
M
M M M がパラコンパクトである場合,
M
M
M M M の任意の開被覆
U
=
U
=
U= \mathcal{U}= U =
{
U
λ
}
λ
∈
Λ
U
λ
λ
∈
Λ
{U_(lambda)}_(lambda in Lambda) \left\{U_{\lambda}\right\}_{\lambda \in \Lambda} { U λ } λ ∈ Λ に対し,それに従属する 1 の分割
{
ρ
i
}
i
∈
I
ρ
i
i
∈
I
{rho_(i)}_(i inI) \left\{\rho_{i}\right\}_{i \in \mathcal{I}} { ρ i } i ∈ I で, 各
ρ
i
ρ
i
rho_(i) \rho_{i} ρ i が
M
M
M M M 上の
C
r
C
r
C^(r) C^{r} C r 級関数であるようなものが存在することが示される。
C
r
C
r
C^(r) C^{r} C r 多様体の定義については, こ の節の後半部を参照のこと. また,
C
r
C
r
C^(r) C^{r} C r 多様体上の
C
r
C
r
C^(r) C^{r} C r 級関数の定義については, 次節を参照のこと.
第 2 可算公理を満たす局所コンパクトなハウスドルフ空間の例を与えよう.
d
E
d
E
d_(E) d_{\mathbb{E}} d E を
n
n
n n n 次元アフィン空間
A
n
A
n
A^(n) \mathbb{A}^{n} A n のユークリッド距離関数, つまり, 次のように 定義される
A
n
×
A
n
A
n
×
A
n
A^(n)xxA^(n) \mathbb{A}^{n} \times \mathbb{A}^{n} A n × A n 上の関数とする:
d
E
(
p
,
q
)
:=
‖
p
q
→
‖
(
p
,
q
∈
A
n
)
d
E
(
p
,
q
)
:=
‖
p
q
→
‖
p
,
q
∈
A
n
d_(E)(p,q):=|| vec(pq)||quad(p,q inA^(n)) d_{\mathbb{E}}(p, q):=\|\overrightarrow{p q}\| \quad\left(p, q \in \mathbb{A}^{n}\right) d E ( p , q ) := ‖ p q → ‖ ( p , q ∈ A n )
d
E
d
E
d_(E) d_{\mathbb{E}} d E を用いて,
B
E
:=
{
U
r
(
p
)
∣
p
∈
A
n
,
r
>
0
}
B
E
:=
U
r
(
p
)
∣
p
∈
A
n
,
r
>
0
B_(E):={U_(r)(p)∣p inA^(n),r > 0} \mathcal{B}_{\mathbb{E}}:=\left\{U_{r}(p) \mid p \in \mathbb{A}^{n}, r>0\right\} B E := { U r ( p ) ∣ p ∈ A n , r > 0 }
を開基とするような
A
n
A
n
A^(n) \mathbb{A}^{n} A n の位相が定まる。ここで,
U
r
(
p
)
U
r
(
p
)
U_(r)(p) U_{r}(p) U r ( p ) は,
p
p
p p p の
d
E
d
E
d_(E) d_{\mathbb{E}} d E に関する
r
r
r r r 近傍,つまり
{
q
∈
A
n
∣
d
E
(
p
,
q
)
<
r
}
q
∈
A
n
∣
d
E
(
p
,
q
)
<
r
{q inA^(n)∣d_(E)(p,q) < r} \left\{q \in \mathbb{A}^{n} \mid d_{\mathbb{E}}(p, q)<r\right\} { q ∈ A n ∣ d E ( p , q ) < r } を表す. この位相をユークリッド距離位相(Euclidean distance topology)といい,
O
E
O
E
O_(E) \mathcal{O}_{\mathbb{E}} O E と表す. この位相空間
(
A
n
,
O
E
)
A
n
,
O
E
(A^(n),O_(E)) \left(\mathbb{A}^{n}, \mathcal{O}_{\mathbb{E}}\right) ( A n , O E ) は, 第 2 可算公理を満たす局所コンパクトなハウスドルフ空間にな る. この事実を示そう。まず, ハウスドルフ性を示そう。任意に異なる 2 点
p
,
q
∈
A
n
p
,
q
∈
A
n
p,q inA^(n) p, q \in \mathbb{A}^{n} p , q ∈ A n をとる.
r
:=
d
E
(
p
,
q
)
r
:=
d
E
(
p
,
q
)
r:=d_(E)(p,q) r:=d_{\mathbb{E}}(p, q) r := d E ( p , q ) とおく.このとき,
U
r
2
(
p
)
∩
U
r
2
(
q
)
=
∅
U
r
2
(
p
)
∩
U
r
2
(
q
)
=
∅
U_((r)/(2))(p)nnU_((r)/(2))(q)=O/ U_{\frac{r}{2}}(p) \cap U_{\frac{r}{2}}(q)=\emptyset U r 2 ( p ) ∩ U r 2 ( q ) = ∅ が三角不等式を用いて示される。それゆえ,
(
A
n
,
O
E
)
A
n
,
O
E
(A^(n),O_(E)) \left(\mathbb{A}^{n}, \mathcal{O}_{\mathbb{E}}\right) ( A n , O E ) がハウスドルフ空間であるこ とがわかる. 次に,
(
A
n
,
O
E
)
A
n
,
O
E
(A^(n),O_(E)) \left(\mathbb{A}^{n}, \mathcal{O}_{\mathbb{E}}\right) ( A n , O E ) が第 2 可算公理を満たすことを示そう.
B
:=
{
U
r
(
p
)
∣
p
∈
Q
n
,
r
∈
Q
}
B
:=
U
r
(
p
)
∣
p
∈
Q
n
,
r
∈
Q
B:={U_(r)(p)∣p inQ^(n),r inQ} \mathcal{B}:=\left\{U_{r}(p) \mid p \in \mathbb{Q}^{n}, r \in \mathbb{Q}\right\} B := { U r ( p ) ∣ p ∈ Q n , r ∈ Q }
(
Q
(
Q
(Q ( \mathbb{Q} ( ( Q : 有理数全体からなる集合)は,
(
A
n
,
O
E
)
A
n
,
O
E
(A^(n),O_(E)) \left(\mathbb{A}^{n}, \mathcal{O}_{\mathbb{E}}\right) ( A n , O E ) の可算個からなる開基である ことが容易に示される。それゆえ,
(
A
n
,
O
E
)
A
n
,
O
E
(A^(n),O_(E)) \left(\mathbb{A}^{n}, \mathcal{O}_{\mathbb{E}}\right) ( A n , O E ) は第 2 可算公理を満たすことが わかる. 次に, 局所コンパクト性を示そう。任意に,
p
∈
A
n
p
∈
A
n
p inA^(n) p \in \mathbb{A}^{n} p ∈ A n をとる。
U
r
(
p
)
U
r
(
p
)
U_(r)(p) U_{r}(p) U r ( p ) の閉包
U
r
(
p
)
―
=
{
q
∈
A
n
∣
‖
p
q
→
‖
≤
r
}
U
r
(
p
)
¯
=
q
∈
A
n
∣
‖
p
q
→
‖
≤
r
bar(U_(r)(p))={q inA^(n)∣|| vec(pq)|| <= r} \overline{U_{r}(p)}=\left\{q \in \mathbb{A}^{n} \mid\|\overrightarrow{p q}\| \leq r\right\} U r ( p ) ― = { q ∈ A n ∣ ‖ p q → ‖ ≤ r } は,
p
p
p p p のコンパクトな閉近傍であること が示される。そゆえ,
(
A
n
,
O
E
)
A
n
,
O
E
(A^(n),O_(E)) \left(\mathbb{A}^{n}, \mathcal{O}_{\mathbb{E}}\right) ( A n , O E ) が局所コンパクトであることがわかる. こ こで,
U
r
(
p
)
U
r
(
p
)
U_(r)(p) U_{r}(p) U r ( p ) はコンパクトでないが,
U
r
(
p
)
―
U
r
(
p
)
¯
bar(U_(r)(p)) \overline{U_{r}(p)} U r ( p ) ― はコンパクトであることを簡単に 説明しておこう.
1
r
1
r
(1)/(r) \frac{1}{r} 1 r よりも大きい最小の自然数を
k
0
k
0
k_(0) k_{0} k 0 とする. このとき,
U
:=
{
U
r
−
1
k
(
p
)
|
k
∈
N
s.t.
k
≥
k
0
}
U
:=
U
r
−
1
k
(
p
)
k
∈
N
s.t.
k
≥
k
0
U:={U_(r-(1)/(k))(p)|k inN" s.t. "k >= k_(0)} \mathcal{U}:=\left\{\left.U_{r-\frac{1}{k}}(p) \right\rvert\, k \in \mathbb{N} \text { s.t. } k \geq k_{0}\right\} U := { U r − 1 k ( p ) | k ∈ N s.t. k ≥ k 0 }
は有限部分被覆をもたない。それゆえ,
U
r
(
p
)
U
r
(
p
)
U_(r)(p) U_{r}(p) U r ( p ) は,
(
A
n
,
O
E
)
A
n
,
O
E
(A^(n),O_(E)) \left(\mathbb{A}^{n}, \mathcal{O}_{\mathbb{E}}\right) ( A n , O E ) のコンパクト部分集合ではない。一方,
U
U
U \mathcal{U} U は,
U
r
(
p
)
―
U
r
(
p
)
¯
bar(U_(r)(p)) \overline{U_{r}(p)} U r ( p ) ― の開被覆ではないので, この族に開集合
V
ε
:=
U
r
+
ε
(
p
)
∖
U
r
−
ε
(
p
)
―
(
ε
:
V
ε
:=
U
r
+
ε
(
p
)
∖
U
r
−
ε
(
p
)
¯
(
ε
:
V_(epsi):=U_(r+epsi)(p)\\ bar(U_(r-epsi)(p))(epsi: V_{\varepsilon}:=U_{r+\varepsilon}(p) \backslash \overline{U_{r-\varepsilon}(p)}(\varepsilon: V ε := U r + ε ( p ) ∖ U r − ε ( p ) ― ( ε : 十分小さな正の数
)
)
) ) ) を加えた族
U
~
:=
U
∪
{
V
ε
}
U
~
:=
U
∪
V
ε
tilde(U):=Uuu{V_(epsi)} \tilde{\mathcal{U}}:=\mathcal{U} \cup\left\{V_{\varepsilon}\right\} U ~ := U ∪ { V ε } を考える。この族は,
U
r
(
p
)
―
U
r
(
p
)
¯
bar(U_(r)(p)) \overline{U_{r}(p)} U r ( p ) ― の開被覆になる。 これが有限部分被覆をもつこと の証明方針を述べておこう.
1
ε
1
ε
(1)/(epsi) \frac{1}{\varepsilon} 1 ε よりも大きい最小の自然数を
k
1
k
1
k_(1) k_{1} k 1 とする.この とき,
{
U
r
−
1
k
1
(
p
)
,
V
ε
}
U
r
−
1
k
1
(
p
)
,
V
ε
{U_(r-(1)/(k_(1)))(p),V_(epsi)} \left\{U_{r-\frac{1}{k_{1}}}(p), V_{\varepsilon}\right\} { U r − 1 k 1 ( p ) , V ε } は,
A
A
A A A の開被覆
U
~
U
~
tilde(U) \tilde{\mathcal{U}} U ~ の有限部分被覆になる. この事実か ら,
U
r
(
p
)
―
U
r
(
p
)
¯
bar(U_(r)(p)) \overline{U_{r}(p)} U r ( p ) ― がコンパクトになることが推測される。厳密な証明については, 位相空間論の本を参照のこと.
超曲面を内在的に定義した概念である多様体という概念を定義しよう。ここ で,“内在的定義”とは,次を意味する。超曲面は,1 つ次元の高いユークリ
ッド空間内の滑らかな図形として定義された。つまり, 超曲面に住む人ではな く, 1つ次元の高いユークリッド空間に住む人が定義した。このことを“外在的定義”という。それに比べ, “内在的定義”とは,超曲面を超曲面に住む人 が定義することを意味する。このことを踏まえ,超曲面を内在的に定義した概念として, 多様体という概念が次のように定義される。以下,
R
n
R
n
R^(n) \mathbb{R}^{n} R n は
A
n
A
n
A^(n) \mathbb{A}^{n} A n との 同一視の下, 位相空間
(
A
n
,
O
E
)
A
n
,
O
E
(A^(n),O_(E)) \left(\mathbb{A}^{n}, \mathcal{O}_{\mathbb{E}}\right) ( A n , O E ) とみなすことにする。
M
M
M M M を第 2 可算公理を満 たすハウスドルフ空間とする。
M
M
M M M の開集合
U
λ
U
λ
U_(lambda) U_{\lambda} U λ と
U
λ
U
λ
U_(lambda) U_{\lambda} U λ から
R
n
R
n
R^(n) \mathbb{R}^{n} R n のある開集合へ の同相写像
φ
λ
φ
λ
varphi_(lambda) \varphi_{\lambda} φ λ の組
(
U
λ
,
φ
λ
)
U
λ
,
φ
λ
(U_(lambda),varphi_(lambda)) \left(U_{\lambda}, \varphi_{\lambda}\right) ( U λ , φ λ ) の族
D
:=
{
(
U
λ
,
φ
λ
)
∣
λ
∈
Λ
}
D
:=
U
λ
,
φ
λ
∣
λ
∈
Λ
D:={(U_(lambda),varphi_(lambda))∣lambda in Lambda} \mathcal{D}:=\left\{\left(U_{\lambda}, \varphi_{\lambda}\right) \mid \lambda \in \Lambda\right\} D := { ( U λ , φ λ ) ∣ λ ∈ Λ } を考える. この族 が, 次の 2 条件を満たすとする:
(i)
{
U
λ
∣
λ
∈
Λ
}
U
λ
∣
λ
∈
Λ
{U_(lambda)∣lambda in Lambda} \left\{U_{\lambda} \mid \lambda \in \Lambda\right\} { U λ ∣ λ ∈ Λ } は
M
M
M M M の開被覆である;
(ii)
U
λ
∩
U
μ
≠
∅
U
λ
∩
U
μ
≠
∅
U_(lambda)nnU_(mu)!=O/ U_{\lambda} \cap U_{\mu} \neq \emptyset U λ ∩ U μ ≠ ∅ のとき,
φ
μ
∘
φ
λ
−
1
:
φ
λ
(
U
λ
∩
U
μ
)
→
φ
μ
(
U
λ
∩
U
μ
)
φ
μ
∘
φ
λ
−
1
:
φ
λ
U
λ
∩
U
μ
→
φ
μ
U
λ
∩
U
μ
varphi_(mu)@varphi_(lambda)^(-1):varphi_(lambda)(U_(lambda)nnU_(mu))rarrvarphi_(mu)(U_(lambda)nnU_(mu)) \varphi_{\mu} \circ \varphi_{\lambda}^{-1}: \varphi_{\lambda}\left(U_{\lambda} \cap U_{\mu}\right) \rightarrow \varphi_{\mu}\left(U_{\lambda} \cap U_{\mu}\right) φ μ ∘ φ λ − 1 : φ λ ( U λ ∩ U μ ) → φ μ ( U λ ∩ U μ ) は
C
r
C
r
C^(r) C^{r} C r 同型写像である.
このとき, 族
D
を
M
D
を
M
DをM \mathcal{D} を M を D を M の
C
r
C
r
C^(r) \boldsymbol{C}^{r} C r 構造(
C
r
C
r
C^(r) \boldsymbol{C}^{r} C r -structure)といい, 組
(
M
,
D
)
(
M
,
D
)
(M,D) (M, \mathcal{D}) ( M , D ) を
n
n
n \boldsymbol{n} n 次元
C
r
C
r
C^(r) \boldsymbol{C}^{r} C r 多様体(
n
n
n \boldsymbol{n} n -dimensional
C
r
C
r
C^(r) \boldsymbol{C}^{\boldsymbol{r}} C r -manifold)という(図 3.1.1を 参照)。定義から容易にわかるように,
M
M
M M M は局所コンパクトであるので, 命題 3.1.1 により,
M
M
M M M はパラコンパクトになることを注意しておく.特に,
M
M
M M M がコンパクトであるとき,
(
M
,
D
)
(
M
,
D
)
(M,D) (M, \mathcal{D}) ( M , D ) は
C
r
C
r
C^(r) \boldsymbol{C}^{r} C r 閉多様体
(
C
r
C
r
(C^(r):} \left(\boldsymbol{C}^{r}\right. ( C r -closed manifold) とよばれる。 また, 各
(
U
λ
,
φ
λ
)
U
λ
,
φ
λ
(U_(lambda),varphi_(lambda)) \left(U_{\lambda}, \varphi_{\lambda}\right) ( U λ , φ λ ) を局所チャート(local chart)といい,
U
λ
U
λ
U_(lambda) U_{\lambda} U λ ,
φ
λ
φ
λ
varphi_(lambda) \varphi_{\lambda} φ λ を各々, 局所座標近傍, 局所座標という。また,
φ
λ
=
(
x
1
λ
,
…
,
x
n
λ
)
φ
λ
=
x
1
λ
,
…
,
x
n
λ
varphi_(lambda)=(x_(1)^(lambda),dots,x_(n)^(lambda)) \varphi_{\lambda}=\left(x_{1}^{\lambda}, \ldots, x_{n}^{\lambda}\right) φ λ = ( x 1 λ , … , x n λ ) によっ て定義される
U
λ
U
λ
U_(lambda) U_{\lambda} U λ 上の関数
x
i
λ
(
i
=
1
,
…
,
n
)
x
i
λ
(
i
=
1
,
…
,
n
)
x_(i)^(lambda)quad(i=1,dots,n) x_{i}^{\lambda} \quad(i=1, \ldots, n) x i λ ( i = 1 , … , n ) を局所座標関数(local coordinate function) という.
C
r
C
r
C^(r) C^{r} C r 多様体
(
M
,
D
)
(
D
=
{
(
U
λ
,
φ
λ
)
∣
λ
∈
Λ
}
)
(
M
,
D
)
D
=
U
λ
,
φ
λ
∣
λ
∈
Λ
(M,D)(D={(U_(lambda),varphi_(lambda))∣lambda in Lambda}) (M, \mathcal{D})\left(\mathcal{D}=\left\{\left(U_{\lambda}, \varphi_{\lambda}\right) \mid \lambda \in \Lambda\right\}\right) ( M , D ) ( D = { ( U λ , φ λ ) ∣ λ ∈ Λ } ) に対し,
M
M
M M M の開集合
V
V
V V V と
V
V
V V V から
R
n
R
n
R^(n) \mathbb{R}^{n} R n のある開集合への同相写像
ψ
ψ
psi \psi ψ の組
(
V
,
ψ
)
(
V
,
ψ
)
(V,psi) (V, \psi) ( V , ψ ) で,
V
∩
U
λ
≠
∅
V
∩
U
λ
≠
∅
V nnU_(lambda)!=O/ V \cap U_{\lambda} \neq \emptyset V ∩ U λ ≠ ∅ となる各
λ
λ
lambda \lambda λ に対し,
ψ
∘
φ
λ
−
1
:
φ
λ
(
V
∩
U
λ
)
→
ψ
(
V
∩
U
λ
)
ψ
∘
φ
λ
−
1
:
φ
λ
V
∩
U
λ
→
ψ
V
∩
U
λ
psi@varphi_(lambda)^(-1):varphi_(lambda)(V nnU_(lambda))rarr psi(V nnU_(lambda)) \psi \circ \varphi_{\lambda}^{-1}: \varphi_{\lambda}\left(V \cap U_{\lambda}\right) \rightarrow \psi\left(V \cap U_{\lambda}\right) ψ ∘ φ λ − 1 : φ λ ( V ∩ U λ ) → ψ ( V ∩ U λ )
が
C
r
C
r
C^(r) C^{r} C r 同型写像になるようなものを
D
D
D \mathcal{D} D と両立する局所チャートという.明ら かに,
D
D
D \mathcal{D} D と両立する局所チャートの全体
D
^
も
M
D
^
も
M
widehat(D)もM \widehat{\mathcal{D}} も M も D ^ も M の
C
r
C
r
C^(r) C^{r} C r 構造を与える。このよ うに極大化された
C
r
C
r
C^(r) C^{r} C r 構造を極大な
C
r
C
r
C^(r) C^{r} C r 構造(maximal
C
r
C
r
C^(r) C^{r} C r -structure)と いう.
M
M
M M M の 2 つの
C
r
C
r
C^(r) C^{r} C r 構造
D
1
,
D
2
D
1
,
D
2
D_(1),D_(2) \mathcal{D}_{1}, \mathcal{D}_{2} D 1 , D 2 に対し, それらの極大化された
C
r
C
r
C^(r) C^{r} C r 構造が
ภ
図 3.1.1
C
r
C
r
C^(r) C^{r} C r 多様体と
C
r
C
r
C^(r) C^{r} C r 超曲面
一致するとき,
D
1
D
1
D_(1) \mathcal{D}_{1} D 1 と
D
2
D
2
D_(2) \mathcal{D}_{2} D 2 は
C
r
C
r
C^(r) \boldsymbol{C}^{r} C r 同値(
C
r
C
r
C^(r) \boldsymbol{C}^{r} C r -equivalent)であるという.
命題 3.1.3
C
r
C
r
C^(r) C^{r} C r 多様体
M
M
M M M の任意の開被覆
U
U
U \mathcal{U} U に対し,
M
M
M M M 上の
C
r
C
r
C^(r) C^{r} C r 級関数か らなるUUに従属する 1 の分割が存在する.
証明
M
M
M M M の次元を
n
n
n n n とする.
M
M
M M M は局所的に
R
n
R
n
R^(n) \mathbb{R}^{n} R n の開集合と同相なので, 局所コンパクトであることがわかる。それゆえ,
M
M
M M M は第 2 可算公理を満たす局所コンパクトなハウスドルフ空間なので, 命題3.1.1により, パラコンパクト であることがわかる。したがって,命題 3.1 .2 , およびその直後の注意により,主張が示される。
問 3.1.1
A
A
A \mathbb{A} A を
n
n
n n n 次元ベクトル空間
V
V
V V V に付随するアフィン空間とする.
V
V
V V V の各基底
E
=
(
e
1
,
…
,
e
n
)
E
=
e
1
,
…
,
e
n
E=(e_(1),dots,e_(n)) E=\left(\boldsymbol{e}_{1}, \ldots, \boldsymbol{e}_{n}\right) E = ( e 1 , … , e n ) に対し,全単射
η
E
:
V
→
R
n
η
E
:
V
→
R
n
eta_(E):V rarrR^(n) \eta_{E}: V \rightarrow \mathbb{R}^{n} η E : V → R n を
η
E
(
v
)
:=
(
v
1
,
…
,
v
n
)
(
v
=
∑
i
=
1
n
v
i
e
i
∈
V
)
η
E
(
v
)
:=
v
1
,
…
,
v
n
v
=
∑
i
=
1
n
v
i
e
i
∈
V
eta_(E)(v):=(v_(1),dots,v_(n))quad(v=sum_(i=1)^(n)v_(i)e_(i)in V) \eta_{E}(\boldsymbol{v}):=\left(v_{1}, \ldots, v_{n}\right) \quad\left(\boldsymbol{v}=\sum_{i=1}^{n} v_{i} \boldsymbol{e}_{i} \in V\right) η E ( v ) := ( v 1 , … , v n ) ( v = ∑ i = 1 n v i e i ∈ V )
によって定義する.
η
E
η
E
eta_(E) \eta_{E} η E を通じて
R
n
R
n
R^(n) \mathbb{R}^{n} R n のハウスドルフ位相から
A
A
A \mathbb{A} A のハウスドルフ位相 が定まる. この位相は
V
V
V V V の基底
E
E
E E E のとり方によらない。実際, この事実は,
E
¯
E
¯
bar(E) \bar{E} E ¯ を
V
V
V V V のもう 1 つの基底として, 同様に全単射
η
E
¯
:
V
→
R
n
η
E
¯
:
V
→
R
n
eta_( bar(E)):V rarrR^(n) \eta_{\bar{E}}: V \rightarrow \mathbb{R}^{n} η E ¯ : V → R n を定義するとき,
η
E
¯
η
E
¯
eta_( bar(E)) \eta_{\bar{E}} η E ¯ 。
η
E
−
1
:
R
n
→
R
n
η
E
−
1
:
R
n
→
R
n
eta_(E)^(-1):R^(n)rarrR^(n) \eta_{E}^{-1}: \mathbb{R}^{n} \rightarrow \mathbb{R}^{n} η E − 1 : R n → R n が同相写像になることから確かめられる。以下,
A
A
A \mathbb{A} A は, このハウス ドルフ位相により,ハウスドルフ空間とみなすことにする.明らかに, このハウス ドルフ空間は, 第 2 可算公理を満たす.
A
A
A \mathbb{A} A の各点
p
p
p p p に対し,
φ
E
,
p
:
A
→
R
n
φ
E
,
p
:
A
→
R
n
varphi_(E,p):ArarrR^(n) \varphi_{E, p}: \mathbb{A} \rightarrow \mathbb{R}^{n} φ E , p : A → R n を
φ
E
,
p
(
q
)
:=
η
E
(
p
q
→
)
(
q
∈
A
)
φ
E
,
p
(
q
)
:=
η
E
(
p
q
→
)
(
q
∈
A
)
varphi_(E,p)(q):=eta_(E)( vec(pq))quad(q inA) \varphi_{E, p}(q):=\eta_{E}(\overrightarrow{p q}) \quad(q \in \mathbb{A}) φ E , p ( q ) := η E ( p q → ) ( q ∈ A )
によって定義する. また,
V
V
V V V の基底の全体を
F
(
V
)
F
(
V
)
F(V) \mathcal{F}(V) F ( V ) と表すことにする.
(i) 族
D
:=
{
(
A
,
φ
E
,
p
)
∣
(
E
,
p
)
∈
F
(
V
)
×
A
}
D
:=
A
,
φ
E
,
p
∣
(
E
,
p
)
∈
F
(
V
)
×
A
D:={(A,varphi_(E,p))∣(E,p)inF(V)xxA} \mathcal{D}:=\left\{\left(\mathbb{A}, \varphi_{E, p}\right) \mid(E, p) \in \mathcal{F}(V) \times \mathbb{A}\right\} D := { ( A , φ E , p ) ∣ ( E , p ) ∈ F ( V ) × A } は, ハウスドルフ空間
A
A
A \mathbb{A} A の
C
ω
C
ω
C^(omega) C^{\omega} C ω 構造を与えることを示せ(注意 “
C
ω
C
ω
C^(omega) C^{\omega} C ω ”は,実解析性を意味する).
n
=
2
とする.
A
の点
p
o
と
V
の基底
E
o
:=
(
e
1
o
,
e
2
o
)
を固定し,
n
=
2
とする.
A
の点
p
o
と
V
の基底
E
o
:=
e
1
o
,
e
2
o
を固定し,
n=2" とする. "A" の点 "p_(o)" と "V" の基底 "E_(o):=(e_(1)^(o),e_(2)^(o))" を固定し, " n=2 \text { とする. } \mathbb{A} \text { の点 } p_{o} \text { と } V \text { の基底 } E_{o}:=\left(\boldsymbol{e}_{1}^{o}, \boldsymbol{e}_{2}^{o}\right) \text { を固定し, } と す る の 点 と の 基 底 を 固 定 し n = 2 とする. A の点 p o と V の基底 E o := ( e 1 o , e 2 o ) を固定し,
x
:
(
0
,
∞
)
×
(
0
,
2
π
)
→
A
x
:
(
0
,
∞
)
×
(
0
,
2
π
)
→
A
x:(0,oo)xx(0,2pi)rarrA \boldsymbol{x}:(0, \infty) \times(0,2 \pi) \rightarrow \mathbb{A} x : ( 0 , ∞ ) × ( 0 , 2 π ) → A を
x
(
r
,
θ
)
:=
Φ
p
o
−
1
(
r
cos
θ
e
1
o
+
r
sin
θ
e
2
o
)
(
(
r
,
θ
)
∈
(
0
,
∞
)
×
(
0
,
2
π
)
)
x
(
r
,
θ
)
:=
Φ
p
o
−
1
r
cos
θ
e
1
o
+
r
sin
θ
e
2
o
(
(
r
,
θ
)
∈
(
0
,
∞
)
×
(
0
,
2
π
)
)
x(r,theta):=Phi_(p_(o))^(-1)(r cos thetae_(1)^(o)+r sin thetae_(2)^(o))quad((r,theta)in(0,oo)xx(0,2pi)) \boldsymbol{x}(r, \theta):=\Phi_{p_{o}}^{-1}\left(r \cos \theta \boldsymbol{e}_{1}^{o}+r \sin \theta \boldsymbol{e}_{2}^{o}\right) \quad((r, \theta) \in(0, \infty) \times(0,2 \pi)) x ( r , θ ) := Φ p o − 1 ( r cos θ e 1 o + r sin θ e 2 o ) ( ( r , θ ) ∈ ( 0 , ∞ ) × ( 0 , 2 π ) )
によって定義する。ここで 1.1 節で述べたように,
Φ
p
o
Φ
p
o
Phi_(p_(o)) \Phi_{p_{o}} Φ p o は,
Φ
p
o
(
p
)
:=
p
o
p
→
Φ
p
o
(
p
)
:=
p
o
p
→
Phi_(p_(o))(p):= vec(p_(o)p) \Phi_{p_{o}}(p):=\overrightarrow{p_{o} p} Φ p o ( p ) := p o p →
(
p
∈
A
)
(
p
∈
A
)
(p inA) (p \in \mathbb{A}) ( p ∈ A ) によって定義される
A
A
A \mathbb{A} A から
V
V
V V V への全単射である.
ψ
:=
x
−
1
ψ
:=
x
−
1
psi:=x^(-1) \psi:=\boldsymbol{x}^{-1} ψ := x − 1 とお く.
ψ
ψ
psi \psi ψ は,
A
∖
{
p
o
}
A
∖
p
o
A\\{p_(o)} \mathbb{A} \backslash\left\{p_{o}\right\} A ∖ { p o } から
R
2
R
2
R^(2) \mathbb{R}^{2} R 2 の開集合
(
0
,
∞
)
×
(
0
,
2
π
)
(
0
,
∞
)
×
(
0
,
2
π
)
(0,oo)xx(0,2pi) (0, \infty) \times(0,2 \pi) ( 0 , ∞ ) × ( 0 , 2 π ) への同相写像になる.
(ii)
(
A
∖
{
p
o
}
,
ψ
)
A
∖
p
o
,
ψ
(A\\{p_(o)},psi) \left(\mathbb{A} \backslash\left\{p_{o}\right\}, \psi\right) ( A ∖ { p o } , ψ ) が
D
D
D \mathcal{D} D と両立する局所チャートになることを示せ.
S
n
(
1
)
:=
{
(
x
1
,
…
,
x
n
+
1
)
∣
∑
i
=
1
n
+
1
x
i
2
=
1
}
S
n
(
1
)
:=
x
1
,
…
,
x
n
+
1
∣
∑
i
=
1
n
+
1
x
i
2
=
1
S^(n)(1):={(x_(1),dots,x_(n+1))∣sum_(i=1)^(n+1)x_(i)^(2)=1} S^{n}(1):=\left\{\left(x_{1}, \ldots, x_{n+1}\right) \mid \sum_{i=1}^{n+1} x_{i}^{2}=1\right\} S n ( 1 ) := { ( x 1 , … , x n + 1 ) ∣ ∑ i = 1 n + 1 x i 2 = 1 }
は,
R
n
+
1
R
n
+
1
R^(n+1) \mathbb{R}^{n+1} R n + 1 の部分位相空間として第 2 可算公理を満たすハウスドルフ空間になる.族
D
D
D \mathcal{D} D を次のように定義する:
D
:=
{
(
U
i
+
,
φ
i
+
)
∣
i
=
1
,
…
,
n
+
1
}
∪
{
(
U
i
−
,
φ
i
−
)
∣
i
=
1
,
…
,
n
+
1
}
(
U
i
+
:=
{
(
x
1
,
…
,
x
n
+
1
)
∈
S
n
(
1
)
∣
x
i
>
0
}
U
i
−
:=
{
(
x
1
,
…
,
x
n
+
1
)
∈
S
n
(
1
)
∣
x
i
<
0
}
φ
i
±
⟺
def
⇄
φ
i
±
(
x
1
,
…
,
x
n
+
1
)
:=
(
x
1
,
…
,
x
^
i
,
…
,
x
n
+
1
)
)
D
:=
U
i
+
,
φ
i
+
∣
i
=
1
,
…
,
n
+
1
∪
U
i
−
,
φ
i
−
∣
i
=
1
,
…
,
n
+
1
U
i
+
:=
x
1
,
…
,
x
n
+
1
∈
S
n
(
1
)
∣
x
i
>
0
U
i
−
:=
x
1
,
…
,
x
n
+
1
∈
S
n
(
1
)
∣
x
i
<
0
φ
i
±
⟺
def
⇄
φ
i
±
x
1
,
…
,
x
n
+
1
:=
x
1
,
…
,
x
^
i
,
…
,
x
n
+
1
{:[D:={(U_(i)^(+),varphi_(i)^(+))∣i=1,dots,n+1}uu{(U_(i)^(-),varphi_(i)^(-))∣i=1,dots,n+1}],[([U_(i)^(+),:={(x_(1),dots,x_(n+1))inS^(n)(1)∣x_(i) > 0}],[U_(i)^(-),:={(x_(1),dots,x_(n+1))inS^(n)(1)∣x_(i) < 0}],[varphi_(i)^(+-),Longleftrightarrowdef^(⇄)varphi_(i)^(+-)(x_(1),dots,x_(n+1)):=(x_(1),dots, widehat(x)_(i),dots,x_(n+1))])]:} \begin{aligned}
& \mathcal{D}:=\left\{\left(U_{i}^{+}, \varphi_{i}^{+}\right) \mid i=1, \ldots, n+1\right\} \cup\left\{\left(U_{i}^{-}, \varphi_{i}^{-}\right) \mid i=1, \ldots, n+1\right\} \\
&\left(\begin{array}{rl}
U_{i}^{+} & :=\left\{\left(x_{1}, \ldots, x_{n+1}\right) \in S^{n}(1) \mid x_{i}>0\right\} \\
U_{i}^{-} & :=\left\{\left(x_{1}, \ldots, x_{n+1}\right) \in S^{n}(1) \mid x_{i}<0\right\} \\
\varphi_{i}^{ \pm} & \Longleftrightarrow \operatorname{def}^{\rightleftarrows} \varphi_{i}^{ \pm}\left(x_{1}, \ldots, x_{n+1}\right):=\left(x_{1}, \ldots, \widehat{x}_{i}, \ldots, x_{n+1}\right)
\end{array}\right)
\end{aligned} D := { ( U i + , φ i + ) ∣ i = 1 , … , n + 1 } ∪ { ( U i − , φ i − ) ∣ i = 1 , … , n + 1 } ( U i + := { ( x 1 , … , x n + 1 ) ∈ S n ( 1 ) ∣ x i > 0 } U i − := { ( x 1 , … , x n + 1 ) ∈ S n ( 1 ) ∣ x i < 0 } φ i ± ⟺ def ⇄ φ i ± ( x 1 , … , x n + 1 ) := ( x 1 , … , x ^ i , … , x n + 1 ) )
ここで
x
^
i
x
^
i
widehat(x)_(i) \widehat{x}_{i} x ^ i は,
x
i
x
i
x_(i) x_{i} x i を取り去ることを意味する.
(i) この族
D
D
D \mathcal{D} D は,
S
n
(
1
)
S
n
(
1
)
S^(n)(1) S^{n}(1) S n ( 1 ) の
C
ω
C
ω
C^(omega) C^{\omega} C ω 構造を与えることを示せ.
(ii)
V
:=
S
n
(
1
)
∖
{
(
0
,
…
,
0
,
1
)
}
V
:=
S
n
(
1
)
∖
{
(
0
,
…
,
0
,
1
)
}
quad V:=S^(n)(1)\\{(0,dots,0,1)} \quad V:=S^{n}(1) \backslash\{(0, \ldots, 0,1)\} V := S n ( 1 ) ∖ { ( 0 , … , 0 , 1 ) } とし,
ψ
:
V
→
R
n
ψ
:
V
→
R
n
psi:V rarrR^(n) \psi: V \rightarrow \mathbb{R}^{n} ψ : V → R n を次式によって定義する:
ψ
(
x
1
,
…
,
x
n
+
1
)
:=
(
x
1
1
−
x
n
+
1
,
…
,
x
n
1
−
x
n
+
1
)
ψ
x
1
,
…
,
x
n
+
1
:=
x
1
1
−
x
n
+
1
,
…
,
x
n
1
−
x
n
+
1
psi(x_(1),dots,x_(n+1)):=((x_(1))/(1-x_(n+1)),dots,(x_(n))/(1-x_(n+1))) \psi\left(x_{1}, \ldots, x_{n+1}\right):=\left(\frac{x_{1}}{1-x_{n+1}}, \ldots, \frac{x_{n}}{1-x_{n+1}}\right) ψ ( x 1 , … , x n + 1 ) := ( x 1 1 − x n + 1 , … , x n 1 − x n + 1 )
このとき,
(
V
,
ψ
)
(
V
,
ψ
)
(V,psi) (V, \psi) ( V , ψ ) は上述の
C
ω
C
ω
C^(omega) C^{\omega} C ω 構造
D
D
D \mathcal{D} D と両立する局所チャートになることを 示せ.
問 3.1.3
(
n
+
1
)
(
n
+
1
)
(n+1) (n+1) ( n + 1 ) 次元数ベクトル空間
R
n
+
1
R
n
+
1
R^(n+1) \mathbb{R}^{n+1} R n + 1 のピンホール領域
R
n
+
1
∖
{
0
}
R
n
+
1
∖
{
0
}
R^(n+1)\\{0} \mathbb{R}^{n+1} \backslash\{0\} R n + 1 ∖ { 0 } におけ る同値関係~を次のように定義する:
(
v
1
,
…
,
v
n
+
1
)
∼
(
w
1
,
…
,
w
n
+
1
)
⟺
ある実数
a
(
≠
0
)
に対し,
(
w
1
,
…
,
w
n
+
1
)
=
a
(
v
1
,
…
,
v
n
+
1
)
v
1
,
…
,
v
n
+
1
∼
w
1
,
…
,
w
n
+
1
⟺
ある実数
a
(
≠
0
)
に対し,
w
1
,
…
,
w
n
+
1
=
a
v
1
,
…
,
v
n
+
1
{:[(v_(1),dots,v_(n+1))∼(w_(1),dots,w_(n+1))],[Longleftrightarrow" ある実数 "a(!=0)" に対し, "(w_(1),dots,w_(n+1))=a(v_(1),dots,v_(n+1))]:} \begin{aligned}
& \left(v_{1}, \ldots, v_{n+1}\right) \sim\left(w_{1}, \ldots, w_{n+1}\right) \\
\Longleftrightarrow & \text { ある実数 } a(\neq 0) \text { に対し, }\left(w_{1}, \ldots, w_{n+1}\right)=a\left(v_{1}, \ldots, v_{n+1}\right)
\end{aligned} あ る 実 数 に 対 し ( v 1 , … , v n + 1 ) ∼ ( w 1 , … , w n + 1 ) ⟺ ある実数 a ( ≠ 0 ) に対し, ( w 1 , … , w n + 1 ) = a ( v 1 , … , v n + 1 )
この同値関係による商集合
(
R
n
+
1
∖
{
0
}
)
/
∼
R
n
+
1
∖
{
0
}
/
∼
(R^(n+1)\\{0})//∼ \left(\mathbb{R}^{n+1} \backslash\{\mathbf{0}\}\right) / \sim ( R n + 1 ∖ { 0 } ) / ∼ &
R
P
n
R
P
n
RP^(n) \mathbb{R} P^{n} R P n と表し,
n
n
n \boldsymbol{n} n 次元実射影空間 (
n
n
n \boldsymbol{n} n -dimensional real projective space) という. また,
(
v
1
,
…
,
v
n
+
1
)
v
1
,
…
,
v
n
+
1
(v_(1),dots,v_(n+1)) \left(v_{1}, \ldots, v_{n+1}\right) ( v 1 , … , v n + 1 ) の属 する同値類を
[
v
1
:
⋯
:
v
n
+
1
]
v
1
:
⋯
:
v
n
+
1
[v_(1):cdots:v_(n+1)] \left[v_{1}: \cdots: v_{n+1}\right] [ v 1 : ⋯ : v n + 1 ] と表す.
R
P
n
R
P
n
RP^(n) \mathbb{R} P^{n} R P n には, ピンホール領域
R
n
+
1
∖
{
0
}
R
n
+
1
∖
{
0
}
R^(n+1)\\{0} \mathbb{R}^{n+1} \backslash\{\mathbf{0}\} R n + 1 ∖ { 0 } の位相(つまり,
R
n
+
1
R
n
+
1
R^(n+1) \mathbb{R}^{n+1} R n + 1 のユークリッド距離位相の部分位相)から誘導される商位相を与 える. この商位相は, 第 2 可算公理を満たすハウスドルフ位相になる. 族
D
D
D \mathcal{D} D を次の ように定義する:
D
:=
{
(
U
i
,
φ
i
)
∣
i
=
1
,
…
,
n
+
1
}
(
U
i
:=
{
[
x
1
:
⋯
:
x
n
+
1
]
∣
x
i
≠
0
}
φ
i
⟺
def
φ
i
(
[
x
1
:
⋯
:
x
n
+
1
]
)
:=
(
x
1
x
i
,
…
,
x
i
−
1
x
i
,
x
i
+
1
x
i
,
…
x
n
+
1
x
i
)
)
D
:=
U
i
,
φ
i
∣
i
=
1
,
…
,
n
+
1
(
U
i
:=
x
1
:
⋯
:
x
n
+
1
∣
x
i
≠
0
φ
i
⟺
def
φ
i
x
1
:
⋯
:
x
n
+
1
:=
x
1
x
i
,
…
,
x
i
−
1
x
i
,
x
i
+
1
x
i
,
…
x
n
+
1
x
i
)
{:[D:={(U_(i),varphi_(i))∣i=1,dots,n+1}],[((U_(i):={[x_(1):cdots:x_(n+1)]∣x_(i)!=0})/(varphi_(i)Longleftrightarrow_(def)varphi_(i)([x_(1):cdots:x_(n+1)]):=((x_(1))/(x_(i)),dots,(x_(i-1))/(x_(i)),(x_(i+1))/(x_(i)),dots(x_(n+1))/(x_(i)))))]:} \begin{gathered}
\mathcal{D}:=\left\{\left(U_{i}, \varphi_{i}\right) \mid i=1, \ldots, n+1\right\} \\
\binom{U_{i}:=\left\{\left[x_{1}: \cdots: x_{n+1}\right] \mid x_{i} \neq 0\right\}}{\varphi_{i} \underset{\mathrm{def}}{\Longleftrightarrow} \varphi_{i}\left(\left[x_{1}: \cdots: x_{n+1}\right]\right):=\left(\frac{x_{1}}{x_{i}}, \ldots, \frac{x_{i-1}}{x_{i}}, \frac{x_{i+1}}{x_{i}}, \ldots \frac{x_{n+1}}{x_{i}}\right)}
\end{gathered} D := { ( U i , φ i ) ∣ i = 1 , … , n + 1 } ( U i := { [ x 1 : ⋯ : x n + 1 ] ∣ x i ≠ 0 } φ i ⟺ def φ i ( [ x 1 : ⋯ : x n + 1 ] ) := ( x 1 x i , … , x i − 1 x i , x i + 1 x i , … x n + 1 x i ) )
この族
D
D
D \mathcal{D} D は,
R
P
n
R
P
n
RP^(n) \mathbb{R} P^{n} R P n の
C
ω
C
ω
C^(omega) C^{\omega} C ω 構造を与えることを示せ.
注意
n
n
n n n 次元単位球面
S
n
(
1
)
S
n
(
1
)
S^(n)(1) S^{n}(1) S n ( 1 ) における同値関係〜を次のように定義する:
(
p
1
,
…
,
p
n
+
1
)
∼
(
q
1
,
…
,
q
n
+
1
)
⟺
(
q
1
,
…
,
q
n
+
1
)
=
(
p
1
,
…
,
p
n
+
1
)
or
(
q
1
,
…
,
q
n
+
1
)
=
(
−
p
1
,
…
,
−
p
n
+
1
)
p
1
,
…
,
p
n
+
1
∼
q
1
,
…
,
q
n
+
1
⟺
q
1
,
…
,
q
n
+
1
=
p
1
,
…
,
p
n
+
1
or
q
1
,
…
,
q
n
+
1
=
−
p
1
,
…
,
−
p
n
+
1
{:[(p_(1),dots,p_(n+1))∼(q_(1),dots,q_(n+1))],[Longleftrightarrow(q_(1),dots,q_(n+1))=(p_(1),dots,p_(n+1))" or "(q_(1),dots,q_(n+1))=(-p_(1),dots,-p_(n+1))]:} \begin{aligned}
\left(p_{1}, \ldots, p_{n+1}\right) & \sim\left(q_{1}, \ldots, q_{n+1}\right) \\
\Longleftrightarrow\left(q_{1}, \ldots, q_{n+1}\right) & =\left(p_{1}, \ldots, p_{n+1}\right) \text { or }\left(q_{1}, \ldots, q_{n+1}\right)=\left(-p_{1}, \ldots,-p_{n+1}\right)
\end{aligned} ( p 1 , … , p n + 1 ) ∼ ( q 1 , … , q n + 1 ) ⟺ ( q 1 , … , q n + 1 ) = ( p 1 , … , p n + 1 ) or ( q 1 , … , q n + 1 ) = ( − p 1 , … , − p n + 1 )
(
p
1
,
…
,
p
n
+
1
)
p
1
,
…
,
p
n
+
1
(p_(1),dots,p_(n+1)) \left(p_{1}, \ldots, p_{n+1}\right) ( p 1 , … , p n + 1 ) の属する同値類を
[
(
p
1
,
…
,
p
n
+
1
)
]
p
1
,
…
,
p
n
+
1
[(p_(1),dots,p_(n+1))] \left[\left(p_{1}, \ldots, p_{n+1}\right)\right] [ ( p 1 , … , p n + 1 ) ] と表す. このとき, 次の対応は 1 対 1 対応になり, この対応により商集合
S
n
(
1
)
/
∼
S
n
(
1
)
/
∼
S^(n)(1)//∼ S^{n}(1) / \sim S n ( 1 ) / ∼ は, 実射影空間
R
P
n
R
P
n
RP^(n) \mathbb{R} P^{n} R P n と同一視さ れる:
[
(
p
1
,
…
,
p
n
+
1
)
]
⟷
[
p
1
:
⋯
:
p
n
+
1
]
p
1
,
…
,
p
n
+
1
⟷
p
1
:
⋯
:
p
n
+
1
[(p_(1),dots,p_(n+1))]longleftrightarrow[p_(1):cdots:p_(n+1)] \left[\left(p_{1}, \ldots, p_{n+1}\right)\right] \longleftrightarrow\left[p_{1}: \cdots: p_{n+1}\right] [ ( p 1 , … , p n + 1 ) ] ⟷ [ p 1 : ⋯ : p n + 1 ]
多様体の発展的例として, 実グラスマン多様体を紹介する.
例 3.1.1
G
k
(
V
)
G
k
(
V
)
G_(k)(V) G_{k}(V) G k ( V ) を
n
(
≥
2
)
n
(
≥
2
)
n( >= 2) n(\geq 2) n ( ≥ 2 ) 次元実ベクトル空間
V
V
V V V の
k
k
k k k 次元部分ベクトル空間全体のなす空間とする. ここで,
k
k
k k k は 1 以上
n
−
1
n
−
1
n-1 n-1 n − 1 以下のある自然数とす る.
G
k
(
V
)
G
k
(
V
)
G_(k)(V) G_{k}(V) G k ( V ) の
C
ω
C
ω
C^(omega) C^{\omega} C ω 構造は次のように定義される.
V
V
V V V に補助的に内積〈, 〉を 与える.
(
V
,
⟨
⟩
(
V
,
⟨
⟩
(V,(::) (V,\langle\rangle ( V , ⟨ ⟩ ,
)
の
k
)
の
k
)のk ) の k の ) の k 個のベクトルからなる 1 次独立系の全体を
S
k
(
V
)
S
k
(
V
)
S_(k)(V) S_{k}(V) S k ( V ) と表 す。
V
V
V V V の基底
(
e
1
o
,
…
,
e
n
o
)
e
1
o
,
…
,
e
n
o
(e_(1)^(o),dots,e_(n)^(o)) \left(e_{1}^{o}, \ldots, e_{n}^{o}\right) ( e 1 o , … , e n o ) を固定する. 各
(
e
1
,
…
,
e
k
)
∈
S
k
(
V
)
e
1
,
…
,
e
k
∈
S
k
(
V
)
(e_(1),dots,e_(k))inS_(k)(V) \left(e_{1}, \ldots, e_{k}\right) \in S_{k}(V) ( e 1 , … , e k ) ∈ S k ( V ) に対し,
e
i
=
e
i
=
e_(i)= e_{i}= e i =
∑
j
=
1
n
a
i
j
e
j
o
(
i
=
1
,
…
,
k
)
∑
j
=
1
n
a
i
j
e
j
o
(
i
=
1
,
…
,
k
)
sum_(j=1)^(n)a_(i)^(j)e_(j)^(o)quad(i=1,dots,k) \sum_{j=1}^{n} a_{i}^{j} e_{j}^{o} \quad(i=1, \ldots, k) ∑ j = 1 n a i j e j o ( i = 1 , … , k ) として,
(
k
,
n
)
(
k
,
n
)
(k,n) (k, n) ( k , n ) 型行列
(
a
i
j
)
a
i
j
(a_(i)^(j)) \left(a_{i}^{j}\right) ( a i j ) を対応させることにより,
S
k
(
V
)
S
k
(
V
)
S_(k)(V) S_{k}(V) S k ( V ) から
(
k
,
n
)
(
k
,
n
)
(k,n) (k, n) ( k , n ) 型実行列全体のなす空間
M
(
k
,
n
;
R
)
M
(
k
,
n
;
R
)
M(k,n;R) M(k, n ; \mathbb{R}) M ( k , n ; R ) (これは,
R
n
k
R
n
k
R^(nk) \mathbb{R}^{n k} R n k と同一視される)の開集合への全単射が定義される。この全単射を通じて,
S
k
(
V
)
S
k
(
V
)
S_(k)(V) S_{k}(V) S k ( V ) は,
M
(
k
,
n
;
R
)
≈
R
n
k
M
(
k
,
n
;
R
)
≈
R
n
k
M(k,n;R)~~R^(nk) M(k, n ; \mathbb{R}) \approx \mathbb{R}^{n k} M ( k , n ; R ) ≈ R n k の開集合とみなされ, それゆえ,
R
n
k
R
n
k
R^(nk) \mathbb{R}^{n k} R n k の開部分多様体
として
n
k
n
k
nk n k n k 次元
C
ω
C
ω
C^(omega) C^{\omega} C ω 多様体とみなされる.
π
:
S
k
(
V
)
→
G
k
(
V
)
π
:
S
k
(
V
)
→
G
k
(
V
)
pi:S_(k)(V)rarrG_(k)(V) \pi: S_{k}(V) \rightarrow G_{k}(V) π : S k ( V ) → G k ( V ) を
π
(
e
1
,
…
,
e
k
)
π
e
1
,
…
,
e
k
pi(e_(1),dots,e_(k)) \pi\left(e_{1}, \ldots, e_{k}\right) π ( e 1 , … , e k )
:=
Span
{
e
1
,
…
,
e
k
}
:=
Span
e
1
,
…
,
e
k
:=Span{e_(1),dots,e_(k)} :=\operatorname{Span}\left\{e_{1}, \ldots, e_{k}\right\} := Span { e 1 , … , e k } によって定義する。
S
k
(
V
)
S
k
(
V
)
S_(k)(V) S_{k}(V) S k ( V ) の位相から
π
π
pi \pi π によって誘導さ れる強位相を
G
k
(
V
)
G
k
(
V
)
G_(k)(V) G_{k}(V) G k ( V ) に与えると, この位相は第 2 可算公理を満たすハウス ドルフ位相になる。 各
W
0
∈
G
k
(
V
)
W
0
∈
G
k
(
V
)
W_(0)inG_(k)(V) W_{0} \in G_{k}(V) W 0 ∈ G k ( V ) に対し,
W
0
W
0
W_(0) W_{0} W 0 の基底
(
e
¯
1
,
…
,
e
¯
k
)
e
¯
1
,
…
,
e
¯
k
( bar(e)_(1),dots, bar(e)_(k)) \left(\bar{e}_{1}, \ldots, \bar{e}_{k}\right) ( e ¯ 1 , … , e ¯ k ) と
W
0
⊥
W
0
⊥
W_(0)^(_|_) W_{0}^{\perp} W 0 ⊥ の基底
(
e
¯
k
+
1
,
…
,
e
¯
n
)
e
¯
k
+
1
,
…
,
e
¯
n
( bar(e)_(k+1),dots, bar(e)_(n)) \left(\bar{e}_{k+1}, \ldots, \bar{e}_{n}\right) ( e ¯ k + 1 , … , e ¯ n ) をとる。
W
0
W
0
W_(0) W_{0} W 0 の
(
G
k
(
V
)
G
k
(
V
)
(G_(k)(V):} \left(G_{k}(V)\right. ( G k ( V ) における)十分小さな近傍
U
W
0
U
W
0
U_(W_(0)) \mathcal{U}_{W_{0}} U W 0 をとり,
U
W
0
U
W
0
U_(W_(0)) \mathcal{U}_{W_{0}} U W 0 から
R
k
(
n
−
k
)
=
M
(
k
,
n
−
k
;
R
)
へ
の
R
k
(
n
−
k
)
=
M
(
k
,
n
−
k
;
R
)
へ
の
R^(k(n-k))=M(k,n-k;R)への \mathbb{R}^{k(n-k)}=M(k, n-k ; \mathbb{R}) へ の へ の R k ( n − k ) = M ( k , n − k ; R ) へ の 写像
φ
W
0
=
(
x
i
j
)
φ
W
0
=
x
i
j
varphi_(W_(0))=(x_(i)^(j)) \varphi_{W_{0}}=\left(x_{i}^{j}\right) φ W 0 = ( x i j ) を,
W
∈
W
∈
W in W \in W ∈
U
W
0
U
W
0
U_(W_(0)) \mathcal{U}_{W_{0}} U W 0 に対し,
V
V
V V V から
W
⊥
,
W
0
⊥
W
⊥
,
W
0
⊥
W^(_|_),W_(0)^(_|_) W^{\perp}, W_{0}^{\perp} W ⊥ , W 0 ⊥ への直交射影を各々,
pr
W
⊥
,
pr
W
0
⊥
pr
W
⊥
,
pr
W
0
⊥
pr_(W^(_|_)),pr_(W_(0)^(_|_)) \mathrm{pr}_{W^{\perp}}, \mathrm{pr}_{W_{0}^{\perp}} pr W ⊥ , pr W 0 ⊥ として,
(
pr
W
0
⊥
∘
pr
W
⊥
)
(
e
¯
i
)
=
∑
j
=
k
+
1
n
x
i
j
(
W
)
e
¯
j
(
i
=
1
,
…
,
k
)
pr
W
0
⊥
∘
pr
W
⊥
e
¯
i
=
∑
j
=
k
+
1
n
x
i
j
(
W
)
e
¯
j
(
i
=
1
,
…
,
k
)
(pr_(W_(0)^(_|_))@pr_(W^(_|_)))( bar(e)_(i))=sum_(j=k+1)^(n)x_(i)^(j)(W) bar(e)_(j)quad(i=1,dots,k) \left(\operatorname{pr}_{W_{0}^{\perp}} \circ \operatorname{pr}_{W^{\perp}}\right)\left(\bar{e}_{i}\right)=\sum_{j=k+1}^{n} x_{i}^{j}(W) \bar{e}_{j} \quad(i=1, \ldots, k) ( pr W 0 ⊥ ∘ pr W ⊥ ) ( e ¯ i ) = ∑ j = k + 1 n x i j ( W ) e ¯ j ( i = 1 , … , k )
によって定義する. このとき,
D
:=
{
(
U
W
0
,
φ
W
0
)
∣
W
0
∈
G
k
(
V
)
}
D
:=
U
W
0
,
φ
W
0
∣
W
0
∈
G
k
(
V
)
D:={(U_(W_(0)),varphi_(W_(0)))∣W_(0)inG_(k)(V)} \mathcal{D}:=\left\{\left(\mathcal{U}_{W_{0}}, \varphi_{W_{0}}\right) \mid W_{0} \in G_{k}(V)\right\} D := { ( U W 0 , φ W 0 ) ∣ W 0 ∈ G k ( V ) } は,
G
k
(
V
)
G
k
(
V
)
G_(k)(V) G_{k}(V) G k ( V ) の
C
ω
C
ω
C^(omega) C^{\omega} C ω 構造を与え、それゆえ,
(
G
k
(
V
)
,
D
)
G
k
(
V
)
,
D
(G_(k)(V),D) \left(G_{k}(V), \mathcal{D}\right) ( G k ( V ) , D ) は
k
(
n
−
k
)
k
(
n
−
k
)
k(n-k) k(n-k) k ( n − k ) 次元
C
ω
C
ω
C^(omega) C^{\omega} C ω 多様体になる.
(
G
k
(
V
)
,
D
)
G
k
(
V
)
,
D
(G_(k)(V),D) \left(G_{k}(V), \mathcal{D}\right) ( G k ( V ) , D ) は,
k
k
k \boldsymbol{k} k 次元部分ベクトル空間のなす実グラスマン多様体(real Grassmannian manifold) とよばれ, 特に
k
=
1
k
=
1
k=1 k=1 k = 1 のとき, 問 3.1.3 で述べ た
(
n
−
1
)
(
n
−
1
)
(n-1) (n-1) ( n − 1 ) 次元実射影空間と同一視される。
多様体のもう一つの発展的例として, 有向実グラスマン多様体を紹介する.
例 3.1.2
G
~
k
(
V
)
G
~
k
(
V
)
widetilde(G)_(k)(V) \widetilde{G}_{k}(V) G ~ k ( V ) を
n
(
≥
2
)
n
(
≥
2
)
n( >= 2) n(\geq 2) n ( ≥ 2 ) 次元実べクトル空間
V
V
V V V の向き付けられた
k
k
k k k 次元部分ベクトル空間全体のなす空間とする. ここで,
k
k
k k k は 1 以上
n
−
1
n
−
1
n-1 n-1 n − 1 以下のあ る自然数とする。実ベクトル空間の向き付けの定義については, 1.2 節を参照 のこと.
G
~
k
(
V
)
G
~
k
(
V
)
widetilde(G)_(k)(V) \widetilde{G}_{k}(V) G ~ k ( V ) の
C
ω
C
ω
C^(omega) C^{\omega} C ω 構造は次のように定義される.
π
:
G
~
k
(
V
)
→
G
k
(
V
)
π
:
G
~
k
(
V
)
→
G
k
(
V
)
pi: widetilde(G)_(k)(V)rarrG_(k)(V) \pi: \widetilde{G}_{k}(V) \rightarrow G_{k}(V) π : G ~ k ( V ) → G k ( V ) を
π
(
W
,
O
)
:=
W
(
(
W
,
O
)
∈
G
~
k
(
V
)
)
π
(
W
,
O
)
:=
W
(
W
,
O
)
∈
G
~
k
(
V
)
pi(W,O):=W quad((W,O)in widetilde(G)_(k)(V)) \pi(W, O):=W \quad\left((W, O) \in \widetilde{G}_{k}(V)\right) π ( W , O ) := W ( ( W , O ) ∈ G ~ k ( V ) )
によって定義する. ここで,
O
O
O O O は
W
W
W W W の向きを表す.
W
W
W W W の向きは 2 つ存在す ることから, この写像が
2
:
1
2
:
1
2:1 2: 1 2 : 1 の写像であることがわかる. 例 3.1.2の
G
k
(
V
)
G
k
(
V
)
G_(k)(V) G_{k}(V) G k ( V ) の
C
ω
C
ω
C^(omega) C^{\omega} C ω 構造
D
:=
{
(
U
W
0
,
φ
W
0
)
∣
W
0
∈
G
k
(
V
)
}
D
:=
U
W
0
,
φ
W
0
∣
W
0
∈
G
k
(
V
)
D:={(U_(W_(0)),varphi_(W_(0)))∣W_(0)inG_(k)(V)} \mathcal{D}:=\left\{\left(\mathcal{U}_{W_{0}}, \varphi_{W_{0}}\right) \mid W_{0} \in G_{k}(V)\right\} D := { ( U W 0 , φ W 0 ) ∣ W 0 ∈ G k ( V ) }
に対し, 各
U
W
0
U
W
0
U_(W_(0)) \mathcal{U}_{W_{0}} U W 0 は十分小さくとってあるので,
π
−
1
(
U
W
0
)
π
−
1
U
W
0
pi^(-1)(U_(W_(0))) \pi^{-1}\left(\mathcal{U}_{W_{0}}\right) π − 1 ( U W 0 ) は, 2 つの連結成分 からなることが示される。それらを
U
W
0
+
,
U
W
0
−
U
W
0
+
,
U
W
0
−
U_(W_(0))^(+),U_(W_(0))^(-) \mathcal{U}_{W_{0}}^{+}, \mathcal{U}_{W_{0}}^{-} U W 0 + , U W 0 − と表し,
φ
W
0
±
:=
φ
W
0
∘
π
|
U
W
0
±
φ
W
0
±
:=
φ
W
0
∘
π
U
W
0
±
varphi_(W_(0))^(+-):=varphi_(W_(0))@pi|_(U_(W_(0))^(+-)) \varphi_{W_{0}}^{ \pm}:=\left.\varphi_{W_{0}} \circ \pi\right|_{\mathcal{U}_{W_{0}}^{ \pm}} φ W 0 ± := φ W 0 ∘ π | U W 0 ± と おく.このとき,
D
~
:=
{
(
U
W
0
+
,
φ
W
0
+
)
∣
W
0
∈
G
k
(
V
)
}
∪
{
(
U
W
0
−
,
φ
W
0
−
)
∣
W
0
∈
G
k
(
V
)
}
D
~
:=
U
W
0
+
,
φ
W
0
+
∣
W
0
∈
G
k
(
V
)
∪
U
W
0
−
,
φ
W
0
−
∣
W
0
∈
G
k
(
V
)
widetilde(D):={(U_(W_(0))^(+),varphi_(W_(0))^(+))∣W_(0)inG_(k)(V)}uu{(U_(W_(0))^(-),varphi_(W_(0))^(-))∣W_(0)inG_(k)(V)} \widetilde{\mathcal{D}}:=\left\{\left(\mathcal{U}_{W_{0}}^{+}, \varphi_{W_{0}}^{+}\right) \mid W_{0} \in G_{k}(V)\right\} \cup\left\{\left(\mathcal{U}_{W_{0}}^{-}, \varphi_{W_{0}}^{-}\right) \mid W_{0} \in G_{k}(V)\right\} D ~ := { ( U W 0 + , φ W 0 + ) ∣ W 0 ∈ G k ( V ) } ∪ { ( U W 0 − , φ W 0 − ) ∣ W 0 ∈ G k ( V ) }
は,
G
~
k
(
V
)
G
~
k
(
V
)
widetilde(G)_(k)(V) \widetilde{G}_{k}(V) G ~ k ( V ) の
C
ω
C
ω
C^(omega) C^{\omega} C ω 構造を与えることが示される。
(
G
~
k
(
V
)
,
D
~
)
G
~
k
(
V
)
,
D
~
( widetilde(G)_(k)(V),( widetilde(D))) \left(\widetilde{G}_{k}(V), \widetilde{\mathcal{D}}\right) ( G ~ k ( V ) , D ~ ) は, 向き付けら れた
k
k
k \boldsymbol{k} k 次元部分ベクトル空間のなす有向実グラスマン多様体 (oriented real Grassmannian manifold) とよばれる。
次に, 開部分多様体の概念を定義しよう.
(
M
,
D
)
(
M
,
D
)
(M,D) (M, \mathcal{D}) ( M , D ) を
n
n
n n n 次元
C
r
C
r
C^(r) C^{r} C r 多様体とし,
D
=
{
(
U
λ
,
φ
λ
)
∣
λ
∈
Λ
}
D
=
U
λ
,
φ
λ
∣
λ
∈
Λ
D={(U_(lambda),varphi_(lambda))∣lambda in Lambda} \mathcal{D}=\left\{\left(U_{\lambda}, \varphi_{\lambda}\right) \mid \lambda \in \Lambda\right\} D = { ( U λ , φ λ ) ∣ λ ∈ Λ } とする.
W
W
W W W を
M
M
M M M の開集合とする。
W
W
W W W には,Mの 部分位相を与える.
M
M
M M M は第 2 可算公理を満たすハウスドルフ空間なので, 部分位相空間
W
W
W W W も第 2 可算公理を満たすハウスドルフ空間になる. 族
D
|
W
D
W
D|_(W) \left.\mathcal{D}\right|_{W} D | W を
D
|
W
:=
{
(
U
λ
∩
W
,
φ
λ
|
U
λ
∩
W
)
∣
λ
∈
Λ
D
W
:=
U
λ
∩
W
,
φ
λ
U
λ
∩
W
∣
λ
∈
Λ
D|_(W):={(U_(lambda)nn W,varphi_(lambda)|_(U_(lambda)nn W))∣lambda in Lambda:} \left.\mathcal{D}\right|_{W}:=\left\{\left(U_{\lambda} \cap W,\left.\varphi_{\lambda}\right|_{U_{\lambda} \cap W}\right) \mid \lambda \in \Lambda\right. D | W := { ( U λ ∩ W , φ λ | U λ ∩ W ) ∣ λ ∈ Λ s.t.
U
λ
∩
W
≠
∅
}
U
λ
∩
W
≠
∅
{:U_(lambda)nn W!=O/} \left.U_{\lambda} \cap W \neq \emptyset\right\} U λ ∩ W ≠ ∅ } にって定義する.明らかに各
φ
λ
|
W
φ
λ
W
varphi_(lambda)|_(W) \left.\varphi_{\lambda}\right|_{W} φ λ | W は,
R
n
R
n
R^(n) \mathbb{R}^{n} R n のある開集合への同相写像であり, 族
D
|
W
D
W
D|_(W) \left.\mathcal{D}\right|_{W} D | W は
W
W
W W W の
C
r
C
r
C^(r) C^{r} C r 構造を与える. このように,
(
W
,
D
|
W
)
W
,
D
W
(W,D|_(W)) \left(W,\left.\mathcal{D}\right|_{W}\right) ( W , D | W ) は
n
n
n n n 次元
C
r
C
r
C^(r) C^{r} C r 多様体になる. この ような
n
n
n n n 次元
C
r
C
r
C^(r) C^{r} C r 多様体を
(
M
,
D
)
(
M
,
D
)
(M,D) (M, \mathcal{D}) ( M , D ) の開部分多様体 (open submanifold) と いう.
次に, 積多様体の概念を定義しよう.
(
M
,
D
M
)
(
D
M
=
{
(
U
λ
,
φ
λ
)
∣
λ
∈
Λ
}
)
M
,
D
M
D
M
=
U
λ
,
φ
λ
∣
λ
∈
Λ
(M,D_(M))quad(D_(M)={(U_(lambda),varphi_(lambda))∣lambda in Lambda}) \left(M, \mathcal{D}_{M}\right) \quad\left(\mathcal{D}_{M}=\left\{\left(U_{\lambda}, \varphi_{\lambda}\right) \mid \lambda \in \Lambda\right\}\right) ( M , D M ) ( D M = { ( U λ , φ λ ) ∣ λ ∈ Λ } ) を
m
m
m m m 次元
C
r
C
r
C^(r) C^{r} C r 多様体とし,
(
N
,
D
N
)
(
D
N
=
{
(
V
μ
,
ψ
μ
)
∣
μ
∈
M
}
)
N
,
D
N
D
N
=
V
μ
,
ψ
μ
∣
μ
∈
M
(N,D_(N))(D_(N)={(V_(mu),psi_(mu))∣mu inM}) \left(N, \mathcal{D}_{N}\right)\left(\mathcal{D}_{N}=\left\{\left(V_{\mu}, \psi_{\mu}\right) \mid \mu \in \mathcal{M}\right\}\right) ( N , D N ) ( D N = { ( V μ , ψ μ ) ∣ μ ∈ M } ) を
n
n
n n n 次元
C
r
C
r
C^(r) C^{r} C r 多様体とする. 族
D
M
×
D
N
D
M
×
D
N
D_(M)xxD_(N) \mathcal{D}_{M} \times \mathcal{D}_{N} D M × D N を
D
M
×
D
N
:=
{
(
U
λ
×
V
μ
,
φ
λ
×
ψ
μ
)
∣
(
λ
,
μ
)
∈
Λ
×
M
}
D
M
×
D
N
:=
U
λ
×
V
μ
,
φ
λ
×
ψ
μ
∣
(
λ
,
μ
)
∈
Λ
×
M
D_(M)xxD_(N):={(U_(lambda)xxV_(mu),varphi_(lambda)xxpsi_(mu))∣(lambda,mu)in Lambda xxM} \mathcal{D}_{M} \times \mathcal{D}_{N}:=\left\{\left(U_{\lambda} \times V_{\mu}, \varphi_{\lambda} \times \psi_{\mu}\right) \mid(\lambda, \mu) \in \Lambda \times \mathcal{M}\right\} D M × D N := { ( U λ × V μ , φ λ × ψ μ ) ∣ ( λ , μ ) ∈ Λ × M }
によって定義する.ここで
φ
λ
×
ψ
μ
φ
λ
×
ψ
μ
varphi_(lambda)xxpsi_(mu) \varphi_{\lambda} \times \psi_{\mu} φ λ × ψ μ は,
φ
λ
φ
λ
varphi_(lambda) \varphi_{\lambda} φ λ と
ψ
μ
ψ
μ
psi_(mu) \psi_{\mu} ψ μ の積写像, つまり,次式に よって定義される
U
λ
×
V
μ
U
λ
×
V
μ
U_(lambda)xxV_(mu) U_{\lambda} \times V_{\mu} U λ × V μ から
R
m
×
R
n
=
R
m
+
n
へ
R
m
×
R
n
=
R
m
+
n
へ
R^(m)xxR^(n)=R^(m+n)へ \mathbb{R}^{m} \times \mathbb{R}^{n}=\mathbb{R}^{m+n} へ へ R m × R n = R m + n へ の写像を表す:
(
φ
λ
×
ψ
μ
)
(
p
,
q
)
:=
(
φ
λ
(
p
)
,
ψ
μ
(
q
)
)
(
(
p
,
q
)
∈
U
λ
×
V
μ
)
φ
λ
×
ψ
μ
(
p
,
q
)
:=
φ
λ
(
p
)
,
ψ
μ
(
q
)
(
p
,
q
)
∈
U
λ
×
V
μ
(varphi_(lambda)xxpsi_(mu))(p,q):=(varphi_(lambda)(p),psi_(mu)(q))quad((p,q)inU_(lambda)xxV_(mu)) \left(\varphi_{\lambda} \times \psi_{\mu}\right)(p, q):=\left(\varphi_{\lambda}(p), \psi_{\mu}(q)\right) \quad\left((p, q) \in U_{\lambda} \times V_{\mu}\right) ( φ λ × ψ μ ) ( p , q ) := ( φ λ ( p ) , ψ μ ( q ) ) ( ( p , q ) ∈ U λ × V μ )
(図 3.1.2 を参照)。この族
D
M
×
D
N
D
M
×
D
N
D_(M)xxD_(N) \mathcal{D}_{M} \times \mathcal{D}_{N} D M × D N が積位相空間
M
×
N
M
×
N
M xx N M \times N M × N の
C
r
C
r
C^(r) C^{r} C r 構造である ことを示そう. 各
φ
λ
×
ψ
μ
φ
λ
×
ψ
μ
varphi_(lambda)xxpsi_(mu) \varphi_{\lambda} \times \psi_{\mu} φ λ × ψ μ が,
U
λ
×
V
μ
U
λ
×
V
μ
U_(lambda)xxV_(mu) U_{\lambda} \times V_{\mu} U λ × V μ から
R
m
+
n
R
m
+
n
R^(m+n) \mathbb{R}^{m+n} R m + n のある開集合への同相写像であることは, 明らかである。
(
U
λ
1
×
V
μ
1
)
∩
(
U
λ
1
×
V
μ
2
)
≠
∅
U
λ
1
×
V
μ
1
∩
U
λ
1
×
V
μ
2
≠
∅
(U_(lambda_(1))xxV_(mu_(1)))nn(U_(lambda_(1))xxV_(mu_(2)))!=O/ \left(U_{\lambda_{1}} \times V_{\mu_{1}}\right) \cap\left(U_{\lambda_{1}} \times V_{\mu_{2}}\right) \neq \emptyset ( U λ 1 × V μ 1 ) ∩ ( U λ 1 × V μ 2 ) ≠ ∅ の場合,
(
φ
λ
2
×
ψ
μ
2
)
∘
(
φ
λ
1
×
ψ
μ
1
)
−
1
=
(
φ
λ
2
∘
φ
λ
1
−
1
)
×
(
ψ
μ
2
∘
ψ
μ
1
−
1
)
φ
λ
2
×
ψ
μ
2
∘
φ
λ
1
×
ψ
μ
1
−
1
=
φ
λ
2
∘
φ
λ
1
−
1
×
ψ
μ
2
∘
ψ
μ
1
−
1
(varphi_(lambda_(2))xxpsi_(mu_(2)))@(varphi_(lambda_(1))xxpsi_(mu_(1)))^(-1)=(varphi_(lambda_(2))@varphi_(lambda_(1))^(-1))xx(psi_(mu_(2))@psi_(mu_(1))^(-1)) \left(\varphi_{\lambda_{2}} \times \psi_{\mu_{2}}\right) \circ\left(\varphi_{\lambda_{1}} \times \psi_{\mu_{1}}\right)^{-1}=\left(\varphi_{\lambda_{2}} \circ \varphi_{\lambda_{1}}^{-1}\right) \times\left(\psi_{\mu_{2}} \circ \psi_{\mu_{1}}^{-1}\right) ( φ λ 2 × ψ μ 2 ) ∘ ( φ λ 1 × ψ μ 1 ) − 1 = ( φ λ 2 ∘ φ λ 1 − 1 ) × ( ψ μ 2 ∘ ψ μ 1 − 1 )
となり,
φ
λ
2
∘
φ
λ
1
−
1
,
ψ
μ
2
∘
ψ
μ
1
−
1
φ
λ
2
∘
φ
λ
1
−
1
,
ψ
μ
2
∘
ψ
μ
1
−
1
varphi_(lambda_(2))@varphi_(lambda_(1))^(-1),psi_(mu_(2))@psi_(mu_(1))^(-1) \varphi_{\lambda_{2}} \circ \varphi_{\lambda_{1}}^{-1}, \psi_{\mu_{2}} \circ \psi_{\mu_{1}}^{-1} φ λ 2 ∘ φ λ 1 − 1 , ψ μ 2 ∘ ψ μ 1 − 1 が
C
r
C
r
C^(r) C^{r} C r 同型写像であることから,
(
φ
λ
2
×
ψ
μ
2
)
∘
φ
λ
2
×
ψ
μ
2
∘
(varphi_(lambda_(2))xxpsi_(mu_(2)))@ \left(\varphi_{\lambda_{2}} \times \psi_{\mu_{2}}\right) \circ ( φ λ 2 × ψ μ 2 ) ∘
(
φ
λ
1
×
ψ
μ
1
)
−
1
φ
λ
1
×
ψ
μ
1
−
1
(varphi_(lambda_(1))xxpsi_(mu_(1)))^(-1) \left(\varphi_{\lambda_{1}} \times \psi_{\mu_{1}}\right)^{-1} ( φ λ 1 × ψ μ 1 ) − 1 が
C
r
C
r
C^(r) C^{r} C r 同型写像であることが示される.したがって,
D
M
×
D
N
D
M
×
D
N
D_(M)xxD_(N) \mathcal{D}_{M} \times \mathcal{D}_{N} D M × D N
図 3.1.2 積多様体の
C
r
C
r
C^(r) C^{r} C r 構造
は積位相空間
M
×
N
M
×
N
M xx N M \times N M × N の
C
r
C
r
C^(r) C^{r} C r 構造であることがわかる. この
(
m
+
n
)
(
m
+
n
)
(m+n) (m+n) ( m + n ) 次元
C
r
C
r
C^(r) C^{r} C r 多様体
(
M
×
N
,
D
M
×
D
N
)
M
×
N
,
D
M
×
D
N
(M xx N,D_(M)xxD_(N)) \left(M \times N, \mathcal{D}_{M} \times \mathcal{D}_{N}\right) ( M × N , D M × D N ) を
(
M
,
D
M
)
M
,
D
M
(M,D_(M)) \left(M, \mathcal{D}_{M}\right) ( M , D M ) と
(
N
,
D
N
)
N
,
D
N
(N,D_(N)) \left(N, \mathcal{D}_{N}\right) ( N , D N ) の積多様体(product manifold) という.
次に, 複素多様体の概念を定義する。以下,
C
n
と
R
2
n
C
n
と
R
2
n
C^(n)とR^(2n) \mathbb{C}^{n} と \mathbb{R}^{2 n} と C n と R 2 n の自然な 1 対 1 対応
(
z
1
,
…
,
z
n
)
(
∈
C
n
)
⟷
(
x
1
,
y
1
,
…
,
x
n
,
y
n
)
(
∈
R
2
n
)
(
z
i
=
x
i
+
−
1
y
i
(
i
=
1
,
…
,
n
)
)
z
1
,
…
,
z
n
∈
C
n
⟷
x
1
,
y
1
,
…
,
x
n
,
y
n
∈
R
2
n
z
i
=
x
i
+
−
1
y
i
(
i
=
1
,
…
,
n
)
{:[(z_(1),dots,z_(n))(inC^(n))longleftrightarrow(x_(1),y_(1),dots,x_(n),y_(n))(inR^(2n))],[(z_(i)=x_(i)+sqrt(-1)y_(i)(i=1,dots,n))]:} \begin{aligned}
&\left(z_{1}, \ldots, z_{n}\right)\left(\in \mathbb{C}^{n}\right) \longleftrightarrow\left(x_{1}, y_{1}, \ldots, x_{n}, y_{n}\right)\left(\in \mathbb{R}^{2 n}\right) \\
&\left(z_{i}=x_{i}+\sqrt{-1} y_{i}(i=1, \ldots, n)\right)
\end{aligned} ( z 1 , … , z n ) ( ∈ C n ) ⟷ ( x 1 , y 1 , … , x n , y n ) ( ∈ R 2 n ) ( z i = x i + − 1 y i ( i = 1 , … , n ) )
の下,
C
n
C
n
C^(n) \mathbb{C}^{n} C n を
R
2
n
R
2
n
R^(2n) \mathbb{R}^{2 n} R 2 n と同一視することにする。
M
M
M M M を第 2 可算公理を満たすハウ スドルフ空間とし,
M
M
M M M の開集合
U
λ
U
λ
U_(lambda) U_{\lambda} U λ と,
U
λ
U
λ
U_(lambda) U_{\lambda} U λ から
C
n
C
n
C^(n) \mathbb{C}^{n} C n のある開集合への同相写像
φ
λ
φ
λ
varphi_(lambda) \varphi_{\lambda} φ λ の組
(
U
λ
,
φ
λ
)
U
λ
,
φ
λ
(U_(lambda),varphi_(lambda)) \left(U_{\lambda}, \varphi_{\lambda}\right) ( U λ , φ λ ) の族
D
:=
{
(
U
λ
,
φ
λ
)
∣
λ
∈
Λ
}
D
:=
U
λ
,
φ
λ
∣
λ
∈
Λ
D:={(U_(lambda),varphi_(lambda))∣lambda in Lambda} \mathcal{D}:=\left\{\left(U_{\lambda}, \varphi_{\lambda}\right) \mid \lambda \in \Lambda\right\} D := { ( U λ , φ λ ) ∣ λ ∈ Λ } を考える. この族が次の 2 条件を満たすとする:
(i)
{
U
λ
∣
λ
∈
Λ
}
U
λ
∣
λ
∈
Λ
{U_(lambda)∣lambda in Lambda} \left\{U_{\lambda} \mid \lambda \in \Lambda\right\} { U λ ∣ λ ∈ Λ } は
M
M
M M M の開被覆である;
(ii)
U
λ
∩
U
μ
≠
∅
U
λ
∩
U
μ
≠
∅
quadU_(lambda)nnU_(mu)!=O/ \quad U_{\lambda} \cap U_{\mu} \neq \emptyset U λ ∩ U μ ≠ ∅ のとき,
φ
μ
∘
φ
λ
−
1
:
φ
λ
(
U
λ
∩
U
μ
)
→
φ
μ
(
U
λ
∩
U
μ
)
φ
μ
∘
φ
λ
−
1
:
φ
λ
U
λ
∩
U
μ
→
φ
μ
U
λ
∩
U
μ
varphi_(mu)@varphi_(lambda)^(-1):varphi_(lambda)(U_(lambda)nnU_(mu))rarrvarphi_(mu)(U_(lambda)nnU_(mu)) \varphi_{\mu} \circ \varphi_{\lambda}^{-1}: \varphi_{\lambda}\left(U_{\lambda} \cap U_{\mu}\right) \rightarrow \varphi_{\mu}\left(U_{\lambda} \cap U_{\mu}\right) φ μ ∘ φ λ − 1 : φ λ ( U λ ∩ U μ ) → φ μ ( U λ ∩ U μ ) は正則同型写像である.
このとき, 族
D
D
D \mathcal{D} D を
M
M
M M M の複素構造といい, 組
(
M
,
D
)
(
M
,
D
)
(M,D) (M, \mathcal{D}) ( M , D ) を
n
n
n \boldsymbol{n} n 次元複素多様体 (n-dimensional complex manifold)という。定義から容易にわかるよう に,
M
M
M M M は局所コンパクトであるので, 命題3.1.1により,
M
M
M M M はパラコンパク
トになることを注意しておく.特に,1 次元複素多様体は, リーマン面(Riemann surface)とよばれる。また, 各
(
U
λ
,
φ
λ
)
U
λ
,
φ
λ
(U_(lambda),varphi_(lambda)) \left(U_{\lambda}, \varphi_{\lambda}\right) ( U λ , φ λ ) を局所チャートといい,
U
λ
U
λ
U_(lambda) U_{\lambda} U λ ,
φ
λ
φ
λ
varphi_(lambda) \varphi_{\lambda} φ λ を各々, 局所座標近傍, 局所座標という。また,
φ
λ
=
(
z
1
λ
,
…
,
z
n
λ
)
φ
λ
=
z
1
λ
,
…
,
z
n
λ
varphi_(lambda)=(z_(1)^(lambda),dots,z_(n)^(lambda)) \varphi_{\lambda}=\left(z_{1}^{\lambda}, \ldots, z_{n}^{\lambda}\right) φ λ = ( z 1 λ , … , z n λ ) によ って定義される
U
λ
U
λ
U_(lambda) U_{\lambda} U λ 上の関数
z
i
λ
(
i
=
1
,
…
,
n
)
z
i
λ
(
i
=
1
,
…
,
n
)
z_(i)^(lambda)(i=1,dots,n) z_{i}^{\lambda}(i=1, \ldots, n) z i λ ( i = 1 , … , n ) を局所座標関数という. 上述の
C
n
C
n
C^(n) \mathbb{C}^{n} C n と
R
2
n
R
2
n
R^(2n) \mathbb{R}^{2 n} R 2 n の自然な同一視の下, 各
φ
λ
φ
λ
varphi_(lambda) \varphi_{\lambda} φ λ を
R
2
n
R
2
n
R^(2n) \mathbb{R}^{2 n} R 2 n への写像とみなした場合, 複素構造
D
D
D \mathcal{D} D は
C
ω
C
ω
C^(omega) C^{\omega} C ω 構造を与えることが容易に示される. このように,
n
n
n n n 次元複素多様体は,
2
n
2
n
2n 2 n 2 n 次元
C
ω
C
ω
C^(omega) C^{\omega} C ω 多様体とみなされる。上述の開部分多様体, 積多様体 と同様に, 複素多様体に対しても, 開部分多様体, 積複素多様体が定義され る.
問 3.1.4
(
n
+
1
)
(
n
+
1
)
(n+1) (n+1) ( n + 1 ) 次元複素数ベクトル空間
C
n
+
1
C
n
+
1
C^(n+1) \mathbb{C}^{n+1} C n + 1 のピンホール領域
C
n
+
1
∖
{
0
}
C
n
+
1
∖
{
0
}
C^(n+1)\\{0} \mathbb{C}^{n+1} \backslash\{0\} C n + 1 ∖ { 0 } に おける同値関係~を次のように定義する:
(
v
1
,
…
,
v
n
+
1
)
∼
(
w
1
,
…
,
w
n
+
1
)
⟺
⟺
ある複素数
a
(
≠
0
)
に対し
,
(
w
1
,
…
,
w
n
+
1
)
=
a
(
v
1
,
…
,
v
n
+
1
)
.
v
1
,
…
,
v
n
+
1
∼
w
1
,
…
,
w
n
+
1
⟺
⟺
ある複素数
a
(
≠
0
)
に対し
,
w
1
,
…
,
w
n
+
1
=
a
v
1
,
…
,
v
n
+
1
.
{:[(v_(1),dots,v_(n+1))∼(w_(1),dots,w_(n+1))],[ Longleftrightarrow],[ Longleftrightarrow" ある複素数 "a(!=0)" に対し "","quad(w_(1),dots,w_(n+1))=a(v_(1),dots,v_(n+1)).]:} \begin{aligned}
&\left(v_{1}, \ldots, v_{n+1}\right) \sim\left(w_{1}, \ldots, w_{n+1}\right) \\
& \Longleftrightarrow \\
& \Longleftrightarrow \text { ある複素数 } a(\neq 0) \text { に対し }, \quad\left(w_{1}, \ldots, w_{n+1}\right)=a\left(v_{1}, \ldots, v_{n+1}\right) .
\end{aligned} あ る 複 素 数 に 対 し ( v 1 , … , v n + 1 ) ∼ ( w 1 , … , w n + 1 ) ⟺ ⟺ ある複素数 a ( ≠ 0 ) に対し , ( w 1 , … , w n + 1 ) = a ( v 1 , … , v n + 1 ) .
この同値関係による商集合
(
C
n
+
1
∖
{
0
}
)
/
∼
C
n
+
1
∖
{
0
}
/
∼
(C^(n+1)\\{0})//∼ \left(\mathbb{C}^{n+1} \backslash\{\mathbf{0}\}\right) / \sim ( C n + 1 ∖ { 0 } ) / ∼ を
P
n
P
n
P^(n) P^{n} P n と表し,
n
n
n \boldsymbol{n} n 次元複素射影空間 (只-dimensional complex projective space)という. また,
(
v
1
,
…
,
v
n
+
1
)
v
1
,
…
,
v
n
+
1
(v_(1),dots,v_(n+1)) \left(v_{1}, \ldots, v_{n+1}\right) ( v 1 , … , v n + 1 ) の属する同値類を
[
v
1
:
⋯
:
v
n
+
1
]
v
1
:
⋯
:
v
n
+
1
[v_(1):cdots:v_(n+1)] \left[v_{1}: \cdots: v_{n+1}\right] [ v 1 : ⋯ : v n + 1 ] と表す.
C
P
n
C
P
n
CP^(n) \mathbb{C} P^{n} C P n には, ピンホール領域
C
n
+
1
∖
{
0
}
C
n
+
1
∖
{
0
}
C^(n+1)\\{0} \mathbb{C}^{n+1} \backslash\{\mathbf{0}\} C n + 1 ∖ { 0 } の位相(つまり,
C
n
+
1
C
n
+
1
C^(n+1) \mathbb{C}^{n+1} C n + 1 のユークリッド距離位相の部分位相)から誘導される商位相 を与える。この商位相は, 第 2 可算公理を満たすハウスドルフ位相になる. 族
D
D
D \mathcal{D} D を 次のように定義する:
D
:=
{
(
U
i
,
φ
i
)
∣
i
=
1
,
…
,
n
+
1
}
(
U
i
:=
{
[
z
1
:
⋯
:
z
n
+
1
]
∣
z
i
≠
0
}
φ
i
⟺
def
φ
i
(
[
z
1
:
⋯
:
z
n
+
1
]
)
:=
(
z
1
z
i
,
…
,
z
i
−
1
z
i
,
z
i
+
1
z
i
,
…
z
n
+
1
z
i
)
)
D
:=
U
i
,
φ
i
∣
i
=
1
,
…
,
n
+
1
U
i
:=
z
1
:
⋯
:
z
n
+
1
∣
z
i
≠
0
φ
i
⟺
def
φ
i
z
1
:
⋯
:
z
n
+
1
:=
z
1
z
i
,
…
,
z
i
−
1
z
i
,
z
i
+
1
z
i
,
…
z
n
+
1
z
i
{:[D:={(U_(i),varphi_(i))∣i=1,dots,n+1}],[([U_(i),:={[z_(1):cdots:z_(n+1)]∣z_(i)!=0}],[varphi_(i),Longleftrightarrow_(def)varphi_(i)([z_(1):cdots:z_(n+1)]):=((z_(1))/(z_(i)),dots,(z_(i-1))/(z_(i)),(z_(i+1))/(z_(i)),dots(z_(n+1))/(z_(i)))])]:} \begin{gathered}
\mathcal{D}:=\left\{\left(U_{i}, \varphi_{i}\right) \mid i=1, \ldots, n+1\right\} \\
\left(\begin{array}{rl}
U_{i} & :=\left\{\left[z_{1}: \cdots: z_{n+1}\right] \mid z_{i} \neq 0\right\} \\
\varphi_{i} & \underset{\mathrm{def}}{\Longleftrightarrow} \varphi_{i}\left(\left[z_{1}: \cdots: z_{n+1}\right]\right):=\left(\frac{z_{1}}{z_{i}}, \ldots, \frac{z_{i-1}}{z_{i}}, \frac{z_{i+1}}{z_{i}}, \ldots \frac{z_{n+1}}{z_{i}}\right)
\end{array}\right)
\end{gathered} D := { ( U i , φ i ) ∣ i = 1 , … , n + 1 } ( U i := { [ z 1 : ⋯ : z n + 1 ] ∣ z i ≠ 0 } φ i ⟺ def φ i ( [ z 1 : ⋯ : z n + 1 ] ) := ( z 1 z i , … , z i − 1 z i , z i + 1 z i , … z n + 1 z i ) )
この族
D
D
D \mathcal{D} D は,
C
P
n
C
P
n
CP^(n) \mathbb{C} P^{n} C P n の複素構造を与えることを示せ.
注意
(
2
n
+
1
)
(
2
n
+
1
)
(2n+1) (2 n+1) ( 2 n + 1 ) 次元単位球面
S
2
n
+
1
(
1
)
=
{
(
z
1
,
…
,
z
n
+
1
)
∈
C
n
+
1
|
∑
i
=
1
n
+
1
|
z
i
|
2
=
1
}
S
2
n
+
1
(
1
)
=
z
1
,
…
,
z
n
+
1
∈
C
n
+
1
∑
i
=
1
n
+
1
z
i
2
=
1
S^(2n+1)(1)={(z_(1),dots,z_(n+1))inC^(n+1)|sum_(i=1)^(n+1)|z_(i)|^(2)=1} S^{2 n+1}(1)=\left\{\left.\left(z_{1}, \ldots, z_{n+1}\right) \in \mathbb{C}^{n+1}\left|\sum_{i=1}^{n+1}\right| z_{i}\right|^{2}=1\right\} S 2 n + 1 ( 1 ) = { ( z 1 , … , z n + 1 ) ∈ C n + 1 | ∑ i = 1 n + 1 | z i | 2 = 1 }
における同値関係~を次のように定義する:
(
z
1
,
…
,
z
n
+
1
)
∼
(
w
1
,
…
,
w
n
+
1
)
⟺
∃
α
∈
C
(
|
α
|
=
1
)
s.t.
(
w
1
,
…
,
w
n
+
1
)
=
α
(
z
1
,
…
,
z
n
+
1
)
z
1
,
…
,
z
n
+
1
∼
w
1
,
…
,
w
n
+
1
⟺
∃
α
∈
C
(
|
α
|
=
1
)
s.t.
w
1
,
…
,
w
n
+
1
=
α
z
1
,
…
,
z
n
+
1
{:[(z_(1),dots,z_(n+1))∼(w_(1),dots,w_(n+1))],[LongleftrightarrowEE alpha inC(|alpha|=1)" s.t. "(w_(1),dots,w_(n+1))=alpha(z_(1),dots,z_(n+1))]:} \begin{aligned}
& \left(z_{1}, \ldots, z_{n+1}\right) \sim\left(w_{1}, \ldots, w_{n+1}\right) \\
\Longleftrightarrow & \exists \alpha \in \mathbb{C}(|\alpha|=1) \text { s.t. }\left(w_{1}, \ldots, w_{n+1}\right)=\alpha\left(z_{1}, \ldots, z_{n+1}\right)
\end{aligned} ( z 1 , … , z n + 1 ) ∼ ( w 1 , … , w n + 1 ) ⟺ ∃ α ∈ C ( | α | = 1 ) s.t. ( w 1 , … , w n + 1 ) = α ( z 1 , … , z n + 1 )
(
z
1
,
…
,
z
n
+
1
)
z
1
,
…
,
z
n
+
1
(z_(1),dots,z_(n+1)) \left(z_{1}, \ldots, z_{n+1}\right) ( z 1 , … , z n + 1 ) の属する同値類を
[
(
z
1
,
⋯
,
z
n
+
1
)
]
z
1
,
⋯
,
z
n
+
1
[(z_(1),cdots,z_(n+1))] \left[\left(z_{1}, \cdots, z_{n+1}\right)\right] [ ( z 1 , ⋯ , z n + 1 ) ] と表す. このとき,次の 1 対 1
対応により, 商集合
S
2
n
+
1
(
1
)
/
∼
S
2
n
+
1
(
1
)
/
∼
S^(2n+1)(1)//∼ S^{2 n+1}(1) / \sim S 2 n + 1 ( 1 ) / ∼ は, 複素射影空間
C
P
n
C
P
n
CP^(n) \mathbb{C} P^{n} C P n と同一視される:
[
(
z
1
,
…
,
z
n
+
1
)
]
⟷
[
z
1
:
⋯
:
z
n
+
1
]
z
1
,
…
,
z
n
+
1
⟷
z
1
:
⋯
:
z
n
+
1
[(z_(1),dots,z_(n+1))]longleftrightarrow[z_(1):cdots:z_(n+1)] \left[\left(z_{1}, \ldots, z_{n+1}\right)\right] \longleftrightarrow\left[z_{1}: \cdots: z_{n+1}\right] [ ( z 1 , … , z n + 1 ) ] ⟷ [ z 1 : ⋯ : z n + 1 ]
複素多様体の発展的例として, 複素グラスマン多様体を紹介する.
例 3.1.3
G
k
(
V
)
G
k
(
V
)
G_(k)(V) G_{k}(V) G k ( V ) を
n
(
≥
2
)
n
(
≥
2
)
n( >= 2) n(\geq 2) n ( ≥ 2 ) 次元複素ベクトル空間
V
V
V V V の
k
k
k k k 次元部分ベクトル 空間全体のなす空間とする. ここで,
k
k
k k k は 1 以上
n
−
1
n
−
1
n-1 n-1 n − 1 以下のある自然数とす る.
G
k
(
V
)
G
k
(
V
)
G_(k)(V) G_{k}(V) G k ( V ) の第 2 可算公理を満たすハウスドルフ位相と複素構造は, 例 3.1.1 の実グラスマン多様体の場合とほぼ同様に与えられ, これは,
k
(
n
−
k
)
k
(
n
−
k
)
k(n-k) k(n-k) k ( n − k ) 次元複素多様体になる。この複素多様体
G
k
(
V
)
G
k
(
V
)
G_(k)(V) G_{k}(V) G k ( V ) を
k
k
k \boldsymbol{k} k 次元部分ベクトル空間のなす複素グラスマン多様体(complex Grassmannian manifold)といい, 特に
k
=
1
k
=
1
k=1 k=1 k = 1 のとき, 問 3.1.4 で述べた
(
n
−
1
)
(
n
−
1
)
(n-1) (n-1) ( n − 1 ) 次元複素射影空間と同一視される.
3.2
C
r
3.2
C
r
3.2C^(r) 3.2 C^{r} 3.2 C r 写像
この節では,
r
≥
0
r
≥
0
r >= 0 r \geq 0 r ≥ 0 , または
r
=
∞
r
=
∞
r=oo r=\infty r = ∞ とする. この節において,
C
∞
C
∞
C^(oo) C^{\infty} C ∞ 多様体間の写像の
C
r
C
r
C^(r) C^{r} C r 級性(
r
r
r r r 回連続微分可能性)を定義する。
(
M
,
D
M
)
,
(
N
,
D
N
)
M
,
D
M
,
N
,
D
N
(M,D_(M)),(N,D_(N)) \left(M, \mathcal{D}_{M}\right),\left(N, \mathcal{D}_{N}\right) ( M , D M ) , ( N , D N ) を
C
∞
C
∞
C^(oo) C^{\infty} C ∞ 多様体とし,
f
f
f f f を
M
M
M M M から
N
N
N N N への連続写像とする。以下,
D
M
,
D
N
D
M
,
D
N
D_(M),D_(N) \mathcal{D}_{M}, \mathcal{D}_{N} D M , D N は 略すことにする. 点
p
∈
M
p
∈
M
p in M p \in M p ∈ M のまわりの
M
M
M M M の局所チャート
(
U
,
φ
)
(
U
,
φ
)
(U,varphi) (U, \varphi) ( U , φ ) と点
f
(
p
)
f
(
p
)
f(p) f(p) f ( p ) の まわりの
N
N
N N N の局所チャート
(
V
,
ψ
)
(
V
,
ψ
)
(V,psi) (V, \psi) ( V , ψ ) に対し,
ψ
∘
f
∘
φ
−
1
:
φ
(
U
∩
f
−
1
(
V
)
)
→
ψ
∘
f
∘
φ
−
1
:
φ
U
∩
f
−
1
(
V
)
→
psi@f@varphi^(-1):varphi(U nnf^(-1)(V))rarr \psi \circ f \circ \varphi^{-1}: \varphi\left(U \cap f^{-1}(V)\right) \rightarrow ψ ∘ f ∘ φ − 1 : φ ( U ∩ f − 1 ( V ) ) →
ψ
(
f
(
U
)
∩
V
)
ψ
(
f
(
U
)
∩
V
)
psi(f(U)nn V) \psi(f(U) \cap V) ψ ( f ( U ) ∩ V ) が点
φ
(
p
)
φ
(
p
)
varphi(p) \varphi(p) φ ( p ) で
C
r
C
r
C^(r) C^{r} C r 級であるとき,
f
f
f f f は
p
p
p \boldsymbol{p} p で
C
r
C
r
C^(r) \boldsymbol{C}^{r} C r 級である(of class
C
r
C
r
C^(r) C^{r} C r at
p
)
p
{:p) \left.\boldsymbol{p}\right) p ) という.
f
f
f f f が
M
M
M M M の各点で
C
r
C
r
C^(r) C^{r} C r 級であるとき,
f
f
f f f を
C
r
C
r
C^(r) C^{r} C r 写像 (
C
r
−
m
a
p
)
C
r
−
m
a
p
)
C^(r)-map) \boldsymbol{C}^{r}-\mathbf{m a p} ) ) C r − m a p ) という. この定義が,
p
p
p p p のまわりの
M
M
M M M の局所チャートと
f
(
p
)
f
(
p
)
f(p) f(p) f ( p ) の まわりの
N
N
N N N の局所チャートのとり方によらないことを示そう. 点
p
p
p p p のまわり の
M
M
M M M の局所チャート
(
U
^
,
φ
^
)
(
U
^
,
φ
^
)
( hat(U), hat(varphi)) (\hat{U}, \hat{\varphi}) ( U ^ , φ ^ ) と点
f
(
p
)
f
(
p
)
f(p) f(p) f ( p ) のまわりの
N
N
N N N の局所チャート
(
V
^
,
ψ
^
)
(
V
^
,
ψ
^
)
( hat(V), hat(psi)) (\hat{V}, \hat{\psi}) ( V ^ , ψ ^ ) をもう 1 組とる。このとき,
ψ
^
∘
f
∘
φ
^
−
1
=
(
ψ
^
∘
ψ
−
1
)
∘
(
ψ
∘
f
∘
φ
−
1
)
∘
(
φ
∘
φ
^
−
1
)
ψ
^
∘
f
∘
φ
^
−
1
=
ψ
^
∘
ψ
−
1
∘
ψ
∘
f
∘
φ
−
1
∘
φ
∘
φ
^
−
1
hat(psi)@f@ hat(varphi)^(-1)=(( hat(psi))@psi^(-1))@(psi@f@varphi^(-1))@(varphi@ hat(varphi)^(-1)) \hat{\psi} \circ f \circ \hat{\varphi}^{-1}=\left(\hat{\psi} \circ \psi^{-1}\right) \circ\left(\psi \circ f \circ \varphi^{-1}\right) \circ\left(\varphi \circ \hat{\varphi}^{-1}\right) ψ ^ ∘ f ∘ φ ^ − 1 = ( ψ ^ ∘ ψ − 1 ) ∘ ( ψ ∘ f ∘ φ − 1 ) ∘ ( φ ∘ φ ^ − 1 )
(図 3.1.3 を参照)より,
ψ
∘
f
∘
φ
−
1
ψ
∘
f
∘
φ
−
1
psi@f@varphi^(-1) \psi \circ f \circ \varphi^{-1} ψ ∘ f ∘ φ − 1 が点
φ
(
p
)
φ
(
p
)
varphi(p) \varphi(p) φ ( p ) で
C
r
C
r
C^(r) C^{r} C r 級であるならば,
ψ
^
∘
f
∘
ψ
^
∘
f
∘
hat(psi)@f@ \hat{\psi} \circ f \circ ψ ^ ∘ f ∘
φ
^
−
1
φ
^
−
1
hat(varphi)^(-1) \hat{\varphi}^{-1} φ ^ − 1 は点
φ
^
(
p
)
φ
^
(
p
)
hat(varphi)(p) \hat{\varphi}(p) φ ^ ( p ) で
C
r
C
r
C^(r) C^{r} C r 級であることが示される。逆も同様に示されるので,
ψ
ψ
psi \psi ψ ○
f
∘
φ
−
1
f
∘
φ
−
1
f@varphi^(-1) f \circ \varphi^{-1} f ∘ φ − 1 が点
φ
(
p
)
φ
(
p
)
varphi(p) \varphi(p) φ ( p ) で
C
r
C
r
C^(r) C^{r} C r 級であることと,
ψ
^
∘
f
∘
φ
^
−
1
ψ
^
∘
f
∘
φ
^
−
1
hat(psi)@f@ hat(varphi)^(-1) \hat{\psi} \circ f \circ \hat{\varphi}^{-1} ψ ^ ∘ f ∘ φ ^ − 1 が点
φ
^
(
p
)
φ
^
(
p
)
hat(varphi)(p) \hat{\varphi}(p) φ ^ ( p ) で
C
r
C
r
C^(r) C^{r} C r 級であ ることが同値である, つまり,
f
f
f f f の
p
p
p p p での
C
r
C
r
C^(r) C^{r} C r 級性の定義は,
p
p
p p p のまわりの
M
M
M M M の局所チャートと
f
(
p
)
f
(
p
)
f(p) f(p) f ( p ) のまわりの
N
N
N N N の局所チャートのとり方によらないこと
図 3.1.3多様体間の写像の 2 つの局所表示間の関係
が示される.
特に,
M
M
M M M から
R
R
R \mathbb{R} R への
C
r
C
r
C^(r) C^{r} C r 写像を
M
M
M M M 上の
C
r
C
r
C^(r) C^{r} C r 級関数(
C
r
C
r
C^(r) \boldsymbol{C}^{r} C r -function)とい
う.
M
M
M M M 上の
C
r
C
r
C^(r) C^{r} C r 級関数の全体は
C
r
(
M
)
C
r
(
M
)
C^(r)(M) C^{r}(M) C r ( M ) と表される.
M
M
M M M から
N
N
N N N への全単射
f
f
f f f で,
f
,
f
−
1
f
,
f
−
1
f,f^(-1) f, f^{-1} f , f − 1 共に
C
r
C
r
C^(r) C^{r} C r 写像であるようなものを
M
M
M M M から
N
N
N N N への
C
r
C
r
C^(r) C^{r} C r 同型写像
(
C
r
C
r
(C^(r):} \left(C^{r}\right. ( C r -isomorphism),または,
C
r
C
r
C^(r) C^{r} C r 微分同相写像
(
C
r
C
r
(C^(r):} \left(C^{r}\right. ( C r -diffeomorphism) といい,
M
M
M M M から
N
N
N N N への
C
r
C
r
C^(r) C^{r} C r 同型写像が存在するとき,
M
M
M M M と
N
N
N N N は
C
r
C
r
C^(r) C^{r} C r 同型
(
C
r
C
r
(C^(r):} \left(C^{r}\right. ( C r -isomorphic) である, または,
C
r
C
r
C^(r) C^{r} C r 微分同相
(
C
r
C
r
(C^(r):} \left(C^{r}\right. ( C r -diffeomorphic) であるという. 2 つの
C
r
C
r
C^(r) C^{r} C r 多様体が
C
r
C
r
C^(r) C^{r} C r 同型であることは, それらが
C
r
C
r
C^(r) C^{r} C r 多様体として本質的に同じものであることを意味することに注意する.
問 3.2.1
S
1
(
1
)
:=
{
(
x
1
,
x
2
)
∈
R
2
∣
x
1
2
+
x
2
2
=
1
}
S
1
(
1
)
:=
x
1
,
x
2
∈
R
2
∣
x
1
2
+
x
2
2
=
1
S^(1)(1):={(x_(1),x_(2))inR^(2)∣x_(1)^(2)+x_(2)^(2)=1} S^{1}(1):=\left\{\left(x_{1}, x_{2}\right) \in \mathbb{R}^{2} \mid x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=1\right\} S 1 ( 1 ) := { ( x 1 , x 2 ) ∈ R 2 ∣ x 1 2 + x 2 2 = 1 } とし,
D
=
{
(
U
,
φ
)
,
(
V
,
ψ
)
}
D
=
{
(
U
,
φ
)
,
(
V
,
ψ
)
}
D={(U,varphi),(V,psi)} \mathcal{D}=\{(U, \varphi),(V, \psi)\} D = { ( U , φ ) , ( V , ψ ) } を 次のように定める:
U
:=
{
(
x
1
,
x
2
)
∈
S
1
(
1
)
∣
x
1
>
0
}
,
φ
:
U
→
R
⟺
def
φ
(
x
1
,
x
2
)
=
x
2
,
V
:=
S
1
(
1
)
∖
{
(
1
,
0
)
}
,
ψ
:
V
→
R
⟺
def
ψ
(
cos
θ
,
sin
θ
)
=
θ
(
0
<
θ
<
2
π
)
U
:=
x
1
,
x
2
∈
S
1
(
1
)
∣
x
1
>
0
,
φ
:
U
→
R
⟺
def
φ
x
1
,
x
2
=
x
2
,
V
:=
S
1
(
1
)
∖
{
(
1
,
0
)
}
,
ψ
:
V
→
R
⟺
def
ψ
(
cos
θ
,
sin
θ
)
=
θ
(
0
<
θ
<
2
π
)
{:[U:={(x_(1),x_(2))inS^(1)(1)∣x_(1) > 0}","quad varphi:U rarrRLongleftrightarrow_(def)varphi(x_(1),x_(2))=x_(2)","],[V:=S^(1)(1)\\{(1","0)}","quad psi:V rarrRLongleftrightarrow_(def)psi(cos theta","sin theta)=theta(0 < theta < 2pi)]:} \begin{aligned}
& U:=\left\{\left(x_{1}, x_{2}\right) \in S^{1}(1) \mid x_{1}>0\right\}, \quad \varphi: U \rightarrow \mathbb{R} \underset{\mathrm{def}}{\Longleftrightarrow} \varphi\left(x_{1}, x_{2}\right)=x_{2}, \\
& V:=S^{1}(1) \backslash\{(1,0)\}, \quad \psi: V \rightarrow \mathbb{R} \underset{\mathrm{def}}{\Longleftrightarrow} \psi(\cos \theta, \sin \theta)=\theta(0<\theta<2 \pi)
\end{aligned} U := { ( x 1 , x 2 ) ∈ S 1 ( 1 ) ∣ x 1 > 0 } , φ : U → R ⟺ def φ ( x 1 , x 2 ) = x 2 , V := S 1 ( 1 ) ∖ { ( 1 , 0 ) } , ψ : V → R ⟺ def ψ ( cos θ , sin θ ) = θ ( 0 < θ < 2 π )
(i)
(
S
1
(
1
)
,
D
)
S
1
(
1
)
,
D
quad(S^(1)(1),D) \quad\left(S^{1}(1), \mathcal{D}\right) ( S 1 ( 1 ) , D ) は, 1 次元
C
ω
C
ω
C^(omega) C^{\omega} C ω 多様体であることを示せ.
(ii) 写像
f
:
(
S
1
(
1
)
,
D
)
→
(
S
1
(
1
)
,
D
)
f
:
S
1
(
1
)
,
D
→
S
1
(
1
)
,
D
f:(S^(1)(1),D)rarr(S^(1)(1),D) f:\left(S^{1}(1), \mathcal{D}\right) \rightarrow\left(S^{1}(1), \mathcal{D}\right) f : ( S 1 ( 1 ) , D ) → ( S 1 ( 1 ) , D ) を
f
(
cos
θ
,
sin
θ
)
:=
(
cos
2
θ
,
sin
2
θ
)
(
0
≤
θ
<
2
π
)
f
(
cos
θ
,
sin
θ
)
:=
(
cos
2
θ
,
sin
2
θ
)
(
0
≤
θ
<
2
π
)
f(cos theta,sin theta):=(cos 2theta,sin 2theta)quad(0 <= theta < 2pi) f(\cos \theta, \sin \theta):=(\cos 2 \theta, \sin 2 \theta) \quad(0 \leq \theta<2 \pi) f ( cos θ , sin θ ) := ( cos 2 θ , sin 2 θ ) ( 0 ≤ θ < 2 π )
によって定義する.
f
f
f f f が
C
ω
C
ω
C^(omega) C^{\omega} C ω 写像であることを示せ.
3.3 接ベクトル
この節では
r
≥
0
r
≥
0
r >= 0 r \geq 0 r ≥ 0 とする. この節において,
C
∞
C
∞
C^(oo) C^{\infty} C ∞ 多様体の各点における接べ クトル,および接空間の概念を定義する。開区間
(
a
,
b
)
(
a
,
b
)
(a,b) (a, b) ( a , b ) (または閉区間
[
a
,
b
]
[
a
,
b
]
[a,b] [a, b] [ a , b ] ) から
C
∞
C
∞
C^(oo) C^{\infty} C ∞ 多様体
M
M
M M M への
C
r
C
r
C^(r) C^{r} C r 写像を,
M
M
M M M 上の
C
r
C
r
C^(r) C^{r} C r 曲線という. ここで, 閉区間
[
a
,
b
]
[
a
,
b
]
[a,b] [a, b] [ a , b ] から
M
M
M M M への
C
r
C
r
C^(r) C^{r} C r 写像とは,
[
a
,
b
]
[
a
,
b
]
[a,b] [a, b] [ a , b ] を含むある開区間
(
a
−
ε
,
b
+
ε
)
(
a
−
ε
,
b
+
ε
)
(a-epsi,b+epsi) (a-\varepsilon, b+\varepsilon) ( a − ε , b + ε ) か ら
M
M
M M M への
C
r
C
r
C^(r) C^{r} C r 写像の
[
a
,
b
]
[
a
,
b
]
[a,b] [a, b] [ a , b ] への制限を意味する。
C
:=
{
(
c
,
t
0
)
∣
c
C
:=
c
,
t
0
∣
c
C:={(c,t_(0))∣c:} \mathcal{C}:=\left\{\left(c, t_{0}\right) \mid c\right. C := { ( c , t 0 ) ∣ c は
M
M
M M M 上の
C
r
C
r
C^(r) C^{r} C r 曲線,
t
0
t
0
t_(0) t_{0} t 0 は
c
c
c c c の定義域内の 1 点
}
}
} \} } にける同値関係〜を次のように定義 する:
(
c
1
,
t
1
)
∼
(
c
2
,
t
2
)
⟺
def
{
∙
c
1
(
t
1
)
=
c
2
(
t
2
)
;
∙
c
1
(
t
1
)
=
c
2
(
t
2
)
のまわりの局所チャート
(
U
,
φ
=
(
x
1
,
…
,
x
n
)
)
に対し
d
(
φ
∘
c
1
)
d
t
|
t
=
t
1
=
d
(
φ
∘
c
2
)
d
t
|
t
=
t
2
c
1
,
t
1
∼
c
2
,
t
2
⟺
def
∙
c
1
t
1
=
c
2
t
2
;
∙
c
1
t
1
=
c
2
t
2
のまわりの局所チャート
U
,
φ
=
x
1
,
…
,
x
n
に対し
d
φ
∘
c
1
d
t
t
=
t
1
=
d
φ
∘
c
2
d
t
t
=
t
2
(c_(1),t_(1))∼(c_(2),t_(2))Longleftrightarrow _(def){[∙c_(1)(t_(1))=c_(2)(t_(2));],[∙c_(1)(t_(1))=c_(2)(t_(2))" のまわりの局所チャート "],[(U,varphi=(x_(1),dots,x_(n)))" に対し "],[(d(varphi@c_(1)))/(dt)|_(t=t_(1))=(d(varphi@c_(2)))/(dt)|_(t=t_(2))]:} \left(c_{1}, t_{1}\right) \sim\left(c_{2}, t_{2}\right) \underset{\operatorname{def}}{\Longleftrightarrow}\left\{\begin{array}{c}
\bullet c_{1}\left(t_{1}\right)=c_{2}\left(t_{2}\right) ; \\
\bullet c_{1}\left(t_{1}\right)=c_{2}\left(t_{2}\right) \text { のまわりの局所チャート } \\
\left(U, \varphi=\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)\right) \text { に対し } \\
\left.\frac{d\left(\varphi \circ c_{1}\right)}{d t}\right|_{t=t_{1}}=\left.\frac{d\left(\varphi \circ c_{2}\right)}{d t}\right|_{t=t_{2}}
\end{array}\right. の ま わ り の 局 所 チ ャ ー ト に 対 し ( c 1 , t 1 ) ∼ ( c 2 , t 2 ) ⟺ def { ∙ c 1 ( t 1 ) = c 2 ( t 2 ) ; ∙ c 1 ( t 1 ) = c 2 ( t 2 ) のまわりの局所チャート ( U , φ = ( x 1 , … , x n ) ) に対し d ( φ ∘ c 1 ) d t | t = t 1 = d ( φ ∘ c 2 ) d t | t = t 2
ここで,
d
(
φ
∘
c
i
)
d
t
|
t
=
t
i
(
i
=
1
,
2
)
d
φ
∘
c
i
d
t
t
=
t
i
(
i
=
1
,
2
)
quad(d(varphi@c_(i)))/(dt)|_(t=t_(i))(i=1,2) \left.\quad \frac{d\left(\varphi \circ c_{i}\right)}{d t}\right|_{t=t_{i}}(i=1,2) d ( φ ∘ c i ) d t | t = t i ( i = 1 , 2 ) は
φ
∘
c
i
φ
∘
c
i
varphi@c_(i) \varphi \circ c_{i} φ ∘ c i を
R
n
R
n
R^(n) \mathbb{R}^{n} R n に値をとるベクトル値関数 とみて微分したもの, つまり,
(
d
(
x
1
∘
φ
∘
c
i
)
d
t
|
t
=
t
i
,
…
,
d
(
x
n
∘
φ
∘
c
i
)
d
t
|
t
=
t
i
)
d
x
1
∘
φ
∘
c
i
d
t
t
=
t
i
,
…
,
d
x
n
∘
φ
∘
c
i
d
t
t
=
t
i
((d(x_(1)@varphi@c_(i)))/(dt)|_(t=t_(i)),dots,(d(x_(n)@varphi@c_(i)))/(dt)|_(t=t_(i))) \left(\left.\frac{d\left(x_{1} \circ \varphi \circ c_{i}\right)}{d t}\right|_{t=t_{i}}, \ldots,\left.\frac{d\left(x_{n} \circ \varphi \circ c_{i}\right)}{d t}\right|_{t=t_{i}}\right) ( d ( x 1 ∘ φ ∘ c i ) d t | t = t i , … , d ( x n ∘ φ ∘ c i ) d t | t = t i )
を表す. この同値関係が well-defined であること, つまり,
p
p
p p p のまわりの局所 チャート
(
U
,
φ
)
(
U
,
φ
)
(U,varphi) (U, \varphi) ( U , φ ) のとり方によらないことを示そう。そのためには, もう 1 ,
p
:=
c
1
(
t
1
)
=
c
2
(
t
2
)
p
:=
c
1
t
1
=
c
2
t
2
p:=c_(1)(t_(1))=c_(2)(t_(2)) p:=c_{1}\left(t_{1}\right)=c_{2}\left(t_{2}\right) p := c 1 ( t 1 ) = c 2 ( t 2 ) のまわりの局所チャート
(
V
,
ψ
=
(
y
1
,
…
,
y
n
)
)
V
,
ψ
=
y
1
,
…
,
y
n
(V,psi=(y_(1),dots,y_(n))) \left(V, \psi=\left(y_{1}, \ldots, y_{n}\right)\right) ( V , ψ = ( y 1 , … , y n ) ) をとり,
d
(
φ
∘
c
1
)
d
t
|
t
=
t
1
=
d
(
φ
∘
c
2
)
d
t
|
t
=
t
2
d
φ
∘
c
1
d
t
t
=
t
1
=
d
φ
∘
c
2
d
t
t
=
t
2
(d(varphi@c_(1)))/(dt)|_(t=t_(1))=(d(varphi@c_(2)))/(dt)|_(t=t_(2)) \left.\frac{d\left(\varphi \circ c_{1}\right)}{d t}\right|_{t=t_{1}}=\left.\frac{d\left(\varphi \circ c_{2}\right)}{d t}\right|_{t=t_{2}} d ( φ ∘ c 1 ) d t | t = t 1 = d ( φ ∘ c 2 ) d t | t = t 2 と
d
(
ψ
∘
c
1
)
d
t
|
t
=
t
1
=
d
(
ψ
∘
c
2
)
d
t
|
t
=
t
2
d
ψ
∘
c
1
d
t
t
=
t
1
=
d
ψ
∘
c
2
d
t
t
=
t
2
(d(psi@c_(1)))/(dt)|_(t=t_(1))=(d(psi@c_(2)))/(dt)|_(t=t_(2)) \left.\frac{d\left(\psi \circ c_{1}\right)}{d t}\right|_{t=t_{1}}=\left.\frac{d\left(\psi \circ c_{2}\right)}{d t}\right|_{t=t_{2}} d ( ψ ∘ c 1 ) d t | t = t 1 = d ( ψ ∘ c 2 ) d t | t = t 2 が同値で あることを示せばよい.
d
(
φ
∘
c
1
)
d
t
|
t
=
t
1
=
d
(
φ
∘
c
2
)
d
t
|
t
=
t
2
d
φ
∘
c
1
d
t
t
=
t
1
=
d
φ
∘
c
2
d
t
t
=
t
2
(d(varphi@c_(1)))/(dt)|_(t=t_(1))=(d(varphi@c_(2)))/(dt)|_(t=t_(2)) \left.\frac{d\left(\varphi \circ c_{1}\right)}{d t}\right|_{t=t_{1}}=\left.\frac{d\left(\varphi \circ c_{2}\right)}{d t}\right|_{t=t_{2}} d ( φ ∘ c 1 ) d t | t = t 1 = d ( φ ∘ c 2 ) d t | t = t 2 であるとする. この とき,
図 3.3.1接ベクトル
d
(
y
i
∘
c
1
)
d
t
|
t
=
t
1
=
d
d
t
|
t
=
t
1
(
y
i
∘
φ
−
1
)
(
(
x
1
∘
c
1
)
(
t
)
,
…
,
(
x
n
∘
c
1
)
(
t
)
)
=
∑
j
=
1
n
(
∂
y
i
∘
φ
−
1
∂
x
j
)
φ
(
p
)
d
(
x
j
∘
c
1
)
d
t
|
t
=
t
1
=
∑
j
=
1
n
(
∂
y
i
∘
φ
−
1
∂
x
j
)
φ
(
p
)
d
(
x
j
∘
c
2
)
d
t
|
t
=
t
2
=
d
(
y
i
∘
c
2
)
d
t
|
t
=
t
2
d
y
i
∘
c
1
d
t
t
=
t
1
=
d
d
t
t
=
t
1
y
i
∘
φ
−
1
x
1
∘
c
1
(
t
)
,
…
,
x
n
∘
c
1
(
t
)
=
∑
j
=
1
n
∂
y
i
∘
φ
−
1
∂
x
j
φ
(
p
)
d
x
j
∘
c
1
d
t
t
=
t
1
=
∑
j
=
1
n
∂
y
i
∘
φ
−
1
∂
x
j
φ
(
p
)
d
x
j
∘
c
2
d
t
t
=
t
2
=
d
y
i
∘
c
2
d
t
t
=
t
2
{:[(d(y_(i)@c_(1)))/(dt)|_(t=t_(1))=(d)/(dt)|_(t=t_(1))(y_(i)@varphi^(-1))((x_(1)@c_(1))(t),dots,(x_(n)@c_(1))(t))],[=sum_(j=1)^(n)((dely_(i)@varphi^(-1))/(delx_(j)))_(varphi(p))(d(x_(j)@c_(1)))/(dt)|_(t=t_(1))],[=sum_(j=1)^(n)((dely_(i)@varphi^(-1))/(delx_(j)))_(varphi(p))(d(x_(j)@c_(2)))/(dt)|_(t=t_(2))=(d(y_(i)@c_(2)))/(dt)|_(t=t_(2))]:} \begin{aligned}
\left.\frac{d\left(y_{i} \circ c_{1}\right)}{d t}\right|_{t=t_{1}} & =\left.\frac{d}{d t}\right|_{t=t_{1}}\left(y_{i} \circ \varphi^{-1}\right)\left(\left(x_{1} \circ c_{1}\right)(t), \ldots,\left(x_{n} \circ c_{1}\right)(t)\right) \\
& =\left.\sum_{j=1}^{n}\left(\frac{\partial y_{i} \circ \varphi^{-1}}{\partial x_{j}}\right)_{\varphi(p)} \frac{d\left(x_{j} \circ c_{1}\right)}{d t}\right|_{t=t_{1}} \\
& =\left.\sum_{j=1}^{n}\left(\frac{\partial y_{i} \circ \varphi^{-1}}{\partial x_{j}}\right)_{\varphi(p)} \frac{d\left(x_{j} \circ c_{2}\right)}{d t}\right|_{t=t_{2}}=\left.\frac{d\left(y_{i} \circ c_{2}\right)}{d t}\right|_{t=t_{2}}
\end{aligned} d ( y i ∘ c 1 ) d t | t = t 1 = d d t | t = t 1 ( y i ∘ φ − 1 ) ( ( x 1 ∘ c 1 ) ( t ) , … , ( x n ∘ c 1 ) ( t ) ) = ∑ j = 1 n ( ∂ y i ∘ φ − 1 ∂ x j ) φ ( p ) d ( x j ∘ c 1 ) d t | t = t 1 = ∑ j = 1 n ( ∂ y i ∘ φ − 1 ∂ x j ) φ ( p ) d ( x j ∘ c 2 ) d t | t = t 2 = d ( y i ∘ c 2 ) d t | t = t 2
それゆえ,
d
(
ψ
∘
c
1
)
d
t
|
t
=
t
1
=
d
(
ψ
∘
c
2
)
d
t
|
t
=
t
2
d
ψ
∘
c
1
d
t
t
=
t
1
=
d
ψ
∘
c
2
d
t
t
=
t
2
quad(d(psi@c_(1)))/(dt)|_(t=t_(1))=(d(psi@c_(2)))/(dt)|_(t=t_(2)) \left.\quad \frac{d\left(\psi \circ c_{1}\right)}{d t}\right|_{t=t_{1}}=\left.\frac{d\left(\psi \circ c_{2}\right)}{d t}\right|_{t=t_{2}} d ( ψ ∘ c 1 ) d t | t = t 1 = d ( ψ ∘ c 2 ) d t | t = t 2 が示される. 逆も同様に示される. このように, 上述の同値関係はwell-definedである. 〜に関する
(
c
,
t
0
)
c
,
t
0
(c,t_(0)) \left(c, t_{0}\right) ( c , t 0 ) の属 する同値類を
c
′
(
t
0
)
,
d
c
d
t
|
t
=
t
0
c
′
t
0
,
d
c
d
t
t
=
t
0
c^(')(t_(0)),(dc)/(dt)|_(t=t_(0)) c^{\prime}\left(t_{0}\right),\left.\frac{d c}{d t}\right|_{t=t_{0}} c ′ ( t 0 ) , d c d t | t = t 0 , または
d
d
t
|
t
=
t
0
c
(
t
)
d
d
t
t
=
t
0
c
(
t
)
(d)/(dt)|_(t=t_(0))c(t) \left.\frac{d}{d t}\right|_{t=t_{0}} c(t) d d t | t = t 0 c ( t ) と表し,
c
c
c c c の
t
0
t
0
t_(0) t_{0} t 0 における接 ベクトル, または, 速度ベクトルという(図 3.3.1を参照).
次に, 接空間を定義する.
T
p
M
:=
{
c
′
(
t
0
)
∣
(
c
,
t
0
)
∈
C
T
p
M
:=
c
′
t
0
∣
c
,
t
0
∈
C
T_(p)M:={c^(')(t_(0))∣(c,t_(0))inC:} T_{p} M:=\left\{c^{\prime}\left(t_{0}\right) \mid\left(c, t_{0}\right) \in \mathcal{C}\right. T p M := { c ′ ( t 0 ) ∣ ( c , t 0 ) ∈ C s.t.
c
(
t
0
)
=
p
}
c
t
0
=
p
{:c(t_(0))=p} \left.c\left(t_{0}\right)=p\right\} c ( t 0 ) = p } とお く.
T
p
M
T
p
M
T_(p)M T_{p} M T p M における和,実数倍を次のように定義する。
(
U
,
φ
=
(
x
1
,
…
,
x
n
)
)
U
,
φ
=
x
1
,
…
,
x
n
(U,varphi=(x_(1),dots,x_(n))) \left(U, \varphi=\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)\right) ( U , φ = ( x 1 , … , x n ) ) を
p
p
p p p のまわりの局所チャートとする.
v
1
,
v
2
∈
T
p
M
v
1
,
v
2
∈
T
p
M
v_(1),v_(2)inT_(p)M \boldsymbol{v}_{1}, \boldsymbol{v}_{2} \in T_{p} M v 1 , v 2 ∈ T p M に対し, 和
v
1
+
v
2
v
1
+
v
2
v_(1)+v_(2) \boldsymbol{v}_{1}+\boldsymbol{v}_{2} v 1 + v 2 を
v
i
=
c
i
′
(
0
)
(
i
=
1
,
2
)
v
i
=
c
i
′
(
0
)
(
i
=
1
,
2
)
v_(i)=c_(i)^(')(0)(i=1,2) \boldsymbol{v}_{i}=c_{i}^{\prime}(0)(i=1,2) v i = c i ′ ( 0 ) ( i = 1 , 2 ) として,
v
1
+
v
2
:=
c
¯
′
(
0
)
(
c
¯
(
t
)
:=
φ
−
1
(
∑
i
=
1
2
(
φ
(
c
i
(
t
)
)
−
φ
(
p
)
)
+
φ
(
p
)
)
)
v
1
+
v
2
:=
c
¯
′
(
0
)
c
¯
(
t
)
:=
φ
−
1
∑
i
=
1
2
φ
c
i
(
t
)
−
φ
(
p
)
+
φ
(
p
)
v_(1)+v_(2):= bar(c)^(')(0)quad(( bar(c))(t):=varphi^(-1)(sum_(i=1)^(2)(varphi(c_(i)(t))-varphi(p))+varphi(p))) \boldsymbol{v}_{1}+\boldsymbol{v}_{2}:=\bar{c}^{\prime}(0) \quad\left(\bar{c}(t):=\varphi^{-1}\left(\sum_{i=1}^{2}\left(\varphi\left(c_{i}(t)\right)-\varphi(p)\right)+\varphi(p)\right)\right) v 1 + v 2 := c ¯ ′ ( 0 ) ( c ¯ ( t ) := φ − 1 ( ∑ i = 1 2 ( φ ( c i ( t ) ) − φ ( p ) ) + φ ( p ) ) )
により定義する。また,
v
∈
T
p
M
v
∈
T
p
M
v inT_(p)M \boldsymbol{v} \in T_{p} M v ∈ T p M と
a
∈
R
a
∈
R
a inR a \in \mathbb{R} a ∈ R に対し,
a
v
a
v
av a \boldsymbol{v} a v を
v
=
c
′
(
0
)
v
=
c
′
(
0
)
v=c^(')(0) \boldsymbol{v}=c^{\prime}(0) v = c ′ ( 0 ) として,
a
v
:=
c
^
′
(
0
)
(
c
^
(
t
)
:=
φ
−
1
(
a
(
φ
(
c
(
t
)
)
−
φ
(
p
)
)
+
φ
(
p
)
)
a
v
:=
c
^
′
(
0
)
c
^
(
t
)
:=
φ
−
1
(
a
(
φ
(
c
(
t
)
)
−
φ
(
p
)
)
+
φ
(
p
)
)
av:= hat(c)^(')(0)quad(( hat(c))(t):=varphi^(-1)(a(varphi(c(t))-varphi(p))+varphi(p)):} a \boldsymbol{v}:=\hat{c}^{\prime}(0) \quad\left(\hat{c}(t):=\varphi^{-1}(a(\varphi(c(t))-\varphi(p))+\varphi(p))\right. a v := c ^ ′ ( 0 ) ( c ^ ( t ) := φ − 1 ( a ( φ ( c ( t ) ) − φ ( p ) ) + φ ( p ) )
により定義する。この実数倍と和は well-defined, つまり,
(
U
,
φ
)
(
U
,
φ
)
(U,varphi) (U, \varphi) ( U , φ ) のとり方に よらずに定まることを示そう. そのために, もう 1 つ,
p
p
p p p のまわりの局所チャ ート
(
V
,
ψ
=
(
y
1
,
…
,
y
n
)
)
V
,
ψ
=
y
1
,
…
,
y
n
(V,psi=(y_(1),dots,y_(n))) \left(V, \psi=\left(y_{1}, \ldots, y_{n}\right)\right) ( V , ψ = ( y 1 , … , y n ) ) をとる。
c
φ
(
t
)
:=
φ
−
1
(
∑
i
=
1
2
(
φ
(
c
i
(
t
)
)
−
φ
(
p
)
)
+
φ
(
p
)
)
c
ψ
(
t
)
:=
ψ
−
1
(
∑
i
=
1
2
(
ψ
(
c
i
(
t
)
)
−
ψ
(
p
)
)
+
ψ
(
p
)
)
c
φ
(
t
)
:=
φ
−
1
∑
i
=
1
2
φ
c
i
(
t
)
−
φ
(
p
)
+
φ
(
p
)
c
ψ
(
t
)
:=
ψ
−
1
∑
i
=
1
2
ψ
c
i
(
t
)
−
ψ
(
p
)
+
ψ
(
p
)
{:[c_(varphi)(t):=varphi^(-1)(sum_(i=1)^(2)(varphi(c_(i)(t))-varphi(p))+varphi(p))],[c_(psi)(t):=psi^(-1)(sum_(i=1)^(2)(psi(c_(i)(t))-psi(p))+psi(p))]:} \begin{aligned}
& c_{\varphi}(t):=\varphi^{-1}\left(\sum_{i=1}^{2}\left(\varphi\left(c_{i}(t)\right)-\varphi(p)\right)+\varphi(p)\right) \\
& c_{\psi}(t):=\psi^{-1}\left(\sum_{i=1}^{2}\left(\psi\left(c_{i}(t)\right)-\psi(p)\right)+\psi(p)\right)
\end{aligned} c φ ( t ) := φ − 1 ( ∑ i = 1 2 ( φ ( c i ( t ) ) − φ ( p ) ) + φ ( p ) ) c ψ ( t ) := ψ − 1 ( ∑ i = 1 2 ( ψ ( c i ( t ) ) − ψ ( p ) ) + ψ ( p ) )
として,
c
φ
′
(
0
)
=
c
ψ
′
(
0
)
c
φ
′
(
0
)
=
c
ψ
′
(
0
)
c_(varphi)^(')(0)=c_(psi)^(')(0) c_{\varphi}^{\prime}(0)=c_{\psi}^{\prime}(0) c φ ′ ( 0 ) = c ψ ′ ( 0 ) を示さなければならない.
d
(
x
i
∘
c
φ
)
d
t
|
t
=
0
=
d
d
t
|
t
=
0
(
∑
j
=
1
2
(
x
i
(
c
j
(
t
)
)
−
x
i
(
p
)
)
+
x
i
(
p
)
)
=
∑
j
=
1
2
d
(
x
i
∘
c
j
)
d
t
|
t
=
0
d
x
i
∘
c
φ
d
t
t
=
0
=
d
d
t
t
=
0
∑
j
=
1
2
x
i
c
j
(
t
)
−
x
i
(
p
)
+
x
i
(
p
)
=
∑
j
=
1
2
d
x
i
∘
c
j
d
t
t
=
0
{:[(d(x_(i)@c_(varphi)))/(dt)|_(t=0)=(d)/(dt)|_(t=0)(sum_(j=1)^(2)(x_(i)(c_(j)(t))-x_(i)(p))+x_(i)(p))],[=sum_(j=1)^(2)(d(x_(i)@c_(j)))/(dt)|_(t=0)]:} \begin{aligned}
\left.\frac{d\left(x_{i} \circ c_{\varphi}\right)}{d t}\right|_{t=0} & =\left.\frac{d}{d t}\right|_{t=0}\left(\sum_{j=1}^{2}\left(x_{i}\left(c_{j}(t)\right)-x_{i}(p)\right)+x_{i}(p)\right) \\
& =\left.\sum_{j=1}^{2} \frac{d\left(x_{i} \circ c_{j}\right)}{d t}\right|_{t=0}
\end{aligned} d ( x i ∘ c φ ) d t | t = 0 = d d t | t = 0 ( ∑ j = 1 2 ( x i ( c j ( t ) ) − x i ( p ) ) + x i ( p ) ) = ∑ j = 1 2 d ( x i ∘ c j ) d t | t = 0
および,
d
(
x
i
∘
c
ψ
)
d
t
|
t
=
0
=
d
d
t
|
t
=
0
(
(
x
i
∘
ψ
−
1
)
(
∑
j
=
1
2
(
y
1
(
c
j
(
t
)
)
−
y
1
(
p
)
)
+
y
1
(
p
)
,
…
…
,
∑
j
=
1
2
(
y
n
(
c
j
(
t
)
)
−
y
n
(
p
)
)
+
y
n
(
p
)
)
)
=
∑
k
=
1
n
(
∂
(
x
i
∘
ψ
−
1
)
∂
y
k
)
ψ
(
p
)
d
d
t
|
t
=
0
(
∑
j
=
1
2
(
y
k
(
c
j
(
t
)
)
−
y
k
(
p
)
)
+
y
k
(
p
)
)
d
x
i
∘
c
ψ
d
t
t
=
0
=
d
d
t
t
=
0
(
x
i
∘
ψ
−
1
)
∑
j
=
1
2
y
1
c
j
(
t
)
−
y
1
(
p
)
+
y
1
(
p
)
,
…
…
,
∑
j
=
1
2
y
n
c
j
(
t
)
−
y
n
(
p
)
+
y
n
(
p
)
=
∑
k
=
1
n
∂
x
i
∘
ψ
−
1
∂
y
k
ψ
(
p
)
d
d
t
t
=
0
∑
j
=
1
2
y
k
c
j
(
t
)
−
y
k
(
p
)
+
y
k
(
p
)
{:[(d(x_(i)@c_(psi)))/(dt)|_(t=0)],[=(d)/(dt)|_(t=0)((x_(i)@psi^(-1))(sum_(j=1)^(2)(y_(1)(c_(j)(t))-y_(1)(p))+y_(1)(p),dots:}],[{: dots,sum_(j=1)^(2)(y_(n)(c_(j)(t))-y_(n)(p))+y_(n)(p)))],[=sum_(k=1)^(n)((del(x_(i)@psi^(-1)))/(dely_(k)))_(psi(p))(d)/(dt)|_(t=0)(sum_(j=1)^(2)(y_(k)(c_(j)(t))-y_(k)(p))+y_(k)(p))]:} \begin{aligned}
&\left.\frac{d\left(x_{i} \circ c_{\psi}\right)}{d t}\right|_{t=0} \\
&=\left.\frac{d}{d t}\right|_{t=0}\left(( x _ { i } \circ \psi ^ { - 1 } ) \left(\sum_{j=1}^{2}\left(y_{1}\left(c_{j}(t)\right)-y_{1}(p)\right)+y_{1}(p), \ldots\right.\right. \\
&\left.\left.\ldots, \sum_{j=1}^{2}\left(y_{n}\left(c_{j}(t)\right)-y_{n}(p)\right)+y_{n}(p)\right)\right) \\
&=\left.\sum_{k=1}^{n}\left(\frac{\partial\left(x_{i} \circ \psi^{-1}\right)}{\partial y_{k}}\right)_{\psi(p)} \frac{d}{d t}\right|_{t=0}\left(\sum_{j=1}^{2}\left(y_{k}\left(c_{j}(t)\right)-y_{k}(p)\right)+y_{k}(p)\right)
\end{aligned} d ( x i ∘ c ψ ) d t | t = 0 = d d t | t = 0 ( ( x i ∘ ψ − 1 ) ( ∑ j = 1 2 ( y 1 ( c j ( t ) ) − y 1 ( p ) ) + y 1 ( p ) , … … , ∑ j = 1 2 ( y n ( c j ( t ) ) − y n ( p ) ) + y n ( p ) ) ) = ∑ k = 1 n ( ∂ ( x i ∘ ψ − 1 ) ∂ y k ) ψ ( p ) d d t | t = 0 ( ∑ j = 1 2 ( y k ( c j ( t ) ) − y k ( p ) ) + y k ( p ) )
=
∑
j
=
1
2
∑
k
=
1
n
(
∂
(
x
i
∘
ψ
−
1
)
∂
y
k
)
ψ
(
p
)
d
(
y
k
(
c
j
(
t
)
)
)
d
t
|
t
=
0
=
∑
j
=
1
2
d
(
x
i
∘
c
j
)
d
t
|
t
=
0
=
∑
j
=
1
2
∑
k
=
1
n
∂
x
i
∘
ψ
−
1
∂
y
k
ψ
(
p
)
d
y
k
c
j
(
t
)
d
t
t
=
0
=
∑
j
=
1
2
d
x
i
∘
c
j
d
t
t
=
0
=sum_(j=1)^(2)sum_(k=1)^(n)((del(x_(i)@psi^(-1)))/(dely_(k)))_(psi(p))(d(y_(k)(c_(j)(t))))/(dt)|_(t=0)=sum_(j=1)^(2)(d(x_(i)@c_(j)))/(dt)|_(t=0) =\left.\sum_{j=1}^{2} \sum_{k=1}^{n}\left(\frac{\partial\left(x_{i} \circ \psi^{-1}\right)}{\partial y_{k}}\right)_{\psi(p)} \frac{d\left(y_{k}\left(c_{j}(t)\right)\right)}{d t}\right|_{t=0}=\left.\sum_{j=1}^{2} \frac{d\left(x_{i} \circ c_{j}\right)}{d t}\right|_{t=0} = ∑ j = 1 2 ∑ k = 1 n ( ∂ ( x i ∘ ψ − 1 ) ∂ y k ) ψ ( p ) d ( y k ( c j ( t ) ) ) d t | t = 0 = ∑ j = 1 2 d ( x i ∘ c j ) d t | t = 0
が示されるので,
d
(
x
i
∘
c
φ
)
d
t
|
t
=
0
=
d
(
x
i
∘
c
ψ
)
d
t
|
t
=
0
(
i
=
1
,
…
,
n
)
d
x
i
∘
c
φ
d
t
t
=
0
=
d
x
i
∘
c
ψ
d
t
t
=
0
(
i
=
1
,
…
,
n
)
(d(x_(i)@c_(varphi)))/(dt)|_(t=0)=(d(x_(i)@c_(psi)))/(dt)|_(t=0)quad(i=1,dots,n) \left.\frac{d\left(x_{i} \circ c_{\varphi}\right)}{d t}\right|_{t=0}=\left.\frac{d\left(x_{i} \circ c_{\psi}\right)}{d t}\right|_{t=0} \quad(i=1, \ldots, n) d ( x i ∘ c φ ) d t | t = 0 = d ( x i ∘ c ψ ) d t | t = 0 ( i = 1 , … , n )
をえる。それゆえ,
c
φ
′
(
0
)
=
c
ψ
′
(
0
)
c
φ
′
(
0
)
=
c
ψ
′
(
0
)
c_(varphi)^(')(0)=c_(psi)^(')(0) c_{\varphi}^{\prime}(0)=c_{\psi}^{\prime}(0) c φ ′ ( 0 ) = c ψ ′ ( 0 ) が示される。したがって, 上述の和が welldefined であることが示されたことになる。同様に,上述の接べクトルの実数倍が well-definedであることも示される。また,
T
p
M
T
p
M
T_(p)M T_{p} M T p M がこれらの和と実数倍 に関してベクトル空間になることが容易に示される. このべクトル空間
T
p
M
T
p
M
T_(p)M T_{p} M T p M を,
M
M
M M M の点
p
p
p p p における接空間といい, この
T
p
M
T
p
M
T_(p)M T_{p} M T p M の各元を
M
M
M M M の点
p
p
p p p における 接ベクトルという.
M
M
M M M の局所チャート
(
U
,
φ
=
(
x
1
,
…
,
x
n
)
)
U
,
φ
=
x
1
,
…
,
x
n
(U,varphi=(x_(1),dots,x_(n))) \left(U, \varphi=\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)\right) ( U , φ = ( x 1 , … , x n ) ) に対し,
(
∂
∂
x
i
)
p
(
∈
T
p
M
)
∂
∂
x
i
p
∈
T
p
M
((del)/(delx_(i)))_(p)(inT_(p)M) \left(\frac{\partial}{\partial x_{i}}\right)_{p}\left(\in T_{p} M\right) ( ∂ ∂ x i ) p ( ∈ T p M ) を,
c
i
(
t
)
:=
φ
−
1
(
x
1
(
p
)
,
…
,
x
i
(
p
)
+
t
,
…
,
x
n
(
p
)
)
c
i
(
t
)
:=
φ
−
1
x
1
(
p
)
,
…
,
x
i
(
p
)
+
t
,
…
,
x
n
(
p
)
c_(i)(t):=varphi^(-1)(x_(1)(p),dots,x_(i)(p)+t,dots,x_(n)(p)) c_{i}(t):=\varphi^{-1}\left(x_{1}(p), \ldots, x_{i}(p)+t, \ldots, x_{n}(p)\right) c i ( t ) := φ − 1 ( x 1 ( p ) , … , x i ( p ) + t , … , x n ( p ) ) として
(
∂
∂
x
i
)
p
:=
c
i
′
(
0
)
∂
∂
x
i
p
:=
c
i
′
(
0
)
((del)/(delx_(i)))_(p):=c_(i)^(')(0) \left(\frac{\partial}{\partial x_{i}}\right)_{p}:=c_{i}^{\prime}(0) ( ∂ ∂ x i ) p := c i ′ ( 0 ) によっ て定義する. このとき,次の事実が成り立つ.
命題 3.3.1
(
(
∂
∂
x
1
)
p
,
…
,
(
∂
∂
x
n
)
p
)
∂
∂
x
1
p
,
…
,
∂
∂
x
n
p
(((del)/(delx_(1)))_(p),dots,((del)/(delx_(n)))_(p)) \left(\left(\frac{\partial}{\partial x_{1}}\right)_{p}, \ldots,\left(\frac{\partial}{\partial x_{n}}\right)_{p}\right) ( ( ∂ ∂ x 1 ) p , … , ( ∂ ∂ x n ) p ) は,
T
p
M
T
p
M
T_(p)M T_{p} M T p M の基底になる.
証明 簡単のため,
p
i
:=
x
i
(
p
)
(
i
=
1
,
…
,
n
)
p
i
:=
x
i
(
p
)
(
i
=
1
,
…
,
n
)
p_(i):=x_(i)(p)(i=1,dots,n) p_{i}:=x_{i}(p)(i=1, \ldots, n) p i := x i ( p ) ( i = 1 , … , n ) とおく. 最初に, 1 次独立性を示すことにする。
(3.3.1)
∑
i
=
1
n
a
i
(
∂
∂
x
i
)
p
=
0
(3.3.1)
∑
i
=
1
n
a
i
∂
∂
x
i
p
=
0
{:(3.3.1)sum_(i=1)^(n)a_(i)((del)/(delx_(i)))_(p)=0:} \begin{equation*}
\sum_{i=1}^{n} a_{i}\left(\frac{\partial}{\partial x_{i}}\right)_{p}=\mathbf{0} \tag{3.3.1}
\end{equation*} (3.3.1) ∑ i = 1 n a i ( ∂ ∂ x i ) p = 0
(
a
i
∈
R
)
(
a
i
∈
R
)
(a_(i)inR) ( a_{i} \in \mathbb{R} ) ( ) ( a i ∈ R ) とする. このとき,
T
p
M
T
p
M
T_(p)M T_{p} M T p M における和,実数倍の定義より,
c
^
(
t
)
:=
φ
−
1
(
∑
i
=
1
n
a
i
(
φ
(
c
i
(
t
)
)
−
φ
(
p
)
)
+
φ
(
p
)
)
c
^
(
t
)
:=
φ
−
1
∑
i
=
1
n
a
i
φ
c
i
(
t
)
−
φ
(
p
)
+
φ
(
p
)
widehat(c)(t):=varphi^(-1)(sum_(i=1)^(n)a_(i)(varphi(c_(i)(t))-varphi(p))+varphi(p)) \widehat{c}(t):=\varphi^{-1}\left(\sum_{i=1}^{n} a_{i}\left(\varphi\left(c_{i}(t)\right)-\varphi(p)\right)+\varphi(p)\right) c ^ ( t ) := φ − 1 ( ∑ i = 1 n a i ( φ ( c i ( t ) ) − φ ( p ) ) + φ ( p ) )
として、
c
~
′
(
0
)
=
∑
i
=
1
n
a
i
(
∂
∂
x
i
)
p
c
~
′
(
0
)
=
∑
i
=
1
n
a
i
∂
∂
x
i
p
widetilde(c)^(')(0)=sum_(i=1)^(n)a_(i)((del)/(delx_(i)))_(p) \widetilde{c}^{\prime}(0)=\sum_{i=1}^{n} a_{i}\left(\frac{\partial}{\partial x_{i}}\right)_{p} c ~ ′ ( 0 ) = ∑ i = 1 n a i ( ∂ ∂ x i ) p となる.したがって, 式 (3.3.1)より、
d
(
φ
∘
c
^
)
d
t
|
t
=
0
=
(
0
,
…
,
0
)
d
(
φ
∘
c
^
)
d
t
t
=
0
=
(
0
,
…
,
0
)
(d(varphi@( widehat(c))))/(dt)|_(t=0)=(0,dots,0) \left.\frac{d(\varphi \circ \widehat{c})}{d t}\right|_{t=0}=(0, \ldots, 0) d ( φ ∘ c ^ ) d t | t = 0 = ( 0 , … , 0 ) となる. 一方,
d
(
φ
∘
c
^
)
d
t
|
t
=
0
d
(
φ
∘
c
^
)
d
t
t
=
0
(d(varphi@( widehat(c))))/(dt)|_(t=0) \left.\frac{d(\varphi \circ \widehat{c})}{d t}\right|_{t=0} d ( φ ∘ c ^ ) d t | t = 0 を計算すると,
d
(
φ
∘
c
^
)
d
t
|
t
=
0
=
d
d
t
|
t
=
0
(
∑
i
=
1
n
a
i
(
φ
(
c
i
(
t
)
)
−
φ
(
p
)
)
+
φ
(
p
)
)
=
d
d
t
|
t
=
0
(
p
1
+
a
1
t
,
…
,
p
n
+
a
n
t
)
=
(
a
1
,
…
,
a
n
)
d
(
φ
∘
c
^
)
d
t
t
=
0
=
d
d
t
t
=
0
∑
i
=
1
n
a
i
φ
c
i
(
t
)
−
φ
(
p
)
+
φ
(
p
)
=
d
d
t
t
=
0
p
1
+
a
1
t
,
…
,
p
n
+
a
n
t
=
a
1
,
…
,
a
n
{:[(d(varphi@( widehat(c))))/(dt)|_(t=0)=(d)/(dt)|_(t=0)(sum_(i=1)^(n)a_(i)(varphi(c_(i)(t))-varphi(p))+varphi(p))],[=(d)/(dt)|_(t=0)(p_(1)+a_(1)t,dots,p_(n)+a_(n)t)=(a_(1),dots,a_(n))]:} \begin{aligned}
\left.\frac{d(\varphi \circ \widehat{c})}{d t}\right|_{t=0} & =\left.\frac{d}{d t}\right|_{t=0}\left(\sum_{i=1}^{n} a_{i}\left(\varphi\left(c_{i}(t)\right)-\varphi(p)\right)+\varphi(p)\right) \\
& =\left.\frac{d}{d t}\right|_{t=0}\left(p_{1}+a_{1} t, \ldots, p_{n}+a_{n} t\right)=\left(a_{1}, \ldots, a_{n}\right)
\end{aligned} d ( φ ∘ c ^ ) d t | t = 0 = d d t | t = 0 ( ∑ i = 1 n a i ( φ ( c i ( t ) ) − φ ( p ) ) + φ ( p ) ) = d d t | t = 0 ( p 1 + a 1 t , … , p n + a n t ) = ( a 1 , … , a n )
をえる。それゆえ,
a
1
=
⋯
=
a
n
=
0
a
1
=
⋯
=
a
n
=
0
a_(1)=cdots=a_(n)=0 a_{1}=\cdots=a_{n}=0 a 1 = ⋯ = a n = 0 が導かれる。したがって,
(
∂
∂
x
i
)
p
∂
∂
x
i
p
((del)/(delx_(i)))_(p) \left(\frac{\partial}{\partial x_{i}}\right)_{p} ( ∂ ∂ x i ) p ,
…
,
(
∂
∂
x
n
)
p
…
,
∂
∂
x
n
p
dots,((del)/(delx_(n)))_(p) \ldots,\left(\frac{\partial}{\partial x_{n}}\right)_{p} … , ( ∂ ∂ x n ) p が 1 次独立であることが示される.
次に,生成性を示すことにする。任意に
v
∈
T
p
M
v
∈
T
p
M
v inT_(p)M \boldsymbol{v} \in T_{p} M v ∈ T p M をとる.
v
=
c
′
(
0
)
v
=
c
′
(
0
)
v=c^(')(0) \boldsymbol{v}=c^{\prime}(0) v = c ′ ( 0 ) とす る. ある実数の列
a
1
,
…
,
a
n
a
1
,
…
,
a
n
a_(1),dots,a_(n) a_{1}, \ldots, a_{n} a 1 , … , a n に対し,
(3.3.2)
v
=
∑
i
=
1
n
a
i
(
∂
∂
x
i
)
p
(3.3.2)
v
=
∑
i
=
1
n
a
i
∂
∂
x
i
p
{:(3.3.2)v=sum_(i=1)^(n)a_(i)((del)/(delx_(i)))_(p):} \begin{equation*}
\boldsymbol{v}=\sum_{i=1}^{n} a_{i}\left(\frac{\partial}{\partial x_{i}}\right)_{p} \tag{3.3.2}
\end{equation*} (3.3.2) v = ∑ i = 1 n a i ( ∂ ∂ x i ) p
と表されることを示したい.
c
i
,
c
^
c
i
,
c
^
c_(i), widehat(c) c_{i}, \widehat{c} c i , c ^ を上述のような曲線とする. このとき, 式 (3.3.2) が成り立つためには,
d
x
i
(
c
(
t
)
)
d
t
|
t
=
0
=
d
x
i
(
c
^
(
t
)
)
d
t
|
t
=
0
d
x
i
(
c
(
t
)
)
d
t
t
=
0
=
d
x
i
(
c
^
(
t
)
)
d
t
t
=
0
(dx_(i)(c(t)))/(dt)|_(t=0)=(dx_(i)(( widehat(c))(t)))/(dt)|_(t=0) \left.\frac{d x_{i}(c(t))}{d t}\right|_{t=0}=\left.\frac{d x_{i}(\widehat{c}(t))}{d t}\right|_{t=0} d x i ( c ( t ) ) d t | t = 0 = d x i ( c ^ ( t ) ) d t | t = 0 が成り立たなけ ればならないが, この式の右辺を計算すると
a
i
a
i
a_(i) a_{i} a i となるので, 結局,
a
i
=
a
i
=
a_(i)= a_{i}= a i =
d
(
x
i
∘
c
)
d
t
|
t
=
0
d
x
i
∘
c
d
t
t
=
0
(d(x_(i)@c))/(dt)|_(t=0) \left.\frac{d\left(x_{i} \circ c\right)}{d t}\right|_{t=0} d ( x i ∘ c ) d t | t = 0 が成り立たなければならないことになる。それゆえ,
v
v
v \boldsymbol{v} v が
(
∂
∂
x
1
)
p
,
…
,
(
∂
∂
x
n
)
p
∂
∂
x
1
p
,
…
,
∂
∂
x
n
p
((del)/(delx_(1)))_(p),dots,((del)/(delx_(n)))_(p) \left(\frac{\partial}{\partial x_{1}}\right)_{p}, \ldots,\left(\frac{\partial}{\partial x_{n}}\right)_{p} ( ∂ ∂ x 1 ) p , … , ( ∂ ∂ x n ) p の 1 次結合で表されるとすれば,
(3.3.3)
v
=
∑
i
=
1
n
d
(
x
i
∘
c
)
d
t
|
t
=
0
(
∂
∂
x
i
)
p
(3.3.3)
v
=
∑
i
=
1
n
d
x
i
∘
c
d
t
t
=
0
∂
∂
x
i
p
{:(3.3.3)v=sum_(i=1)^(n)(d(x_(i)@c))/(dt)|_(t=0)((del)/(delx_(i)))_(p):} \begin{equation*}
\boldsymbol{v}=\left.\sum_{i=1}^{n} \frac{d\left(x_{i} \circ c\right)}{d t}\right|_{t=0}\left(\frac{\partial}{\partial x_{i}}\right)_{p} \tag{3.3.3}
\end{equation*} (3.3.3) v = ∑ i = 1 n d ( x i ∘ c ) d t | t = 0 ( ∂ ∂ x i ) p
という形をしていなければならないが, 実際にこの式が成り立つことは容易に 確認することできる.このように,
v
v
v \boldsymbol{v} v は
(
∂
∂
x
1
)
p
,
…
,
(
∂
∂
x
n
)
p
∂
∂
x
1
p
,
…
,
∂
∂
x
n
p
((del)/(delx_(1)))_(p),dots,((del)/(delx_(n)))_(p) \left(\frac{\partial}{\partial x_{1}}\right)_{p}, \ldots,\left(\frac{\partial}{\partial x_{n}}\right)_{p} ( ∂ ∂ x 1 ) p , … , ( ∂ ∂ x n ) p の 1 次結合 で表される。それゆえ,
v
v
v \boldsymbol{v} v の任意性により,
(
∂
∂
x
1
)
p
,
…
,
(
∂
∂
x
n
)
p
∂
∂
x
1
p
,
…
,
∂
∂
x
n
p
((del)/(delx_(1)))_(p),dots,((del)/(delx_(n)))_(p) \left(\frac{\partial}{\partial x_{1}}\right)_{p}, \ldots,\left(\frac{\partial}{\partial x_{n}}\right)_{p} ( ∂ ∂ x 1 ) p , … , ( ∂ ∂ x n ) p が
T
p
M
T
p
M
T_(p)M T_{p} M T p M を生成することがわかる。したがって,
(
(
∂
∂
x
1
)
p
,
…
,
(
∂
∂
x
n
)
p
)
∂
∂
x
1
p
,
…
,
∂
∂
x
n
p
(((del)/(delx_(1)))_(p),dots,((del)/(delx_(n)))_(p)) \left(\left(\frac{\partial}{\partial x_{1}}\right)_{p}, \ldots,\left(\frac{\partial}{\partial x_{n}}\right)_{p}\right) ( ( ∂ ∂ x 1 ) p , … , ( ∂ ∂ x n ) p ) が
T
p
M
T
p
M
T_(p)M T_{p} M T p M の基底であることが結論される。
この基底
(
(
∂
∂
x
i
)
p
,
…
,
(
∂
∂
x
n
)
p
)
∂
∂
x
i
p
,
…
,
∂
∂
x
n
p
(((del)/(delx_(i)))_(p),dots,((del)/(delx_(n)))_(p)) \left(\left(\frac{\partial}{\partial x_{i}}\right)_{p}, \ldots,\left(\frac{\partial}{\partial x_{n}}\right)_{p}\right) ( ( ∂ ∂ x i ) p , … , ( ∂ ∂ x n ) p ) を
(
U
,
φ
)
(
U
,
φ
)
(U,varphi) (U, \varphi) ( U , φ ) の
p
p
p p p における座標基底(co-
ordinate basis), または, 自然基底(natural basis)という。式 (3.3.3) によれば, 次の主張が成り立つ.
命題 3.3.2
C
r
C
r
C^(r) C^{r} C r 曲線
c
:
I
→
M
c
:
I
→
M
c:I rarr M c: I \rightarrow M c : I → M に対し, 次の関係式が成り立つ:
c
′
(
t
0
)
=
∑
i
=
1
n
d
(
x
i
∘
c
)
d
t
|
t
=
t
0
(
∂
∂
x
i
)
c
(
t
0
)
(
t
0
∈
I
)
c
′
t
0
=
∑
i
=
1
n
d
x
i
∘
c
d
t
t
=
t
0
∂
∂
x
i
c
t
0
t
0
∈
I
c^(')(t_(0))=sum_(i=1)^(n)(d(x_(i)@c))/(dt)|_(t=t_(0))((del)/(delx_(i)))_(c(t_(0)))quad(t_(0)in I) c^{\prime}\left(t_{0}\right)=\left.\sum_{i=1}^{n} \frac{d\left(x_{i} \circ c\right)}{d t}\right|_{t=t_{0}}\left(\frac{\partial}{\partial x_{i}}\right)_{c\left(t_{0}\right)} \quad\left(t_{0} \in I\right) c ′ ( t 0 ) = ∑ i = 1 n d ( x i ∘ c ) d t | t = t 0 ( ∂ ∂ x i ) c ( t 0 ) ( t 0 ∈ I )
この関係式を用いて, 次の関係式が導かれる。
命題 3.3.3
(
U
,
φ
=
(
x
1
,
…
,
x
n
)
)
,
(
V
,
ψ
=
(
y
1
,
…
,
y
n
)
)
U
,
φ
=
x
1
,
…
,
x
n
,
V
,
ψ
=
y
1
,
…
,
y
n
(U,varphi=(x_(1),dots,x_(n))),(V,psi=(y_(1),dots,y_(n))) \left(U, \varphi=\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)\right),\left(V, \psi=\left(y_{1}, \ldots, y_{n}\right)\right) ( U , φ = ( x 1 , … , x n ) ) , ( V , ψ = ( y 1 , … , y n ) ) を
p
p
p p p のまわの局所チャートとする。このとき, 次の関係式が成り立つ:
(3.3.4)
(
∂
∂
x
i
)
p
=
∑
j
=
1
n
(
∂
(
y
j
∘
φ
−
1
)
∂
x
i
)
φ
(
p
)
(
∂
∂
y
j
)
p
(3.3.4)
∂
∂
x
i
p
=
∑
j
=
1
n
∂
y
j
∘
φ
−
1
∂
x
i
φ
(
p
)
∂
∂
y
j
p
{:(3.3.4)((del)/(delx_(i)))_(p)=sum_(j=1)^(n)((del(y_(j)@varphi^(-1)))/(delx_(i)))_(varphi(p))((del)/(dely_(j)))_(p):} \begin{equation*}
\left(\frac{\partial}{\partial x_{i}}\right)_{p}=\sum_{j=1}^{n}\left(\frac{\partial\left(y_{j} \circ \varphi^{-1}\right)}{\partial x_{i}}\right)_{\varphi(p)}\left(\frac{\partial}{\partial y_{j}}\right)_{p} \tag{3.3.4}
\end{equation*} (3.3.4) ( ∂ ∂ x i ) p = ∑ j = 1 n ( ∂ ( y j ∘ φ − 1 ) ∂ x i ) φ ( p ) ( ∂ ∂ y j ) p
証明
c
i
(
t
)
:=
φ
−
1
(
x
1
(
p
)
,
…
,
x
i
(
p
)
+
t
,
…
,
x
n
(
p
)
)
c
i
(
t
)
:=
φ
−
1
x
1
(
p
)
,
…
,
x
i
(
p
)
+
t
,
…
,
x
n
(
p
)
c_(i)(t):=varphi^(-1)(x_(1)(p),dots,x_(i)(p)+t,dots,x_(n)(p)) c_{i}(t):=\varphi^{-1}\left(x_{1}(p), \ldots, x_{i}(p)+t, \ldots, x_{n}(p)\right) c i ( t ) := φ − 1 ( x 1 ( p ) , … , x i ( p ) + t , … , x n ( p ) )
とする. このとき,
c
i
′
(
0
)
=
(
∂
∂
x
i
)
p
c
i
′
(
0
)
=
∂
∂
x
i
p
c_(i)^(')(0)=((del)/(delx_(i)))_(p) c_{i}^{\prime}(0)=\left(\frac{\partial}{\partial x_{i}}\right)_{p} c i ′ ( 0 ) = ( ∂ ∂ x i ) p となるので, 命題 3.3.2 を用いて,
(
∂
∂
x
i
)
p
=
∑
j
=
1
n
d
(
y
j
∘
c
i
)
d
t
|
t
=
0
(
∂
∂
y
j
)
p
=
∑
j
=
1
n
d
d
t
|
t
=
0
(
(
y
j
∘
φ
−
1
)
(
x
1
(
p
)
,
…
,
x
i
(
p
)
+
t
,
…
,
x
n
(
p
)
)
)
(
∂
∂
y
j
)
p
=
∑
j
=
1
n
(
∂
(
y
j
∘
φ
−
1
)
∂
x
i
)
φ
(
p
)
(
∂
∂
y
j
)
p
∂
∂
x
i
p
=
∑
j
=
1
n
d
y
j
∘
c
i
d
t
t
=
0
∂
∂
y
j
p
=
∑
j
=
1
n
d
d
t
t
=
0
y
j
∘
φ
−
1
x
1
(
p
)
,
…
,
x
i
(
p
)
+
t
,
…
,
x
n
(
p
)
∂
∂
y
j
p
=
∑
j
=
1
n
∂
y
j
∘
φ
−
1
∂
x
i
φ
(
p
)
∂
∂
y
j
p
{:[((del)/(delx_(i)))_(p)=sum_(j=1)^(n)(d(y_(j)@c_(i)))/(dt)|_(t=0)((del)/(dely_(j)))_(p)],[=sum_(j=1)^(n)(d)/(dt)|_(t=0)((y_(j)@varphi^(-1))(x_(1)(p),dots,x_(i)(p)+t,dots,x_(n)(p)))((del)/(dely_(j)))_(p)],[=sum_(j=1)^(n)((del(y_(j)@varphi^(-1)))/(delx_(i)))_(varphi(p))((del)/(dely_(j)))_(p)]:} \begin{aligned}
\left(\frac{\partial}{\partial x_{i}}\right)_{p} & =\left.\sum_{j=1}^{n} \frac{d\left(y_{j} \circ c_{i}\right)}{d t}\right|_{t=0}\left(\frac{\partial}{\partial y_{j}}\right)_{p} \\
& =\left.\sum_{j=1}^{n} \frac{d}{d t}\right|_{t=0}\left(\left(y_{j} \circ \varphi^{-1}\right)\left(x_{1}(p), \ldots, x_{i}(p)+t, \ldots, x_{n}(p)\right)\right)\left(\frac{\partial}{\partial y_{j}}\right)_{p} \\
& =\sum_{j=1}^{n}\left(\frac{\partial\left(y_{j} \circ \varphi^{-1}\right)}{\partial x_{i}}\right)_{\varphi(p)}\left(\frac{\partial}{\partial y_{j}}\right)_{p}
\end{aligned} ( ∂ ∂ x i ) p = ∑ j = 1 n d ( y j ∘ c i ) d t | t = 0 ( ∂ ∂ y j ) p = ∑ j = 1 n d d t | t = 0 ( ( y j ∘ φ − 1 ) ( x 1 ( p ) , … , x i ( p ) + t , … , x n ( p ) ) ) ( ∂ ∂ y j ) p = ∑ j = 1 n ( ∂ ( y j ∘ φ − 1 ) ∂ x i ) φ ( p ) ( ∂ ∂ y j ) p
が示される.
問 3.3.1
A
A
A \mathbb{A} A を
n
n
n n n 次元ベクトル空間
V
V
V V V に付随するアフィン空間とし,
D
:=
D
:=
D:= \mathcal{D}:= D :=
{
(
A
,
φ
E
,
p
)
∣
(
E
,
p
)
∈
F
(
V
)
×
A
}
A
,
φ
E
,
p
∣
(
E
,
p
)
∈
F
(
V
)
×
A
{(A,varphi_(E,p))∣(E,p)inF(V)xxA} \left\{\left(\mathbb{A}, \varphi_{E, p}\right) \mid(E, p) \in \mathcal{F}(V) \times \mathbb{A}\right\} { ( A , φ E , p ) ∣ ( E , p ) ∈ F ( V ) × A } を問 3.1.1 で述べたような
A
A
A \mathbb{A} A の
C
ω
C
ω
C^(omega) C^{\omega} C ω 構造とする.
o
o
o o o を
A
A
A \mathbb{A} A の基点として固定する.
v
∈
V
v
∈
V
v in V \boldsymbol{v} \in V v ∈ V に対し,
A
A
A \mathbb{A} A 上の
C
∞
C
∞
C^(oo) C^{\infty} C ∞ 級曲線
c
v
:
R
→
A
c
v
:
R
→
A
c_(v):RrarrA c_{\boldsymbol{v}}: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{A} c v : R → A を
c
v
(
t
)
:=
Φ
o
−
1
(
o
p
→
+
t
v
)
(
t
∈
R
)
c
v
(
t
)
:=
Φ
o
−
1
(
o
p
→
+
t
v
)
(
t
∈
R
)
c_(v)(t):=Phi_(o)^(-1)( vec(op)+tv)quad(t inR) c_{\boldsymbol{v}}(t):=\Phi_{o}^{-1}(\overrightarrow{o p}+t \boldsymbol{v}) \quad(t \in \mathbb{R}) c v ( t ) := Φ o − 1 ( o p → + t v ) ( t ∈ R )
と定義する. ここで
Φ
o
Φ
o
Phi_(o) \Phi_{o} Φ o は, 1.1 節, および問 3.1.1 で述べた
A
A
A \mathbb{A} A から
V
V
V V V への全単射
である. 明らかに,
c
v
(
0
)
=
p
c
v
(
0
)
=
p
c_(v)(0)=p c_{\boldsymbol{v}}(0)=p c v ( 0 ) = p なので,
c
v
′
(
0
)
c
v
′
(
0
)
c_(v)^(')(0) c_{\boldsymbol{v}}^{\prime}(0) c v ′ ( 0 ) は
T
p
A
T
p
A
T_(p)A T_{p} \mathbb{A} T p A の元である. 写像
Ψ
p
:
V
→
Ψ
p
:
V
→
Psi_(p):V rarr \Psi_{p}: V \rightarrow Ψ p : V →
T
p
A
T
p
A
T_(p)A T_{p} \mathbb{A} T p A を
Ψ
p
(
v
)
=
c
v
′
(
0
)
(
v
∈
V
)
Ψ
p
(
v
)
=
c
v
′
(
0
)
(
v
∈
V
)
Psi_(p)(v)=c_(v)^(')(0)quad(v in V) \Psi_{p}(\boldsymbol{v})=c_{\boldsymbol{v}}^{\prime}(0) \quad(\boldsymbol{v} \in V) Ψ p ( v ) = c v ′ ( 0 ) ( v ∈ V )
と定義する. この写像
Ψ
p
Ψ
p
Psi_(p) \Psi_{p} Ψ p が線形同型写像であることを示せ(通常, この線形同型写像
Ψ
p
Ψ
p
Psi_(p) \Psi_{p} Ψ p を通じて,
T
p
A
T
p
A
T_(p)A T_{p} \mathbb{A} T p A は
V
V
V V V と同一視される).
C
∞
(
p
)
C
∞
(
p
)
C^(oo)(p) C^{\infty}(p) C ∞ ( p ) を,
p
p
p p p の近傍上で定義された
C
∞
C
∞
C^(oo) C^{\infty} C ∞ 級関数全体からなる集合とする.
v
(
=
c
′
(
t
0
)
)
∈
T
p
M
v
=
c
′
t
0
∈
T
p
M
v(=c^(')(t_(0)))inT_(p)M \boldsymbol{v}\left(=c^{\prime}\left(t_{0}\right)\right) \in T_{p} M v ( = c ′ ( t 0 ) ) ∈ T p M と
f
∈
C
∞
(
p
)
f
∈
C
∞
(
p
)
f inC^(oo)(p) f \in C^{\infty}(p) f ∈ C ∞ ( p ) に対し,
v
(
f
)
v
(
f
)
v(f) \boldsymbol{v}(f) v ( f ) を
v
(
f
)
:=
d
f
(
c
(
t
)
)
d
t
|
t
=
t
0
v
(
f
)
:=
d
f
(
c
(
t
)
)
d
t
t
=
t
0
v(f):=(df(c(t)))/(dt)|_(t=t_(0)) \boldsymbol{v}(f):=\left.\frac{d f(c(t))}{d t}\right|_{t=t_{0}} v ( f ) := d f ( c ( t ) ) d t | t = t 0 に よって定義する.
問 3.3.2
v
(
f
)
v
(
f
)
v(f) \boldsymbol{v}(f) v ( f ) は well-defined, つまり,
c
′
(
t
0
)
=
v
c
′
t
0
=
v
c^(')(t_(0))=v c^{\prime}\left(t_{0}\right)=\boldsymbol{v} c ′ ( t 0 ) = v となる曲線
c
c
c c c のとり方によら ないことを示せ.
v
(
f
)
v
(
f
)
v(f) \boldsymbol{v}(f) v ( f ) を
f
f
f f f の
v
v
v \boldsymbol{v} v に関する方向微分という. 明らかに, 方向微分に関して, 次 の事実が成り立つ.
命題 3.3.4
v
∈
T
p
M
v
∈
T
p
M
quad v inT_(p)M \quad \boldsymbol{v} \in T_{p} M v ∈ T p M に対し, 次の (i)-(iii) が成り立つ.
(i)
f
f
f f f が
p
p
p p p のある近傍で一定であるならば,
v
(
f
)
=
0
v
(
f
)
=
0
v(f)=0 \boldsymbol{v}(f)=0 v ( f ) = 0 となる;
(ii)
v
(
a
f
1
+
b
f
2
)
=
a
v
(
f
1
)
+
b
v
(
f
2
)
(
a
,
b
∈
R
,
f
1
,
f
2
∈
C
∞
(
p
)
)
v
a
f
1
+
b
f
2
=
a
v
f
1
+
b
v
f
2
a
,
b
∈
R
,
f
1
,
f
2
∈
C
∞
(
p
)
v(af_(1)+bf_(2))=av(f_(1))+bv(f_(2))quad(a,b inR,f_(1),f_(2)inC^(oo)(p)) \boldsymbol{v}\left(a f_{1}+b f_{2}\right)=a \boldsymbol{v}\left(f_{1}\right)+b \boldsymbol{v}\left(f_{2}\right) \quad\left(a, b \in \mathbb{R}, f_{1}, f_{2} \in C^{\infty}(p)\right) v ( a f 1 + b f 2 ) = a v ( f 1 ) + b v ( f 2 ) ( a , b ∈ R , f 1 , f 2 ∈ C ∞ ( p ) ) ;
(iii)
v
(
f
1
f
2
)
=
f
1
(
p
)
v
(
f
2
)
+
v
(
f
1
)
f
2
(
p
)
(
f
1
,
f
2
∈
C
∞
(
p
)
)
v
f
1
f
2
=
f
1
(
p
)
v
f
2
+
v
f
1
f
2
(
p
)
f
1
,
f
2
∈
C
∞
(
p
)
v(f_(1)f_(2))=f_(1)(p)v(f_(2))+v(f_(1))f_(2)(p)quad(f_(1),f_(2)inC^(oo)(p)) \boldsymbol{v}\left(f_{1} f_{2}\right)=f_{1}(p) \boldsymbol{v}\left(f_{2}\right)+\boldsymbol{v}\left(f_{1}\right) f_{2}(p) \quad\left(f_{1}, f_{2} \in C^{\infty}(p)\right) v ( f 1 f 2 ) = f 1 ( p ) v ( f 2 ) + v ( f 1 ) f 2 ( p ) ( f 1 , f 2 ∈ C ∞ ( p ) ) .
問 3.3.3
(
U
,
φ
=
(
x
1
,
…
,
x
n
)
)
U
,
φ
=
x
1
,
…
,
x
n
(U,varphi=(x_(1),dots,x_(n))) \left(U, \varphi=\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)\right) ( U , φ = ( x 1 , … , x n ) ) を
n
n
n n n 次元
C
∞
C
∞
C^(oo) C^{\infty} C ∞ 多様体
M
M
M M M の点
p
p
p p p のまわりの局所チ ヤートとする.
v
∈
T
p
M
v
∈
T
p
M
v inT_(p)M \boldsymbol{v} \in T_{p} M v ∈ T p M に対し,
(3.3.5)
v
=
∑
i
=
1
n
v
(
x
i
)
(
∂
∂
x
i
)
p
(3.3.5)
v
=
∑
i
=
1
n
v
x
i
∂
∂
x
i
p
{:(3.3.5)v=sum_(i=1)^(n)v(x_(i))((del)/(delx_(i)))_(p):} \begin{equation*}
\boldsymbol{v}=\sum_{i=1}^{n} \boldsymbol{v}\left(x_{i}\right)\left(\frac{\partial}{\partial x_{i}}\right)_{p} \tag{3.3.5}
\end{equation*} (3.3.5) v = ∑ i = 1 n v ( x i ) ( ∂ ∂ x i ) p
が成り立つことを示せ.
C
∞
(
p
)
C
∞
(
p
)
C^(oo)(p) C^{\infty}(p) C ∞ ( p ) から
R
R
R \mathbb{R} R への写像
v
^
v
^
hat(v) \hat{\boldsymbol{v}} v ^ で, 命題 3.3 .4 における条件 (i)-(iii) を满たすよ うなものの全体を
T
p
M
T
p
M
T_(p)M \mathcal{T}_{p} M T p M と表すことにする。
T
p
M
T
p
M
T_(p)M \mathcal{T}_{p} M T p M は, 自然な和,実数倍の下 にベクトル空間になる。各
v
∈
T
p
M
v
∈
T
p
M
v inT_(p)M \boldsymbol{v} \in T_{p} M v ∈ T p M に対し,
v
^
(
f
)
:=
v
(
f
)
(
f
∈
C
∞
(
p
)
)
v
^
(
f
)
:=
v
(
f
)
f
∈
C
∞
(
p
)
hat(v)(f):=v(f)(f inC^(oo)(p)) \hat{\boldsymbol{v}}(f):=\boldsymbol{v}(f)\left(f \in C^{\infty}(p)\right) v ^ ( f ) := v ( f ) ( f ∈ C ∞ ( p ) ) に よって定義される
v
^
∈
T
p
M
v
^
∈
T
p
M
hat(v)inT_(p)M \hat{\boldsymbol{v}} \in \mathcal{T}_{p} M v ^ ∈ T p M を対応させる対応は,
T
p
M
T
p
M
T_(p)M T_{p} M T p M から
T
p
M
T
p
M
T_(p)M \mathcal{T}_{p} M T p M への線形同型写像を与えることが容易に示される。本によっては, この線形同型写像を通 じて,
T
p
M
T
p
M
T_(p)M T_{p} M T p M と
T
p
M
T
p
M
T_(p)M \mathcal{T}_{p} M T p M を同一視することにより,
T
p
M
T
p
M
T_(p)M \mathcal{T}_{p} M T p M の各元を
M
M
M M M の点
p
p
p p p にお ける接ベクトルとよび,
T
p
M
T
p
M
T_(p)M \mathcal{T}_{p} M T p M を
M
M
M M M の点
p
p
p p p における接空間とよんでいる.
問 3.3.4 実際に, 各
v
∈
T
p
M
v
∈
T
p
M
v inT_(p)M \boldsymbol{v} \in T_{p} M v ∈ T p M に対し,
v
^
(
f
)
:=
v
(
f
)
(
f
∈
C
∞
(
p
)
)
v
^
(
f
)
:=
v
(
f
)
f
∈
C
∞
(
p
)
hat(v)(f):=v(f)(f inC^(oo)(p)) \hat{\boldsymbol{v}}(f):=\boldsymbol{v}(f)\left(f \in C^{\infty}(p)\right) v ^ ( f ) := v ( f ) ( f ∈ C ∞ ( p ) ) によって定義 される
v
^
∈
T
p
M
v
^
∈
T
p
M
hat(v)inT_(p)M \hat{\boldsymbol{v}} \in \mathcal{T}_{p} M v ^ ∈ T p M を対応させる対応は,
T
p
M
T
p
M
T_(p)M T_{p} M T p M から
T
p
M
T
p
M
T_(p)M \mathcal{T}_{p} M T p M への線形同型写像を与える ことを示せ.
問 3.3.5
D
:=
{
(
U
i
+
,
φ
i
+
)
∣
i
=
1
,
…
,
n
+
1
}
∪
{
(
U
i
−
,
φ
i
−
)
∣
i
=
1
,
…
,
n
+
1
}
D
:=
U
i
+
,
φ
i
+
∣
i
=
1
,
…
,
n
+
1
∪
U
i
−
,
φ
i
−
∣
i
=
1
,
…
,
n
+
1
D:={(U_(i)^(+),varphi_(i)^(+))∣i=1,dots,n+1}uu{(U_(i)^(-),varphi_(i)^(-))∣i=1,dots,n+1} \mathcal{D}:=\left\{\left(U_{i}^{+}, \varphi_{i}^{+}\right) \mid i=1, \ldots, n+1\right\} \cup\left\{\left(U_{i}^{-}, \varphi_{i}^{-}\right) \mid i=1, \ldots, n+1\right\} D := { ( U i + , φ i + ) ∣ i = 1 , … , n + 1 } ∪ { ( U i − , φ i − ) ∣ i = 1 , … , n + 1 } を 問 3.1.2 で述べたような
n
n
n n n 次元単位球面
S
n
(
1
)
S
n
(
1
)
S^(n)(1) S^{n}(1) S n ( 1 ) の
C
ω
C
ω
C^(omega) C^{\omega} C ω 構造とする. この問いでは,
n
=
2
n
=
2
n=2 n=2 n = 2 の場合を考えよう. 2 次元
C
ω
C
ω
C^(omega) C^{\omega} C ω 多様体
(
S
2
(
1
)
,
D
)
S
2
(
1
)
,
D
(S^(2)(1),D) \left(S^{2}(1), \mathcal{D}\right) ( S 2 ( 1 ) , D ) 上の
C
∞
C
∞
C^(oo) C^{\infty} C ∞ 曲線
c
c
c c c を,
c
(
t
)
:=
(
cos
(
t
+
π
6
)
,
1
2
sin
(
t
+
π
6
)
,
3
2
sin
(
t
+
π
6
)
)
c
(
t
)
:=
cos
t
+
π
6
,
1
2
sin
t
+
π
6
,
3
2
sin
t
+
π
6
c(t):=(cos(t+(pi)/(6)),(1)/(2)sin(t+(pi)/(6)),(sqrt3)/(2)sin(t+(pi)/(6))) c(t):=\left(\cos \left(t+\frac{\pi}{6}\right), \frac{1}{2} \sin \left(t+\frac{\pi}{6}\right), \frac{\sqrt{3}}{2} \sin \left(t+\frac{\pi}{6}\right)\right) c ( t ) := ( cos ( t + π 6 ) , 1 2 sin ( t + π 6 ) , 3 2 sin ( t + π 6 ) )
と定義し,
p
:=
c
(
0
)
,
v
:=
c
′
(
0
)
p
:=
c
(
0
)
,
v
:=
c
′
(
0
)
p:=c(0),v:=c^(')(0) p:=c(0), \boldsymbol{v}:=c^{\prime}(0) p := c ( 0 ) , v := c ′ ( 0 ) とおく. また,
(
S
2
(
1
)
,
D
)
S
2
(
1
)
,
D
(S^(2)(1),D) \left(S^{2}(1), \mathcal{D}\right) ( S 2 ( 1 ) , D ) 上の
C
ω
C
ω
C^(omega) C^{\omega} C ω 級関数
f
f
f f f を
f
(
x
1
,
x
2
,
x
3
)
:=
x
1
f
x
1
,
x
2
,
x
3
:=
x
1
f(x_(1),x_(2),x_(3)):=x_(1) f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right):=x_{1} f ( x 1 , x 2 , x 3 ) := x 1 によって定義する。以下,
φ
1
+
=
(
y
1
,
y
2
)
φ
1
+
=
y
1
,
y
2
varphi_(1)^(+)=(y_(1),y_(2)) \varphi_{1}^{+}=\left(y_{1}, y_{2}\right) φ 1 + = ( y 1 , y 2 ) とする.
(i)
(
∂
∂
y
1
)
p
(
f
)
,
(
∂
∂
y
2
)
p
(
f
)
∂
∂
y
1
p
(
f
)
,
∂
∂
y
2
p
(
f
)
((del)/(dely_(1)))_(p)(f),((del)/(dely_(2)))_(p)(f) \left(\frac{\partial}{\partial y_{1}}\right)_{p}(f),\left(\frac{\partial}{\partial y_{2}}\right)_{p}(f) ( ∂ ∂ y 1 ) p ( f ) , ( ∂ ∂ y 2 ) p ( f ) を求めよ.
(ii)
v
v
v \boldsymbol{v} v を
(
∂
∂
y
1
)
p
,
(
∂
∂
y
2
)
p
∂
∂
y
1
p
,
∂
∂
y
2
p
((del)/(dely_(1)))_(p),((del)/(dely_(2)))_(p) \left(\frac{\partial}{\partial y_{1}}\right)_{p},\left(\frac{\partial}{\partial y_{2}}\right)_{p} ( ∂ ∂ y 1 ) p , ( ∂ ∂ y 2 ) p の 1 次結合で表せ.
(iii) (i), (ii) の計算結果を用いて,
v
(
f
)
v
(
f
)
v(f) \boldsymbol{v}(f) v ( f ) を求めよ.
(iv) (i), (ii) の計算結果を用いずに, 直接
v
(
f
)
v
(
f
)
v(f) \boldsymbol{v}(f) v ( f ) を求めよ.
3.4 写像の微分
この節では
r
≥
1
r
≥
1
r >= 1 r \geq 1 r ≥ 1 とする。この節において,
C
∞
C
∞
C^(oo) C^{\infty} C ∞ 多様体間の
C
r
C
r
C^(r) C^{r} C r 写像の微分 を定義することにする.
f
f
f f f を
m
m
m m m 次元
C
∞
C
∞
C^(oo) C^{\infty} C ∞ 多様体
M
M
M M M から
n
n
n n n 次元
C
∞
C
∞
C^(oo) C^{\infty} C ∞ 多様体
N
N
N N N への
C
r
C
r
C^(r) C^{r} C r 写像とする.
p
∈
M
p
∈
M
p in M p \in M p ∈ M に対し, 写像
d
f
p
:
T
p
M
→
T
f
(
p
)
N
d
f
p
:
T
p
M
→
T
f
(
p
)
N
df_(p):T_(p)M rarrT_(f(p))N d f_{p}: T_{p} M \rightarrow T_{f(p)} N d f p : T p M → T f ( p ) N を次式によっ て定義する:
d
f
p
(
v
)
:=
(
f
∘
c
)
′
(
t
0
)
(
v
=
c
′
(
t
0
)
∈
T
p
M
)
d
f
p
(
v
)
:=
(
f
∘
c
)
′
t
0
v
=
c
′
t
0
∈
T
p
M
df_(p)(v):=(f@c)^(')(t_(0))quad(v=c^(')(t_(0))inT_(p)M) d f_{p}(\boldsymbol{v}):=(f \circ c)^{\prime}\left(t_{0}\right) \quad\left(\boldsymbol{v}=c^{\prime}\left(t_{0}\right) \in T_{p} M\right) d f p ( v ) := ( f ∘ c ) ′ ( t 0 ) ( v = c ′ ( t 0 ) ∈ T p M )
(図 3.4.1 を参照). この写像
d
f
p
d
f
p
df_(p) d f_{p} d f p が well-definedであること, つまり,
c
′
(
t
0
)
c
′
t
0
c^(')(t_(0)) c^{\prime}\left(t_{0}\right) c ′ ( t 0 )
=
v
=
v
=v =\boldsymbol{v} = v となる
C
r
C
r
C^(r) C^{r} C r 曲線
c
c
c c c のとり方によらないことを示そう.
v
=
c
1
′
(
t
1
)
=
c
2
′
(
t
2
)
v
=
c
1
′
t
1
=
c
2
′
t
2
v=c_(1)^(')(t_(1))=c_(2)^(')(t_(2)) \boldsymbol{v}=c_{1}^{\prime}\left(t_{1}\right)=c_{2}^{\prime}\left(t_{2}\right) v = c 1 ′ ( t 1 ) = c 2 ′ ( t 2 ) とする.
p
p
p p p のまわりの
M
M
M M M の局所チャート
(
U
,
φ
=
(
x
1
,
…
,
x
m
)
)
U
,
φ
=
x
1
,
…
,
x
m
(U,varphi=(x_(1),dots,x_(m))) \left(U, \varphi=\left(x_{1}, \ldots, x_{m}\right)\right) ( U , φ = ( x 1 , … , x m ) ) と
f
(
p
)
f
(
p
)
f(p) f(p) f ( p ) のま わりの
N
N
N N N の局所チャート
(
V
,
ψ
=
(
y
1
,
…
,
y
n
)
)
V
,
ψ
=
y
1
,
…
,
y
n
(V,psi=(y_(1),dots,y_(n))) \left(V, \psi=\left(y_{1}, \ldots, y_{n}\right)\right) ( V , ψ = ( y 1 , … , y n ) ) をる. このとき,
図 3.4.1 写像の微分
(
f
∘
c
1
)
′
(
t
1
)
=
∑
j
=
1
n
d
y
j
(
f
(
c
1
(
t
)
)
)
d
t
|
t
=
t
1
(
∂
∂
y
j
)
f
(
p
)
=
∑
j
=
1
n
∑
i
=
1
m
(
∂
(
y
j
∘
f
∘
φ
−
1
)
∂
x
i
)
φ
(
p
)
d
x
i
(
c
1
(
t
)
)
d
t
|
t
=
t
1
(
∂
∂
y
j
)
f
(
p
)
=
∑
j
=
1
n
∑
i
=
1
m
(
∂
(
y
j
∘
f
∘
φ
−
1
)
∂
x
i
)
φ
(
p
)
d
x
i
(
c
2
(
t
)
)
d
t
|
t
=
t
2
(
∂
∂
y
j
)
f
(
p
)
=
(
f
∘
c
2
)
′
(
t
2
)
f
∘
c
1
′
t
1
=
∑
j
=
1
n
d
y
j
f
c
1
(
t
)
d
t
t
=
t
1
∂
∂
y
j
f
(
p
)
=
∑
j
=
1
n
∑
i
=
1
m
∂
y
j
∘
f
∘
φ
−
1
∂
x
i
φ
(
p
)
d
x
i
c
1
(
t
)
d
t
t
=
t
1
∂
∂
y
j
f
(
p
)
=
∑
j
=
1
n
∑
i
=
1
m
∂
y
j
∘
f
∘
φ
−
1
∂
x
i
φ
(
p
)
d
x
i
c
2
(
t
)
d
t
t
=
t
2
∂
∂
y
j
f
(
p
)
=
f
∘
c
2
′
t
2
{:[(f@c_(1))^(')(t_(1))=sum_(j=1)^(n)(dy_(j)(f(c_(1)(t))))/(dt)|_(t=t_(1))((del)/(dely_(j)))_(f(p))],[=sum_(j=1)^(n)sum_(i=1)^(m)((del(y_(j)@f@varphi^(-1)))/(delx_(i)))_(varphi(p))(dx_(i)(c_(1)(t)))/(dt)|_(t=t_(1))((del)/(dely_(j)))_(f(p))],[=sum_(j=1)^(n)sum_(i=1)^(m)((del(y_(j)@f@varphi^(-1)))/(delx_(i)))_(varphi(p))(dx_(i)(c_(2)(t)))/(dt)|_(t=t_(2))((del)/(dely_(j)))_(f(p))],[=(f@c_(2))^(')(t_(2))]:} \begin{aligned}
\left(f \circ c_{1}\right)^{\prime}\left(t_{1}\right) & =\left.\sum_{j=1}^{n} \frac{d y_{j}\left(f\left(c_{1}(t)\right)\right)}{d t}\right|_{t=t_{1}}\left(\frac{\partial}{\partial y_{j}}\right)_{f(p)} \\
& =\left.\sum_{j=1}^{n} \sum_{i=1}^{m}\left(\frac{\partial\left(y_{j} \circ f \circ \varphi^{-1}\right)}{\partial x_{i}}\right)_{\varphi(p)} \frac{d x_{i}\left(c_{1}(t)\right)}{d t}\right|_{t=t_{1}}\left(\frac{\partial}{\partial y_{j}}\right)_{f(p)} \\
& =\left.\sum_{j=1}^{n} \sum_{i=1}^{m}\left(\frac{\partial\left(y_{j} \circ f \circ \varphi^{-1}\right)}{\partial x_{i}}\right)_{\varphi(p)} \frac{d x_{i}\left(c_{2}(t)\right)}{d t}\right|_{t=t_{2}}\left(\frac{\partial}{\partial y_{j}}\right)_{f(p)} \\
& =\left(f \circ c_{2}\right)^{\prime}\left(t_{2}\right)
\end{aligned} ( f ∘ c 1 ) ′ ( t 1 ) = ∑ j = 1 n d y j ( f ( c 1 ( t ) ) ) d t | t = t 1 ( ∂ ∂ y j ) f ( p ) = ∑ j = 1 n ∑ i = 1 m ( ∂ ( y j ∘ f ∘ φ − 1 ) ∂ x i ) φ ( p ) d x i ( c 1 ( t ) ) d t | t = t 1 ( ∂ ∂ y j ) f ( p ) = ∑ j = 1 n ∑ i = 1 m ( ∂ ( y j ∘ f ∘ φ − 1 ) ∂ x i ) φ ( p ) d x i ( c 2 ( t ) ) d t | t = t 2 ( ∂ ∂ y j ) f ( p ) = ( f ∘ c 2 ) ′ ( t 2 )
をえる。したがって,
d
f
p
d
f
p
df_(p) d f_{p} d f p がwell-defined であることがわかる.
d
f
p
d
f
p
df_(p) d f_{p} d f p を
f
f
f \boldsymbol{f} f の
p
p
p \boldsymbol{p} p における微分(the differential of
f
f
f \boldsymbol{f} f at
p
)
p
)
p) \boldsymbol{p} ) ) p ) という。以下において,
d
f
p
d
f
p
df_(p) d f_{p} d f p を
f
∗
p
f
∗
p
f_(**p) f_{* p} f ∗ p と表すこともある.
命題 3.4.1
d
f
p
d
f
p
df_(p) d f_{p} d f p は線形写像である.
証明
a
,
b
∈
R
,
v
1
(
=
c
1
′
(
0
)
)
,
v
2
(
=
c
2
′
(
0
)
)
∈
T
p
M
a
,
b
∈
R
,
v
1
=
c
1
′
(
0
)
,
v
2
=
c
2
′
(
0
)
∈
T
p
M
a,b inR,v_(1)(=c_(1)^(')(0)),v_(2)(=c_(2)^(')(0))inT_(p)M a, b \in \mathbb{R}, \boldsymbol{v}_{1}\left(=c_{1}^{\prime}(0)\right), \boldsymbol{v}_{2}\left(=c_{2}^{\prime}(0)\right) \in T_{p} M a , b ∈ R , v 1 ( = c 1 ′ ( 0 ) ) , v 2 ( = c 2 ′ ( 0 ) ) ∈ T p M とする.
p
p
p p p のまわりの
M
M
M M M の局所チャート
(
U
,
φ
=
(
x
1
,
…
,
x
m
)
)
U
,
φ
=
x
1
,
…
,
x
m
(U,varphi=(x_(1),dots,x_(m))) \left(U, \varphi=\left(x_{1}, \ldots, x_{m}\right)\right) ( U , φ = ( x 1 , … , x m ) ) と
f
(
p
)
f
(
p
)
f(p) f(p) f ( p ) のまわりの
N
N
N N N の局所チャー ト
(
V
,
ψ
=
(
y
1
,
…
,
y
n
)
)
V
,
ψ
=
y
1
,
…
,
y
n
(V,psi=(y_(1),dots,y_(n))) \left(V, \psi=\left(y_{1}, \ldots, y_{n}\right)\right) ( V , ψ = ( y 1 , … , y n ) ) をとる.
c
^
(
t
)
:=
φ
−
1
(
a
(
φ
(
c
1
(
t
)
)
−
φ
(
p
)
)
+
b
(
φ
(
c
2
(
t
)
)
−
φ
(
p
)
)
+
φ
(
p
)
)
(
=
φ
−
1
(
a
(
x
1
(
c
1
(
t
)
)
−
x
1
(
p
)
)
+
b
(
x
1
(
c
2
(
t
)
)
−
x
1
(
p
)
)
+
x
1
(
p
)
…
,
a
(
x
n
(
c
1
(
t
)
)
−
x
n
(
p
)
)
+
b
(
x
n
(
c
2
(
t
)
)
−
x
n
(
p
)
)
+
x
n
(
p
)
)
c
^
(
t
)
:=
φ
−
1
(
a
φ
c
1
(
t
)
−
φ
(
p
)
+
b
φ
c
2
(
t
)
−
φ
(
p
)
+
φ
(
p
)
=
φ
−
1
a
x
1
c
1
(
t
)
−
x
1
(
p
)
+
b
x
1
c
2
(
t
)
−
x
1
(
p
)
+
x
1
(
p
)
…
,
a
x
n
c
1
(
t
)
−
x
n
(
p
)
+
b
x
n
c
2
(
t
)
−
x
n
(
p
)
+
x
n
(
p
)
{:[ widehat(c)(t):=varphi^(-1)({:a(varphi(c_(1)(t))-varphi(p))+b(varphi(c_(2)(t))-varphi(p))+varphi(p))],[(=varphi^(-1)(a(x_(1)(c_(1)(t))-x_(1)(p))+b(x_(1)(c_(2)(t))-x_(1)(p))+x_(1)(p):}],[{: quad dots,a(x_(n)(c_(1)(t))-x_(n)(p))+b(x_(n)(c_(2)(t))-x_(n)(p))+x_(n)(p))]:} \begin{aligned}
& \widehat{c}(t):=\varphi^{-1}(\left.a\left(\varphi\left(c_{1}(t)\right)-\varphi(p)\right)+b\left(\varphi\left(c_{2}(t)\right)-\varphi(p)\right)+\varphi(p)\right) \\
&\left(=\varphi^{-1}\left(a\left(x_{1}\left(c_{1}(t)\right)-x_{1}(p)\right)+b\left(x_{1}\left(c_{2}(t)\right)-x_{1}(p)\right)+x_{1}(p)\right.\right. \\
&\left.\quad \ldots, a\left(x_{n}\left(c_{1}(t)\right)-x_{n}(p)\right)+b\left(x_{n}\left(c_{2}(t)\right)-x_{n}(p)\right)+x_{n}(p)\right)
\end{aligned} c ^ ( t ) := φ − 1 ( a ( φ ( c 1 ( t ) ) − φ ( p ) ) + b ( φ ( c 2 ( t ) ) − φ ( p ) ) + φ ( p ) ) ( = φ − 1 ( a ( x 1 ( c 1 ( t ) ) − x 1 ( p ) ) + b ( x 1 ( c 2 ( t ) ) − x 1 ( p ) ) + x 1 ( p ) … , a ( x n ( c 1 ( t ) ) − x n ( p ) ) + b ( x n ( c 2 ( t ) ) − x n ( p ) ) + x n ( p ) )
として、
c
^
′
(
0
)
=
a
v
1
+
b
v
2
c
^
′
(
0
)
=
a
v
1
+
b
v
2
widehat(c)^(')(0)=av_(1)+bv_(2) \widehat{c}^{\prime}(0)=a \boldsymbol{v}_{1}+b \boldsymbol{v}_{2} c ^ ′ ( 0 ) = a v 1 + b v 2 となる. それゆえ、
d
f
p
(
a
v
1
+
b
v
2
)
=
(
f
∘
c
^
)
′
(
0
)
=
∑
j
=
1
n
d
(
y
j
∘
f
∘
c
^
)
d
t
|
t
=
0
(
∂
∂
y
j
)
f
(
p
)
=
∑
j
=
1
n
∑
i
=
1
m
(
∂
(
y
j
∘
f
∘
φ
−
1
)
∂
x
i
)
φ
(
p
)
d
(
x
i
∘
c
^
)
d
t
|
t
=
0
(
∂
∂
y
j
)
f
(
p
)
d
f
p
a
v
1
+
b
v
2
=
(
f
∘
c
^
)
′
(
0
)
=
∑
j
=
1
n
d
y
j
∘
f
∘
c
^
d
t
t
=
0
∂
∂
y
j
f
(
p
)
=
∑
j
=
1
n
∑
i
=
1
m
∂
y
j
∘
f
∘
φ
−
1
∂
x
i
φ
(
p
)
d
x
i
∘
c
^
d
t
t
=
0
∂
∂
y
j
f
(
p
)
{:[df_(p)(av_(1)+bv_(2))=(f@ widehat(c))^(')(0)=sum_(j=1)^(n)(d(y_(j)@f@( widehat(c))))/(dt)|_(t=0)((del)/(dely_(j)))_(f(p))],[=sum_(j=1)^(n)sum_(i=1)^(m)((del(y_(j)@f@varphi^(-1)))/(delx_(i)))_(varphi(p))(d(x_(i)@( widehat(c))))/(dt)|_(t=0)((del)/(dely_(j)))_(f(p))]:} \begin{aligned}
d f_{p}\left(a \boldsymbol{v}_{1}+b \boldsymbol{v}_{2}\right) & =(f \circ \widehat{c})^{\prime}(0)=\left.\sum_{j=1}^{n} \frac{d\left(y_{j} \circ f \circ \widehat{c}\right)}{d t}\right|_{t=0}\left(\frac{\partial}{\partial y_{j}}\right)_{f(p)} \\
& =\left.\sum_{j=1}^{n} \sum_{i=1}^{m}\left(\frac{\partial\left(y_{j} \circ f \circ \varphi^{-1}\right)}{\partial x_{i}}\right)_{\varphi(p)} \frac{d\left(x_{i} \circ \widehat{c}\right)}{d t}\right|_{t=0}\left(\frac{\partial}{\partial y_{j}}\right)_{f(p)}
\end{aligned} d f p ( a v 1 + b v 2 ) = ( f ∘ c ^ ) ′ ( 0 ) = ∑ j = 1 n d ( y j ∘ f ∘ c ^ ) d t | t = 0 ( ∂ ∂ y j ) f ( p ) = ∑ j = 1 n ∑ i = 1 m ( ∂ ( y j ∘ f ∘ φ − 1 ) ∂ x i ) φ ( p ) d ( x i ∘ c ^ ) d t | t = 0 ( ∂ ∂ y j ) f ( p )
となる. 一方,
(
x
i
∘
c
^
)
(
t
)
=
a
(
x
i
(
c
1
(
t
)
)
−
x
i
(
p
)
)
+
b
(
x
i
(
c
2
(
t
)
)
−
x
i
(
p
)
)
+
x
i
(
p
)
x
i
∘
c
^
(
t
)
=
a
x
i
c
1
(
t
)
−
x
i
(
p
)
+
b
x
i
c
2
(
t
)
−
x
i
(
p
)
+
x
i
(
p
)
(x_(i)@( widehat(c)))(t)=a(x_(i)(c_(1)(t))-x_(i)(p))+b(x_(i)(c_(2)(t))-x_(i)(p))+x_(i)(p) \left(x_{i} \circ \widehat{c}\right)(t)=a\left(x_{i}\left(c_{1}(t)\right)-x_{i}(p)\right)+b\left(x_{i}\left(c_{2}(t)\right)-x_{i}(p)\right)+x_{i}(p) ( x i ∘ c ^ ) ( t ) = a ( x i ( c 1 ( t ) ) − x i ( p ) ) + b ( x i ( c 2 ( t ) ) − x i ( p ) ) + x i ( p )
なので,
d
(
x
i
∘
c
^
)
d
t
|
t
=
0
=
a
d
(
x
i
∘
c
1
)
d
t
|
t
=
0
+
b
d
(
x
i
∘
c
2
)
d
t
|
t
=
0
d
x
i
∘
c
^
d
t
t
=
0
=
a
d
x
i
∘
c
1
d
t
t
=
0
+
b
d
x
i
∘
c
2
d
t
t
=
0
(d(x_(i)@( widehat(c))))/(dt)|_(t=0)=a(d(x_(i)@c_(1)))/(dt)|_(t=0)+b(d(x_(i)@c_(2)))/(dt)|_(t=0) \left.\frac{d\left(x_{i} \circ \widehat{c}\right)}{d t}\right|_{t=0}=\left.a \frac{d\left(x_{i} \circ c_{1}\right)}{d t}\right|_{t=0}+\left.b \frac{d\left(x_{i} \circ c_{2}\right)}{d t}\right|_{t=0} d ( x i ∘ c ^ ) d t | t = 0 = a d ( x i ∘ c 1 ) d t | t = 0 + b d ( x i ∘ c 2 ) d t | t = 0
となる. それゆえ,
d
f
p
(
a
v
1
+
b
v
2
)
=
a
∑
j
=
1
n
∑
i
=
1
m
(
∂
(
y
j
∘
f
∘
φ
−
1
)
∂
x
i
)
φ
(
p
)
d
(
x
i
∘
c
1
)
d
t
|
t
=
0
(
∂
∂
y
j
)
f
(
p
)
+
b
∑
j
=
1
n
∑
i
=
1
m
(
∂
(
y
j
∘
f
∘
φ
−
1
)
∂
x
i
)
φ
(
p
)
d
(
x
i
∘
c
2
)
d
t
|
t
=
0
(
∂
∂
y
j
)
f
(
p
)
=
a
(
f
∘
c
1
)
′
(
0
)
+
b
(
f
∘
c
2
)
′
(
0
)
=
a
d
f
p
(
v
1
)
+
b
d
f
p
(
v
2
)
d
f
p
a
v
1
+
b
v
2
=
a
∑
j
=
1
n
∑
i
=
1
m
∂
y
j
∘
f
∘
φ
−
1
∂
x
i
φ
(
p
)
d
x
i
∘
c
1
d
t
t
=
0
∂
∂
y
j
f
(
p
)
+
b
∑
j
=
1
n
∑
i
=
1
m
∂
y
j
∘
f
∘
φ
−
1
∂
x
i
φ
(
p
)
d
x
i
∘
c
2
d
t
t
=
0
∂
∂
y
j
f
(
p
)
=
a
f
∘
c
1
′
(
0
)
+
b
f
∘
c
2
′
(
0
)
=
a
d
f
p
v
1
+
b
d
f
p
v
2
{:[df_(p)(av_(1)+bv_(2))=asum_(j=1)^(n)sum_(i=1)^(m)((del(y_(j)@f@varphi^(-1)))/(delx_(i)))_(varphi(p))(d(x_(i)@c_(1)))/(dt)|_(t=0)((del)/(dely_(j)))_(f(p))],[+bsum_(j=1)^(n)sum_(i=1)^(m)((del(y_(j)@f@varphi^(-1)))/(delx_(i)))_(varphi(p))(d(x_(i)@c_(2)))/(dt)|_(t=0)((del)/(dely_(j)))_(f(p))],[=a(f@c_(1))^(')(0)+b(f@c_(2))^(')(0)=adf_(p)(v_(1))+bdf_(p)(v_(2))]:} \begin{aligned}
d f_{p}\left(a \boldsymbol{v}_{1}+b \boldsymbol{v}_{2}\right)= & \left.a \sum_{j=1}^{n} \sum_{i=1}^{m}\left(\frac{\partial\left(y_{j} \circ f \circ \varphi^{-1}\right)}{\partial x_{i}}\right)_{\varphi(p)} \frac{d\left(x_{i} \circ c_{1}\right)}{d t}\right|_{t=0}\left(\frac{\partial}{\partial y_{j}}\right)_{f(p)} \\
& +\left.b \sum_{j=1}^{n} \sum_{i=1}^{m}\left(\frac{\partial\left(y_{j} \circ f \circ \varphi^{-1}\right)}{\partial x_{i}}\right)_{\varphi(p)} \frac{d\left(x_{i} \circ c_{2}\right)}{d t}\right|_{t=0}\left(\frac{\partial}{\partial y_{j}}\right)_{f(p)} \\
= & a\left(f \circ c_{1}\right)^{\prime}(0)+b\left(f \circ c_{2}\right)^{\prime}(0)=a d f_{p}\left(\boldsymbol{v}_{1}\right)+b d f_{p}\left(\boldsymbol{v}_{2}\right)
\end{aligned} d f p ( a v 1 + b v 2 ) = a ∑ j = 1 n ∑ i = 1 m ( ∂ ( y j ∘ f ∘ φ − 1 ) ∂ x i ) φ ( p ) d ( x i ∘ c 1 ) d t | t = 0 ( ∂ ∂ y j ) f ( p ) + b ∑ j = 1 n ∑ i = 1 m ( ∂ ( y j ∘ f ∘ φ − 1 ) ∂ x i ) φ ( p ) d ( x i ∘ c 2 ) d t | t = 0 ( ∂ ∂ y j ) f ( p ) = a ( f ∘ c 1 ) ′ ( 0 ) + b ( f ∘ c 2 ) ′ ( 0 ) = a d f p ( v 1 ) + b d f p ( v 2 )
が示され,
d
f
p
d
f
p
df_(p) d f_{p} d f p が線形写像であることがわかる.
注意
d
f
p
d
f
p
df_(p) d f_{p} d f p は,
f
f
f f f を
p
p
p p p において無限小化してえられる線形写像と解釈される.
次に,
C
∞
C
∞
C^(oo) C^{\infty} C ∞ 多様体間の
C
r
C
r
C^(r) C^{r} C r 写像のヤコビ行列を定義する.
(
U
,
φ
=
(
x
1
,
…
U
,
φ
=
x
1
,
…
(U,varphi=(x_(1),dots:} \left(U, \varphi=\left(x_{1}, \ldots\right.\right. ( U , φ = ( x 1 , … ,
x
m
)
)
x
m
{:x_(m))) \left.\left.x_{m}\right)\right) x m ) ) を
p
p
p p p のわりの
M
M
M M M の局所チャートとし,
(
V
,
ψ
=
(
y
1
,
…
,
y
n
)
)
V
,
ψ
=
y
1
,
…
,
y
n
(V,psi=(y_(1),dots,y_(n))) \left(V, \psi=\left(y_{1}, \ldots, y_{n}\right)\right) ( V , ψ = ( y 1 , … , y n ) ) を
f
(
p
)
f
(
p
)
f(p) f(p) f ( p ) のまわりの
N
N
N N N の局所チャートとする.
c
i
(
t
)
:=
φ
−
1
(
x
1
(
p
)
,
…
,
x
i
(
p
)
+
t
,
…
c
i
(
t
)
:=
φ
−
1
x
1
(
p
)
,
…
,
x
i
(
p
)
+
t
,
…
c_(i)(t):=varphi^(-1)(x_(1)(p),dots,x_(i)(p)+t,dots:} c_{i}(t):=\varphi^{-1}\left(x_{1}(p), \ldots, x_{i}(p)+t, \ldots\right. c i ( t ) := φ − 1 ( x 1 ( p ) , … , x i ( p ) + t , … ,
x
n
(
p
)
)
x
n
(
p
)
{:x_(n)(p)) \left.x_{n}(p)\right) x n ( p ) ) とすると,
c
i
′
(
0
)
=
(
∂
∂
x
i
)
p
c
i
′
(
0
)
=
∂
∂
x
i
p
c_(i)^(')(0)=((del)/(delx_(i)))_(p) c_{i}^{\prime}(0)=\left(\frac{\partial}{\partial x_{i}}\right)_{p} c i ′ ( 0 ) = ( ∂ ∂ x i ) p となるので,
d
f
p
(
(
∂
∂
x
i
)
p
)
=
∑
j
=
1
n
d
(
y
j
∘
f
∘
c
i
)
d
t
|
t
=
0
(
∂
∂
y
j
)
f
(
p
)
(3.4.1)
=
∑
j
=
1
n
(
∂
(
y
j
∘
f
∘
φ
−
1
)
∂
x
i
)
φ
(
p
)
(
∂
∂
y
j
)
f
(
p
)
d
f
p
∂
∂
x
i
p
=
∑
j
=
1
n
d
y
j
∘
f
∘
c
i
d
t
t
=
0
∂
∂
y
j
f
(
p
)
(3.4.1)
=
∑
j
=
1
n
∂
y
j
∘
f
∘
φ
−
1
∂
x
i
φ
(
p
)
∂
∂
y
j
f
(
p
)
{:[df_(p)(((del)/(delx_(i)))_(p))=sum_(j=1)^(n)(d(y_(j)@f@c_(i)))/(dt)|_(t=0)((del)/(dely_(j)))_(f(p))],[(3.4.1)=sum_(j=1)^(n)((del(y_(j)@f@varphi^(-1)))/(delx_(i)))_(varphi(p))((del)/(dely_(j)))_(f(p))]:} \begin{align*}
d f_{p}\left(\left(\frac{\partial}{\partial x_{i}}\right)_{p}\right) & =\left.\sum_{j=1}^{n} \frac{d\left(y_{j} \circ f \circ c_{i}\right)}{d t}\right|_{t=0}\left(\frac{\partial}{\partial y_{j}}\right)_{f(p)} \\
& =\sum_{j=1}^{n}\left(\frac{\partial\left(y_{j} \circ f \circ \varphi^{-1}\right)}{\partial x_{i}}\right)_{\varphi(p)}\left(\frac{\partial}{\partial y_{j}}\right)_{f(p)} \tag{3.4.1}
\end{align*} d f p ( ( ∂ ∂ x i ) p ) = ∑ j = 1 n d ( y j ∘ f ∘ c i ) d t | t = 0 ( ∂ ∂ y j ) f ( p ) (3.4.1) = ∑ j = 1 n ( ∂ ( y j ∘ f ∘ φ − 1 ) ∂ x i ) φ ( p ) ( ∂ ∂ y j ) f ( p )
が示される。この関係式は, 線形写像
d
f
p
:
T
p
M
→
T
f
(
p
)
N
d
f
p
:
T
p
M
→
T
f
(
p
)
N
df_(p):T_(p)M rarrT_(f(p))N d f_{p}: T_{p} M \rightarrow T_{f(p)} N d f p : T p M → T f ( p ) N の基底
(
(
∂
∂
x
1
)
p
,
…
,
(
∂
∂
x
m
)
p
)
∂
∂
x
1
p
,
…
,
∂
∂
x
m
p
(((del)/(delx_(1)))_(p),dots,((del)/(delx_(m)))_(p)) \left(\left(\frac{\partial}{\partial x_{1}}\right)_{p}, \ldots,\left(\frac{\partial}{\partial x_{m}}\right)_{p}\right) ( ( ∂ ∂ x 1 ) p , … , ( ∂ ∂ x m ) p ) と基底
(
(
∂
∂
y
1
)
f
(
p
)
,
…
,
(
∂
∂
y
n
)
f
(
p
)
)
∂
∂
y
1
f
(
p
)
,
…
,
∂
∂
y
n
f
(
p
)
(((del)/(dely_(1)))_(f(p)),dots,((del)/(dely_(n)))_(f(p))) \left(\left(\frac{\partial}{\partial y_{1}}\right)_{f(p)}, \ldots,\left(\frac{\partial}{\partial y_{n}}\right)_{f(p)}\right) ( ( ∂ ∂ y 1 ) f ( p ) , … , ( ∂ ∂ y n ) f ( p ) ) に関する 表現行列が
(
(
∂
(
y
j
∘
f
∘
φ
−
1
)
∂
x
i
)
φ
(
p
)
)
∂
y
j
∘
f
∘
φ
−
1
∂
x
i
φ
(
p
)
quad(((del(y_(j)@f@varphi^(-1)))/(delx_(i)))_(varphi(p))) \quad\left(\left(\frac{\partial\left(y_{j} \circ f \circ \varphi^{-1}\right)}{\partial x_{i}}\right)_{\varphi(p)}\right) ( ( ∂ ( y j ∘ f ∘ φ − 1 ) ∂ x i ) φ ( p ) ) であることを表す.ここで,
(
(
∂
(
y
j
∘
f
∘
φ
−
1
)
∂
x
i
)
φ
(
p
)
)
∂
y
j
∘
f
∘
φ
−
1
∂
x
i
φ
(
p
)
(((del(y_(j)@f@varphi^(-1)))/(delx_(i)))_(varphi(p))) \left(\left(\frac{\partial\left(y_{j} \circ f \circ \varphi^{-1}\right)}{\partial x_{i}}\right)_{\varphi(p)}\right) ( ( ∂ ( y j ∘ f ∘ φ − 1 ) ∂ x i ) φ ( p ) ) は,
(
∂
(
y
j
∘
f
∘
φ
−
1
)
∂
x
i
)
φ
(
p
)
∂
y
j
∘
f
∘
φ
−
1
∂
x
i
φ
(
p
)
((del(y_(j)@f@varphi^(-1)))/(delx_(i)))_(varphi(p)) \left(\frac{\partial\left(y_{j} \circ f \circ \varphi^{-1}\right)}{\partial x_{i}}\right)_{\varphi(p)} ( ∂ ( y j ∘ f ∘ φ − 1 ) ∂ x i ) φ ( p ) を
(
i
,
j
)
(
i
,
j
)
(i,j) (i, j) ( i , j ) 成分とする
(
m
,
n
)
(
m
,
n
)
(m,n) (m, n) ( m , n ) 型行列を表す. この表現行列は,
f
f
f f f の点
p
p
p p p における
(
U
,
φ
)
,
(
V
,
ψ
)
(
U
,
φ
)
,
(
V
,
ψ
)
(U,varphi),(V,psi) (U, \varphi),(V, \psi) ( U , φ ) , ( V , ψ ) に関するヤ コビ行列とよばれ, 本書では, この行列を
J
f
p
φ
,
ψ
J
f
p
φ
,
ψ
Jf_(p)^(varphi,psi) J f_{p}^{\varphi, \psi} J f p φ , ψ と表すことにする.
特に
N
=
R
N
=
R
N=R N=\mathbb{R} N = R , つまり,
f
f
f f f が
M
M
M M M 上の
C
r
C
r
C^(r) C^{r} C r 級関数の場合を考える。ここで,
R
R
R \mathbb{R} R は
D
:=
{
(
R
,
id
R
)
}
D
:=
R
,
id
R
D:={(R,id_(R))} \mathcal{D}:=\left\{\left(\mathbb{R}, \mathrm{id}_{\mathbb{R}}\right)\right\} D := { ( R , id R ) } を
C
ω
C
ω
C^(omega) C^{\omega} C ω 構造としてもつ 1 次元
C
ω
C
ω
C^(omega) C^{\omega} C ω 多様体とみなされる.
id
R
id
R
id_(R) \mathrm{id}_{\mathbb{R}} id R
=
(
t
)
=
(
t
)
=(t) =(t) = ( t ) として, この座標の座標基底は,
∂
∂
t
∂
∂
t
(del)/(del t) \frac{\partial}{\partial t} ∂ ∂ t ではなく,
d
d
t
d
d
t
(d)/(dt) \frac{d}{d t} d d t と表すことにする. なぜならば,
∂
∂
t
∂
∂
t
(del)/(del t) \frac{\partial}{\partial t} ∂ ∂ t に関する
R
R
R \mathbb{R} R 上の関数の方向微分は常微分となるからである.接空間
T
t
0
R
T
t
0
R
T_(t_(0))R T_{t_{0}} \mathbb{R} T t 0 R は, 対応
a
(
d
d
t
)
t
0
⟷
a
(
a
∈
R
)
a
d
d
t
t
0
⟷
a
(
a
∈
R
)
a((d)/(dt))_(t_(0))longleftrightarrow a quad(a inR) a\left(\frac{d}{d t}\right)_{t_{0}} \longleftrightarrow a \quad(a \in \mathbb{R}) a ( d d t ) t 0 ⟷ a ( a ∈ R ) の下,
R
R
R \mathbb{R} R と同一視される ので,
f
f
f f f の
p
(
∈
M
)
p
(
∈
M
)
p(in M) p(\in M) p ( ∈ M ) における微分
d
f
p
:
T
p
M
→
T
f
(
p
)
R
d
f
p
:
T
p
M
→
T
f
(
p
)
R
df_(p):T_(p)M rarrT_(f(p))R d f_{p}: T_{p} M \rightarrow T_{f(p)} \mathbb{R} d f p : T p M → T f ( p ) R は,
T
p
M
T
p
M
T_(p)M T_{p} M T p M 上の線形関数, つまり,
T
p
M
T
p
M
T_(p)M T_{p} M T p M の双対空間
T
p
∗
M
T
p
∗
M
T_(p)^(**)M T_{p}^{*} M T p ∗ M の元とみなされる. 同様に,
M
M
M M M の局所チ ヤート
(
U
,
φ
=
(
x
1
,
…
,
x
n
)
)
U
,
φ
=
x
1
,
…
,
x
n
(U,varphi=(x_(1),dots,x_(n))) \left(U, \varphi=\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)\right) ( U , φ = ( x 1 , … , x n ) ) に対し,
x
i
x
i
x_(i) x_{i} x i は
U
U
U U U 上の
C
∞
C
∞
C^(oo) C^{\infty} C ∞ 級関数なので,
(
d
x
i
)
p
d
x
i
p
(dx_(i))_(p) \left(d x_{i}\right)_{p} ( d x i ) p は
T
p
∗
U
(
=
T
p
∗
M
)
T
p
∗
U
=
T
p
∗
M
T_(p)^(**)U(=T_(p)^(**)M) T_{p}^{*} U\left(=T_{p}^{*} M\right) T p ∗ U ( = T p ∗ M ) の元とみなされる.
命題 3.4.2
(
(
d
x
1
)
p
,
…
,
(
d
x
n
)
p
)
d
x
1
p
,
…
,
d
x
n
p
((dx_(1))_(p),dots,(dx_(n))_(p)) \left(\left(d x_{1}\right)_{p}, \ldots,\left(d x_{n}\right)_{p}\right) ( ( d x 1 ) p , … , ( d x n ) p ) は,
T
p
M
T
p
M
T_(p)M T_{p} M T p M の基底
(
(
∂
∂
x
1
)
p
,
…
,
(
∂
∂
x
n
)
p
)
∂
∂
x
1
p
,
…
,
∂
∂
x
n
p
(((del)/(delx_(1)))_(p),dots,((del)/(delx_(n)))_(p)) \left(\left(\frac{\partial}{\partial x_{1}}\right)_{p}, \ldots,\left(\frac{\partial}{\partial x_{n}}\right)_{p}\right) ( ( ∂ ∂ x 1 ) p , … , ( ∂ ∂ x n ) p )
の双対基底である。
証明
c
j
(
s
)
:=
φ
−
1
(
x
1
(
p
)
,
…
,
x
j
(
p
)
+
s
,
…
,
x
n
(
p
)
)
c
j
(
s
)
:=
φ
−
1
x
1
(
p
)
,
…
,
x
j
(
p
)
+
s
,
…
,
x
n
(
p
)
quadc_(j)(s):=varphi^(-1)(x_(1)(p),dots,x_(j)(p)+s,dots,x_(n)(p)) \quad c_{j}(s):=\varphi^{-1}\left(x_{1}(p), \ldots, x_{j}(p)+s, \ldots, x_{n}(p)\right) c j ( s ) := φ − 1 ( x 1 ( p ) , … , x j ( p ) + s , … , x n ( p ) ) とする. このとき, 上述の
T
f
(
p
)
R
T
f
(
p
)
R
T_(f(p))R T_{f(p)} \mathbb{R} T f ( p ) R と
R
R
R \mathbb{R} R の同一視の下,
(
d
x
i
)
p
(
(
∂
∂
x
j
)
p
)
=
d
(
t
∘
x
i
∘
c
j
)
d
s
|
s
=
0
(
d
d
t
)
f
(
p
)
=
d
(
t
∘
x
i
∘
c
j
)
d
s
|
s
=
0
=
d
(
x
i
∘
c
j
)
d
s
|
s
=
0
=
(
∂
x
i
∘
φ
−
1
∂
x
j
)
φ
(
p
)
=
δ
i
j
d
x
i
p
∂
∂
x
j
p
=
d
t
∘
x
i
∘
c
j
d
s
s
=
0
d
d
t
f
(
p
)
=
d
t
∘
x
i
∘
c
j
d
s
s
=
0
=
d
x
i
∘
c
j
d
s
s
=
0
=
∂
x
i
∘
φ
−
1
∂
x
j
φ
(
p
)
=
δ
i
j
{:[(dx_(i))_(p)(((del)/(delx_(j)))_(p))=(d(t@x_(i)@c_(j)))/(ds)|_(s=0)((d)/(dt))_(f(p))=(d(t@x_(i)@c_(j)))/(ds)|_(s=0)],[=(d(x_(i)@c_(j)))/(ds)|_(s=0)=((delx_(i)@varphi^(-1))/(delx_(j)))_(varphi(p))=delta_(ij)]:} \begin{aligned}
\left(d x_{i}\right)_{p}\left(\left(\frac{\partial}{\partial x_{j}}\right)_{p}\right) & =\left.\frac{d\left(t \circ x_{i} \circ c_{j}\right)}{d s}\right|_{s=0}\left(\frac{d}{d t}\right)_{f(p)}=\left.\frac{d\left(t \circ x_{i} \circ c_{j}\right)}{d s}\right|_{s=0} \\
& =\left.\frac{d\left(x_{i} \circ c_{j}\right)}{d s}\right|_{s=0}=\left(\frac{\partial x_{i} \circ \varphi^{-1}}{\partial x_{j}}\right)_{\varphi(p)}=\delta_{i j}
\end{aligned} ( d x i ) p ( ( ∂ ∂ x j ) p ) = d ( t ∘ x i ∘ c j ) d s | s = 0 ( d d t ) f ( p ) = d ( t ∘ x i ∘ c j ) d s | s = 0 = d ( x i ∘ c j ) d s | s = 0 = ( ∂ x i ∘ φ − 1 ∂ x j ) φ ( p ) = δ i j
をえる. したがって, 主張が示される.
次に,
d
f
p
d
f
p
df_(p) d f_{p} d f p の
(
d
x
1
)
p
,
…
,
(
d
x
n
)
p
d
x
1
p
,
…
,
d
x
n
p
(dx_(1))_(p),dots,(dx_(n))_(p) \left(d x_{1}\right)_{p}, \ldots,\left(d x_{n}\right)_{p} ( d x 1 ) p , … , ( d x n ) p の 1 次結合による表示を与えよう.
命題 3.4.3
C
r
C
r
C^(r) C^{r} C r 級関数
f
:
M
→
R
f
:
M
→
R
f:M rarrR f: M \rightarrow \mathbb{R} f : M → R と
p
p
p p p のまわりの局所チャート
(
U
,
φ
=
(
U
,
φ
=
(U,varphi= (U, \varphi= ( U , φ =
(
x
1
,
…
,
x
n
)
)
x
1
,
…
,
x
n
{:(x_(1),dots,x_(n))) \left.\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)\right) ( x 1 , … , x n ) ) に対し,次式が成り立つ:
d
f
p
=
∑
i
=
1
m
(
∂
(
f
∘
φ
−
1
)
∂
x
i
)
φ
(
p
)
(
d
x
i
)
p
d
f
p
=
∑
i
=
1
m
∂
f
∘
φ
−
1
∂
x
i
φ
(
p
)
d
x
i
p
df_(p)=sum_(i=1)^(m)((del(f@varphi^(-1)))/(delx_(i)))_(varphi(p))(dx_(i))_(p) d f_{p}=\sum_{i=1}^{m}\left(\frac{\partial\left(f \circ \varphi^{-1}\right)}{\partial x_{i}}\right)_{\varphi(p)}\left(d x_{i}\right)_{p} d f p = ∑ i = 1 m ( ∂ ( f ∘ φ − 1 ) ∂ x i ) φ ( p ) ( d x i ) p
証明 命題3.4.2より,
(
(
d
x
1
)
p
,
…
,
(
d
x
n
)
p
)
d
x
1
p
,
…
,
d
x
n
p
((dx_(1))_(p),dots,(dx_(n))_(p)) \left(\left(d x_{1}\right)_{p}, \ldots,\left(d x_{n}\right)_{p}\right) ( ( d x 1 ) p , … , ( d x n ) p ) は,
T
p
∗
M
T
p
∗
M
T_(p)^(**)M T_{p}^{*} M T p ∗ M の基底なので, ある 実数
a
1
,
…
,
a
n
a
1
,
…
,
a
n
a_(1),dots,a_(n) a_{1}, \ldots, a_{n} a 1 , … , a n を用いて,
d
f
p
=
∑
i
=
1
n
a
i
(
d
x
i
)
p
d
f
p
=
∑
i
=
1
n
a
i
d
x
i
p
df_(p)=sum_(i=1)^(n)a_(i)(dx_(i))_(p) d f_{p}=\sum_{i=1}^{n} a_{i}\left(d x_{i}\right)_{p} d f p = ∑ i = 1 n a i ( d x i ) p と表される。
a
i
a
i
a_(i) a_{i} a i を求めよう.
c
i
(
s
)
:=
φ
−
1
(
x
1
(
p
)
,
…
,
x
i
(
p
)
+
s
,
…
,
x
n
(
p
)
)
c
i
(
s
)
:=
φ
−
1
x
1
(
p
)
,
…
,
x
i
(
p
)
+
s
,
…
,
x
n
(
p
)
c_(i)(s):=varphi^(-1)(x_(1)(p),dots,x_(i)(p)+s,dots,x_(n)(p)) c_{i}(s):=\varphi^{-1}\left(x_{1}(p), \ldots, x_{i}(p)+s, \ldots, x_{n}(p)\right) c i ( s ) := φ − 1 ( x 1 ( p ) , … , x i ( p ) + s , … , x n ( p ) ) とすると,次の 2 式をえる:
d
f
p
(
(
∂
∂
x
i
)
p
)
=
d
(
t
∘
f
∘
c
i
)
d
s
|
s
=
0
(
d
d
t
)
f
(
p
)
=
(
∂
(
f
∘
φ
−
1
)
∂
x
i
)
φ
(
p
)
d
f
p
(
(
∂
∂
x
i
)
p
)
=
(
∑
j
=
1
n
a
j
(
d
x
j
)
p
)
(
(
∂
∂
x
i
)
p
)
=
∑
j
=
1
n
a
j
(
d
x
j
)
p
(
∂
∂
x
i
)
p
=
a
i
d
f
p
∂
∂
x
i
p
=
d
t
∘
f
∘
c
i
d
s
s
=
0
d
d
t
f
(
p
)
=
∂
f
∘
φ
−
1
∂
x
i
φ
(
p
)
d
f
p
∂
∂
x
i
p
=
∑
j
=
1
n
a
j
d
x
j
p
∂
∂
x
i
p
=
∑
j
=
1
n
a
j
d
x
j
p
∂
∂
x
i
p
=
a
i
{:[df_(p)(((del)/(delx_(i)))_(p))=(d(t@f@c_(i)))/(ds)|_(s=0)((d)/(dt))_(f(p))=((del(f@varphi^(-1)))/(delx_(i)))_(varphi(p))],[df_(p)(((del)/(delx_(i)))_(p))=(sum_(j=1)^(n)a_(j)(dx_(j))_(p))(((del)/(delx_(i)))_(p))=sum_(j=1)^(n)a_(j)(dx_(j))_(p)((del)/(delx_(i)))_(p)=a_(i)]:} \begin{aligned}
& d f_{p}\left(\left(\frac{\partial}{\partial x_{i}}\right)_{p}\right)=\left.\frac{d\left(t \circ f \circ c_{i}\right)}{d s}\right|_{s=0}\left(\frac{d}{d t}\right)_{f(p)}=\left(\frac{\partial\left(f \circ \varphi^{-1}\right)}{\partial x_{i}}\right)_{\varphi(p)} \\
& d f_{p}\left(\left(\frac{\partial}{\partial x_{i}}\right)_{p}\right)=\left(\sum_{j=1}^{n} a_{j}\left(d x_{j}\right)_{p}\right)\left(\left(\frac{\partial}{\partial x_{i}}\right)_{p}\right)=\sum_{j=1}^{n} a_{j}\left(d x_{j}\right)_{p}\left(\frac{\partial}{\partial x_{i}}\right)_{p}=a_{i}
\end{aligned} d f p ( ( ∂ ∂ x i ) p ) = d ( t ∘ f ∘ c i ) d s | s = 0 ( d d t ) f ( p ) = ( ∂ ( f ∘ φ − 1 ) ∂ x i ) φ ( p ) d f p ( ( ∂ ∂ x i ) p ) = ( ∑ j = 1 n a j ( d x j ) p ) ( ( ∂ ∂ x i ) p ) = ∑ j = 1 n a j ( d x j ) p ( ∂ ∂ x i ) p = a i
それゆえ,
a
i
=
(
∂
(
f
∘
φ
−
1
)
∂
x
i
)
φ
(
p
)
a
i
=
∂
f
∘
φ
−
1
∂
x
i
φ
(
p
)
a_(i)=((del(f@varphi^(-1)))/(delx_(i)))_(varphi(p)) a_{i}=\left(\frac{\partial\left(f \circ \varphi^{-1}\right)}{\partial x_{i}}\right)_{\varphi(p)} a i = ( ∂ ( f ∘ φ − 1 ) ∂ x i ) φ ( p ) が示される. これを
d
f
p
=
∑
i
=
1
n
a
i
(
d
x
i
)
p
d
f
p
=
∑
i
=
1
n
a
i
d
x
i
p
df_(p)=sum_(i=1)^(n)a_(i)(dx_(i))_(p) d f_{p}=\sum_{i=1}^{n} a_{i}\left(d x_{i}\right)_{p} d f p = ∑ i = 1 n a i ( d x i ) p に 代人して, 求めるべき関係式がえられる。
d
f
p
d
f
p
df_(p) d f_{p} d f p と
f
f
f f f の方向微分の間に, 次の関係式が成り立つ.
命題 3.4.4
C
r
C
r
C^(r) C^{r} C r 級関数
f
:
M
→
R
f
:
M
→
R
f:M rarrR f: M \rightarrow \mathbb{R} f : M → R と
v
∈
T
p
M
v
∈
T
p
M
v inT_(p)M \boldsymbol{v} \in T_{p} M v ∈ T p M に対し,
d
f
p
(
v
)
=
v
(
f
)
d
f
p
(
v
)
=
v
(
f
)
df_(p)(v)=v(f) d f_{p}(\boldsymbol{v})=\boldsymbol{v}(f) d f p ( v ) = v ( f ) が 成り立つ.
証明
v
=
c
′
(
0
)
とする. このとき,
証明
v
=
c
′
(
0
)
とする. このとき,
" 証明 "v=c^(')(0)" とする. このとき, " \text { 証明 } \boldsymbol{v}=c^{\prime}(0) \text { とする. このとき, } 証 明 と す る こ の と き , 証明 v = c ′ ( 0 ) とする. このとき,
d
f
p
(
v
)
=
(
f
∘
c
)
′
(
0
)
=
d
(
t
∘
f
∘
c
)
d
s
|
s
=
0
(
d
d
t
)
p
=
d
(
f
∘
c
)
d
s
|
s
=
0
=
v
(
f
)
d
f
p
(
v
)
=
(
f
∘
c
)
′
(
0
)
=
d
(
t
∘
f
∘
c
)
d
s
s
=
0
d
d
t
p
=
d
(
f
∘
c
)
d
s
s
=
0
=
v
(
f
)
df_(p)(v)=(f@c)^(')(0)=(d(t@f@c))/(ds)|_(s=0)((d)/(dt))_(p)=(d(f@c))/(ds)|_(s=0)=v(f) d f_{p}(\boldsymbol{v})=(f \circ c)^{\prime}(0)=\left.\frac{d(t \circ f \circ c)}{d s}\right|_{s=0}\left(\frac{d}{d t}\right)_{p}=\left.\frac{d(f \circ c)}{d s}\right|_{s=0}=\boldsymbol{v}(f) d f p ( v ) = ( f ∘ c ) ′ ( 0 ) = d ( t ∘ f ∘ c ) d s | s = 0 ( d d t ) p = d ( f ∘ c ) d s | s = 0 = v ( f )
となり, 求めるべき関係式が示される.
問 3.4.1
f
f
f f f を 4 次元単位球面
(
S
4
(
1
)
,
D
)
S
4
(
1
)
,
D
(S^(4)(1),D) \left(S^{4}(1), \mathcal{D}\right) ( S 4 ( 1 ) , D ) から
(
A
5
,
D
~
)
A
5
,
D
~
(A^(5),( widetilde(D))) \left(\mathbb{A}^{5}, \widetilde{D}\right) ( A 5 , D ~ ) への包含写像とする(つま り
f
(
p
)
=
p
(
p
∈
S
4
(
1
)
)
)
f
(
p
)
=
p
p
∈
S
4
(
1
)
{:f(p)=p(p inS^(4)(1))) \left.f(p)=p\left(p \in S^{4}(1)\right)\right) f ( p ) = p ( p ∈ S 4 ( 1 ) ) ) . ここで,
D
D
D \mathcal{D} D は問 3.1.2 で述べた
S
n
(
1
)
S
n
(
1
)
S^(n)(1) S^{n}(1) S n ( 1 ) の
C
ω
C
ω
C^(omega) C^{\omega} C ω 構造の
n
=
4
n
=
4
n=4 n=4 n = 4 版を表し,
D
~
D
~
widetilde(D) \widetilde{D} D ~ は問 3.1.1 で述べた一般のアフィン空間
A
A
A \mathbb{A} A の
C
ω
C
ω
C^(omega) C^{\omega} C ω 構造の
A
5
A
5
A^(5) \mathbb{A}^{5} A 5 版 を表す:
D
=
{
(
U
i
+
,
φ
i
+
)
∣
i
=
1
,
…
,
5
}
∪
{
(
U
i
−
,
φ
i
−
)
∣
i
=
1
,
…
,
5
}
D
~
=
{
(
A
5
,
φ
E
,
p
)
∣
(
E
,
p
)
∈
F
(
R
5
)
×
A
5
}
D
=
U
i
+
,
φ
i
+
∣
i
=
1
,
…
,
5
∪
U
i
−
,
φ
i
−
∣
i
=
1
,
…
,
5
D
~
=
A
5
,
φ
E
,
p
∣
(
E
,
p
)
∈
F
R
5
×
A
5
{:[D={(U_(i)^(+),varphi_(i)^(+))∣i=1,dots,5}uu{(U_(i)^(-),varphi_(i)^(-))∣i=1,dots,5}],[ widetilde(D)={(A^(5),varphi_(E,p))∣(E,p)inF(R^(5))xxA^(5)}]:} \begin{aligned}
& \mathcal{D}=\left\{\left(U_{i}^{+}, \varphi_{i}^{+}\right) \mid i=1, \ldots, 5\right\} \cup\left\{\left(U_{i}^{-}, \varphi_{i}^{-}\right) \mid i=1, \ldots, 5\right\} \\
& \widetilde{\mathcal{D}}=\left\{\left(\mathbb{A}^{5}, \varphi_{E, p}\right) \mid(E, p) \in \mathcal{F}\left(\mathbb{R}^{5}\right) \times \mathbb{A}^{5}\right\}
\end{aligned} D = { ( U i + , φ i + ) ∣ i = 1 , … , 5 } ∪ { ( U i − , φ i − ) ∣ i = 1 , … , 5 } D ~ = { ( A 5 , φ E , p ) ∣ ( E , p ) ∈ F ( R 5 ) × A 5 }
f
f
f f f の点
p
=
(
1
,
0
,
0
,
0
,
0
)
p
=
(
1
,
0
,
0
,
0
,
0
)
p=(1,0,0,0,0) p=(1,0,0,0,0) p = ( 1 , 0 , 0 , 0 , 0 ) のまわりの
S
4
(
1
)
S
4
(
1
)
S^(4)(1) S^{4}(1) S 4 ( 1 ) の局所チャート
(
U
1
+
,
φ
1
+
)
(
∈
D
)
U
1
+
,
φ
1
+
(
∈
D
)
(U_(1)^(+),varphi_(1)^(+))(inD) \left(U_{1}^{+}, \varphi_{1}^{+}\right)(\in \mathcal{D}) ( U 1 + , φ 1 + ) ( ∈ D ) と
A
5
A
5
A^(5) \mathbb{A}^{5} A 5 の局所チャート
(
A
5
,
φ
E
0
,
o
)
A
5
,
φ
E
0
,
o
(A^(5),varphi_(E_(0),o)) \left(\mathbb{A}^{5}, \varphi_{E_{0}, \mathbf{o}}\right) ( A 5 , φ E 0 , o ) に関するヤコビ行列
J
f
p
φ
1
+
,
φ
E
0
,
0
J
f
p
φ
1
+
,
φ
E
0
,
0
Jf_(p)^(varphi_(1)^(+),varphi_(E_(0),0)) J f_{p}^{\varphi_{1}^{+}, \varphi_{E_{0}, 0}} J f p φ 1 + , φ E 0 , 0 を求めよ. ここで
E
0
E
0
E_(0) E_{0} E 0 は, 数ベクトル空間
R
5
R
5
R^(5) \mathbb{R}^{5} R 5 の標準基底
(
(
1
,
0
,
0
,
0
,
0
)
,
(
0
,
1
,
0
,
0
,
0
)
,
(
0
,
0
,
1
,
0
,
0
)
,
(
0
,
0
,
0
,
1
,
0
)
,
(
0
,
0
,
0
,
0
,
1
)
)
(
(
1
,
0
,
0
,
0
,
0
)
,
(
0
,
1
,
0
,
0
,
0
)
,
(
0
,
0
,
1
,
0
,
0
)
,
(
0
,
0
,
0
,
1
,
0
)
,
(
0
,
0
,
0
,
0
,
1
)
)
((1,0,0,0,0),(0,1,0,0,0),(0,0,1,0,0),(0,0,0,1,0),(0,0,0,0,1)) ((1,0,0,0,0),(0,1,0,0,0),(0,0,1,0,0),(0,0,0,1,0),(0,0,0,0,1)) ( ( 1 , 0 , 0 , 0 , 0 ) , ( 0 , 1 , 0 , 0 , 0 ) , ( 0 , 0 , 1 , 0 , 0 ) , ( 0 , 0 , 0 , 1 , 0 ) , ( 0 , 0 , 0 , 0 , 1 ) )
を表し,
0
0
0 \mathbf{0} 0 は
(
0
,
…
,
0
)
(
0
,
…
,
0
)
(0,dots,0) (0, \ldots, 0) ( 0 , … , 0 ) を表す.
3.5 臨界点, およびその指数
この節の前半部では
r
≥
1
r
≥
1
r >= 1 r \geq 1 r ≥ 1 とする。この節において,
C
∞
C
∞
C^(oo) C^{\infty} C ∞ 多様体間の
C
r
C
r
C^(r) C^{r} C r 写像の臨界点, 正則点, 臨界値, および正則値を定義し, さらに臨界点の指数を定義する.
M
,
N
M
,
N
M,N M, N M , N を各々,
m
m
m m m 次元,
n
n
n n n 次元の
C
∞
C
∞
C^(oo) C^{\infty} C ∞ 多様体とし,
f
f
f f f を
M
M
M M M か ら
N
N
N N N への
C
r
C
r
C^(r) C^{r} C r 写像とする.
p
∈
M
p
∈
M
p in M p \in M p ∈ M と
q
∈
N
q
∈
N
q in N q \in N q ∈ N をとる.
d
f
p
d
f
p
df_(p) d f_{p} d f p が全射でない(つま り
rank
d
f
p
<
dim
N
rank
d
f
p
<
dim
N
rank df_(p) < dim N \operatorname{rank} d f_{p}<\operatorname{dim} N rank d f p < dim N ) とき,
p
p
p p p を
f
f
f f f の臨界点(critical point)といい,
d
f
p
d
f
p
df_(p) d f_{p} d f p が全射であるとき,
p
p
p p p を
f
f
f f f の正則点(regular point)という。また,
f
−
1
(
q
)
f
−
1
(
q
)
f^(-1)(q) f^{-1}(q) f − 1 ( q ) が臨界点を含むとき,
q
q
q q q を
f
f
f f f の臨界値(critical value)といい,
f
−
1
(
q
)
f
−
1
(
q
)
f^(-1)(q) f^{-1}(q) f − 1 ( q ) が臨界点を含まないとき,
q
q
q q q を
f
f
f f f の正則値(regular value)という(図3.5.1 を 参照). 特に,
f
f
f f f が
M
M
M M M 上の
C
r
C
r
C^(r) C^{r} C r 級関数のとき,
p
∈
M
p
∈
M
p in M p \in M p ∈ M が
f
f
f f f の臨界点であるこ とと
d
f
p
=
0
d
f
p
=
0
df_(p)=0 d f_{p}=0 d f p = 0 が同値になることを注意しておく.
f
f
f f f の臨界値の集合に対し, 次のサードの定理(Sard's theorem)が成り立 つ.
定理 3.5.1(サードの定理)
C
r
C
r
C^(r) C^{r} C r 写像
f
:
M
→
N
f
:
M
→
N
f:M rarr N f: M \rightarrow N f : M → N の臨界倡の全体は,
N
N
N N N に おいて測度 0 である.
・
p
1
,
…
,
p
4
p
1
,
…
,
p
4
p_(1),dots,p_(4) p_{1}, \ldots, p_{4} p 1 , … , p 4 が
f
f
f f f の臨界点のすべてである.
q
1
,
…
,
q
4
q
1
,
…
,
q
4
q_(1),dots,q_(4) q_{1}, \ldots, q_{4} q 1 , … , q 4 が
f
f
f f f の臨界値のすべてである.
図 3.5.1 臨界点と臨界値
注意
N
N
N N N の部分集合
S
S
S S S が測度 0 であるとは,
N
N
N N N の任意の局所チャート
(
U
,
φ
)
(
U
,
φ
)
(U,varphi) (U, \varphi) ( U , φ ) に 対し,
φ
(
U
∩
S
)
φ
(
U
∩
S
)
varphi(U nn S) \varphi(U \cap S) φ ( U ∩ S ) が外測度
μ
μ
mu \mu μ を備えた測度空間
(
R
n
,
μ
)
R
n
,
μ
(R^(n),mu) \left(\mathbb{R}^{n}, \mu\right) ( R n , μ ) において, 測度 0 であること を意味する.
以下, この節の後半部では
r
≥
2
r
≥
2
r >= 2 r \geq 2 r ≥ 2 とする。まず,
C
∞
C
∞
C^(oo) C^{\infty} C ∞ 多様体上の
C
r
C
r
C^(r) C^{r} C r 級関数 の臨界点におけるヘッシアンを定義しよう.
f
:
M
→
R
f
:
M
→
R
f:M rarrR f: M \rightarrow \mathbb{R} f : M → R を
C
r
C
r
C^(r) C^{r} C r 級関数とする.
p
p
p p p を
f
f
f f f の臨界点とする. 対称双線形形式
H
f
p
:
T
p
M
×
T
p
M
→
R
H
f
p
:
T
p
M
×
T
p
M
→
R
Hf_(p):T_(p)M xxT_(p)M rarrR H f_{p}: T_{p} M \times T_{p} M \rightarrow \mathbb{R} H f p : T p M × T p M → R を次のよう に定義する:
(
H
f
)
p
(
v
,
w
)
:=
∑
i
=
1
n
∑
j
=
1
n
(
∂
2
(
f
∘
φ
−
1
)
∂
x
i
∂
x
j
)
φ
(
p
)
v
i
w
j
(
v
,
w
∈
T
p
M
)
(
v
=
∑
i
=
1
n
v
i
(
∂
∂
x
i
)
p
,
w
=
∑
i
=
1
n
w
i
(
∂
∂
x
i
)
p
)
(
H
f
)
p
(
v
,
w
)
:=
∑
i
=
1
n
∑
j
=
1
n
∂
2
f
∘
φ
−
1
∂
x
i
∂
x
j
φ
(
p
)
v
i
w
j
v
,
w
∈
T
p
M
(
v
=
∑
i
=
1
n
v
i
∂
∂
x
i
p
,
w
=
∑
i
=
1
n
w
i
∂
∂
x
i
p
{:[(Hf)_(p)(v","w):=sum_(i=1)^(n)sum_(j=1)^(n)((del^(2)(f@varphi^(-1)))/(delx_(i)delx_(j)))_(varphi(p))v_(i)w_(j)quad(v,w inT_(p)M)],[(v{:=sum_(i=1)^(n)v_(i)((del)/(delx_(i)))_(p),quad w=sum_(i=1)^(n)w_(i)((del)/(delx_(i)))_(p))]:} \begin{aligned}
(H f)_{p}(\boldsymbol{v}, \boldsymbol{w}) & :=\sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n}\left(\frac{\partial^{2}\left(f \circ \varphi^{-1}\right)}{\partial x_{i} \partial x_{j}}\right)_{\varphi(p)} v_{i} w_{j} \quad\left(\boldsymbol{v}, \boldsymbol{w} \in T_{p} M\right) \\
(\boldsymbol{v} & \left.=\sum_{i=1}^{n} v_{i}\left(\frac{\partial}{\partial x_{i}}\right)_{p}, \quad \boldsymbol{w}=\sum_{i=1}^{n} w_{i}\left(\frac{\partial}{\partial x_{i}}\right)_{p}\right)
\end{aligned} ( H f ) p ( v , w ) := ∑ i = 1 n ∑ j = 1 n ( ∂ 2 ( f ∘ φ − 1 ) ∂ x i ∂ x j ) φ ( p ) v i w j ( v , w ∈ T p M ) ( v = ∑ i = 1 n v i ( ∂ ∂ x i ) p , w = ∑ i = 1 n w i ( ∂ ∂ x i ) p )
この対称双線形形式
H
f
p
H
f
p
Hf_(p) H f_{p} H f p を
f
f
f f f の
p
p
p p p におるヘッシアン(Hessian)という.
(
H
f
)
p
(
H
f
)
p
(Hf)_(p) (H f)_{p} ( H f ) p が well-defined, つまり,
p
p
p p p のまわりの局所チャート
(
U
,
φ
=
(
x
1
,
…
U
,
φ
=
x
1
,
…
(U,varphi=(x_(1),dots:} \left(U, \varphi=\left(x_{1}, \ldots\right.\right. ( U , φ = ( x 1 , … ,
x
n
)
x
n
{:x_(n)) \left.x_{n}\right) x n ) )のとり方によらずに定まることを示そう. もう 1 つ,
p
p
p p p のまわりの局所 チャート
(
V
,
ψ
=
(
y
1
,
…
,
y
n
)
)
V
,
ψ
=
y
1
,
…
,
y
n
(V,psi=(y_(1),dots,y_(n))) \left(V, \psi=\left(y_{1}, \ldots, y_{n}\right)\right) ( V , ψ = ( y 1 , … , y n ) ) をとり,
v
=
∑
i
=
1
n
v
¯
i
(
∂
∂
y
i
)
p
,
w
=
∑
i
=
1
n
w
¯
i
(
∂
∂
y
i
)
p
v
=
∑
i
=
1
n
v
¯
i
∂
∂
y
i
p
,
w
=
∑
i
=
1
n
w
¯
i
∂
∂
y
i
p
v=sum_(i=1)^(n) bar(v)_(i)((del)/(dely_(i)))_(p),quad w=sum_(i=1)^(n) bar(w)_(i)((del)/(dely_(i)))_(p) \boldsymbol{v}=\sum_{i=1}^{n} \bar{v}_{i}\left(\frac{\partial}{\partial y_{i}}\right)_{p}, \quad \boldsymbol{w}=\sum_{i=1}^{n} \bar{w}_{i}\left(\frac{\partial}{\partial y_{i}}\right)_{p} v = ∑ i = 1 n v ¯ i ( ∂ ∂ y i ) p , w = ∑ i = 1 n w ¯ i ( ∂ ∂ y i ) p
とする.
(
U
,
φ
)
(
U
,
φ
)
(U,varphi) (U, \varphi) ( U , φ ) が定義する
(
H
f
)
p
(
v
,
w
)
(
H
f
)
p
(
v
,
w
)
(Hf)_(p)(v,w) (H f)_{p}(\boldsymbol{v}, \boldsymbol{w}) ( H f ) p ( v , w ) は,
∑
i
,
j
=
1
n
(
∂
2
(
f
∘
φ
−
1
)
∂
x
i
∂
x
j
)
φ
(
p
)
v
i
w
j
∑
i
,
j
=
1
n
∂
2
f
∘
φ
−
1
∂
x
i
∂
x
j
φ
(
p
)
v
i
w
j
sum_(i,j=1)^(n)((del^(2)(f@varphi^(-1)))/(delx_(i)delx_(j)))_(varphi(p))v_(i)w_(j) \sum_{i, j=1}^{n}\left(\frac{\partial^{2}\left(f \circ \varphi^{-1}\right)}{\partial x_{i} \partial x_{j}}\right)_{\varphi(p)} v_{i} w_{j} ∑ i , j = 1 n ( ∂ 2 ( f ∘ φ − 1 ) ∂ x i ∂ x j ) φ ( p ) v i w j
となり,
(
V
,
ψ
)
(
V
,
ψ
)
(V,psi) (V, \psi) ( V , ψ ) が定義する
(
H
f
)
p
(
v
,
w
)
(
H
f
)
p
(
v
,
w
)
(Hf)_(p)(v,w) (H f)_{p}(\boldsymbol{v}, \boldsymbol{w}) ( H f ) p ( v , w ) は,
∑
i
,
j
=
1
n
(
∂
2
(
f
∘
ψ
−
1
)
∂
y
i
∂
y
j
)
ψ
(
p
)
v
¯
i
w
¯
j
∑
i
,
j
=
1
n
∂
2
f
∘
ψ
−
1
∂
y
i
∂
y
j
ψ
(
p
)
v
¯
i
w
¯
j
sum_(i,j=1)^(n)((del^(2)(f@psi^(-1)))/(dely_(i)dely_(j)))_(psi(p)) bar(v)_(i) bar(w)_(j) \sum_{i, j=1}^{n}\left(\frac{\partial^{2}\left(f \circ \psi^{-1}\right)}{\partial y_{i} \partial y_{j}}\right)_{\psi(p)} \bar{v}_{i} \bar{w}_{j} ∑ i , j = 1 n ( ∂ 2 ( f ∘ ψ − 1 ) ∂ y i ∂ y j ) ψ ( p ) v ¯ i w ¯ j
となるので, これらが等しいことを示さなければならない。以下, これを示す.
(
∂
∂
x
i
)
p
=
∑
j
=
1
n
(
∂
(
y
j
∘
φ
−
1
)
∂
x
i
)
φ
(
p
)
(
∂
∂
y
j
)
p
∂
∂
x
i
p
=
∑
j
=
1
n
∂
y
j
∘
φ
−
1
∂
x
i
φ
(
p
)
∂
∂
y
j
p
((del)/(delx_(i)))_(p)=sum_(j=1)^(n)((del(y_(j)@varphi^(-1)))/(delx_(i)))_(varphi(p))((del)/(dely_(j)))_(p) \left(\frac{\partial}{\partial x_{i}}\right)_{p}=\sum_{j=1}^{n}\left(\frac{\partial\left(y_{j} \circ \varphi^{-1}\right)}{\partial x_{i}}\right)_{\varphi(p)}\left(\frac{\partial}{\partial y_{j}}\right)_{p} ( ∂ ∂ x i ) p = ∑ j = 1 n ( ∂ ( y j ∘ φ − 1 ) ∂ x i ) φ ( p ) ( ∂ ∂ y j ) p
が成り立つので,
v
¯
i
=
∑
j
=
1
n
v
j
(
∂
(
y
i
∘
φ
−
1
)
∂
x
j
)
φ
(
p
)
,
w
¯
i
=
∑
j
=
1
n
w
j
(
∂
(
y
i
∘
φ
−
1
)
∂
x
j
)
φ
(
p
)
v
¯
i
=
∑
j
=
1
n
v
j
∂
y
i
∘
φ
−
1
∂
x
j
φ
(
p
)
,
w
¯
i
=
∑
j
=
1
n
w
j
∂
y
i
∘
φ
−
1
∂
x
j
φ
(
p
)
bar(v)_(i)=sum_(j=1)^(n)v_(j)((del(y_(i)@varphi^(-1)))/(delx_(j)))_(varphi(p)),quad bar(w)_(i)=sum_(j=1)^(n)w_(j)((del(y_(i)@varphi^(-1)))/(delx_(j)))_(varphi(p)) \bar{v}_{i}=\sum_{j=1}^{n} v_{j}\left(\frac{\partial\left(y_{i} \circ \varphi^{-1}\right)}{\partial x_{j}}\right)_{\varphi(p)}, \quad \bar{w}_{i}=\sum_{j=1}^{n} w_{j}\left(\frac{\partial\left(y_{i} \circ \varphi^{-1}\right)}{\partial x_{j}}\right)_{\varphi(p)} v ¯ i = ∑ j = 1 n v j ( ∂ ( y i ∘ φ − 1 ) ∂ x j ) φ ( p ) , w ¯ i = ∑ j = 1 n w j ( ∂ ( y i ∘ φ − 1 ) ∂ x j ) φ ( p )
をえる。一方,
(
∂
2
(
f
∘
φ
−
1
)
∂
x
i
∂
x
j
)
φ
(
p
)
=
(
∂
∂
x
i
(
∑
k
=
1
n
(
∂
(
f
∘
ψ
−
1
)
∂
y
k
∘
ψ
∘
φ
−
1
)
⋅
∂
(
y
k
∘
φ
−
1
)
∂
x
j
)
)
φ
(
p
)
=
∑
k
=
1
n
(
∂
(
f
∘
ψ
−
1
)
∂
y
k
)
ψ
(
p
)
⋅
(
∂
2
(
y
k
∘
φ
−
1
)
∂
x
i
∂
x
j
)
φ
(
p
)
+
∑
k
,
l
=
1
n
(
∂
2
(
f
∘
ψ
−
1
)
∂
y
l
∂
y
k
)
ψ
(
p
)
⋅
(
∂
(
y
l
∘
φ
−
1
)
∂
x
i
)
φ
(
p
)
⋅
(
∂
(
y
k
∘
φ
−
1
)
∂
x
j
)
φ
(
p
)
=
∑
k
,
l
=
1
n
(
∂
2
(
f
∘
ψ
−
1
)
∂
y
l
∂
y
k
)
ψ
(
p
)
⋅
(
∂
(
y
l
∘
φ
−
1
)
∂
x
i
)
φ
(
p
)
⋅
(
∂
(
y
k
∘
φ
−
1
)
∂
x
j
)
φ
(
p
)
ここで,
(
∂
(
f
∘
ψ
−
1
)
∂
y
k
)
ψ
(
p
)
=
0
(これは,
p
が
f
の臨界点なので成り立つ
)
∂
2
f
∘
φ
−
1
∂
x
i
∂
x
j
φ
(
p
)
=
∂
∂
x
i
∑
k
=
1
n
∂
f
∘
ψ
−
1
∂
y
k
∘
ψ
∘
φ
−
1
⋅
∂
y
k
∘
φ
−
1
∂
x
j
φ
(
p
)
=
∑
k
=
1
n
∂
f
∘
ψ
−
1
∂
y
k
ψ
(
p
)
⋅
∂
2
y
k
∘
φ
−
1
∂
x
i
∂
x
j
φ
(
p
)
+
∑
k
,
l
=
1
n
∂
2
f
∘
ψ
−
1
∂
y
l
∂
y
k
ψ
(
p
)
⋅
∂
y
l
∘
φ
−
1
∂
x
i
φ
(
p
)
⋅
∂
y
k
∘
φ
−
1
∂
x
j
φ
(
p
)
=
∑
k
,
l
=
1
n
∂
2
f
∘
ψ
−
1
∂
y
l
∂
y
k
ψ
(
p
)
⋅
∂
y
l
∘
φ
−
1
∂
x
i
φ
(
p
)
⋅
∂
y
k
∘
φ
−
1
∂
x
j
φ
(
p
)
ここで,
∂
f
∘
ψ
−
1
∂
y
k
ψ
(
p
)
=
0
(これは,
p
が
f
の臨界点なので成り立つ
{:[((del^(2)(f@varphi^(-1)))/(delx_(i)delx_(j)))_(varphi(p))=((del)/(delx_(i))(sum_(k=1)^(n)((del(f@psi^(-1)))/(dely_(k))@psi@varphi^(-1))*(del(y_(k)@varphi^(-1)))/(delx_(j))))_(varphi(p))],[=sum_(k=1)^(n)((del(f@psi^(-1)))/(dely_(k)))_(psi(p))*((del^(2)(y_(k)@varphi^(-1)))/(delx_(i)delx_(j)))_(varphi(p))],[quad+sum_(k,l=1)^(n)((del^(2)(f@psi^(-1)))/(dely_(l)dely_(k)))_(psi(p))*((del(y_(l)@varphi^(-1)))/(delx_(i)))_(varphi(p))*((del(y_(k)@varphi^(-1)))/(delx_(j)))_(varphi(p))],[=sum_(k,l=1)^(n)((del^(2)(f@psi^(-1)))/(dely_(l)dely_(k)))_(psi(p))*((del(y_(l)@varphi^(-1)))/(delx_(i)))_(varphi(p))*((del(y_(k)@varphi^(-1)))/(delx_(j)))_(varphi(p))],[" ここで, "{:((del(f@psi^(-1)))/(dely_(k)))_(psi(p))=0" (これは, "p" が "f" の臨界点なので成り立つ ")]:} \begin{aligned}
& \left(\frac{\partial^{2}\left(f \circ \varphi^{-1}\right)}{\partial x_{i} \partial x_{j}}\right)_{\varphi(p)}=\left(\frac{\partial}{\partial x_{i}}\left(\sum_{k=1}^{n}\left(\frac{\partial\left(f \circ \psi^{-1}\right)}{\partial y_{k}} \circ \psi \circ \varphi^{-1}\right) \cdot \frac{\partial\left(y_{k} \circ \varphi^{-1}\right)}{\partial x_{j}}\right)\right)_{\varphi(p)} \\
& =\sum_{k=1}^{n}\left(\frac{\partial\left(f \circ \psi^{-1}\right)}{\partial y_{k}}\right)_{\psi(p)} \cdot\left(\frac{\partial^{2}\left(y_{k} \circ \varphi^{-1}\right)}{\partial x_{i} \partial x_{j}}\right)_{\varphi(p)} \\
& \quad+\sum_{k, l=1}^{n}\left(\frac{\partial^{2}\left(f \circ \psi^{-1}\right)}{\partial y_{l} \partial y_{k}}\right)_{\psi(p)} \cdot\left(\frac{\partial\left(y_{l} \circ \varphi^{-1}\right)}{\partial x_{i}}\right)_{\varphi(p)} \cdot\left(\frac{\partial\left(y_{k} \circ \varphi^{-1}\right)}{\partial x_{j}}\right)_{\varphi(p)} \\
& =\sum_{k, l=1}^{n}\left(\frac{\partial^{2}\left(f \circ \psi^{-1}\right)}{\partial y_{l} \partial y_{k}}\right)_{\psi(p)} \cdot\left(\frac{\partial\left(y_{l} \circ \varphi^{-1}\right)}{\partial x_{i}}\right)_{\varphi(p)} \cdot\left(\frac{\partial\left(y_{k} \circ \varphi^{-1}\right)}{\partial x_{j}}\right)_{\varphi(p)} \\
& \text { ここで, } \left.\left(\frac{\partial\left(f \circ \psi^{-1}\right)}{\partial y_{k}}\right)_{\psi(p)}=0 \text { (これは, } p \text { が } f \text { の臨界点なので成り立つ }\right)
\end{aligned} こ こ で こ れ は が の 臨 界 点 な の で 成 り 立 つ ( ∂ 2 ( f ∘ φ − 1 ) ∂ x i ∂ x j ) φ ( p ) = ( ∂ ∂ x i ( ∑ k = 1 n ( ∂ ( f ∘ ψ − 1 ) ∂ y k ∘ ψ ∘ φ − 1 ) ⋅ ∂ ( y k ∘ φ − 1 ) ∂ x j ) ) φ ( p ) = ∑ k = 1 n ( ∂ ( f ∘ ψ − 1 ) ∂ y k ) ψ ( p ) ⋅ ( ∂ 2 ( y k ∘ φ − 1 ) ∂ x i ∂ x j ) φ ( p ) + ∑ k , l = 1 n ( ∂ 2 ( f ∘ ψ − 1 ) ∂ y l ∂ y k ) ψ ( p ) ⋅ ( ∂ ( y l ∘ φ − 1 ) ∂ x i ) φ ( p ) ⋅ ( ∂ ( y k ∘ φ − 1 ) ∂ x j ) φ ( p ) = ∑ k , l = 1 n ( ∂ 2 ( f ∘ ψ − 1 ) ∂ y l ∂ y k ) ψ ( p ) ⋅ ( ∂ ( y l ∘ φ − 1 ) ∂ x i ) φ ( p ) ⋅ ( ∂ ( y k ∘ φ − 1 ) ∂ x j ) φ ( p ) ここで, ( ∂ ( f ∘ ψ − 1 ) ∂ y k ) ψ ( p ) = 0 (これは, p が f の臨界点なので成り立つ )
を用いた。 これらの関係式より, 示すべき関係式をえる。
S
S
S S S を
n
n
n n n 次元実ベクトル空間
V
V
V V V 上の対称双線形形式とする.このとき, シル ヴェスタの慣性法則により,
n
n
n n n 次正方行列
(
S
(
e
i
,
e
j
)
)
S
e
i
,
e
j
(S(e_(i),e_(j))) \left(S\left(\boldsymbol{e}_{i}, \boldsymbol{e}_{j}\right)\right) ( S ( e i , e j ) ) が
(
−
E
k
1
0
0
0
E
k
2
0
0
0
0
k
3
)
−
E
k
1
0
0
0
E
k
2
0
0
0
0
k
3
([-E_(k_(1)),0,0],[0,E_(k_(2)),0],[0,0,0_(k_(3))]) \left(\begin{array}{ccc}
-E_{k_{1}} & 0 & 0 \\
0 & E_{k_{2}} & 0 \\
0 & 0 & 0_{k_{3}}
\end{array}\right) ( − E k 1 0 0 0 E k 2 0 0 0 0 k 3 )
(
E
k
i
:
k
i
E
k
i
:
k
i
(E_(k_(i)):k_(i):} \left(E_{k_{i}}: k_{i}\right. ( E k i : k i 次単位行列,
0
k
3
:
k
3
0
k
3
:
k
3
0_(k_(3)):k_(3) 0_{k_{3}}: k_{3} 0 k 3 : k 3 次零行列)に等しくなるような
V
V
V V V の基底
(
e
1
,
…
,
e
n
)
e
1
,
…
,
e
n
(e_(1),dots,e_(n)) \left(\boldsymbol{e}_{1}, \ldots, \boldsymbol{e}_{n}\right) ( e 1 , … , e n ) が存在する.
k
1
,
k
2
,
k
3
k
1
,
k
2
,
k
3
k_(1),k_(2),k_(3) k_{1}, k_{2}, k_{3} k 1 , k 2 , k 3 は, そのような基底
(
e
1
,
…
,
e
n
)
e
1
,
…
,
e
n
(e_(1),dots,e_(n)) \left(\boldsymbol{e}_{1}, \ldots, \boldsymbol{e}_{n}\right) ( e 1 , … , e n ) のとう方 に関係なくSのみによって決まることが示される。
k
1
k
1
k_(1) k_{1} k 1 は
S
S
S S S の指数(index) とよばれ,
k
3
k
3
k_(3) k_{3} k 3 は
S
S
S S S の退化次数(nullity)とよばれる. 退化次数が 0 であると き,
S
S
S S S は非退化(non-degenerate)であるという.
p
p
p p p を
C
r
C
r
C^(r) C^{r} C r 級関数
f
:
M
→
R
(
r
≥
2
)
f
:
M
→
R
(
r
≥
2
)
f:M rarrR(r >= 2) f: M \rightarrow \mathbb{R}(r \geq 2) f : M → R ( r ≥ 2 ) の臨界点とする. ヘッシアン
H
f
p
H
f
p
Hf_(p) H f_{p} H f p が非退化であるとき,
p
p
p p p を
f
f
f f f の非退化臨界点(non-degenerate critical point) という. また,
H
f
p
H
f
p
Hf_(p) H f_{p} H f p の指数を臨界点
p
p
p \boldsymbol{p} p の指数(the index of the critical point
p
)
p
)
p) \boldsymbol{p}) p ) という.
S
n
(
1
)
:=
{
(
x
1
,
…
,
x
n
+
1
)
∣
∑
i
=
1
n
+
1
x
i
2
=
1
}
S
n
(
1
)
:=
x
1
,
…
,
x
n
+
1
∣
∑
i
=
1
n
+
1
x
i
2
=
1
S^(n)(1):={(x_(1),dots,x_(n+1))∣sum_(i=1)^(n+1)x_(i)^(2)=1} S^{n}(1):=\left\{\left(x_{1}, \ldots, x_{n+1}\right) \mid \sum_{i=1}^{n+1} x_{i}^{2}=1\right\} S n ( 1 ) := { ( x 1 , … , x n + 1 ) ∣ ∑ i = 1 n + 1 x i 2 = 1 }
上の
C
∞
C
∞
C^(oo) C^{\infty} C ∞ 級関数
f
f
f f f を
f
(
x
1
,
…
,
x
n
+
1
)
=
x
1
(
(
x
1
,
…
,
x
n
+
1
)
∈
S
n
(
1
)
)
f
x
1
,
…
,
x
n
+
1
=
x
1
x
1
,
…
,
x
n
+
1
∈
S
n
(
1
)
f(x_(1),dots,x_(n+1))=x_(1)quad((x_(1),dots,x_(n+1))inS^(n)(1)) f\left(x_{1}, \ldots, x_{n+1}\right)=x_{1} \quad\left(\left(x_{1}, \ldots, x_{n+1}\right) \in S^{n}(1)\right) f ( x 1 , … , x n + 1 ) = x 1 ( ( x 1 , … , x n + 1 ) ∈ S n ( 1 ) )
によって定義する.
f
f
f f f の臨界点をすべて求めよ. さらに, 各臨界点の指数を求めよ.
3.6 はめ込み・沈め込みと陰関数定理
この節では
r
≥
1
r
≥
1
r >= 1 r \geq 1 r ≥ 1 とする. この節において, まず, はめ込みと沈め込みを 定義し, その後, 陰関数定理(単射型)と陰関数定理(全射型)を述べ, これ らの定理により, はめ込みと沈め込みがどのような写像であるかを視覚的に捉 えることができることを説明する。さらに,多様体内の正則部分多様体を定義 し,それが第 1,2 章で述べたユークリッド空間内の超曲面と同種のものであ ることを説明する。
f
f
f f f を
m
m
m m m 次元
C
∞
C
∞
C^(oo) C^{\infty} C ∞ 多様体
M
M
M M M から
n
n
n n n 次元多様体
N
N
N N N への
C
r
C
r
C^(r) C^{r} C r 写像とする. 各点
p
∈
M
p
∈
M
p in M p \in M p ∈ M に対し,
d
f
p
d
f
p
df_(p) d f_{p} d f p が単射であるとき,
f
f
f f f を
C
r
C
r
C^(r) C^{r} C r はめ込み
(
C
r
C
r
(C^(r):} \left(C^{r}\right. ( C r -immersion) といい, さらに
f
f
f f f が単射であり,
f
f
f f f が
M
M
M M M から
N
N
N N N の部分位相空間
f
(
M
)
f
(
M
)
f(M) f(M) f ( M ) への 同相写像になるとき,
f
f
f f f を
C
r
C
r
C^(r) C^{r} C r 埋め込み
(
C
r
C
r
(C^(r):} \left(C^{r}\right. ( C r -embedding)という。一方,各点
p
∈
M
p
∈
M
p in M p \in M p ∈ M に対し,
d
f
p
d
f
p
df_(p) d f_{p} d f p が全射(つまり,
M
M
M M M の各点が
f
f
f f f の正則点)であると き,
f
f
f f f を
C
r
C
r
C^(r) \boldsymbol{C}^{r} C r 沈め込み
(
C
r
−
C
r
−
(C^(r)-:} \left(\boldsymbol{C}^{r}-\right. ( C r − submersion)という(図 3.6.1 を参照).
図 3.6.1 はめ込みと沈め込み
例 3.6.1 2 次元トーラス
T
2
=
{
(
(
a
+
b
cos
θ
)
cos
φ
,
(
a
+
b
cos
θ
)
sin
φ
,
b
sin
θ
)
∣
(
θ
,
φ
)
∈
[
0
,
2
π
)
2
}
T
2
=
(
(
a
+
b
cos
θ
)
cos
φ
,
(
a
+
b
cos
θ
)
sin
φ
,
b
sin
θ
)
∣
(
θ
,
φ
)
∈
[
0
,
2
π
)
2
T^(2)={((a+b cos theta)cos varphi,(a+b cos theta)sin varphi,b sin theta)∣(theta,varphi)in[0,2pi)^(2)} T^{2}=\left\{((a+b \cos \theta) \cos \varphi,(a+b \cos \theta) \sin \varphi, b \sin \theta) \mid(\theta, \varphi) \in[0,2 \pi)^{2}\right\} T 2 = { ( ( a + b cos θ ) cos φ , ( a + b cos θ ) sin φ , b sin θ ) ∣ ( θ , φ ) ∈ [ 0 , 2 π ) 2 }
(
0
<
b
<
a
)
(
0
<
b
<
a
)
(0 < b < a) (0<b<a) ( 0 < b < a ) は,
E
3
E
3
E^(3) \mathbb{E}^{3} E 3 内の
C
∞
C
∞
C^(oo) C^{\infty} C ∞ 超曲面であり, 2 次元
C
∞
C
∞
C^(oo) C^{\infty} C ∞ 多様体である. 1 次元 アフィン空間
A
1
A
1
A^(1) \mathbb{A}^{1} A 1 から
T
2
T
2
T^(2) T^{2} T 2 への写像
f
f
f f f を
f
(
t
)
:=
(
(
a
+
b
cos
t
)
cos
(
2
t
)
,
(
a
+
b
cos
t
)
sin
2
t
,
cos
(
2
t
)
)
(
t
∈
A
1
)
f
(
t
)
:=
(
(
a
+
b
cos
t
)
cos
(
2
t
)
,
(
a
+
b
cos
t
)
sin
2
t
,
cos
(
2
t
)
)
t
∈
A
1
f(t):=((a+b cos t)cos(sqrt2t),(a+b cos t)sin sqrt2t,cos(sqrt2t))quad(t inA^(1)) f(t):=((a+b \cos t) \cos (\sqrt{2} t),(a+b \cos t) \sin \sqrt{2} t, \cos (\sqrt{2} t)) \quad\left(t \in \mathbb{A}^{1}\right) f ( t ) := ( ( a + b cos t ) cos ( 2 t ) , ( a + b cos t ) sin 2 t , cos ( 2 t ) ) ( t ∈ A 1 )
と定義する. このとき
f
f
f f f は, 1 次元
C
ω
C
ω
C^(omega) C^{\omega} C ω 多様体
A
1
A
1
A^(1) \mathbb{A}^{1} A 1 から 2 次元
C
ω
C
ω
C^(omega) C^{\omega} C ω 多様体
T
2
T
2
T^(2) T^{2} T 2 への
C
ω
C
ω
C^(omega) C^{\omega} C ω はめ达みであることが示される。一方,
f
(
A
1
)
f
A
1
f(A^(1)) f\left(\mathbb{A}^{1}\right) f ( A 1 ) の閉包
f
(
A
1
)
―
f
A
1
¯
bar(f(A^(1))) \overline{f\left(\mathbb{A}^{1}\right)} f ( A 1 ) ― が
T
2
T
2
T^(2) T^{2} T 2 に 等しくなることが示される。この事実から,
T
2
T
2
T^(2) T^{2} T 2 の位相から誘導される
f
(
A
1
)
f
A
1
f(A^(1)) f\left(\mathbb{A}^{1}\right) f ( A 1 ) の部分位相における開集合は, 無限に多くの互いに交わらない
A
1
A
1
A^(1) \mathbb{A}^{1} A 1 の開区間の 和集合の
f
f
f f f による像であることがわかる。 それゆえ,
f
(
A
1
)
f
A
1
f(A^(1)) f\left(\mathbb{A}^{1}\right) f ( A 1 ) の部分位相から
f
f
f f f を通じて
A
1
A
1
A^(1) \mathbb{A}^{1} A 1 に誘導される位相は, 1 次元
C
ω
C
ω
C^(omega) C^{\omega} C ω 多様体
A
1
A
1
A^(1) \mathbb{A}^{1} A 1 のハウスドルフ位相 よりも弱い位相であることがわかる。ゆえに,
f
f
f f f は
A
1
A
1
A^(1) \mathbb{A}^{1} A 1 から
T
2
T
2
T^(2) T^{2} T 2 への
C
ω
C
ω
C^(omega) C^{\omega} C ω 埋め
込みではない.
f
(
A
1
)
―
=
T
2
f
A
1
¯
=
T
2
bar(f(A^(1)))=T^(2) \overline{f\left(\mathbb{A}^{1}\right)}=T^{2} f ( A 1 ) ― = T 2 (つまり,
f
(
A
1
)
か
2
T
2
f
A
1
か
2
T
2
f(A^(1))か^(2)T^(2) f\left(\mathbb{A}^{1}\right) か^{2} T^{2} か f ( A 1 ) か 2 T 2 で稠密)であることを説明しよう。
R
2
R
2
R^(2) \mathbb{R}^{2} R 2 における同値関係〜を
(
a
1
,
a
2
)
∼
(
b
1
,
b
2
)
⟺
def
a
1
−
b
1
,
a
2
−
b
2
∈
Z
a
1
,
a
2
∼
b
1
,
b
2
⟺
def
a
1
−
b
1
,
a
2
−
b
2
∈
Z
(a_(1),a_(2))∼(b_(1),b_(2))Longleftrightarrow_(def)a_(1)-b_(1),a_(2)-b_(2)inZ \left(a_{1}, a_{2}\right) \sim\left(b_{1}, b_{2}\right) \underset{\mathrm{def}}{\Longleftrightarrow} a_{1}-b_{1}, a_{2}-b_{2} \in \mathbb{Z} ( a 1 , a 2 ) ∼ ( b 1 , b 2 ) ⟺ def a 1 − b 1 , a 2 − b 2 ∈ Z
によって定義し, 商集合
R
2
/
∼
R
2
/
∼
R^(2)//∼ \mathbb{R}^{2} / \sim R 2 / ∼ R
R
2
R
2
R^(2) \mathbb{R}^{2} R 2 のユークリッド距離位相
O
E
O
E
O_(E) \mathcal{O}_{\mathbb{E}} O E から誘導さ れる商位相を与える.
(
a
1
,
a
2
)
a
1
,
a
2
(a_(1),a_(2)) \left(a_{1}, a_{2}\right) ( a 1 , a 2 ) の同値関係〜に関する同値類を
[
(
a
1
,
a
2
)
]
a
1
,
a
2
[(a_(1),a_(2))] \left[\left(a_{1}, a_{2}\right)\right] [ ( a 1 , a 2 ) ] と表 すことにする。商写像
π
:
R
2
→
R
2
/
∼
π
:
R
2
→
R
2
/
∼
pi:R^(2)rarrR^(2)//∼ \pi: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2} / \sim π : R 2 → R 2 / ∼ は被覆写像になることが示される.こ こで
π
π
pi \pi π が被覆写像であるとは,
π
π
pi \pi π が局所同相写像であり,
R
2
/
∼
R
2
/
∼
R^(2)//∼ \mathbb{R}^{2} / \sim R 2 / ∼ の各点
p
p
p p p に対 し,
p
p
p p p の開近傍
V
V
V V V で
π
π
pi \pi π の
π
−
1
(
V
)
π
−
1
(
V
)
pi^(-1)(V) \pi^{-1}(V) π − 1 ( V ) の各連結成分への制限が
V
V
V V V への同相写像を 与えるようなものが存在することを意味する。 写像
F
:
R
2
/
∼→
T
2
F
:
R
2
/
∼→
T
2
F:R^(2)//∼ rarrT^(2) F: \mathbb{R}^{2} / \sim \rightarrow T^{2} F : R 2 / ∼→ T 2 を
F
(
[
(
x
1
,
x
2
)
]
)
=
(
(
a
+
b
cos
(
2
π
(
x
1
−
[
x
1
]
)
)
)
cos
(
2
π
(
x
2
−
[
x
2
]
)
)
(
a
+
b
cos
(
2
π
(
x
1
−
[
x
1
]
)
)
)
sin
(
2
π
(
x
2
−
[
x
2
]
)
)
,
b
sin
(
2
π
(
x
1
−
[
x
1
]
)
)
)
F
x
1
,
x
2
=
a
+
b
cos
2
π
x
1
−
x
1
cos
2
π
x
2
−
x
2
a
+
b
cos
2
π
x
1
−
x
1
sin
2
π
x
2
−
x
2
,
b
sin
2
π
x
1
−
x
1
{:[F([(x_(1),x_(2))])=((a+b cos(2pi(x_(1)-[x_(1)])))cos(2pi(x_(2)-[x_(2)])):}],[{:(a+b cos(2pi(x_(1)-[x_(1)])))sin(2pi(x_(2)-[x_(2)])),b sin(2pi(x_(1)-[x_(1)])))]:} \begin{aligned}
F\left(\left[\left(x_{1}, x_{2}\right)\right]\right)= & \left(\left(a+b \cos \left(2 \pi\left(x_{1}-\left[x_{1}\right]\right)\right)\right) \cos \left(2 \pi\left(x_{2}-\left[x_{2}\right]\right)\right)\right. \\
& \left.\left(a+b \cos \left(2 \pi\left(x_{1}-\left[x_{1}\right]\right)\right)\right) \sin \left(2 \pi\left(x_{2}-\left[x_{2}\right]\right)\right), b \sin \left(2 \pi\left(x_{1}-\left[x_{1}\right]\right)\right)\right)
\end{aligned} F ( [ ( x 1 , x 2 ) ] ) = ( ( a + b cos ( 2 π ( x 1 − [ x 1 ] ) ) ) cos ( 2 π ( x 2 − [ x 2 ] ) ) ( a + b cos ( 2 π ( x 1 − [ x 1 ] ) ) ) sin ( 2 π ( x 2 − [ x 2 ] ) ) , b sin ( 2 π ( x 1 − [ x 1 ] ) ) )
([
x
i
]
:
x
i
x
i
:
x
i
{:x_(i)]:x_(i) \left.x_{i}\right] : x_{i} : x i ] : x i のガウスの記号)によって定義する.この写像
F
F
F F F は同相写像にな ることが示される。したがって,
F
∘
π
:
R
2
→
T
2
F
∘
π
:
R
2
→
T
2
F@pi:R^(2)rarrT^(2) F \circ \pi: \mathbb{R}^{2} \rightarrow T^{2} F ∘ π : R 2 → T 2 は被覆写像になる。また、
(
F
∘
π
)
−
1
(
f
(
A
1
)
)
(
F
∘
π
)
−
1
f
A
1
(F@pi)^(-1)(f(A^(1))) (F \circ \pi)^{-1}\left(f\left(\mathbb{A}^{1}\right)\right) ( F ∘ π ) − 1 ( f ( A 1 ) ) は,
R
2
R
2
R^(2) \mathbb{R}^{2} R 2 上の傾き
2
2
sqrt2 \sqrt{2} 2 の直線の可算無限族になり, かつ, そ の閉包は
R
2
R
2
R^(2) \mathbb{R}^{2} R 2 になることが示されるので,
f
(
A
1
)
f
A
1
f(A^(1)) f\left(\mathbb{A}^{1}\right) f ( A 1 ) が
T
2
T
2
T^(2) T^{2} T 2 で稠密であることがわ かる(図 3.6.2 を参照).
C
∞
C
∞
C^(oo) C^{\infty} C ∞ 多様体間の
C
r
C
r
C^(r) C^{r} C r 写像に対し, 次の逆関数定理 (inverse function theorem)が成り立つ.
定理 3.6.1
M
,
N
M
,
N
M,N M, N M , N を
n
n
n n n 次元
C
∞
C
∞
C^(oo) C^{\infty} C ∞ 多様体とし,
f
f
f f f を
M
M
M M M から
N
N
N N N への
C
r
C
r
C^(r) C^{r} C r 写像 とする. このとき,
d
f
p
d
f
p
df_(p) d f_{p} d f p が全単射であるならば,
p
p
p p p のある開近傍
U
U
U U U に対し,
f
f
f f f の
U
U
U U U への制限
f
|
U
f
U
f|_(U) \left.f\right|_{U} f | U は
N
N
N N N のある開集合への
C
r
C
r
C^(r) C^{r} C r 同型写像になる.
証明 任意に
p
p
p p p のまわりの
M
M
M M M の局所チャート
(
V
,
φ
=
(
x
1
,
…
,
x
n
)
)
V
,
φ
=
x
1
,
…
,
x
n
(V,varphi=(x_(1),dots,x_(n))) \left(V, \varphi=\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)\right) ( V , φ = ( x 1 , … , x n ) ) と
f
(
p
)
f
(
p
)
f(p) f(p) f ( p ) のまわりの
N
N
N N N の局所チャート
(
W
,
ψ
=
(
y
1
,
…
,
y
n
)
)
W
,
ψ
=
y
1
,
…
,
y
n
(W,psi=(y_(1),dots,y_(n))) \left(W, \psi=\left(y_{1}, \ldots, y_{n}\right)\right) ( W , ψ = ( y 1 , … , y n ) ) をとる(必要ならば,
V
V
V V V を縮めることにより,
f
(
V
)
⊂
W
f
(
V
)
⊂
W
f(V)sub W f(V) \subset W f ( V ) ⊂ W とする).
d
f
p
d
f
p
df_(p) d f_{p} d f p が全単射であることより, ヤ コビ行列
J
(
ψ
∘
f
∘
φ
−
1
)
φ
(
p
)
J
ψ
∘
f
∘
φ
−
1
φ
(
p
)
J(psi@f@varphi^(-1))_(varphi(p)) J\left(\psi \circ f \circ \varphi^{-1}\right)_{\varphi(p)} J ( ψ ∘ f ∘ φ − 1 ) φ ( p ) は正則行列になる。それゆえ, 微分積分学にお ける逆関数定理によれば,
φ
(
p
)
φ
(
p
)
varphi(p) \varphi(p) φ ( p ) のある十分小さな開近傍
U
(
⊂
φ
(
V
)
)
U
(
⊂
φ
(
V
)
)
U(sub varphi(V)) U(\subset \varphi(V)) U ( ⊂ φ ( V ) ) から
R
n
R
n
R^(n) \mathbb{R}^{n} R n のある開集合への
C
r
C
r
C^(r) C^{r} C r 同型写像
φ
^
φ
^
widehat(varphi) \widehat{\varphi} φ ^ で
図 3.6.2単射かつはめ込みだが, 埋め込みでない例
(
(
ψ
∘
f
∘
φ
−
1
)
∘
φ
^
−
1
)
(
x
1
,
…
,
x
n
)
=
(
x
1
,
…
,
x
n
)
(
(
x
1
,
…
,
x
n
)
∈
φ
^
(
U
)
)
ψ
∘
f
∘
φ
−
1
∘
φ
^
−
1
x
1
,
…
,
x
n
=
x
1
,
…
,
x
n
x
1
,
…
,
x
n
∈
φ
^
(
U
)
{:[((psi@f@varphi^(-1))@ widehat(varphi)^(-1))(x_(1),dots,x_(n))=(x_(1),dots,x_(n))],[((x_(1),dots,x_(n))in( widehat(varphi))(U))]:} \begin{array}{r}
\left(\left(\psi \circ f \circ \varphi^{-1}\right) \circ \widehat{\varphi}^{-1}\right)\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)=\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right) \\
\left(\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right) \in \widehat{\varphi}(U)\right)
\end{array} ( ( ψ ∘ f ∘ φ − 1 ) ∘ φ ^ − 1 ) ( x 1 , … , x n ) = ( x 1 , … , x n ) ( ( x 1 , … , x n ) ∈ φ ^ ( U ) )
となるようなものがとれる。この事実から,
f
|
φ
−
1
(
U
)
f
φ
−
1
(
U
)
f|_(varphi^(-1)(U)) \left.f\right|_{\varphi^{-1}(U)} f | φ − 1 ( U ) は のある開集合への
C
r
C
r
C^(r) C^{r} C r 同型写像になることが導かれる.
また,
C
∞
C
∞
C^(oo) C^{\infty} C ∞ 多様体間の
C
r
C
r
C^(r) C^{r} C r 写像に対し, 次の陰関数定理(全射型)(implicit function theorem (surjection type))が成り立つ.
定理 3.6.2
M
M
M M M を
m
m
m m m 次元
C
∞
C
∞
C^(oo) C^{\infty} C ∞ 多様体,
N
N
N N N を
n
(
<
m
)
n
(
<
m
)
n( < m) n(<m) n ( < m ) 次元
C
∞
C
∞
C^(oo) C^{\infty} C ∞ 多様体とし,
f
f
f f f を
M
M
M M M から
N
N
N N N への
C
r
C
r
C^(r) C^{r} C r 写像とする. このとき,
d
f
p
d
f
p
df_(p) d f_{p} d f p が全射であるならば,
p
p
p p p のまわりの
M
M
M M M の局所チャート
(
U
,
φ
=
(
x
1
,
…
,
x
m
)
)
U
,
φ
=
x
1
,
…
,
x
m
(U,varphi=(x_(1),dots,x_(m))) \left(U, \varphi=\left(x_{1}, \ldots, x_{m}\right)\right) ( U , φ = ( x 1 , … , x m ) ) と
f
(
p
)
f
(
p
)
f(p) f(p) f ( p ) のまわりの
N
N
N N N の 局所チャート
(
V
,
ψ
=
(
y
1
,
…
,
y
n
)
)
(
f
(
U
)
⊂
V
V
,
ψ
=
y
1
,
…
,
y
n
(
f
(
U
)
⊂
V
(V,psi=(y_(1),dots,y_(n)))(f(U)sub V \left(V, \psi=\left(y_{1}, \ldots, y_{n}\right)\right)(f(U) \subset V ( V , ψ = ( y 1 , … , y n ) ) ( f ( U ) ⊂ V とする)で,
(
ψ
∘
f
∘
φ
−
1
)
(
x
1
,
…
,
x
m
)
=
(
x
1
,
…
,
x
n
)
(
(
x
1
,
…
,
x
m
)
∈
φ
(
U
)
)
ψ
∘
f
∘
φ
−
1
x
1
,
…
,
x
m
=
x
1
,
…
,
x
n
x
1
,
…
,
x
m
∈
φ
(
U
)
(psi@f@varphi^(-1))(x_(1),dots,x_(m))=(x_(1),dots,x_(n))quad((x_(1),dots,x_(m))in varphi(U)) \left(\psi \circ f \circ \varphi^{-1}\right)\left(x_{1}, \ldots, x_{m}\right)=\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right) \quad\left(\left(x_{1}, \ldots, x_{m}\right) \in \varphi(U)\right) ( ψ ∘ f ∘ φ − 1 ) ( x 1 , … , x m ) = ( x 1 , … , x n ) ( ( x 1 , … , x m ) ∈ φ ( U ) )
となるようなものが存在する.
証明任意に
p
p
p p p のまわりの
M
M
M M M の局所チャート
(
U
^
,
φ
^
=
(
x
1
,
…
,
x
m
)
)
U
^
,
φ
^
=
x
1
,
…
,
x
m
(( widehat(U)),( widehat(varphi))=(x_(1),dots,x_(m))) \left(\widehat{U}, \widehat{\varphi}=\left(x_{1}, \ldots, x_{m}\right)\right) ( U ^ , φ ^ = ( x 1 , … , x m ) ) と
f
(
p
)
f
(
p
)
f(p) f(p) f ( p ) のまわりの
N
N
N N N の局所チャート
(
V
,
ψ
=
(
y
1
,
…
,
y
n
)
)
V
,
ψ
=
y
1
,
…
,
y
n
(V,psi=(y_(1),dots,y_(n))) \left(V, \psi=\left(y_{1}, \ldots, y_{n}\right)\right) ( V , ψ = ( y 1 , … , y n ) ) をとる
(
f
(
U
^
)
⊂
V
(
f
(
U
^
)
⊂
V
(f( widehat(U))sub V (f(\widehat{U}) \subset V ( f ( U ^ ) ⊂ V とする).
d
f
p
d
f
p
df_(p) d f_{p} d f p が全射であることより, ヤコビ行列
J
(
ψ
∘
f
∘
φ
^
−
1
)
φ
^
(
p
)
J
ψ
∘
f
∘
φ
^
−
1
φ
^
(
p
)
J(psi@f@ hat(varphi)^(-1))_( hat(varphi)(p)) J\left(\psi \circ f \circ \hat{\varphi}^{-1}\right)_{\hat{\varphi}(p)} J ( ψ ∘ f ∘ φ ^ − 1 ) φ ^ ( p ) の階数 は
n
n
n n n になる。れゆえ, 微分積分学における陰関数定理(全射型)を用いて,
φ
^
(
p
)
φ
^
(
p
)
widehat(varphi)(p) \widehat{\varphi}(p) φ ^ ( p ) のある十分小さな開近傍
U
′
(
⊂
φ
^
(
U
^
)
)
U
′
(
⊂
φ
^
(
U
^
)
)
U^(')(sub widehat(varphi)( widehat(U))) U^{\prime}(\subset \widehat{\varphi}(\widehat{U})) U ′ ( ⊂ φ ^ ( U ^ ) ) から
R
m
R
m
R^(m) \mathbb{R}^{m} R m のある開集合への
C
r
C
r
C^(r) C^{r} C r 同型写像
φ
~
φ
~
widetilde(varphi) \widetilde{\varphi} φ ~ で
(
(
ψ
∘
f
∘
φ
^
−
1
)
∘
φ
~
−
1
)
(
x
1
,
…
,
x
m
)
=
(
x
1
,
…
,
x
n
)
(
(
x
1
,
…
,
x
m
)
∈
φ
~
(
U
′
)
)
ψ
∘
f
∘
φ
^
−
1
∘
φ
~
−
1
x
1
,
…
,
x
m
=
x
1
,
…
,
x
n
x
1
,
…
,
x
m
∈
φ
~
U
′
{:[((psi@f@ hat(varphi)^(-1))@ widetilde(varphi)^(-1))(x_(1),dots,x_(m))=(x_(1),dots,x_(n))],[((x_(1),dots,x_(m))in( widetilde(varphi))(U^(')))]:} \begin{array}{r}
\left(\left(\psi \circ f \circ \hat{\varphi}^{-1}\right) \circ \widetilde{\varphi}^{-1}\right)\left(x_{1}, \ldots, x_{m}\right)=\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right) \\
\left(\left(x_{1}, \ldots, x_{m}\right) \in \widetilde{\varphi}\left(U^{\prime}\right)\right)
\end{array} ( ( ψ ∘ f ∘ φ ^ − 1 ) ∘ φ ~ − 1 ) ( x 1 , … , x m ) = ( x 1 , … , x n ) ( ( x 1 , … , x m ) ∈ φ ~ ( U ′ ) )
となるようなものがとれることが示される.
U
:=
φ
−
1
(
U
′
)
,
φ
:=
(
φ
~
∘
φ
^
)
|
φ
−
1
(
U
′
)
U
:=
φ
−
1
U
′
,
φ
:=
(
φ
~
∘
φ
^
)
φ
−
1
U
′
U:=varphi^(-1)(U^(')),varphi:=(( widetilde(varphi))@( widehat(varphi)))|_(varphi^(-1)(U^('))) U:=\varphi^{-1}\left(U^{\prime}\right), \varphi:=\left.(\widetilde{\varphi} \circ \widehat{\varphi})\right|_{\varphi^{-1}\left(U^{\prime}\right)} U := φ − 1 ( U ′ ) , φ := ( φ ~ ∘ φ ^ ) | φ − 1 ( U ′ ) とおく。明らかに,
(
U
,
φ
)
(
U
,
φ
)
(U,varphi) (U, \varphi) ( U , φ ) は
M
M
M M M の局所チャートであり,
(
ψ
∘
f
∘
φ
−
1
)
(
x
1
,
…
,
x
m
)
=
(
x
1
,
…
,
x
n
)
(
(
x
1
,
…
,
x
m
)
∈
φ
(
U
)
)
ψ
∘
f
∘
φ
−
1
x
1
,
…
,
x
m
=
x
1
,
…
,
x
n
x
1
,
…
,
x
m
∈
φ
(
U
)
{:[(psi@f@varphi^(-1))(x_(1),dots,x_(m))=(x_(1),dots,x_(n))],[((x_(1),dots,x_(m))in varphi(U))]:} \begin{array}{r}
\left(\psi \circ f \circ \varphi^{-1}\right)\left(x_{1}, \ldots, x_{m}\right)=\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right) \\
\left(\left(x_{1}, \ldots, x_{m}\right) \in \varphi(U)\right)
\end{array} ( ψ ∘ f ∘ φ − 1 ) ( x 1 , … , x m ) = ( x 1 , … , x n ) ( ( x 1 , … , x m ) ∈ φ ( U ) )
が成り立つ. それゆえ,
(
U
,
φ
)
(
U
,
φ
)
(U,varphi) (U, \varphi) ( U , φ ) と
(
V
,
ψ
)
(
V
,
ψ
)
(V,psi) (V, \psi) ( V , ψ ) が求めるべき局所チャートの組であ る.
同様に, 微分積分学における陰関数定理(単射型)を用いて,
C
∞
C
∞
C^(oo) C^{\infty} C ∞ 多様体間 の
C
r
C
r
C^(r) C^{r} C r 写像に対し, 次の陰関数定理(単射型)(implicit function theorem (injection type))が示される.
定理 3.6.3
M
M
M M M を
m
m
m m m 次元
C
∞
C
∞
C^(oo) C^{\infty} C ∞ 多様体,
N
N
N N N を
n
(
>
m
)
n
(
>
m
)
n( > m) n(>m) n ( > m ) 次元
C
∞
C
∞
C^(oo) C^{\infty} C ∞ 多様体とし,
f
f
f f f を
M
M
M M M から
N
N
N N N への
C
r
C
r
C^(r) C^{r} C r 写像とする. このとき,
d
f
p
d
f
p
df_(p) d f_{p} d f p が単射であるならば,
p
p
p p p のまわりの
M
M
M M M の局所チャート
(
U
,
φ
=
(
x
1
,
…
,
x
m
)
)
U
,
φ
=
x
1
,
…
,
x
m
(U,varphi=(x_(1),dots,x_(m))) \left(U, \varphi=\left(x_{1}, \ldots, x_{m}\right)\right) ( U , φ = ( x 1 , … , x m ) ) と
f
(
p
)
f
(
p
)
f(p) f(p) f ( p ) のまわりの
N
N
N N N の 局所チャート
(
V
,
ψ
=
(
y
1
,
…
,
y
n
)
)
(
f
(
U
)
⊂
V
V
,
ψ
=
y
1
,
…
,
y
n
(
f
(
U
)
⊂
V
(V,psi=(y_(1),dots,y_(n)))(f(U)sub V \left(V, \psi=\left(y_{1}, \ldots, y_{n}\right)\right)(f(U) \subset V ( V , ψ = ( y 1 , … , y n ) ) ( f ( U ) ⊂ V とする)で,
(
ψ
∘
f
∘
φ
−
1
)
(
x
1
,
…
,
x
m
)
=
(
x
1
,
…
,
x
m
,
0
,
…
,
0
)
(
(
x
1
,
…
,
x
m
)
∈
U
)
ψ
∘
f
∘
φ
−
1
x
1
,
…
,
x
m
=
x
1
,
…
,
x
m
,
0
,
…
,
0
x
1
,
…
,
x
m
∈
U
(psi@f@varphi^(-1))(x_(1),dots,x_(m))=(x_(1),dots,x_(m),0,dots,0)quad((x_(1),dots,x_(m))in U) \left(\psi \circ f \circ \varphi^{-1}\right)\left(x_{1}, \ldots, x_{m}\right)=\left(x_{1}, \ldots, x_{m}, 0, \ldots, 0\right) \quad\left(\left(x_{1}, \ldots, x_{m}\right) \in U\right) ( ψ ∘ f ∘ φ − 1 ) ( x 1 , … , x m ) = ( x 1 , … , x m , 0 , … , 0 ) ( ( x 1 , … , x m ) ∈ U )
となるようなものが存在する。
次に, 正則部分多様体の概念を定義しよう.
M
M
M M M を
m
m
m m m 次元
C
∞
C
∞
C^(oo) C^{\infty} C ∞ 多様体とし,
L
L
L L L を
M
M
M M M 部分集合とする。また,
l
l
l l l を
m
m
m m m よりも小さい自然数とする. 各点
p
∈
L
p
∈
L
p in L p \in L p ∈ L に対し,
p
p
p p p のまわりの
M
M
M M M の局所チャート
(
U
,
φ
=
(
x
1
,
…
,
x
m
)
)
U
,
φ
=
x
1
,
…
,
x
m
(U,varphi=(x_(1),dots,x_(m))) \left(U, \varphi=\left(x_{1}, \ldots, x_{m}\right)\right) ( U , φ = ( x 1 , … , x m ) ) で,
(3.6.1)
U
∩
L
=
{
q
∈
U
∣
x
l
+
1
(
q
)
=
⋯
=
x
m
(
q
)
=
0
}
(3.6.1)
U
∩
L
=
q
∈
U
∣
x
l
+
1
(
q
)
=
⋯
=
x
m
(
q
)
=
0
{:(3.6.1)U nn L={q in U∣x_(l+1)(q)=cdots=x_(m)(q)=0}:} \begin{equation*}
U \cap L=\left\{q \in U \mid x_{l+1}(q)=\cdots=x_{m}(q)=0\right\} \tag{3.6.1}
\end{equation*} (3.6.1) U ∩ L = { q ∈ U ∣ x l + 1 ( q ) = ⋯ = x m ( q ) = 0 }
(図 3.6.3 を参照)となるようなものがとれるとき,
L
L
L L L を
M
M
M M M 内
l
l
l \boldsymbol{l} l 次元正則部分多様体(l-dimensional regular submanifold)という. 各点
p
∈
L
p
∈
L
p in L p \in L p ∈ L に対し, 条件 (3.6.1) を満たす
M
M
M M M の局所チャート
(
U
p
,
φ
p
)
U
p
,
φ
p
(U_(p),varphi_(p)) \left(U_{p}, \varphi_{p}\right) ( U p , φ p ) をとることにより,
L
L
L L L を被覆する
M
M
M M M の局所チャートの族
D
′
:=
{
(
U
p
,
φ
p
)
∣
p
∈
L
}
D
′
:=
U
p
,
φ
p
∣
p
∈
L
D^('):={(U_(p),varphi_(p))∣p in L} \mathcal{D}^{\prime}:=\left\{\left(U_{p}, \varphi_{p}\right) \mid p \in L\right\} D ′ := { ( U p , φ p ) ∣ p ∈ L } を定義する.
pr
R
l
pr
R
l
pr_(R^(l)) \mathrm{pr}_{\mathbb{R}^{l}} pr R l を
R
m
R
m
R^(m) \mathbb{R}^{m} R m から
R
l
R
l
R^(l) \mathbb{R}^{l} R l への自然な射影(つまり,
pr
R
l
(
x
1
,
…
,
x
m
)
:=
(
x
1
,
…
,
x
l
)
)
pr
R
l
x
1
,
…
,
x
m
:=
x
1
,
…
,
x
l
{:pr_(R^(l))(x_(1),dots,x_(m)):=(x_(1),dots,x_(l))) \left.\mathrm{pr}_{\mathbb{R}^{l}}\left(x_{1}, \ldots, x_{m}\right):=\left(x_{1}, \ldots, x_{l}\right)\right) pr R l ( x 1 , … , x m ) := ( x 1 , … , x l ) ) とし,
D
L
′
D
L
′
D_(L)^(') \mathcal{D}_{L}^{\prime} D L ′ を
D
L
′
:=
{
(
U
p
∩
L
,
pr
R
i
∘
φ
p
|
U
p
∩
L
)
∣
p
∈
L
}
D
L
′
:=
U
p
∩
L
,
pr
R
i
∘
φ
p
U
p
∩
L
∣
p
∈
L
D_(L)^('):={(U_(p)nn L,pr_(R^(i))@varphi_(p)|_(U_(p)nn L))∣p in L} \mathcal{D}_{L}^{\prime}:=\left\{\left(U_{p} \cap L,\left.\operatorname{pr}_{\mathbb{R}^{i}} \circ \varphi_{p}\right|_{U_{p} \cap L}\right) \mid p \in L\right\} D L ′ := { ( U p ∩ L , pr R i ∘ φ p | U p ∩ L ) ∣ p ∈ L }
によって定めると、明らかにこれは
L
L
L L L の
C
∞
C
∞
C^(oo) C^{\infty} C ∞ 構造を与え、それゆえ,
(
L
,
D
L
)
L
,
D
L
(L,D_(L)) \left(L, \mathcal{D}_{L}\right) ( L , D L ) は
l
l
l l l 次元
C
∞
C
∞
C^(oo) C^{\infty} C ∞ 多様体になることがわかる. また,
R
l
R
l
R^(l) \mathbb{R}^{l} R l の開集合
D
p
D
p
D_(p) D_{p} D p を
D
p
:=
{
(
u
1
,
…
,
u
l
)
∈
R
l
∣
(
u
1
,
…
,
u
l
,
0
,
…
,
0
)
∈
φ
p
(
U
p
)
}
D
p
:=
u
1
,
…
,
u
l
∈
R
l
∣
u
1
,
…
,
u
l
,
0
,
…
,
0
∈
φ
p
U
p
D_(p):={(u_(1),dots,u_(l))inR^(l)∣(u_(1),dots,u_(l),0,dots,0)invarphi_(p)(U_(p))} D_{p}:=\left\{\left(u_{1}, \ldots, u_{l}\right) \in \mathbb{R}^{l} \mid\left(u_{1}, \ldots, u_{l}, 0, \ldots, 0\right) \in \varphi_{p}\left(U_{p}\right)\right\} D p := { ( u 1 , … , u l ) ∈ R l ∣ ( u 1 , … , u l , 0 , … , 0 ) ∈ φ p ( U p ) }
によって定義し,
x
p
:
D
p
→
M
x
p
:
D
p
→
M
x_(p):D_(p)rarr M \boldsymbol{x}_{p}: D_{p} \rightarrow M x p : D p → M を
x
p
(
u
1
,
…
,
u
l
)
:=
φ
p
−
1
(
u
1
,
…
,
u
l
,
0
,
…
,
0
)
(
(
u
1
,
…
,
u
l
)
∈
D
p
)
x
p
u
1
,
…
,
u
l
:=
φ
p
−
1
u
1
,
…
,
u
l
,
0
,
…
,
0
u
1
,
…
,
u
l
∈
D
p
x_(p)(u_(1),dots,u_(l)):=varphi_(p)^(-1)(u_(1),dots,u_(l),0,dots,0)quad((u_(1),dots,u_(l))inD_(p)) \boldsymbol{x}_{p}\left(u_{1}, \ldots, u_{l}\right):=\varphi_{p}^{-1}\left(u_{1}, \ldots, u_{l}, 0, \ldots, 0\right) \quad\left(\left(u_{1}, \ldots, u_{l}\right) \in D_{p}\right) x p ( u 1 , … , u l ) := φ p − 1 ( u 1 , … , u l , 0 , … , 0 ) ( ( u 1 , … , u l ) ∈ D p )
により定義する(図 3.6 .3 を参照)。 このとき,
x
p
:
D
p
→
M
x
p
:
D
p
→
M
x_(p):D_(p)rarr M \boldsymbol{x}_{p}: D_{p} \rightarrow M x p : D p → M は
C
∞
C
∞
C^(oo) C^{\infty} C ∞ はめ込 みになり,1.9 節で定義したユークリッド空間内の正則局所曲面と同種のもの になるので, これは
M
M
M M M 内の
C
∞
C
∞
C^(oo) C^{\infty} C ∞ 正則局所部分多様体とよばれるべきものにな る. それゆえ,
L
p
:=
x
p
(
D
p
)
(
=
U
p
∩
L
)
L
p
:=
x
p
D
p
=
U
p
∩
L
L_(p):=x_(p)(D_(p))(=U_(p)nn L) L_{p}:=\boldsymbol{x}_{p}\left(D_{p}\right)\left(=U_{p} \cap L\right) L p := x p ( D p ) ( = U p ∩ L ) は,
M
M
M M M 内の
C
∞
C
∞
C^(oo) C^{\infty} C ∞ 部分多様体片とよ ばれるべきものになり,
L
=
∪
p
∈
L
L
p
L
=
∪
p
∈
L
L
p
L=uu_(p in L)L_(p) L=\underset{p \in L}{\cup} L_{p} L = ∪ p ∈ L L p は
M
M
M M M 内の
C
∞
C
∞
C^(oo) C^{\infty} C ∞ 部分多様体とよばれるべ きものになる.
陰関数定理(全射型, 定理 3.6.2)を用いて次の事実が示される。
定理 3.6.4
M
M
M M M を
m
m
m m m 次元
C
∞
C
∞
C^(oo) C^{\infty} C ∞ 多様体,
N
N
N N N を
n
(
<
m
)
n
(
<
m
)
n( < m) n(<m) n ( < m ) 次元
C
∞
C
∞
C^(oo) C^{\infty} C ∞ 多様体とし,
f
:
M
→
N
f
:
M
→
N
f:M rarr N f: M \rightarrow N f : M → N を
C
∞
C
∞
C^(oo) C^{\infty} C ∞ 写像
(
r
≥
1
)
(
r
≥
1
)
(r >= 1) (r \geq 1) ( r ≥ 1 ) とする. このとき,
f
f
f f f の正則値
q
q
q q q に対し,
L
:=
f
−
1
(
q
)
L
:=
f
−
1
(
q
)
L:=f^(-1)(q) L:=f^{-1}(q) L := f − 1 ( q ) は
M
M
M M M 内の
(
m
−
n
)
(
m
−
n
)
(m-n) (m-n) ( m − n ) 次元正則部分多様体になる. た,
T
p
L
=
T
p
L
=
T_(p)L= T_{p} L= T p L =
Ker
d
f
p
(
p
∈
L
)
Ker
d
f
p
(
p
∈
L
)
Ker df_(p)(p in L) \operatorname{Ker} d f_{p}(p \in L) Ker d f p ( p ∈ L ) が成り立つ.
証明 任意に
p
0
∈
L
p
0
∈
L
p_(0)in L p_{0} \in L p 0 ∈ L をとる.
q
0
=
f
(
p
0
)
q
0
=
f
p
0
q_(0)=f(p_(0)) q_{0}=f\left(p_{0}\right) q 0 = f ( p 0 ) は
f
f
f f f の正則値なので,
p
0
p
0
p_(0) p_{0} p 0 は
f
f
f f f の 正則点, つまり,
d
f
p
0
d
f
p
0
df_(p_(0)) d f_{p_{0}} d f p 0 は全射である。それゆえ, 陰関数定理(全射型, 定理
図 3.6.3 正則部分多様体
3.6.2) によれば,
p
0
p
0
p_(0) p_{0} p 0 のまわりの局所チャート
(
U
,
φ
=
(
x
1
,
…
,
x
m
)
)
U
,
φ
=
x
1
,
…
,
x
m
(U,varphi=(x_(1),dots,x_(m))) \left(U, \varphi=\left(x_{1}, \ldots, x_{m}\right)\right) ( U , φ = ( x 1 , … , x m ) ) と
q
0
q
0
q_(0) q_{0} q 0 の まわりの局所チャート
(
V
,
ψ
=
(
y
1
,
…
,
y
n
)
)
V
,
ψ
=
y
1
,
…
,
y
n
(V,psi=(y_(1),dots,y_(n))) \left(V, \psi=\left(y_{1}, \ldots, y_{n}\right)\right) ( V , ψ = ( y 1 , … , y n ) ) で
(
ψ
∘
f
∘
φ
−
1
)
(
x
1
,
…
,
x
m
)
=
(
x
1
,
…
,
x
n
)
(
(
x
1
,
…
,
x
m
)
∈
φ
(
U
)
)
ψ
∘
f
∘
φ
−
1
x
1
,
…
,
x
m
=
x
1
,
…
,
x
n
x
1
,
…
,
x
m
∈
φ
(
U
)
(psi@f@varphi^(-1))(x_(1),dots,x_(m))=(x_(1),dots,x_(n))quad((x_(1),dots,x_(m))in varphi(U)) \left(\psi \circ f \circ \varphi^{-1}\right)\left(x_{1}, \ldots, x_{m}\right)=\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right) \quad\left(\left(x_{1}, \ldots, x_{m}\right) \in \varphi(U)\right) ( ψ ∘ f ∘ φ − 1 ) ( x 1 , … , x m ) = ( x 1 , … , x n ) ( ( x 1 , … , x m ) ∈ φ ( U ) )
となるようなものがとれる.
φ
(
p
0
)
=
(
p
01
,
…
,
p
0
m
)
φ
p
0
=
p
01
,
…
,
p
0
m
varphi(p_(0))=(p_(01),dots,p_(0m)) \varphi\left(p_{0}\right)=\left(p_{01}, \ldots, p_{0 m}\right) φ ( p 0 ) = ( p 01 , … , p 0 m ) とする.
τ
:
φ
(
U
)
→
R
m
τ
:
φ
(
U
)
→
R
m
tau:varphi(U)rarrR^(m) \tau: \varphi(U) \rightarrow \mathbb{R}^{m} τ : φ ( U ) → R m を
τ
(
x
1
,
…
,
x
m
)
:=
(
x
n
+
1
−
p
0
,
n
+
1
,
…
,
x
m
−
p
0
m
,
x
1
−
p
01
,
…
,
x
n
−
p
0
n
)
(
(
x
1
,
…
,
x
m
)
∈
φ
(
U
)
)
τ
x
1
,
…
,
x
m
:=
x
n
+
1
−
p
0
,
n
+
1
,
…
,
x
m
−
p
0
m
,
x
1
−
p
01
,
…
,
x
n
−
p
0
n
x
1
,
…
,
x
m
∈
φ
(
U
)
{:[tau(x_(1),dots,x_(m)):=(x_(n+1)-p_(0,n+1),dots,x_(m)-p_(0m),x_(1)-p_(01),dots,x_(n)-p_(0n))],[((x_(1),dots,x_(m))in varphi(U))]:} \begin{array}{r}
\tau\left(x_{1}, \ldots, x_{m}\right):=\left(x_{n+1}-p_{0, n+1}, \ldots, x_{m}-p_{0 m}, x_{1}-p_{01}, \ldots, x_{n}-p_{0 n}\right) \\
\left(\left(x_{1}, \ldots, x_{m}\right) \in \varphi(U)\right)
\end{array} τ ( x 1 , … , x m ) := ( x n + 1 − p 0 , n + 1 , … , x m − p 0 m , x 1 − p 01 , … , x n − p 0 n ) ( ( x 1 , … , x m ) ∈ φ ( U ) )
により定義する。
φ
^
:=
τ
∘
φ
φ
^
:=
τ
∘
φ
widehat(varphi):=tau@varphi \widehat{\varphi}:=\tau \circ \varphi φ ^ := τ ∘ φ とおき、
φ
^
=
(
x
^
1
,
…
,
x
^
m
)
φ
^
=
x
^
1
,
…
,
x
^
m
widehat(varphi)=( widehat(x)_(1),dots, widehat(x)_(m)) \widehat{\varphi}=\left(\widehat{x}_{1}, \ldots, \widehat{x}_{m}\right) φ ^ = ( x ^ 1 , … , x ^ m ) とする. このとき, 明 らかに
(
U
,
φ
^
)
(
U
,
φ
^
)
(U, widehat(varphi)) (U, \widehat{\varphi}) ( U , φ ^ ) は
M
M
M M M の局所チャートになる。また,
p
∈
U
∩
L
⟺
f
(
p
)
=
q
0
⟺
(
ψ
∘
f
∘
φ
−
1
)
(
x
1
(
p
)
,
…
,
x
m
(
p
)
)
=
(
ψ
∘
f
∘
φ
−
1
)
(
x
1
(
p
0
)
,
…
,
x
m
(
p
0
)
)
⟺
(
x
1
(
p
)
,
…
,
x
n
(
p
)
)
=
(
x
1
(
p
0
)
,
…
,
x
n
(
p
0
)
)
⟺
(
x
1
(
p
)
,
…
,
x
n
(
p
)
)
=
(
p
01
,
…
,
p
0
n
)
⟺
x
^
m
−
n
+
1
(
p
)
=
⋯
=
x
^
m
(
p
)
=
0
p
∈
U
∩
L
⟺
f
(
p
)
=
q
0
⟺
ψ
∘
f
∘
φ
−
1
x
1
(
p
)
,
…
,
x
m
(
p
)
=
ψ
∘
f
∘
φ
−
1
x
1
p
0
,
…
,
x
m
p
0
⟺
x
1
(
p
)
,
…
,
x
n
(
p
)
=
x
1
p
0
,
…
,
x
n
p
0
⟺
x
1
(
p
)
,
…
,
x
n
(
p
)
=
p
01
,
…
,
p
0
n
⟺
x
^
m
−
n
+
1
(
p
)
=
⋯
=
x
^
m
(
p
)
=
0
{:[p in U nn L Longleftrightarrow f(p)=q_(0)],[Longleftrightarrow(psi@f@varphi^(-1))(x_(1)(p),dots,x_(m)(p))=(psi@f@varphi^(-1))(x_(1)(p_(0)),dots,x_(m)(p_(0)))],[Longleftrightarrow(x_(1)(p),dots,x_(n)(p))=(x_(1)(p_(0)),dots,x_(n)(p_(0)))],[Longleftrightarrow(x_(1)(p),dots,x_(n)(p))=(p_(01),dots,p_(0n))],[Longleftrightarrow hat(x)_(m-n+1)(p)=cdots= widehat(x)_(m)(p)=0]:} \begin{aligned}
& p \in U \cap L \Longleftrightarrow f(p)=q_{0} \\
\Longleftrightarrow & \left(\psi \circ f \circ \varphi^{-1}\right)\left(x_{1}(p), \ldots, x_{m}(p)\right)=\left(\psi \circ f \circ \varphi^{-1}\right)\left(x_{1}\left(p_{0}\right), \ldots, x_{m}\left(p_{0}\right)\right) \\
\Longleftrightarrow & \left(x_{1}(p), \ldots, x_{n}(p)\right)=\left(x_{1}\left(p_{0}\right), \ldots, x_{n}\left(p_{0}\right)\right) \\
\Longleftrightarrow & \left(x_{1}(p), \ldots, x_{n}(p)\right)=\left(p_{01}, \ldots, p_{0 n}\right) \\
\Longleftrightarrow & \hat{x}_{m-n+1}(p)=\cdots=\widehat{x}_{m}(p)=0
\end{aligned} p ∈ U ∩ L ⟺ f ( p ) = q 0 ⟺ ( ψ ∘ f ∘ φ − 1 ) ( x 1 ( p ) , … , x m ( p ) ) = ( ψ ∘ f ∘ φ − 1 ) ( x 1 ( p 0 ) , … , x m ( p 0 ) ) ⟺ ( x 1 ( p ) , … , x n ( p ) ) = ( x 1 ( p 0 ) , … , x n ( p 0 ) ) ⟺ ( x 1 ( p ) , … , x n ( p ) ) = ( p 01 , … , p 0 n ) ⟺ x ^ m − n + 1 ( p ) = ⋯ = x ^ m ( p ) = 0
つまり,
U
∩
L
=
{
p
∈
U
∣
x
^
m
−
n
+
1
(
p
)
=
⋯
=
x
^
m
(
p
)
=
0
}
U
∩
L
=
p
∈
U
∣
x
^
m
−
n
+
1
(
p
)
=
⋯
=
x
^
m
(
p
)
=
0
U nn L={p in U∣ widehat(x)_(m-n+1)(p)=cdots= widehat(x)_(m)(p)=0} U \cap L=\left\{p \in U \mid \widehat{x}_{m-n+1}(p)=\cdots=\widehat{x}_{m}(p)=0\right\} U ∩ L = { p ∈ U ∣ x ^ m − n + 1 ( p ) = ⋯ = x ^ m ( p ) = 0 } が示される. し たがって,
L
L
L L L は
M
M
M M M 内の
(
m
−
n
)
(
m
−
n
)
(m-n) (m-n) ( m − n ) 次元正則部分多様体である(図 3.6.4 を参照).
次に, 後半部を示す. 任意に
v
∈
T
p
L
v
∈
T
p
L
v inT_(p)L \boldsymbol{v} \in T_{p} L v ∈ T p L をとり,
c
c
c c c を
c
′
(
0
)
=
v
c
′
(
0
)
=
v
c^(')(0)=v c^{\prime}(0)=\boldsymbol{v} c ′ ( 0 ) = v となる
L
L
L L L 内 の
C
r
C
r
C^(r) C^{r} C r 曲線とする. このとき,
f
(
c
(
t
)
)
=
q
f
(
c
(
t
)
)
=
q
f(c(t))=q f(c(t))=q f ( c ( t ) ) = q なので,
(
f
∘
c
)
′
(
0
)
=
0
(
f
∘
c
)
′
(
0
)
=
0
(f@c)^(')(0)=0 (f \circ c)^{\prime}(0)=\mathbf{0} ( f ∘ c ) ′ ( 0 ) = 0 をえる. そ れゆえ,
d
f
p
(
v
)
=
(
f
∘
c
)
′
(
0
)
=
0
,
つ
ま
り
,
v
∈
Ker
d
f
p
d
f
p
(
v
)
=
(
f
∘
c
)
′
(
0
)
=
0
,
つ
ま
り
,
v
∈
Ker
d
f
p
df_(p)(v)=(f@c)^(')(0)=0,つまり,v in Ker df_(p) d f_{p}(\boldsymbol{v})=(f \circ c)^{\prime}(0)=\mathbf{0}, つ ま り, \boldsymbol{v} \in \operatorname{Ker} d f_{p} つ ま り d f p ( v ) = ( f ∘ c ) ′ ( 0 ) = 0 , つ ま り , v ∈ Ker d f p が示される.したが
図 3.6.4 正則値の等高面
って,
T
p
L
⊂
Ker
d
f
p
T
p
L
⊂
Ker
d
f
p
T_(p)L sub Ker df_(p) T_{p} L \subset \operatorname{Ker} d f_{p} T p L ⊂ Ker d f p をえる。一方, 線形代数学における次元定理, および,
d
f
p
d
f
p
df_(p) d f_{p} d f p が全射であることを用いて,
m
=
dim
T
p
M
=
dim
Ker
d
f
p
+
dim
Im
d
f
p
=
dimKer
d
f
p
+
n
m
=
dim
T
p
M
=
dim
Ker
d
f
p
+
dim
Im
d
f
p
=
dimKer
d
f
p
+
n
m=dimT_(p)M=dim Ker df_(p)+dim Im df_(p)=dimKer df_(p)+n m=\operatorname{dim} T_{p} M=\operatorname{dim} \operatorname{Ker} d f_{p}+\operatorname{dim} \operatorname{Im} d f_{p}=\operatorname{dimKer} d f_{p}+n m = dim T p M = dim Ker d f p + dim Im d f p = dimKer d f p + n
つまり,
dim
Ker
d
f
p
=
m
−
n
=
dim
T
p
L
dim
Ker
d
f
p
=
m
−
n
=
dim
T
p
L
dim Ker df_(p)=m-n=dimT_(p)L \operatorname{dim} \operatorname{Ker} d f_{p}=m-n=\operatorname{dim} T_{p} L dim Ker d f p = m − n = dim T p L が示される.したがって,
Ker
d
f
p
=
Ker
d
f
p
=
Ker df_(p)= \operatorname{Ker} d f_{p}= Ker d f p =
T
p
L
T
p
L
T_(p)L T_{p} L T p L をえる.
L
L
L L L を
l
l
l l l 次元
C
∞
C
∞
C^(oo) C^{\infty} C ∞ 多様体とし,
M
M
M M M を
m
(
>
l
)
m
(
>
l
)
m( > l) m(>l) m ( > l ) 次元
C
∞
C
∞
C^(oo) C^{\infty} C ∞ 多様体とする.
L
L
L L L から
M
M
M M M への
C
r
C
r
C^(r) C^{r} C r はめ込み写像
f
f
f f f が与えられているとき,
L
L
L L L を
f
f
f \boldsymbol{f} f によってはめ込ま れた
M
M
M M M 内の
l
l
l l l 次元
C
r
C
r
C^(r) C^{r} C r 級部分多様体
(
l
l
(l:} \left(l\right. ( l -dimensional
C
r
C
r
C^(r) C^{r} C r -submanifold in
M
M
M M M immersed by
f
f
f f f ), または単に, はめ込まれた
C
r
C
r
C^(r) C^{r} C r 部分多様体(immersed
C
r
C
r
C^(r) C^{r} C r -submanifold) といい,
(
m
−
l
)
(
m
−
l
)
(m-l) (m-l) ( m − l ) をその余次元(codimension) という. 特に, はめ込まれた余次元 1 の
C
r
C
r
C^(r) C^{r} C r 部分多様体は, はめ込まれた
C
r
C
r
C^(r) C^{r} C r 超曲面(immersed
C
r
C
r
C^(r) C^{r} C r -hypersurface)とよばれる。また,
L
L
L L L から
M
∼
M
∼
M∼ M \sim M ∼ の
C
r
C
r
C^(r) C^{r} C r 埋め込み写像
f
f
f f f が与えられているとき,
L
L
L L L または
f
(
L
)
f
(
L
)
f(L) f(L) f ( L ) を
f
f
f \boldsymbol{f} f によって 埋め込まれた
M
M
M M M 内の
l
l
l l l 次元
C
r
C
r
C^(r) C^{r} C r 級部分多様体 (
l
l
l l l -dimensional
C
r
−
C
r
−
C^(r)- C^{r}- C r −
submanifold in
M
M
M M M embedded by
f
f
f f f ), または単に, 埋め込まれた
C
r
C
r
C^(r) C^{r} C r 部分多様体 (embedded
C
r
C
r
C^(r) C^{r} C r -submanifold) という.
3.7 ベクトル場と局所 1 パラメーター変換群
この節において,
C
∞
C
∞
C^(oo) C^{\infty} C ∞ 多様体上の
C
r
C
r
C^(r) C^{r} C r ベクトル場と
C
r
C
r
C^(r) C^{r} C r 局所 1 パラメーター 変換群を定義し,それらの関係について述べる。また一般に,実ベクトルバ ンドルの概念, さらにその基本的な例として, 接ベクトルバンドルを定義し,
C
r
C
r
C^(r) C^{r} C r ベクトル場が接ベクトルバンドルの
C
r
C
r
C^(r) C^{r} C r 切断とよばれるものとして捉えら れることについて述べる。この節では
r
≥
1
r
≥
1
r >= 1 r \geq 1 r ≥ 1 とする.
n
n
n n n 次元
C
∞
C
∞
C^(oo) C^{\infty} C ∞ 多様体
M
M
M M M の各点
p
p
p p p に対し,
T
p
M
T
p
M
T_(p)M T_{p} M T p M の元
X
p
X
p
X_(p) \boldsymbol{X}_{p} X p を対応させる対応
X
X
X \boldsymbol{X} X を
M
M
M M M 上の接ベクトル場, または単に, ベクトル場という。超曲面の場合と異 なり, 法べクトル場に相当するものが実在しないので, “接”を略してべクト ル場とよぶことにする。
M
M
M M M の局所チャート
(
U
,
φ
=
(
x
1
,
…
,
x
n
)
)
U
,
φ
=
x
1
,
…
,
x
n
(U,varphi=(x_(1),dots,x_(n))) \left(U, \varphi=\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)\right) ( U , φ = ( x 1 , … , x n ) ) に対し,
X
p
=
∑
i
=
1
n
X
i
(
p
)
(
∂
∂
x
i
)
p
(
p
∈
U
)
X
p
=
∑
i
=
1
n
X
i
(
p
)
∂
∂
x
i
p
(
p
∈
U
)
X_(p)=sum_(i=1)^(n)X_(i)(p)((del)/(delx_(i)))_(p)quad(p in U) \boldsymbol{X}_{p}=\sum_{i=1}^{n} X_{i}(p)\left(\frac{\partial}{\partial x_{i}}\right)_{p} \quad(p \in U) X p = ∑ i = 1 n X i ( p ) ( ∂ ∂ x i ) p ( p ∈ U )
によって定義される
U
U
U U U 上の関数
X
i
X
i
X_(i) X_{i} X i たちを
X
X
X X X の
(
U
,
φ
)
(
U
,
φ
)
(U,varphi) (U, \varphi) ( U , φ ) に関する成分(the component of
X
X
X \boldsymbol{X} X with respect to
(
U
,
φ
)
(
U
,
φ
)
(U,varphi) (U, \varphi) ( U , φ ) ) という.
M
M
M M M の各局所チャート に関する成分が
C
r
C
r
C^(r) C^{r} C r 級であるとき,
X
X
X \boldsymbol{X} X を
C
r
C
r
C^(r) C^{r} C r ベクトル場
(
C
r
C
r
(C^(r):} \left(C^{r}\right. ( C r -vector field
)
)
) ) ) という。
M
M
M M M 上の
C
r
C
r
C^(r) C^{r} C r ベクトル場の全体を
X
r
(
M
)
X
r
(
M
)
X^(r)(M) \mathcal{X}^{r}(M) X r ( M ) と表し, 特に,
C
∞
C
∞
C^(oo) C^{\infty} C ∞ ベクト ル場の全体を
X
(
M
)
X
(
M
)
X(M) \mathcal{X}(M) X ( M ) と表すことにする。
M
M
M M M 上の
C
r
C
r
C^(r) C^{r} C r ベクトル場
X
X
X \boldsymbol{X} X と
C
r
C
r
C^(r) C^{r} C r 級関数
f
f
f f f に対し,
X
(
f
)
X
(
f
)
X(f) \boldsymbol{X}(f) X ( f ) を
X
(
f
)
(
p
)
:=
X
p
(
f
)
(
p
∈
M
)
X
(
f
)
(
p
)
:=
X
p
(
f
)
(
p
∈
M
)
X(f)(p):=X_(p)(f)quad(p in M) \boldsymbol{X}(f)(p):=\boldsymbol{X}_{p}(f) \quad(p \in M) X ( f ) ( p ) := X p ( f ) ( p ∈ M )
で定める。
X
(
f
)
X
(
f
)
X(f) \boldsymbol{X}(f) X ( f ) は
M
M
M M M 上の
C
r
−
1
C
r
−
1
C^(r-1) C^{r-1} C r − 1 級関数になる。
X
(
f
)
X
(
f
)
X(f) \boldsymbol{X}(f) X ( f ) を
f
f
f f f の
X
X
X \boldsymbol{X} X に関する 方向微分という. 命題 3.3.4 から直接, 次の関係式が導かれる:
(i)
X
(
a
f
1
+
b
f
2
)
=
a
X
(
f
1
)
+
b
X
(
f
2
)
(
a
,
b
∈
R
,
f
1
,
f
2
∈
C
r
(
M
)
)
X
a
f
1
+
b
f
2
=
a
X
f
1
+
b
X
f
2
a
,
b
∈
R
,
f
1
,
f
2
∈
C
r
(
M
)
quad X(af_(1)+bf_(2))=aX(f_(1))+bX(f_(2))quad(a,b inR,f_(1),f_(2)inC^(r)(M)) \quad \boldsymbol{X}\left(a f_{1}+b f_{2}\right)=a \boldsymbol{X}\left(f_{1}\right)+b \boldsymbol{X}\left(f_{2}\right) \quad\left(a, b \in \mathbb{R}, f_{1}, f_{2} \in C^{r}(M)\right) X ( a f 1 + b f 2 ) = a X ( f 1 ) + b X ( f 2 ) ( a , b ∈ R , f 1 , f 2 ∈ C r ( M ) ) ;
(ii)
X
(
f
1
f
2
)
=
f
1
X
(
f
2
)
+
X
(
f
1
)
f
2
(
f
1
,
f
2
∈
C
r
(
M
)
)
X
f
1
f
2
=
f
1
X
f
2
+
X
f
1
f
2
f
1
,
f
2
∈
C
r
(
M
)
quad X(f_(1)f_(2))=f_(1)X(f_(2))+X(f_(1))f_(2)quad(f_(1),f_(2)inC^(r)(M)) \quad \boldsymbol{X}\left(f_{1} f_{2}\right)=f_{1} \boldsymbol{X}\left(f_{2}\right)+\boldsymbol{X}\left(f_{1}\right) f_{2} \quad\left(f_{1}, f_{2} \in C^{r}(M)\right) X ( f 1 f 2 ) = f 1 X ( f 2 ) + X ( f 1 ) f 2 ( f 1 , f 2 ∈ C r ( M ) ) .
C
r
(
M
)
C
r
(
M
)
C^(r)(M) C^{r}(M) C r ( M ) から
C
r
−
1
(
M
)
C
r
−
1
(
M
)
C^(r-1)(M) C^{r-1}(M) C r − 1 ( M ) への写像
X
^
X
^
widehat(X) \widehat{\boldsymbol{X}} X ^ で, 上述の条件 (i), (ii)を満たすようなも のの全体を
X
^
r
(
M
)
X
^
r
(
M
)
widehat(X)^(r)(M) \widehat{\mathcal{X}}^{r}(M) X ^ r ( M ) と表すことにする。
X
^
r
(
M
)
X
^
r
(
M
)
widehat(X)^(r)(M) \widehat{\mathcal{X}}^{r}(M) X ^ r ( M ) は自然な和, 実数倍の下に無
限次元実ベクトル空間になる。 各
X
∈
X
r
(
M
)
X
∈
X
r
(
M
)
X inX^(r)(M) \boldsymbol{X} \in \mathcal{X}^{r}(M) X ∈ X r ( M ) に対し,
X
^
(
f
)
:=
X
(
f
)
(
f
∈
X
^
(
f
)
:=
X
(
f
)
(
f
∈
hat(X)(f):=X(f)(f in \hat{\boldsymbol{X}}(f):=\boldsymbol{X}(f)(f \in X ^ ( f ) := X ( f ) ( f ∈
C
∞
(
M
)
)
C
∞
(
M
)
{:C^(oo)(M)) \left.C^{\infty}(M)\right) C ∞ ( M ) ) によって定義される
X
^
∈
X
^
(
M
)
X
^
∈
X
^
(
M
)
hat(X)in widehat(X)(M) \hat{\boldsymbol{X}} \in \widehat{\mathcal{X}}(M) X ^ ∈ X ^ ( M ) を対応させる対応は,
X
r
(
M
)
X
r
(
M
)
X^(r)(M) \mathcal{X}^{r}(M) X r ( M ) から
X
^
r
(
M
)
X
^
r
(
M
)
widehat(X)^(r)(M) \widehat{\mathcal{X}}^{r}(M) X ^ r ( M ) への線形同型写像を与えることが容易に示される.
次に,接空間を束ねた空間として,接ベクトルバンドルという概念を定義す る. まず、一般の実ベクトルバンドルの概念を定義しておこう。
E
,
M
E
,
M
E,M E, M E , M を
C
r
C
r
C^(r) C^{r} C r 多様体とし,
π
:
E
→
M
π
:
E
→
M
pi:E rarr M \pi: E \rightarrow M π : E → M を上への
C
r
C
r
C^(r) C^{r} C r 沈め込み写像とする. このとき, 定理 3.6.4 によれば, 各
p
∈
M
p
∈
M
p in M p \in M p ∈ M に対し,
π
−
1
(
p
)
π
−
1
(
p
)
pi^(-1)(p) \pi^{-1}(p) π − 1 ( p ) は
E
E
E E E の正則部分多様体になる.
E
p
:=
π
−
1
(
p
)
E
p
:=
π
−
1
(
p
)
E_(p):=pi^(-1)(p) E_{p}:=\pi^{-1}(p) E p := π − 1 ( p ) とおく. 次の 2 条件が成り立つとき,
π
:
E
→
M
π
:
E
→
M
pi:E rarr M \pi: E \rightarrow M π : E → M を
M
M
M M M 上の 階数
k
k
k \boldsymbol{k} k の
C
r
C
r
C^(r) C^{r} C r 級実ベクトルバンドル
(
C
r
C
r
(C^(r):} \left(C^{r}\right. ( C r -real vector bundle of rank
k
k
k \boldsymbol{k} k over
M
)
M
)
M) M) M ) という:
(i) 各
E
p
(
p
∈
M
)
E
p
(
p
∈
M
)
E_(p)(p in M) E_{p}(p \in M) E p ( p ∈ M ) に
k
k
k k k 次元実ベクトル空間の構造が与えられている;
(ii)
M
M
M M M の各点
p
0
p
0
p_(0) p_{0} p 0 に対し,
p
0
p
0
p_(0) p_{0} p 0 の近傍
U
U
U U U と
C
r
C
r
C^(r) C^{r} C r 同型写像
φ
:
π
−
1
(
U
)
→
U
×
φ
:
π
−
1
(
U
)
→
U
×
varphi:pi^(-1)(U)rarr U xx \varphi: \pi^{-1}(U) \rightarrow U \times φ : π − 1 ( U ) → U ×
R
k
R
k
R^(k) \mathbb{R}^{k} R k で, 各点
p
∈
U
p
∈
U
p in U p \in U p ∈ U に対し,
φ
|
E
p
φ
E
p
varphi|_(E_(p)) \left.\varphi\right|_{E_{p}} φ | E p が
E
p
E
p
E_(p) E_{p} E p から
{
p
}
×
R
k
{
p
}
×
R
k
{p}xxR^(k) \{p\} \times \mathbb{R}^{k} { p } × R k への線形同型写像 になるようなものが存在する。(局所自明性)
E
p
E
p
E_(p) E_{p} E p は
p
p
p p p 上のファイバー(fibre)とよばれ,(ii)における
φ
φ
varphi \varphi φ は局所自明化写像(local trivialization)とよばれる。階数
k
k
k k k の
C
r
C
r
C^(r) C^{r} C r 級実ベクトルバンドル
π
:
E
→
M
π
:
E
→
M
pi:E rarr M \pi: E \rightarrow M π : E → M に対し,
M
M
M M M から
E
E
E E E への
C
s
C
s
C^(s) C^{s} C s 写像
σ
(
0
≤
s
≤
r
)
σ
(
0
≤
s
≤
r
)
sigma(0 <= s <= r) \sigma(0 \leq s \leq r) σ ( 0 ≤ s ≤ r ) で,
π
∘
σ
=
id
M
π
∘
σ
=
id
M
pi@sigma=id_(M) \pi \circ \sigma=\mathrm{id}_{M} π ∘ σ = id M と なるようなものを実ベクトルバンドル
E
E
E E E の
C
s
C
s
C^(s) C^{s} C s 切断(
C
s
C
s
C^(s) C^{s} C s -section)という.
E
E
E E E の
C
s
C
s
C^(s) C^{s} C s 切断全体のなす空間は
Γ
loc
s
(
E
)
Γ
loc
s
(
E
)
Gamma_(loc)^(s)(E) \Gamma_{\mathrm{loc}}^{s}(E) Γ loc s ( E ) で表され, 特に,
E
E
E E E の
C
∞
C
∞
C^(oo) C^{\infty} C ∞ 切断全体 のなす空間は
Γ
∞
(
E
)
Γ
∞
(
E
)
Gamma^(oo)(E) \Gamma^{\infty}(E) Γ ∞ ( E ) で表される。
階数
k
k
k k k の
C
r
C
r
C^(r) C^{r} C r 級実ベクトルバンドル
π
:
E
→
M
π
:
E
→
M
pi:E rarr M \pi: E \rightarrow M π : E → M の局所自明化写像の族
{
φ
λ
:
π
−
1
(
U
λ
)
→
U
λ
×
R
k
∣
λ
∈
Λ
}
φ
λ
:
π
−
1
U
λ
→
U
λ
×
R
k
∣
λ
∈
Λ
{varphi_(lambda):pi^(-1)(U_(lambda))rarrU_(lambda)xxR^(k)∣lambda in Lambda} \left\{\varphi_{\lambda}: \pi^{-1}\left(U_{\lambda}\right) \rightarrow U_{\lambda} \times \mathbb{R}^{k} \mid \lambda \in \Lambda\right\} { φ λ : π − 1 ( U λ ) → U λ × R k ∣ λ ∈ Λ }
で
{
U
λ
∣
λ
∈
Λ
}
U
λ
∣
λ
∈
Λ
{U_(lambda)∣lambda in Lambda} \left\{U_{\lambda} \mid \lambda \in \Lambda\right\} { U λ ∣ λ ∈ Λ } が
M
M
M M M の開被覆を与えるようなものをとる. このとき,
U
λ
∩
U
λ
∩
U_(lambda)nn U_{\lambda} \cap U λ ∩
U
μ
≠
∅
U
μ
≠
∅
U_(mu)!=O/ U_{\mu} \neq \emptyset U μ ≠ ∅ となる各組
(
λ
,
μ
)
∈
Λ
2
(
λ
,
μ
)
∈
Λ
2
(lambda,mu)inLambda^(2) (\lambda, \mu) \in \Lambda^{2} ( λ , μ ) ∈ Λ 2 に対し,
C
r
C
r
C^(r) C^{r} C r 写像
g
λ
μ
:
U
λ
∩
U
μ
→
G
L
(
k
,
R
)
g
λ
μ
:
U
λ
∩
U
μ
→
G
L
(
k
,
R
)
g_(lambda mu):U_(lambda)nnU_(mu)rarr GL(k,R) g_{\lambda \mu}: U_{\lambda} \cap U_{\mu} \rightarrow G L(k, \mathbb{R}) g λ μ : U λ ∩ U μ → G L ( k , R ) が
(
φ
μ
∘
φ
λ
−
1
)
(
p
,
(
x
1
,
…
,
x
k
)
)
:=
(
p
,
(
x
1
,
…
,
x
k
)
g
λ
μ
(
p
)
)
(
(
p
,
(
x
1
,
…
,
x
k
)
)
∈
(
U
λ
∩
U
μ
)
×
R
k
)
φ
μ
∘
φ
λ
−
1
p
,
x
1
,
…
,
x
k
:=
p
,
x
1
,
…
,
x
k
g
λ
μ
(
p
)
p
,
x
1
,
…
,
x
k
∈
U
λ
∩
U
μ
×
R
k
{:[(varphi_(mu)@varphi_(lambda)^(-1))(p,(x_(1),dots,x_(k))):=(p,(x_(1),dots,x_(k))g_(lambda mu)(p))],[((p,(x_(1),dots,x_(k)))in(U_(lambda)nnU_(mu))xxR^(k))]:} \begin{array}{r}
\left(\varphi_{\mu} \circ \varphi_{\lambda}^{-1}\right)\left(p,\left(x_{1}, \ldots, x_{k}\right)\right):=\left(p,\left(x_{1}, \ldots, x_{k}\right) g_{\lambda \mu}(p)\right) \\
\left(\left(p,\left(x_{1}, \ldots, x_{k}\right)\right) \in\left(U_{\lambda} \cap U_{\mu}\right) \times \mathbb{R}^{k}\right)
\end{array} ( φ μ ∘ φ λ − 1 ) ( p , ( x 1 , … , x k ) ) := ( p , ( x 1 , … , x k ) g λ μ ( p ) ) ( ( p , ( x 1 , … , x k ) ) ∈ ( U λ ∩ U μ ) × R k )
によって定義される。ここで
G
L
(
k
,
R
)
G
L
(
k
,
R
)
GL(k,R) G L(k, \mathbb{R}) G L ( k , R ) は,
k
k
k k k 次一般線形群(つまり,
k
k
k k k 次実
正則行列全体のなす乗法群)を表し,
(
x
1
,
…
,
x
k
)
g
λ
μ
(
p
)
x
1
,
…
,
x
k
g
λ
μ
(
p
)
(x_(1),dots,x_(k))g_(lambda mu)(p) \left(x_{1}, \ldots, x_{k}\right) g_{\lambda \mu}(p) ( x 1 , … , x k ) g λ μ ( p ) は,
(
x
1
,
…
,
x
k
)
x
1
,
…
,
x
k
(x_(1),dots,x_(k)) \left(x_{1}, \ldots, x_{k}\right) ( x 1 , … , x k ) と
g
λ
μ
(
p
)
g
λ
μ
(
p
)
g_(lambda mu)(p) g_{\lambda \mu}(p) g λ μ ( p ) の行列積を表す. この
C
r
C
r
C^(r) C^{r} C r 級関数
g
λ
μ
g
λ
μ
g_(lambda mu) g_{\lambda \mu} g λ μ を変換関数(transition function)という。明らかに,
U
λ
∩
U
μ
∩
U
ν
≠
∅
U
λ
∩
U
μ
∩
U
ν
≠
∅
U_(lambda)nnU_(mu)nnU_(nu)!=O/ U_{\lambda} \cap U_{\mu} \cap U_{\nu} \neq \emptyset U λ ∩ U μ ∩ U ν ≠ ∅ となる任意の
(
λ
,
μ
,
ν
)
∈
Λ
3
(
λ
,
μ
,
ν
)
∈
Λ
3
(lambda,mu,nu)inLambda^(3) (\lambda, \mu, \nu) \in \Lambda^{3} ( λ , μ , ν ) ∈ Λ 3 に対 し,
g
λ
μ
g
μ
ν
=
g
λ
ν
g
λ
μ
g
μ
ν
=
g
λ
ν
g_(lambda mu)g_(mu nu)=g_(lambda nu) g_{\lambda \mu} g_{\mu \nu}=g_{\lambda \nu} g λ μ g μ ν = g λ ν が
U
λ
∩
U
μ
∩
U
ν
U
λ
∩
U
μ
∩
U
ν
U_(lambda)nnU_(mu)nnU_(nu) U_{\lambda} \cap U_{\mu} \cap U_{\nu} U λ ∩ U μ ∩ U ν 上で成り立つ.
逆に,
M
M
M M M の開被覆
{
U
λ
∣
λ
∈
Λ
}
U
λ
∣
λ
∈
Λ
{U_(lambda)∣lambda in Lambda} \left\{U_{\lambda} \mid \lambda \in \Lambda\right\} { U λ ∣ λ ∈ Λ } と
C
r
C
r
C^(r) C^{r} C r 写像の族
{
g
λ
μ
:
U
λ
∩
U
μ
→
G
L
(
k
,
R
)
∣
(
λ
,
μ
)
∈
Λ
2
s.t.
U
λ
∩
U
μ
≠
∅
}
g
λ
μ
:
U
λ
∩
U
μ
→
G
L
(
k
,
R
)
∣
(
λ
,
μ
)
∈
Λ
2
s.t.
U
λ
∩
U
μ
≠
∅
{g_(lambda mu):U_(lambda)nnU_(mu)rarr GL(k,R)∣(lambda,mu)inLambda^(2)" s.t. "U_(lambda)nnU_(mu)!=O/} \left\{g_{\lambda \mu}: U_{\lambda} \cap U_{\mu} \rightarrow G L(k, \mathbb{R}) \mid(\lambda, \mu) \in \Lambda^{2} \text { s.t. } U_{\lambda} \cap U_{\mu} \neq \emptyset\right\} { g λ μ : U λ ∩ U μ → G L ( k , R ) ∣ ( λ , μ ) ∈ Λ 2 s.t. U λ ∩ U μ ≠ ∅ }
で
U
λ
∩
U
μ
∩
U
ν
≠
∅
U
λ
∩
U
μ
∩
U
ν
≠
∅
U_(lambda)nnU_(mu)nnU_(nu)!=O/ U_{\lambda} \cap U_{\mu} \cap U_{\nu} \neq \emptyset U λ ∩ U μ ∩ U ν ≠ ∅ とな任意の
(
λ
,
μ
,
ν
)
∈
Λ
3
(
λ
,
μ
,
ν
)
∈
Λ
3
(lambda,mu,nu)inLambda^(3) (\lambda, \mu, \nu) \in \Lambda^{3} ( λ , μ , ν ) ∈ Λ 3 に対し,
g
λ
μ
g
μ
ν
=
g
λ
ν
g
λ
μ
g
μ
ν
=
g
λ
ν
g_(lambda mu)g_(mu nu)=g_(lambda nu) g_{\lambda \mu} g_{\mu \nu}=g_{\lambda \nu} g λ μ g μ ν = g λ ν が
U
λ
∩
U
μ
∩
U
ν
U
λ
∩
U
μ
∩
U
ν
U_(lambda)nnU_(mu)nnU_(nu) U_{\lambda} \cap U_{\mu} \cap U_{\nu} U λ ∩ U μ ∩ U ν 上で成り立つような族が与えられたとき, この族から,
M
M
M M M 上の階数
k
k
k k k の
C
r
C
r
C^(r) C^{r} C r 級実ベクトルバンドルを次のように構成することができる.
{
λ
}
×
U
λ
×
R
k
(
λ
∈
Λ
)
{
λ
}
×
U
λ
×
R
k
(
λ
∈
Λ
)
{lambda}xxU_(lambda)xxR^(k)(lambda in Lambda) \{\lambda\} \times U_{\lambda} \times \mathbb{R}^{k}(\lambda \in \Lambda) { λ } × U λ × R k ( λ ∈ Λ ) の(外)直和
E
~
:=
⨿
λ
∈
Λ
(
{
λ
}
×
U
λ
×
R
k
)
E
~
:=
⨿
λ
∈
Λ
{
λ
}
×
U
λ
×
R
k
widetilde(E):=⨿_(lambda in Lambda)({lambda}xxU_(lambda)xxR^(k)) \widetilde{E}:=\underset{\lambda \in \Lambda}{\amalg}\left(\{\lambda\} \times U_{\lambda} \times \mathbb{R}^{k}\right) E ~ := ⨿ λ ∈ Λ ( { λ } × U λ × R k ) における同値関係〜を
(
λ
,
p
,
(
a
1
,
…
,
a
k
)
)
∼
(
μ
,
q
,
(
b
1
,
…
,
b
k
)
)
⟺
p
=
q
かつ
(
b
1
,
…
,
b
k
)
=
(
a
1
,
…
,
a
k
)
g
λ
μ
(
p
)
λ
,
p
,
a
1
,
…
,
a
k
∼
μ
,
q
,
b
1
,
…
,
b
k
⟺
p
=
q
かつ
b
1
,
…
,
b
k
=
a
1
,
…
,
a
k
g
λ
μ
(
p
)
{:[(lambda,p,(a_(1),dots,a_(k)))∼(mu,q,(b_(1),dots,b_(k)))],[Longleftrightarrowp=q" かつ "(b_(1),dots,b_(k))=(a_(1),dots,a_(k))g_(lambda mu)(p)]:} \begin{aligned}
& \left(\lambda, p,\left(a_{1}, \ldots, a_{k}\right)\right) \sim\left(\mu, q,\left(b_{1}, \ldots, b_{k}\right)\right) \\
\Longleftrightarrow & p=q \text { かつ }\left(b_{1}, \ldots, b_{k}\right)=\left(a_{1}, \ldots, a_{k}\right) g_{\lambda \mu}(p)
\end{aligned} か つ ( λ , p , ( a 1 , … , a k ) ) ∼ ( μ , q , ( b 1 , … , b k ) ) ⟺ p = q かつ ( b 1 , … , b k ) = ( a 1 , … , a k ) g λ μ ( p )
によって定義し, この同値関係〜による商集合
E
~
/
∼
E
~
/
∼
widetilde(E)//∼ \widetilde{E} / \sim E ~ / ∼ を
E
E
E E E で表し, この同値関係〜に関する商写像を
ψ
ψ
psi \psi ψ で表す。また,
(
λ
,
p
,
(
a
1
,
…
,
a
k
)
)
λ
,
p
,
a
1
,
…
,
a
k
(lambda,p,(a_(1),dots,a_(k))) \left(\lambda, p,\left(a_{1}, \ldots, a_{k}\right)\right) ( λ , p , ( a 1 , … , a k ) ) の属する同値類を
[
(
λ
,
p
,
(
a
1
,
…
,
a
k
)
)
]
λ
,
p
,
a
1
,
…
,
a
k
[(lambda,p,(a_(1),dots,a_(k)))] \left[\left(\lambda, p,\left(a_{1}, \ldots, a_{k}\right)\right)\right] [ ( λ , p , ( a 1 , … , a k ) ) ] で表すことにする.
π
:
E
→
M
π
:
E
→
M
pi:E rarr M \pi: E \rightarrow M π : E → M を
π
(
[
(
λ
,
p
,
(
a
1
,
…
π
λ
,
p
,
a
1
,
…
pi([(lambda,p,(a_(1),dots:} \pi\left(\left[\left(\lambda, p,\left(a_{1}, \ldots\right.\right.\right.\right. π ( [ ( λ , p , ( a 1 , … ,
a
k
)
]
)
:=
p
a
k
:=
p
{:a_(k))]):=p \left.\left.\left.a_{k}\right)\right]\right):=p a k ) ] ) := p によって定義し,
φ
λ
:
ψ
(
{
λ
}
×
U
λ
×
R
k
)
→
U
λ
×
R
k
φ
λ
:
ψ
{
λ
}
×
U
λ
×
R
k
→
U
λ
×
R
k
varphi_(lambda):psi({lambda}xxU_(lambda)xxR^(k))rarrU_(lambda)xxR^(k) \varphi_{\lambda}: \psi\left(\{\lambda\} \times U_{\lambda} \times \mathbb{R}^{k}\right) \rightarrow U_{\lambda} \times \mathbb{R}^{k} φ λ : ψ ( { λ } × U λ × R k ) → U λ × R k を
φ
λ
(
[
(
λ
,
p
,
(
a
1
,
…
,
a
k
)
)
]
:=
(
p
,
(
a
1
,
…
,
a
k
)
)
φ
λ
λ
,
p
,
a
1
,
…
,
a
k
:=
p
,
a
1
,
…
,
a
k
varphi_(lambda)([(lambda,p,(a_(1),dots,a_(k)))]:=(p,(a_(1),dots,a_(k))):} \varphi_{\lambda}\left(\left[\left(\lambda, p,\left(a_{1}, \ldots, a_{k}\right)\right)\right]:=\left(p,\left(a_{1}, \ldots, a_{k}\right)\right)\right. φ λ ( [ ( λ , p , ( a 1 , … , a k ) ) ] := ( p , ( a 1 , … , a k ) )
で定める. このとき, 各
ψ
(
{
λ
}
×
U
λ
×
R
k
)
ψ
{
λ
}
×
U
λ
×
R
k
psi({lambda}xxU_(lambda)xxR^(k)) \psi\left(\{\lambda\} \times U_{\lambda} \times \mathbb{R}^{k}\right) ψ ( { λ } × U λ × R k ) を開集合とし, 各
φ
λ
φ
λ
varphi_(lambda) \varphi_{\lambda} φ λ を同相写像 とするような位相(これは第 2 可算公理を満たすハウスドルフ位相)を
E
E
E E E に 与えることができ, さらに, 各
φ
λ
φ
λ
varphi_(lambda) \varphi_{\lambda} φ λ を
C
r
C
r
C^(r) C^{r} C r 同型写像とするような
C
r
C
r
C^(r) C^{r} C r 構造を
E
E
E E E に与えることができる。 このとき,
π
:
E
→
M
π
:
E
→
M
pi:E rarr M \pi: E \rightarrow M π : E → M は, 各
φ
λ
φ
λ
varphi_(lambda) \varphi_{\lambda} φ λ を局所自明化写像 とするような階数
k
k
k k k の
C
r
C
r
C^(r) C^{r} C r 級実べクトルバンンドルになる(図 3.7.1 を参照). このように, 上述のような
C
r
C
r
C^(r) C^{r} C r 写像族
{
g
λ
μ
}
(
λ
,
μ
)
∈
Λ
2
g
λ
μ
(
λ
,
μ
)
∈
Λ
2
{g_(lambda mu)}_((lambda,mu)inLambda^(2)) \left\{g_{\lambda \mu}\right\}_{(\lambda, \mu) \in \Lambda^{2}} { g λ μ } ( λ , μ ) ∈ Λ 2 から
C
r
C
r
C^(r) C^{r} C r 級実べクトルバ ンドルを構成することができるのである.
M
M
M M M の接ベクトルバンドルは次のように定義される.
M
M
M M M の次元を
n
n
n n n とする.
T
M
:=
⨿
p
∈
M
T
p
M
T
M
:=
⨿
p
∈
M
T
p
M
TM:=⨿_(p in M)T_(p)M T M:=\underset{p \in M}{\amalg} T_{p} M T M := ⨿ p ∈ M T p M とし,
π
:
T
M
→
M
π
:
T
M
→
M
pi:TM rarr M \pi: T M \rightarrow M π : T M → M を
T
M
T
M
TM T M T M の各元
v
v
v \boldsymbol{v} v に対し,
v
∈
T
p
M
v
∈
T
p
M
v inT_(p)M \boldsymbol{v} \in T_{p} M v ∈ T p M
図 3.7.1変換関数族を用いた実ベクトルバンドルの再構成
となる
p
p
p p p を対応させることにより定義する.
M
M
M M M の
C
∞
C
∞
C^(oo) C^{\infty} C ∞ 構造を
D
D
D \mathcal{D} D とする. 各
(
U
,
φ
=
(
x
1
,
…
,
x
n
)
)
∈
D
U
,
φ
=
x
1
,
…
,
x
n
∈
D
(U,varphi=(x_(1),dots,x_(n)))inD \left(U, \varphi=\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)\right) \in \mathcal{D} ( U , φ = ( x 1 , … , x n ) ) ∈ D に対し,
U
~
:=
π
−
1
(
U
)
U
~
:=
π
−
1
(
U
)
widetilde(U):=pi^(-1)(U) \widetilde{U}:=\pi^{-1}(U) U ~ := π − 1 ( U ) とし,
φ
~
:
U
~
→
R
2
n
φ
~
:
U
~
→
R
2
n
widetilde(varphi): widetilde(U)rarrR^(2n) \widetilde{\varphi}: \widetilde{U} \rightarrow \mathbb{R}^{2 n} φ ~ : U ~ → R 2 n を
φ
~
(
v
)
:=
(
x
1
(
π
(
v
)
)
,
…
,
x
n
(
π
(
v
)
)
,
v
1
,
…
,
v
n
)
(
v
∈
U
~
)
(
v
=
∑
i
=
1
n
v
i
(
∂
∂
x
i
)
π
(
v
)
)
φ
~
(
v
)
:=
x
1
(
π
(
v
)
)
,
…
,
x
n
(
π
(
v
)
)
,
v
1
,
…
,
v
n
(
v
∈
U
~
)
v
=
∑
i
=
1
n
v
i
∂
∂
x
i
π
(
v
)
{:[ widetilde(varphi)(v):=(x_(1)(pi(v)),dots,x_(n)(pi(v)),v_(1),dots,v_(n))quad(v in widetilde(U))],[(v=sum_(i=1)^(n)v_(i)((del)/(delx_(i)))_(pi(v)))]:} \begin{gathered}
\widetilde{\varphi}(\boldsymbol{v}):=\left(x_{1}(\pi(\boldsymbol{v})), \ldots, x_{n}(\pi(\boldsymbol{v})), v_{1}, \ldots, v_{n}\right) \quad(\boldsymbol{v} \in \widetilde{U}) \\
\left(\boldsymbol{v}=\sum_{i=1}^{n} v_{i}\left(\frac{\partial}{\partial x_{i}}\right)_{\pi(\boldsymbol{v})}\right)
\end{gathered} φ ~ ( v ) := ( x 1 ( π ( v ) ) , … , x n ( π ( v ) ) , v 1 , … , v n ) ( v ∈ U ~ ) ( v = ∑ i = 1 n v i ( ∂ ∂ x i ) π ( v ) )
により定義する。このとき,
T
M
T
M
TM T M T M に,
U
~
U
~
widetilde(U) \widetilde{U} U ~ たちを開集合とし、
φ
~
φ
~
widetilde(varphi) \widetilde{\varphi} φ ~ たちを
R
2
n
R
2
n
R^(2n) \mathbb{R}^{2 n} R 2 n の
算公理を満たすハウスドルフ空間
R
2
n
R
2
n
R^(2n) \mathbb{R}^{2 n} R 2 n のある開集合への同相写像になるよう に位相を与えているので, この位相は第 2 可算公理を満たすハウスドルフ位相であることがわかる.
D
~
:=
{
(
U
~
,
φ
~
)
∣
(
U
,
φ
)
∈
D
}
D
~
:=
{
(
U
~
,
φ
~
)
∣
(
U
,
φ
)
∈
D
}
widetilde(D):={( widetilde(U), widetilde(varphi))∣(U,varphi)inD} \widetilde{\mathcal{D}}:=\{(\widetilde{U}, \widetilde{\varphi}) \mid(U, \varphi) \in \mathcal{D}\} D ~ := { ( U ~ , φ ~ ) ∣ ( U , φ ) ∈ D } は, このハウスドルフ空間
T
M
T
M
TM T M T M の
C
∞
C
∞
C^(oo) C^{\infty} C ∞ 構造になる。実際,
U
∩
V
≠
∅
U
∩
V
≠
∅
U nn V!=O/ U \cap V \neq \emptyset U ∩ V ≠ ∅ となる
(
U
,
φ
=
(
x
1
,
…
,
x
n
)
)
U
,
φ
=
x
1
,
…
,
x
n
(U,varphi=(x_(1),dots,x_(n))) \left(U, \varphi=\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)\right) ( U , φ = ( x 1 , … , x n ) ) ,
(
V
,
ψ
=
(
y
1
,
…
,
y
n
)
)
∈
D
V
,
ψ
=
y
1
,
…
,
y
n
∈
D
(V,psi=(y_(1),dots,y_(n)))inD \left(V, \psi=\left(y_{1}, \ldots, y_{n}\right)\right) \in \mathcal{D} ( V , ψ = ( y 1 , … , y n ) ) ∈ D に対し,上述のように定義される
φ
~
:
U
~
→
R
2
n
,
ψ
~
:
φ
~
:
U
~
→
R
2
n
,
ψ
~
:
widetilde(varphi): widetilde(U)rarrR^(2n), widetilde(psi): \widetilde{\varphi}: \widetilde{U} \rightarrow \mathbb{R}^{2 n}, \widetilde{\psi}: φ ~ : U ~ → R 2 n , ψ ~ :
V
~
→
R
2
n
V
~
→
R
2
n
widetilde(V)rarrR^(2n) \widetilde{V} \rightarrow \mathbb{R}^{2 n} V ~ → R 2 n に対し,
ψ
~
∘
φ
~
−
1
ψ
~
∘
φ
~
−
1
widetilde(psi)@ widetilde(varphi)^(-1) \widetilde{\psi} \circ \widetilde{\varphi}^{-1} ψ ~ ∘ φ ~ − 1 を計算すると,
(
ψ
~
∘
φ
~
−
1
)
(
x
1
,
…
,
x
n
,
v
1
,
…
,
v
n
)
=
ψ
~
(
∑
i
=
1
n
v
i
(
∂
∂
x
i
)
φ
−
1
(
x
1
,
…
,
x
n
)
)
=
ψ
~
(
∑
i
=
1
n
v
i
(
∑
j
=
1
n
(
∂
(
y
j
∘
φ
−
1
)
∂
x
i
)
(
x
1
,
…
,
x
n
)
(
∂
∂
y
j
)
φ
−
1
(
x
1
,
…
,
x
n
)
)
)
=
ψ
~
(
∑
j
=
1
n
(
∑
i
=
1
n
v
i
(
∂
(
y
j
∘
φ
−
1
)
∂
x
i
)
(
x
1
,
…
,
x
n
)
)
(
∂
∂
y
j
)
φ
−
1
(
x
1
,
…
,
x
n
)
)
=
(
y
1
(
φ
−
1
(
x
1
,
…
,
x
n
)
)
,
…
,
y
n
(
φ
−
1
(
x
1
,
…
,
x
n
)
)
∑
i
=
1
n
v
i
(
∂
(
y
1
∘
φ
−
1
)
∂
x
i
)
(
x
1
,
…
,
x
n
)
,
…
,
∑
i
=
1
n
v
i
(
∂
(
y
n
∘
φ
−
1
)
∂
x
i
)
(
x
1
,
…
,
x
n
)
)
ψ
~
∘
φ
~
−
1
x
1
,
…
,
x
n
,
v
1
,
…
,
v
n
=
ψ
~
∑
i
=
1
n
v
i
∂
∂
x
i
φ
−
1
x
1
,
…
,
x
n
=
ψ
~
∑
i
=
1
n
v
i
∑
j
=
1
n
∂
y
j
∘
φ
−
1
∂
x
i
x
1
,
…
,
x
n
∂
∂
y
j
φ
−
1
x
1
,
…
,
x
n
=
ψ
~
∑
j
=
1
n
∑
i
=
1
n
v
i
∂
y
j
∘
φ
−
1
∂
x
i
x
1
,
…
,
x
n
∂
∂
y
j
φ
−
1
x
1
,
…
,
x
n
=
y
1
φ
−
1
x
1
,
…
,
x
n
,
…
,
y
n
φ
−
1
x
1
,
…
,
x
n
∑
i
=
1
n
v
i
∂
y
1
∘
φ
−
1
∂
x
i
x
1
,
…
,
x
n
,
…
,
∑
i
=
1
n
v
i
∂
y
n
∘
φ
−
1
∂
x
i
x
1
,
…
,
x
n
{:[(( widetilde(psi))@ tilde(varphi)^(-1))(x_(1),dots,x_(n),v_(1),dots,v_(n))= widetilde(psi)(sum_(i=1)^(n)v_(i)((del)/(delx_(i)))_(varphi^(-1)(x_(1),dots,x_(n))))],[= widetilde(psi)(sum_(i=1)^(n)v_(i)(sum_(j=1)^(n)((del(y_(j)@varphi^(-1)))/(delx_(i)))_((x_(1),dots,x_(n)))((del)/(dely_(j)))_(varphi^(-1)(x_(1),dots,x_(n)))))],[= widetilde(psi)(sum_(j=1)^(n)(sum_(i=1)^(n)v_(i)((del(y_(j)@varphi^(-1)))/(delx_(i)))_((x_(1),dots,x_(n))))((del)/(dely_(j)))_(varphi^(-1)(x_(1),dots,x_(n))))],[=(y_(1)(varphi^(-1)(x_(1),dots,x_(n))),dots,y_(n)(varphi^(-1)(x_(1),dots,x_(n))):}],[{:sum_(i=1)^(n)v_(i)((del(y_(1)@varphi^(-1)))/(delx_(i)))_((x_(1),dots,x_(n))),dots,sum_(i=1)^(n)v_(i)((del(y_(n)@varphi^(-1)))/(delx_(i)))_((x_(1),dots,x_(n))))]:} \begin{aligned}
& \left(\widetilde{\psi} \circ \tilde{\varphi}^{-1}\right)\left(x_{1}, \ldots, x_{n}, v_{1}, \ldots, v_{n}\right)=\widetilde{\psi}\left(\sum_{i=1}^{n} v_{i}\left(\frac{\partial}{\partial x_{i}}\right)_{\varphi^{-1}\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)}\right) \\
= & \widetilde{\psi}\left(\sum_{i=1}^{n} v_{i}\left(\sum_{j=1}^{n}\left(\frac{\partial\left(y_{j} \circ \varphi^{-1}\right)}{\partial x_{i}}\right)_{\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)}\left(\frac{\partial}{\partial y_{j}}\right)_{\varphi^{-1}\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)}\right)\right) \\
= & \widetilde{\psi}\left(\sum_{j=1}^{n}\left(\sum_{i=1}^{n} v_{i}\left(\frac{\partial\left(y_{j} \circ \varphi^{-1}\right)}{\partial x_{i}}\right)_{\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)}\right)\left(\frac{\partial}{\partial y_{j}}\right)_{\varphi^{-1}\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)}\right) \\
= & \left(y_{1}\left(\varphi^{-1}\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)\right), \ldots, y_{n}\left(\varphi^{-1}\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)\right)\right. \\
& \left.\sum_{i=1}^{n} v_{i}\left(\frac{\partial\left(y_{1} \circ \varphi^{-1}\right)}{\partial x_{i}}\right)_{\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)}, \ldots, \sum_{i=1}^{n} v_{i}\left(\frac{\partial\left(y_{n} \circ \varphi^{-1}\right)}{\partial x_{i}}\right)_{\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)}\right)
\end{aligned} ( ψ ~ ∘ φ ~ − 1 ) ( x 1 , … , x n , v 1 , … , v n ) = ψ ~ ( ∑ i = 1 n v i ( ∂ ∂ x i ) φ − 1 ( x 1 , … , x n ) ) = ψ ~ ( ∑ i = 1 n v i ( ∑ j = 1 n ( ∂ ( y j ∘ φ − 1 ) ∂ x i ) ( x 1 , … , x n ) ( ∂ ∂ y j ) φ − 1 ( x 1 , … , x n ) ) ) = ψ ~ ( ∑ j = 1 n ( ∑ i = 1 n v i ( ∂ ( y j ∘ φ − 1 ) ∂ x i ) ( x 1 , … , x n ) ) ( ∂ ∂ y j ) φ − 1 ( x 1 , … , x n ) ) = ( y 1 ( φ − 1 ( x 1 , … , x n ) ) , … , y n ( φ − 1 ( x 1 , … , x n ) ) ∑ i = 1 n v i ( ∂ ( y 1 ∘ φ − 1 ) ∂ x i ) ( x 1 , … , x n ) , … , ∑ i = 1 n v i ( ∂ ( y n ∘ φ − 1 ) ∂ x i ) ( x 1 , … , x n ) )
となり,
ψ
~
∘
φ
~
−
1
ψ
~
∘
φ
~
−
1
widetilde(psi)@ widetilde(varphi)^(-1) \widetilde{\psi} \circ \widetilde{\varphi}^{-1} ψ ~ ∘ φ ~ − 1 が
C
∞
C
∞
C^(oo) C^{\infty} C ∞ 写像になることがわかる. 同様に, その逆写像
(
ψ
~
∘
(
ψ
~
∘
( widetilde(psi)@ (\widetilde{\psi} \circ ( ψ ~ ∘
φ
~
−
1
)
−
1
(
=
φ
~
∘
ψ
~
−
1
)
φ
~
−
1
−
1
=
φ
~
∘
ψ
~
−
1
widetilde(varphi)^(-1))^(-1)(=( widetilde(varphi))@ widetilde(psi)^(-1)) \left.\widetilde{\varphi}^{-1}\right)^{-1}\left(=\widetilde{\varphi} \circ \widetilde{\psi}^{-1}\right) φ ~ − 1 ) − 1 ( = φ ~ ∘ ψ ~ − 1 ) が
C
∞
C
∞
C^(oo) C^{\infty} C ∞ 写像であることが示され, それゆえ,
ψ
~
∘
φ
~
−
1
ψ
~
∘
φ
~
−
1
widetilde(psi)@ widetilde(varphi)^(-1) \widetilde{\psi} \circ \widetilde{\varphi}^{-1} ψ ~ ∘ φ ~ − 1 が
C
∞
C
∞
C^(oo) C^{\infty} C ∞ 同型写像であることが示される。このように,
D
~
D
~
widetilde(D) \widetilde{\mathcal{D}} D ~ が
T
M
T
M
TM T M T M の
C
∞
C
∞
C^(oo) C^{\infty} C ∞ 構造を与 えることがわかる. 次に,
π
:
(
T
M
,
D
~
)
→
(
M
,
D
)
π
:
(
T
M
,
D
~
)
→
(
M
,
D
)
pi:(TM, widetilde(D))rarr(M,D) \pi:(T M, \widetilde{D}) \rightarrow(M, \mathcal{D}) π : ( T M , D ~ ) → ( M , D ) が上への
C
∞
C
∞
C^(oo) C^{\infty} C ∞ 沈め込みに なることを示そう.
π
π
pi \pi π が全射であることは明らかである.
(
U
,
φ
)
∈
D
(
U
,
φ
)
∈
D
(U,varphi)inD (U, \varphi) \in \mathcal{D} ( U , φ ) ∈ D に対し,
φ
~
∘
π
∘
φ
−
1
φ
~
∘
π
∘
φ
−
1
widetilde(varphi)@pi@varphi^(-1) \widetilde{\varphi} \circ \pi \circ \varphi^{-1} φ ~ ∘ π ∘ φ − 1 を計算すると,
(
φ
∘
π
∘
φ
~
−
1
)
(
x
1
,
…
,
x
n
,
v
1
,
…
,
v
n
)
=
(
x
1
,
…
,
x
n
)
φ
∘
π
∘
φ
~
−
1
x
1
,
…
,
x
n
,
v
1
,
…
,
v
n
=
x
1
,
…
,
x
n
(varphi@pi@ widetilde(varphi)^(-1))(x_(1),dots,x_(n),v_(1),dots,v_(n))=(x_(1),dots,x_(n)) \left(\varphi \circ \pi \circ \widetilde{\varphi}^{-1}\right)\left(x_{1}, \ldots, x_{n}, v_{1}, \ldots, v_{n}\right)=\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right) ( φ ∘ π ∘ φ ~ − 1 ) ( x 1 , … , x n , v 1 , … , v n ) = ( x 1 , … , x n )
となり,
π
π
pi \pi π が
U
~
U
~
widetilde(U) \widetilde{U} U ~ 上で
C
∞
C
∞
C^(oo) C^{\infty} C ∞ 沈め込みになることがわかる. さらに,
(
U
,
φ
)
(
U
,
φ
)
(U,varphi) (U, \varphi) ( U , φ ) の任意性により,
π
π
pi \pi π は
T
M
T
M
TM T M T M 全体で
C
∞
C
∞
C^(oo) C^{\infty} C ∞ 沈め达みになる。次に,
π
:
(
T
M
,
D
~
)
→
π
:
(
T
M
,
D
~
)
→
pi:(TM, widetilde(D))rarr \pi:(T M, \widetilde{D}) \rightarrow π : ( T M , D ~ ) →
(
M
,
D
)
(
M
,
D
)
(M,D) (M, \mathcal{D}) ( M , D ) の局所自明性を示そう.
(
U
,
φ
)
∈
D
(
U
,
φ
)
∈
D
(U,varphi)inD (U, \varphi) \in \mathcal{D} ( U , φ ) ∈ D に対し,
φ
^
:
U
~
→
U
×
R
n
φ
^
:
U
~
→
U
×
R
n
widehat(varphi): widetilde(U)rarr U xxR^(n) \widehat{\varphi}: \widetilde{U} \rightarrow U \times \mathbb{R}^{n} φ ^ : U ~ → U × R n を
φ
^
(
v
)
=
(
p
,
v
1
,
…
,
v
n
)
(
p
∈
U
,
v
∈
T
p
M
)
(
v
=
∑
i
=
1
n
v
i
(
∂
∂
x
i
)
p
)
φ
^
(
v
)
=
p
,
v
1
,
…
,
v
n
p
∈
U
,
v
∈
T
p
M
v
=
∑
i
=
1
n
v
i
∂
∂
x
i
p
widehat(varphi)(v)=(p,v_(1),dots,v_(n))(p in U,v inT_(p)M)(v=sum_(i=1)^(n)v_(i)((del)/(delx_(i)))_(p)) \widehat{\varphi}(\boldsymbol{v})=\left(p, v_{1}, \ldots, v_{n}\right)\left(p \in U, \boldsymbol{v} \in T_{p} M\right)\left(\boldsymbol{v}=\sum_{i=1}^{n} v_{i}\left(\frac{\partial}{\partial x_{i}}\right)_{p}\right) φ ^ ( v ) = ( p , v 1 , … , v n ) ( p ∈ U , v ∈ T p M ) ( v = ∑ i = 1 n v i ( ∂ ∂ x i ) p ) によって定義する。
φ
^
:
U
~
→
U
×
R
n
φ
^
:
U
~
→
U
×
R
n
widehat(varphi): widetilde(U)rarr U xxR^(n) \widehat{\varphi}: \widetilde{U} \rightarrow U \times \mathbb{R}^{n} φ ^ : U ~ → U × R n の
p
(
∈
U
)
p
(
∈
U
)
p(in U) p(\in U) p ( ∈ U ) 上のファイバー
π
−
1
(
p
)
(
=
T
p
M
)
π
−
1
(
p
)
=
T
p
M
pi^(-1)(p)(=T_(p)M) \pi^{-1}(p)\left(=T_{p} M\right) π − 1 ( p ) ( = T p M ) への制限
φ
^
|
T
p
M
φ
^
T
p
M
( widehat(varphi))|_(T_(p)M) \left.\widehat{\varphi}\right|_{T_{p} M} φ ^ | T p M は,
(
φ
^
|
T
p
M
)
(
v
)
=
(
x
1
(
p
)
,
…
,
x
n
(
p
)
,
v
1
,
…
,
v
n
)
(
v
=
∑
i
=
1
n
v
i
(
∂
∂
x
i
)
p
∈
T
p
M
)
φ
^
T
p
M
(
v
)
=
x
1
(
p
)
,
…
,
x
n
(
p
)
,
v
1
,
…
,
v
n
v
=
∑
i
=
1
n
v
i
∂
∂
x
i
p
∈
T
p
M
(( hat(varphi))|_(T_(p)M))(v)=(x_(1)(p),dots,x_(n)(p),v_(1),dots,v_(n))quad(v=sum_(i=1)^(n)v_(i)((del)/(delx_(i)))_(p)inT_(p)M) \left(\left.\hat{\varphi}\right|_{T_{p} M}\right)(\boldsymbol{v})=\left(x_{1}(p), \ldots, x_{n}(p), v_{1}, \ldots, v_{n}\right) \quad\left(\boldsymbol{v}=\sum_{i=1}^{n} v_{i}\left(\frac{\partial}{\partial x_{i}}\right)_{p} \in T_{p} M\right) ( φ ^ | T p M ) ( v ) = ( x 1 ( p ) , … , x n ( p ) , v 1 , … , v n ) ( v = ∑ i = 1 n v i ( ∂ ∂ x i ) p ∈ T p M )
によって与えられるので,
T
p
M
T
p
M
T_(p)M T_{p} M T p M から
{
(
x
1
(
p
)
,
…
,
x
n
(
p
)
}
×
R
n
(
=
R
n
)
x
1
(
p
)
,
…
,
x
n
(
p
)
×
R
n
=
R
n
{(x_(1)(p),dots,x_(n)(p)}xxR^(n)(=R^(n)):} \left\{\left(x_{1}(p), \ldots, x_{n}(p)\right\} \times \mathbb{R}^{n}\left(=\mathbb{R}^{n}\right)\right. { ( x 1 ( p ) , … , x n ( p ) } × R n ( = R n ) への線形同型写像になることがわかる. したがって, 族
{
φ
^
:
U
~
→
U
×
R
n
}
(
U
,
φ
)
∈
D
φ
^
:
U
~
→
U
×
R
n
(
U
,
φ
)
∈
D
{( widehat(varphi)):( widetilde(U))rarr U xxR^(n)}_((U,varphi)inD) \left\{\widehat{\varphi}: \widetilde{U} \rightarrow U \times \mathbb{R}^{n}\right\}_{(U, \varphi) \in \mathcal{D}} { φ ^ : U ~ → U × R n } ( U , φ ) ∈ D
が局所自明化写像の族を与えることがわかる. このように,
π
:
(
T
M
,
D
~
)
→
π
:
(
T
M
,
D
~
)
→
pi:(TM, widetilde(D))rarr \pi:(T M, \widetilde{D}) \rightarrow π : ( T M , D ~ ) →
(
M
,
D
)
(
M
,
D
)
(M,D) (M, \mathcal{D}) ( M , D ) が階数
n
n
n n n の
C
∞
C
∞
C^(oo) C^{\infty} C ∞ 級実ベクトルバンドルになることが示される. この階数
n
n
n n n の
C
∞
C
∞
C^(oo) C^{\infty} C ∞ 級実ベクトルバンドルを
M
M
M M M の接ベクトルバンドルという.
次に,
M
M
M M M 上の
C
r
C
r
C^(r) C^{r} C r ベクトル場
X
X
X \boldsymbol{X} X が
T
M
T
M
TM T M T M の
C
r
C
r
C^(r) C^{r} C r 切断とみなされることを説明しよう。
X
X
X \boldsymbol{X} X が
T
M
T
M
TM T M T M の切断とみなされることは明らかである(図 3.7 .2 を参照).
X
X
X \boldsymbol{X} X の
(
U
,
φ
=
(
x
1
,
…
,
x
n
)
)
∈
D
U
,
φ
=
x
1
,
…
,
x
n
∈
D
(U,varphi=(x_(1),dots,x_(n)))inD \left(U, \varphi=\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)\right) \in \mathcal{D} ( U , φ = ( x 1 , … , x n ) ) ∈ D に関する成分を
X
1
,
…
,
X
n
X
1
,
…
,
X
n
X_(1),dots,X_(n) X_{1}, \ldots, X_{n} X 1 , … , X n ,つまり
X
=
∑
i
=
1
n
X
i
∂
∂
x
i
X
=
∑
i
=
1
n
X
i
∂
∂
x
i
X=sum_(i=1)^(n)X_(i)(del)/(delx_(i)) \boldsymbol{X}=\sum_{i=1}^{n} X_{i} \frac{\partial}{\partial x_{i}} X = ∑ i = 1 n X i ∂ ∂ x i とする. このとき,
φ
~
∘
X
∘
φ
−
1
φ
~
∘
X
∘
φ
−
1
widetilde(varphi)@X@varphi^(-1) \widetilde{\varphi} \circ \boldsymbol{X} \circ \varphi^{-1} φ ~ ∘ X ∘ φ − 1 を計算すると
図 3.7.2 ベクトル場と接ベクトルバンドル
(
φ
~
∘
X
∘
φ
−
1
)
(
x
1
,
…
,
x
n
)
=
φ
~
(
∑
i
=
1
n
X
i
(
φ
−
1
(
x
1
,
…
,
x
n
)
)
(
∂
∂
x
i
)
φ
−
1
(
x
1
,
…
,
x
n
)
)
=
(
x
1
,
…
,
x
n
,
(
X
1
∘
φ
−
1
)
(
x
1
,
…
,
x
n
)
,
…
,
(
X
n
∘
φ
−
1
)
(
x
1
,
…
,
x
n
)
)
φ
~
∘
X
∘
φ
−
1
x
1
,
…
,
x
n
=
φ
~
∑
i
=
1
n
X
i
φ
−
1
x
1
,
…
,
x
n
∂
∂
x
i
φ
−
1
x
1
,
…
,
x
n
=
x
1
,
…
,
x
n
,
X
1
∘
φ
−
1
x
1
,
…
,
x
n
,
…
,
X
n
∘
φ
−
1
x
1
,
…
,
x
n
{:[(( widetilde(varphi))@X@varphi^(-1))(x_(1),dots,x_(n))= widetilde(varphi)(sum_(i=1)^(n)X_(i)(varphi^(-1)(x_(1),dots,x_(n)))((del)/(delx_(i)))_(varphi^(-1)(x_(1),dots,x_(n))))],[=(x_(1),dots,x_(n),(X_(1)@varphi^(-1))(x_(1),dots,x_(n)),dots,(X_(n)@varphi^(-1))(x_(1),dots,x_(n)))]:} \begin{aligned}
& \left(\widetilde{\varphi} \circ \boldsymbol{X} \circ \varphi^{-1}\right)\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)=\widetilde{\varphi}\left(\sum_{i=1}^{n} X_{i}\left(\varphi^{-1}\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)\right)\left(\frac{\partial}{\partial x_{i}}\right)_{\varphi^{-1}\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)}\right) \\
= & \left(x_{1}, \ldots, x_{n},\left(X_{1} \circ \varphi^{-1}\right)\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right), \ldots,\left(X_{n} \circ \varphi^{-1}\right)\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)\right)
\end{aligned} ( φ ~ ∘ X ∘ φ − 1 ) ( x 1 , … , x n ) = φ ~ ( ∑ i = 1 n X i ( φ − 1 ( x 1 , … , x n ) ) ( ∂ ∂ x i ) φ − 1 ( x 1 , … , x n ) ) = ( x 1 , … , x n , ( X 1 ∘ φ − 1 ) ( x 1 , … , x n ) , … , ( X n ∘ φ − 1 ) ( x 1 , … , x n ) )
となる。
X
X
X \boldsymbol{X} X は
C
r
C
r
C^(r) C^{r} C r ベクトル場なので,
X
i
∘
φ
−
1
(
i
=
1
,
…
,
n
)
X
i
∘
φ
−
1
(
i
=
1
,
…
,
n
)
X_(i)@varphi^(-1)(i=1,dots,n) X_{i} \circ \varphi^{-1}(i=1, \ldots, n) X i ∘ φ − 1 ( i = 1 , … , n ) は
C
r
C
r
C^(r) C^{r} C r 級である. それゆえ上式から,
φ
~
∘
X
∘
φ
−
1
φ
~
∘
X
∘
φ
−
1
widetilde(varphi)@X@varphi^(-1) \widetilde{\varphi} \circ \boldsymbol{X} \circ \varphi^{-1} φ ~ ∘ X ∘ φ − 1 が
C
r
C
r
C^(r) C^{r} C r 級であること,つまり,
T
M
T
M
TM T M T M の切断
X
:
M
→
T
M
X
:
M
→
T
M
X:M rarr TM \boldsymbol{X}: M \rightarrow T M X : M → T M が
U
U
U U U 上で
C
r
C
r
C^(r) C^{r} C r 級であることが示される。したがって,
(
U
,
φ
)
(
U
,
φ
)
(U,varphi) (U, \varphi) ( U , φ ) の任意性により,切断
X
X
X \boldsymbol{X} X は
M
M
M M M 全体で
C
r
C
r
C^(r) C^{r} C r 級であることが示される.上述の 議論から,逆も成り立つことは容易にわかる。したがって、次の事実をえる.
命題 3.7.1
X
X
X \boldsymbol{X} X が
C
r
C
r
C^(r) C^{r} C r ベクトル場であることと,
X
:
M
→
T
M
X
:
M
→
T
M
X:M rarr TM \boldsymbol{X}: M \rightarrow T M X : M → T M が
C
r
C
r
C^(r) C^{r} C r 切断
であることは同値である.
次に,
C
∞
C
∞
C^(oo) C^{\infty} C ∞ 多様体の
C
r
C
r
C^(r) C^{r} C r 級 1 パラメーター変換群, より一般に,
C
r
C
r
C^(r) C^{r} C r 級局所 1 パラメーター変換群を定義しよう.
n
n
n n n 次元
C
∞
C
∞
C^(oo) C^{\infty} C ∞ 多様体
M
M
M M M からそれ自身への
C
r
C
r
C^(r) C^{r} C r 同型写像の 1 パラメーター族
{
ϕ
t
∣
t
∈
R
}
ϕ
t
∣
t
∈
R
{phi_(t)∣t inR} \left\{\phi_{t} \mid t \in \mathbb{R}\right\} { ϕ t ∣ t ∈ R } で, 次の 2 条件を満たすもの を
M
M
M M M の
C
r
C
r
C^(r) C^{r} C r 級 1 パラメーター変換群 (one-parameter transformation group of class
C
r
C
r
C^(r) C^{r} C r of
M
)
M
{:M) \left.M\right) M ) , または,
M
M
M M M 上の
C
r
C
r
C^(r) C^{r} C r 級の流れ
(
C
r
C
r
(C^(r):} \left(C^{r}\right. ( C r -flow on M) という:
(i) 任意の
t
1
,
t
2
∈
R
t
1
,
t
2
∈
R
t_(1),t_(2)inR t_{1}, t_{2} \in \mathbb{R} t 1 , t 2 ∈ R に対し,
ϕ
t
1
∘
ϕ
t
2
=
ϕ
t
1
+
t
2
ϕ
t
1
∘
ϕ
t
2
=
ϕ
t
1
+
t
2
phi_(t_(1))@phi_(t_(2))=phi_(t_(1)+t_(2)) \phi_{t_{1}} \circ \phi_{t_{2}}=\phi_{t_{1}+t_{2}} ϕ t 1 ∘ ϕ t 2 = ϕ t 1 + t 2 が成り立ち, また,
ϕ
0
=
ϕ
0
=
phi_(0)= \phi_{0}= ϕ 0 =
id
M
id
M
id_(M) \operatorname{id}_{M} id M が成り立つ;
(ii)
ϕ
(
p
,
t
)
:=
ϕ
t
(
p
)
(
(
p
,
t
)
∈
M
×
R
)
ϕ
(
p
,
t
)
:=
ϕ
t
(
p
)
(
(
p
,
t
)
∈
M
×
R
)
phi(p,t):=phi_(t)(p)((p,t)in M xxR) \phi(p, t):=\phi_{t}(p)((p, t) \in M \times \mathbb{R}) ϕ ( p , t ) := ϕ t ( p ) ( ( p , t ) ∈ M × R ) によって定義される積多様体
M
×
R
M
×
R
M xxR M \times \mathbb{R} M × R から多様体
M
M
M M M への写像
ϕ
ϕ
phi \phi ϕ は
C
r
C
r
C^(r) C^{r} C r 級である.
各点
p
∈
M
p
∈
M
p in M p \in M p ∈ M に対し,
c
p
(
t
)
:=
ϕ
t
(
p
)
c
p
(
t
)
:=
ϕ
t
(
p
)
c_(p)(t):=phi_(t)(p) c_{p}(t):=\phi_{t}(p) c p ( t ) := ϕ t ( p ) によって定義される曲線
c
p
:
R
→
M
c
p
:
R
→
M
c_(p):Rrarr M c_{p}: \mathbb{R} \rightarrow M c p : R → M は,
p
p
p \boldsymbol{p} p を通る流線(flow curve through
p
p
p \boldsymbol{p} p ) とよばれる。
より一般に,
C
r
C
r
C^(r) C^{r} C r 級局所 1 パラメーター変換群という概念が次のように定義される。
I
I
I I I を, 0 を含む開区間とする。
M
M
M M M の開集合
U
t
U
t
U_(t) U_{t} U t から
M
M
M M M のある開集合への
C
r
C
r
C^(r) C^{r} C r 同型写像
ϕ
t
ϕ
t
phi_(t) \phi_{t} ϕ t の 1 パラメーター族
{
ϕ
t
∣
t
∈
I
}
ϕ
t
∣
t
∈
I
{phi_(t)∣t in I} \left\{\phi_{t} \mid t \in I\right\} { ϕ t ∣ t ∈ I } で, 次の 2 条件を満 たすものを
M
M
M M M の
C
r
C
r
C^(r) C^{r} C r 級局所 1 パラメーター変換群(local one-parameter transformation group of class
C
r
C
r
C^(r) C^{r} C r ) という:
(i) 任意の
t
1
,
t
2
∈
I
t
1
,
t
2
∈
I
t_(1),t_(2)in I t_{1}, t_{2} \in I t 1 , t 2 ∈ I s.t.
t
1
+
t
2
∈
I
t
1
+
t
2
∈
I
t_(1)+t_(2)in I t_{1}+t_{2} \in I t 1 + t 2 ∈ I に対し,
ϕ
t
1
∘
ϕ
t
2
=
ϕ
t
1
+
t
2
ϕ
t
1
∘
ϕ
t
2
=
ϕ
t
1
+
t
2
phi_(t_(1))@phi_(t_(2))=phi_(t_(1)+t_(2)) \phi_{t_{1}} \circ \phi_{t_{2}}=\phi_{t_{1}+t_{2}} ϕ t 1 ∘ ϕ t 2 = ϕ t 1 + t 2 が, 両辺が 定義される開集合上で成り立ち, また,
U
0
=
M
,
ϕ
0
=
id
M
U
0
=
M
,
ϕ
0
=
id
M
U_(0)=M,phi_(0)=id_(M) U_{0}=M, \phi_{0}=\operatorname{id}_{M} U 0 = M , ϕ 0 = id M である;
(ii)
ϕ
(
p
,
t
)
:=
ϕ
t
(
p
)
(
(
p
,
t
)
∈
⨿
t
∈
I
(
U
t
×
{
t
}
)
)
ϕ
(
p
,
t
)
:=
ϕ
t
(
p
)
(
p
,
t
)
∈
⨿
t
∈
I
U
t
×
{
t
}
phi(p,t):=phi_(t)(p)((p,t)in⨿_(t in I)(U_(t)xx{t})) \phi(p, t):=\phi_{t}(p)\left((p, t) \in \underset{t \in I}{\amalg}\left(U_{t} \times\{t\}\right)\right) ϕ ( p , t ) := ϕ t ( p ) ( ( p , t ) ∈ ⨿ t ∈ I ( U t × { t } ) ) によって定義される積多様体
M
×
R
M
×
R
M xxR M \times \mathbb{R} M × R の開部分多様体
⨿
t
∈
I
(
U
t
×
{
t
}
)
⨿
t
∈
I
U
t
×
{
t
}
⨿_(t in I)(U_(t)xx{t}) \underset{t \in I}{\amalg}\left(U_{t} \times\{t\}\right) ⨿ t ∈ I ( U t × { t } ) から多様体
M
M
M M M への写像
ϕ
ϕ
phi \phi ϕ は
C
r
C
r
C^(r) C^{r} C r 級 である.
各点
p
∈
M
p
∈
M
p in M p \in M p ∈ M に対し,
c
p
(
t
)
:=
ϕ
t
(
p
)
c
p
(
t
)
:=
ϕ
t
(
p
)
c_(p)(t):=phi_(t)(p) c_{p}(t):=\phi_{t}(p) c p ( t ) := ϕ t ( p ) によって定義される曲線
c
p
:
I
p
→
M
c
p
:
I
p
→
M
c_(p):I_(p)rarr M c_{p}: I_{p} \rightarrow M c p : I p → M
(
I
p
:=
{
t
∈
I
∣
p
∈
U
t
}
)
(
I
p
:=
t
∈
I
∣
p
∈
U
t
)
(I_(p):={t in I∣p inU_(t)}) ( I_{p}:=\left\{t \in I \mid p \in U_{t}\right\} ) ( ) ( I p := { t ∈ I ∣ p ∈ U t } ) は,
p
p
p \boldsymbol{p} p を通る流線とよばれる.
{
ϕ
t
∣
t
∈
I
}
ϕ
t
∣
t
∈
I
{phi_(t)∣t in I} \left\{\phi_{t} \mid t \in I\right\} { ϕ t ∣ t ∈ I } を
M
M
M M M の
C
r
C
r
C^(r) C^{r} C r 級の局所 1 パラメーター変換群とする.
M
M
M M M の各点
p
p
p p p に対し,
c
p
(
t
)
:=
ϕ
t
(
p
)
c
p
(
t
)
:=
ϕ
t
(
p
)
c_(p)(t):=phi_(t)(p) c_{p}(t):=\phi_{t}(p) c p ( t ) := ϕ t ( p ) とする。このとき,
M
M
M M M 上のベクトル場
X
X
X \boldsymbol{X} X が
X
p
:=
X
p
:=
X_(p):= \boldsymbol{X}_{p}:= X p :=
c
p
′
(
0
)
(
p
∈
M
)
c
p
′
(
0
)
(
p
∈
M
)
c_(p)^(')(0)(p in M) c_{p}^{\prime}(0)(p \in M) c p ′ ( 0 ) ( p ∈ M ) によって定義される. このべクトル場
X
X
X \boldsymbol{X} X を
{
ϕ
t
∣
t
∈
I
}
ϕ
t
∣
t
∈
I
{phi_(t)∣t in I} \left\{\phi_{t} \mid \boldsymbol{t} \in \boldsymbol{I}\right\} { ϕ t ∣ t ∈ I } に 付随するベクトル場という。
命題 3.7.2
C
r
C
r
C^(r) C^{r} C r 級の局所 1 パラメーター変換群に付随するベクトル場は,
C
r
−
1
C
r
−
1
C^(r-1) C^{r-1} C r − 1 ベクトル場である.
証明
{
ϕ
t
∣
t
∈
I
}
ϕ
t
∣
t
∈
I
{phi_(t)∣t in I} \left\{\phi_{t} \mid t \in I\right\} { ϕ t ∣ t ∈ I } を
C
r
C
r
C^(r) C^{r} C r 級の局所 1 パラメーター変換群とし,
X
X
X \boldsymbol{X} X をそれに 付随するベクトル場とする。
M
M
M M M の局所チャート
(
U
,
φ
=
(
x
1
,
…
,
x
n
)
)
U
,
φ
=
x
1
,
…
,
x
n
(U,varphi=(x_(1),dots,x_(n))) \left(U, \varphi=\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)\right) ( U , φ = ( x 1 , … , x n ) ) に関す る
X
X
X \boldsymbol{X} X の局所表示を
X
=
∑
i
=
1
n
X
i
∂
∂
x
i
X
=
∑
i
=
1
n
X
i
∂
∂
x
i
X=sum_(i=1)^(n)X_(i)(del)/(delx_(i)) \boldsymbol{X}=\sum_{i=1}^{n} X_{i} \frac{\partial}{\partial x_{i}} X = ∑ i = 1 n X i ∂ ∂ x i とする. このとき,
p
∈
U
p
∈
U
p in U p \in U p ∈ U に対し.
X
p
=
c
p
′
(
0
)
=
d
ϕ
(
p
,
t
)
d
t
|
t
=
0
=
∑
i
=
1
n
d
x
i
(
ϕ
(
p
,
t
)
)
d
t
|
t
=
0
(
∂
∂
x
i
)
p
X
p
=
c
p
′
(
0
)
=
d
ϕ
(
p
,
t
)
d
t
t
=
0
=
∑
i
=
1
n
d
x
i
(
ϕ
(
p
,
t
)
)
d
t
t
=
0
∂
∂
x
i
p
X_(p)=c_(p)^(')(0)=(d phi(p,t))/(dt)|_(t=0)=sum_(i=1)^(n)(dx_(i)(phi(p,t)))/(dt)|_(t=0)((del)/(delx_(i)))_(p) \boldsymbol{X}_{p}=c_{p}^{\prime}(0)=\left.\frac{d \phi(p, t)}{d t}\right|_{t=0}=\left.\sum_{i=1}^{n} \frac{d x_{i}(\phi(p, t))}{d t}\right|_{t=0}\left(\frac{\partial}{\partial x_{i}}\right)_{p} X p = c p ′ ( 0 ) = d ϕ ( p , t ) d t | t = 0 = ∑ i = 1 n d x i ( ϕ ( p , t ) ) d t | t = 0 ( ∂ ∂ x i ) p
が成り立つ. それゆえ,
X
i
(
p
)
=
d
(
x
i
(
ϕ
(
p
,
t
)
)
)
d
t
|
t
=
0
=
d
d
t
|
t
=
0
(
x
i
∘
ϕ
∘
(
φ
×
id
)
−
1
)
(
x
1
(
p
)
,
…
,
x
n
(
p
)
,
t
)
X
i
(
p
)
=
d
x
i
(
ϕ
(
p
,
t
)
)
d
t
t
=
0
=
d
d
t
t
=
0
x
i
∘
ϕ
∘
(
φ
×
id
)
−
1
x
1
(
p
)
,
…
,
x
n
(
p
)
,
t
{:[X_(i)(p)=(d(x_(i)(phi(p,t))))/(dt)|_(t=0)],[=(d)/(dt)|_(t=0)(x_(i)@phi@(varphi xxid)^(-1))(x_(1)(p),dots,x_(n)(p),t)]:} \begin{aligned}
X_{i}(p) & =\left.\frac{d\left(x_{i}(\phi(p, t))\right)}{d t}\right|_{t=0} \\
& =\left.\frac{d}{d t}\right|_{t=0}\left(x_{i} \circ \phi \circ(\varphi \times \mathrm{id})^{-1}\right)\left(x_{1}(p), \ldots, x_{n}(p), t\right)
\end{aligned} X i ( p ) = d ( x i ( ϕ ( p , t ) ) ) d t | t = 0 = d d t | t = 0 ( x i ∘ ϕ ∘ ( φ × id ) − 1 ) ( x 1 ( p ) , … , x n ( p ) , t )
X
i
∘
φ
−
1
=
∂
∂
t
|
t
=
0
(
x
i
∘
ϕ
∘
(
φ
×
id
)
−
1
)
X
i
∘
φ
−
1
=
∂
∂
t
t
=
0
x
i
∘
ϕ
∘
(
φ
×
id
)
−
1
X_(i)@varphi^(-1)=(del)/(del t)|_(t=0)(x_(i)@phi@(varphi xxid)^(-1)) X_{i} \circ \varphi^{-1}=\left.\frac{\partial}{\partial t}\right|_{t=0}\left(x_{i} \circ \phi \circ(\varphi \times \mathrm{id})^{-1}\right) X i ∘ φ − 1 = ∂ ∂ t | t = 0 ( x i ∘ ϕ ∘ ( φ × id ) − 1 )
が導かれる。はは
C
r
C
r
C^(r) C^{r} C r 級なので, この右辺は
C
r
−
1
C
r
−
1
C^(r-1) C^{r-1} C r − 1 級であることがわかる. そ れゆえ,
X
i
∘
φ
−
1
X
i
∘
φ
−
1
X_(i)@varphi^(-1) X_{i} \circ \varphi^{-1} X i ∘ φ − 1 は
C
r
−
1
C
r
−
1
C^(r-1) C^{r-1} C r − 1 級である。したがって,
X
X
X \boldsymbol{X} X は
C
r
−
1
C
r
−
1
C^(r-1) C^{r-1} C r − 1 級べクトル場 である.
C
r
C
r
C^(r) C^{r} C r ベクトル場
X
X
X \boldsymbol{X} X に対し,
C
r
+
1
C
r
+
1
C^(r+1) C^{r+1} C r + 1 曲線
c
:
I
→
M
c
:
I
→
M
c:I rarr M c: I \rightarrow M c : I → M で
c
′
(
t
)
=
X
c
(
t
)
(
t
∈
I
)
c
′
(
t
)
=
X
c
(
t
)
(
t
∈
I
)
c^(')(t)=X_(c(t))(t in I) c^{\prime}(t)=\boldsymbol{X}_{c(t)}(t \in I) c ′ ( t ) = X c ( t ) ( t ∈ I ) と なるようなものを
X
X
X X X の積分曲線(integral curve)という. 積分曲線の存在性・一意性について, 次の事実が成り立つ.
命題 3.7.3
X
X
X X X を
M
M
M M M 上の
C
r
C
r
C^(r) C^{r} C r ベクトル場とする. このとき, 各
p
∈
M
p
∈
M
p in M p \in M p ∈ M に対 し,
X
X
X \boldsymbol{X} X の積分曲線
c
:
(
−
ε
,
ε
)
→
M
c
:
(
−
ε
,
ε
)
→
M
c:(-epsi,epsi)rarr M c:(-\varepsilon, \varepsilon) \rightarrow M c : ( − ε , ε ) → M で
c
(
0
)
=
p
c
(
0
)
=
p
c(0)=p c(0)=p c ( 0 ) = p となるようなものがただ 1 つ 存在する. ここで,
ε
ε
epsi \varepsilon ε は十分小さな正の定数とする.
証明
p
p
p p p のまわりの局所チャート
(
U
,
φ
=
(
x
1
,
…
,
x
n
)
)
U
,
φ
=
x
1
,
…
,
x
n
(U,varphi=(x_(1),dots,x_(n))) \left(U, \varphi=\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)\right) ( U , φ = ( x 1 , … , x n ) ) に関する
X
X
X \boldsymbol{X} X の局所表示を
X
=
∑
i
=
1
n
X
i
∂
∂
x
i
X
=
∑
i
=
1
n
X
i
∂
∂
x
i
X=sum_(i=1)^(n)X_(i)(del)/(delx_(i)) \boldsymbol{X}=\sum_{i=1}^{n} X_{i} \frac{\partial}{\partial x_{i}} X = ∑ i = 1 n X i ∂ ∂ x i とし,
φ
(
p
)
=
(
p
1
,
…
,
p
n
)
φ
(
p
)
=
p
1
,
…
,
p
n
varphi(p)=(p_(1),dots,p_(n)) \varphi(p)=\left(p_{1}, \ldots, p_{n}\right) φ ( p ) = ( p 1 , … , p n ) とする.
c
:
(
−
ε
,
ε
)
→
c
:
(
−
ε
,
ε
)
→
c:(-epsi,epsi)rarr c:(-\varepsilon, \varepsilon) \rightarrow c : ( − ε , ε ) →
U
U
U U U を
C
r
+
1
C
r
+
1
C^(r+1) C^{r+1} C r + 1 級曲線とする. このとき,
c
′
(
t
)
=
∑
i
=
1
n
d
(
x
i
∘
c
)
d
t
(
∂
∂
x
i
)
c
(
t
)
c
′
(
t
)
=
∑
i
=
1
n
d
x
i
∘
c
d
t
∂
∂
x
i
c
(
t
)
c^(')(t)=sum_(i=1)^(n)(d(x_(i)@c))/(dt)((del)/(delx_(i)))_(c(t)) c^{\prime}(t)=\sum_{i=1}^{n} \frac{d\left(x_{i} \circ c\right)}{d t}\left(\frac{\partial}{\partial x_{i}}\right)_{c(t)} c ′ ( t ) = ∑ i = 1 n d ( x i ∘ c ) d t ( ∂ ∂ x i ) c ( t ) なので,
c
′
(
t
)
=
X
c
(
t
)
c
′
(
t
)
=
X
c
(
t
)
c^(')(t)=X_(c(t)) c^{\prime}(t)=\boldsymbol{X}_{c(t)} c ′ ( t ) = X c ( t ) が成り立つことと
(3.7.1)
d
(
x
i
∘
c
)
(
t
)
d
t
=
(
X
i
∘
φ
−
1
)
(
(
x
1
∘
c
)
(
t
)
,
…
,
(
x
n
∘
c
)
(
t
)
)
(
i
=
1
,
…
,
n
)
(3.7.1)
d
x
i
∘
c
(
t
)
d
t
=
X
i
∘
φ
−
1
x
1
∘
c
(
t
)
,
…
,
x
n
∘
c
(
t
)
(
i
=
1
,
…
,
n
)
{:(3.7.1){:[(d(x_(i)@c)(t))/(dt)=(X_(i)@varphi^(-1))((x_(1)@c)(t),dots,(x_(n)@c)(t))],[(i=1","dots","n)]:}:} \begin{array}{r}
\frac{d\left(x_{i} \circ c\right)(t)}{d t}=\left(X_{i} \circ \varphi^{-1}\right)\left(\left(x_{1} \circ c\right)(t), \ldots,\left(x_{n} \circ c\right)(t)\right) \tag{3.7.1}\\
(i=1, \ldots, n)
\end{array} (3.7.1) d ( x i ∘ c ) ( t ) d t = ( X i ∘ φ − 1 ) ( ( x 1 ∘ c ) ( t ) , … , ( x n ∘ c ) ( t ) ) ( i = 1 , … , n )
が成り立つことは同値である。また,
c
(
0
)
=
p
c
(
0
)
=
p
c(0)=p c(0)=p c ( 0 ) = p が成り立つことと
(3.7.2)
(
x
i
∘
c
)
(
0
)
=
p
i
(
i
=
1
,
…
,
n
)
(3.7.2)
x
i
∘
c
(
0
)
=
p
i
(
i
=
1
,
…
,
n
)
{:(3.7.2)(x_(i)@c)(0)=p_(i)(i=1","dots","n):} \begin{equation*}
\left(x_{i} \circ c\right)(0)=p_{i}(i=1, \ldots, n) \tag{3.7.2}
\end{equation*} (3.7.2) ( x i ∘ c ) ( 0 ) = p i ( i = 1 , … , n )
が成り立つことは同値である。正規型連立常微分方程式の局所解の存在性・一意性定理によれば, 初期条件 (3.7.2) を満たす
(
x
i
∘
c
)
(
i
=
1
,
…
,
n
)
x
i
∘
c
(
i
=
1
,
…
,
n
)
(x_(i)@c)(i=1,dots,n) \left(x_{i} \circ c\right)(i=1, \ldots, n) ( x i ∘ c ) ( i = 1 , … , n ) を未知関数とする 1 階正規型連立常微分方程式 (3.7.1) の解は, 局所的に一意に存在す ることがわかる。それゆえ, 十分小さな正の数
ε
ε
epsi \varepsilon ε に対し,
c
(
0
)
=
p
c
(
0
)
=
p
c(0)=p c(0)=p c ( 0 ) = p となる
X
X
X \boldsymbol{X} X の積分曲線
c
:
(
−
ε
,
ε
)
→
M
c
:
(
−
ε
,
ε
)
→
M
c:(-epsi,epsi)rarr M c:(-\varepsilon, \varepsilon) \rightarrow M c : ( − ε , ε ) → M が一意に存在することが示される.
X
X
X \boldsymbol{X} X を
M
M
M M M 上の
C
r
C
r
C^(r) C^{r} C r ベクトル場とし,
c
p
:
I
p
→
M
c
p
:
I
p
→
M
c_(p):I_(p)rarr M c_{p}: I_{p} \rightarrow M c p : I p → M を
c
p
(
0
)
=
p
c
p
(
0
)
=
p
c_(p)(0)=p c_{p}(0)=p c p ( 0 ) = p となる
X
X
X \boldsymbol{X} X の 最大の(つまり, それ以上延長不可能な)積分曲線とし,
U
t
:=
{
p
∈
M
∣
t
∈
U
t
:=
{
p
∈
M
∣
t
∈
U_(t):={p in M∣t in U_{t}:=\{p \in M \mid t \in U t := { p ∈ M ∣ t ∈
I
p
}
,
I
:=
⨿
p
∈
M
I
p
I
p
,
I
:=
⨿
p
∈
M
I
p
{:I_(p)},quad I:=⨿_(p in M)I_(p) \left.I_{p}\right\}, \quad I:=\underset{p \in M}{\amalg} I_{p} I p } , I := ⨿ p ∈ M I p とおく. 各
t
∈
I
t
∈
I
t in I t \in I t ∈ I に対し,
ϕ
t
:
U
t
→
M
ϕ
t
:
U
t
→
M
phi_(t):U_(t)rarr M \phi_{t}: U_{t} \rightarrow M ϕ t : U t → M を
ϕ
t
(
p
)
:=
c
p
(
t
)
(
p
ϕ
t
(
p
)
:=
c
p
(
t
)
(
p
phi_(t)(p):=c_(p)(t)(p \phi_{t}(p):=c_{p}(t)(p ϕ t ( p ) := c p ( t ) ( p
∈
U
t
)
∈
U
t
{: inU_(t)) \left.\in U_{t}\right) ∈ U t ) によって定義する. このとき,
{
ϕ
t
∣
t
∈
I
}
ϕ
t
∣
t
∈
I
{phi_(t)∣t in I} \left\{\phi_{t} \mid t \in I\right\} { ϕ t ∣ t ∈ I } は
C
r
+
1
C
r
+
1
C^(r+1) C^{r+1} C r + 1 級の局所 1 パラメー ター変換群になることが示される。この局所 1 パラメーター変換群を
X
X
X \boldsymbol{X} X に付随する局所 1 パラメーター変換群という.
問 3.7.1 実際に, 上述の
{
ϕ
t
∣
t
∈
I
}
ϕ
t
∣
t
∈
I
{phi_(t)∣t in I} \left\{\phi_{t} \mid t \in I\right\} { ϕ t ∣ t ∈ I } が
C
r
+
1
C
r
+
1
C^(r+1) C^{r+1} C r + 1 級の局所 1 パラメーター変換群にな ることを示せ.
C
r
C
r
C^(r) C^{r} C r 級ベクトル場
X
X
X \boldsymbol{X} X に付随する局所 1 パラメーター変換群が 1 パラメータ 一変換群としてとれるとき,
X
X
X \boldsymbol{X} X は完備である(complete)という。ベクト ル場の完備性に関して, 次の事実が成り立つ.
補題 3.7.4
{
ϕ
t
∣
t
∈
I
}
ϕ
t
∣
t
∈
I
{phi_(t)∣t in I} \left\{\phi_{t} \mid t \in I\right\} { ϕ t ∣ t ∈ I } を
C
r
C
r
C^(r) C^{r} C r 級ベクトル場
X
X
X \boldsymbol{X} X に付随する局所 1 パラメー ター変換群とする. もし,
(
−
ε
,
ε
)
⊂
I
(
−
ε
,
ε
)
⊂
I
(-epsi,epsi)sub I (-\varepsilon, \varepsilon) \subset I ( − ε , ε ) ⊂ I となる
ε
>
0
ε
>
0
epsi > 0 \varepsilon>0 ε > 0 が存在して, すべての
t
∈
t
∈
t in t \in t ∈
(
−
ε
,
ε
)
(
−
ε
,
ε
)
(-epsi,epsi) (-\varepsilon, \varepsilon) ( − ε , ε ) に対し,
ϕ
t
ϕ
t
phi_(t) \phi_{t} ϕ t が
M
M
M M M 全体で定義されているならば, 実は,
I
=
R
I
=
R
I=R I=\mathbb{R} I = R であり, すべての
t
∈
R
t
∈
R
t inR t \in \mathbb{R} t ∈ R に対し,
ϕ
t
ϕ
t
phi_(t) \phi_{t} ϕ t は
M
M
M M M 全体で定義される. つまり,
{
ϕ
t
∣
t
∈
I
}
ϕ
t
∣
t
∈
I
{phi_(t)∣t in I} \left\{\phi_{t} \mid t \in I\right\} { ϕ t ∣ t ∈ I } は
M
の
C
r
+
1
M
の
C
r
+
1
MのC^(r+1) M の C^{r+1} の M の C r + 1 級の 1 パラメーター変換群であり, それゆえ,
X
X
X \boldsymbol{X} X は完備である.
証明 任意に
(
p
,
t
)
∈
M
×
R
(
p
,
t
)
∈
M
×
R
(p,t)in M xxR (p, t) \in M \times \mathbb{R} ( p , t ) ∈ M × R をとる.
k
k
k k k を
|
t
|
k
<
ε
|
t
|
k
<
ε
(|t|)/(k) < epsi \frac{|t|}{k}<\varepsilon | t | k < ε を満たす自然数とする. このとき
t
k
<
ε
t
k
<
ε
(t)/(k) < epsi \frac{t}{k}<\varepsilon t k < ε なので,仮定より,
ϕ
t
k
ϕ
t
k
phi_((t)/(k)) \phi_{\frac{t}{k}} ϕ t k は
M
M
M M M 全体で定義される. それゆえ,
(
ϕ
t
k
)
k
(
p
)
ϕ
t
k
k
(
p
)
(phi_((t)/(k)))^(k)(p) \left(\phi_{\frac{t}{k}}\right)^{k}(p) ( ϕ t k ) k ( p ) が定義される。ここで,
(
ϕ
t
k
)
k
ϕ
t
k
k
(phi_((t)/(k)))^(k) \left(\phi_{\frac{t}{k}}\right)^{k} ( ϕ t k ) k は
ϕ
t
k
ϕ
t
k
phi_((t)/(k)) \phi_{\frac{t}{k}} ϕ t k を
k
k
k k k 回合成した写像を表す。一方,
(
ϕ
t
k
)
k
(
p
)
=
ϕ
k
×
t
k
(
p
)
=
ϕ
t
(
p
)
ϕ
t
k
k
(
p
)
=
ϕ
k
×
t
k
(
p
)
=
ϕ
t
(
p
)
(phi_((t)/(k)))^(k)(p)=phi_(k xx(t)/(k))(p)=phi_(t)(p) \left(\phi_{\frac{t}{k}}\right)^{k}(p)=\phi_{k \times \frac{t}{k}}(p)=\phi_{t}(p) ( ϕ t k ) k ( p ) = ϕ k × t k ( p ) = ϕ t ( p ) となるので, 結局
ϕ
t
(
p
)
ϕ
t
(
p
)
phi_(t)(p) \phi_{t}(p) ϕ t ( p ) が定義されることが わかる。
(
p
,
t
)
(
p
,
t
)
(p,t) (p, t) ( p , t ) は
M
×
R
M
×
R
M xxR M \times \mathbb{R} M × R から任意にとった点なので,
ϕ
ϕ
phi \phi ϕ が
M
×
R
M
×
R
M xxR M \times \mathbb{R} M × R 全体で定義 されることになり,
{
ϕ
t
∣
t
∈
I
}
ϕ
t
∣
t
∈
I
{phi_(t)∣t in I} \left\{\phi_{t} \mid t \in I\right\} { ϕ t ∣ t ∈ I } は,Mの
C
r
+
1
C
r
+
1
C^(r+1) C^{r+1} C r + 1 級の 1 パラメーター変換群で あることが示される.
この補題を用いて, 次の事実が示される.
系 3.7.5
C
∞
C
∞
C^(oo) C^{\infty} C ∞ 閉多様体上の
C
r
C
r
C^(r) C^{r} C r ベクトル場はすべて完備である.
証明
X
X
X \boldsymbol{X} X を
C
∞
C
∞
C^(oo) C^{\infty} C ∞ 閉多様体
M
M
M M M 上の
C
r
C
r
C^(r) C^{r} C r ベクトル場とし,
{
ϕ
t
:
U
t
→
M
∣
t
∈
ϕ
t
:
U
t
→
M
∣
t
∈
{phi_(t):U_(t)rarr M∣t in:} \left\{\phi_{t}: U_{t} \rightarrow M \mid t \in\right. { ϕ t : U t → M ∣ t ∈
I
}
I
}
I} I\} I } を
X
X
X \boldsymbol{X} X に付随する局所 1 パラメーター変換群とする。
(
−
a
p
,
b
p
)
:=
{
t
∈
−
a
p
,
b
p
:=
{
t
∈
(-a_(p),b_(p)):={t in \left(-a_{p}, b_{p}\right):=\{t \in ( − a p , b p ) := { t ∈
I
∣
p
∈
U
t
}
I
∣
p
∈
U
t
{:I∣p inU_(t)} \left.I \mid p \in U_{t}\right\} I ∣ p ∈ U t } とし,
c
p
:
(
−
a
p
,
b
p
)
→
M
c
p
:
−
a
p
,
b
p
→
M
c_(p):(-a_(p),b_(p))rarr M c_{p}:\left(-a_{p}, b_{p}\right) \rightarrow M c p : ( − a p , b p ) → M を
p
p
p p p を通る流線(つまり
c
p
(
t
)
:=
ϕ
t
(
p
)
c
p
(
t
)
:=
ϕ
t
(
p
)
c_(p)(t):=phi_(t)(p) c_{p}(t):=\phi_{t}(p) c p ( t ) := ϕ t ( p ) ) とする.
ρ
+
:
M
→
R
ρ
+
:
M
→
R
rho_(+):M rarrR \rho_{+}: M \rightarrow \mathbb{R} ρ + : M → R を
ρ
+
(
p
)
:=
b
p
ρ
+
(
p
)
:=
b
p
rho_(+)(p):=b_(p) \rho_{+}(p):=b_{p} ρ + ( p ) := b p によって定義し,
ρ
−
:
M
→
R
ρ
−
:
M
→
R
rho_(-):M rarrR \rho_{-}: M \rightarrow \mathbb{R} ρ − : M → R を
ρ
−
(
p
)
:=
a
p
ρ
−
(
p
)
:=
a
p
rho_(-)(p):=a_(p) \rho_{-}(p):=a_{p} ρ − ( p ) := a p によって定義する。明らかに, これらの関数は下半連続である. それゆえ,
M
M
M M M がコンパクトなので, これらの関数は最小元をもつ.
ε
:=
ε
:=
epsi:= \varepsilon:= ε :=
min
{
min
ρ
+
,
min
ρ
−
}
(
>
0
)
min
min
ρ
+
,
min
ρ
−
(
>
0
)
min{minrho_(+),minrho_(-)}( > 0) \min \left\{\min \rho_{+}, \min \rho_{-}\right\}(>0) min { min ρ + , min ρ − } ( > 0 ) とおく.すべての
(
p
,
t
)
∈
M
×
(
−
ε
,
ε
)
(
p
,
t
)
∈
M
×
(
−
ε
,
ε
)
(p,t)in M xx(-epsi,epsi) (p, t) \in M \times(-\varepsilon, \varepsilon) ( p , t ) ∈ M × ( − ε , ε ) に対し
c
p
(
t
)
c
p
(
t
)
c_(p)(t) c_{p}(t) c p ( t ) が定義されるので, すべての
t
∈
(
−
ε
,
ε
)
t
∈
(
−
ε
,
ε
)
t in(-epsi,epsi) t \in(-\varepsilon, \varepsilon) t ∈ ( − ε , ε ) に対し,
U
t
=
M
U
t
=
M
U_(t)=M U_{t}=M U t = M となることが わかる。したがって, 前補題より,
X
X
X \boldsymbol{X} X が完備であることが示される.
X
,
Y
X
,
Y
X,Y \boldsymbol{X}, \boldsymbol{Y} X , Y を
M
M
M M M 上の
C
∞
C
∞
C^(oo) C^{\infty} C ∞ 級ベクトル場とし,
{
ϕ
t
∣
t
∈
I
}
ϕ
t
∣
t
∈
I
{phi_(t)∣t in I} \left\{\phi_{t} \mid t \in I\right\} { ϕ t ∣ t ∈ I } を
X
X
X \boldsymbol{X} X に付随する
C
∞
C
∞
C^(oo) C^{\infty} C ∞ 級の局所 1 パラメーター変換群とする。このとき,
M
M
M M M 上の
C
∞
C
∞
C^(oo) C^{\infty} C ∞ 級ベクトル場
L
X
Y
L
X
Y
L_(X)Y \mathcal{L}_{X} Y L X Y を
(
L
X
Y
)
p
:=
lim
t
→
0
1
t
(
(
d
ϕ
t
)
p
−
1
(
Y
ϕ
t
(
p
)
)
−
Y
p
)
(
=
d
d
t
|
t
=
0
(
d
ϕ
t
)
p
−
1
(
Y
ϕ
t
(
p
)
)
)
L
X
Y
p
:=
lim
t
→
0
1
t
d
ϕ
t
p
−
1
Y
ϕ
t
(
p
)
−
Y
p
=
d
d
t
t
=
0
d
ϕ
t
p
−
1
Y
ϕ
t
(
p
)
(L_(X)Y)_(p):=lim_(t rarr0)(1)/(t)((dphi_(t))_(p)^(-1)(Y_(phi_(t)(p)))-Y_(p))(=(d)/(dt)|_(t=0)(dphi_(t))_(p)^(-1)(Y_(phi_(t)(p)))) \left(\mathcal{L}_{\boldsymbol{X}} \boldsymbol{Y}\right)_{p}:=\lim _{t \rightarrow 0} \frac{1}{t}\left(\left(d \phi_{t}\right)_{p}^{-1}\left(\boldsymbol{Y}_{\phi_{t}(p)}\right)-\boldsymbol{Y}_{p}\right)\left(=\left.\frac{d}{d t}\right|_{t=0}\left(d \phi_{t}\right)_{p}^{-1}\left(\boldsymbol{Y}_{\phi_{t}(p)}\right)\right) ( L X Y ) p := lim t → 0 1 t ( ( d ϕ t ) p − 1 ( Y ϕ t ( p ) ) − Y p ) ( = d d t | t = 0 ( d ϕ t ) p − 1 ( Y ϕ t ( p ) ) )
(
p
∈
M
)
(
p
∈
M
)
(p in M) (p \in M) ( p ∈ M ) によって定義する(図 3.7.3を参照)。この
C
∞
C
∞
C^(oo) C^{\infty} C ∞ 級ベクトル場
L
X
Y
L
X
Y
L_(X)Y \mathcal{L}_{\boldsymbol{X}} \boldsymbol{Y} L X Y は、
Y
Y
Y \boldsymbol{Y} Y の
X
X
X \boldsymbol{X} X に関するリー微分(Lie derivative)とよばれる。また,
L
X
L
X
LX \mathcal{L} \boldsymbol{X} L X は,次の命題で述べる事実により,
[
X
,
Y
]
[
X
,
Y
]
[X,Y] [\boldsymbol{X}, \boldsymbol{Y}] [ X , Y ] とも表され,
X
X
X \boldsymbol{X} X と
Y
Y
Y \boldsymbol{Y} Y のブラケッ
ト積(bracket product)ともよばれる。
命題 3.7.6
M
M
M M M 上の
C
∞
C
∞
C^(oo) C^{\infty} C ∞ 級関数
f
f
f f f に対し,
(
L
X
Y
)
(
f
)
=
[
X
,
Y
]
(
f
)
=
X
(
Y
(
f
)
)
−
Y
(
X
(
f
)
)
(
=
(
X
∘
Y
−
Y
∘
X
)
(
f
)
)
L
X
Y
(
f
)
=
[
X
,
Y
]
(
f
)
=
X
(
Y
(
f
)
)
−
Y
(
X
(
f
)
)
(
=
(
X
∘
Y
−
Y
∘
X
)
(
f
)
)
{:[(L_(X)Y)(f)=[X","Y](f)],[=X(Y(f))-Y(X(f))(=(X@Y-Y@X)(f))]:} \begin{aligned}
\left(\mathcal{L}_{\boldsymbol{X}} \boldsymbol{Y}\right)(f) & =[\boldsymbol{X}, \boldsymbol{Y}](f) \\
& =\boldsymbol{X}(\boldsymbol{Y}(f))-\boldsymbol{Y}(\boldsymbol{X}(f))(=(\boldsymbol{X} \circ \boldsymbol{Y}-\boldsymbol{Y} \circ \boldsymbol{X})(f))
\end{aligned} ( L X Y ) ( f ) = [ X , Y ] ( f ) = X ( Y ( f ) ) − Y ( X ( f ) ) ( = ( X ∘ Y − Y ∘ X ) ( f ) )
が成り立つ.
この命題の証明については,
[
K
o
8
]
[
K
o
8
]
[Ko8] [K o 8] [ K o 8 ] の命題 4.6.5 の証明を参照のこと.命題 3.7.6 を用いて, 次の関係式が直接導かれる.
図 3.7.3
E
3
E
3
E^(3) \mathbb{E}^{3} E 3 上のベクトル場のリー微分の例
命題 3.7.7
X
,
Y
,
Z
∈
X
(
M
)
X
,
Y
,
Z
∈
X
(
M
)
X,Y,Z inX(M) \boldsymbol{X}, \boldsymbol{Y}, \boldsymbol{Z} \in \mathcal{X}(M) X , Y , Z ∈ X ( M ) と
f
1
,
f
2
∈
C
∞
(
M
)
f
1
,
f
2
∈
C
∞
(
M
)
f_(1),f_(2)inC^(oo)(M) f_{1}, f_{2} \in C^{\infty}(M) f 1 , f 2 ∈ C ∞ ( M ) に対し, 次の (i)-(iii) の関係式が成り立つ:
(i)
[
X
,
Y
]
=
−
[
Y
,
X
]
[
X
,
Y
]
=
−
[
Y
,
X
]
quad[X,Y]=-[Y,X] \quad[\boldsymbol{X}, \boldsymbol{Y}]=-[\boldsymbol{Y}, \boldsymbol{X}] [ X , Y ] = − [ Y , X ] ;
(ii)
[
f
1
X
,
f
2
Y
]
=
f
1
f
2
[
X
,
Y
]
+
f
1
⋅
X
(
f
2
)
Y
−
f
2
⋅
Y
(
f
1
)
X
f
1
X
,
f
2
Y
=
f
1
f
2
[
X
,
Y
]
+
f
1
⋅
X
f
2
Y
−
f
2
⋅
Y
f
1
X
[f_(1)X,f_(2)Y]=f_(1)f_(2)[X,Y]+f_(1)*X(f_(2))Y-f_(2)*Y(f_(1))X \left[f_{1} \boldsymbol{X}, f_{2} \boldsymbol{Y}\right]=f_{1} f_{2}[\boldsymbol{X}, \boldsymbol{Y}]+f_{1} \cdot \boldsymbol{X}\left(f_{2}\right) \boldsymbol{Y}-f_{2} \cdot \boldsymbol{Y}\left(f_{1}\right) \boldsymbol{X} [ f 1 X , f 2 Y ] = f 1 f 2 [ X , Y ] + f 1 ⋅ X ( f 2 ) Y − f 2 ⋅ Y ( f 1 ) X ;
(iii)
[
[
X
,
Y
]
,
Z
]
+
[
[
Y
,
Z
]
,
X
]
+
[
[
Z
,
X
]
,
Y
]
=
0
[
[
X
,
Y
]
,
Z
]
+
[
[
Y
,
Z
]
,
X
]
+
[
[
Z
,
X
]
,
Y
]
=
0
[[X,Y],Z]+[[Y,Z],X]+[[Z,X],Y]=0 [[\boldsymbol{X}, \boldsymbol{Y}], \boldsymbol{Z}]+[[\boldsymbol{Y}, \boldsymbol{Z}], \boldsymbol{X}]+[[\boldsymbol{Z}, \boldsymbol{X}], \boldsymbol{Y}]=0 [ [ X , Y ] , Z ] + [ [ Y , Z ] , X ] + [ [ Z , X ] , Y ] = 0 .
(iii)の関係式は, ヤコビの恒等式(Jacobi identity)とよばれる。
問 3.7.2
φ
E
0
,
o
:
A
n
→
R
n
φ
E
0
,
o
:
A
n
→
R
n
varphi_(E_(0),o):A^(n)rarrR^(n) \varphi_{E_{0}, o}: \mathbb{A}^{n} \rightarrow \mathbb{R}^{n} φ E 0 , o : A n → R n を通じて
A
n
A
n
A^(n) \mathbb{A}^{n} A n と
R
n
R
n
R^(n) \mathbb{R}^{n} R n を同一視する. ここで
E
0
E
0
E_(0) E_{0} E 0 は, 数 ベクトル空間
R
n
R
n
R^(n) \mathbb{R}^{n} R n の標準基底
(
(
1
,
0
,
…
,
0
)
,
(
0
,
1
,
0
,
…
,
0
)
,
…
,
(
0
,
…
,
0
,
1
)
)
(
(
1
,
0
,
…
,
0
)
,
(
0
,
1
,
0
,
…
,
0
)
,
…
,
(
0
,
…
,
0
,
1
)
)
((1,0,dots,0),(0,1,0,dots,0),dots,(0,dots,0,1)) ((1,0, \ldots, 0),(0,1,0, \ldots, 0), \ldots,(0, \ldots, 0,1)) ( ( 1 , 0 , … , 0 ) , ( 0 , 1 , 0 , … , 0 ) , … , ( 0 , … , 0 , 1 ) )
を表し,
o
o
o o o は,
A
n
A
n
A^(n) \mathbb{A}^{n} A n の基点を表す(
φ
E
0
,
o
φ
E
0
,
o
varphi_(E_(0),o) \varphi_{E_{0}, o} φ E 0 , o の定義については, 問 3.1.1 参照のこと).
ϕ
t
:
A
n
→
A
n
(
t
∈
R
)
ϕ
t
:
A
n
→
A
n
(
t
∈
R
)
phi_(t):A^(n)rarrA^(n)(t inR) \phi_{t}: \mathbb{A}^{n} \rightarrow \mathbb{A}^{n}(t \in \mathbb{R}) ϕ t : A n → A n ( t ∈ R ) を
ϕ
t
(
x
1
,
…
,
x
n
)
:=
(
x
1
+
t
v
1
,
…
,
x
n
+
t
v
n
)
(
(
x
1
,
…
,
x
n
)
∈
A
n
)
ϕ
t
x
1
,
…
,
x
n
:=
x
1
+
t
v
1
,
…
,
x
n
+
t
v
n
x
1
,
…
,
x
n
∈
A
n
phi_(t)(x_(1),dots,x_(n)):=(x_(1)+tv_(1),dots,x_(n)+tv_(n))quad((x_(1),dots,x_(n))inA^(n)) \phi_{t}\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right):=\left(x_{1}+t v_{1}, \ldots, x_{n}+t v_{n}\right) \quad\left(\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right) \in \mathbb{A}^{n}\right) ϕ t ( x 1 , … , x n ) := ( x 1 + t v 1 , … , x n + t v n ) ( ( x 1 , … , x n ) ∈ A n )
(
v
1
,
…
,
v
n
v
1
,
…
,
v
n
(v_(1),dots,v_(n):} \left(v_{1}, \ldots, v_{n}\right. ( v 1 , … , v n は定数)と定義する.
(i)
{
ϕ
t
∣
t
∈
R
}
ϕ
t
∣
t
∈
R
{phi_(t)∣t inR} \left\{\phi_{t} \mid t \in \mathbb{R}\right\} { ϕ t ∣ t ∈ R } が
A
n
A
n
_(A^(n)) _{\mathbb{A}^{n}} A n の
C
ω
C
ω
C^(omega) C^{\omega} C ω 級の 1 パラメーター変換群になることを示せ.
(ii)
X
X
X \boldsymbol{X} X を
{
ϕ
t
∣
t
∈
R
}
ϕ
t
∣
t
∈
R
{phi_(t)∣t inR} \left\{\phi_{t} \mid t \in \mathbb{R}\right\} { ϕ t ∣ t ∈ R } に付随するべクトル場とする。
X
X
X \boldsymbol{X} X を局所チャート
(
A
n
A
n
(A^(n):} \left(\mathbb{A}^{n}\right. ( A n ,
φ
E
0
,
o
=
(
x
1
,
…
,
x
n
)
)
φ
E
0
,
o
=
x
1
,
…
,
x
n
{:varphi_(E_(0),o)=(x_(1),dots,x_(n))) \left.\varphi_{E_{0}, o}=\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)\right) φ E 0 , o = ( x 1 , … , x n ) ) の自然基底
∂
∂
x
1
,
…
,
∂
∂
x
n
∂
∂
x
1
,
…
,
∂
∂
x
n
(del)/(delx_(1)),dots,(del)/(delx_(n)) \frac{\partial}{\partial x_{1}}, \ldots, \frac{\partial}{\partial x_{n}} ∂ ∂ x 1 , … , ∂ ∂ x n の 1 次結合で表せ.
(iii)
n
=
2
,
(
v
1
,
v
2
)
=
(
1
,
3
)
n
=
2
,
v
1
,
v
2
=
(
1
,
3
)
n=2,(v_(1),v_(2))=(1,sqrt3) n=2,\left(v_{1}, v_{2}\right)=(1, \sqrt{3}) n = 2 , ( v 1 , v 2 ) = ( 1 , 3 ) のとき, 流線
c
(
p
1
,
p
2
)
(
t
)
:=
ϕ
t
(
p
1
,
p
2
)
c
p
1
,
p
2
(
t
)
:=
ϕ
t
p
1
,
p
2
c_((p_(1),p_(2)))(t):=phi_(t)(p_(1),p_(2)) c_{\left(p_{1}, p_{2}\right)}(t):=\phi_{t}\left(p_{1}, p_{2}\right) c ( p 1 , p 2 ) ( t ) := ϕ t ( p 1 , p 2 ) の族
{
c
(
p
1
,
p
2
)
∣
(
p
1
,
p
2
)
∈
A
n
}
c
p
1
,
p
2
∣
p
1
,
p
2
∈
A
n
{c_((p_(1),p_(2)))∣(p_(1),p_(2))inA^(n)} \left\{c_{\left(p_{1}, p_{2}\right)} \mid\left(p_{1}, p_{2}\right) \in \mathbb{A}^{n}\right\} { c ( p 1 , p 2 ) ∣ ( p 1 , p 2 ) ∈ A n }
および, ベクトル場
X
X
X \boldsymbol{X} X を図示せよ.
問 3.7.3
φ
E
0
,
o
:
A
3
→
R
3
φ
E
0
,
o
:
A
3
→
R
3
varphi_(E_(0),o):A^(3)rarrR^(3) \varphi_{E_{0}, o}: \mathbb{A}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3} φ E 0 , o : A 3 → R 3 を通じて
A
3
A
3
A^(3) \mathbb{A}^{3} A 3 と
R
3
R
3
R^(3) \mathbb{R}^{3} R 3 を同一視する。ここで
E
0
E
0
E_(0) E_{0} E 0 は, 数べ クトル空間
R
3
R
3
R^(3) \mathbb{R}^{3} R 3 の標準基底
(
(
1
,
0
,
,
0
)
,
(
0
,
1
,
0
)
,
(
0
,
0
,
1
)
)
(
(
1
,
0
,
,
0
)
,
(
0
,
1
,
0
)
,
(
0
,
0
,
1
)
)
((1,0,,0),(0,1,0),(0,0,1)) ((1,0,, 0),(0,1,0),(0,0,1)) ( ( 1 , 0 , , 0 ) , ( 0 , 1 , 0 ) , ( 0 , 0 , 1 ) )
を表し,
o
o
o o o は,
A
3
A
3
A^(3) \mathbb{A}^{3} A 3 の基点を表す.
ϕ
t
:
A
3
→
A
3
(
t
∈
R
)
ϕ
t
:
A
3
→
A
3
(
t
∈
R
)
phi_(t):A^(3)rarrA^(3)(t inR) \phi_{t}: \mathbb{A}^{3} \rightarrow \mathbb{A}^{3}(t \in \mathbb{R}) ϕ t : A 3 → A 3 ( t ∈ R ) を
ϕ
t
(
x
1
,
x
2
,
x
3
)
:=
(
x
1
cos
t
−
x
2
sin
t
,
x
1
sin
t
+
x
2
cos
t
,
x
3
)
(
(
x
1
,
x
2
,
x
3
)
∈
A
3
)
ϕ
t
x
1
,
x
2
,
x
3
:=
x
1
cos
t
−
x
2
sin
t
,
x
1
sin
t
+
x
2
cos
t
,
x
3
x
1
,
x
2
,
x
3
∈
A
3
phi_(t)(x_(1),x_(2),x_(3)):=(x_(1)cos t-x_(2)sin t,x_(1)sin t+x_(2)cos t,x_(3))quad((x_(1),x_(2),x_(3))inA^(3)) \phi_{t}\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right):=\left(x_{1} \cos t-x_{2} \sin t, x_{1} \sin t+x_{2} \cos t, x_{3}\right) \quad\left(\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right) \in \mathbb{A}^{3}\right) ϕ t ( x 1 , x 2 , x 3 ) := ( x 1 cos t − x 2 sin t , x 1 sin t + x 2 cos t , x 3 ) ( ( x 1 , x 2 , x 3 ) ∈ A 3 ) と定義する.
(i)
{
ϕ
t
∣
t
∈
R
}
ϕ
t
∣
t
∈
R
{phi_(t)∣t inR} \left\{\phi_{t} \mid t \in \mathbb{R}\right\} { ϕ t ∣ t ∈ R } が
A
3
A
3
A^(3) \mathbb{A}^{3} A 3 の
C
ω
C
ω
C^(omega) C^{\omega} C ω 級の 1 パラメーター変換群であることを示せ.
(ii)
X
X
X \boldsymbol{X} X を
{
ϕ
t
∣
t
∈
R
}
ϕ
t
∣
t
∈
R
{phi_(t)∣t inR} \left\{\phi_{t} \mid t \in \mathbb{R}\right\} { ϕ t ∣ t ∈ R } に付随するべクトル場とする。
X
X
X \boldsymbol{X} X を局所チャート
(
A
3
A
3
(A^(3):} \left(\mathbb{A}^{3}\right. ( A 3 ,
φ
E
0
,
o
=
(
x
1
,
x
2
,
x
3
)
)
φ
E
0
,
o
=
x
1
,
x
2
,
x
3
{:varphi_(E_(0),o)=(x_(1),x_(2),x_(3))) \left.\varphi_{E_{0}, o}=\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)\right) φ E 0 , o = ( x 1 , x 2 , x 3 ) ) の自然基底
∂
∂
x
1
,
∂
∂
x
2
,
∂
∂
x
3
∂
∂
x
1
,
∂
∂
x
2
,
∂
∂
x
3
(del)/(delx_(1)),(del)/(delx_(2)),(del)/(delx_(3)) \frac{\partial}{\partial x_{1}}, \frac{\partial}{\partial x_{2}}, \frac{\partial}{\partial x_{3}} ∂ ∂ x 1 , ∂ ∂ x 2 , ∂ ∂ x 3 の 1 次結合で表せ.
(iii) 流線
c
(
p
1
,
p
2
,
p
3
)
(
t
)
:=
ϕ
t
(
p
1
,
p
2
,
p
3
)
c
p
1
,
p
2
,
p
3
(
t
)
:=
ϕ
t
p
1
,
p
2
,
p
3
c_((p_(1),p_(2),p_(3)))(t):=phi_(t)(p_(1),p_(2),p_(3)) c_{\left(p_{1}, p_{2}, p_{3}\right)}(t):=\phi_{t}\left(p_{1}, p_{2}, p_{3}\right) c ( p 1 , p 2 , p 3 ) ( t ) := ϕ t ( p 1 , p 2 , p 3 ) の族
{
c
(
p
1
,
p
2
,
p
3
)
∣
(
p
1
,
p
2
,
p
3
)
∈
A
3
}
c
p
1
,
p
2
,
p
3
∣
p
1
,
p
2
,
p
3
∈
A
3
{c_((p_(1),p_(2),p_(3)))∣(p_(1),p_(2),p_(3))inA^(3)} \left\{c_{\left(p_{1}, p_{2}, p_{3}\right)} \mid\left(p_{1}, p_{2}, p_{3}\right) \in \mathbb{A}^{3}\right\} { c ( p 1 , p 2 , p 3 ) ∣ ( p 1 , p 2 , p 3 ) ∈ A 3 }
および, ベクトル場
X
X
X \boldsymbol{X} X を図示せよ.
問 3.7.4
ϕ
t
:
S
2
(
1
)
→
S
2
(
1
)
(
t
∈
R
)
ϕ
t
:
S
2
(
1
)
→
S
2
(
1
)
(
t
∈
R
)
phi_(t):S^(2)(1)rarrS^(2)(1)(t inR) \phi_{t}: S^{2}(1) \rightarrow S^{2}(1)(t \in \mathbb{R}) ϕ t : S 2 ( 1 ) → S 2 ( 1 ) ( t ∈ R ) を
ϕ
t
(
x
1
,
x
2
,
x
3
)
:=
(
x
1
cos
t
−
x
2
sin
t
,
x
1
sin
t
+
x
2
cos
t
,
x
3
)
(
(
x
1
,
x
2
,
x
3
)
∈
S
2
(
1
)
)
ϕ
t
x
1
,
x
2
,
x
3
:=
x
1
cos
t
−
x
2
sin
t
,
x
1
sin
t
+
x
2
cos
t
,
x
3
x
1
,
x
2
,
x
3
∈
S
2
(
1
)
phi_(t)(x_(1),x_(2),x_(3)):=(x_(1)cos t-x_(2)sin t,x_(1)sin t+x_(2)cos t,x_(3))quad((x_(1),x_(2),x_(3))inS^(2)(1)) \phi_{t}\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right):=\left(x_{1} \cos t-x_{2} \sin t, x_{1} \sin t+x_{2} \cos t, x_{3}\right) \quad\left(\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right) \in S^{2}(1)\right) ϕ t ( x 1 , x 2 , x 3 ) := ( x 1 cos t − x 2 sin t , x 1 sin t + x 2 cos t , x 3 ) ( ( x 1 , x 2 , x 3 ) ∈ S 2 ( 1 ) )
によって定義する。
(i)
{
ϕ
t
∣
t
∈
R
}
ϕ
t
∣
t
∈
R
{phi_(t)∣t inR} \left\{\phi_{t} \mid t \in \mathbb{R}\right\} { ϕ t ∣ t ∈ R } が
S
2
(
1
)
S
2
(
1
)
S^(2)(1) S^{2}(1) S 2 ( 1 ) の
C
ω
C
ω
C^(omega) C^{\omega} C ω 級の 1 パラメーター変換群になることを示せ.
(ii)
X
X
X \boldsymbol{X} X を
{
ϕ
t
∣
t
∈
R
}
ϕ
t
∣
t
∈
R
{phi_(t)∣t inR} \left\{\phi_{t} \mid t \in \mathbb{R}\right\} { ϕ t ∣ t ∈ R } に付随するベクトル場とする.
X
X
X \boldsymbol{X} X を局所チャート
(
U
3
+
U
3
+
(U_(3)^(+):} \left(U_{3}^{+}\right. ( U 3 + ,
φ
3
+
=
(
y
1
,
y
2
)
)
φ
3
+
=
y
1
,
y
2
{:varphi_(3)^(+)=(y_(1),y_(2))) \left.\varphi_{3}^{+}=\left(y_{1}, y_{2}\right)\right) φ 3 + = ( y 1 , y 2 ) ) の自然基底
∂
∂
y
1
,
∂
∂
y
2
∂
∂
y
1
,
∂
∂
y
2
(del)/(dely_(1)),(del)/(dely_(2)) \frac{\partial}{\partial y_{1}}, \frac{\partial}{\partial y_{2}} ∂ ∂ y 1 , ∂ ∂ y 2 の 1 次結合で表せ
(
(
U
3
+
,
φ
3
+
=
(
y
1
,
y
2
)
)
U
3
+
,
φ
3
+
=
y
1
,
y
2
((U_(3)^(+),varphi_(3)^(+)=(y_(1),y_(2))):} \left(\left(U_{3}^{+}, \varphi_{3}^{+}=\left(y_{1}, y_{2}\right)\right)\right. ( ( U 3 + , φ 3 + = ( y 1 , y 2 ) ) については問 3.1.2 を参照).
(iii) 流線
c
(
p
1
,
p
2
,
p
3
)
(
t
)
:=
ϕ
t
(
p
1
,
p
2
,
p
3
)
c
p
1
,
p
2
,
p
3
(
t
)
:=
ϕ
t
p
1
,
p
2
,
p
3
c_((p_(1),p_(2),p_(3)))(t):=phi_(t)(p_(1),p_(2),p_(3)) c_{\left(p_{1}, p_{2}, p_{3}\right)}(t):=\phi_{t}\left(p_{1}, p_{2}, p_{3}\right) c ( p 1 , p 2 , p 3 ) ( t ) := ϕ t ( p 1 , p 2 , p 3 ) の族
{
c
(
p
1
,
p
2
,
p
3
)
∣
(
p
1
,
p
2
,
p
3
)
∈
S
2
(
1
)
}
c
p
1
,
p
2
,
p
3
∣
p
1
,
p
2
,
p
3
∈
S
2
(
1
)
{c_((p_(1),p_(2),p_(3)))∣(p_(1),p_(2),p_(3))inS^(2)(1)} \left\{c_{\left(p_{1}, p_{2}, p_{3}\right)} \mid\left(p_{1}, p_{2}, p_{3}\right) \in S^{2}(1)\right\} { c ( p 1 , p 2 , p 3 ) ∣ ( p 1 , p 2 , p 3 ) ∈ S 2 ( 1 ) }
および, ベクトル場
X
X
X \boldsymbol{X} X を図示せよ.
3.8 テンソル場・微分形式
この節において,
C
∞
C
∞
C^(oo) C^{\infty} C ∞ 多様体上の
k
k
k k k 次共変テンソル場,
(
1
,
k
)
(
1
,
k
)
(1,k) (1, k) ( 1 , k ) 次テンソル 場, および,
k
k
k k k 次微分形式について述べることにする。この節では
r
≥
0
r
≥
0
r >= 0 r \geq 0 r ≥ 0 と する。
M
M
M M M を
n
n
n n n 次元
C
∞
C
∞
C^(oo) C^{\infty} C ∞ 多様体とする.
M
M
M M M の各点
p
p
p p p に対し,
T
p
M
T
p
M
T_(p)M T_{p} M T p M 上の
k
k
k k k 次共変テ ンソル
S
p
S
p
S_(p) S_{p} S p を対応させる対応
S
S
S S S を
M
M
M M M 上の
k
k
k \boldsymbol{k} k 次共変テンソル場(covariant tensor field of degree
k
k
k \boldsymbol{k} k ) という. 各局所チャート
(
U
,
φ
=
(
x
1
,
…
,
x
n
)
)
U
,
φ
=
x
1
,
…
,
x
n
(U,varphi=(x_(1),dots,x_(n))) \left(U, \varphi=\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)\right) ( U , φ = ( x 1 , … , x n ) )
(
d
x
n
)
p
)
d
x
n
p
{:(dx_(n))_(p)) \left.\left(d x_{n}\right)_{p}\right) ( d x n ) p ) はその双対基底であるので,
(
(
d
x
i
1
)
p
⊗
⋯
⊗
(
d
x
i
k
)
p
)
1
≤
i
1
,
…
,
i
k
≤
n
d
x
i
1
p
⊗
⋯
⊗
d
x
i
k
p
1
≤
i
1
,
…
,
i
k
≤
n
((dx_(i_(1)))_(p)ox cdots ox(dx_(i_(k)))_(p))_(1 <= i_(1),dots,i_(k) <= n) \left(\left(d x_{i_{1}}\right)_{p} \otimes \cdots \otimes\left(d x_{i_{k}}\right)_{p}\right)_{1 \leq i_{1}, \ldots, i_{k} \leq n} ( ( d x i 1 ) p ⊗ ⋯ ⊗ ( d x i k ) p ) 1 ≤ i 1 , … , i k ≤ n
は
T
(
0
,
k
)
(
T
p
M
)
T
(
0
,
k
)
T
p
M
T^((0,k))(T_(p)M) \mathcal{T}^{(0, k)}\left(T_{p} M\right) T ( 0 , k ) ( T p M ) の基底を与えることが示される(命題 2.2 .1 を参照). ここで,
(
d
x
i
1
)
p
⊗
⋯
⊗
(
d
x
i
k
)
p
d
x
i
1
p
⊗
⋯
⊗
d
x
i
k
p
(dx_(i_(1)))_(p)ox cdots ox(dx_(i_(k)))_(p) \left(d x_{i_{1}}\right)_{p} \otimes \cdots \otimes\left(d x_{i_{k}}\right)_{p} ( d x i 1 ) p ⊗ ⋯ ⊗ ( d x i k ) p は,
(
d
x
i
1
)
p
⊗
⋯
⊗
(
d
x
i
k
)
p
(
v
1
,
…
,
v
k
)
=
(
d
x
i
1
)
p
(
v
1
)
⋯
⋯
(
d
x
i
k
)
p
(
v
k
)
(
v
1
,
…
,
v
k
∈
T
p
M
)
d
x
i
1
p
⊗
⋯
⊗
d
x
i
k
p
v
1
,
…
,
v
k
=
d
x
i
1
p
v
1
⋯
⋯
d
x
i
k
p
v
k
v
1
,
…
,
v
k
∈
T
p
M
{:[(dx_(i_(1)))_(p)ox cdots ox(dx_(i_(k)))_(p)(v_(1),dots,v_(k))=(dx_(i_(1)))_(p)(v_(1))cdots cdots(dx_(i_(k)))_(p)(v_(k))],[(v_(1),dots,v_(k)inT_(p)M)]:} \begin{array}{r}
\left(d x_{i_{1}}\right)_{p} \otimes \cdots \otimes\left(d x_{i_{k}}\right)_{p}\left(\boldsymbol{v}_{1}, \ldots, \boldsymbol{v}_{k}\right)=\left(d x_{i_{1}}\right)_{p}\left(\boldsymbol{v}_{1}\right) \cdots \cdots\left(d x_{i_{k}}\right)_{p}\left(\boldsymbol{v}_{k}\right) \\
\left(\boldsymbol{v}_{1}, \ldots, \boldsymbol{v}_{k} \in T_{p} M\right)
\end{array} ( d x i 1 ) p ⊗ ⋯ ⊗ ( d x i k ) p ( v 1 , … , v k ) = ( d x i 1 ) p ( v 1 ) ⋯ ⋯ ( d x i k ) p ( v k ) ( v 1 , … , v k ∈ T p M )
によって定義される
T
(
0
,
k
)
(
T
p
M
)
T
(
0
,
k
)
T
p
M
T^((0,k))(T_(p)M) \mathcal{T}^{(0, k)}\left(T_{p} M\right) T ( 0 , k ) ( T p M ) の元である。 それゆえ, 各点
p
∈
U
p
∈
U
p in U p \in U p ∈ U に対し、
S
p
S
p
S_(p) S_{p} S p は
S
p
=
∑
i
1
=
1
n
⋯
∑
i
k
=
1
n
(
S
i
1
⋯
i
k
)
p
(
d
x
i
1
)
p
⊗
⋯
⊗
(
d
x
i
k
)
p
S
p
=
∑
i
1
=
1
n
⋯
∑
i
k
=
1
n
S
i
1
⋯
i
k
p
d
x
i
1
p
⊗
⋯
⊗
d
x
i
k
p
S_(p)=sum_(i_(1)=1)^(n)cdotssum_(i_(k)=1)^(n)(S_(i_(1)cdotsi_(k)))_(p)(dx_(i_(1)))_(p)ox cdots ox(dx_(i_(k)))_(p) S_{p}=\sum_{i_{1}=1}^{n} \cdots \sum_{i_{k}=1}^{n}\left(S_{i_{1} \cdots i_{k}}\right)_{p}\left(d x_{i_{1}}\right)_{p} \otimes \cdots \otimes\left(d x_{i_{k}}\right)_{p} S p = ∑ i 1 = 1 n ⋯ ∑ i k = 1 n ( S i 1 ⋯ i k ) p ( d x i 1 ) p ⊗ ⋯ ⊗ ( d x i k ) p
(
(
S
i
1
⋯
i
k
)
p
∈
R
)
S
i
1
⋯
i
k
p
∈
R
((S_(i_(1)cdotsi_(k)))_(p)inR) \left(\left(S_{i_{1} \cdots i_{k}}\right)_{p} \in \mathbb{R}\right) ( ( S i 1 ⋯ i k ) p ∈ R ) と表される。
U
U
U U U 上の関数
S
i
1
⋯
i
k
S
i
1
⋯
i
k
S_(i_(1)cdotsi_(k)) S_{i_{1} \cdots i_{k}} S i 1 ⋯ i k を
S
i
1
⋯
i
k
(
p
)
:=
(
S
i
1
⋯
i
k
)
p
(
p
∈
U
)
S
i
1
⋯
i
k
(
p
)
:=
S
i
1
⋯
i
k
p
(
p
∈
U
)
S_(i_(1)cdotsi_(k))(p):=(S_(i_(1)cdotsi_(k)))_(p)quad(p in U) S_{i_{1} \cdots i_{k}}(p):=\left(S_{i_{1} \cdots i_{k}}\right)_{p} \quad(p \in U) S i 1 ⋯ i k ( p ) := ( S i 1 ⋯ i k ) p ( p ∈ U )
によって定義する. これらの関数は,
S
S
S S S の
(
U
,
φ
)
(
U
,
φ
)
(U,varphi) (U, \varphi) ( U , φ ) に関する成分とよばれる.次の関係式が成り立つことを注意しておく:
S
i
1
⋯
i
k
(
p
)
=
S
p
(
(
∂
∂
x
i
1
)
p
,
…
,
(
∂
∂
x
i
k
)
p
)
S
i
1
⋯
i
k
(
p
)
=
S
p
∂
∂
x
i
1
p
,
…
,
∂
∂
x
i
k
p
S_(i_(1)cdotsi_(k))(p)=S_(p)(((del)/(delx_(i_(1))))_(p),dots,((del)/(delx_(i_(k))))_(p)) S_{i_{1} \cdots i_{k}}(p)=S_{p}\left(\left(\frac{\partial}{\partial x_{i_{1}}}\right)_{p}, \ldots,\left(\frac{\partial}{\partial x_{i_{k}}}\right)_{p}\right) S i 1 ⋯ i k ( p ) = S p ( ( ∂ ∂ x i 1 ) p , … , ( ∂ ∂ x i k ) p )
各局所チャート
(
U
,
φ
)
(
U
,
φ
)
(U,varphi) (U, \varphi) ( U , φ ) に対し,
S
S
S S S の
(
U
,
φ
)
(
U
,
φ
)
(U,varphi) (U, \varphi) ( U , φ ) に関する成分が
C
r
C
r
C^(r) C^{r} C r 級であるとき,
S
S
S S S は
C
r
C
r
C^(r) C^{r} C r 級であるという.
M
M
M M M の各点
p
p
p p p に対し,
T
p
M
T
p
M
T_(p)M T_{p} M T p M 上の
(
1
,
k
)
(
1
,
k
)
(1,k) (1, k) ( 1 , k ) 次テンソル
S
^
p
S
^
p
hat(S)_(p) \hat{S}_{p} S ^ p を対応させる対応
S
^
S
^
hat(S) \hat{S} S ^ を
M
M
M M M 上の
(
1
,
k
)
(
1
,
k
)
(1,k) (1, k) ( 1 , k ) 次テンソル場 (tensor field of type
(
1
,
k
)
(
1
,
k
)
(1,k) (1, k) ( 1 , k ) ) という. 各局所チャート
(
U
,
φ
=
(
x
1
,
…
,
x
n
)
)
U
,
φ
=
x
1
,
…
,
x
n
(U,varphi=(x_(1),dots,x_(n))) \left(U, \varphi=\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)\right) ( U , φ = ( x 1 , … , x n ) ) に対し.
(
(
d
x
i
1
)
p
⊗
⋯
⊗
(
d
x
i
k
)
p
⊗
(
∂
∂
x
j
)
p
)
1
≤
i
1
,
…
,
i
k
,
j
≤
n
d
x
i
1
p
⊗
⋯
⊗
d
x
i
k
p
⊗
∂
∂
x
j
p
1
≤
i
1
,
…
,
i
k
,
j
≤
n
((dx_(i_(1)))_(p)ox cdots ox(dx_(i_(k)))_(p)ox((del)/(delx_(j)))_(p))_(1 <= i_(1),dots,i_(k),j <= n) \left(\left(d x_{i_{1}}\right)_{p} \otimes \cdots \otimes\left(d x_{i_{k}}\right)_{p} \otimes\left(\frac{\partial}{\partial x_{j}}\right)_{p}\right)_{1 \leq i_{1}, \ldots, i_{k}, j \leq n} ( ( d x i 1 ) p ⊗ ⋯ ⊗ ( d x i k ) p ⊗ ( ∂ ∂ x j ) p ) 1 ≤ i 1 , … , i k , j ≤ n
は
T
(
1
,
k
)
(
T
p
M
)
T
(
1
,
k
)
T
p
M
T^((1,k))(T_(p)M) \mathcal{T}^{(1, k)}\left(T_{p} M\right) T ( 1 , k ) ( T p M ) の基底を与えることが示される(命題 2.2 .1 を参照). ここで,
(
d
x
i
1
)
p
⊗
⋯
⊗
(
d
x
i
k
)
p
⊗
(
∂
∂
x
j
)
p
d
x
i
1
p
⊗
⋯
⊗
d
x
i
k
p
⊗
∂
∂
x
j
p
(dx_(i_(1)))_(p)ox cdots ox(dx_(i_(k)))_(p)ox((del)/(delx_(j)))_(p) \left(d x_{i_{1}}\right)_{p} \otimes \cdots \otimes\left(d x_{i_{k}}\right)_{p} \otimes\left(\frac{\partial}{\partial x_{j}}\right)_{p} ( d x i 1 ) p ⊗ ⋯ ⊗ ( d x i k ) p ⊗ ( ∂ ∂ x j ) p は,
(
(
d
x
i
1
)
p
⊗
⋯
⊗
(
d
x
i
k
)
p
⊗
(
∂
∂
x
j
)
p
)
(
v
1
,
…
,
v
k
)
=
(
d
x
i
1
)
p
(
v
1
)
⋯
(
d
x
i
k
)
p
(
v
k
)
(
∂
∂
x
j
)
p
(
v
1
,
…
,
v
k
∈
T
p
M
)
d
x
i
1
p
⊗
⋯
⊗
d
x
i
k
p
⊗
∂
∂
x
j
p
v
1
,
…
,
v
k
=
d
x
i
1
p
v
1
⋯
d
x
i
k
p
v
k
∂
∂
x
j
p
v
1
,
…
,
v
k
∈
T
p
M
{:[((dx_(i_(1)))_(p)ox cdots ox(dx_(i_(k)))_(p)ox((del)/(delx_(j)))_(p))(v_(1),dots,v_(k))],[=(dx_(i_(1)))_(p)(v_(1))cdots(dx_(i_(k)))_(p)(v_(k))((del)/(delx_(j)))_(p)quad(v_(1),dots,v_(k)inT_(p)M)]:} \begin{aligned}
& \left(\left(d x_{i_{1}}\right)_{p} \otimes \cdots \otimes\left(d x_{i_{k}}\right)_{p} \otimes\left(\frac{\partial}{\partial x_{j}}\right)_{p}\right)\left(\boldsymbol{v}_{1}, \ldots, \boldsymbol{v}_{k}\right) \\
= & \left(d x_{i_{1}}\right)_{p}\left(\boldsymbol{v}_{1}\right) \cdots\left(d x_{i_{k}}\right)_{p}\left(\boldsymbol{v}_{k}\right)\left(\frac{\partial}{\partial x_{j}}\right)_{p} \quad\left(\boldsymbol{v}_{1}, \ldots, \boldsymbol{v}_{k} \in T_{p} M\right)
\end{aligned} ( ( d x i 1 ) p ⊗ ⋯ ⊗ ( d x i k ) p ⊗ ( ∂ ∂ x j ) p ) ( v 1 , … , v k ) = ( d x i 1 ) p ( v 1 ) ⋯ ( d x i k ) p ( v k ) ( ∂ ∂ x j ) p ( v 1 , … , v k ∈ T p M )
によって定義される
T
(
1
,
k
)
(
T
p
M
)
T
(
1
,
k
)
T
p
M
T^((1,k))(T_(p)M) \mathcal{T}^{(1, k)}\left(T_{p} M\right) T ( 1 , k ) ( T p M ) の元である。それゆえ, 各点
p
∈
U
p
∈
U
p in U p \in U p ∈ U に対し
S
^
p
S
^
p
hat(S)_(p) \hat{S}_{p} S ^ p は
S
^
p
=
∑
i
1
=
1
n
⋯
∑
i
k
=
1
n
∑
j
=
1
n
(
S
^
i
1
⋯
i
k
j
)
p
(
d
x
i
1
)
p
⊗
⋯
⊗
(
d
x
i
k
)
p
⊗
(
∂
∂
x
j
)
p
S
^
p
=
∑
i
1
=
1
n
⋯
∑
i
k
=
1
n
∑
j
=
1
n
S
^
i
1
⋯
i
k
j
p
d
x
i
1
p
⊗
⋯
⊗
d
x
i
k
p
⊗
∂
∂
x
j
p
hat(S)_(p)=sum_(i_(1)=1)^(n)cdotssum_(i_(k)=1)^(n)sum_(j=1)^(n)( hat(S)_(i_(1)cdotsi_(k))^(j))_(p)(dx_(i_(1)))_(p)ox cdots ox(dx_(i_(k)))_(p)ox((del)/(delx_(j)))_(p) \hat{S}_{p}=\sum_{i_{1}=1}^{n} \cdots \sum_{i_{k}=1}^{n} \sum_{j=1}^{n}\left(\hat{S}_{i_{1} \cdots i_{k}}^{j}\right)_{p}\left(d x_{i_{1}}\right)_{p} \otimes \cdots \otimes\left(d x_{i_{k}}\right)_{p} \otimes\left(\frac{\partial}{\partial x_{j}}\right)_{p} S ^ p = ∑ i 1 = 1 n ⋯ ∑ i k = 1 n ∑ j = 1 n ( S ^ i 1 ⋯ i k j ) p ( d x i 1 ) p ⊗ ⋯ ⊗ ( d x i k ) p ⊗ ( ∂ ∂ x j ) p
(
(
S
^
i
1
⋯
i
k
j
)
p
∈
R
)
S
^
i
1
⋯
i
k
j
p
∈
R
(( hat(S)_(i_(1)cdotsi_(k))^(j))_(p)inR) \left(\left(\hat{S}_{i_{1} \cdots i_{k}}^{j}\right)_{p} \in \mathbb{R}\right) ( ( S ^ i 1 ⋯ i k j ) p ∈ R ) と表される。
U
U
U U U 上の関数
S
^
i
1
⋯
i
k
j
S
^
i
1
⋯
i
k
j
hat(S)_(i_(1)cdotsi_(k))^(j) \hat{S}_{i_{1} \cdots i_{k}}^{j} S ^ i 1 ⋯ i k j を
S
^
i
1
⋯
i
k
j
(
p
)
:=
(
S
^
i
1
⋯
i
k
j
)
p
(
p
∈
U
)
S
^
i
1
⋯
i
k
j
(
p
)
:=
S
^
i
1
⋯
i
k
j
p
(
p
∈
U
)
hat(S)_(i_(1)cdotsi_(k))^(j)(p):=( hat(S)_(i_(1)cdotsi_(k))^(j))_(p)quad(p in U) \hat{S}_{i_{1} \cdots i_{k}}^{j}(p):=\left(\hat{S}_{i_{1} \cdots i_{k}}^{j}\right)_{p} \quad(p \in U) S ^ i 1 ⋯ i k j ( p ) := ( S ^ i 1 ⋯ i k j ) p ( p ∈ U )
により定義する。 これらの関数は,
S
^
S
^
hat(S) \hat{S} S ^ の
(
U
,
φ
)
(
U
,
φ
)
(U,varphi) (U, \varphi) ( U , φ ) に関する成分とよばれる。次 の関係式が成り立つことを注意しておく:
S
^
p
(
(
∂
∂
x
i
1
)
p
,
…
,
(
∂
∂
x
i
k
)
p
)
=
∑
j
=
1
n
S
^
i
1
⋯
i
k
j
(
p
)
(
∂
∂
x
j
)
p
S
^
p
∂
∂
x
i
1
p
,
…
,
∂
∂
x
i
k
p
=
∑
j
=
1
n
S
^
i
1
⋯
i
k
j
(
p
)
∂
∂
x
j
p
hat(S)_(p)(((del)/(delx_(i_(1))))_(p),dots,((del)/(delx_(i_(k))))_(p))=sum_(j=1)^(n) hat(S)_(i_(1)cdotsi_(k))^(j)(p)((del)/(delx_(j)))_(p) \hat{S}_{p}\left(\left(\frac{\partial}{\partial x_{i_{1}}}\right)_{p}, \ldots,\left(\frac{\partial}{\partial x_{i_{k}}}\right)_{p}\right)=\sum_{j=1}^{n} \hat{S}_{i_{1} \cdots i_{k}}^{j}(p)\left(\frac{\partial}{\partial x_{j}}\right)_{p} S ^ p ( ( ∂ ∂ x i 1 ) p , … , ( ∂ ∂ x i k ) p ) = ∑ j = 1 n S ^ i 1 ⋯ i k j ( p ) ( ∂ ∂ x j ) p
各局所チャート
(
U
,
φ
)
(
U
,
φ
)
(U,varphi) (U, \varphi) ( U , φ ) に対し,
S
^
S
^
hat(S) \hat{S} S ^ の
(
U
,
φ
)
(
U
,
φ
)
(U,varphi) (U, \varphi) ( U , φ ) に関する成分が
C
r
C
r
C^(r) C^{r} C r 級であるとき,
S
^
S
^
hat(S) \hat{S} S ^ は
C
r
C
r
C^(r) C^{r} C r 級であるという.
次に,
k
k
k k k 次共変テンソルバンドルを定義しよう.
T
(
0
,
k
)
(
T
M
)
:=
⨿
p
∈
M
T
(
0
,
k
)
(
T
M
)
:=
⨿
p
∈
M
T^((0,k))(TM):=⨿_(p in M) T^{(0, k)}(T M):=\underset{p \in M}{\amalg} T ( 0 , k ) ( T M ) := ⨿ p ∈ M
T
(
0
,
k
)
(
T
p
M
)
T
(
0
,
k
)
T
p
M
T^((0,k))(T_(p)M) \mathcal{T}^{(0, k)}\left(T_{p} M\right) T ( 0 , k ) ( T p M ) とし,
π
:
T
(
0
,
k
)
(
T
M
)
→
M
π
:
T
(
0
,
k
)
(
T
M
)
→
M
pi:T^((0,k))(TM)rarr M \pi: T^{(0, k)}(T M) \rightarrow M π : T ( 0 , k ) ( T M ) → M を
T
(
0
,
k
)
(
T
M
)
T
(
0
,
k
)
(
T
M
)
T^((0,k))(TM) T^{(0, k)}(T M) T ( 0 , k ) ( T M ) の各元
S
S
S S S に対し,
S
∈
T
(
0
,
k
)
(
T
p
M
)
S
∈
T
(
0
,
k
)
T
p
M
S inT^((0,k))(T_(p)M) S \in \mathcal{T}^{(0, k)}\left(T_{p} M\right) S ∈ T ( 0 , k ) ( T p M ) となる
p
p
p p p を対応させることにより定義する.
M
M
M M M の
C
∞
C
∞
C^(oo) C^{\infty} C ∞ 構造を
D
D
D \mathcal{D} D とする. 各
(
U
,
φ
=
(
x
1
,
…
,
x
n
)
)
∈
D
U
,
φ
=
x
1
,
…
,
x
n
∈
D
(U,varphi=(x_(1),dots,x_(n)))inD \left(U, \varphi=\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)\right) \in \mathcal{D} ( U , φ = ( x 1 , … , x n ) ) ∈ D に対し,
U
~
:=
π
−
1
(
U
)
U
~
:=
π
−
1
(
U
)
widetilde(U):=pi^(-1)(U) \widetilde{U}:=\pi^{-1}(U) U ~ := π − 1 ( U ) とし,ま た
φ
~
:
U
~
→
R
n
+
n
k
φ
~
:
U
~
→
R
n
+
n
k
widetilde(varphi): widetilde(U)rarrR^(n+n^(k)) \widetilde{\varphi}: \widetilde{U} \rightarrow \mathbb{R}^{n+n^{k}} φ ~ : U ~ → R n + n k を次式によって定義する:
φ
~
(
S
)
:=
(
x
1
(
π
(
S
)
)
,
…
,
x
n
(
π
(
S
)
)
,
(
S
i
1
⋯
i
k
)
1
≤
i
1
,
…
,
i
k
≤
n
)
(
S
∈
U
~
)
(
S
=
∑
1
≤
i
1
,
…
,
i
k
≤
n
S
i
1
⋯
i
k
(
d
x
i
1
)
π
(
S
)
⊗
⋯
⊗
(
d
x
i
k
)
π
(
S
)
)
φ
~
(
S
)
:=
x
1
(
π
(
S
)
)
,
…
,
x
n
(
π
(
S
)
)
,
S
i
1
⋯
i
k
1
≤
i
1
,
…
,
i
k
≤
n
(
S
∈
U
~
)
S
=
∑
1
≤
i
1
,
…
,
i
k
≤
n
S
i
1
⋯
i
k
d
x
i
1
π
(
S
)
⊗
⋯
⊗
d
x
i
k
π
(
S
)
{:[ widetilde(varphi)(S):=(x_(1)(pi(S)),dots,x_(n)(pi(S)),(S_(i_(1)cdotsi_(k)))_(1 <= i_(1),dots,i_(k) <= n))quad(S in widetilde(U))],[(S=sum_(1 <= i_(1),dots,i_(k) <= n)S_(i_(1)cdotsi_(k))(dx_(i_(1)))_(pi(S))ox cdots ox(dx_(i_(k)))_(pi(S)))]:} \begin{gathered}
\widetilde{\varphi}(S):=\left(x_{1}(\pi(S)), \ldots, x_{n}(\pi(S)),\left(S_{i_{1} \cdots i_{k}}\right)_{1 \leq i_{1}, \ldots, i_{k} \leq n}\right) \quad(S \in \widetilde{U}) \\
\left(S=\sum_{1 \leq i_{1}, \ldots, i_{k} \leq n} S_{i_{1} \cdots i_{k}}\left(d x_{i_{1}}\right)_{\pi(S)} \otimes \cdots \otimes\left(d x_{i_{k}}\right)_{\pi(S)}\right)
\end{gathered} φ ~ ( S ) := ( x 1 ( π ( S ) ) , … , x n ( π ( S ) ) , ( S i 1 ⋯ i k ) 1 ≤ i 1 , … , i k ≤ n ) ( S ∈ U ~ ) ( S = ∑ 1 ≤ i 1 , … , i k ≤ n S i 1 ⋯ i k ( d x i 1 ) π ( S ) ⊗ ⋯ ⊗ ( d x i k ) π ( S ) )
このとき
T
(
0
,
k
)
(
T
M
)
T
(
0
,
k
)
(
T
M
)
T^((0,k))(TM) T^{(0, k)}(T M) T ( 0 , k ) ( T M ) に,
U
~
U
~
widetilde(U) \widetilde{U} U ~ たちを開集合とし
φ
~
φ
~
widetilde(varphi) \widetilde{\varphi} φ ~ たちを同相写像とするよう な位相が一意的に決まり, この位相は第 2 可算公理を満たすハウスドルフ位相になる。 また,
D
~
:=
{
(
U
~
,
φ
~
)
∣
(
U
,
φ
)
∈
D
}
D
~
:=
{
(
U
~
,
φ
~
)
∣
(
U
,
φ
)
∈
D
}
widetilde(D):={( widetilde(U), widetilde(varphi))∣(U,varphi)inD} \widetilde{\mathcal{D}}:=\{(\widetilde{U}, \widetilde{\varphi}) \mid(U, \varphi) \in \mathcal{D}\} D ~ := { ( U ~ , φ ~ ) ∣ ( U , φ ) ∈ D } が,この第 2 可算公理を満たす ハウスドルフ空間
T
(
0
,
k
)
(
T
M
)
T
(
0
,
k
)
(
T
M
)
T^((0,k))(TM) T^{(0, k)}(T M) T ( 0 , k ) ( T M ) の
C
∞
C
∞
C^(oo) C^{\infty} C ∞ 構造を与えることが次のように示され る.
(
U
,
φ
=
(
x
1
,
…
,
x
n
)
)
,
(
V
,
ψ
=
(
y
1
,
…
,
y
n
)
)
U
,
φ
=
x
1
,
…
,
x
n
,
V
,
ψ
=
y
1
,
…
,
y
n
(U,varphi=(x_(1),dots,x_(n))),(V,psi=(y_(1),dots,y_(n))) \left(U, \varphi=\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)\right),\left(V, \psi=\left(y_{1}, \ldots, y_{n}\right)\right) ( U , φ = ( x 1 , … , x n ) ) , ( V , ψ = ( y 1 , … , y n ) ) を
U
∩
V
≠
∅
U
∩
V
≠
∅
U nn V!=O/ U \cap V \neq \emptyset U ∩ V ≠ ∅ となる
M
M
M M M の 局所チャートとして,
S
∈
T
(
0
,
k
)
(
T
M
)
|
U
∩
V
S
∈
T
(
0
,
k
)
(
T
M
)
U
∩
V
S inT^((0,k))(TM)|_(U nn V) \left.S \in T^{(0, k)}(T M)\right|_{U \cap V} S ∈ T ( 0 , k ) ( T M ) | U ∩ V の
(
U
,
φ
)
,
(
V
,
ψ
)
(
U
,
φ
)
,
(
V
,
ψ
)
(U,varphi),(V,psi) (U, \varphi),(V, \psi) ( U , φ ) , ( V , ψ ) に関する成分を 各々,
S
i
1
⋯
i
k
,
S
¯
i
1
⋯
i
k
S
i
1
⋯
i
k
,
S
¯
i
1
⋯
i
k
S_(i_(1)cdotsi_(k)), bar(S)_(i_(1)cdotsi_(k)) S_{i_{1} \cdots i_{k}}, \bar{S}_{i_{1} \cdots i_{k}} S i 1 ⋯ i k , S ¯ i 1 ⋯ i k とする。簡単のため,
p
:=
π
(
S
)
p
:=
π
(
S
)
p:=pi(S) p:=\pi(S) p := π ( S ) とおく. このとき, 変換式
(
d
x
i
)
p
=
∑
j
=
1
n
(
∂
(
x
i
∘
ψ
−
1
)
∂
y
j
)
ψ
(
p
)
(
d
y
j
)
p
d
x
i
p
=
∑
j
=
1
n
∂
x
i
∘
ψ
−
1
∂
y
j
ψ
(
p
)
d
y
j
p
(dx_(i))_(p)=sum_(j=1)^(n)((del(x_(i)@psi^(-1)))/(dely_(j)))_(psi(p))(dy_(j))_(p) \left(d x_{i}\right)_{p}=\sum_{j=1}^{n}\left(\frac{\partial\left(x_{i} \circ \psi^{-1}\right)}{\partial y_{j}}\right)_{\psi(p)}\left(d y_{j}\right)_{p} ( d x i ) p = ∑ j = 1 n ( ∂ ( x i ∘ ψ − 1 ) ∂ y j ) ψ ( p ) ( d y j ) p
を用いて,
(
d
x
i
1
)
p
⊗
⋯
⊗
(
d
x
i
k
)
p
=
∑
j
1
=
1
n
⋯
∑
j
k
=
1
n
(
∂
(
x
i
1
∘
ψ
−
1
)
∂
y
j
1
)
ψ
(
p
)
⋯
(
∂
(
x
i
k
∘
ψ
−
1
)
∂
y
j
k
)
ψ
(
p
)
×
(
d
y
j
1
)
p
⊗
⋯
⊗
(
d
y
j
k
)
p
d
x
i
1
p
⊗
⋯
⊗
d
x
i
k
p
=
∑
j
1
=
1
n
⋯
∑
j
k
=
1
n
∂
x
i
1
∘
ψ
−
1
∂
y
j
1
ψ
(
p
)
⋯
∂
x
i
k
∘
ψ
−
1
∂
y
j
k
ψ
(
p
)
×
d
y
j
1
p
⊗
⋯
⊗
d
y
j
k
p
{:[(dx_(i_(1)))_(p)ox cdots ox(dx_(i_(k)))_(p)],[=sum_(j_(1)=1)^(n)cdotssum_(j_(k)=1)^(n)((del(x_(i_(1))@psi^(-1)))/(dely_(j_(1))))_(psi(p))cdots((del(x_(i_(k))@psi^(-1)))/(dely_(j_(k))))_(psi(p))],[xx(dy_(j_(1)))_(p)ox cdots ox(dy_(j_(k)))_(p)]:} \begin{gathered}
\left(d x_{i_{1}}\right)_{p} \otimes \cdots \otimes\left(d x_{i_{k}}\right)_{p} \\
=\sum_{j_{1}=1}^{n} \cdots \sum_{j_{k}=1}^{n}\left(\frac{\partial\left(x_{i_{1}} \circ \psi^{-1}\right)}{\partial y_{j_{1}}}\right)_{\psi(p)} \cdots\left(\frac{\partial\left(x_{i_{k}} \circ \psi^{-1}\right)}{\partial y_{j_{k}}}\right)_{\psi(p)} \\
\times\left(d y_{j_{1}}\right)_{p} \otimes \cdots \otimes\left(d y_{j_{k}}\right)_{p}
\end{gathered} ( d x i 1 ) p ⊗ ⋯ ⊗ ( d x i k ) p = ∑ j 1 = 1 n ⋯ ∑ j k = 1 n ( ∂ ( x i 1 ∘ ψ − 1 ) ∂ y j 1 ) ψ ( p ) ⋯ ( ∂ ( x i k ∘ ψ − 1 ) ∂ y j k ) ψ ( p ) × ( d y j 1 ) p ⊗ ⋯ ⊗ ( d y j k ) p
が示され, それゆえ変換式
S
¯
i
1
⋯
i
k
=
∑
j
1
=
1
n
⋯
∑
j
k
=
1
n
(
∂
(
x
j
1
∘
ψ
−
1
)
∂
y
i
1
)
ψ
(
p
)
…
(
∂
(
x
j
k
∘
ψ
−
1
)
∂
y
i
k
)
ψ
(
p
)
S
j
1
⋯
j
k
S
¯
i
1
⋯
i
k
=
∑
j
1
=
1
n
⋯
∑
j
k
=
1
n
∂
x
j
1
∘
ψ
−
1
∂
y
i
1
ψ
(
p
)
…
∂
x
j
k
∘
ψ
−
1
∂
y
i
k
ψ
(
p
)
S
j
1
⋯
j
k
bar(S)_(i_(1)cdotsi_(k))=sum_(j_(1)=1)^(n)cdotssum_(j_(k)=1)^(n)((del(x_(j_(1))@psi^(-1)))/(dely_(i_(1))))_(psi(p))dots((del(x_(j_(k))@psi^(-1)))/(dely_(i_(k))))_(psi(p))S_(j_(1)cdotsj_(k)) \bar{S}_{i_{1} \cdots i_{k}}=\sum_{j_{1}=1}^{n} \cdots \sum_{j_{k}=1}^{n}\left(\frac{\partial\left(x_{j_{1}} \circ \psi^{-1}\right)}{\partial y_{i_{1}}}\right)_{\psi(p)} \ldots\left(\frac{\partial\left(x_{j_{k}} \circ \psi^{-1}\right)}{\partial y_{i_{k}}}\right)_{\psi(p)} S_{j_{1} \cdots j_{k}} S ¯ i 1 ⋯ i k = ∑ j 1 = 1 n ⋯ ∑ j k = 1 n ( ∂ ( x j 1 ∘ ψ − 1 ) ∂ y i 1 ) ψ ( p ) … ( ∂ ( x j k ∘ ψ − 1 ) ∂ y i k ) ψ ( p ) S j 1 ⋯ j k
あることが示される。ゆえに、
D
~
D
~
widetilde(D) \widetilde{\mathcal{D}} D ~ が
T
(
0
,
k
)
(
T
M
)
T
(
0
,
k
)
(
T
M
)
T^((0,k))(TM) T^{(0, k)}(T M) T ( 0 , k ) ( T M ) の
C
∞
C
∞
C^(oo) C^{\infty} C ∞ 構造を与えることが わかる。さらに,前節で述べた接ベクトルバンドルと同様に,局所自明化写像 の族を与えることができ,
π
:
(
T
(
0
,
k
)
M
,
D
~
)
→
(
M
,
D
)
π
:
T
(
0
,
k
)
M
,
D
~
→
(
M
,
D
)
pi:(T^((0,k))M,( widetilde(D)))rarr(M,D) \pi:\left(T^{(0, k)} M, \widetilde{\mathcal{D}}\right) \rightarrow(M, \mathcal{D}) π : ( T ( 0 , k ) M , D ~ ) → ( M , D ) が階数
n
k
n
k
n^(k) n^{k} n k の
C
∞
C
∞
C^(oo) C^{\infty} C ∞ 級実 ベクトルバンドルになることが示される。この実ベクトルバンドルは,Mの
k
k
k \boldsymbol{k} k 次共変テンソルバンドル(covariant tensor bundle of degree
k
k
k \boldsymbol{k} k ) と よばれる。明らかに,
M
M
M M M 上の
C
s
C
s
C^(s) C^{s} C s 級の
k
k
k k k 次共変テンソル場は
T
(
0
,
k
)
(
T
M
)
T
(
0
,
k
)
(
T
M
)
T^((0,k))(TM) T^{(0, k)}(T M) T ( 0 , k ) ( T M ) の
C
s
C
s
C^(s) C^{s} C s 切断とみなされる
(
0
≤
s
≤
r
)
(
0
≤
s
≤
r
)
(0 <= s <= r) (0 \leq s \leq r) ( 0 ≤ s ≤ r ) . 同様に,
M
M
M M M の
(
1
,
k
)
(
1
,
k
)
(1,k) (1, k) ( 1 , k ) 次テンソルバンド ル
π
:
T
(
1
,
k
)
(
T
M
)
→
M
π
:
T
(
1
,
k
)
(
T
M
)
→
M
pi:T^((1,k))(TM)rarr M \pi: T^{(1, k)}(T M) \rightarrow M π : T ( 1 , k ) ( T M ) → M が階数
n
k
+
1
n
k
+
1
n^(k+1) n^{k+1} n k + 1 の
C
∞
C
∞
C^(oo) C^{\infty} C ∞ 級実ベクトルバンドルとして定義され,
M
M
M M M 上の
C
s
C
s
C^(s) C^{s} C s 級の
(
1
,
k
)
(
1
,
k
)
(1,k) (1, k) ( 1 , k ) 次テンソル場は
T
(
1
,
k
)
(
T
M
)
T
(
1
,
k
)
(
T
M
)
T^((1,k))(TM) T^{(1, k)}(T M) T ( 1 , k ) ( T M ) の
C
s
C
s
C^(s) C^{s} C s 切断とみな される
(
0
≤
s
≤
r
)
(
0
≤
s
≤
r
)
(0 <= s <= r) (0 \leq s \leq r) ( 0 ≤ s ≤ r ) .
M
M
M M M 上の
k
k
k k k 次共変テンソル場
ω
ω
omega \omega ω で各
p
∈
M
p
∈
M
p in M p \in M p ∈ M に対し
ω
p
ω
p
omega_(p) \omega_{p} ω p が
k
k
k k k 次交代形式であ るようなものを
k
k
k \boldsymbol{k} k 次微分形式という。 2.2 節で述べた事実によれば,
T
p
M
T
p
M
T_(p)M T_{p} M T p M 上 の
k
k
k k k 次交代形式の全体
∧
k
(
T
p
∗
M
)
∧
k
T
p
∗
M
^^^(k)(T_(p)^(**)M) \wedge^{k}\left(T_{p}^{*} M\right) ∧ k ( T p ∗ M ) は,
T
(
0
,
k
)
(
T
p
M
)
T
(
0
,
k
)
T
p
M
T^((0,k))(T_(p)M) \mathcal{T}^{(0, k)}\left(T_{p} M\right) T ( 0 , k ) ( T p M ) の
n
C
k
n
C
k
_(n)C_(k) { }_{n} C_{k} n C k 次元部分ベクトル 空間になり,
p
p
p p p のまわりの局所チャート
(
U
,
φ
=
(
x
1
,
…
,
x
n
)
)
U
,
φ
=
x
1
,
…
,
x
n
(U,varphi=(x_(1),dots,x_(n))) \left(U, \varphi=\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)\right) ( U , φ = ( x 1 , … , x n ) ) に対し,
(
(
d
x
i
1
)
p
∧
⋯
∧
(
d
x
i
k
)
p
)
1
≤
i
1
<
⋯
<
i
k
≤
n
d
x
i
1
p
∧
⋯
∧
d
x
i
k
p
1
≤
i
1
<
⋯
<
i
k
≤
n
((dx_(i_(1)))_(p)^^cdots^^(dx_(i_(k)))_(p))_(1 <= i_(1) < cdots < i_(k) <= n) \left(\left(d x_{i_{1}}\right)_{p} \wedge \cdots \wedge\left(d x_{i_{k}}\right)_{p}\right)_{1 \leq i_{1}<\cdots<i_{k} \leq n} ( ( d x i 1 ) p ∧ ⋯ ∧ ( d x i k ) p ) 1 ≤ i 1 < ⋯ < i k ≤ n
は
∧
k
(
T
p
∗
M
)
∧
k
T
p
∗
M
^^^(k)(T_(p)^(**)M) \wedge^{k}\left(T_{p}^{*} M\right) ∧ k ( T p ∗ M ) の基底を与える.
∧
k
(
T
∗
M
)
:=
⨿
p
∈
M
∧
k
(
T
p
∗
M
)
∧
k
T
∗
M
:=
⨿
p
∈
M
∧
k
T
p
∗
M
^^^(k)(T^(**)M):=⨿_(p in M)^^^(k)(T_(p)^(**)M) \wedge^{k}\left(T^{*} M\right):=\underset{p \in M}{\amalg} \wedge^{k}\left(T_{p}^{*} M\right) ∧ k ( T ∗ M ) := ⨿ p ∈ M ∧ k ( T p ∗ M ) とし,
π
π
pi \pi π :
∧
k
(
T
∗
M
)
→
M
∧
k
T
∗
M
→
M
^^^(k)(T^(**)M)rarr M \wedge^{k}\left(T^{*} M\right) \rightarrow M ∧ k ( T ∗ M ) → M を
∧
k
(
T
∗
M
)
∧
k
T
∗
M
^^^(k)(T^(**)M) \wedge^{k}\left(T^{*} M\right) ∧ k ( T ∗ M ) の各元
ω
ω
omega \omega ω に対し,
ω
∈
∧
k
(
T
p
∗
M
)
ω
∈
∧
k
T
p
∗
M
omega in^^^(k)(T_(p)^(**)M) \omega \in \wedge^{k}\left(T_{p}^{*} M\right) ω ∈ ∧ k ( T p ∗ M ) となる
p
p
p p p を 対応させることにより定義する. 各
(
U
,
φ
=
(
x
1
,
…
,
x
n
)
)
∈
D
U
,
φ
=
x
1
,
…
,
x
n
∈
D
(U,varphi=(x_(1),dots,x_(n)))inD \left(U, \varphi=\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)\right) \in \mathcal{D} ( U , φ = ( x 1 , … , x n ) ) ∈ D に対し,
U
~
:=
U
~
:=
widetilde(U):= \widetilde{U}:= U ~ :=
π
−
1
(
U
)
π
−
1
(
U
)
pi^(-1)(U) \pi^{-1}(U) π − 1 ( U ) とし, また,
φ
~
:
U
~
→
R
n
+
n
C
k
φ
~
:
U
~
→
R
n
+
n
C
k
widetilde(varphi): widetilde(U)rarrR^(n+_(n)C_(k)) \widetilde{\varphi}: \widetilde{U} \rightarrow \mathbb{R}^{n+{ }_{n} C_{k}} φ ~ : U ~ → R n + n C k を
φ
~
(
ω
)
:=
(
x
1
(
π
(
ω
)
)
,
…
,
x
n
(
π
(
ω
)
)
,
(
ω
i
1
,
…
,
i
k
)
1
≤
i
1
<
…
<
i
k
≤
n
)
(
ω
∈
U
~
)
(
ω
=
∑
1
≤
i
1
<
⋯
<
i
k
≤
n
ω
i
1
,
…
,
i
k
(
d
x
i
1
)
π
(
ω
)
∧
⋯
∧
(
d
x
i
k
)
π
(
ω
)
)
φ
~
(
ω
)
:=
x
1
(
π
(
ω
)
)
,
…
,
x
n
(
π
(
ω
)
)
,
ω
i
1
,
…
,
i
k
1
≤
i
1
<
…
<
i
k
≤
n
(
ω
∈
U
~
)
ω
=
∑
1
≤
i
1
<
⋯
<
i
k
≤
n
ω
i
1
,
…
,
i
k
d
x
i
1
π
(
ω
)
∧
⋯
∧
d
x
i
k
π
(
ω
)
{:[ widetilde(varphi)(omega):=(x_(1)(pi(omega)),dots,x_(n)(pi(omega)),(omega_(i_(1),dots,i_(k)))_(1 <= i_(1) < dots < i_(k) <= n))quad(omega in widetilde(U))],[(omega=sum_(1 <= i_(1) < cdots < i_(k) <= n)omega_(i_(1),dots,i_(k))(dx_(i_(1)))_(pi(omega))^^cdots^^(dx_(i_(k)))_(pi(omega)))]:} \begin{gathered}
\widetilde{\varphi}(\omega):=\left(x_{1}(\pi(\omega)), \ldots, x_{n}(\pi(\omega)),\left(\omega_{i_{1}, \ldots, i_{k}}\right)_{1 \leq i_{1}<\ldots<i_{k} \leq n}\right) \quad(\omega \in \widetilde{U}) \\
\left(\omega=\sum_{1 \leq i_{1}<\cdots<i_{k} \leq n} \omega_{i_{1}, \ldots, i_{k}}\left(d x_{i_{1}}\right)_{\pi(\omega)} \wedge \cdots \wedge\left(d x_{i_{k}}\right)_{\pi(\omega)}\right)
\end{gathered} φ ~ ( ω ) := ( x 1 ( π ( ω ) ) , … , x n ( π ( ω ) ) , ( ω i 1 , … , i k ) 1 ≤ i 1 < … < i k ≤ n ) ( ω ∈ U ~ ) ( ω = ∑ 1 ≤ i 1 < ⋯ < i k ≤ n ω i 1 , … , i k ( d x i 1 ) π ( ω ) ∧ ⋯ ∧ ( d x i k ) π ( ω ) )
によって定義する. このとき
∧
k
(
T
∗
M
)
∧
k
T
∗
M
^^^(k)(T^(**)M) \wedge^{k}\left(T^{*} M\right) ∧ k ( T ∗ M ) に,
U
~
U
~
widetilde(U) \widetilde{U} U ~ たちを開集合とし,
φ
~
φ
~
widetilde(varphi) \widetilde{\varphi} φ ~ たちを 同相写像とするような位相が一意的に決まり(この位相は第 2 可算公理を満 たすハウスドルフ位相になる),
D
~
:=
{
(
U
~
,
φ
~
)
∣
(
U
,
φ
)
∈
D
}
D
~
:=
{
(
U
~
,
φ
~
)
∣
(
U
,
φ
)
∈
D
}
widetilde(D):={( widetilde(U), widetilde(varphi))∣(U,varphi)inD} \widetilde{\mathcal{D}}:=\{(\widetilde{U}, \widetilde{\varphi}) \mid(U, \varphi) \in \mathcal{D}\} D ~ := { ( U ~ , φ ~ ) ∣ ( U , φ ) ∈ D } は, この第 2 可算公理を満たすハウスドルフ空間
∧
k
(
T
∗
M
)
∧
k
T
∗
M
^^^(k)(T^(**)M) \wedge^{k}\left(T^{*} M\right) ∧ k ( T ∗ M ) の
C
∞
C
∞
C^(oo) C^{\infty} C ∞ 構造を与える.また,
π
:
(
∧
k
(
T
∗
M
)
,
D
~
)
→
(
M
,
D
)
π
:
∧
k
T
∗
M
,
D
~
→
(
M
,
D
)
pi:(^^^(k)(T^(**)M),( widetilde(D)))rarr(M,D) \pi:\left(\wedge^{k}\left(T^{*} M\right), \widetilde{\mathcal{D}}\right) \rightarrow(M, \mathcal{D}) π : ( ∧ k ( T ∗ M ) , D ~ ) → ( M , D ) は, 階数
n
C
k
n
C
k
_(n)C_(k) { }_{n} C_{k} n C k の
C
∞
C
∞
C^(oo) C^{\infty} C ∞ 級実ベクトルバンドルにな ることが示される。この実ベクトルバンドルを
M
M
M M M の
k
k
k \boldsymbol{k} k 次外積バンドル(exterior product bundle of degree
k
k
k \boldsymbol{k} k ) という. 明らかに,
M
M
M M M 上の
C
s
C
s
C^(s) C^{s} C s 級の
k
k
k k k 次微分形式は
∧
k
(
T
∗
M
)
∧
k
T
∗
M
^^^(k)(T^(**)M) \wedge^{k}\left(T^{*} M\right) ∧ k ( T ∗ M ) の
C
s
C
s
C^(s) C^{s} C s 切断とみなされる
(
0
≤
s
≤
r
)
(
0
≤
s
≤
r
)
(0 <= s <= r) (0 \leq s \leq r) ( 0 ≤ s ≤ r ) .
この節の終わりに, 微分形式の引き戻しを定義しておこう.
f
f
f f f を
C
∞
C
∞
C^(oo) C^{\infty} C ∞ 多様体
M
M
M M M から
C
∞
C
∞
C^(oo) C^{\infty} C ∞ 多様体
N
N
N N N への
C
r
C
r
C^(r) C^{r} C r 写像とし,
ω
ω
omega \omega ω を
N
N
N N N 上の
C
∞
C
∞
C^(oo) C^{\infty} C ∞ 級の
k
k
k k k 次微分形式とする. このとき,
M
M
M M M 上の
k
k
k k k 次微分形式
f
∗
ω
f
∗
ω
f^(**)omega f^{*} \omega f ∗ ω を
(
f
∗
ω
)
p
(
v
1
,
…
,
v
k
)
:=
ω
f
(
p
)
(
d
f
p
(
v
1
)
,
…
,
d
f
p
(
v
k
)
)
(
p
∈
M
,
v
1
,
…
,
v
k
∈
T
p
M
)
f
∗
ω
p
v
1
,
…
,
v
k
:=
ω
f
(
p
)
d
f
p
v
1
,
…
,
d
f
p
v
k
p
∈
M
,
v
1
,
…
,
v
k
∈
T
p
M
{:[(f^(**)omega)_(p)(v_(1),dots,v_(k)):=omega_(f(p))(df_(p)(v_(1)),dots,df_(p)(v_(k)))],[(p in M,quadv_(1),dots,v_(k)inT_(p)M)]:} \begin{array}{r}
\left(f^{*} \omega\right)_{p}\left(\boldsymbol{v}_{1}, \ldots, \boldsymbol{v}_{k}\right):=\omega_{f(p)}\left(d f_{p}\left(\boldsymbol{v}_{1}\right), \ldots, d f_{p}\left(\boldsymbol{v}_{k}\right)\right) \\
\left(p \in M, \quad \boldsymbol{v}_{1}, \ldots, \boldsymbol{v}_{k} \in T_{p} M\right)
\end{array} ( f ∗ ω ) p ( v 1 , … , v k ) := ω f ( p ) ( d f p ( v 1 ) , … , d f p ( v k ) ) ( p ∈ M , v 1 , … , v k ∈ T p M )
によって定義する. これは,
M
M
M M M 上の
C
r
−
1
C
r
−
1
C^(r-1) C^{r-1} C r − 1 級の
k
k
k k k 次微分形式になることが容易に示される。
f
∗
ω
f
∗
ω
f^(**)omega f^{*} \omega f ∗ ω を
ω
ω
omega \boldsymbol{\omega} ω の
f
f
f \boldsymbol{f} f による引き戻し(the pull-back of
ω
ω
omega \boldsymbol{\omega} ω by
f
f
f \boldsymbol{f} f ) という.
3.9 多様体の向き
1.2 節において, ベクトル空間の向きを定義した. この節において, この概念を用いて
C
∞
C
∞
C^(oo) C^{\infty} C ∞ 多様体の向きを定義しよう。
M
M
M M M を
n
n
n n n 次元
C
∞
C
∞
C^(oo) C^{\infty} C ∞ 多様体とする. 1.2 節の表記に従って,
T
p
M
T
p
M
T_(p)M T_{p} M T p M の向きの全体を
O
(
T
p
M
)
O
T
p
M
O(T_(p)M) \mathcal{O}\left(T_{p} M\right) O ( T p M ) と表すことにする. 各点
p
∈
M
p
∈
M
p in M p \in M p ∈ M に対し,
O
(
T
p
M
)
O
T
p
M
O(T_(p)M) \mathcal{O}\left(T_{p} M\right) O ( T p M ) の元
O
p
O
p
O_(p) O_{p} O p を対応させる対応
O
O
O O O で, 次の条件を満た すものを
M
M
M M M の向き(orientation) とよぶ:
(
(:} \left(\right. ( 各点
p
0
∈
M
p
0
∈
M
p_(0)in M p_{0} \in M p 0 ∈ M に対し,
p
0
p
0
p_(0) p_{0} p 0 のまわりの局所チャート
(
U
,
φ
=
(
x
1
,
…
,
x
n
)
)
U
,
φ
=
x
1
,
…
,
x
n
(U,varphi=(x_(1),dots,x_(n))) \left(U, \varphi=\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)\right) ( U , φ = ( x 1 , … , x n ) ) で,
[
(
(
∂
∂
x
1
)
p
,
…
,
(
∂
∂
x
n
)
p
)
]
=
O
p
(
∀
p
∈
U
)
∂
∂
x
1
p
,
…
,
∂
∂
x
n
p
=
O
p
(
∀
p
∈
U
)
[(((del)/(delx_(1)))_(p),dots,((del)/(delx_(n)))_(p))]=O_(p)quad(AA p in U) \left[\left(\left(\frac{\partial}{\partial x_{1}}\right)_{p}, \ldots,\left(\frac{\partial}{\partial x_{n}}\right)_{p}\right)\right]=O_{p} \quad(\forall p \in U) [ ( ( ∂ ∂ x 1 ) p , … , ( ∂ ∂ x n ) p ) ] = O p ( ∀ p ∈ U )
となるようなものが存在する.
一般に,
M
M
M M M は向きを許容するとは限らない。
M
M
M M M が向きを許容するとき,
M
M
M M M は向き付け可能(orientable)であるといい,
M
M
M M M が向きを許容しないとき,
M
M
M M M は向き付け不可能(non-orientable)であるという。
M
M
M M M は向き付け可能 であるとき,
M
M
M M M と
M
M
M M M の向き
O
O
O O O の組
(
M
,
O
)
(
M
,
O
)
(M,O) (M, O) ( M , O ) を向き付けられた多様体(oriented manifold) という. 向き付けられた多様体
(
M
,
O
)
(
M
,
O
)
(M,O) (M, O) ( M , O ) に対し,
M
M
M M M の局所チャート
(
U
,
φ
=
(
x
1
,
…
,
x
n
)
)
U
,
φ
=
x
1
,
…
,
x
n
(U,varphi=(x_(1),dots,x_(n))) \left(U, \varphi=\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)\right) ( U , φ = ( x 1 , … , x n ) ) で次の条件を満たすようなものを
(
M
,
O
)
(
M
,
O
)
(M,O) (M, O) ( M , O ) の 正の局所チャート(positive local chart)という:
[
(
(
∂
∂
x
1
)
p
,
…
,
(
∂
∂
x
n
)
p
)
]
=
O
p
(
∀
p
∈
U
)
∂
∂
x
1
p
,
…
,
∂
∂
x
n
p
=
O
p
(
∀
p
∈
U
)
[(((del)/(delx_(1)))_(p),dots,((del)/(delx_(n)))_(p))]=O_(p)quad(AA p in U) \left[\left(\left(\frac{\partial}{\partial x_{1}}\right)_{p}, \ldots,\left(\frac{\partial}{\partial x_{n}}\right)_{p}\right)\right]=O_{p} \quad(\forall p \in U) [ ( ( ∂ ∂ x 1 ) p , … , ( ∂ ∂ x n ) p ) ] = O p ( ∀ p ∈ U )
命題 3.9.1
n
n
n n n 次元
C
∞
C
∞
C^(oo) C^{\infty} C ∞ 多様体
M
M
M M M が向き付け可能であることと,
M
M
M M M 上の至 る所零テンソルでない
C
∞
C
∞
C^(oo) C^{\infty} C ∞ 級の
n
n
n n n 次微分形式が存在することは,同値である.
証明
M
M
M M M 上の至る所 0 でない
C
∞
C
∞
C^(oo) C^{\infty} C ∞ 級の
n
n
n n n 次微分形式
ω
ω
omega \omega ω が存在するとする. このとき, 各点
p
∈
M
p
∈
M
p in M p \in M p ∈ M に対し,
ω
p
(
e
1
,
…
,
e
n
)
>
0
ω
p
e
1
,
…
,
e
n
>
0
omega_(p)(e_(1),dots,e_(n)) > 0 \omega_{p}\left(\boldsymbol{e}_{1}, \ldots, \boldsymbol{e}_{n}\right)>0 ω p ( e 1 , … , e n ) > 0 となる
T
p
M
T
p
M
T_(p)M T_{p} M T p M の基底
(
e
1
,
…
,
e
n
)
e
1
,
…
,
e
n
(e_(1),dots,e_(n)) \left(\boldsymbol{e}_{1}, \ldots, \boldsymbol{e}_{n}\right) ( e 1 , … , e n ) をとり,
T
p
M
T
p
M
T_(p)M T_{p} M T p M の向き
O
p
O
p
O_(p) O_{p} O p を
O
p
:=
[
(
e
1
,
…
,
e
n
)
]
O
p
:=
e
1
,
…
,
e
n
O_(p):=[(e_(1),dots,e_(n))] O_{p}:=\left[\left(\boldsymbol{e}_{1}, \ldots, \boldsymbol{e}_{n}\right)\right] O p := [ ( e 1 , … , e n ) ] によって定め る.
O
p
O
p
O_(p) O_{p} O p が well-defined であることを示そう.
ω
p
(
e
―
1
,
…
,
e
―
n
)
>
0
ω
p
e
¯
1
,
…
,
e
¯
n
>
0
omega_(p)( bar(e)_(1),dots, bar(e)_(n)) > 0 \omega_{p}\left(\overline{\boldsymbol{e}}_{1}, \ldots, \overline{\boldsymbol{e}}_{n}\right)>0 ω p ( e ― 1 , … , e ― n ) > 0 となる
T
p
M
T
p
M
T_(p)M T_{p} M T p M の基底
(
e
―
1
,
…
,
e
―
n
)
e
¯
1
,
…
,
e
¯
n
( bar(e)_(1),dots, bar(e)_(n)) \left(\overline{\boldsymbol{e}}_{1}, \ldots, \overline{\boldsymbol{e}}_{n}\right) ( e ― 1 , … , e ― n ) をもう 1 つとる。
e
―
i
=
∑
j
=
1
n
a
i
j
e
j
(
i
=
1
,
…
,
n
)
e
¯
i
=
∑
j
=
1
n
a
i
j
e
j
(
i
=
1
,
…
,
n
)
bar(e)_(i)=sum_(j=1)^(n)a_(ij)e_(j)(i=1,dots,n) \overline{\boldsymbol{e}}_{i}=\sum_{j=1}^{n} a_{i j} \boldsymbol{e}_{j}(i=1, \ldots, n) e ― i = ∑ j = 1 n a i j e j ( i = 1 , … , n ) とする。 このとき,
ω
ω
omega \omega ω の交代性を用いて,
ω
p
(
e
―
1
,
…
,
e
―
n
)
=
det
(
a
i
j
)
ω
p
(
e
1
,
…
,
e
n
)
ω
p
e
¯
1
,
…
,
e
¯
n
=
det
a
i
j
ω
p
e
1
,
…
,
e
n
omega_(p)( bar(e)_(1),dots, bar(e)_(n))=det(a_(ij))omega_(p)(e_(1),dots,e_(n)) \omega_{p}\left(\overline{\boldsymbol{e}}_{1}, \ldots, \overline{\boldsymbol{e}}_{n}\right)=\operatorname{det}\left(a_{i j}\right) \omega_{p}\left(\boldsymbol{e}_{1}, \ldots, \boldsymbol{e}_{n}\right) ω p ( e ― 1 , … , e ― n ) = det ( a i j ) ω p ( e 1 , … , e n )
が示され,それゆえ,
det
(
a
i
j
)
>
0
,
つ
ま
り
[
(
e
1
,
…
,
e
n
)
]
=
[
(
e
―
1
,
…
,
e
―
n
)
]
det
a
i
j
>
0
,
つ
ま
り
e
1
,
…
,
e
n
=
e
¯
1
,
…
,
e
¯
n
det(a_(ij)) > 0,つまり[(e_(1),dots,e_(n))]=[( bar(e)_(1),dots, bar(e)_(n))] \operatorname{det}\left(a_{i j}\right)>0 , つ ま り\left[\left(\boldsymbol{e}_{1}, \ldots, \boldsymbol{e}_{n}\right)\right]=\left[\left(\overline{\boldsymbol{e}}_{1}, \ldots, \overline{\boldsymbol{e}}_{n}\right)\right] , つ ま り det ( a i j ) > 0 , つ ま り [ ( e 1 , … , e n ) ] = [ ( e ― 1 , … , e ― n ) ] が わかる. このように,
O
p
O
p
O_(p) O_{p} O p はwell-defined である. 次に, 各点
p
∈
M
p
∈
M
p in M p \in M p ∈ M に
O
p
O
p
O_(p) O_{p} O p を 対応させる対応
O
O
O O O が
M
M
M M M の向きを与えることを示そう. 任意に,
p
0
∈
M
p
0
∈
M
p_(0)in M p_{0} \in M p 0 ∈ M をと る. さらに,
p
0
p
0
p_(0) p_{0} p 0 のまわりの局所チャート
(
U
,
φ
=
(
x
1
,
…
,
x
n
)
)
U
,
φ
=
x
1
,
…
,
x
n
(U,varphi=(x_(1),dots,x_(n))) \left(U, \varphi=\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)\right) ( U , φ = ( x 1 , … , x n ) ) を任意にとろ う.
ω
ω
omega \omega ω は至る所零テンソルでないので,
ω
(
∂
∂
x
1
,
…
,
∂
∂
x
n
)
:
U
→
R
ω
∂
∂
x
1
,
…
,
∂
∂
x
n
:
U
→
R
omega((del)/(delx_(1)),dots,(del)/(delx_(n))):U rarrR \omega\left(\frac{\partial}{\partial x_{1}}, \ldots, \frac{\partial}{\partial x_{n}}\right): U \rightarrow \mathbb{R} ω ( ∂ ∂ x 1 , … , ∂ ∂ x n ) : U → R
は零点をもたない。つまり,恒等的に正になるか,または恒等的に負になる.恒等的に正になる場合,
O
p
=
[
(
(
∂
∂
x
1
)
p
,
…
,
(
∂
∂
x
n
)
p
)
]
(
p
∈
U
)
O
p
=
∂
∂
x
1
p
,
…
,
∂
∂
x
n
p
(
p
∈
U
)
O_(p)=[(((del)/(delx_(1)))_(p),dots,((del)/(delx_(n)))_(p))]quad(p in U) O_{p}=\left[\left(\left(\frac{\partial}{\partial x_{1}}\right)_{p}, \ldots,\left(\frac{\partial}{\partial x_{n}}\right)_{p}\right)\right] \quad(p \in U) O p = [ ( ( ∂ ∂ x 1 ) p , … , ( ∂ ∂ x n ) p ) ] ( p ∈ U )
が示される。恒等的に負になる場合,
ψ
=
(
y
1
,
…
,
y
n
)
:
U
→
R
n
ψ
=
y
1
,
…
,
y
n
:
U
→
R
n
psi=(y_(1),dots,y_(n)):U rarrR^(n) \psi=\left(y_{1}, \ldots, y_{n}\right): U \rightarrow \mathbb{R}^{n} ψ = ( y 1 , … , y n ) : U → R n を
ψ
(
p
)
:=
(
−
x
1
(
p
)
,
x
2
(
p
)
,
…
,
x
n
(
p
)
)
(
p
∈
U
)
ψ
(
p
)
:=
−
x
1
(
p
)
,
x
2
(
p
)
,
…
,
x
n
(
p
)
(
p
∈
U
)
psi(p):=(-x_(1)(p),x_(2)(p),dots,x_(n)(p))quad(p in U) \psi(p):=\left(-x_{1}(p), x_{2}(p), \ldots, x_{n}(p)\right) \quad(p \in U) ψ ( p ) := ( − x 1 ( p ) , x 2 ( p ) , … , x n ( p ) ) ( p ∈ U )
によって定義すると,
(
U
,
ψ
)
(
U
,
ψ
)
(U,psi) (U, \psi) ( U , ψ ) は
M
M
M M M の局所チャートになり,
ω
(
∂
∂
y
1
,
…
,
∂
∂
y
n
)
:
U
→
R
ω
∂
∂
y
1
,
…
,
∂
∂
y
n
:
U
→
R
omega((del)/(dely_(1)),dots,(del)/(dely_(n))):U rarrR \omega\left(\frac{\partial}{\partial y_{1}}, \ldots, \frac{\partial}{\partial y_{n}}\right): U \rightarrow \mathbb{R} ω ( ∂ ∂ y 1 , … , ∂ ∂ y n ) : U → R
は恒等的に正になり, それゆえ,
O
p
=
[
(
(
∂
∂
y
1
)
p
,
…
,
(
∂
∂
y
n
)
p
)
]
(
p
∈
U
)
O
p
=
∂
∂
y
1
p
,
…
,
∂
∂
y
n
p
(
p
∈
U
)
O_(p)=[(((del)/(dely_(1)))_(p),dots,((del)/(dely_(n)))_(p))]quad(p in U) O_{p}=\left[\left(\left(\frac{\partial}{\partial y_{1}}\right)_{p}, \ldots,\left(\frac{\partial}{\partial y_{n}}\right)_{p}\right)\right] \quad(p \in U) O p = [ ( ( ∂ ∂ y 1 ) p , … , ( ∂ ∂ y n ) p ) ] ( p ∈ U )
が示される. このように, いずれの場合も,
p
0
p
0
p_(0) p_{0} p 0 のまわりの局所チャートで正 の局所チャートとよぶべきものがとれるので, 対応
O
O
O O O が
M
M
M M M の向きを与えるこ とがわかり,
M
M
M M M が向き付け可能であることが示される.
次に, 逆を示すことにする。
M
M
M M M が向き付け可能であるとし,
O
O
O O O を
M
M
M M M の向 きとする. 各点
p
∈
M
p
∈
M
p in M p \in M p ∈ M に対し,
(
O
O
(O:} \left(O\right. ( O に関して) 正の局所チャート
(
U
p
,
φ
p
=
U
p
,
φ
p
=
(U_(p),varphi_(p)=:} \left(U_{p}, \varphi_{p}=\right. ( U p , φ p =
(
x
1
p
,
…
,
x
n
p
)
)
x
1
p
,
…
,
x
n
p
{:(x_(1)^(p),dots,x_(n)^(p))) \left.\left(x_{1}^{p}, \ldots, x_{n}^{p}\right)\right) ( x 1 p , … , x n p ) ) をとる。命題 3.1 .3 により,
C
∞
C
∞
C^(oo) C^{\infty} C ∞ 級関数からなる
M
M
M M M の開被覆
{
U
p
}
p
∈
M
U
p
p
∈
M
{U_(p)}_(p in M) \left\{U_{p}\right\}_{p \in M} { U p } p ∈ M に従属する 1 の分割
{
ρ
λ
}
λ
∈
Λ
ρ
λ
λ
∈
Λ
{rho_(lambda)}_(lambda in Lambda) \left\{\rho_{\lambda}\right\}_{\lambda \in \Lambda} { ρ λ } λ ∈ Λ が存在する。また, 開被覆に従属する 1 の分割の定義より, 各
λ
∈
Λ
λ
∈
Λ
lambda in Lambda \lambda \in \Lambda λ ∈ Λ に対し
supp
ρ
λ
⊂
U
p
λ
supp
ρ
λ
⊂
U
p
λ
supprho_(lambda)subU_(p_(lambda)) \operatorname{supp} \rho_{\lambda} \subset U_{p_{\lambda}} supp ρ λ ⊂ U p λ となる
p
λ
p
λ
p_(lambda) p_{\lambda} p λ が存在する.
φ
p
λ
=
(
x
1
λ
,
…
,
x
n
λ
)
φ
p
λ
=
x
1
λ
,
…
,
x
n
λ
varphi_(p_(lambda))=(x_(1)^(lambda),dots,x_(n)^(lambda)) \varphi_{p_{\lambda}}=\left(x_{1}^{\lambda}, \ldots, x_{n}^{\lambda}\right) φ p λ = ( x 1 λ , … , x n λ ) とする。
M
M
M M M 上の
n
n
n n n 次微分形式
ω
ω
omega \omega ω を次式によって定義す る:
ω
:=
∑
λ
∈
Λ
ρ
λ
⋅
(
d
x
1
λ
∧
⋯
∧
d
x
n
λ
)
ω
:=
∑
λ
∈
Λ
ρ
λ
⋅
d
x
1
λ
∧
⋯
∧
d
x
n
λ
omega:=sum_(lambda in Lambda)rho_(lambda)*(dx_(1)^(lambda)^^cdots^^dx_(n)^(lambda)) \omega:=\sum_{\lambda \in \Lambda} \rho_{\lambda} \cdot\left(d x_{1}^{\lambda} \wedge \cdots \wedge d x_{n}^{\lambda}\right) ω := ∑ λ ∈ Λ ρ λ ⋅ ( d x 1 λ ∧ ⋯ ∧ d x n λ )
ここで,右辺の各項は
ρ
λ
⋅
(
d
x
1
λ
∧
⋯
∧
d
x
n
λ
)
ρ
λ
⋅
d
x
1
λ
∧
⋯
∧
d
x
n
λ
rho_(lambda)*(dx_(1)^(lambda)^^cdots^^dx_(n)^(lambda)) \rho_{\lambda} \cdot\left(d x_{1}^{\lambda} \wedge \cdots \wedge d x_{n}^{\lambda}\right) ρ λ ⋅ ( d x 1 λ ∧ ⋯ ∧ d x n λ ) を
U
λ
U
λ
U_(lambda) U_{\lambda} U λ の外で 0 になるように拡張 した
M
M
M M M 上の
n
n
n n n 次微分形式を表す.
ω
ω
omega \omega ω が,
C
∞
C
∞
C^(oo) C^{\infty} C ∞ 級
n
n
n n n 次微分形式であることは容
易に確かめられる.
ω
ω
omega \omega ω が至る所䨐テンソルでないことを示そう.
q
∈
M
q
∈
M
q in M q \in M q ∈ M を任意にとる.
{
supp
ρ
λ
}
λ
∈
Λ
supp
ρ
λ
λ
∈
Λ
{supprho_(lambda)}_(lambda in Lambda) \left\{\operatorname{supp} \rho_{\lambda}\right\}_{\lambda \in \Lambda} { supp ρ λ } λ ∈ Λ は局所有限なので,
{
λ
∈
Λ
∣
ρ
λ
(
q
)
≠
0
}
λ
∈
Λ
∣
ρ
λ
(
q
)
≠
0
{lambda in Lambda∣rho_(lambda)(q)!=0} \left\{\lambda \in \Lambda \mid \rho_{\lambda}(q) \neq 0\right\} { λ ∈ Λ ∣ ρ λ ( q ) ≠ 0 } は有限集合 である. この有限集合を
{
λ
1
,
…
,
λ
k
}
λ
1
,
…
,
λ
k
{lambda_(1),dots,lambda_(k)} \left\{\lambda_{1}, \ldots, \lambda_{k}\right\} { λ 1 , … , λ k } とし,
(
d
x
1
p
λ
i
∧
⋯
∧
d
x
n
p
λ
i
)
q
=
a
i
(
d
x
1
p
λ
1
∧
⋯
∧
d
x
n
p
λ
1
)
q
(
i
=
1
,
…
,
k
)
d
x
1
p
λ
i
∧
⋯
∧
d
x
n
p
λ
i
q
=
a
i
d
x
1
p
λ
1
∧
⋯
∧
d
x
n
p
λ
1
q
(
i
=
1
,
…
,
k
)
(dx_(1)^(p_(lambda_(i)))^^cdots^^dx_(n)^(p_(lambda_(i))))_(q)=a_(i)(dx_(1)^(p_(lambda_(1)))^^cdots^^dx_(n)^(p_(lambda_(1))))_(q)quad(i=1,dots,k) \left(d x_{1}^{p_{\lambda_{i}}} \wedge \cdots \wedge d x_{n}^{p_{\lambda_{i}}}\right)_{q}=a_{i}\left(d x_{1}^{p_{\lambda_{1}}} \wedge \cdots \wedge d x_{n}^{p_{\lambda_{1}}}\right)_{q} \quad(i=1, \ldots, k) ( d x 1 p λ i ∧ ⋯ ∧ d x n p λ i ) q = a i ( d x 1 p λ 1 ∧ ⋯ ∧ d x n p λ 1 ) q ( i = 1 , … , k )
とする.
(
U
p
λ
i
,
φ
p
λ
i
=
(
x
1
p
λ
i
,
…
,
x
n
p
λ
i
)
)
(
i
=
1
,
…
,
k
)
U
p
λ
i
,
φ
p
λ
i
=
x
1
p
λ
i
,
…
,
x
n
p
λ
i
(
i
=
1
,
…
,
k
)
(U_(p_(lambda_(i))),varphi_(p_(lambda_(i)))=(x_(1)^(p_(lambda_(i))),dots,x_(n)^(p_(lambda_(i)))))(i=1,dots,k) \left(U_{p_{\lambda_{i}}}, \varphi_{p_{\lambda_{i}}}=\left(x_{1}^{p_{\lambda_{i}}}, \ldots, x_{n}^{p_{\lambda_{i}}}\right)\right)(i=1, \ldots, k) ( U p λ i , φ p λ i = ( x 1 p λ i , … , x n p λ i ) ) ( i = 1 , … , k ) は正の局所チャートな ので,
a
i
>
0
a
i
>
0
a_(i) > 0 a_{i}>0 a i > 0 であることがわかる.
ω
q
=
∑
i
=
1
k
ρ
λ
i
(
q
)
⋅
(
d
x
1
p
λ
i
∧
⋯
∧
d
x
n
p
λ
i
)
q
=
(
∑
i
=
1
k
ρ
λ
i
(
q
)
a
i
)
⋅
(
d
x
1
p
λ
1
∧
⋯
∧
d
x
n
p
λ
1
)
q
ω
q
=
∑
i
=
1
k
ρ
λ
i
(
q
)
⋅
d
x
1
p
λ
i
∧
⋯
∧
d
x
n
p
λ
i
q
=
∑
i
=
1
k
ρ
λ
i
(
q
)
a
i
⋅
d
x
1
p
λ
1
∧
⋯
∧
d
x
n
p
λ
1
q
{:[omega_(q)=sum_(i=1)^(k)rho_(lambda_(i))(q)*(dx_(1)^(p_(lambda_(i)))^^cdots^^dx_(n)^(p_(lambda_(i))))_(q)],[=(sum_(i=1)^(k)rho_(lambda_(i))(q)a_(i))*(dx_(1)^(p_(lambda_(1)))^^cdots^^dx_(n)^(p_(lambda_(1))))_(q)]:} \begin{aligned}
\omega_{q} & =\sum_{i=1}^{k} \rho_{\lambda_{i}}(q) \cdot\left(d x_{1}^{p_{\lambda_{i}}} \wedge \cdots \wedge d x_{n}^{p_{\lambda_{i}}}\right)_{q} \\
& =\left(\sum_{i=1}^{k} \rho_{\lambda_{i}}(q) a_{i}\right) \cdot\left(d x_{1}^{p_{\lambda_{1}}} \wedge \cdots \wedge d x_{n}^{p_{\lambda_{1}}}\right)_{q}
\end{aligned} ω q = ∑ i = 1 k ρ λ i ( q ) ⋅ ( d x 1 p λ i ∧ ⋯ ∧ d x n p λ i ) q = ( ∑ i = 1 k ρ λ i ( q ) a i ) ⋅ ( d x 1 p λ 1 ∧ ⋯ ∧ d x n p λ 1 ) q
となり, かつ
∑
i
=
1
k
ρ
λ
i
(
q
)
a
i
>
0
∑
i
=
1
k
ρ
λ
i
(
q
)
a
i
>
0
sum_(i=1)^(k)rho_(lambda_(i))(q)a_(i) > 0 \sum_{i=1}^{k} \rho_{\lambda_{i}}(q) a_{i}>0 ∑ i = 1 k ρ λ i ( q ) a i > 0 が示されるので,
ω
q
≠
0
ω
q
≠
0
omega_(q)!=0 \omega_{q} \neq \mathbf{0} ω q ≠ 0 をえる. このように,
ω
ω
omega \omega ω が至る所零テンソルでない
C
∞
C
∞
C^(oo) C^{\infty} C ∞ 級の
n
n
n n n 次微分形式であることが示される.
この節の終わりに, 向き付け不可能な
C
∞
C
∞
C^(oo) C^{\infty} C ∞ 多様体から, 向き付け可能な
C
∞
C
∞
C^(oo) C^{\infty} C ∞ 多様体を 2 重被覆空間として構成する方法を紹介しておこう.
(
M
,
D
)
(
M
,
D
)
(M,D) (M, \mathcal{D}) ( M , D ) を 向き付け不可能な
n
n
n n n 次元
C
∞
C
∞
C^(oo) C^{\infty} C ∞ 多様体とする.
O
(
M
)
O
(
M
)
O(M) \mathcal{O}(M) O ( M ) を
O
(
M
)
:=
⨿
p
∈
M
O
(
T
p
M
)
O
(
M
)
:=
⨿
p
∈
M
O
T
p
M
O(M):=⨿_(p in M)O(T_(p)M) \mathcal{O}(M):=\underset{p \in M}{\amalg} \mathcal{O}\left(T_{p} M\right) O ( M ) := ⨿ p ∈ M O ( T p M ) によって定義し,
π
:
O
(
M
)
→
M
π
:
O
(
M
)
→
M
pi:O(M)rarr M \pi: \mathcal{O}(M) \rightarrow M π : O ( M ) → M を自然な射影(つまり
π
(
O
(
T
p
M
)
)
=
{
p
}
π
O
T
p
M
=
{
p
}
pi(O(T_(p)M))={p} \pi\left(\mathcal{O}\left(T_{p} M\right)\right)=\{p\} π ( O ( T p M ) ) = { p }
(
p
∈
M
)
(
p
∈
M
)
(p in M) (p \in M) ( p ∈ M ) ) とする。明らかに,
π
π
pi \pi π は
2
:
1
2
:
1
2:1 2 : 1 : 2 : 1 の写像である。各
(
U
,
φ
=
(
x
1
,
…
U
,
φ
=
x
1
,
…
(U,varphi=(x_(1),dots:} \left(U, \varphi=\left(x_{1}, \ldots\right.\right. ( U , φ = ( x 1 , … ,
x
n
)
)
∈
D
x
n
∈
D
{:x_(n)))inD \left.\left.x_{n}\right)\right) \in \mathcal{D} x n ) ) ∈ D に対し,
U
~
φ
±
U
~
φ
±
widetilde(U)_(varphi)^(+-) \widetilde{U}_{\varphi}^{ \pm} U ~ φ ± を
U
~
φ
+
:=
{
[
(
(
∂
∂
x
1
)
p
,
…
,
(
∂
∂
x
n
)
p
)
]
|
p
∈
U
}
U
~
φ
−
:=
{
[
(
−
(
∂
∂
x
1
)
p
,
…
,
(
∂
∂
x
n
)
p
)
]
|
p
∈
U
}
U
~
φ
+
:=
∂
∂
x
1
p
,
…
,
∂
∂
x
n
p
p
∈
U
U
~
φ
−
:=
−
∂
∂
x
1
p
,
…
,
∂
∂
x
n
p
p
∈
U
{:[ widetilde(U)_(varphi)^(+):={[(((del)/(delx_(1)))_(p),dots,((del)/(delx_(n)))_(p))]|p in U}],[ widetilde(U)_(varphi)^(-):={[(-((del)/(delx_(1)))_(p),dots,((del)/(delx_(n)))_(p))]|p in U}]:} \begin{aligned}
& \widetilde{U}_{\varphi}^{+}:=\left\{\left.\left[\left(\left(\frac{\partial}{\partial x_{1}}\right)_{p}, \ldots,\left(\frac{\partial}{\partial x_{n}}\right)_{p}\right)\right] \right\rvert\, p \in U\right\} \\
& \widetilde{U}_{\varphi}^{-}:=\left\{\left.\left[\left(-\left(\frac{\partial}{\partial x_{1}}\right)_{p}, \ldots,\left(\frac{\partial}{\partial x_{n}}\right)_{p}\right)\right] \right\rvert\, p \in U\right\}
\end{aligned} U ~ φ + := { [ ( ( ∂ ∂ x 1 ) p , … , ( ∂ ∂ x n ) p ) ] | p ∈ U } U ~ φ − := { [ ( − ( ∂ ∂ x 1 ) p , … , ( ∂ ∂ x n ) p ) ] | p ∈ U }
によって定義し,
φ
~
±
:
U
~
φ
±
→
R
n
φ
~
±
:
U
~
φ
±
→
R
n
widetilde(varphi)_(+-): widetilde(U)_(varphi)^(+-)rarrR^(n) \widetilde{\varphi}_{ \pm}: \widetilde{U}_{\varphi}^{ \pm} \rightarrow \mathbb{R}^{n} φ ~ ± : U ~ φ ± → R n を,
φ
~
±
:=
(
φ
∘
π
)
|
U
~
φ
φ
~
±
:=
(
φ
∘
π
)
U
~
φ
widetilde(varphi)_(+-):=(varphi@pi)|_( widetilde(U)_(varphi)) \widetilde{\varphi}_{ \pm}:=\left.(\varphi \circ \pi)\right|_{\widetilde{U}_{\varphi}} φ ~ ± := ( φ ∘ π ) | U ~ φ によって定義する. こ のとき,
U
~
φ
+
,
U
~
φ
−
U
~
φ
+
,
U
~
φ
−
widetilde(U)_(varphi)^(+), widetilde(U)_(varphi)^(-) \widetilde{U}_{\varphi}^{+}, \widetilde{U}_{\varphi}^{-} U ~ φ + , U ~ φ − たちを開集合とし, 各
φ
~
+
,
φ
~
−
φ
~
+
,
φ
~
−
widetilde(varphi)_(+), widetilde(varphi)_(-) \widetilde{\varphi}_{+}, \widetilde{\varphi}_{-} φ ~ + , φ ~ − たちを
R
n
R
n
R^(n) \mathbb{R}^{n} R n のある開集合への 同相写像とするような
O
(
M
)
O
(
M
)
O(M) \mathcal{O}(M) O ( M ) の第 2 可算公理を満たすハウスドルフ位相
O
O
O \mathcal{O} O が 一意に定まる. さらに,
D
~
:=
{
(
U
~
φ
+
,
φ
~
+
)
∣
(
U
,
φ
)
∈
D
}
∪
{
(
U
~
φ
−
,
φ
~
−
)
∣
(
U
,
φ
)
∈
D
}
D
~
:=
U
~
φ
+
,
φ
~
+
∣
(
U
,
φ
)
∈
D
∪
U
~
φ
−
,
φ
~
−
∣
(
U
,
φ
)
∈
D
widetilde(D):={( widetilde(U)_(varphi)^(+), widetilde(varphi)_(+))∣(U,varphi)inD}uu{( widetilde(U)_(varphi)^(-), widetilde(varphi)_(-))∣(U,varphi)inD} \widetilde{\mathcal{D}}:=\left\{\left(\widetilde{U}_{\varphi}^{+}, \widetilde{\varphi}_{+}\right) \mid(U, \varphi) \in \mathcal{D}\right\} \cup\left\{\left(\widetilde{U}_{\varphi}^{-}, \widetilde{\varphi}_{-}\right) \mid(U, \varphi) \in \mathcal{D}\right\} D ~ := { ( U ~ φ + , φ ~ + ) ∣ ( U , φ ) ∈ D } ∪ { ( U ~ φ − , φ ~ − ) ∣ ( U , φ ) ∈ D }
が, このハウスドルフ空間
(
O
(
M
)
,
O
)
(
O
(
M
)
,
O
)
(O(M),O) (\mathcal{O}(M), \mathcal{O}) ( O ( M ) , O ) の
C
∞
C
∞
C^(oo) C^{\infty} C ∞ 構造を与えることが示される. また容易に,
(
O
(
M
)
,
O
~
)
(
O
(
M
)
,
O
~
)
(O(M), widetilde(O)) (\mathcal{O}(M), \widetilde{\mathcal{O}}) ( O ( M ) , O ~ ) が向き付け可能な
n
n
n n n 次元
C
∞
C
∞
C^(oo) C^{\infty} C ∞ 多様体であること,お よび,
π
:
(
O
(
M
)
,
D
~
)
→
(
M
,
D
)
π
:
(
O
(
M
)
,
D
~
)
→
(
M
,
D
)
pi:(O(M), widetilde(D))rarr(M,D) \pi:(\mathcal{O}(M), \widetilde{\mathcal{D}}) \rightarrow(M, \mathcal{D}) π : ( O ( M ) , D ~ ) → ( M , D ) が局所
C
∞
C
∞
C^(oo) C^{\infty} C ∞ 同型写像で, 2 重被覆写像である ことが示される。このように, 向き付け不可能な
C
∞
C
∞
C^(oo) C^{\infty} C ∞ 多様体から, 向き付け 可能な
C
∞
C
∞
C^(oo) C^{\infty} C ∞ 多様体を 2 重被覆空間として構成することができるのである.
3.10 ストークスの定理(微分幾何学版)
この節において, 多様体論におけるストークスの定理について述べること にする。まず, 微分形式の外微分を定義しよう。
M
M
M M M を
n
n
n n n 次元
C
∞
C
∞
C^(oo) C^{\infty} C ∞ 多様体と し,
M
M
M M M 上の
C
∞
C
∞
C^(oo) C^{\infty} C ∞ 級の
k
k
k k k 次微分形式の全体を
Ω
k
(
M
)
Ω
k
(
M
)
Omega^(k)(M) \Omega^{k}(M) Ω k ( M ) と表す
(
k
=
1
,
…
,
n
)
(
k
=
1
,
…
,
n
)
(k=1,dots,n) (k=1, \ldots, n) ( k = 1 , … , n ) . ここで,
M
M
M M M 上の
C
∞
C
∞
C^(oo) C^{\infty} C ∞ 級の 0 次微分形式は,
M
M
M M M 上の
C
∞
C
∞
C^(oo) C^{\infty} C ∞ 級関数を意味するの で,
Ω
0
(
M
)
Ω
0
(
M
)
Omega^(0)(M) \Omega^{0}(M) Ω 0 ( M ) は
C
∞
(
M
)
C
∞
(
M
)
C^(oo)(M) C^{\infty}(M) C ∞ ( M ) を意味することを注意しておく. 写像
d
0
:
Ω
0
(
M
)
→
d
0
:
Ω
0
(
M
)
→
d_(0):Omega^(0)(M)rarr d_{0}: \Omega^{0}(M) \rightarrow d 0 : Ω 0 ( M ) →
Ω
1
(
M
)
Ω
1
(
M
)
Omega^(1)(M) \Omega^{1}(M) Ω 1 ( M ) を,
(
d
0
f
)
p
=
d
f
p
(
p
∈
M
)
d
0
f
p
=
d
f
p
(
p
∈
M
)
(d_(0)f)_(p)=df_(p)(p in M) \left(d_{0} f\right)_{p}=d f_{p}(p \in M) ( d 0 f ) p = d f p ( p ∈ M ) によって定める。また, 写像
d
k
:
Ω
k
(
M
)
d
k
:
Ω
k
(
M
)
d_(k):Omega^(k)(M) d_{k}: \Omega^{k}(M) d k : Ω k ( M )
→
Ω
k
+
1
(
M
)
(
1
≤
k
≤
n
)
→
Ω
k
+
1
(
M
)
(
1
≤
k
≤
n
)
rarrOmega^(k+1)(M)(1 <= k <= n) \rightarrow \Omega^{k+1}(M)(1 \leq k \leq n) → Ω k + 1 ( M ) ( 1 ≤ k ≤ n ) を, 次のように定義する.
ω
∈
Ω
k
(
M
)
ω
∈
Ω
k
(
M
)
omega inOmega^(k)(M) \omega \in \Omega^{k}(M) ω ∈ Ω k ( M ) とする. 各局所チャート
(
U
,
φ
=
(
x
1
,
…
,
x
n
)
)
U
,
φ
=
x
1
,
…
,
x
n
(U,varphi=(x_(1),dots,x_(n))) \left(U, \varphi=\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)\right) ( U , φ = ( x 1 , … , x n ) ) に対し,
(
d
ω
)
(
U
,
φ
)
∈
Ω
k
+
1
(
U
)
(
d
ω
)
(
U
,
φ
)
∈
Ω
k
+
1
(
U
)
(d omega)_((U,varphi))inOmega^(k+1)(U) (d \omega)_{(U, \varphi)} \in \Omega^{k+1}(U) ( d ω ) ( U , φ ) ∈ Ω k + 1 ( U ) を
ω
=
∑
1
≤
i
1
<
⋯
<
i
k
≤
n
ω
i
1
⋯
i
k
d
x
i
1
∧
⋯
∧
d
x
i
k
ω
=
∑
1
≤
i
1
<
⋯
<
i
k
≤
n
ω
i
1
⋯
i
k
d
x
i
1
∧
⋯
∧
d
x
i
k
omega=sum_(1 <= i_(1) < cdots < i_(k) <= n)omega_(i_(1)cdotsi_(k))dx_(i_(1))^^cdots^^dx_(i_(k)) \omega=\sum_{1 \leq i_{1}<\cdots<i_{k} \leq n} \omega_{i_{1} \cdots i_{k}} d x_{i_{1}} \wedge \cdots \wedge d x_{i_{k}} ω = ∑ 1 ≤ i 1 < ⋯ < i k ≤ n ω i 1 ⋯ i k d x i 1 ∧ ⋯ ∧ d x i k
として,
(
d
ω
)
(
U
,
φ
)
:=
∑
1
≤
i
1
<
⋯
<
i
k
≤
n
d
(
ω
i
1
⋯
i
k
)
∧
d
x
i
1
∧
⋯
∧
d
x
i
k
(
d
ω
)
(
U
,
φ
)
:=
∑
1
≤
i
1
<
⋯
<
i
k
≤
n
d
ω
i
1
⋯
i
k
∧
d
x
i
1
∧
⋯
∧
d
x
i
k
(d omega)_((U,varphi)):=sum_(1 <= i_(1) < cdots < i_(k) <= n)d(omega_(i_(1)cdotsi_(k)))^^dx_(i_(1))^^cdots^^dx_(i_(k)) (d \omega)_{(U, \varphi)}:=\sum_{1 \leq i_{1}<\cdots<i_{k} \leq n} d\left(\omega_{i_{1} \cdots i_{k}}\right) \wedge d x_{i_{1}} \wedge \cdots \wedge d x_{i_{k}} ( d ω ) ( U , φ ) := ∑ 1 ≤ i 1 < ⋯ < i k ≤ n d ( ω i 1 ⋯ i k ) ∧ d x i 1 ∧ ⋯ ∧ d x i k
により定める. ここで,
d
(
ω
i
1
⋯
i
k
)
d
ω
i
1
⋯
i
k
d(omega_(i_(1)cdotsi_(k))) d\left(\omega_{i_{1} \cdots i_{k}}\right) d ( ω i 1 ⋯ i k ) は 1 次微分形式なので,
d
(
ω
i
1
⋯
i
k
)
∧
d
x
i
1
∧
d
ω
i
1
⋯
i
k
∧
d
x
i
1
∧
d(omega_(i_(1)cdotsi_(k)))^^dx_(i_(1))^^ d\left(\omega_{i_{1} \cdots i_{k}}\right) \wedge d x_{i_{1}} \wedge d ( ω i 1 ⋯ i k ) ∧ d x i 1 ∧
⋯
∧
d
x
i
k
⋯
∧
d
x
i
k
cdots^^dx_(i_(k)) \cdots \wedge d x_{i_{k}} ⋯ ∧ d x i k が
d
x
i
1
∧
⋯
∧
d
x
i
k
d
x
i
1
∧
⋯
∧
d
x
i
k
dx_(i_(1))^^cdots^^dx_(i_(k)) d x_{i_{1}} \wedge \cdots \wedge d x_{i_{k}} d x i 1 ∧ ⋯ ∧ d x i k と同様に定義されることを注意しておく.
U
∩
V
≠
U
∩
V
≠
U nn V!= U \cap V \neq U ∩ V ≠
∅
∅
O/ \emptyset ∅ となるもう 1 つの局所チャート
(
V
,
ψ
=
(
y
1
,
…
,
y
n
)
)
V
,
ψ
=
y
1
,
…
,
y
n
(V,psi=(y_(1),dots,y_(n))) \left(V, \psi=\left(y_{1}, \ldots, y_{n}\right)\right) ( V , ψ = ( y 1 , … , y n ) ) をとり,
d
ω
(
V
,
ψ
)
d
ω
(
V
,
ψ
)
domega_((V,psi)) d \omega_{(V, \psi)} d ω ( V , ψ ) を
ω
=
∑
1
≤
i
1
<
⋯
<
i
k
≤
n
ω
¯
i
1
⋯
i
k
d
y
i
1
∧
⋯
∧
d
y
i
k
ω
=
∑
1
≤
i
1
<
⋯
<
i
k
≤
n
ω
¯
i
1
⋯
i
k
d
y
i
1
∧
⋯
∧
d
y
i
k
omega=sum_(1 <= i_(1) < cdots < i_(k) <= n) bar(omega)_(i_(1)cdotsi_(k))dy_(i_(1))^^cdots^^dy_(i_(k)) \omega=\sum_{1 \leq i_{1}<\cdots<i_{k} \leq n} \bar{\omega}_{i_{1} \cdots i_{k}} d y_{i_{1}} \wedge \cdots \wedge d y_{i_{k}} ω = ∑ 1 ≤ i 1 < ⋯ < i k ≤ n ω ¯ i 1 ⋯ i k d y i 1 ∧ ⋯ ∧ d y i k
として,
(
d
ω
)
(
V
,
ψ
)
:=
∑
1
≤
i
1
<
⋯
<
i
k
≤
n
d
(
ω
¯
i
1
⋯
i
k
)
∧
d
y
i
1
∧
⋯
∧
d
y
i
k
(
d
ω
)
(
V
,
ψ
)
:=
∑
1
≤
i
1
<
⋯
<
i
k
≤
n
d
ω
¯
i
1
⋯
i
k
∧
d
y
i
1
∧
⋯
∧
d
y
i
k
(d omega)_((V,psi)):=sum_(1 <= i_(1) < cdots < i_(k) <= n)d( bar(omega)_(i_(1)cdotsi_(k)))^^dy_(i_(1))^^cdots^^dy_(i_(k)) (d \omega)_{(V, \psi)}:=\sum_{1 \leq i_{1}<\cdots<i_{k} \leq n} d\left(\bar{\omega}_{i_{1} \cdots i_{k}}\right) \wedge d y_{i_{1}} \wedge \cdots \wedge d y_{i_{k}} ( d ω ) ( V , ψ ) := ∑ 1 ≤ i 1 < ⋯ < i k ≤ n d ( ω ¯ i 1 ⋯ i k ) ∧ d y i 1 ∧ ⋯ ∧ d y i k
により定める. このとき,
U
∩
V
U
∩
V
U nn V U \cap V U ∩ V 上で
(
d
ω
)
(
U
,
φ
)
=
(
d
ω
)
(
V
,
ψ
)
(
d
ω
)
(
U
,
φ
)
=
(
d
ω
)
(
V
,
ψ
)
(d omega)_((U,varphi))=(d omega)_((V,psi)) (d \omega)_{(U, \varphi)}=(d \omega)_{(V, \psi)} ( d ω ) ( U , φ ) = ( d ω ) ( V , ψ ) が成り立つこと
が次のように示される.
(
d
x
i
)
p
=
∑
j
=
1
n
(
∂
(
x
i
∘
ψ
−
1
)
∂
y
j
)
ψ
(
p
)
(
d
y
j
)
p
d
x
i
p
=
∑
j
=
1
n
∂
x
i
∘
ψ
−
1
∂
y
j
ψ
(
p
)
d
y
j
p
(dx_(i))_(p)=sum_(j=1)^(n)((del(x_(i)@psi^(-1)))/(dely_(j)))_(psi(p))(dy_(j))_(p) \left(d x_{i}\right)_{p}=\sum_{j=1}^{n}\left(\frac{\partial\left(x_{i} \circ \psi^{-1}\right)}{\partial y_{j}}\right)_{\psi(p)}\left(d y_{j}\right)_{p} ( d x i ) p = ∑ j = 1 n ( ∂ ( x i ∘ ψ − 1 ) ∂ y j ) ψ ( p ) ( d y j ) p , および,
(
d
x
i
σ
(
1
)
)
p
∧
⋯
∧
(
d
x
i
σ
(
k
)
)
p
=
sgn
(
σ
)
⋅
(
d
x
i
1
)
p
∧
⋯
∧
(
d
x
i
k
)
p
d
x
i
σ
(
1
)
p
∧
⋯
∧
d
x
i
σ
(
k
)
p
=
sgn
(
σ
)
⋅
d
x
i
1
p
∧
⋯
∧
d
x
i
k
p
(dx_(i_(sigma(1))))_(p)^^cdots^^(dx_(i_(sigma(k))))_(p)=sgn(sigma)*(dx_(i_(1)))_(p)^^cdots^^(dx_(i_(k)))_(p) \left(d x_{i_{\sigma(1)}}\right)_{p} \wedge \cdots \wedge\left(d x_{i_{\sigma(k)}}\right)_{p}=\operatorname{sgn}(\sigma) \cdot\left(d x_{i_{1}}\right)_{p} \wedge \cdots \wedge\left(d x_{i_{k}}\right)_{p} ( d x i σ ( 1 ) ) p ∧ ⋯ ∧ ( d x i σ ( k ) ) p = sgn ( σ ) ⋅ ( d x i 1 ) p ∧ ⋯ ∧ ( d x i k ) p
(
σ
:
k
(
σ
:
k
(sigma:k ( \sigma: k ( ( σ : k 文字の置換)を用いて,
ω
i
1
⋯
i
k
,
ω
¯
i
1
⋯
i
k
ω
i
1
⋯
i
k
,
ω
¯
i
1
⋯
i
k
omega_(i_(1)cdotsi_(k)), bar(omega)_(i_(1)cdotsi_(k)) \omega_{i_{1} \cdots i_{k}}, \bar{\omega}_{i_{1} \cdots i_{k}} ω i 1 ⋯ i k , ω ¯ i 1 ⋯ i k の間の関係式(少し複雑)が 導出される。その関係式を用いて,
U
∩
V
U
∩
V
U nn V U \cap V U ∩ V 上で
(
d
ω
)
(
U
,
φ
)
=
(
d
ω
)
(
V
,
ψ
)
(
d
ω
)
(
U
,
φ
)
=
(
d
ω
)
(
V
,
ψ
)
(d omega)_((U,varphi))=(d omega)_((V,psi)) (d \omega)_{(U, \varphi)}=(d \omega)_{(V, \psi)} ( d ω ) ( U , φ ) = ( d ω ) ( V , ψ ) が成 り立つことが示される. したがって,
d
ω
(
U
,
φ
)
(
(
U
,
φ
)
∈
D
)
d
ω
(
U
,
φ
)
(
(
U
,
φ
)
∈
D
)
domega_((U,varphi))((U,varphi)inD) d \omega_{(U, \varphi)}((U, \varphi) \in \mathcal{D}) d ω ( U , φ ) ( ( U , φ ) ∈ D ) らを貼り合わせ て
M
M
M M M 上の
C
∞
C
∞
C^(oo) C^{\infty} C ∞ 級
(
k
+
1
)
(
k
+
1
)
(k+1) (k+1) ( k + 1 ) 次微分形式がえられる. この
C
∞
C
∞
C^(oo) C^{\infty} C ∞ 級
(
k
+
1
)
(
k
+
1
)
(k+1) (k+1) ( k + 1 ) 次微分形式を
d
k
ω
d
k
ω
d_(k)omega d_{k} \omega d k ω と表し,
ω
ω
omega \omega ω の外微分という。各
C
∞
C
∞
C^(oo) C^{\infty} C ∞ 級
k
k
k k k 次微分形式
ω
ω
omega \omega ω に対し, こ の
C
∞
C
∞
C^(oo) C^{\infty} C ∞ 級
(
k
+
1
)
(
k
+
1
)
(k+1) (k+1) ( k + 1 ) 次微分形式
d
k
ω
d
k
ω
d_(k)omega d_{k} \omega d k ω を対応させることにより定まる
Ω
k
(
M
)
Ω
k
(
M
)
Omega^(k)(M) \Omega^{k}(M) Ω k ( M ) から
Ω
k
+
1
(
M
)
Ω
k
+
1
(
M
)
Omega^(k+1)(M) \Omega^{k+1}(M) Ω k + 1 ( M ) への写像を
d
k
d
k
d_(k) d_{k} d k と表す.
d
k
:
Ω
k
(
M
)
→
Ω
k
+
1
(
M
)
(
k
=
0
,
…
,
n
)
d
k
:
Ω
k
(
M
)
→
Ω
k
+
1
(
M
)
(
k
=
0
,
…
,
n
)
d_(k):Omega^(k)(M)rarrOmega^(k+1)(M)(k=0,dots,n) d_{k}: \Omega^{k}(M) \rightarrow \Omega^{k+1}(M)(k=0, \ldots, n) d k : Ω k ( M ) → Ω k + 1 ( M ) ( k = 0 , … , n ) た ちを外微分作用素(exterior differential operator)という。以下, 簡単 のため, 外微分作用素
d
k
d
k
d_(k) d_{k} d k を
d
d
d d d と略記することにする.
注意一般に,
M
M
M M M 上の
C
1
C
1
C^(1) C^{1} C 1 級の
k
k
k k k 次微分形式
ω
ω
omega \omega ω に対し,
d
k
ω
d
k
ω
d_(k)omega d_{k} \omega d k ω は上述のように定義される。
次に, 微分形式の積分を定義しよう.
(
M
,
O
)
(
M
,
O
)
(M,O) (M, O) ( M , O ) を向き付けられた
n
n
n n n 次元
C
∞
C
∞
C^(oo) C^{\infty} C ∞ 多様体とする。
ω
ω
omega \omega ω を
M
M
M M M 上の
C
0
C
0
C^(0) C^{0} C 0 級の
n
n
n n n 次微分形式で,
supp
ω
(
:=
{
p
∈
M
∣
ω
p
≠
0
}
―
)
supp
ω
:=
p
∈
M
∣
ω
p
≠
0
¯
supp omega(:= bar({p in M∣omega_(p)!=0})) \operatorname{supp} \omega\left(:=\overline{\left\{p \in M \mid \omega_{p} \neq 0\right\}}\right) supp ω ( := { p ∈ M ∣ ω p ≠ 0 } ― )
がコンパクトであるようなものとする。Mの正の局所チャートからなる高々可算族
{
(
U
λ
,
φ
λ
=
(
x
1
λ
,
…
,
x
n
λ
)
)
∣
λ
∈
Λ
}
U
λ
,
φ
λ
=
x
1
λ
,
…
,
x
n
λ
∣
λ
∈
Λ
{(U_(lambda),varphi_(lambda)=(x_(1)^(lambda),dots,x_(n)^(lambda)))∣lambda in Lambda} \left\{\left(U_{\lambda}, \varphi_{\lambda}=\left(x_{1}^{\lambda}, \ldots, x_{n}^{\lambda}\right)\right) \mid \lambda \in \Lambda\right\} { ( U λ , φ λ = ( x 1 λ , … , x n λ ) ) ∣ λ ∈ Λ }
で
{
U
λ
}
λ
∈
Λ
U
λ
λ
∈
Λ
{U_(lambda)}_(lambda in Lambda) \left\{U_{\lambda}\right\}_{\lambda \in \Lambda} { U λ } λ ∈ Λ が
M
M
M M M の開被覆であるようなものと,
{
U
λ
}
λ
∈
Λ
U
λ
λ
∈
Λ
{U_(lambda)}_(lambda in Lambda) \left\{U_{\lambda}\right\}_{\lambda \in \Lambda} { U λ } λ ∈ Λ に従属する 1 の分解
{
ρ
i
}
i
∈
I
ρ
i
i
∈
I
{rho_(i)}_(i inI) \left\{\rho_{i}\right\}_{i \in \mathcal{I}} { ρ i } i ∈ I をとる.
supp
ρ
i
⊂
U
λ
i
(
i
∈
I
)
supp
ρ
i
⊂
U
λ
i
(
i
∈
I
)
supprho_(i)subU_(lambda_(i))(i inI) \operatorname{supp} \rho_{i} \subset U_{\lambda_{i}}(i \in \mathcal{I}) supp ρ i ⊂ U λ i ( i ∈ I ) となる
Λ
Λ
Lambda \Lambda Λ の部分族
{
λ
i
}
i
∈
I
λ
i
i
∈
I
{lambda_(i)}_(i inI) \left\{\lambda_{i}\right\}_{i \in \mathcal{I}} { λ i } i ∈ I をとっ ておこう. これらを用いて,
∫
M
ω
を
∫
M
ω
を
int_(M)omegaを \int_{M} \omega を を ∫ M ω を
∫
M
ω
:=
∑
i
∈
I
∫
⋯
∫
φ
λ
i
(
U
λ
i
)
(
(
ρ
i
ω
λ
i
)
∘
φ
λ
i
−
1
)
d
x
1
⋯
d
x
n
∫
M
ω
:=
∑
i
∈
I
∫
⋯
∫
φ
λ
i
U
λ
i
ρ
i
ω
λ
i
∘
φ
λ
i
−
1
d
x
1
⋯
d
x
n
int_(M)omega:=sum_(i inI)int cdotsint_(varphi_(lambda_(i))(U_(lambda_(i))))((rho_(i)omega_(lambda_(i)))@varphi_(lambda_(i))^(-1))dx_(1)cdots dx_(n) \int_{M} \omega:=\sum_{i \in \mathcal{I}} \int \cdots \int_{\varphi_{\lambda_{i}}\left(U_{\lambda_{i}}\right)}\left(\left(\rho_{i} \omega_{\lambda_{i}}\right) \circ \varphi_{\lambda_{i}}^{-1}\right) d x_{1} \cdots d x_{n} ∫ M ω := ∑ i ∈ I ∫ ⋯ ∫ φ λ i ( U λ i ) ( ( ρ i ω λ i ) ∘ φ λ i − 1 ) d x 1 ⋯ d x n
によって定義する. ただし
ω
λ
i
ω
λ
i
omega_(lambda_(i)) \omega_{\lambda_{i}} ω λ i は,
ω
|
U
λ
i
=
ω
λ
i
d
x
1
λ
i
∧
⋯
∧
d
x
n
λ
i
ω
U
λ
i
=
ω
λ
i
d
x
1
λ
i
∧
⋯
∧
d
x
n
λ
i
omega|_(U_(lambda_(i)))=omega_(lambda_(i))dx_(1)^(lambda_(i))^^cdots^^dx_(n)^(lambda_(i)) \left.\omega\right|_{U_{\lambda_{i}}}=\omega_{\lambda_{i}} d x_{1}^{\lambda_{i}} \wedge \cdots \wedge d x_{n}^{\lambda_{i}} ω | U λ i = ω λ i d x 1 λ i ∧ ⋯ ∧ d x n λ i によって定
義される
U
λ
i
U
λ
i
U_(lambda_(i)) U_{\lambda_{i}} U λ i 上の関数を表し,右辺の積分は
n
n
n n n 重積分を表す. この定義式の 右辺の値は,
{
(
U
λ
,
φ
λ
)
∣
λ
∈
Λ
}
U
λ
,
φ
λ
∣
λ
∈
Λ
{(U_(lambda),varphi_(lambda))∣lambda in Lambda} \left\{\left(U_{\lambda}, \varphi_{\lambda}\right) \mid \lambda \in \Lambda\right\} { ( U λ , φ λ ) ∣ λ ∈ Λ } , および
{
ρ
i
}
i
∈
I
ρ
i
i
∈
I
{rho_(i)}_(i inI) \left\{\rho_{i}\right\}_{i \in \mathcal{I}} { ρ i } i ∈ I のとり方によらないことが 示される. この量
∫
M
ω
∫
M
ω
int_(M)omega \int_{M} \omega ∫ M ω を
ω
ω
omega \omega ω の
M
M
M M M 上の積分(the integral of
ω
ω
omega \omega ω over
M
M
M M M ) という.
D
D
D D D を
M
M
M M M のコンパクト閉領域とし,
ω
ω
omega \omega ω を
M
M
M M M 上の
C
0
C
0
C^(0) C^{0} C 0 級
n
n
n n n 次微分形式とする.
{
(
U
λ
,
φ
λ
=
(
x
1
λ
,
…
,
x
n
λ
)
)
∣
λ
∈
Λ
}
,
{
ρ
i
}
i
∈
I
U
λ
,
φ
λ
=
x
1
λ
,
…
,
x
n
λ
∣
λ
∈
Λ
,
ρ
i
i
∈
I
{(U_(lambda),varphi_(lambda)=(x_(1)^(lambda),dots,x_(n)^(lambda)))∣lambda in Lambda},quad{rho_(i)}_(i inI) \left\{\left(U_{\lambda}, \varphi_{\lambda}=\left(x_{1}^{\lambda}, \ldots, x_{n}^{\lambda}\right)\right) \mid \lambda \in \Lambda\right\}, \quad\left\{\rho_{i}\right\}_{i \in \mathcal{I}} { ( U λ , φ λ = ( x 1 λ , … , x n λ ) ) ∣ λ ∈ Λ } , { ρ i } i ∈ I , および
Λ
Λ
Lambda \Lambda Λ の部分族
{
λ
i
}
i
∈
I
λ
i
i
∈
I
{lambda_(i)}_(i inI) \left\{\lambda_{i}\right\}_{i \in \mathcal{I}} { λ i } i ∈ I を上述のようにとる。これらを用いて,
∫
D
ω
を
∫
D
ω
を
int_(D)omegaを \int_{D} \omega を を ∫ D ω を
∫
D
ω
:=
∑
i
∈
I
∫
φ
λ
i
(
U
λ
i
∩
D
)
(
(
ρ
i
ω
λ
i
)
∘
φ
λ
i
−
1
)
d
x
1
⋯
d
x
n
∫
D
ω
:=
∑
i
∈
I
∫
φ
λ
i
U
λ
i
∩
D
ρ
i
ω
λ
i
∘
φ
λ
i
−
1
d
x
1
⋯
d
x
n
int_(D)omega:=sum_(i inI)int_(varphi_(lambda_(i))(U_(lambda_(i))nn D))((rho_(i)omega_(lambda_(i)))@varphi_(lambda_(i))^(-1))dx_(1)cdots dx_(n) \int_{D} \omega:=\sum_{i \in \mathcal{I}} \int_{\varphi_{\lambda_{i}}\left(U_{\lambda_{i}} \cap D\right)}\left(\left(\rho_{i} \omega_{\lambda_{i}}\right) \circ \varphi_{\lambda_{i}}^{-1}\right) d x_{1} \cdots d x_{n} ∫ D ω := ∑ i ∈ I ∫ φ λ i ( U λ i ∩ D ) ( ( ρ i ω λ i ) ∘ φ λ i − 1 ) d x 1 ⋯ d x n
によって定める。ただし,
ω
λ
i
ω
λ
i
omega_(lambda_(i)) \omega_{\lambda_{i}} ω λ i は上述のようなものとする.
1.9 節において, ユークリッド空間内の区分的に
C
r
C
r
C^(r) C^{r} C r 級の境界をもつ有界閉領域, および区分的に
C
r
C
r
C^(r) C^{r} C r 級の超曲面という概念を定義した。 ここで, 有界閉領域はコンパクト閉領域を意味することに注意する。
C
∞
C
∞
C^(oo) C^{\infty} C ∞ 多様体は局所的にユークリッド空間なので, 一般の
C
∞
C
∞
C^(oo) C^{\infty} C ∞ 多様体内でも全く同様に, 区分的 に
C
r
C
r
C^(r) C^{r} C r 級の境界をもつコンパクト閉領域, および区分的に
C
r
C
r
C^(r) C^{r} C r 級の超曲面と いう概念を定義することができる。ここで, ユークリッド空間は距離構造を もつため, 領域の有界性が定義されるが, 一般の
C
∞
C
∞
C^(oo) C^{\infty} C ∞ 多様体は距離構造をも たないため, “有界”ではなく“コンパクト”という言葉を用いなければなら ないことを注意しておく。以下, この節では
r
≥
2
r
≥
2
r >= 2 r \geq 2 r ≥ 2 とする。
D
D
D D D と
(
M
,
O
)
(
M
,
O
)
(M,O) (M, O) ( M , O ) の 区分的に
C
r
C
r
C^(r) C^{r} C r 級の境界をもつコンパクト閉領域とする。
N
p
N
p
N_(p) \boldsymbol{N}_{p} N p を
∂
D
∂
D
del D \partial D ∂ D の外側向き の
T
p
M
∖
T
p
(
∂
D
)
T
p
M
∖
T
p
(
∂
D
)
T_(p)M\\T_(p)(del D) T_{p} M \backslash T_{p}(\partial D) T p M ∖ T p ( ∂ D ) に属するベクトルとし,
(
e
1
,
…
,
e
n
−
1
)
e
1
,
…
,
e
n
−
1
(e_(1),dots,e_(n-1)) \left(\boldsymbol{e}_{1}, \ldots, \boldsymbol{e}_{n-1}\right) ( e 1 , … , e n − 1 ) を
T
p
(
∂
D
)
T
p
(
∂
D
)
T_(p)(del D) T_{p}(\partial D) T p ( ∂ D ) の基底で
[
(
N
p
,
e
1
,
…
,
e
n
−
1
)
]
=
O
p
N
p
,
e
1
,
…
,
e
n
−
1
=
O
p
[(N_(p),e_(1),dots,e_(n-1))]=O_(p) \left[\left(\boldsymbol{N}_{p}, \boldsymbol{e}_{1}, \ldots, \boldsymbol{e}_{n-1}\right)\right]=O_{p} [ ( N p , e 1 , … , e n − 1 ) ] = O p となるようなものとして,
T
p
(
∂
D
)
T
p
(
∂
D
)
T_(p)(del D) T_{p}(\partial D) T p ( ∂ D ) の向き
O
^
p
O
^
p
hat(O)_(p) \hat{O}_{p} O ^ p を
O
^
p
:=
[
(
e
1
,
…
,
e
n
−
1
)
]
O
^
p
:=
e
1
,
…
,
e
n
−
1
hat(O)_(p):=[(e_(1),dots,e_(n-1))] \hat{O}_{p}:=\left[\left(\boldsymbol{e}_{1}, \ldots, \boldsymbol{e}_{n-1}\right)\right] O ^ p := [ ( e 1 , … , e n − 1 ) ] によって定義する(図 3.10 .1 を参照). このとき, 各
p
∈
∂
D
p
∈
∂
D
p in del D p \in \partial D p ∈ ∂ D に対し
O
^
p
O
^
p
hat(O)_(p) \hat{O}_{p} O ^ p を対応させる対応
O
^
O
^
hat(O) \hat{O} O ^ は,
∂
D
∂
D
del D \partial D ∂ D の向きを与えることが容易に 示される。の向きを
O
O
O O O から
∂
D
∂
D
del D \partial D ∂ D に誘導される向き(the orientation of
∂
D
∂
D
del D \partial D ∂ D induced from
O
O
O O O ) という.
以上の準備の下に, 多様体論におけるストークスの定理を述べることにす る。
図 3.10.1
∂
D
∂
D
del D \partial D ∂ D に誘導される向き
定理 3.10.1(ストークスの定理)
r
≥
1
r
≥
1
r >= 1 r \geq 1 r ≥ 1 とする。
(
M
,
O
)
(
M
,
O
)
(M,O) (M, O) ( M , O ) を向き付けられた
n
n
n n n 次元
C
∞
C
∞
C^(oo) C^{\infty} C ∞ 多様体とし,
D
D
D D D を
M
M
M M M の分的に
C
r
C
r
C^(r) C^{r} C r 級の境界をもつコンパクト閉領域とする。このとき,
M
M
M M M 上の
C
r
C
r
C^(r) C^{r} C r 級
(
n
−
1
)
(
n
−
1
)
(n-1) (n-1) ( n − 1 ) 次微分形式
ω
ω
omega \omega ω に対し,次の関係式が成り立つ:
∫
D
d
ω
=
∫
∂
D
ι
∗
ω
∫
D
d
ω
=
∫
∂
D
ι
∗
ω
int_(D)d omega=int_(del D)iota^(**)omega \int_{D} d \omega=\int_{\partial D} \iota^{*} \omega ∫ D d ω = ∫ ∂ D ι ∗ ω
ただし,
は
、
∂
D
は
、
∂
D
は、del D は 、 \partial D は 、 は 、 ∂ D から
M
M
M M M への包含写像を表し,
ι
∗
ω
ι
∗
ω
iota^(**)omega \iota^{*} \omega ι ∗ ω は,
ω
ω
omega \omega ω のしによる引き戻 しを表す。また,
∂
D
∂
D
del D \partial D ∂ D には,
O
O
O O O から誘導される向きを与えている. 特に
M
M
M M M が 閉多様体の場合,
D
D
D D D として
M
M
M M M をとることができ,
∫
M
d
ω
=
0
∫
M
d
ω
=
0
int_(M)d omega=0 \int_{M} d \omega=0 ∫ M d ω = 0 が成り立つ.
注意 ベクトル解析におけるストークスの定理(定理 1.11.1)が主張する区分的 に
C
r
C
r
C^(r) C^{r} C r 級の境界をもつ
C
∞
C
∞
C^(oo) C^{\infty} C ∞ 曲面上の積分公式
∫
S
rot
X
⋅
d
A
=
∫
c
X
⋅
d
r
∫
S
rot
X
⋅
d
A
=
∫
c
X
⋅
d
r
int_(S)rot X*dA=int_(c)X*dr \int_{S} \operatorname{rot} \boldsymbol{X} \cdot d \boldsymbol{A}=\int_{c} \boldsymbol{X} \cdot d \boldsymbol{r} ∫ S rot X ⋅ d A = ∫ c X ⋅ d r
は, 定理 2.7.1 で述べたように, 区分的に
C
r
C
r
C^(r) C^{r} C r 級の境界をもつ
C
∞
C
∞
C^(oo) C^{\infty} C ∞ 曲面上の
C
r
C
r
C^(r) C^{r} C r 級 1 次微分形式
ω
ω
omega \omega ω に対する積分公式
∫
S
d
ω
=
∫
c
ω
∫
S
d
ω
=
∫
c
ω
int_(S)d omega=int_(c)omega \int_{S} d \omega=\int_{c} \omega ∫ S d ω = ∫ c ω
の特別な場合である. 定理3.10.1における積分公式は, 定理 2.7.1における上述の 積分公式をさらに一般化したものである.